Metode untuk mencari akar bilangan bulat dari persamaan derajat yang lebih tinggi. Memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi. Di mana Anda bisa menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi menggunakan pemecah online?

Secara umum, persamaan derajat yang lebih besar dari 4 tidak dapat diselesaikan secara radikal. Namun terkadang kita masih dapat menemukan akar-akar polinomial di sebelah kiri dalam persamaan derajat tertinggi jika kita menyatakannya sebagai hasil kali polinomial dengan derajat tidak lebih dari 4. Penyelesaian persamaan tersebut didasarkan pada pemfaktoran polinomial, jadi kami menyarankan Anda untuk meninjau topik ini sebelum mempelajari artikel ini.

Paling sering kita harus berurusan dengan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat. Dalam kasus ini kita dapat mencoba mencarinya akar rasional, lalu faktorkan polinomialnya sehingga Anda dapat mengubahnya menjadi persamaan derajat lebih rendah yang mudah diselesaikan. Dalam materi ini kita akan melihat contoh-contoh seperti itu.

Yandex.RTB RA-339285-1

Persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat

Semua persamaan berbentuk a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , kita dapat memperoleh persamaan yang berderajat sama dengan mengalikan kedua ruas dengan a n n - 1 dan melakukan substitusi variabel formulir kamu = dan x:

an x n + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (an) n - 1 · x + a 0 · (an) n - 1 = 0 y = an x ​​⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Koefisien yang dihasilkan juga akan berupa bilangan bulat. Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan tereduksi derajat ke-n dengan koefisien bilangan bulat, yang berbentuk x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Kami menghitung akar bilangan bulat persamaan. Jika persamaan memiliki akar bilangan bulat, Anda perlu mencarinya di antara pembagi suku bebas a 0 . Mari kita tuliskan dan substitusikan ke persamaan aslinya satu per satu, periksa hasilnya. Setelah kita memperoleh identitas dan menemukan salah satu akar persamaan, kita dapat menuliskannya dalam bentuk x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Di sini x 1 adalah akar persamaan, dan P n - 1 (x) adalah hasil bagi dari x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dibagi x - x 1 .

Sisa pembagi yang dituliskan kita substitusikan ke dalam P n - 1 (x) = 0, dimulai dengan x 1, karena akar-akarnya dapat diulang. Setelah diperoleh identitasnya, akar x 2 dianggap ditemukan, dan persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Disini P n - 2 (x) adalah hasil bagi membagi P n - 1 (x) dengan x - x 2.

Kami terus memilah-milah pembagi. Mari kita cari semua akar bilangan bulat dan nyatakan bilangannya sebagai m. Setelah itu, persamaan aslinya dapat direpresentasikan sebagai x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Di sini P n - m (x) adalah polinomial dengan derajat n - m. Untuk perhitungannya lebih mudah menggunakan skema Horner.

Jika persamaan awal kita memiliki koefisien bilangan bulat, pada akhirnya kita tidak dapat memperoleh akar pecahan.

Kita mendapatkan persamaan P n - m (x) = 0, yang akar-akarnya dapat ditemukan dengan cara apa pun yang mudah. Mereka bisa jadi tidak rasional atau rumit.

Kami akan menunjukkannya kepada Anda contoh spesifik Bagaimana skema solusi ini diterapkan?

Contoh 1

Kondisi: tentukan penyelesaian persamaan x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Larutan

Mari kita mulai dengan mencari akar utuh.

Kami memiliki istilah bebas sama dengan minus tiga. Ia memiliki pembagi sama dengan 1, - 1, 3 dan - 3. Mari kita substitusikan keduanya ke dalam persamaan awal dan lihat persamaan mana yang memberikan identitas yang dihasilkan.

Dengan x sama dengan satu, kita mendapatkan 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 = 0, yang berarti satu adalah akarnya persamaan yang diberikan.

Sekarang mari kita bagi polinomial x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 dengan (x - 1) dalam satu kolom:

Jadi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Kita mendapat identitas, artinya kita menemukan akar persamaan lain yang sama dengan - 1.

Bagilah polinomial x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dengan (x + 1) dalam sebuah kolom:

Kami mengerti

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Kita substitusikan pembagi berikutnya ke dalam persamaan x 2 + x + 3 = 0, dimulai dari - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Persamaan yang dihasilkan salah, artinya persamaan tersebut tidak lagi memiliki akar bilangan bulat.

Akar-akar yang tersisa akan menjadi akar-akar persamaan x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

Oleh karena itu, trinomial kuadrat ini tidak mempunyai akar real, tetapi terdapat akar konjugat kompleks: x = - 1 2 ± i 11 2.

Mari kita perjelas bahwa alih-alih membagi menjadi sebuah kolom, skema Horner dapat digunakan. Ini dilakukan seperti ini: setelah kita menentukan akar pertama persamaan, kita mengisi tabelnya.

Pada tabel koefisien kita langsung dapat melihat koefisien hasil pembagian polinomial yang artinya x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Setelah menemukan root berikutnya, yaitu - 1, kita mendapatkan yang berikut:

Menjawab: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± saya 11 2.

Contoh 2

Kondisi: selesaikan persamaan x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Larutan

Suku bebasnya mempunyai pembagi 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Mari kita periksa secara berurutan:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Artinya x = 2 adalah akar persamaannya. Bagilah x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 dengan x - 2 menggunakan skema Horner:

Hasilnya, kita mendapatkan x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Artinya 2 akan kembali menjadi root. Bagilah x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 dengan x - 2:

Hasilnya, kita mendapatkan (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Memeriksa pembagi yang tersisa tidak masuk akal, karena persamaan x 2 + 3 x + 3 = 0 lebih cepat dan mudah diselesaikan menggunakan diskriminan.

Mari selesaikan persamaan kuadrat:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Kita memperoleh pasangan akar konjugasi kompleks: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Menjawab: x = - 3 2 ± saya 3 2 .

Contoh 3

Kondisi: Temukan akar real persamaan x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Larutan

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Kita kalikan 2 3 pada kedua ruas persamaan:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Ganti variabel y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 tahun 4 + tahun 3 - 20 tahun - 48 = 0

Pada akhirnya kami berhasil persamaan standar Derajat 4, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan skema standar. Mari kita periksa pembaginya, bagi dan dapatkan bahwa ia mempunyai 2 akar real y = - 2, y = 3 dan dua akar kompleks. Kami tidak akan menyajikan solusi keseluruhan di sini. Karena substitusi tersebut, akar real persamaan ini adalah x = y 2 = - 2 2 = - 1 dan x = y 2 = 3 2.

Menjawab: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Tujuan dasar:

1. Memperkuat konsep persamaan rasional derajat ke-seluruhan.
2. Merumuskan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3).
3. Ajarkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan tingkat tinggi.
4. Untuk mengajarkan cara menentukan yang paling banyak metode yang efektif keputusannya.

