Cara menyelesaikan persamaan dengan pangkat eksponensial. Memecahkan persamaan eksponensial. Contoh. Tahap mempersiapkan siswa untuk belajar aktif

Ekspresi Logaritma, memecahkan contoh. Pada artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menanyakan pertanyaan tentang menemukan makna suatu ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maknanya sangatlah penting. Sedangkan untuk Unified State Examination, logaritma digunakan saat menyelesaikan persamaan, in masalah yang diterapkan, juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami arti logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu diingat :

*Logaritma produk sama dengan jumlahnya logaritma faktor.

* * *

*Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan perbedaannya logaritma faktor.

* * *

*Logaritma derajat sama dengan produknya eksponen dengan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke yayasan baru

* * *

Properti lainnya:

* * *

Perhitungan logaritma erat kaitannya dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Mari kita daftar beberapa di antaranya:

Intinya dari properti ini terletak pada kenyataan bahwa ketika pembilang dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Misalnya:

Akibat wajar dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sendiri sederhana. Yang utama adalah apa yang dibutuhkan praktik yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja diperlukan pengetahuan tentang rumus. Jika keterampilan dalam mengkonversi logaritma dasar belum berkembang, maka saat menyelesaikannya tugas-tugas sederhana Sangat mudah untuk membuat kesalahan.

Latihan, selesaikan dulu contoh paling sederhana dari mata pelajaran matematika, lalu lanjutkan ke contoh yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma yang "menakutkan" diselesaikan; logaritma tersebut tidak akan muncul di Ujian Negara Bersatu, tetapi menarik, jangan sampai ketinggalan!

Itu saja! Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Berikut definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini maka perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penjumlahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang mungkin. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Mari kita ambil dua logaritma dengan alasan yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

catatan a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = mencatat x 1 + mencatat x 2 + mencatat x 3 + ... + log axk.

Dari teorema hasil bagi logaritma satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

catatan A 1 /B=log A 1 - catatan sebuah b= - catatan sebuah b.

Artinya ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dua bilangan timbal balik karena alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

Catatan 3 9= - catatan 3 1 / 9 ; catatan 5 1/125 = -catatan 5 125.

Saat mengonversi ekspresi dengan logaritma, persamaan yang tercantum digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan.

Perlu dicatat bahwa tidak perlu menghafal konsekuensi dari properti: saat melakukan transformasi, Anda dapat bertahan dengan properti dasar logaritma dan fakta lainnya (misalnya, fakta bahwa untuk b≥0), dari mana konsekuensi yang sesuai akan menyusul. " Efek sampingan“Pendekatan ini hanya terwujud dalam kenyataan bahwa solusinya akan memakan waktu lebih lama. Misalnya untuk melakukan tanpa akibat yang dinyatakan dengan rumus , dan mulai hanya dari sifat dasar logaritma, Anda harus melakukan rantai transformasi tipe berikut: .

Hal yang sama dapat dikatakan tentang properti terakhir dari daftar di atas, yang dijawab dengan rumus , karena ini juga mengikuti sifat dasar logaritma. Hal utama yang harus dipahami adalah bahwa pangkat bilangan positif dengan logaritma dalam eksponen selalu memungkinkan untuk menukar basis pangkat dan bilangan di bawah tanda logaritma. Agar adil, kami mencatat bahwa contoh-contoh yang menyiratkan penerapan transformasi semacam ini jarang terjadi dalam praktiknya. Kami akan memberikan beberapa contoh di bawah ini dalam teks.

Mengonversi ekspresi numerik dengan logaritma

Kita sudah mengingat sifat-sifat logaritma, sekarang saatnya mempelajari cara menerapkannya dalam praktik untuk mentransformasikan ekspresi. Wajar jika memulai dengan mengonversi ekspresi numerik daripada ekspresi dengan variabel, karena lebih mudah dan mudah untuk mempelajari dasar-dasarnya. Itulah yang akan kami lakukan, dan kami akan memulainya dengan sangat contoh sederhana, untuk mempelajari cara memilih properti logaritma yang diinginkan, tetapi kami akan memperumit contoh secara bertahap, hingga diperoleh hasil akhir Anda perlu menerapkan beberapa properti secara berurutan.

Memilih properti logaritma yang diinginkan

Ada banyak properti logaritma, dan jelas bahwa Anda harus dapat memilih salah satu yang sesuai, yang dalam hal ini akan memberikan hasil yang diinginkan. Biasanya hal ini tidak sulit dilakukan dengan membandingkan jenis logaritma atau ekspresi yang dikonversi dengan jenis bagian kiri dan kanan rumus yang menyatakan sifat-sifat logaritma. Jika kiri atau bagian kanan salah satu rumusnya bertepatan dengan logaritma atau ekspresi tertentu, maka kemungkinan besar properti inilah yang harus digunakan selama transformasi. Contoh berikut ini ditunjukkan dengan jelas.

Mari kita mulai dengan contoh transformasi ekspresi menggunakan definisi logaritma, yang sesuai dengan rumus a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Contoh.

Hitung, jika memungkinkan: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 catatan 2 (−7) , e) .

Larutan.

