Persegi panjang kiri. Tutorial: Perhitungan integral tertentu. Tugas laboratorium


Estimasi sisa suku rumus: , atau .

Tujuan layanan. Layanan ini ditujukan untuk komputasi online integral tertentu menggunakan rumus persegi panjang.

instruksi. Masukkan fungsi integrand f(x) , klik Solve. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Templat solusi juga dibuat di Excel. Di bawah ini adalah instruksi video.

Fungsi integral f(x)

Batasan integrasi sebelum .
Akurasi pembulatan 1 2 3 4 5 6
Jumlah interval pemisahan n= atau Langkah h =
Metode integrasi fungsi numerik Rumus persegi panjang kiri Rumus persegi panjang kanan Rumus persegi panjang tengah Rumus trapesium Rumus Simpson Dasar Rumus Simpson

Aturan untuk memasukkan suatu fungsi

Contoh
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Ini adalah rumus kuadratur paling sederhana untuk menghitung integral, yang menggunakan satu nilai fungsi
(8.5.1)
Di mana ; h=x 1 -x 0 .
Rumus (8.5.1) merupakan rumus utama persegi panjang. Mari kita hitung suku sisanya. Mari kita perluas fungsi y=f(x) di titik ε 0 menjadi deret Taylor:
(8.5.2)
Di mana ; . Mari kita integrasikan (8.5.2):
(8.5.3)

Pada suku kedua, integralnya ganjil, dan limit integrasinya simetris terhadap titik ε 0. Oleh karena itu integral kedua sama dengan nol. Jadi, dari (8.5.3) berikut ini .
Karena faktor kedua integran tidak berubah tanda, maka dengan teorema nilai rata-rata kita peroleh , Di mana . Setelah integrasi kita dapatkan . (8.5.4)
Dibandingkan dengan sisa suku rumus trapesium, kita melihat bahwa kesalahan rumus persegi panjang adalah dua kali lebih kecil dari kesalahan rumus trapesium. Hasil ini berlaku jika pada rumus persegi panjang kita mengambil nilai fungsi di titik tengah.
Kita memperoleh rumus persegi panjang dan sisa suku intervalnya. Misalkan grid x i =a+ih, i=0,1,...,n, diberikan . Perhatikan grid ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Kemudian . (8.5.5)
Istilah sisa .
Secara geometris, rumus persegi panjang dapat digambarkan dengan gambar berikut:

Jika fungsi f(x) diberikan dalam tabel, gunakan rumus persegi panjang sebelah kiri (untuk kisi seragam)

atau rumus persegi panjang tangan kanan

.
Kesalahan rumus ini diperkirakan melalui turunan pertama. Untuk interval kesalahannya sama dengan

; .
Setelah integrasi kita dapatkan .

Contoh. Hitung integral untuk n=5:
a) menurut rumus trapesium;
b) menggunakan rumus persegi panjang;
c) menurut rumus Simpson;
d) menurut rumus Gauss;
e) menurut rumus Chebyshev.
Hitung kesalahannya.
Larutan. Untuk 5 node integrasi, langkah gridnya adalah 0,125.
Saat menyelesaikannya, kita akan menggunakan tabel nilai fungsi. Di sini f(x)=1/x.

X f(x)
x00.5 kamu02
x10.625 kamu11.6
x20.750 kamu21.33
x30.875 kamu31.14
x41.0 kamu41
a) rumus trapesium:
saya=t/2×;
Saya=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Nilai maksimum turunan kedua fungsi pada interval tersebut adalah 16: maks (f¢¢(x)), xО=2/(0,5 3)=16, maka
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) rumus persegi panjang:
untuk rumus kidal I=h×(y0+y1+y2+y3);
Saya=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2 ×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2 ×16= 0.02;
c) Rumus Simpson:
Saya=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
Saya=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4 ×y (4) (x);
f (4) (x)=24/(x 5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4 ×768 = - 5.2 e-4;
d) Rumus Gauss:
Saya=(b-a)/2×;
x saya =(b+a)/2+t saya (b-a)/2
(A i, t i - nilai tabel).
t (n=5)SEBUAH (n=5)
x10.9765 kamu11.02 t 10.90617985 Sebuah 10.23692688
x20.8846 kamu21.13 t 20.53846931 Sebuah 20.47862868
x30.75 kamu31.33 jilid 30 Sebuah 30.56888889
x40.61 kamu41.625 jilid 4-0.53846931 Sebuah 40.47862868
x50.52 y51.91 jilid 5-0.90617985 Sebuah 50.23692688
Saya=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
e) Rumus Chebyshev:
Saya=[(b-a)/n] ×S f(xi), saya=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - diperlukan pengurangan interval integrasi ke interval [-1;1].
Untuk n=5
t10.832498
t20.374541
t30
t4-0.374541
t5-0.832498
Mari kita cari nilai x dan nilai fungsi di titik-titik berikut:
x10,958 f(x1)1,043
x20,844 f(x2)1,185
x30,75 f(x3)1,333
x40,656 f(x4)1,524
x50,542 f(x5)1,845
Jumlah nilai fungsinya adalah 6,927.
Saya=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.

