Dll, adalah logis untuk mengenal persamaan jenis lain. Baris berikutnya adalah persamaan linear, sasaran pembelajarannya dimulai pada pelajaran aljabar di kelas 7.
Jelas pertama-tama Anda perlu menjelaskan apa itu persamaan linier, memberikan definisi persamaan linier, koefisiennya, menunjukkannya bentuk umum. Kemudian Anda dapat mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan linier bergantung pada nilai koefisiennya, dan bagaimana akar-akarnya ditemukan. Ini akan memungkinkan Anda untuk melanjutkan ke pemecahan contoh, dan dengan demikian mengkonsolidasikan teori yang dipelajari. Pada artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membahas secara rinci semua poin teoritis dan praktis yang berkaitan dengan persamaan linear dan solusinya.
Katakanlah segera bahwa di sini kita hanya akan mempertimbangkan persamaan linier dengan satu variabel, dan dalam artikel terpisah kita akan mempelajari prinsip-prinsip penyelesaiannya. persamaan linear dengan dua variabel.
Navigasi halaman.
Apa itu persamaan linier?
Definisi persamaan linier diberikan melalui cara penulisannya. Selain itu, dalam berbagai buku teks matematika dan aljabar, rumusan definisi persamaan linear memiliki beberapa perbedaan yang tidak mempengaruhi inti permasalahan.
Misalnya, dalam buku teks aljabar untuk kelas 7 karya Yu.N. Makarychev dkk, persamaan linier didefinisikan sebagai berikut:
Definisi.
Persamaan bentuk ax=b, dimana x adalah variabel, a dan b adalah suatu bilangan, disebut persamaan linier dengan satu variabel.
Mari kita berikan contoh persamaan linear yang memenuhi definisi yang disebutkan. Misalnya 5 x = 10 adalah persamaan linier dengan satu variabel x, di sini koefisien a adalah 5, dan bilangan b adalah 10. Contoh lain: −2.3·y=0 juga merupakan persamaan linier, tetapi dengan variabel y, dengan a=−2.3 dan b=0. Dan dalam persamaan linier x=−2 dan −x=3,33 a tidak ada secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan −1, sedangkan pada persamaan pertama b=−2, dan pada persamaan kedua - b=3,33.
Dan setahun sebelumnya, dalam buku teks matematika karya N. Ya. Vilenkin, persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui, selain persamaan bentuk ax = b, juga dianggap sebagai persamaan yang dapat diubah menjadi bentuk tersebut dengan mentransfer suku-suku. dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya dengan tanda yang berlawanan, dan juga menggunakan casting istilah serupa. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x = 2 x + 6, dst. juga linier.
Pada gilirannya, dalam buku teks aljabar untuk kelas 7 oleh A.G. Mordkovich diberikan definisi berikut:
Definisi.
Persamaan linier dengan satu variabel x adalah persamaan berbentuk a·x+b=0, dengan a dan b adalah beberapa bilangan yang disebut koefisien persamaan linier.
Misalnya persamaan linier jenis ini adalah 2 x−12=0, di sini koefisien a adalah 2, dan b sama dengan −12, dan 0,2 y+4,6=0 dengan koefisien a=0,2 dan b =4,6. Namun pada saat yang sama, ada contoh persamaan linier yang bentuknya bukan a·x+b=0, melainkan a·x=b, misalnya 3·x=12.
Mari kita, agar tidak terjadi kejanggalan di kemudian hari, dengan persamaan linier dengan satu variabel x dan koefisien a dan b kita akan memahami persamaan bentuk a x + b = 0. Jenis persamaan linier ini tampaknya yang paling dapat dibenarkan, karena persamaan linier memang demikian persamaan aljabar gelar pertama. Dan semua persamaan lain yang disebutkan di atas, serta persamaan yang digunakan transformasi yang setara direduksi menjadi bentuk ax+b=0, kita sebut persamaan yang direduksi menjadi persamaan linear. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 adalah persamaan linier, dan 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, dst. - Ini adalah persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear?
Sekarang saatnya mencari tahu bagaimana persamaan linier a·x+b=0 diselesaikan. Dengan kata lain, sekarang saatnya mencari tahu apakah persamaan linier mempunyai akar-akar, dan jika ya, berapa banyak akar-akarnya dan bagaimana cara mencarinya.