Bentuk, metode dan teknik pedagogi yang digunakan guru dalam pembelajaran:

• Sistem pengajaran ceramah-seminar (perkuliahan - penjelasan materi baru, seminar - pemecahan masalah).
• Teknologi informasi dan komunikasi ( survei depan, pekerjaan lisan dengan kelas).
• Pembelajaran yang berbeda, bentuk kelompok dan individu.
• Penggunaan metode penelitian dalam pelatihan yang ditujukan untuk pengembangan peralatan matematika dan kemampuan berpikir setiap individu siswa.
• Bahan cetak – individual ringkasan singkat pelajaran (konsep dasar, rumus, pernyataan, materi perkuliahan yang diringkas dalam bentuk diagram atau tabel).

Rencana belajar:

1. Pengorganisasian waktu.
   Tujuan panggung: untuk mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pendidikan, menentukan kerangka isi pelajaran.
2. Memperbarui pengetahuan siswa.
   Tujuan tahapan: untuk memperbaharui pengetahuan siswa yang telah dipelajari sebelumnya topik-topik terkait
3. Mempelajari topik baru(kuliah). Tujuan tahapan: merumuskan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3)
4. Meringkas.
   Tujuan panggung: sorot lagi poin-poin penting dalam materi yang dipelajari di kelas.
5. Pekerjaan rumah.
   Tujuan tahapan: merumuskan pekerjaan rumah untuk siswa.

Ringkasan pelajaran

1. Momen organisasi.

Rumusan topik pelajaran: “Persamaan kekuatan yang lebih tinggi. Metode untuk menyelesaikannya.”

2. Memperbarui pengetahuan siswa.

Survei teoretis - percakapan. Pengulangan beberapa informasi yang dipelajari sebelumnya dari teori. Siswa merumuskan definisi dasar dan merumuskan teorema yang diperlukan. Berikan contoh untuk menunjukkan tingkat pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

• Konsep persamaan dengan satu variabel.
• Konsep akar persamaan, penyelesaian persamaan.
• Konsep persamaan linier dengan satu variabel, konsep persamaan kuadrat dengan satu variabel.
• Konsep persamaan persamaan, persamaan-konsekuensi (konsep akar asing), transisi bukan akibat (kasus hilangnya akar).
• Konsep keseluruhan ekspresi rasional dengan satu variabel.
• Konsep persamaan rasional utuh N gelar ke-th. Bentuk standar persamaan rasional utuh. Mengurangi seluruh persamaan rasional.
• Transisi ke satu set persamaan lebih lanjut derajat rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
• Konsep polinomial N gelar dari X. teorema Bezout. Akibat wajar dari teorema Bezout. Teorema akar ( Z-akar dan Q-akar) dari seluruh persamaan rasional dengan koefisien bilangan bulat (masing-masing tereduksi dan tidak tereduksi).
• Skema Horner.

3. Mempelajari topik baru.

Kami akan mempertimbangkan seluruh persamaan rasional N-pangkatan bentuk standar dengan satu variabel yang tidak diketahui x:Pn(x)= 0, dimana P n (x) = an x ​​n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinomial N gelar dari X, A n ≠ 0. Jika A n = 1 maka persamaan tersebut disebut bilangan bulat tereduksi persamaan rasional N gelar ke-th. Mari kita pertimbangkan persamaan tersebut untuk arti yang berbeda N dan buat daftar metode utama untuk menyelesaikannya.

N= 1 – persamaan linier.

N= 2 – persamaan kuadrat. Rumus diskriminan. Rumus untuk menghitung akar. teorema Vieta. Memilih persegi lengkap.

N= 3 – persamaan kubik.

Metode pengelompokan.

Contoh: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Bentuk persamaan kubik timbal balik kapak 3 + bx 2 + bx + A= 0. Kita menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku yang mempunyai koefisien yang sama.

Contoh: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Pemilihan akar Z berdasarkan teorema. Skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian menyeluruh pada kasus ini terbatas, dan kita memilih akar-akarnya menggunakan algoritma tertentu sesuai dengan teorema tentang Z-akar dari seluruh persamaan rasional yang diberikan dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Persamaannya diberikan. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas ( + 1; + 3; + 5; + 15). Mari kita terapkan skema Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	kesimpulan
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – akar
	X 2	X 1	X 0

Kita mendapatkan ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Q berdasarkan teorema. Skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian dalam hal ini terbatas dan kita memilih akar-akarnya menggunakan algoritma tertentu sesuai dengan teorema tentang Q-akar persamaan rasional bilangan bulat tak tereduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Persamaannya tidak tereduksi. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas ( + 1; + 3). Mari kita tuliskan pembagi koefisien pada pangkat tertinggi dari bilangan yang tidak diketahui. ( + 1; + 3; + 9) Oleh karena itu, kita akan mencari akar di antara nilai-nilai tersebut ( + 1; + ; + ; + 3). Mari kita terapkan skema Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	kesimpulan
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – bukan akar
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – bukan akar
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	akar
	X 2	X 1	X 0

Kita mendapatkan ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Untuk kemudahan perhitungan saat memilih Q -akar Akan lebih mudah untuk membuat perubahan variabel, buka persamaan yang diberikan dan pilih Z -akar.

• Jika suku tiruannya adalah 1

.

• Kalau bisa gunakan pengganti formulir kamu = kx

.

Rumus Cardano. Ada metode universal solusi persamaan kubik adalah rumus Cardano. Rumus ini dikaitkan dengan nama matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), dan Scipione del Ferro (1465–1526). Rumus ini berada di luar cakupan kursus kami.

N= 4 – persamaan derajat keempat.

Metode pengelompokan.

Contoh: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metode penggantian variabel.

• Bentuk persamaan biquadratik kapak 4 + bx 2+ detik = 0 .

Contoh: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Penggantian kamu = X 2. Dari sini kamu 1 = 4, kamu 2 = -9. Itu sebabnya X 1,2 = + 2 .

• Persamaan timbal balik bentuk derajat keempat kapak 4 + bx 3+c X 2 + bx + A = 0.

Kita menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku dengan koefisien yang sama dengan mengganti bentuknya

• kapak 4 + bx 3 + cx 2 – bx + A = 0.

• Persamaan berulang yang digeneralisasikan dari bentuk derajat keempat kapak 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 sebuah = 0.

• Penggantian pandangan umum. Beberapa pengganti standar.

Contoh 3 . Penggantian tampilan umum(mengikuti dari jenis persamaan tertentu).

N = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Q N = 3.

Rumus umum. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat. Rumus ini dikaitkan dengan nama Ludovico Ferrari (1522–1565). Rumus ini berada di luar cakupan kursus kami.

N > 5 – persamaan derajat kelima dan lebih tinggi.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Z berdasarkan teorema. Skema Horner. Algoritmanya mirip dengan yang dibahas di atas N = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Q berdasarkan teorema. Skema Horner. Algoritmanya mirip dengan yang dibahas di atas N = 3.

Persamaan simetris. Setiap persamaan timbal balik yang berderajat ganjil mempunyai akar X= -1 dan setelah memfaktorkannya menjadi faktor kita menemukan bahwa salah satu faktornya berbentuk ( X+ 1), dan faktor kedua adalah persamaan timbal balik yang derajatnya genap (derajatnya lebih kecil satu dari derajat persamaan aslinya). Persamaan timbal balik apa pun yang berderajat genap beserta akar bentuknya x = φ juga mengandung akar spesies. Dengan menggunakan pernyataan-pernyataan ini, kita memecahkan masalah dengan menurunkan derajat persamaan yang diteliti.