Menghitung integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz tidak selalu memungkinkan. Banyak integran yang tidak memiliki antiturunan dalam bentuk fungsi elementer, sehingga dalam banyak kasus kita tidak dapat menemukan nilai pasti integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz. Di sisi lain, nilai pastinya tidak selalu diperlukan. Dalam praktiknya, seringkali cukup bagi kita untuk mengetahui perkiraan nilai integral tertentu dengan tingkat akurasi tertentu (misalnya, dengan akurasi seperseribu). Dalam kasus ini, metode integrasi numerik dapat membantu kami, seperti metode persegi panjang, metode trapesium, metode Simpson (parabola), dll.

Pada artikel ini kita akan menganalisis secara detail untuk perkiraan perhitungan integral tertentu.

Pertama, mari kita bahas esensi metode integrasi numerik ini, turunkan rumus persegi panjang, dan dapatkan rumus untuk memperkirakan kesalahan absolut metode tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan skema yang sama, kita akan mempertimbangkan modifikasi metode persegi panjang, seperti metode persegi panjang kanan dan metode persegi panjang kiri. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkannya solusi terperinci contoh yang khas dan tugas dengan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Inti dari metode persegi panjang.

Misalkan fungsi y = f(x) kontinu pada interval tersebut. Kita perlu menghitung integral tertentu.

Seperti yang Anda lihat, nilai pasti integral tertentu berbeda dari nilai yang diperoleh dengan metode persegi panjang untuk n = 10 kurang dari enam per seratus satu.

Ilustrasi grafis.

Contoh.

Hitung Nilai Perkiraan Integral Pasti metode persegi panjang kiri dan kanan dengan akurasi seperseratus.

Larutan.

Dengan syarat kita mempunyai a = 1, b = 2, .

Untuk menerapkan rumus persegi panjang kanan dan kiri kita perlu mengetahui langkah h, dan untuk menghitung langkah h kita perlu mengetahui berapa banyak segmen n untuk membagi segmen integrasi. Karena pada rumusan masalah kita diberikan ketelitian perhitungan sebesar 0,01, maka kita dapat mencari bilangan n dengan memperkirakan kesalahan mutlak metode persegi panjang kiri dan kanan.

Kami tahu itu . Oleh karena itu, jika kita menemukan n maka pertidaksamaan tersebut akan berlaku , maka tingkat akurasi yang dibutuhkan akan tercapai.

Ayo temukan - nilai tertinggi modulus turunan pertama integran pada interval. Dalam contoh kita, hal ini cukup mudah dilakukan.

Grafik fungsi turunan integral adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah, dan grafiknya menurun secara monoton sepanjang segmen tersebut. Oleh karena itu, cukup menghitung nilai absolut turunan di ujung segmen dan memilih yang terbesar:

Dalam contoh dengan integran kompleks, Anda mungkin memerlukan teori partisi.

Dengan demikian:

Nomor n tidak boleh pecahan (karena n adalah bilangan asli– jumlah segmen partisi interval integrasi). Oleh karena itu, untuk mencapai ketelitian 0,01 dengan menggunakan metode persegi panjang kanan atau kiri, kita dapat mengambil n = 9, 10, 11, ... Untuk memudahkan perhitungan, kita mengambil n = 10.

Rumus persegi panjang kiri seperti ini , dan persegi panjang kanan . Untuk menggunakannya kita perlu mencari h dan untuk n = 10.

Jadi,

Titik belah suatu segmen didefinisikan sebagai .

Untuk i = 0 kita punya dan .

Untuk i = 1 kita punya dan .

Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel:

Kami mengganti persegi panjang kiri ke dalam rumus:

Kami mengganti persegi panjang biasa ke dalam rumus:

Mari kita hitung nilai pasti integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz:

Jelas, akurasi seperseratus tetap terjaga.

Ilustrasi grafis.


Komentar.

Dalam banyak kasus, mencari nilai modulus terbesar dari turunan pertama (atau turunan kedua untuk metode persegi panjang rata-rata) dari integran pada interval integrasi merupakan prosedur yang sangat memakan waktu.

Oleh karena itu, dimungkinkan untuk melanjutkan tanpa menggunakan pertidaksamaan untuk memperkirakan kesalahan absolut metode integrasi numerik. Meskipun perkiraan lebih disukai.

Untuk metode persegi panjang kanan dan kiri, Anda dapat menggunakan diagram berikut.

Kami mengambil n sembarang (misalnya, n = 5) dan menghitung perkiraan nilai integral. Selanjutnya kita gandakan jumlah ruas pembagian interval integrasi, yaitu kita ambil n = 10, dan hitung kembali nilai perkiraan integral tertentu. Kami menemukan perbedaan antara nilai perkiraan yang diperoleh untuk n = 5 dan n = 10. Jika nilai mutlak selisih ini tidak melebihi ketelitian yang dipersyaratkan, maka sebagai nilai perkiraan suatu integral tertentu kita ambil nilai pada n = 10, setelah sebelumnya dibulatkan ke orde ketelitian. Jika nilai mutlak selisih melebihi ketelitian yang dipersyaratkan, maka kita gandakan n lagi dan bandingkan nilai perkiraan integral untuk n = 10 dan n = 20. Jadi kami melanjutkannya sampai akurasi yang dibutuhkan tercapai.

Untuk metode persegi panjang rata-rata, kami melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi pada setiap langkah kami menghitung sepertiga dari nilai absolut selisih antara nilai perkiraan integral yang diperoleh untuk n dan 2n. Metode ini disebut aturan Runge.