Pada contoh di bawah huruf a) struktur a log a b terlihat jelas, dimana a=5, b=4. Angka-angka ini memenuhi kondisi a>0, a≠1, b>0, sehingga Anda dapat menggunakan persamaan a log a b =b dengan aman. Kami memiliki 5 log 5 4=4 .

b) Di sini a=10, b=1+2·π, kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi. Dalam hal ini, persamaan 10 log(1+2·π) =1+2·π terjadi.

c) Dan dalam contoh ini kita berurusan dengan derajat dalam bentuk a log a b, dimana dan b=ln15. Jadi .

Meskipun termasuk dalam tipe yang sama a log a b (di sini a=2, b=−7), ekspresi di bawah huruf g) tidak dapat dikonversi menggunakan rumus a log a b =b. Alasannya tidak ada artinya karena mengandung angka negatif di bawah tanda logaritma. Selain itu, bilangan b=−7 tidak memenuhi syarat b>0, sehingga tidak mungkin menggunakan rumus a log a b =b, karena memerlukan terpenuhinya syarat a>0, a≠1, b> 0. Jadi, kita tidak bisa membicarakan tentang menghitung nilai 2 log 2 (−7) . Dalam hal ini, penulisan 2 log 2 (−7) =−7 akan menjadi kesalahan.

Demikian pula pada contoh pada huruf e) tidak mungkin memberikan penyelesaian dalam bentuk , karena ungkapan aslinya tidak masuk akal.

Menjawab:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) ekspresi tidak masuk akal.

Transformasi sering kali berguna ketika bilangan positif direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan positif dan non-unitas dengan logaritma dalam eksponennya. Hal ini didasarkan pada definisi yang sama dari logaritma a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, tetapi rumusnya diterapkan dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk b=a log a b . Misalnya, 3=e ln3 atau 5=5 log 5 5 .

Mari beralih menggunakan properti logaritma untuk mentransformasikan ekspresi.

Contoh.

Tentukan nilai persamaan: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Larutan.

Dalam contoh di bawah huruf a), b) dan c) diberikan ekspresi log −2 1, log 1 1, log 0 1, yang tidak masuk akal, karena basis logaritma tidak boleh mengandung bilangan negatif, nol atau satu, karena kita telah mendefinisikan logaritma hanya untuk basis yang positif dan berbeda dari kesatuan. Oleh karena itu, dalam contoh a) - c) tidak ada pertanyaan untuk menemukan arti dari ungkapan tersebut.

Dalam semua soal lainnya, tentu saja, basis logaritma berisi bilangan positif dan non-unitas masing-masing 7, e, 10, 3,75 dan 5·π 7, dan di bawah tanda logaritma terdapat satuan di mana-mana. Dan kita mengetahui sifat logaritma kesatuan: log a 1=0 untuk sembarang a>0, a≠1. Jadi, nilai ekspresi b) – e) sama dengan nol.

Menjawab:

a), b), c) ekspresi tidak masuk akal, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Contoh.

Hitung: a) , b) lne , c) lg10 , d) catatan 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) catatan −3 (−3) , f) catatan 1 1 .

Larutan.

Jelas bahwa kita harus menggunakan properti logaritma basis, yang sesuai dengan rumus log a a=1 untuk a>0, a≠1. Memang, dalam soal di bawah semua huruf, angka di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya. Jadi, saya ingin segera mengatakan bahwa nilai setiap ekspresi yang diberikan adalah 1. Namun, Anda tidak boleh terburu-buru mengambil kesimpulan: dalam tugas di bawah huruf a) - d) nilai ekspresi benar-benar sama dengan satu, dan dalam tugas e) dan f) ekspresi aslinya tidak masuk akal, jadi itu tidak dapat dikatakan bahwa nilai ekspresi ini sama dengan 1.

Menjawab:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) ekspresi tidak masuk akal.

Contoh.

Tentukan nilainya: a) log 3 3 11, b) , c) , d) catatan −10 (−10) 6 .

Larutan.

Jelasnya, di bawah tanda logaritma ada beberapa pangkat dasar. Berdasarkan hal ini, kita memahami bahwa di sini kita memerlukan sifat derajat alas: log a a p =p, di mana a>0, a≠1 dan p adalah sembarang bilangan real. Dengan mempertimbangkan hal ini, kita mendapatkan hasil sebagai berikut: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Apakah mungkin untuk menulis persamaan serupa untuk contoh di bawah huruf d) dalam bentuk log −10 (−10) 6 =6? Tidak, Anda tidak bisa, karena ekspresi log −10 (−10) 6 tidak masuk akal.

Menjawab:

a) catatan 3 3 11 =11, b) , V) , d) ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Contoh.

Sajikan persamaan tersebut sebagai jumlah atau selisih logaritma dengan menggunakan basis yang sama: a) , b) , c) catatan((−5)·(−12)) .