Keberadaan akar-akar persamaan linier bergantung pada nilai koefisien a dan b. Dalam hal ini, persamaan linier a x+b=0 memiliki
- satu-satunya akar untuk a≠0,
- tidak memiliki akar untuk a=0 dan b≠0,
- memiliki banyak akar yang tak terhingga untuk a=0 dan b=0, dalam hal ini bilangan apa pun merupakan akar persamaan linier.
Mari kita jelaskan bagaimana hasil ini diperoleh.
Kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan kita dapat berpindah dari persamaan awal ke persamaan ekuivalen, yaitu persamaan yang mempunyai akar-akar yang sama atau, seperti persamaan awal, tanpa akar. Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan transformasi setara berikut:
- memindahkan suatu suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya yang bertanda berlawanan,
- serta mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.
Jadi, dalam persamaan linier dengan satu variabel formulir a x+b=0 kita dapat memindahkan suku b dari ruas kiri ke sisi kanan dengan tanda sebaliknya. Dalam hal ini, persamaannya akan berbentuk a·x=−b.
Dan kemudian muncul pertanyaan untuk membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan a. Tetapi ada satu hal: bilangan a bisa sama dengan nol, dalam hal ini pembagian seperti itu tidak mungkin dilakukan. Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita asumsikan bahwa bilangan a bukan nol, dan kasusnya sama dengan nol Kami akan melihatnya secara terpisah nanti.
Jadi, bila a tidak sama dengan nol, maka kedua ruas persamaan a·x=−b bisa kita bagi dengan a, setelah itu akan diubah ke bentuk x=(−b):a, hasilnya bisa jadi ditulis menggunakan garis miring pecahan sebagai.
Jadi, untuk a≠0, persamaan linier a·x+b=0 ekuivalen dengan persamaan yang akarnya terlihat.
Mudah untuk menunjukkan bahwa akar ini unik, yaitu persamaan linier tidak memiliki akar lain. Hal ini memungkinkan Anda untuk melakukan metode sebaliknya.
Mari kita nyatakan akarnya sebagai x 1. Mari kita asumsikan bahwa ada akar persamaan linier lain, yang kita nyatakan sebagai x 2, dan x 2 ≠x 1, yang disebabkan oleh definisi angka yang sama melalui perbedaan setara dengan kondisi x 1 −x 2 ≠0. Karena x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan linier a·x+b=0, maka persamaan numerik a·x 1 +b=0 dan a·x 2 +b=0 berlaku. Kita dapat mengurangkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan ini, yang mana sifat persamaan numerik dapat kita lakukan, kita mempunyai a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, yang darinya a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 lalu a·(x 1 −x 2)=0 . Namun persamaan ini tidak mungkin, karena a≠0 dan x 1 − x 2 ≠0. Jadi kita sampai pada suatu kontradiksi, yang membuktikan keunikan akar persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0.
Jadi kita menyelesaikan persamaan linier a·x+b=0 untuk a≠0. Hasil pertama yang diberikan di awal paragraf ini dapat dibenarkan. Masih ada dua lagi yang memenuhi kondisi a=0.
Jika a=0, persamaan linier a·x+b=0 berbentuk 0·x+b=0. Dari persamaan ini dan sifat mengalikan bilangan dengan nol maka berapapun bilangan yang kita ambil sebagai x, jika disubstitusikan ke dalam persamaan 0 x + b=0, akan diperoleh persamaan numerik b=0. Persamaan ini benar jika b=0, dan dalam kasus lain jika b≠0 persamaan ini salah.
Akibatnya, dengan a=0 dan b=0, bilangan apa pun adalah akar persamaan linier a·x+b=0, karena dalam kondisi ini, mengganti bilangan apa pun dengan x akan menghasilkan persamaan numerik yang benar, 0=0. Dan jika a=0 dan b≠0, persamaan linier a·x+b=0 tidak mempunyai akar, karena dalam kondisi ini, mengganti bilangan apa pun dengan x akan menghasilkan persamaan numerik yang salah b=0.
Pembenaran yang diberikan memungkinkan kita merumuskan urutan tindakan yang memungkinkan kita menyelesaikan persamaan linier apa pun. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear adalah:
- Pertama, dengan menulis persamaan linier, kita mencari nilai koefisien a dan b.
- Jika a=0 dan b=0, maka persamaan ini mempunyai banyak akar yang tak terhingga, yaitu bilangan berapa pun merupakan akar dari persamaan linier tersebut.
- Jika a bukan nol, maka
- koefisien b dipindahkan ke ruas kanan yang berlawanan tanda, dan persamaan linier diubah menjadi bentuk a·x=−b,
- setelah itu kedua ruas persamaan yang dihasilkan dibagi dengan bilangan bukan nol a, yang menghasilkan akar persamaan linier asli yang diinginkan.