Mari kita hitung integral tentu dari contoh sebelumnya dengan ketelitian seperseribu menggunakan metode persegi panjang kiri.

Kami tidak akan membahas perhitungan secara detail.

Untuk n = 5 kita punya , untuk n = 10 kita punya .

Karena, maka kita ambil n = 20. Pada kasus ini .

Karena, maka kita ambil n = 40. Pada kasus ini .

Karena , maka, dengan pembulatan 0,01686093 ke seperseribu, kita nyatakan bahwa nilai integral tentu sama dengan 0,017 dengan kesalahan absolut 0,001.

Sebagai kesimpulan, kita akan membahas kesalahan metode persegi panjang kiri, kanan dan tengah secara lebih rinci.

Dari pendugaan kesalahan absolut terlihat jelas bahwa metode persegi panjang tengah akan memberikan akurasi yang lebih besar dibandingkan metode persegi panjang kiri dan kanan untuk n tertentu. Pada saat yang sama, jumlah perhitungannya sama, jadi lebih baik menggunakan metode persegi panjang rata-rata.

Jika kita berbicara tentang integral kontinu, maka dengan bertambahnya jumlah titik partisi segmen integrasi yang tak terhingga, nilai perkiraan integral tertentu secara teoritis cenderung ke nilai eksak. Penggunaan metode integrasi numerik melibatkan penggunaan teknologi komputer. Oleh karena itu, harus diingat bahwa pada skala besar n kesalahan komputasi mulai terakumulasi.

Perhatikan juga bahwa jika Anda perlu menghitung integral tertentu dengan akurasi tertentu, maka lakukan perhitungan perantara dengan akurasi lebih tinggi. Misalnya, Anda perlu menghitung integral tertentu dengan akurasi seperseratus, kemudian melakukan perhitungan perantara dengan akurasi minimal 0,0001.

Meringkaskan.

Saat menghitung integral tertentu dengan metode persegi panjang (metode persegi panjang rata-rata), kita menggunakan rumus dan perkirakan kesalahan absolutnya sebagai.

Untuk cara persegi panjang kiri dan kanan kita menggunakan rumus Dan masing-masing. Kesalahan mutlak kami mengevaluasi sebagai.

Tugas pendidikan:

  • Tujuan didaktik. Perkenalkan siswa pada metode perhitungan perkiraan integral tertentu.
  • Tujuan pendidikan. Topik pelajaran ini sangat penting secara praktis dan mendidik. Cara paling sederhana untuk mendekati gagasan integrasi numerik adalah dengan mengandalkan definisi integral tertentu sebagai limit jumlah integral. Misalnya, jika kita mengambil partisi segmen yang cukup kecil [ A; B] dan buatlah jumlah integralnya, maka nilainya dapat diambil kira-kira sebagai nilai integral yang bersesuaian. Pada saat yang sama, penting untuk melakukan perhitungan dengan cepat dan benar menggunakan teknologi komputer.

Pengetahuan dan keterampilan dasar. Memahami metode perkiraan menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus persegi panjang dan trapesium.

Menyediakan kelas

  • selebaran. Kartu-tugas untuk pekerjaan mandiri.
  • TSO. Multi-proyektor, PC, laptop.
  • peralatan TSO. Presentasi: “ Arti geometris turunan”, “Metode Persegi Panjang”, “Metode Trapesium”. (Presentasi dapat diperoleh dari penulis).
  • Peralatan komputasi: PC, mikrokalkulator.
  • Pedoman

Jenis pelajaran. Praktis terpadu.

Motivasi aktivitas kognitif siswa. Seringkali kita perlu menghitung integral tertentu yang antiturunannya tidak mungkin ditemukan. Dalam hal ini, metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu digunakan. Terkadang metode perkiraan juga digunakan untuk integral yang “diambil”, jika perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz tidak rasional. Ide perhitungan perkiraan integral adalah bahwa kurva tersebut digantikan oleh kurva baru yang cukup “dekat” dengannya. Bergantung pada pilihan kurva baru, satu atau beberapa rumus perkiraan integrasi dapat digunakan.

Urutan pelajaran.

  1. Rumus persegi panjang.
  2. Rumus trapesium.
  3. Solusi latihan.

Rencana belajar

  1. Pengulangan latar belakang pengetahuan siswa.

Ulangi dengan siswa: rumus dasar integrasi, intisari metode integrasi yang dipelajari, makna geometri integral tertentu.

  1. Melakukan kerja praktek.

Solusi dari banyak hal masalah teknis turun ke perhitungan integral tertentu, yang ekspresi pastinya rumit, memerlukan perhitungan yang memakan waktu dan tidak selalu dapat dibenarkan dalam praktiknya. Di sini nilai perkiraannya cukup memadai.

Misalnya, Anda perlu menghitung luas, dibatasi oleh sebuah garis, persamaannya tidak diketahui. Dalam hal ini, Anda bisa menggantinya garis ini lebih sederhana yang persamaannya diketahui. Luas trapesium lengkung yang diperoleh dengan cara ini diambil sebagai nilai perkiraan integral yang diinginkan.

Metode perkiraan yang paling sederhana adalah metode persegi panjang. Secara geometris, ide cara menghitung integral tentu dengan menggunakan rumus persegi panjang adalah luas trapesium lengkung ABCD diganti dengan jumlah luas persegi panjang yang salah satu sisinya sama dengan , dan sisi lainnya - .