Metode penggantian variabel. Penggunaan homogenitas.

Tidak ada rumus umum untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat kelima (hal ini ditunjukkan oleh matematikawan Italia Paolo Ruffini (1765–1822) dan matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel (1802–1829)) dan derajat yang lebih tinggi (hal ini ditunjukkan oleh Matematikawan Perancis Evariste Galois (1811–1832) )).

• Mari kita ingat sekali lagi bahwa dalam praktiknya hal itu mungkin untuk digunakan kombinasi metode yang tercantum di atas. Lebih mudah untuk meneruskan ke himpunan persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
• Di luar cakupan diskusi kita saat ini adalah hal-hal yang banyak digunakan dalam praktik. metode grafis menyelesaikan persamaan dan metode solusi perkiraan persamaan derajat yang lebih tinggi.
• Ada situasi ketika persamaan tidak memiliki akar-R.
Kemudian penyelesaiannya menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar. Untuk membuktikannya, kami menganalisis perilaku fungsi-fungsi yang dipertimbangkan pada interval monotonisitas. Contoh: persamaan X 8 – X 3 + 1 = 0 tidak mempunyai akar.
• Menggunakan sifat monotonisitas fungsi
. Ada situasi ketika penggunaan berbagai properti fungsi memungkinkan Anda menyederhanakan tugas.
Contoh 1: Persamaan X 5 + 3X– 4 = 0 mempunyai satu akar X= 1. Karena sifat monotonisitas fungsi yang dianalisis, tidak ada akar lain.
Contoh 2: Persamaan X 4 + (X– 1) 4 = 97 mempunyai akar X 1 = -2 dan X 2 = 3. Setelah menganalisis perilaku fungsi-fungsi yang bersesuaian pada interval monotonisitas, kami menyimpulkan bahwa tidak ada akar lain.

4. Menyimpulkan.

Ringkasan: Sekarang kita telah menguasai metode dasar untuk menyelesaikan berbagai persamaan derajat yang lebih tinggi (untuk n > 3). Tugas kita adalah mempelajari cara menggunakan algoritma yang tercantum di atas secara efektif. Bergantung pada jenis persamaannya, kita harus belajar menentukan metode penyelesaian mana yang paling efektif dalam kasus tertentu, serta menerapkan metode yang dipilih dengan benar.

5. Pekerjaan rumah.

: paragraf 7, hlm. 164–174, no.33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Kemungkinan topik untuk laporan atau abstrak tentang topik ini:

• Rumus Cardano
• Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan. Contoh solusi.
• Metode untuk perkiraan solusi persamaan.

Analisis pembelajaran siswa dan minat terhadap topik:

Pengalaman menunjukkan bahwa minat siswa terutama timbul oleh kemungkinan memilih Z-akar dan Q-akar persamaan menggunakan algoritma yang cukup sederhana menggunakan skema Horner. Siswa juga tertarik pada berbagai tipe standar substitusi variabel, yang secara signifikan dapat menyederhanakan jenis soal. Metode solusi grafis biasanya menjadi perhatian khusus. Dalam hal ini, Anda juga dapat menguraikan masalahnya menjadi metode grafis menyelesaikan persamaan; membahas bentuk umum grafik polinomial berderajat 3, 4, 5; menganalisis bagaimana hubungan jumlah akar persamaan 3, 4, 5 derajat dengan kemunculan grafik yang bersangkutan. Di bawah ini adalah daftar buku di mana Anda dapat menemukan informasi tambahan mengenai topik ini.

Bibliografi:

1. Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. “Aljabar. Buku teks untuk siswa kelas 9 dengan pembelajaran matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 hal.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Di balik halaman buku teks matematika. Hitung. Aljabar. kelas 10-11” – M., Pendidikan, 2008 – 192 hal.
3. Vygodsky M.Ya.“Buku Pegangan Matematika” – M., AST, 2010 – 1055 hal.
4. Galitsky M.L.“Kumpulan soal aljabar. Buku teks untuk kelas 8-9 dengan pembelajaran matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 hal.
5. Zvavich L.I. dan lain-lain “Aljabar dan permulaan analisis. kelas 8–11 Sebuah manual untuk sekolah dan kelas dengan studi matematika tingkat lanjut” - M., Drofa, 1999 - 352 hal.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“Tugas matematika untuk persiapan ujian tertulis di kelas 9” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 hal.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Tes Mata Pelajaran untuk sistematisasi pengetahuan dalam matematika” bagian 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 hal.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tes tematik untuk mensistematisasikan pengetahuan dalam matematika” bagian 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 hal.
9. Ivanov A.P.“Tes dan kertas ujian matematika. tutorial". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 hal.
10. Leibson K.L."Koleksi tugas-tugas praktis matematika. Bagian 2–9 kelas” – M., MTSNM, 2009 – 184 hal.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Aljabar. Bab tambahan untuk buku teks sekolah kelas 9. Buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam.” – M., Pendidikan, 2006 – 224 hal.
12. Mordkovich A.G."Aljabar. Studi mendalam. kelas 8. Buku Teks” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 hal.
13. Savin A.P. “kamus ensiklopedis matematikawan muda” – M., Pedagogi, 1985 – 352 hal.
14. Survillo G.S., Simonov A.S. “Materi didaktik dalam aljabar untuk kelas 9 dengan studi matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 hal.
15. Chulkov P.V.“Persamaan dan ketidaksetaraan di kursus sekolah ahli matematika. Kuliah 1–4” – M., 1 September 2006 – 88 hal.
16. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata pelajaran matematika sekolah. Kuliah 5–8” – M., 1 September 2009 – 84 hal.

Mari kita pertimbangkan menyelesaikan persamaan dengan satu derajat variabel lebih tinggi dari yang kedua.

Derajat persamaan P(x) = 0 adalah derajat polinomial P(x), yaitu pangkat terbesar dari suku-sukunya dengan koefisien tidak sama dengan nol.

Jadi misalnya persamaan (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 mempunyai derajat kelima, karena setelah operasi membuka tanda kurung dan membawa yang serupa, kita dapatkan persamaan setara x 5 – 2x 3 + 3 = 0 pangkat kelima.

Mari kita mengingat kembali aturan-aturan yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari dua.

Pernyataan tentang akar-akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial gelar ke-n memiliki jumlah akar tidak melebihi n, dan akar multiplisitas m muncul tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil mempunyai paling sedikit satu akar real.

3. Jika α adalah akar dari P(x), maka P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), dimana Q n – 1 (x) adalah polinomial berderajat (n – 1) .

4.

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak boleh memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: dapat didekomposisi menjadi produk tiga binomial

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), atau didekomposisi menjadi hasil kali binomial dan trinomial persegi Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. Polinomial derajat keempat apa pun dapat diekspansi menjadi hasil kali dua trinomial persegi.

8. Suatu polinomial f(x) habis dibagi oleh suatu polinomial g(x) tanpa sisa jika terdapat polinomial q(x) sehingga f(x) = g(x) · q(x). Untuk membagi polinomial, digunakan aturan “pembagian sudut”.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi binomial (x – c), bilangan c harus menjadi akar dari P(x) (akibat dari teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar real dari polinomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Contoh Penyelesaian

Contoh 1.