Larutan.

a) Di bawah tanda logaritma terdapat suatu hasil kali, dan kita mengetahui sifat logaritma dari hasil kali tersebut log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , kamu>0. Dalam kasus kita, bilangan pada basis logaritma dan bilangan pada hasil perkalian adalah positif, yaitu memenuhi kondisi properti yang dipilih, oleh karena itu, kita dapat menerapkannya dengan aman: .

b) Di sini kita menggunakan sifat logaritma hasil bagi, di mana a>0, a≠1, x>0, y>0. Dalam kasus kita, basis logaritma adalah bilangan positif e, pembilang dan penyebutnya positif, yang berarti memenuhi syarat sifat, jadi kita berhak menggunakan rumus yang dipilih: .

c) Pertama, perhatikan bahwa ekspresi log((−5)·(−12)) masuk akal. Namun pada saat yang sama, untuk itu kita tidak berhak menerapkan rumus logaritma hasil kali log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, karena bilangan tersebut −5 dan −12 – negatif dan tidak memenuhi ketentuan x>0, y>0. Artinya, Anda tidak dapat melakukan transformasi seperti itu: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Jadi apa yang harus kita lakukan? Dalam kasus seperti itu, ekspresi asli memerlukan transformasi awal untuk menghindari bilangan negatif. Tentang kasus serupa mengubah ekspresi dengan angka negatif di bawah tanda logaritma, kita akan membahas salah satunya secara detail, tetapi untuk saat ini kami akan memberikan solusi untuk contoh ini, yang sudah jelas sebelumnya dan tanpa penjelasan: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Menjawab:

A) , B) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

Larutan.

Di sini semua sifat logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi yang kita gunakan pada contoh sebelumnya akan membantu kita, hanya sekarang kita akan menerapkannya dari kanan ke kiri. Artinya, kita mengubah jumlah logaritma menjadi logaritma hasil kali, dan selisih logaritma menjadi logaritma hasil bagi. Kita punya
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
B) .

Menjawab:

A) catatan 3 0,25+catatan 3 16+catatan 3 0,5=catatan 3 2, B) .

Contoh.

Hilangkan derajat di bawah tanda logaritma: a) log 0,7 5 11, b) , c) catatan 3 (−5) 6 .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa kita berhadapan dengan ekspresi bentuk log a b p . Sifat logaritma yang bersesuaian mempunyai bentuk log a b p =p·log a b, dengan a>0, a≠1, b>0, p adalah bilangan real apa pun. Artinya, jika kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi dari logaritma log derajat a b p kita dapat melanjutkan ke produk p·log a b . Mari kita lakukan transformasi ini dengan ekspresi yang diberikan.

a) Dalam hal ini a=0,7, b=5 dan p=11. Jadi log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Di sini kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi. Itu sebabnya

c) Ekspresi log 3 (−5) 6 memiliki struktur yang sama log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Namun untuk b kondisi b>0 tidak terpenuhi, sehingga tidak mungkin menggunakan rumus log a b p =p·log a b . Jadi apa, Anda tidak bisa mengatasi tugas itu? Itu mungkin, tetapi transformasi awal dari ekspresi tersebut diperlukan, yang akan kita bahas secara rinci di bawah dalam paragraf di bawah judul. Solusinya akan seperti ini: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Menjawab:

a) catatan 0,7 5 11 =11 catatan 0,7 5 ,
B)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

Seringkali, ketika melakukan transformasi, rumus logaritma suatu pangkat harus diterapkan dari kanan ke kiri dalam bentuk p·log a b=log a b p (kondisi yang sama harus dipenuhi untuk a, b dan p). Misalnya, 3·ln5=ln5 3 dan log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Contoh.

a) Hitung nilai log 2 5, jika diketahui log2≈0.3010 dan log5≈0.6990. b) Nyatakan pecahan sebagai logaritma ke basis 3.

Larutan.

a) Rumus transisi ke basis logaritma baru memungkinkan kita untuk menyajikan logaritma ini sebagai rasio logaritma desimal, yang nilainya kita ketahui: . Yang tersisa hanyalah melakukan perhitungan, yang kita punya .

b) Di sini cukup menggunakan rumus pindah ke pangkalan baru, dan menerapkannya dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk . Kita mendapatkan .

Menjawab:

a) catatan 2 5≈2.3223, b) .

Pada tahap ini, kami telah mempertimbangkan transformasi secara hati-hati ekspresi sederhana menggunakan sifat-sifat dasar logaritma dan definisi logaritma. Dalam contoh ini, kami harus menerapkan satu properti dan tidak lebih. Sekarang, dengan hati nurani yang bersih, kita dapat beralih ke contoh, yang transformasinya memerlukan penggunaan beberapa properti logaritma dan transformasi tambahan lainnya. Kami akan membahasnya di paragraf berikutnya. Namun sebelum itu, mari kita lihat sekilas contoh penerapan konsekuensi dari sifat dasar logaritma.

Contoh.

a) Hilangkan akar di bawah tanda logaritma. b) Ubahlah pecahan tersebut menjadi logaritma basis 5. c) Bebaskan diri Anda dari pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya. d) Hitung nilai ekspresi . e) Gantikan ekspresi dengan pangkat dengan basis 3.

Larutan.

a) Jika kita mengingat akibat wajar dari sifat logaritma derajat , maka anda bisa langsung memberikan jawabannya: .

b) Disini kita menggunakan rumusnya dari kanan ke kiri, kita punya .

c)B pada kasus ini hasilnya diberikan oleh rumus . Kita mendapatkan .

d) Dan di sini cukup menerapkan akibat wajar yang sesuai dengan rumus tersebut . Jadi .

e) Properti logaritma memungkinkan kita mencapai hasil yang diinginkan: .

Menjawab:

A) . B) . V) . G) . D) .