Jika kita menjumlahkan luas persegi panjang yang menunjukkan luas trapesium lengkung dengan kerugian [Gambar 1], kita mendapatkan rumus:

[Gambar 1]

maka kita mendapatkan rumusnya:

Jika berlebihan

[Gambar 2],

Itu

Nilai-nilai kamu 0, kamu 1,..., kamu n ditemukan dari persamaan , k = 0, 1..., n.Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan peningkatan N hasilnya menjadi lebih akurat.

Jadi, untuk mencari perkiraan nilai integral, Anda memerlukan:

Untuk menemukan kesalahan perhitungan, Anda perlu menggunakan rumus:


Contoh 1. Hitung menggunakan rumus persegi panjang. Temukan kesalahan perhitungan absolut dan relatif.

Mari kita bagi segmennya [ A, B] menjadi beberapa (misalnya, 6) bagian yang sama. Kemudian sebuah = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

F(X 0) = 2 2 = 4
F (X 1) = 2 ,5 2 = 6,25
F (X 2) = 3 2 = 9
F (X 3) = 3,5 2 = 12,25
F (X 4) = 4 2 = 16
F (X 5) = 4,5 2 = 20,25.

X 2 2,5 3 3,5 4 4,5
pada 4 6,25 9 12,25 16 20,25

Menurut rumus (1):

Untuk menghitung Kesalahan relatif perhitungannya, kita perlu mencari nilai pasti integralnya:



Perhitungannya memakan waktu lama dan kami mendapatkan pembulatan yang agak kasar. Untuk menghitung integral ini dengan perkiraan yang lebih kecil, Anda dapat menggunakan kemampuan teknis komputer.

Untuk mencari integral tentu dengan metode persegi panjang, Anda harus memasukkan nilai integran f(x) selama jam kerja Lembar kerja Excel dalam jangkauan X dengan langkah tertentu X= 0,1.

  1. Membuat tabel data (X Dan f(x)). X f(x). Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi2 2,1 ). Kemudian, dengan memilih blok sel A2:A3, menggunakan pengisian otomatis kita mendapatkan semua nilai argumen (kita seret sudut kanan bawah blok ke sel A32, ke nilai x=5).
  2. Selanjutnya kita masukkan nilai integran. Di sel B2 Anda perlu menuliskan persamaannya. Untuk melakukan ini, letakkan kursor tabel di sel B2 dan masukkan rumus dari keyboard =A2^2(dengan tata letak keyboard bahasa Inggris). Tekan tombolnya Memasuki. Di sel B2 muncul 4 . Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Dengan menggunakan isi otomatis, salin rumus ini ke rentang B2:B32.
    Hasilnya harus berupa tabel data untuk mencari integral.
  3. Sekarang di sel B33 nilai perkiraan integral dapat ditemukan. Untuk melakukannya, masukkan rumus di sel B33 = 0,1*, lalu panggil Function Wizard (dengan mengklik tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar (f(x)). Pada kotak dialog yang muncul, Function Wizard - langkah 1 dari 2, di sebelah kiri pada bidang Kategori, pilih Mathematical. Di sebelah kanan bidang Fungsi adalah fungsi Sum. tekan tombolnya OKE. Kotak dialog Jumlah muncul. Dengan menggunakan mouse, masukkan rentang penjumlahan B2:B31 ke dalam bidang kerja. tekan tombolnya OKE. Di sel B33, nilai perkiraan integral yang diinginkan muncul dengan kerugian ( 37,955 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral sebenarnya ( 39 ), kita dapat melihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang masuk pada kasus ini sama dengan

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Contoh 2. Dengan menggunakan metode persegi panjang, hitung dengan langkah tertentu X = 0,05.

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral sebenarnya , kita dapat melihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang dalam kasus ini adalah sama dengan

Metode trapesium biasanya memberikan nilai integral yang lebih akurat dibandingkan metode persegi panjang. Trapesium lengkung diganti dengan jumlah beberapa trapesium dan nilai perkiraan integral tertentu ditemukan sebagai jumlah luas trapesium.

[Gambar3]

Contoh 3. Temukan menggunakan metode trapesium secara bertahap X = 0,1.