Algoritma tertulis merupakan jawaban komprehensif atas pertanyaan bagaimana menyelesaikan persamaan linier.
Sebagai kesimpulan dari poin ini, perlu dikatakan bahwa algoritma serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk a·x=b. Perbedaannya adalah ketika a≠0, kedua ruas persamaan langsung dibagi dengan bilangan ini; di sini b sudah berada di bagian persamaan yang diperlukan dan tidak perlu dipindahkan.
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x = b digunakan algoritma sebagai berikut:
- Jika a=0 dan b=0, maka persamaan tersebut mempunyai banyak akar yang tak terhingga, yang bisa berupa bilangan apa pun.
- Jika a=0 dan b≠0, maka persamaan aslinya tidak mempunyai akar.
- Jika a bukan nol, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan bilangan bukan nol a, yang darinya ditemukan satu-satunya akar persamaan yang sama dengan b/a.
Contoh penyelesaian persamaan linear
Mari kita lanjutkan ke latihan. Mari kita lihat bagaimana algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear digunakan. Inilah solusinya contoh yang khas, sesuai arti yang berbeda koefisien persamaan linear.
Contoh.
Selesaikan persamaan linier 0·x−0=0.
Larutan.
Dalam persamaan linier ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh karena itu, persamaan ini memiliki banyak akar yang tak terhingga; bilangan berapa pun merupakan akar persamaan ini.
Menjawab:
x – nomor berapa pun.
Contoh.
Apakah persamaan linear 0 x + 2,7 = 0 mempunyai penyelesaian?
Larutan.
DI DALAM pada kasus ini koefisien a sama dengan nol, dan koefisien b persamaan linier ini sama dengan 2,7, yaitu berbeda dari nol. Oleh karena itu, persamaan linear tidak mempunyai akar.
Persamaan linear. Solusi, contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Persamaan linear.
Persamaan linear- bukan yang terbaik topik yang kompleks matematika sekolah. Namun ada beberapa trik yang dapat membingungkan siswa yang sudah terlatih sekalipun. Mari kita cari tahu?)
Biasanya persamaan linier didefinisikan sebagai persamaan dengan bentuk:
kapak + B = 0 Di mana a dan b– nomor apa pun.
2x + 7 = 0. Sini sebuah=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Disini Sebuah=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Disini sebuah=12, b=1/2
Tidak ada yang rumit, bukan? Apalagi jika Anda tidak memperhatikan kata-kata: "di mana a dan b adalah bilangan apa saja"... Dan jika Anda memperhatikan dan memikirkannya secara sembarangan?) Lagi pula, jika sebuah=0, b=0(adakah angka yang mungkin?), maka kita mendapatkan ekspresi lucu:
Tapi bukan itu saja! Jika, katakanlah, sebuah=0, A b=5, Ini ternyata merupakan sesuatu yang sangat luar biasa:
Yang menjengkelkan dan meruntuhkan kepercayaan diri terhadap matematika ya...) Apalagi saat ujian. Namun dari ekspresi aneh ini Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali. Dan yang mengejutkan, X ini sangat mudah ditemukan. Kami akan belajar melakukan ini. Dalam pelajaran ini.
Bagaimana cara mengenali persamaan linear dari tampilannya? Tergantung apa penampilan.) Caranya adalah tidak hanya persamaan bentuk saja yang disebut persamaan linier kapak + B = 0 , tetapi juga persamaan apa pun yang dapat direduksi menjadi bentuk ini melalui transformasi dan penyederhanaan. Dan siapa yang tahu apakah itu turun atau tidak?)
Persamaan linier dapat dikenali dengan jelas dalam beberapa kasus. Katakanlah, jika kita memiliki persamaan yang hanya berisi bilangan dan derajat pertama yang tidak diketahui. Dan dalam persamaannya tidak ada pecahan dibagi tidak dikenal , itu penting! Dan pembagian berdasarkan nomor, atau pecahan numerik - diterima! Misalnya:
Ini adalah persamaan linier. Ada pecahan di sini, tetapi tidak ada x pada persegi, kubus, dan seterusnya, dan tidak ada x pada penyebutnya, mis. TIDAK pembagian dengan x. Dan inilah persamaannya
tidak bisa disebut linier. Di sini tanda X semuanya ada pada derajat pertama, tetapi ada pembagian dengan ekspresi dengan x. Setelah penyederhanaan dan transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan linier, persamaan kuadrat, atau apapun yang Anda inginkan.