Penerapan beberapa properti berturut-turut

Tugas nyata dalam mengubah ekspresi menggunakan properti logaritma biasanya lebih rumit daripada yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya. Di dalamnya, sebagai suatu peraturan, hasilnya tidak diperoleh dalam satu langkah, tetapi solusinya sudah terdiri dari penerapan properti satu demi satu secara berurutan, bersama dengan transformasi identik tambahan, seperti tanda kurung buka, casting istilah serupa, pengurangan pecahan, dll. Jadi mari kita lihat lebih dekat contoh-contoh tersebut. Tidak ada yang rumit dalam hal ini, yang utama adalah bertindak hati-hati dan konsisten, memperhatikan urutan tindakan.

Contoh.

Hitung nilai suatu ekspresi (catatan 3 15−catatan 3 5) 7 catatan 7 5.

Larutan.

Selisih logaritma dalam tanda kurung dapat diganti dengan sifat logaritma hasil bagi catatan logaritma 3 (15:5) , lalu hitung nilainya log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Dan nilai ekspresi 7 log 7 5 menurut definisi logaritma adalah 5. Mengganti hasil ini ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Berikut ini solusi tanpa penjelasan:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=catatan 3 3·5=1·5=5 .

Menjawab:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Contoh.

Berapa nilai ekspresi numerik log 3 log 2 2 3 −1?

Larutan.

Pertama-tama kita ubah logaritma di bawah tanda logaritma menggunakan rumus logaritma pangkat: log 2 2 3 =3. Jadi, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 dan kemudian log 3 3=1. Jadi log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Menjawab:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Contoh.

Sederhanakan ekspresi tersebut.

Larutan.

Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru memungkinkan rasio logaritma ke satu basis direpresentasikan sebagai log 3 5. Dalam hal ini, ekspresi aslinya akan berbentuk . Menurut definisi logaritma 3 log 3 5 =5, yaitu , dan nilai ekspresi yang dihasilkan, berdasarkan definisi logaritma yang sama, sama dengan dua.

Di Sini versi pendek solusi, yang biasanya diberikan: .

Menjawab:

Untuk kelancaran transisi ke informasi poin berikutnya mari kita lihat ekspresi 5 2+log 5 3 , dan log0.01 . Strukturnya tidak sesuai dengan sifat logaritma apa pun. Lalu apa yang terjadi, tidak dapat dikonversi menggunakan properti logaritma? Hal ini dimungkinkan jika Anda melakukan transformasi awal yang menyiapkan ekspresi ini untuk penerapan sifat-sifat logaritma. Jadi 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, dan log0,01=log10 −2 =−2. Selanjutnya kita akan melihat secara detail bagaimana persiapan ekspresi tersebut dilakukan.

Mempersiapkan Ekspresi untuk Menggunakan Properti Logaritma

Logaritma dalam ekspresi yang dikonversi seringkali berbeda dalam struktur notasi dari bagian kiri dan kanan rumus yang sesuai dengan sifat-sifat logaritma. Namun yang tidak kalah seringnya, transformasi ekspresi ini melibatkan penggunaan properti logaritma: penggunaannya hanya memerlukan persiapan awal. Dan persiapan ini terdiri dari pelaksanaan tertentu transformasi identitas, membawa logaritma ke bentuk yang sesuai untuk menerapkan properti.

Agar adil, kami mencatat bahwa hampir semua transformasi ekspresi dapat bertindak sebagai transformasi awal, mulai dari reduksi dangkal istilah-istilah serupa hingga penerapannya. rumus trigonometri. Hal ini dapat dimengerti, karena ekspresi yang dikonversi dapat berisi apa saja objek matematika: tanda kurung, modul, pecahan, akar, pangkat, dll. Oleh karena itu, seseorang harus bersiap untuk melakukan transformasi apa pun yang diperlukan agar dapat lebih memanfaatkan sifat-sifat logaritma.

Katakanlah segera bahwa pada titik ini kita tidak menetapkan tugas untuk mengklasifikasikan dan menganalisis semua transformasi awal yang memungkinkan kita untuk selanjutnya menerapkan sifat-sifat logaritma atau definisi logaritma. Di sini kita hanya akan fokus pada empat di antaranya, yang paling umum dan paling sering ditemui dalam praktik.

Dan sekarang tentang masing-masingnya secara rinci, setelah itu, dalam kerangka topik kita, yang tersisa hanyalah memahami transformasi ekspresi dengan variabel di bawah tanda logaritma.

Identifikasi pangkat di bawah tanda logaritma dan berdasarkan tandanya

Mari kita mulai dengan sebuah contoh. Mari kita buat logaritma. Jelasnya, dalam bentuk ini strukturnya tidak kondusif untuk penggunaan sifat-sifat logaritma. Apakah mungkin untuk mengkonversi ekspresi ini untuk menyederhanakannya, atau lebih baik lagi, menghitung nilainya? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat lebih dekat angka 81 dan 1/9 dalam konteks contoh kita. Di sini mudah untuk melihat bahwa angka-angka ini dapat direpresentasikan sebagai pangkat 3, yaitu 81 = 3 4 dan 1/9 = 3 −2. Dalam hal ini, logaritma asli disajikan dalam bentuk dan rumus dapat diterapkan . Jadi, .