Hitunglah sisa pembagian P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 dengan (x – 1/3).

Larutan.

Akibat wajar dari teorema Bezout: “Sisa pembagian polinomial dengan binomial (x – c) sama dengan nilainya polinomial dalam c". Mari kita cari P(1/3) = 0. Jadi, sisanya adalah 0 dan bilangan 1/3 adalah akar polinomialnya.

Jawaban: R = 0.

Contoh 2.

Bagilah dengan “sudut” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 dengan (x + 2). Temukan sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Larutan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

x 2 – 2 x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 – x.

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Cara memasukkan variabel baru sudah familiar dari contoh dua persamaan kuadrat. Terdiri dari kenyataan bahwa untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0, variabel baru (substitusi) t = x n atau t = g(x) dimasukkan dan f(x) dinyatakan melalui t, memperoleh persamaan baru r (T). Kemudian menyelesaikan persamaan r(t), akar-akarnya ditemukan:

(t 1, t 2, …, t n). Setelah ini, diperoleh himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, yang darinya diperoleh akar-akar persamaan aslinya.

Contoh 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Larutan:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substitusi (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substitusi terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 atau x 2 + x = 0;

Jawaban: Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, dari persamaan kedua: 0 dan -1.

2. Faktorisasi dengan mengelompokkan dan menyingkat rumus perkalian

Dasarnya metode ini juga bukan hal baru dan terdiri dari pengelompokan istilah-istilah sedemikian rupa sehingga memuat setiap kelompok pengganda umum. Untuk melakukan ini, terkadang perlu menggunakan beberapa teknik buatan.

Contoh 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Larutan.

Bayangkan - 3x 2 = -2x 2 – x 2 dan kelompokkan:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 atau x 2 + x – 3 = 0.

Jawab: Persamaan pertama tidak mempunyai akar, dari persamaan kedua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Inti dari metode ini adalah polinomial asli difaktorkan dengan koefisien yang tidak diketahui. Menggunakan sifat polinomial yang sama jika koefisiennya sama derajat yang sama, temukan koefisien muai yang tidak diketahui.

Contoh 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Larutan.

Polinomial berderajat 3 dapat diekspansi menjadi hasil kali faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – kapak 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Setelah memecahkan sistem:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(sebuah = -1,
(b = 3,
(c = 2, yaitu

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Akar-akar persamaan (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Cara pemilihan akar menggunakan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar utuh suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi suku bebasnya.

2) Untuk pecahan yang tidak dapat direduksi p/q (p adalah bilangan bulat, q adalah bilangan asli) adalah akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, bilangan p harus merupakan pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0, dan q adalah pembagi alami dari koefisien terdepan.

Contoh 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Larutan:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Oleh karena itu, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya – 2, kita akan mencari akar lainnya menggunakan pembagian sudut, metode koefisien tak tentu, atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Cara menyelesaikan persamaan: n n n Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x) Faktorisasi. Pengenalan variabel baru. Fungsional - metode grafis. Pemilihan akar. Penerapan rumus Vieta.

Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x). Metode ini hanya dapat diterapkan jika y = h(x) – fungsi monoton, yang mengambil setiap nilai satu kali. Jika fungsinya non-monotonik, maka kemungkinan hilangnya akar.

Selesaikan persamaan (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ merupakan fungsi naik, maka dari persamaan (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ kamu dapat melanjutkan ke persamaan 3 x + 2 = 5 x – 9, dari situ kita mencari x = 5, 5. Jawaban: 5, 5.

Faktorisasi. Persamaan f(x)g(x)h(x) = 0 dapat digantikan dengan himpunan persamaan f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Setelah menyelesaikan persamaan himpunan ini, Anda perlu mengambil akar-akar yang termasuk dalam domain definisi persamaan asli, dan membuang sisanya sebagai asing.

Selesaikan persamaan x³ – 7 x + 6 = 0 Mewakili suku 7 x dalam bentuk x + 6 x, kita peroleh secara berurutan: x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1 ) = 0 x (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Sekarang masalahnya direduksi menjadi penyelesaian himpunan persamaan x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. Jawaban: 1, 2, – 3.

Pengenalan variabel baru. Jika persamaan y(x) = 0 dapat diubah ke bentuk p(g(x)) = 0, maka Anda perlu memasukkan variabel baru u = g(x), selesaikan persamaan p(u) = 0, lalu selesaikan himpunan persamaan g( x) = kamu 1; g(x) = kamu 2; ... ; g(x) = un, dimana u 1, u 2, …, un adalah akar-akar persamaan p(u) = 0.

Menyelesaikan persamaan Ciri khusus persamaan ini adalah persamaan koefisien ruas kirinya, yang berjarak sama dari ujung-ujungnya. Persamaan seperti ini disebut timbal balik. Karena 0 bukan akar dari persamaan ini, maka kita membaginya dengan x²

Mari kita perkenalkan variabel baru. Kemudian kita mendapatkan persamaan kuadrat. Jadi akar y 1 = – 1 dapat diabaikan. Kami mendapatkan Jawabannya: 2, 0, 5.

Selesaikan persamaan 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 Persamaan ini dapat diselesaikan sebagai persamaan homogen. Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan (x² – 7 x +12)² (jelas bahwa nilai x sedemikian rupa sehingga x² – 7 x +12=0 bukan penyelesaian). Sekarang kami menunjukkan Jawaban Kami Dari Sini:

Fungsional - metode grafis. Jika salah satu fungsi y = f(x), y = g(x) bertambah, dan fungsi lainnya berkurang, maka persamaan f(x) = g(x) tidak mempunyai akar atau mempunyai satu akar.

Menyelesaikan persamaan Jelas sekali bahwa x = 2 adalah akar persamaan. Mari kita buktikan bahwa ini adalah satu-satunya root. Mari kita ubah persamaannya menjadi bentuk. Kita perhatikan bahwa fungsinya bertambah, dan fungsinya berkurang. Artinya persamaan tersebut hanya mempunyai satu akar. Jawaban: 2.

Pemilihan akar n n n Teorema 1: Jika bilangan bulat m adalah akar suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat, maka suku bebas polinomial tersebut habis dibagi m. Teorema 2: Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak memiliki akar pecahan. Teorema 3: – persamaan dengan koefisien Let bilangan bulat. Jika suatu bilangan dan pecahan yang p dan q adalah bilangan bulat tak tersederhanakan adalah akar suatu persamaan, maka p adalah pembagi suku bebas an, dan q adalah pembagi koefisien suku utama a 0.

teorema Bezout. Sisa pembagian suatu polinomial dengan binomial (x – a) sama dengan nilai polinomial yang dibagi pada x = a. Akibat wajar dari teorema Bezout n n n n Selisih pangkat identik dua bilangan dibagi tanpa sisa dengan selisih bilangan yang sama; Selisih antara pangkat genap yang identik dari dua bilangan dibagi tanpa sisa dengan selisih bilangan-bilangan tersebut dan jumlah keduanya; Selisih antara pangkat ganjil yang identik dari dua bilangan tidak habis dibagi dengan jumlah bilangan tersebut; Jumlah persamaan pangkat dua bilangan bukan bilangan dibagi dengan selisih bilangan-bilangan tersebut; Jumlah pangkat ganjil yang identik dari dua bilangan dibagi tanpa sisa dengan jumlah bilangan tersebut; Jumlah pangkat genap yang identik dari dua bilangan tidak habis dibagi dengan selisih bilangan-bilangan tersebut atau dengan jumlah keduanya; Suatu polinomial habis dibagi binomial (x – a) jika dan hanya jika bilangan a adalah akar dari polinomial tersebut; Nomor akar yang berbeda polinomial bukan nol tidak lebih dari derajatnya.