Ternyata tidak mungkin mengenali persamaan linier dalam beberapa contoh rumit sampai Anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tapi dalam tugas biasanya mereka tidak menanyakan bentuk persamaannya kan? Tugas meminta persamaan memutuskan. Ini membuatku senang.)
Memecahkan persamaan linier. Contoh.
Seluruh solusi persamaan linear terdiri dari transformasi persamaan yang identik. Omong-omong, transformasi ini (dua di antaranya!) adalah dasar dari solusinya semua persamaan matematika. Dengan kata lain, solusinya setiap persamaannya dimulai dengan transformasi ini. Dalam kasus persamaan linier, penyelesaiannya didasarkan pada transformasi ini dan diakhiri dengan jawaban lengkap. Masuk akal untuk mengikuti tautannya, bukan?) Selain itu, ada juga contoh penyelesaian persamaan linier di sana.
Pertama, mari kita lihat contoh paling sederhana. Tanpa jebakan apa pun. Misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan ini.
x - 3 = 2 - 4x
Ini adalah persamaan linier. Tanda X semuanya ada pada pangkat satu, tidak ada pembagian dengan X. Namun, pada kenyataannya, tidak menjadi masalah bagi kita persamaan apa yang digunakan. Kita perlu menyelesaikannya. Skema di sini sederhana. Kumpulkan semuanya dengan X di sisi kiri persamaan, semuanya tanpa X (angka) di sebelah kanan.
Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transfer - 4x ke samping kiri, dengan pergantian tanda tentunya dan - 3 - ke kanan. Ngomong-ngomong, ini dia transformasi persamaan identik pertama. Terkejut? Artinya Anda tidak mengikuti tautan tersebut, tetapi sia-sia...) Kita mendapatkan:
x + 4x = 2 + 3
Berikut ini yang serupa, kami pertimbangkan:
Apa yang kita butuhkan untuk kebahagiaan seutuhnya? Ya, sehingga ada X murni di sebelah kiri! Lima menghalangi. Menyingkirkan kelimanya dengan bantuan transformasi persamaan identik kedua. Yaitu, kita membagi kedua ruas persamaan dengan 5. Kita mendapatkan jawaban yang sudah jadi:
Sebuah contoh mendasar, tentu saja. Ini untuk pemanasan.) Tidak begitu jelas mengapa saya mengingat transformasi yang sama di sini? OKE. Mari kita ambil risikonya.) Mari kita putuskan sesuatu yang lebih solid.
Misalnya, inilah persamaannya:
Di mana kita mulai? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Bisa jadi begitu. Dalam langkah-langkah kecil jalan panjang. Atau Anda bisa segera, secara universal dan dengan cara yang ampuh. Jika, tentu saja, Anda memiliki transformasi persamaan yang identik di gudang senjata Anda.
Saya bertanya kepada anda pertanyaan kunci: Apa yang paling tidak Anda sukai dari persamaan ini?
95 dari 100 orang akan menjawab: pecahan ! Jawabannya benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Oleh karena itu, kita segera mulai dengan transformasi identitas kedua. Pecahan di sebelah kiri perlu dikalikan dengan apa agar penyebutnya berkurang seluruhnya? Benar, jam 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tapi matematika memungkinkan kita mengalikan kedua ruas dengan nomor yang sama. Bagaimana kita bisa keluar? Kalikan kedua ruasnya dengan 12! Itu. pada faktor persekutuan. Maka baik yang tiga maupun yang empat akan dikurangi. Jangan lupa bahwa Anda perlu mengalikan setiap bagian sepenuhnya. Berikut tampilan langkah pertamanya:
Memperluas tanda kurung:
Catatan! Pembilang (x+2) Saya memasukkannya ke dalam tanda kurung! Ini karena saat mengalikan pecahan, seluruh pembilangnya dikalikan! Sekarang Anda dapat mengurangi pecahan:
Luaskan tanda kurung yang tersisa:
Bukan contoh, tapi kesenangan belaka!) Sekarang mari kita ingat mantranya kelas junior: dengan tanda X - ke kiri, tanpa tanda X - ke kanan! Dan terapkan transformasi ini:
Berikut beberapa yang serupa:
Dan bagi kedua bagian dengan 25, mis. terapkan transformasi kedua lagi:
Itu saja. Menjawab: X=0,16
Harap diperhatikan: untuk mengubah persamaan awal yang membingungkan menjadi bentuk yang bagus, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identitas– translasi kiri-kanan dengan perubahan tanda dan perkalian-pembagian suatu persamaan dengan bilangan yang sama. Ini metode universal! Kami akan bekerja dengan cara ini setiap persamaan! Tentu saja siapa pun. Itu sebabnya saya terus-menerus mengulangi transformasi serupa ini.)
Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear itu sederhana. Kami mengambil persamaan dan menyederhanakannya dengan transformasi identitas sebelum menerima tanggapan. Masalah utama di sini terletak pada perhitungannya, bukan pada prinsip penyelesaiannya.
Tapi... Ada begitu banyak kejutan dalam proses penyelesaian persamaan linier paling dasar sehingga bisa membuat Anda sangat pingsan...) Untungnya, hanya ada dua kejutan seperti itu. Sebut saja itu kasus khusus.
Kasus khusus dalam menyelesaikan persamaan linear.
Kejutan pertama.
Misalkan Anda menemukan persamaan yang sangat mendasar, seperti:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Sedikit bosan, kita pindahkan dengan tanda X ke kiri, tanpa tanda X - ke kanan... Dengan perubahan tanda, semuanya sempurna... Kita mendapatkan:
2x-5x+3x=5-2-3
Kami menghitung, dan... ups!!! Kita mendapatkan:
Kesetaraan ini sendiri tidak dapat ditolak. Nol sebenarnya adalah nol. Tapi X hilang! Dan kita harus menuliskan jawabannya, x sama dengan apa? Kalau tidak, solusinya tidak masuk hitungan kan...) Deadlock?
Tenang! Dalam kasus yang meragukan seperti itu, aturan paling umum akan menyelamatkan Anda. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan? Ini berarti, temukan semua nilai x yang jika disubstitusikan ke persamaan awal akan menghasilkan persamaan yang benar.
Tapi kami memiliki kesetaraan sejati sudah telah terjadi! 0=0, seberapa akuratnya?! Masih mencari tahu pada x apa hal ini terjadi. Berapa nilai X yang dapat disubstitusikan asli persamaan jika x ini apakah masih akan dikurangi menjadi nol? Ayo?)
Ya!!! X bisa diganti setiap! Yang mana yang kamu inginkan? Minimal 5, minimal 0,05, minimal -220. Mereka masih akan menyusut. Jika Anda tidak percaya, Anda dapat memeriksanya.) Gantikan nilai X apa pun ke dalamnya asli persamaan dan hitung. Sepanjang waktu Anda akan mendapatkan kebenaran murni: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.
Inilah jawaban Anda: x - nomor berapa pun.
Jawabannya dapat ditulis dengan cara yang berbeda ikon matematika, intinya tidak berubah. Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar dan lengkap.
Kejutan kedua.
Mari kita ambil persamaan linier dasar yang sama dan ubah satu bilangan saja di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Setelah transformasi identik yang sama, kita mendapatkan sesuatu yang menarik:
Seperti ini. Kami memecahkan persamaan linier dan mendapatkan persamaan yang aneh. Secara matematika, kita dapat kesetaraan palsu. Dan berbicara dalam bahasa yang sederhana, ini tidak benar. Sambutan hangat. Namun demikian, omong kosong ini adalah alasan yang sangat bagus keputusan yang tepat persamaan.)
Sekali lagi kami berpikir berdasarkan aturan umum. Berapakah nilai x, jika disubstitusikan ke dalam persamaan awal, yang akan kita peroleh BENAR persamaan? Ya, tidak ada! Tidak ada X seperti itu. Tidak peduli apa yang kamu masukkan, semuanya akan berkurang, hanya omong kosong yang tersisa.)
Inilah jawaban Anda: tidak ada solusi.
Ini juga merupakan jawaban yang lengkap. Dalam matematika, jawaban seperti itu sering dijumpai.
Seperti ini. Sekarang, saya harap, hilangnya X dalam proses penyelesaian persamaan apa pun (bukan hanya persamaan linier) tidak akan membingungkan Anda sama sekali. Ini sudah merupakan hal yang biasa.)
Sekarang kita telah mengatasi semua kendala dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
PERSAMAAN LINEAR DENGAN SATU VARIABEL
Persamaan linier dengan satu variabel, persamaan yang hanya memuat satu variabel disebut.