Analisis contoh yang dianalisis memunculkan pemikiran berikut: jika memungkinkan, Anda dapat mencoba mengisolasi derajat di bawah tanda logaritma dan basisnya untuk menerapkan properti logaritma derajat atau konsekuensinya. Tinggal mencari cara untuk membedakan derajat ini. Mari kita berikan beberapa rekomendasi mengenai masalah ini.

Kadang-kadang cukup jelas bahwa bilangan di bawah tanda logaritma dan/atau pada basisnya mewakili suatu pangkat bilangan bulat, seperti pada contoh yang dibahas di atas. Hampir selalu kita harus berurusan dengan pangkat dua, yang sudah familiar: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Hal yang sama dapat dikatakan tentang pangkat tiga: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Secara umum, tidak ada salahnya jika Anda memilikinya di depan mata Anda tabel pangkat bilangan asli dalam selusin. Juga tidak sulit untuk bekerja dengan pangkat bilangan bulat sepuluh, seratus, ribu, dst.

Contoh.

Hitung nilainya atau sederhanakan persamaan: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Larutan.

a) Jelasnya, 216=6 3, jadi log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Tabel pangkat bilangan asli memungkinkan Anda menyatakan bilangan 343 dan 1/243 masing-masing sebagai pangkat 7 3 dan 3 −4. Oleh karena itu, transformasi logaritma tertentu berikut ini dimungkinkan:

c) Karena 0,000001=10 −6 dan 0,001=10 −3, maka log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Menjawab:

a) catatan 6 216=3, b) , c) catatan 0,000001 0,001=1/2.

Lebih lanjut kasus-kasus sulit untuk membedakan kekuatan angka yang harus digunakan.

Contoh.

Ubah ekspresi menjadi lebih banyak tampilan sederhana catatan 3 648 catatan 2 3 .

Larutan.

Mari kita lihat penguraian angka 648 menjadi apa faktor utama:

Artinya, 648=2 3 ·3 4. Dengan demikian, catatan 3 648 catatan 2 3=catatan 3 (2 3 3 4) catatan 2 3.

Sekarang kita mengubah logaritma hasil kali menjadi jumlah logaritma, setelah itu kita menerapkan sifat-sifat logaritma pangkat:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Berdasarkan akibat wajar dari sifat logaritma pangkat, yang sesuai dengan rumus , hasil kali log32·log23 adalah hasil kali dari , dan, seperti diketahui, hasilnya sama dengan satu. Dengan mempertimbangkan hal ini, kami mendapatkan 3 catatan 3 2 catatan 2 3+4 catatan 2 3=3 1+4 catatan 2 3=3+4 catatan 2 3.

Menjawab:

catatan 3 648 catatan 2 3=3+4 catatan 2 3.

Seringkali, ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya mewakili produk atau rasio akar dan/atau pangkat dari beberapa bilangan, misalnya, , . Ekspresi serupa dapat dinyatakan sebagai gelar. Untuk melakukan ini, transisi dibuat dari akar ke pangkat, dan digunakan. Transformasi ini memungkinkan untuk mengisolasi pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya, dan kemudian menerapkan sifat-sifat logaritma.

Contoh.

Hitung: a) , B) .

Larutan.

a) Ekspresi dalam basis logaritma adalah hasil kali pangkat dengan basis yang sama dengan sifat pangkat yang kita miliki 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Sekarang mari kita ubah pecahan di bawah tanda logaritma: kita akan berpindah dari akar ke pangkat, setelah itu kita akan menggunakan properti rasio pangkat dengan basis yang sama: .

Tetap mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi aslinya, gunakan rumus dan selesaikan transformasi:

b) Karena 729 = 3 6 dan 1/9 = 3 −2, persamaan aslinya dapat ditulis ulang menjadi .

Selanjutnya, kita menerapkan properti akar suatu pangkat, berpindah dari akar ke pangkat, dan menggunakan properti rasio pangkat untuk mengubah basis logaritma menjadi pangkat: .

Mempertimbangkan hasil terakhir, kita punya .

Menjawab:

A) , B) .

Jelas bahwa dalam kasus umum, untuk memperoleh pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya, berbagai transformasi mungkin diperlukan. berbagai ekspresi. Mari kita berikan beberapa contoh.

Contoh.

Apa arti dari ungkapan: a) , B) .

Larutan.

Kami selanjutnya mencatat bahwa ekspresi yang diberikan memiliki bentuk log A B p , di mana A=2, B=x+1 dan p=4. Ekspresi Numerik Kami mentransformasikan tipe ini sesuai dengan properti logaritma pangkat log a b p =p·log a b , oleh karena itu, dengan ekspresi yang diberikan saya ingin melakukan hal yang sama, dan beralih dari log 2 (x+1) 4 ke 4·log 2 (x+1) . Sekarang mari kita hitung nilai ekspresi asli dan ekspresi yang diperoleh setelah transformasi, misalnya ketika x=−2. Kita mempunyai log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , dan 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- ekspresi yang tidak berarti. Hal ini menimbulkan pertanyaan logis: “Kesalahan apa yang kami lakukan?”