  1. Buka lembar kerja kosong.
  2. Membuat tabel data (X Dan f(x)). Biarkan kolom pertama menjadi nilainya X, dan yang kedua dengan indikator yang sesuai f(x). Untuk melakukan ini, masukkan kata di sel A1 Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi. Nilai argumen pertama dimasukkan ke dalam sel A2 - batas kiri rentang ( 0 ). Nilai argumen kedua dimasukkan ke dalam sel A3 - batas kiri rentang ditambah langkah konstruksi ( 0,1 ). Kemudian, dengan memilih blok sel A2:A3, menggunakan pengisian otomatis kita mendapatkan semua nilai argumen (kita seret sudut kanan bawah blok ke sel A33, ke nilai x=3.1).
  3. Selanjutnya kita masukkan nilai integran. Di sel B2 Anda perlu menuliskan persamaannya (dalam contoh sinus). Untuk melakukan ini, kursor tabel harus ditempatkan di sel B2. Seharusnya di sini nilai sinus, sesuai dengan nilainya argumen di sel A2. Untuk mendapatkan nilai sinus kita gunakan fungsi khusus: klik tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar f(x). Pada kotak dialog yang muncul, Function Wizard - langkah 1 dari 2, di sebelah kiri pada bidang Kategori, pilih Mathematical. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi DOSA. tekan tombolnya OKE. Sebuah kotak dialog muncul DOSA. Dengan menempatkan penunjuk mouse di atas bidang abu-abu jendela, sambil menekan tombol kiri, pindahkan bidang tersebut ke kanan untuk membuka kolom data ( A). Kami menunjukkan nilai argumen sinus dengan mengklik sel A2. tekan tombolnya OKE. Angka 0 muncul di sel B2. Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Dengan menggunakan isi otomatis, salin rumus ini ke rentang B2:B33. Hasilnya harus berupa tabel data untuk mencari integral.
  4. Sekarang di sel B34 nilai perkiraan integral dapat ditemukan menggunakan metode trapesium. Untuk melakukannya, masukkan rumus di sel B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, lalu panggil Function Wizard (dengan mengklik tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar (f(x)). Pada kotak dialog yang muncul, Function Wizard - langkah 1 dari 2, di sebelah kiri pada bidang Kategori, pilih Mathematical. Di sebelah kanan bidang Fungsi adalah fungsi Sum. tekan tombolnya OKE. Kotak dialog Jumlah muncul. Masukkan rentang penjumlahan B3:B32 ke dalam bidang kerja dengan mouse. tekan tombolnya OKE sekali lagi OKE. Di sel B34, nilai perkiraan integral yang diinginkan muncul dengan kerugian ( 1,997 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral sebenarnya, terlihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang dalam hal ini cukup dapat diterima untuk praktik.

  1. Solusi latihan.

1. Perkenalan. Rumusan masalah……..…………………………2p.

2. Penurunan rumus……………………………………….3 halaman.

3. Suku tambahan pada rumus persegi panjang……….5pp.

4. Contoh…………………………………………………..7p.

5. Kesimpulan…………………………………………………..9p.

6. Daftar referensi…………………………………………………...10 halaman.

Rumusan masalah.

Masalah penghitungan integral muncul di banyak bidang matematika Terapan. Dalam kebanyakan kasus, kita menemukan integral tertentu dari fungsi yang antiturunannya tidak dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar. Selain itu, dalam penerapannya kita harus berurusan dengan integral tertentu; integran itu sendiri tidak bersifat dasar. Ada juga kasus umum ketika fungsi integran ditentukan oleh grafik atau tabel nilai yang diperoleh secara eksperimental. Dalam situasi seperti itu gunakan berbagai metode integrasi numerik, yang didasarkan pada fakta bahwa integral direpresentasikan sebagai limit dari jumlah integral (jumlah luas), dan memungkinkan untuk menentukan jumlah ini dengan akurasi yang dapat diterima. Misalkan kita perlu menghitung integral dengan syarat a dan b berhingga dan f(x) merupakan fungsi kontinu pada seluruh interval (a, b). Nilai integral I menyatakan luas yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x dan garis x=a, x=b. Perhitungan I dilakukan dengan membagi interval dari a ke b menjadi beberapa interval yang lebih kecil, kira-kira mencari luas setiap strip yang dihasilkan dari partisi tersebut, dan kemudian menjumlahkan luas strip tersebut.

Penurunan rumus persegi panjang.

Sebelum beralih ke rumus persegi panjang, mari kita perhatikan hal berikut:

Catatan. Misalkan fungsi f(x) kontinu pada ruas dan

Beberapa titik segmen. Kemudian pada ruas ini terdapat suatu titik yang merupakan mean aritmatika .

Faktanya, mari kita nyatakan dengan m dan M sisi eksak dari fungsi f(x) pada segmen tersebut. Maka untuk sembarang bilangan k pertidaksamaannya valid. Menjumlahkan pertidaksamaan ini pada semua bilangan dan membagi hasilnya dengan n, kita peroleh

Karena fungsi berkelanjutan mengambil nilai antara antara m dan M, maka ada titik pada segmen tersebut sehingga

.

Rumus pertama untuk perkiraan perhitungan integral tertentu paling mudah diperoleh dari pertimbangan geometri. Menafsirkan integral tertentu sebagai luas suatu bangun tertentu yang dibatasi oleh suatu kurva, kita menetapkan sendiri tugas untuk menentukan luas tersebut.

Pertama-tama, dengan menggunakan gagasan ini untuk kedua kalinya, yang mengarah pada konsep integral tertentu, kita dapat membagi seluruh gambar (Gbr. 1) menjadi garis-garis, katakanlah, dengan lebar yang sama, dan kemudian kira-kira mengganti setiap garis dengan sebuah persegi panjang, yang tingginya dianggap berapa -atau dari ordinatnya. Ini membawa kita pada rumusnya

Di mana , dan R adalah suku tambahan. Di sini, luas bangun lengkung yang diinginkan diganti dengan luas bangun berundak tertentu yang terdiri dari persegi panjang (atau, jika Anda mau, integral tertentu diganti dengan jumlah integral). Rumus ini disebut rumus persegi panjang.

Dalam prakteknya mereka biasanya mengambil ; jika ordinat meannya sesuai dilambangkan dengan , maka rumus tersebut akan ditulis ulang dalam bentuk

.

Suku tambahan dalam rumus persegi panjang.

Mari kita lanjutkan mencari suku tambahan dalam rumus persegi panjang.