Selesaikan persamaan x³ – 5 x² – x + 21 = 0 Polinomial x³ – 5 x² – x + 21 mempunyai koefisien bilangan bulat. Berdasarkan Teorema 1, akar bilangan bulatnya, jika ada, termasuk di antara pembagi suku bebas: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Dengan memeriksa kita yakin bahwa bilangan 3 adalah akar. Akibat wajar dari teorema Bezout, polinomial tersebut habis dibagi (x – 3). Jadi, x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2 x – 7). Menjawab:

Selesaikan persamaan 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 Menurut Teorema 1, hanya bilangan ± 1 yang dapat menjadi akar bilangan bulat dari persamaan tersebut. Karena persamaan tersebut tidak tereduksi, maka persamaan tersebut dapat mempunyai akar-akar rasional pecahan. Ayo temukan mereka. Caranya, kalikan kedua ruas persamaan dengan 4: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0 Substitusikan 2 x = t, kita peroleh t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0. Berdasarkan Teorema 2, semua akar rasional persamaan yang diberikan ini harus utuh. Mereka dapat ditemukan di antara pembagi suku bebas: ± 1, ± 2, ± 4. Dalam hal ini, t = – 1 sesuai. Oleh karena itu, akibat wajar dari teorema Bezout, polinomial 2 x³ – 5 x² – x + 1 habis dibagi (x + 0, 5 ): 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0. 5)(2 x² – 6 x + 2) Menyelesaikan persamaan kuadrat 2 x² – 6 x + 2 = 0, kita cari akar-akar yang tersisa: Jawaban:

Selesaikan persamaan 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 Menurut Teorema 3, akar rasional persamaan ini harus dicari di antara bilangan-bilangan tersebut. Dengan mensubstitusikannya satu per satu ke dalam persamaan, kita menemukan bahwa akar-akar tersebut memenuhi persamaan tersebut. Mereka menghabiskan semua akar persamaan. Menjawab:

Mencari jumlah akar kuadrat persamaan x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 Berdasarkan teorema Vieta Perhatikan bahwa di mana

Tunjukkan bagaimana masing-masing persamaan ini dapat diselesaikan. Selesaikan persamaan no.1, 4, 15, 17.

Jawaban dan arahan : 1. Pengenalan variabel baru. 2. Fungsional - metode grafis. 3. Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x). 4. Faktorisasi. 5. Pemilihan akar. 6 Fungsional - metode grafis. 7. Penerapan rumus Vieta. 8. Pemilihan akar. 9. Mengganti persamaan h(f(x)) = h(g(x)) dengan persamaan f(x) = g(x). 10. Pengenalan variabel baru. 11. Faktorisasi. 12. Pengenalan variabel baru. 13. Pemilihan akar. 14. Penerapan rumus Vieta. 15. Fungsional - metode grafis. 16. Faktorisasi. 17. Pengenalan variabel baru. 18. Faktorisasi.

1. Instruksi. Tulis persamaannya sebagai 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Bagi kedua ruas dengan x². Masukkan variabel Jawaban: x 1 = – 8; x 2 = – 7.5. Tambahkan 6 y dan – 6 y ke ruas kiri persamaan dan tuliskan sebagai (y³ – 2 y²) + (– 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2)(y² – 3 tahun - 8). Menjawab:

14. Instruksi. Menurut teorema Vieta, karena bilangan bulat, akar persamaannya hanya dapat berupa bilangan – 1, – 2, – 3. Jawaban: 15. Jawaban: – 1. 17. Instruksi. Bagilah kedua ruas persamaan dengan x² dan tuliskan sebagai Masukkan variabel Jawaban: 1; 15; 2; 3.

Bibliografi. n n n Kolmogorov A. N. “Aljabar dan permulaan analisis, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 2003). Bashmakov M. I. “Aljabar dan permulaan analisis, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 1993). Mordkovich A. G. “Aljabar dan prinsip analisis, 10 – 11” (M.: Mnemosyna, 2003). Alimov Sh., Kolyagin Yu. M. dkk. “Aljabar dan permulaan analisis, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. “Kumpulan masalah dalam aljabar, 8 – 9” (M.: Prosveshchenie, 1997). Karp A. P. “Kumpulan masalah aljabar dan prinsip analisis, 10 – 11” (M.: Prosveshchenie, 1999). Sharygin I. F. “Kursus pilihan matematika, pemecahan masalah, 10” (M.: Education. 1989). Skopets Z. A. “Bab tambahan tentang mata kuliah matematika, 10” (M.: Prosveshchenie, 1974). Litinsky G.I. “Pelajaran Matematika” (Moskow: Aslan, 1994). Muravin G.K. “Persamaan, pertidaksamaan dan sistemnya” (Matematika, suplemen untuk surat kabar “Pertama September”, No. 2, 3, 2003). Kolyagin Yu.M. “Polinomial dan persamaan derajat yang lebih tinggi” (Matematika, suplemen untuk surat kabar “1 September”, No. 3, 2005).

Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap pekerjaan tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF

Perkenalan

Menyelesaikan persamaan aljabar derajat yang lebih tinggi dengan satu hal yang tidak diketahui adalah salah satu yang paling sulit dan kuno masalah matematika. Ahli matematika paling terkemuka di zaman kuno menangani masalah ini.

Penyelesaian persamaan derajat ke-n adalah tugas penting dan untuk matematika modern. Peminatnya cukup besar, karena persamaan-persamaan tersebut erat kaitannya dengan pencarian akar-akar persamaan yang tidak tercakup dalam kurikulum matematika sekolah.

Masalah: Kurangnya keterampilan siswa dalam menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan berbagai cara menghalangi mereka untuk berhasil mempersiapkan diri sertifikasi akhir dalam matematika dan Olimpiade Matematika, pelatihan di kelas matematika khusus.

Fakta-fakta yang tercantum ditentukan relevansi pekerjaan kami "Memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi".

Pengetahuan tentang metode paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-n mengurangi waktu untuk menyelesaikan suatu tugas, yang menjadi sandaran hasil pekerjaan dan kualitas proses pembelajaran.

Tujuan pekerjaan: mempelajari metode yang diketahui memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi dan mengidentifikasi persamaan yang paling mudah diakses aplikasi praktis.

Berdasarkan tujuannya, pekerjaan didefinisikan sebagai berikut: tugas:

Pelajari literatur dan sumber daya Internet tentang topik ini;

Kenali fakta sejarah terkait topik ini;

Jelaskan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi

membandingkan tingkat kerumitan masing-masing;

Perkenalkan teman sekelas pada cara menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi;

Buatlah pilihan persamaan untuk penerapan praktis dari masing-masing metode yang dipertimbangkan.