Berikut contoh persamaan linear:
3 x =12 atau 10 y -20=0 atau 8 a +3=0
Selesaikan persamaannya- ini berarti menemukan semua akar persamaan atau membuktikan bahwa akar persamaan tersebut tidak ada. Dengan kata lain, menyelesaikan persamaan linier berarti mencari semua nilai variabel, yang masing-masing persamaannya berubah menjadi persamaan numerik yang benar.Akar(atau solusi) suatu persamaan adalah nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
Jadi persamaan 3 x = 12 mempunyai akar x =4, karena 3*4=12 adalah persamaan sejati, dan perlu diperhatikan bahwa tidak ada akar-akar lain.
Sama sekali persamaan linier dengan satu variabel x disebut persamaan bentuk kapak + b = 0 .
B - "anggota gratis".
Koefisien adalah beberapa angka, dan menyelesaikan persamaan berarti menemukan nilai x di mana ekspresi tersebut kapak + b = 0 benar.
Misalnya, kita memiliki persamaan linier 3 X – 6 = 0. Menyelesaikannya berarti mencari persamaannya x sampai 3x – 6 sama dengan 0. Melakukan transformasi, kita mendapatkan:
3 x = 6
x = 2
Jadi ekspresi 3 x – 6 = 0 benar jika x = 2 (Centang 3 * 2 – 6 = 0)
2 adalah akarnya persamaan yang diberikan. Saat Anda memecahkan suatu persamaan, Anda menemukan akar-akarnya.
Koefisien a dan b bisa berupa bilangan apa saja, tetapi ada nilai jika akar persamaan linier dengan satu variabel lebih dari satu.
Jika a = 0, maka ax + b = 0 berubah menjadi b = 0. Di sini x "hancur". Ekspresi yang sama b = 0 hanya bisa benar jika pengetahuan B adalah 0. Artinya, persamaannya adalah 0* X + 3 = 0 salah karena 3 = 0 pernyataan salah. Namun 0* X + 0 = 0 adalah ekspresi yang benar. Dari sini kami menyimpulkan bahwa jika a = 0 dan b ≠ 0 persamaan linear dengan satu akar variabel tidak memiliki sama sekali, tetapi jika a = 0 dan b = 0 , maka akar persamaannya himpunan tak terbatas. Jika b = 0 dan a ≠ 0 , maka persamaannya berbentuk kapak = 0 . Jelas bahwa jika sebuah ≠ 0 , tetapi hasil perkaliannya adalah 0, yang berarti x = 0 . Artinya, akar persamaan ini adalah 0.
Mari kita pertimbangkan kasus paling umum kapan sebuah ≠ 0
1) kapak + b = 0, artinya kapak = - b (kita cukup memindahkan suku b dari ruas kiri ke ruas kanan yang bertanda sebaliknya) Ingat aturan ini
2) ax = - b yang artinya
x = –b/a . Ingat aturan ini
Nilai x dalam hal ini akan bergantung pada nilai a dan b. Apalagi itu akan menjadi satu-satunya. Artinya, tidak mungkin hanya dengankoefisien yang sama untuk memperoleh dua atau lebih nilai yang berbeda X. Misalnya,
–8,5 x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Tidak ada bilangan lain selain –2 yang dapat diperoleh dengan membagi 17 dengan –8,5
Ada persamaan yang sekilas tidak menyerupai bentuk umum persamaan linier dengan satu variabel, tetapi mudah diubah menjadi persamaan tersebut. Misalnya,
–4,8 + 1,3 x = 1,5 x + 12
Jika Anda memindahkan semuanya ke sisi kiri, maka 0 akan tetap berada di sisi kanan:
–4,8 + 1,3 x – 1,5 x – 12 = 0
Independen pada topik: "Numerik dan ekspresi aljabar", "Bahasa Matematika dan Model Matematika", "Persamaan Linier Satu Variabel", "Garis dan Bidang Koordinat", "Persamaan Linier Dua Variabel", "Fungsi Linier dan Grafiknya", "Sistem Dua Persamaan Linier Dua Variabel" " , "Gelar dengan indikator alami dan sifat-sifatnya", " Tampilan standar monomial", "Penjumlahan dan pengurangan monomial", "Mengalikan monomial", "Menaikkan monomial menjadi gelar alami", "Membagi monomial dengan monomial", "Memfaktorkan polinomial"
Karya mandiri No. 1 (kuartal 1), “Ekspresi numerik dan aljabar”
Opsi I.
$8\frac(5)(9)*4,8 -\frac(2)(9)* $2,1.
$3x - 6y + 5$, jika $x= 0,5$ dan $y=\frac(2)(3)$ diberikan.
3.Temukan nilai $x$ yang ekspresi $5x-3$ akan sama dengan ekspresi $x - 4$.
pilihan II.