Pernyataan berikut ini benar:

Pernyataan Jika suatu fungsi f(x) mempunyai turunan kedua kontinu pada suatu ruas, maka terdapat titik tersebut pada ruas tersebut

Bahwa suku tambahan R pada rumus (1) sama dengan

(2)

Bukti.

Mari kita perkirakan , dengan asumsi bahwa fungsi f(x) mempunyai turunan kedua kontinu pada segmen [-h, h]. Untuk melakukan ini, kita akan memasukkan masing-masing integral berikut ke dalam integrasi ganda per bagian:

Untuk integral pertama yang kita peroleh

Untuk integral kedua kita memperoleh hal yang sama

Setengah jumlah ekspresi yang diperoleh untuk dan mengarah ke rumus berikut:

(3)

Mari kita perkirakan besarannya dengan menerapkan rumus nilai rata-rata pada integral dan memperhitungkan fungsi non-negatif dan . Kita mendapatkan bahwa ada sebuah titik pada segmen [-h, 0] dan sebuah titik pada segmen tersebut

Seperti yang

Berdasarkan pernyataan yang terbukti, ada titik pada ruas [-h, h] sedemikian rupa sehingga

Oleh karena itu, untuk setengah jumlah kita mendapatkan ekspresi berikut:

Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan (3), kita memperolehnya

(4)

. (5)

Karena besaran adalah luas persegi panjang tertentu dengan alas (Gbr. 1), rumus (4) dan (5) membuktikan bahwa kesalahan yang dilakukan saat mengganti luas yang ditunjukkan adalah orde

Jadi rumusnya semakin kecil h, semakin akurat. Oleh karena itu, untuk menghitung integral, wajar untuk menyatakan integral ini sebagai jumlah dari sejumlah n integral yang cukup besar

Dan terapkan rumus (4) pada masing-masing integral tersebut. Mengingat panjang ruas sama dengan , kita memperoleh rumus persegi panjang (1), di mana

Di Sini . Kami menggunakan rumus yang dibuktikan dalam pernyataan untuk fungsinya

Contoh penghitungan integral tentu

menggunakan rumus persegi panjang.

Sebagai contoh, mari kita ambil integral, yang kita hitung terlebih dahulu menggunakan rumus Newton-Leibniz, lalu menggunakan rumus persegi panjang.

Contoh 1. Misalkan Anda perlu menghitung integral.

Dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita peroleh

Sekarang mari kita terapkan rumus persegi panjang

Dengan demikian, .

DI DALAM dalam contoh ini Tidak ada ketidakakuratan dalam perhitungan. Artinya untuk fungsi ini rumus persegi panjang memungkinkan penghitungan integral tentu secara akurat.

Contoh 2. Mari kita hitung integral dengan ketelitian 0,001.

Menerapkan rumus Newton-Leibniz, kita mendapatkan .

Sekarang mari kita gunakan rumus persegi panjang.

Karena kita punya (jika kemudian

Jika kita mengambil n=10, maka suku tambahan dari rumus kita adalah Kita harus membuat kesalahan lain dengan membulatkan nilai fungsi; kami akan mencoba memastikan bahwa batas kesalahan baru ini berbeda kurang dari Untuk tujuan ini, cukup menghitung nilai fungsi dengan empat tanda, dengan akurasi 0,00005. Kita punya:


Jumlah 6,9284.

.

Mengingat bahwa koreksi pada setiap ordinat (dan juga mean aritmatikanya) terdapat di antara , dan juga dengan mempertimbangkan perkiraan suku tambahan, kita menemukan apa yang terdapat di antara batas dan , dan, oleh karena itu, terlebih lagi antara 0,692 dan 0,694. Dengan demikian, .

Kesimpulan.

Metode penghitungan integral tertentu di atas berisi algoritma yang dirumuskan dengan jelas untuk melakukan perhitungan. Fitur lain dari metode yang disajikan adalah sifat stereotip dari operasi komputasi yang harus dilakukan pada setiap langkah. Kedua fitur ini memastikan meluasnya penggunaan metode yang disajikan untuk melakukan perhitungan pada komputer modern berkecepatan tinggi.

Di atas untuk perkiraan perhitungan integral fungsi f(x)

kami melanjutkan dari membagi segmen utama menjadi cukup jumlah yang besar n segmen parsial yang sama dengan panjang yang sama h dan dari penggantian fungsi f(x) selanjutnya pada setiap segmen parsial dengan polinomial nol, orde pertama atau kedua.

Kesalahan yang timbul dari pendekatan ini tidak diperhitungkan properti individu fungsi f(x). Oleh karena itu, tentu saja, muncul gagasan untuk memvariasikan titik-titik partisi segmen utama menjadi n, secara umum, segmen parsial yang tidak sama, yang akan memberikan nilai minimum kesalahan rumus perkiraan ini.

Bibliografi.

1. Fikhtengolts G.M. Kursus diferensial dan kalkulus integral dalam 3 jilid, jilid II. (§§ 332, 335).

2. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Dasar-dasar analisis matematis, bagian I. "Ilmu Pengetahuan" Moskow, 1982. (Bab 12, paragraf 1, 2, 5).


Yekaterinburg


Perhitungan integral tertentu

Perkenalan

Masalah integrasi numerik suatu fungsi adalah menghitung perkiraan nilai integral tertentu:

berdasarkan serangkaian nilai integral.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Rumus perhitungan numerik Integral tunggal disebut rumus kuadratur, integral ganda dan lebih banyak disebut rumus kubik.