Objek studi- persamaan derajat yang lebih tinggi dengan satu variabel.

Subyek studi- metode untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi.

Hipotesa: metode umum dan algoritma tunggal memungkinkan untuk nomor akhir Tidak ada langkah-langkah untuk mencari solusi persamaan derajat ke-n.

Metode penelitian:

- metode bibliografi (analisis literatur tentang topik penelitian);

- metode klasifikasi;

- metode analisis kualitatif.

Signifikansi teoritis penelitian terdiri dari mensistematisasikan metode untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dan menjelaskan algoritmanya.

Signifikansi praktis- menyajikan materi tentang topik dan perkembangan ini alat bantu mengajar untuk siswa tentang topik ini.

1. PERSAMAAN DERAJAT YANG LEBIH TINGGI

1.1 Konsep persamaan derajat ke-n

Definisi 1. Persamaan derajat ke-n merupakan persamaan bentuk

A 0 xⁿ+a 1 X N -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a N -1 x+a n = 0, dimana koefisien A 0, A 1, A 2…, A N -1, A n- apa saja bilangan real, Dan ,A 0 ≠ 0 .

Polinomial A 0 xⁿ+a 1 X N -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a N -1 x+a n disebut polinomial derajat ke-n. Koefisien dibedakan berdasarkan nama: A 0 - koefisien senior; A n adalah anggota gratis.

Definisi 2. Solusi atau akar persamaan tertentu adalah semua nilai variabel X, yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya atau, yang polinomialnya A 0 xⁿ+a 1 X N -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a N -1 x+a n menjadi nol. Nilai variabel ini X disebut juga akar polinomial. Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya atau memastikan bahwa tidak ada satu pun akarnya.

Jika A 0 = 1, maka persamaan tersebut disebut persamaan rasional bilangan bulat tereduksi n th derajat.

Untuk persamaan derajat ketiga dan keempat, terdapat rumus Cardano dan Ferrari yang menyatakan akar persamaan tersebut melalui radikal. Ternyata dalam prakteknya jarang digunakan. Jadi, jika n ≥ 3, dan koefisien polinomialnya adalah bilangan real sembarang, maka mencari akar-akar persamaannya bukanlah tugas yang mudah. Namun, dalam banyak kasus khusus masalah ini terpecahkan sepenuhnya. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

1.2 Fakta sejarah menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi

Di zaman kuno, orang menyadari betapa pentingnya belajar menyelesaikan persamaan aljabar. Sekitar 4000 tahun yang lalu, ilmuwan Babilonia mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadrat dan menyelesaikan sistem dua persamaan, salah satunya adalah derajat kedua. Dengan bantuan persamaan derajat yang lebih tinggi, berbagai masalah survei tanah, arsitektur dan urusan militer diselesaikan; banyak dan beragam pertanyaan tentang praktik dan ilmu pengetahuan alam direduksi menjadi masalah tersebut, karena bahasa matematika yang tepat memungkinkan seseorang untuk dengan mudah mengungkapkan fakta dan hubungan yang, jika dinyatakan dalam bahasa biasa, mungkin tampak membingungkan dan rumit.

Rumus universal untuk mencari akar persamaan aljabar ke-n tidak ada gelar. Tentu saja, banyak yang memiliki ide menggiurkan untuk menemukan, untuk derajat n apa pun, rumus yang dapat menyatakan akar-akar persamaan melalui koefisiennya, yaitu menyelesaikan persamaan dalam bentuk radikal.

Baru pada abad ke-16 ahli matematika Italia berhasil maju lebih jauh - menemukan rumus untuk n= 3 dan n= 4. Pada saat yang sama, pertanyaan tentang keputusan umum persamaan derajat 3 dipelajari oleh Scipio, Dal, Ferro dan murid-muridnya Fiori dan Tartaglia.

Pada tahun 1545, buku matematikawan Italia D. Cardano “The Great Art, or on the Rules of Algebra” diterbitkan, di mana, bersama dengan pertanyaan aljabar lainnya, metode umum solusi persamaan kubik, serta metode penyelesaian persamaan derajat 4 yang ditemukan oleh muridnya L. Ferrari.

Pemaparan lengkap permasalahan terkait penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4 disampaikan oleh F. Viet.

Pada tahun 20-an abad ke-19, ahli matematika Norwegia N. Abel membuktikan bahwa akar persamaan derajat kelima tidak dapat dinyatakan dalam radikal.

Penelitian mengungkapkan hal itu ilmu pengetahuan modern Ada banyak cara untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-n.

Hasil pencarian metode penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi yang tidak dapat diselesaikan dengan metode yang dibahas pada kurikulum sekolah, metode berdasarkan penerapan teorema Vieta (untuk persamaan derajat n>2), teorema Bezout, skema Horner, serta rumus Cardano dan Ferrari untuk menyelesaikan persamaan kubik dan kuartik.

Karya ini menyajikan metode penyelesaian persamaan dan jenisnya, yang menjadi penemuan bagi kami. Ini termasuk metode koefisien tak tentu, seleksi gelar penuh, persamaan simetris.

2. SOLUSI SELURUH PERSAMAAN DERAJAT TINGGI DENGAN KOEFISIEN INTEGER

2.1 Menyelesaikan persamaan derajat 3. Rumus D. Cardano

Pertimbangkan persamaan bentuk X 3 +px+q=0. Mari kita ubah persamaan umum menjadi bentuk: X 3 + piksel 2 +qx+r=0. Mari kita tuliskan rumus pangkat tiga dari jumlah tersebut; Mari tambahkan ke persamaan asli dan ganti dengan kamu. Kami mendapatkan persamaan: kamu 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Setelah transformasi, kami memiliki: kamu 2 +py + q=0. Sekarang, mari kita tuliskan kembali rumus jumlah kubus:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = sebuah 3 +b 3 + 3ab (a + b), mengganti ( a+b)pada X, kita mendapatkan persamaannya X 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Sekarang kita dapat melihat bahwa persamaan awal ekuivalen dengan sistem: dan Dengan menyelesaikan sistem tersebut, kita memperoleh:

Kita telah memperoleh rumus untuk menyelesaikan persamaan derajat 3 di atas. Itu menyandang nama matematikawan Italia Cardano.

Mari kita lihat sebuah contoh. Selesaikan persamaan: .

Kita punya R= 15 dan Q= 124, lalu menggunakan rumus Cardano kita menghitung akar persamaannya

Kesimpulan: rumus ini bagus, tapi tidak cocok untuk menyelesaikan semua persamaan kubik. Pada saat yang sama, ini rumit. Oleh karena itu, dalam prakteknya jarang digunakan.

Namun siapa pun yang menguasai rumus ini dapat menggunakannya saat menyelesaikan persamaan derajat ketiga pada Ujian Negara Terpadu.

2.2 Teorema Vieta

Dari kursus matematika kita tahu teorema ini untuk persamaan kuadrat, tetapi hanya sedikit orang yang mengetahui bahwa persamaan tersebut juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi.

Perhatikan persamaannya:

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan membaginya dengan ≠ 0.