1. Hitung nilai ekspresi terbanyak dengan cara yang rasional.
$3\frac(3)(4) * 5,6 -\frac(1)(4)* $1,9.
2. Temukan arti dari ungkapan ini.
$x - 8y - 9$, jika $x= 0,9$ dan $y=\frac(5)(6)$ diberikan.
3.Temukan nilai $x$ yang ekspresi $6x - 7$ akan sama dengan ekspresi $x - 5$.
Opsi III.
1. Hitung nilai ekspresi dengan cara yang paling rasional.
$1\frac(7)(9)* 7,6 -\frac(1)(9)* $4,9.
2. Temukan arti dari ungkapan ini.
$x - 8y - 11$, jika $x= 2,4$ dan $y=\frac(6)(8).$ diberikan
3. Tentukan nilai $y$ yang ekspresi $3y - 2$ akan sama dengan ekspresi $y + 8$.
Pekerjaan mandiri No. 2 (kuartal 1)
"Bahasa matematika", "Model matematika"
Opsi I. 1. Terjemahkan kalimat tersebut menjadi bahasa matematika: selisih pangkat tiga bilangan $a$ dan $b$.
Hasil kali suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sama dengan kuadrat bilangan tersebut.
Jumlah bilangan $3\frac(3)(4)$ dan hasil kali bilangan $5\frac(4)(8)$ dan $\frac(1)(8)$.
Penjahit membuat 3 gaun. Setiap gaun membutuhkan kain senilai $x$ meter. Lalu dia membuat 10 setelan lagi. Setiap setelan membutuhkan kain 2 meter lebih banyak daripada gaun. Berapa banyak kain yang dibutuhkan untuk menjahit semua gaun dan jas?
pilihan II.
1. Terjemahkan kalimat tersebut ke dalam bahasa matematika. jumlah kuadrat bilangan x dan y.
2. Terjemahkan properti berikut ke dalam bahasa matematika.
Jika suatu bilangan dikalikan dengan $-1$, kita mendapatkan bilangan yang sama, tetapi tandanya berlawanan.
3. Tulis ulang kalimat tersebut menjadi ekspresi numerik. Hitung nilainya.
Selisih antara bilangan $3\frac(5)(8)$ dan hasil bagi $2\frac(5)(8)$ dan $1\frac(1)(2)$.
4. Menulis model matematika situasi ini.
a) Dua orang pejalan kaki berjalan berlawanan arah. Kecepatan pejalan kaki pertama adalah $x$ km/jam. Kecepatan pejalan kaki kedua adalah 2 km/jam lebih. Berapa jarak yang akan mereka tempuh setelah 3 jam? Berapa lama waktu yang dibutuhkan pejalan kaki kedua untuk berjalan sejauh 10 km?
Opsi III.
1. Terjemahkan kalimat ke dalam bahasa matematika: hasil kali bilangan 3 dan selisih bilangan $n$ dan $m$.
2. Terjemahkan sifat berikut ke dalam bahasa matematika: jika kita membagi satu dengan pecahan, maka kita mendapatkan kebalikan dari pecahan yang diberikan.
3. Tulis ulang kalimat tersebut sebagai ekspresi numerik. Hitung nilainya:
Jumlah bilangan $6\frac(5)(8)$ dan hasil bagi bilangan $1\frac(5)(9)$ dan $\frac(2)(9)$.
4. Buatlah model matematika dari situasi ini.
Perahu berlayar dari dermaga ke hilir. Kecepatan sungai adalah $x$ km/jam. Kecepatan perahu 2 km/jam lebih. Berapa lama waktu yang dibutuhkan perahu untuk menempuh jarak 10 km? Berapa lama waktu yang dibutuhkan dia untuk kembali?
Pekerjaan mandiri No. 3 (1 kuartal)
"Persamaan linier dengan satu variabel"
Opsi I.
a) $5z - 4 = 2\frac(3)(4)z + 2$.
B) $\frac(4x + 2)(3) =\frac(5x + 1)(6)$.
Seorang atlet berlari menempuh jarak tertentu dalam waktu 18 menit. Jika dia meningkatkan kecepatannya sebesar 3 km/jam, maka dia akan berlari dengan jarak yang sama 4 menit lebih cepat. Temukan kecepatan atlet.
pilihan II.
1. Selesaikan persamaan dalam satu variabel.
a) $3z - 2 = 1\frac(3)(6)z +1$.