Teknik yang biasa digunakan untuk membuat rumus kuadratur adalah dengan mengganti fungsi integran f(x) pada suatu segmen dengan fungsi interpolasi atau aproksimasi g(x) secara relatif. tipe sederhana, misalnya polinomial, diikuti integrasi analitik. Hal ini mengarah pada pandangan

Mengabaikan suku sisa R[f] kita memperoleh rumus perkiraan

.


Mari kita nyatakan dengan y i = f(x i) nilai fungsi integran di berbagai titik pada . Rumus kuadratur adalah rumus bertipe tertutup jika x 0 =a, x n =b.

Sebagai perkiraan fungsi g(x), kami mempertimbangkan polinomial interpolasi dalam bentuk polinomial Lagrange:

,

, di mana , dimana adalah sisa suku rumus interpolasi Lagrange.

Rumus (1) memberi

, (2)

. (3)

Dalam rumus (2), besaran () disebut simpul, () - bobot, - kesalahan rumus kuadratur. Jika bobot () suatu rumus kuadratur dihitung menggunakan rumus (3), maka rumus kuadratur yang bersangkutan disebut rumus kuadratur tipe interpolasi.

Meringkaskan.

1. Bobot () dari rumus kuadratur (2) untuk lokasi node tertentu tidak bergantung pada jenis integran.

2. Dalam rumus kuadratur tipe interpolasi, suku sisa R n [f] dapat direpresentasikan sebagai nilai tertentu operator diferensial pada fungsi f(x). Untuk

3. Untuk polinomial sampai orde n inklusif, rumus kuadratur (2) adalah eksak, yaitu . Tingkatan tertinggi polinomial yang rumus kuadraturnya eksak disebut derajat rumus kuadratur.

Mari kita perhatikan kasus khusus rumus (2) dan (3): metode persegi panjang, trapesium, parabola (metode Simpson). Nama metode ini disebabkan oleh interpretasi geometris dari rumus yang sesuai.

Metode persegi panjang

Integral pasti suatu fungsi f(x): secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y=0, x=a, x=b, y=f(x) (Gambar 1).


Beras. 1 Luas di bawah kurva y=f(x) Untuk menghitung luas ini, seluruh interval integrasi dibagi menjadi n subinterval yang sama panjangnya h=(b-a)/n. Luas di bawah integran kira-kira diganti dengan jumlah luas persegi panjang, seperti yang ditunjukkan pada Gambar (2).

Beras. 2 Luas di bawah kurva y=f(x) didekati dengan jumlah luas persegi panjang
Jumlah luas semua persegi panjang dihitung dengan rumus

Metode yang diwakili oleh rumus (4) disebut metode persegi panjang kiri, dan metode yang diwakili oleh rumus (5) disebut metode persegi panjang kanan:

Kesalahan dalam menghitung integral ditentukan oleh besar kecilnya langkah integrasi h. Bagaimana langkah yang lebih kecil integrasi, semakin akurat jumlah integral S mendekati nilai integral I. Berdasarkan hal ini, suatu algoritma dibangun untuk menghitung integral dengan akurasi tertentu. Jumlah integral S dianggap mewakili nilai integral I dengan ketelitian eps jika selisih nilai mutlak antara jumlah integral dan masing-masing dihitung dengan langkah h dan h/2 tidak melebihi eps.

Untuk mencari integral tentu dengan metode rata-rata persegi panjang, luas yang dibatasi oleh garis a dan b dibagi menjadi n persegi panjang dengan dengan alasan yang sama h, tinggi persegi panjang adalah titik potong fungsi f(x) dengan titik tengah persegi panjang (h/2). Integralnya berupa numerik sama dengan jumlahnya luas n persegi panjang (Gambar 3).


Beras. 3 Luas di bawah kurva y=f(x) didekati dengan jumlah luas persegi panjang

,

n – jumlah partisi segmen.

Metode trapesium

Untuk mencari integral tentu dengan metode trapesium, luas trapesium lengkung juga dibagi n trapesium persegi panjang dengan tinggi h dan alas y 1, y 2, y 3,...yn, dimana n adalah banyaknya trapesium persegi panjang. Integralnya secara numerik sama dengan jumlah luas trapesium persegi panjang (Gambar 4).


Beras. 4 Luas di bawah kurva y=f(x) didekati dengan jumlah luas trapesium persegi panjang.

n – jumlah partisi

(6)

Kesalahan rumus trapesium diperkirakan dengan angka

Kesalahan rumus trapesium berkurang lebih cepat seiring dengan pertumbuhan dibandingkan kesalahan rumus persegi panjang. Oleh karena itu, rumus trapesium memungkinkan akurasi yang lebih besar dibandingkan metode persegi panjang.

rumus Simpson

Jika untuk setiap pasangan segmen kita membuat polinomial derajat kedua, kemudian mengintegrasikannya pada segmen tersebut dan menggunakan sifat aditif integral, kita memperoleh rumus Simpson.

Dalam metode Simpson, untuk menghitung integral tertentu, seluruh interval integrasi dibagi menjadi subinterval panjang yang sama h=(b-a)/n. Jumlah segmen partisi adalah bilangan genap. Kemudian, pada setiap pasangan subinterval yang berdekatan, fungsi integrand f(x) digantikan oleh polinomial Lagrange derajat kedua (Gambar 5).