Mari kita ubah ruas kanan persamaan menjadi bentuk

; Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaan berikut ke dalam sistem:

Rumus yang diturunkan oleh Viète untuk persamaan kuadrat dan yang kami tunjukkan untuk persamaan derajat ke-3 juga berlaku untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.

Mari selesaikan persamaan kubik:

Kesimpulan: metode ini universal dan cukup mudah dipahami oleh siswa, karena teorema Vieta sudah familiar bagi mereka dari kurikulum sekolah untuk n = 2. Pada saat yang sama, untuk mencari akar persamaan menggunakan teorema ini, Anda harus memiliki kemampuan komputasi yang baik.

2.3 Teorema Bezout

Teorema ini dinamai menurut namanya Matematikawan Perancis abad XVIII J.Bezu.

Dalil. Jika persamaannya A 0 xⁿ+a 1 X N -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a N -1 x+a n = 0, yang semua koefisiennya adalah bilangan bulat, dan suku bebasnya bukan nol serta mempunyai akar bilangan bulat, maka akar tersebut merupakan pembagi suku bebas tersebut.

Mengingat itu di sisi kiri persamaan polinomial ke-n derajat, maka teorema tersebut memiliki interpretasi lain.

Dalil. Saat membagi polinomial derajat ke-n terhadap X dengan binomial xa sisanya sama dengan nilai dividen pada saat x = sebuah. (surat A bisa berarti nyata atau nomor imajiner, yaitu setiap bilangan kompleks) .

Bukti: membiarkan f(x) menunjukkan polinomial sembarang dengan derajat ke-n terhadap variabel x dan misalkan, jika dibagi dengan binomial ( xa) ternyata secara pribadi q(x), dan sisanya R. Jelas sekali q(x) akan ada beberapa polinomial (n - 1) derajat relatif terhadap X, dan sisanya R akan menjadi nilai konstan, mis. independen dari X.

Jika sisanya R adalah polinomial derajat pertama terhadap x, maka pembagiannya gagal. Jadi, R dari X tidak bergantung. Berdasarkan definisi pembagian kita memperoleh identitas: f(x)=(xa) q(x)+R.

Persamaan tersebut berlaku untuk semua nilai x, yang berarti persamaan tersebut juga berlaku untuk x=sebuah, kita mendapatkan: f(a)=(a-a) q(a)+R. Simbol f(a) menunjukkan nilai polinomial f (X) pada x=Sebuah, Q(Sebuah) singkatan dari nilai q(x) pada x=sebuah. Sisa R tetap sama seperti sebelumnya, karena R dari X tidak bergantung. Bekerja ( xa) q(a) = 0, karena faktor ( xa) = 0, dan pengganda q(a) Ada nomor tertentu. Oleh karena itu, dari persamaan tersebut kita peroleh: f(a)= R, dll.

Contoh 1. Temukan sisa polinomial X 3 - 3X 2 + 6X- 5 per binomial

X- 2. Berdasarkan teorema Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Menjawab: R= 3.

Perhatikan bahwa teorema Bezout penting bukan karena teorema itu sendiri melainkan karena konsekuensinya. (Lampiran 1)

Mari kita memikirkan beberapa teknik untuk menerapkan teorema Bezout pada solusinya masalah praktis. Perlu dicatat bahwa ketika menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Bezout, perlu:

Temukan semua pembagi bilangan bulat dari suku bebas;

Temukan setidaknya satu akar persamaan dari pembagi ini;

Bagilah ruas kiri persamaan tersebut dengan (Ha);

Tuliskan hasil kali pembagi dan hasil bagi di ruas kiri persamaan;

Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Penyelesaian: carilah pembagi suku bebas ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Mari kita hitung nilai pada x= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. Bagilah ruas kiri persamaan tersebut dengan ( X- 1). Mari kita lakukan pembagian menggunakan “sudut” dan dapatkan:

Kesimpulan: Teorema Bezout adalah salah satu metode yang kami pertimbangkan dalam pekerjaan kami, yang dipelajari dalam program ini kegiatan ekstrakulikuler. Sulit untuk dipahami, karena untuk menguasainya, Anda perlu mengetahui semua konsekuensi darinya, tetapi pada saat yang sama, teorema Bezout adalah salah satu asisten utama bagi siswa dalam Ujian Negara Bersatu.

2.4 Skema Horner

Untuk membagi polinomial dengan binomial x-α Anda dapat menggunakan teknik sederhana khusus yang ditemukan oleh matematikawan Inggris abad ke-17, yang kemudian disebut skema Horner. Selain mencari akar persamaan, dengan menggunakan skema Horner Anda dapat menghitung nilainya dengan lebih mudah. Untuk melakukan ini, Anda perlu mensubstitusikan nilai variabel ke dalam polinomial Pn (x)=sebuah 0 xn+a 1 X n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++a N -1 x+a N. (1)

Pertimbangkan untuk membagi polinomial (1) dengan binomial X-α.

Mari kita nyatakan koefisien hasil bagi tidak lengkap b 0 xⁿ - ¹+ B 1 xⁿ - ²+ B 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 dan sisanya R melalui koefisien polinomial Pn( X) dan nomor α. B 0 =a 0 , B 1 = α B 0 +a 1 , B 2 = α B 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a N -1 = α bn -1 +a N .

Perhitungan dengan menggunakan skema Horner disajikan pada tabel berikut:

	A 0	A 1	A 2 ,
	B 0 =a 0	B 1 = α B 0 +a 1	B 2 = α B 1 +a 2		r=α B n-1 +a N

Karena r=Pn(α), maka α adalah akar persamaan. Untuk memeriksa apakah α merupakan akar ganda, skema Horner dapat diterapkan pada hasil bagi b 0 x+ B 1 x+…+ bn -1 menurut tabel. Jika pada kolom di bawah bn -1 hasilnya 0 lagi yang berarti α adalah akar kelipatan.

Mari kita lihat contohnya: selesaikan persamaannya X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Mari kita terapkan ke sisi kiri persamaan faktorisasi polinomial di sisi kiri persamaan, skema Horner.

Solusi: temukan pembagi suku bebasnya ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Koefisien hasil bagi adalah angka 1, 5, 6, dan sisanya r = 0.

Cara, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Dari sini: X- 1 = 0 atau X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Menjawab: 1,- 2, - 3.

Kesimpulan: jadi, pada satu persamaan kami telah menunjukkan penggunaan dua persamaan dalam berbagai cara faktorisasi polinomial. Menurut kami, skema Horner adalah yang paling praktis dan ekonomis.

2.5 Menyelesaikan persamaan derajat 4. Metode Ferrari

Siswa Cardano, Ludovic Ferrari, menemukan cara untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat. Metode Ferrari terdiri dari dua tahap.

Tahap I: persamaan bentuk direpresentasikan sebagai hasil kali dua trinomial persegi; hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut berpangkat ke-3 dan memiliki setidaknya satu solusi.

Tahap II: persamaan yang dihasilkan diselesaikan dengan menggunakan faktorisasi, tetapi untuk mencari faktorisasi yang diperlukan, persamaan kubik harus diselesaikan.