Dan alasannya adalah ini: kami melakukan transformasi log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , berdasarkan rumus log a b p =p·log a b , tetapi rumus ini kami berhak menerapkan hanya jika kondisi terpenuhi: a>0, a≠1, b>0, p - bilangan real apa pun. Artinya, transformasi yang kita lakukan terjadi jika x+1>0, yang sama dengan x>−1 (untuk A dan p, syaratnya terpenuhi). Namun, dalam kasus kami variabel ODZ x untuk ekspresi aslinya tidak hanya terdiri dari interval x>−1, tetapi juga dari interval x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Perlunya memperhitungkan DL

Mari kita lanjutkan menganalisis transformasi ekspresi yang telah kita pilih log 2 (x+1) 4 , dan sekarang mari kita lihat apa yang terjadi pada ODZ ketika berpindah ke ekspresi 4 · log 2 (x+1) . Di paragraf sebelumnya, kita menemukan ODZ dari ekspresi asli - ini adalah himpunan (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Sekarang mari kita cari rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x untuk ekspresi 4·log 2 (x+1) . Hal ini ditentukan oleh kondisi x+1>0, yang sesuai dengan himpunan (−1, +∞). Jelas sekali bahwa ketika berpindah dari log 2 (x+1) 4 ke 4·log 2 (x+1), kisaran nilai yang diizinkan menyempit. Dan kami sepakat untuk menghindari transformasi yang mengarah pada penyempitan DL, karena dapat menimbulkan berbagai konsekuensi negatif.

Di sini perlu dicatat bahwa penting untuk mengontrol OA pada setiap langkah transformasi dan mencegah penyempitannya. Dan jika tiba-tiba pada tahap transformasi tertentu terjadi penyempitan DL, maka perlu dicermati baik-baik apakah transformasi ini boleh dan apakah kita berhak melaksanakannya.

Agar adil, katakanlah dalam praktiknya kita biasanya harus bekerja dengan ekspresi yang nilai variabelnya sedemikian rupa sehingga, ketika melakukan transformasi, kita dapat menggunakan properti logaritma tanpa batasan dalam bentuk yang sudah kita ketahui, keduanya dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Anda dengan cepat terbiasa dengan hal ini, dan Anda mulai melakukan transformasi secara mekanis, tanpa memikirkan apakah mungkin untuk melaksanakannya. Dan pada saat-saat seperti itu, semoga beruntung, contoh-contoh yang lebih kompleks lolos di mana penerapan sifat-sifat logaritma yang ceroboh menyebabkan kesalahan. Sehingga perlu selalu waspada dan memastikan tidak terjadi penyempitan ODZ.

Tidak ada salahnya untuk menyoroti secara terpisah transformasi utama berdasarkan sifat-sifat logaritma, yang harus dilakukan dengan sangat hati-hati, yang dapat menyebabkan penyempitan OD, dan akibatnya, kesalahan:

Beberapa transformasi ekspresi berdasarkan sifat logaritma juga dapat menyebabkan kebalikannya - perluasan ODZ. Misalnya, transisi dari 4·log 2 (x+1) ke log 2 (x+1) 4 memperluas ODZ dari himpunan (−1, +∞) ke (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Transformasi seperti itu terjadi jika kita tetap berada dalam kerangka ODZ untuk ekspresi aslinya. Jadi transformasi 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 yang baru saja disebutkan terjadi pada ODZ variabel x untuk ekspresi asli 4·log 2 (x+1), yaitu, untuk x+1> 0, yang sama dengan (−1, +∞).

Sekarang kita telah membahas nuansa yang perlu Anda perhatikan saat mentransformasikan ekspresi dengan variabel menggunakan properti logaritma, tinggal mencari cara untuk melakukan transformasi ini dengan benar.

X+2>0 . Apakah ini berhasil dalam kasus kami? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat ODZ variabel x. Hal ini ditentukan oleh sistem ketimpangan , yang setara dengan kondisi x+2>0 (jika perlu, lihat artikel menyelesaikan sistem ketidaksetaraan). Dengan demikian, kita dapat dengan aman menerapkan properti logaritma pangkat.

Kita punya
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Anda dapat bertindak berbeda, karena ODZ memungkinkan Anda melakukan ini, misalnya seperti ini:

Menjawab:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Namun apa yang harus dilakukan jika kondisi yang menyertai properti logaritma tidak terpenuhi di ODZ? Kami akan memahami ini dengan contoh.

Mari kita menyederhanakan ekspresi log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Transformasi ekspresi ini, berbeda dengan ekspresi dari contoh sebelumnya, tidak memungkinkan penggunaan properti logaritma pangkat secara bebas. Mengapa? ODZ variabel x dalam hal ini adalah gabungan dua interval x>−2 dan x<−2 . При x>−2 kita dapat dengan mudah menerapkan properti logaritma suatu pangkat dan bertindak seperti pada contoh di atas: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Namun ODZ berisi satu interval lagi x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 dan selanjutnya karena sifat-sifat derajat k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Ekspresi yang dihasilkan dapat diubah menggunakan properti logaritma suatu pangkat, karena |x+2|>0 untuk nilai variabel apa pun. Kita punya catatan|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Sekarang Anda dapat melepaskan diri dari modul karena modul telah melakukan tugasnya. Karena kita melakukan transformasi pada x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Mari kita lihat satu contoh lagi agar bekerja dengan modul menjadi familiar. Mari kita bayangkan dari ungkapan tersebut lanjutkan ke jumlah dan selisih logaritma binomial linier x−1, x−2 dan x−3. Pertama kita temukan ODZ:

Pada interval (3, +∞) nilai ekspresi x−1, x−2 dan x−3 adalah positif, sehingga kita dapat dengan mudah menerapkan sifat-sifat logaritma jumlah dan selisih:

Dan pada interval (1, 2) nilai ekspresi x−1 adalah positif, dan nilai ekspresi x−2 dan x−3 adalah negatif. Oleh karena itu, pada interval yang dipertimbangkan kita merepresentasikan x−2 dan x−3 menggunakan modulus sebagai −|x−2| dan −|x−3| masing-masing. Di mana

Sekarang kita dapat menerapkan sifat-sifat logaritma hasil kali dan hasil bagi, karena pada interval yang dipertimbangkan (1, 2) nilai ekspresi x−1 , |x−2| dan |x−3| - positif.

Kita punya

Hasil yang diperoleh dapat digabungkan:

Secara umum, alasan serupa memungkinkan, berdasarkan rumus logaritma produk, rasio dan derajat, untuk memperoleh tiga hasil praktis yang berguna, yang cukup nyaman untuk digunakan:

Logaritma hasil kali dua ekspresi sembarang X dan Y dalam bentuk log a (X·Y) dapat diganti dengan jumlah logaritma log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
Logaritma suatu bentuk tertentu log a (X:Y) dapat diganti dengan selisih logaritma log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X dan Y adalah ekspresi arbitrer.
Dari logaritma beberapa ekspresi B ke pangkat genap p dalam bentuk log a B p kita dapat menuju ke ekspresi p·log a |B| , dimana a>0, a≠1, p adalah bilangan genap dan B adalah ekspresi arbitrer.

Hasil serupa diberikan, misalnya, dalam instruksi penyelesaian eksponensial dan persamaan logaritma dalam kumpulan soal matematika untuk masuk perguruan tinggi, diedit oleh M. I. Skanavi.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi tersebut .

Larutan.

Sebaiknya terapkan sifat-sifat logaritma pangkat, jumlah, dan selisih. Tapi bisakah kita melakukan ini di sini? Untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu mengetahui DPD.

Mari kita definisikan:

Jelas sekali bahwa ekspresi x+4, x−2 dan (x+4) 13 dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dapat mengambil nilai positif dan negatif. Oleh karena itu, kita harus bertindak melalui modul.

Properti modul memungkinkan Anda untuk menulis ulang sebagai , jadi

Selain itu, tidak ada yang menghalangi Anda untuk menggunakan properti logaritma suatu pangkat, dan kemudian membawa suku serupa:

Urutan transformasi lainnya menghasilkan hasil yang sama:

dan karena pada ODZ ekspresi x−2 dapat bernilai positif dan negatif, maka ketika mengambil eksponen genap 14

Salah satu unsur aljabar tingkat primitif adalah logaritma. Nama tersebut berasal dari bahasa Yunani yang berasal dari kata “bilangan” atau “pangkat” yang berarti pangkat yang harus dipangkatkan pada bilangan dasar untuk mencari bilangan akhir.

Jenis logaritma

log a b – logaritma bilangan b ke basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – logaritma desimal (logaritma ke basis 10, a = 10);
ln b – logaritma natural (logaritma ke basis e, a = e).

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Logaritma dari b ke basis a adalah eksponen yang mengharuskan b dipangkatkan ke basis a. Hasil yang diperoleh diucapkan seperti ini: “logaritma b ke basis a.” Solusi untuk masalah logaritma adalah Anda perlu menentukan pangkat tertentu dari angka-angka yang ditentukan. Ada beberapa aturan dasar untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta mengubah notasi itu sendiri. Dengan menggunakannya, persamaan logaritma diselesaikan, turunan ditemukan, integral diselesaikan, dan banyak operasi lainnya dilakukan. Pada dasarnya, penyelesaian logaritma itu sendiri adalah notasinya yang disederhanakan. Di bawah ini adalah rumus dan properti dasar:

Untuk setiap a ; sebuah > 0; a ≠ 1 dan untuk sembarang x ; kamu > 0.

a log a b = b – identitas logaritma dasar
log a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log ax/ y = log ax – log ay
log a 1/x = -log ax
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , untuk k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – rumus pindah ke pangkalan baru
log a x = 1/log x a

Cara menyelesaikan logaritma - petunjuk langkah demi langkah untuk menyelesaikannya

Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Harap diperhatikan: jika logaritma dasar adalah 10, entri tersebut dipersingkat sehingga menghasilkan logaritma desimal. Jika itu layak bilangan asli e, lalu kita tuliskan, disingkat menjadi logaritma natural. Artinya hasil semua logaritma adalah pangkat dari bilangan dasar yang dipangkatkan sehingga diperoleh bilangan b.

Secara langsung, solusinya terletak pada penghitungan derajat ini. Sebelum menyelesaikan suatu ekspresi dengan logaritma, harus disederhanakan menurut aturannya, yaitu menggunakan rumus. Anda dapat menemukan identitas utamanya dengan melihat kembali sedikit artikel tersebut.