Beras. 5 Fungsi y=f(x) pada ruas tersebut digantikan oleh polinomial orde ke-2

Mari kita pertimbangkan integrand pada segmen tersebut. Mari kita ganti integran ini dengan polinomial interpolasi Lagrange derajat kedua, yang bertepatan dengan y= di titik-titik:


Mari kita integrasikan pada interval.:

Mari kita perkenalkan perubahan variabel:

Mempertimbangkan formula pengganti,

Setelah melakukan integrasi, diperoleh rumus Simpson:

Nilai integral yang diperoleh bertepatan dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan parabola yang melalui titik-titik tersebut, rumus Simpson akan terlihat seperti:

Pada rumus parabola, nilai fungsi f(x) pada titik ganjil pada partisi x 1, x 3, ..., x 2 n -1 mempunyai koefisien sebesar 4, pada titik genap x 2, x 4, ..., x 2 n -2 - koefisien 2 dan pada dua titik batas x 0 =a, x n =b - koefisien 1.

Arti geometri rumus Simpson: luas trapesium lengkung di bawah grafik fungsi f(x) pada suatu ruas kira-kira digantikan dengan jumlah luas bangun-bangun yang terletak di bawah parabola.

Jika fungsi f(x) mempunyai turunan kontinu orde keempat, maka nilai absolut kesalahan rumus Simpson tidak lebih dari

dimana M adalah nilai terbesar pada segmen tersebut. Karena n 4 tumbuh lebih cepat dari n 2, kesalahan rumus Simpson berkurang seiring bertambahnya n jauh lebih cepat daripada kesalahan rumus trapesium.

Mari kita hitung integralnya

Integral ini mudah dihitung:

Mari kita ambil n sama dengan 10, h=0,1, hitung nilai integran pada titik partisi, serta titik setengah bilangan bulat .

Dengan menggunakan rumus rata-rata persegi panjang diperoleh I lurus = 0,785606 (error 0,027%), menggunakan rumus trapesium I trap = 0,784981 (error sekitar 0,054. Bila menggunakan metode persegi panjang kanan dan kiri, errornya lebih dari 3% .

Untuk membandingkan keakuratan rumus perkiraan, mari kita hitung kembali integralnya

tapi sekarang menurut rumus Simpson dengan n=4. Mari kita bagi segmen menjadi empat bagian yang sama dengan titik x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 dan hitung kira-kira nilai fungsinya f(x)=1/( 1+x) pada titik-titik berikut: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Dengan menggunakan rumus Simpson kita peroleh

Mari kita perkirakan kesalahan dari hasil yang diperoleh. Untuk fungsi integran f(x)=1/(1+x) kita mempunyai: f (4) (x)=24/(1+x) 5, yang artinya pada segmen . Oleh karena itu, kita dapat mengambil M=24, dan kesalahan hasilnya tidak melebihi 24/(2880× 4 4)=0,0004. Membandingkan nilai perkiraan dengan nilai eksak, kami menyimpulkan bahwa kesalahan absolut dari hasil yang diperoleh dengan menggunakan rumus Simpson kurang dari 0,00011. Hal ini sesuai dengan perkiraan kesalahan yang diberikan di atas dan, sebagai tambahan, menunjukkan bahwa rumus Simpson jauh lebih akurat daripada rumus trapesium. Oleh karena itu, rumus Simpson lebih sering digunakan untuk perhitungan perkiraan integral tertentu dibandingkan rumus trapesium.

Perbandingan metode berdasarkan akurasi

Mari kita bandingkan metode dalam hal akurasi, untuk ini kita akan menghitung integral dari fungsi y=x, y=x+2, y=x 2, dengan n=10 dan n=60, a=0, b=10 . Nilai yang tepat integralnya masing-masing adalah: 50, 70, 333.(3)

Tabel 1

Dari Tabel 1 terlihat bahwa yang paling akurat adalah integral yang ditemukan menggunakan rumus Simpson saat menghitung fungsi linier akurasi y=x, y=x+2 juga dicapai dengan metode persegi panjang tengah dan metode persegi panjang siku-siku kurang akurat. Dari Tabel 1 jelas bahwa dengan bertambahnya jumlah partisi n (jumlah integrasi bertambah), keakuratan perkiraan perhitungan integral meningkat

Tugas laboratorium

1) Menulis program untuk menghitung integral tertentu dengan menggunakan metode: persegi panjang tengah, persegi panjang siku-siku, trapesium dan metode Simpson. Integrasikan fungsi-fungsi berikut:

pada segmen dengan langkah , ,

3. Jalankan opsi tugas individu(Meja 2)

Tabel 2 Pilihan tugas individu

Fungsi f(x)

Segmen integrasi

2) Perilaku analisis perbandingan metode.


Perhitungan integral tertentu: Pedoman untuk pekerjaan laboratorium dalam disiplin " Matematika Komputasi» / kompilasi. I.A.Selivanova. Ekaterinburg: Lembaga Pendidikan Tinggi Negeri Pendidikan Profesi USTU-UPI, 2006. 14 hal.

Instruksi ini ditujukan untuk siswa dari semua bentuk studi di bidang khusus 230101 – “ Mesin komputasi, kompleks, sistem dan jaringan" dan sarjana ke arah 230100 - "Informatika dan Teknik Komputer" Disusun oleh Selivanova Irina Anatolyevna