Idenya adalah untuk merepresentasikan persamaan dalam bentuk A 2 =B 2, di mana A= X 2+dtk,

Fungsi B-linier dari X. Kemudian tinggal menyelesaikan persamaan A = ±B.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan persamaan: Mengisolasi derajat ke-4, kita mendapatkan: Untuk apapun D ekspresinya akan menjadi persegi sempurna. Tambahkan ke kedua sisi persamaan yang kita dapatkan

Di sisi kiri ada kotak lengkap, Anda bisa mengambil D, sehingga ruas kanan (2) juga menjadi persegi utuh. Bayangkan kita telah mencapai hal ini. Maka persamaan kita terlihat seperti ini:

Mencari root tidak akan sulit nantinya. Untuk memilih yang benar D diskriminan ruas kanan (3) harus menjadi nol, yaitu

Jadi untuk menemukan D, kita perlu menyelesaikan persamaan derajat ke-3 ini. Ini persamaan bantu ditelepon obat anti radang.

Kami dengan mudah menemukan seluruh akar dari solven: d = 1

Substitusikan persamaan tersebut ke dalam (1) kita peroleh

Kesimpulan: metode Ferrari bersifat universal, namun rumit dan tidak praktis. Pada saat yang sama, jika algoritma penyelesaiannya jelas, maka persamaan derajat 4 dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini.

2.6 Metode koefisien tak tentu

Keberhasilan penyelesaian persamaan derajat ke-4 menggunakan metode Ferrari bergantung pada apakah kita menyelesaikan penyelesaian - persamaan derajat ke-3, yang, seperti kita ketahui, tidak selalu memungkinkan.

Inti dari metode koefisien tak tentu adalah jenis faktor yang menjadi penguraian suatu polinomial dapat ditebak, dan koefisien dari faktor-faktor ini (juga polinomial) ditentukan dengan mengalikan faktor-faktor tersebut dan menyamakan koefisien-koefisien tersebut dengan pangkat yang sama. variabel.

Contoh: selesaikan persamaan:

Anggaplah ruas kiri persamaan kita dapat diuraikan menjadi dua trinomial persegi dengan koefisien bilangan bulat sehingga persamaan yang identik benar

Jelasnya, koefisien di depannya harus sama dengan 1, dan suku bebasnya harus sama dengan satu + 1, yang lain - 1.

Koefisien yang dihadapi X. Mari kita nyatakan dengan A dan untuk menentukannya, kita mengalikan kedua trinomial di ruas kanan persamaan.

Hasilnya kita mendapatkan:

Menyamakan koefisien pada derajat yang sama X di kiri dan bagian yang tepat persamaan (1), kita memperoleh sistem untuk mencari dan

Setelah memecahkan sistem ini, kita akan memilikinya

Jadi persamaan kita ekuivalen dengan persamaan tersebut

Setelah menyelesaikannya, kita mendapatkan akar-akar berikut: .

Metode koefisien tak tentu didasarkan pada pernyataan berikut: setiap polinomial derajat keempat dalam persamaan dapat diuraikan menjadi produk dua polinomial derajat kedua; dua polinomial identik sama jika dan hanya jika koefisiennya sama untuk pangkat yang sama X.

2.7 Persamaan simetris

Definisi. Persamaan yang bentuknya disebut simetris jika koefisien pertama di sebelah kiri persamaan sama dengan koefisien pertama di sebelah kanan.

Kita melihat bahwa koefisien pertama di sebelah kiri sama dengan koefisien pertama di sebelah kanan.

Jika persamaan tersebut berderajat ganjil, maka persamaan tersebut mempunyai akar X= - 1. Selanjutnya kita bisa menurunkan derajat persamaan tersebut dengan membaginya dengan ( x+ 1). Ternyata ketika membagi persamaan simetris dengan ( x+ 1) diperoleh persamaan simetri derajat genap. Bukti simetri koefisien disajikan di bawah ini. (Lampiran 6) Tugas kita adalah mempelajari cara menyelesaikan persamaan simetri berderajat genap.

Misalnya: (1)

Mari kita selesaikan persamaan (1), bagi dengan X 2 (sampai derajat sedang) = 0.

Mari kita kelompokkan suku-suku dengan simetris

) + 3(X+ . Mari kita tunjukkan pada= X+ , mari kita kuadratkan kedua sisinya, maka = pada 2 Jadi, 2( pada 2 atau 2 pada 2 + 3 menyelesaikan persamaan, kita dapatkan pada = , pada= 3. Selanjutnya kita kembali ke penggantian X+ = dan X+ = 3. Kita peroleh persamaan dan Persamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, dan persamaan kedua mempunyai dua akar. Menjawab:.

Kesimpulan: tipe ini persamaan tidak sering ditemui, tetapi jika Anda menemukannya, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah dan sederhana tanpa harus melakukan perhitungan yang rumit.

2.8 Isolasi gelar penuh

Pertimbangkan persamaannya.

Ruas kiri adalah pangkat tiga dari jumlah (x+1), yaitu

Kami mengekstrak root ketiga dari kedua bagian: , lalu kami dapatkan

Dimana satu-satunya akarnya?

HASIL PENELITIAN

Berdasarkan hasil kerja, kami sampai pada kesimpulan sebagai berikut:

Berkat teori yang dipelajari, kami berkenalan berbagai metode menyelesaikan seluruh persamaan derajat yang lebih tinggi;

Rumus D. Cardano sulit digunakan dan kemungkinan besar terjadi kesalahan dalam perhitungan;

− Metode L. Ferrari memungkinkan seseorang untuk mereduksi solusi persamaan derajat keempat menjadi persamaan kubik;

− Teorema Bezout dapat digunakan baik untuk persamaan kubik maupun persamaan derajat keempat; lebih mudah dipahami dan visual bila diterapkan pada penyelesaian persamaan;

Skema Horner membantu mengurangi dan menyederhanakan perhitungan secara signifikan dalam menyelesaikan persamaan. Selain mencari akar-akarnya, dengan menggunakan skema Horner Anda dapat dengan lebih mudah menghitung nilai polinomial di ruas kiri persamaan;

Yang menarik adalah solusi persamaan menggunakan metode ini koefisien yang tidak pasti, menyelesaikan persamaan simetris.

Selama pekerjaan penelitian ditemukan bahwa siswa menjadi akrab dengan metode paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan tingkat tertinggi di kelas matematika pilihan, mulai dari kelas 9 atau 10, serta dalam kursus kunjungan khusus sekolah matematika. Fakta ini didirikan sebagai hasil survei terhadap guru matematika di MBOU “Sekolah Menengah No. 9” dan siswa menunjukkan peningkatan minat pada mata pelajaran “matematika”.

Metode yang paling populer untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi, yang ditemui ketika menyelesaikan olimpiade, masalah kompetitif dan sebagai hasil persiapan siswa untuk ujian, adalah metode yang didasarkan pada penerapan teorema Bezout, skema Horner dan pengenalan variabel baru.

Demonstrasi hasil penelitian, yaitu. metode penyelesaian persamaan yang tidak diajarkan dalam kurikulum matematika sekolah menarik minat teman-teman sekelas saya.

Kesimpulan

Setelah mempelajari pendidikan dan literatur ilmiah, Sumber daya internet di forum pendidikan remaja