Jika menjumlahkan dan mengurangkan logaritma dengan dua bilangan berbeda tetapi mempunyai basis yang sama, gantilah dengan satu logaritma dengan hasil kali atau pembagian bilangan b dan c berturut-turut. Dalam hal ini, Anda dapat menerapkan rumus untuk berpindah ke pangkalan lain (lihat di atas).

Jika Anda menggunakan ekspresi untuk menyederhanakan logaritma, ada beberapa batasan yang perlu dipertimbangkan. Artinya: basis logaritma a hanyalah bilangan positif, tetapi tidak sama dengan satu. Angka b, seperti a, harus lebih besar dari nol.

Ada kalanya, dengan menyederhanakan suatu ekspresi, Anda tidak akan dapat menghitung logaritma secara numerik. Kebetulan ungkapan seperti itu tidak masuk akal, karena banyak pangkat adalah bilangan irasional. Dalam kondisi ini, biarkan pangkat bilangan tersebut sebagai logaritma.

Sekarang kita akan melihat konversi ekspresi yang mengandung logaritma dari sudut pandang umum. Di sini kita tidak hanya akan menganalisis transformasi ekspresi menggunakan properti logaritma, tetapi juga mempertimbangkan transformasi ekspresi dengan logaritma pandangan umum, yang tidak hanya berisi logaritma, tetapi juga pangkat, pecahan, akar, dll. Seperti biasa, kami akan menyediakan semua materi contoh yang khas Dengan deskripsi rinci keputusan.

Navigasi halaman.

Ekspresi dengan logaritma dan ekspresi logaritma

Melakukan sesuatu dengan pecahan

Pada paragraf sebelumnya, kita telah membahas transformasi dasar yang dilakukan dengan pecahan individual yang mengandung logaritma. Transformasi ini, tentu saja, dapat dilakukan dengan setiap pecahan yang menjadi bagiannya ekspresi yang kompleks, misalnya menyatakan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi pecahan sejenis. Tapi selain bekerja dengan pecahan individu, mengubah ekspresi tipe tertentu sering kali melibatkan melakukan operasi yang sesuai dengan pecahan. Selanjutnya kita akan melihat aturan dimana tindakan ini dilakukan.

Sejak kelas 5-6 kita sudah mengetahui aturan pelaksanaannya. Di dalam artikel pandangan umum untuk operasi dengan pecahan kami telah memperluas aturan ini dengan pecahan biasa pada pecahan umum A/B, dimana A dan B adalah beberapa bilangan, ekspresi literal atau ekspresi dengan variabel, dan B tidak identik sama dengan nol. Jelas bahwa pecahan dengan logaritma merupakan kasus khusus dari pecahan umum. Dan dalam hal ini, jelas bahwa operasi pecahan yang mengandung logaritma dalam notasinya dilakukan menurut aturan yang sama. Yaitu:

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan dua pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambah atau mengurangi pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tetap sama.
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan dua pecahan dengan penyebut yang berbeda, kita harus memimpin mereka ke sana faktor persekutuan dan melakukan tindakan yang sesuai sesuai dengan aturan sebelumnya.
Untuk mengalikan dua pecahan, Anda perlu menulis pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilang pecahan aslinya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya.
Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu melakukannya pecahan yang habis dibagi kalikan dengan kebalikan pecahan dari pembaginya, yaitu dengan pecahan yang pembilang dan penyebutnya ditukar.

Berikut beberapa contoh cara melakukan operasi pecahan yang mengandung logaritma.

Contoh.

Lakukan operasi pecahan yang mengandung logaritma: a) , b) , V) , G) .

Larutan.

a) Penyebut pecahan yang dijumlahkan jelas sama. Oleh karena itu, menurut aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama, kita menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama: .

b) Di sini penyebutnya berbeda. Oleh karena itu, pertama-tama Anda perlu mengubah pecahan ke penyebut yang sama. Dalam kasus kita, penyebutnya sudah disajikan dalam bentuk hasil kali, dan yang harus kita lakukan hanyalah mengambil penyebut pecahan pertama dan menambahkan faktor yang hilang dari penyebut pecahan kedua. Dengan cara ini kita mendapatkan penyebut yang sama dari formulir tersebut . Dalam hal ini, pecahan yang sudah dikurangkan direduksi menjadi penyebut yang sama dengan menggunakan faktor tambahan masing-masing dalam bentuk logaritma dan ekspresi x 2 ·(x+1). Setelah itu, yang tersisa hanyalah mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, dan itu tidak sulit.

Jadi solusinya adalah:

c) Diketahui hasil perkalian pecahan adalah pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya, maka

Sangat mudah untuk melihat bahwa Anda bisa mengurangi sebagian kecil dengan dua dan dengan logaritma desimal, sebagai hasilnya kita mendapatkan .

d) Kita beralih dari membagi pecahan ke perkalian, mengganti pembagi pecahan dengan kebalikan pecahannya. Jadi

Pembilang pecahan yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai , yang darinya terlihat jelas pengganda umum pembilang dan penyebut - faktor x, pecahan dapat dikurangi dengan itu:

Menjawab:

a) , b) , V) , G) .

Perlu diingat bahwa operasi pecahan dilakukan dengan memperhatikan urutan tindakan yang dilakukan: pertama perkalian dan pembagian, kemudian penjumlahan dan pengurangan, dan jika ada tanda kurung, maka tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Contoh.

Lakukan sesuatu dengan pecahan .