B) $\frac(5y + 3)(7)=\frac(3y + 8)(4)$.
2. Tulis persamaan untuk soal ini dan selesaikan.
Sebuah mobil menempuh perjalanan dari kota ke desa dalam waktu 4 jam. Jika dia menambah kecepatannya sebesar 20 km/jam, maka dia menempuh jalan yang sama dalam waktu 3 jam. Temukan kecepatan mobil.
Opsi III.
1. Selesaikan persamaan dalam satu variabel.
a) $4x - 6 = 2\frac(5)(8)x + 3$.
B) $\frac(2y + 7)(2)=\frac(4y + 3)(5)$.
2. Tulis persamaan untuk soal ini dan selesaikan.
Perahu berlayar dari dermaga ke pelabuhan dalam waktu 30 menit. Jika dia menambah kecepatannya sebesar 10 km/jam, dia akan berenang dengan jarak yang sama dalam waktu 20 menit. Temukan kecepatan perahu.
Pekerjaan mandiri No. 4 (1 kuartal) "Garis koordinat"
Opsi I.
X(-2); Y(-6.5); Z(3.8).
2. Tandai interval yang ditunjukkan pada garis koordinat.
a) [-2.5; 0]; B) ; [-∞; 0].
3. Berapa banyak bilangan asli termasuk dalam interval yang diberikan [-30; -5]?
pilihan II.
1. Tandai tiga titik berikut pada garis koordinat:
X(3); kamu(-5); Z (-3.8).
A) ; B) ; .
3. Berapa banyak bilangan asli yang termasuk dalam interval tertentu?
Opsi III.
1. Tandai tiga titik berikut pada garis koordinat:
X (-7); kamu(2); Z(3.8).
2. Tunjukkan interval yang ditunjukkan pada garis koordinat:
A) ; b) [-2; 4]; [-1; +∞].
3. Berapa banyak bilangan asli yang termasuk dalam interval tertentu [-52; -4]?
Pekerjaan mandiri No. 5 (1 kuartal) "Bidang koordinat"
Opsi I.
E (-2; 5); F (5; -3); H (-3; -5).
SEBUAH (-4; 0); B (5; 8); C (-5; -4).
3. Lanjutkan bidang koordinat XOY adalah garis lurus dengan koordinat C(-4;2) dan D(3;0).
pilihan II.
1. Tanpa menggambar, tunjukkan pada bidang koordinat manakah titik-titik tersebut berada?
E (3; 6); F (-8; 7); H(4;4).
2. Bangunlah sebuah segitiga jika koordinat titik-titik sudutnya diketahui
SEBUAH (5; 3); B (-5; -2); C (-3; 0).
3. Buatlah garis lurus pada bidang koordinat XOY dengan koordinat C(-2;6) dan D(7;-2).
Opsi III.
1. Tanpa menggambar, tunjukkan pada bidang koordinat manakah titik-titik tersebut berada?
E (-2; -4); F (4; 6); H (3; -2).
2. Bangunlah sebuah segitiga jika koordinat titik-titik sudutnya diketahui
A (7; -3); B (2; 6); C (-2; 1).
3. Buatlah garis lurus pada bidang koordinat XOY dengan koordinat C(6;-4) dan D(-3;6).
Pekerjaan mandiri No. 6 (kuartal 1) "Persamaan linier dua variabel"
Opsi I.1. Grafik fungsinya: $5x + y -4 = 0$.
2. Buatlah grafik dua fungsi dan tentukan titik potongnya: $x + 5y = 7$; $x - 4 tahun =-2$.
3. Untuk persamaan: $x + 2y - 4 = 0$, tentukan ordinat titik yang absisnya sama dengan 4.
pilihan II.
1. Grafik fungsinya: $3x - y + 6 = 0$.
2. Buatlah grafik dua fungsi dan tentukan titik potongnya: $2x - 5y = $8; $2x - kamu = 0$.
3. Untuk persamaan: $2x + 4y - 5 = 0$, tentukan ordinat titik yang absisnya sama dengan 5.
Opsi III.
1. Grafik fungsinya: $2x - 2y - 6 = 0$.
2. Buatlah grafik dua fungsi dan temukan titik potongnya: $2х + 2у = 10$; $x - 2 tahun = $5.
3. Untuk persamaan: $x + 4y - 2 = 0$, tentukan ordinat titik yang absisnya sama dengan 5.
Pekerjaan mandiri No. 7 (1 kuartal) "Fungsi linier dan grafiknya"
Opsi I.1. Diberikan persamaan linier: $x - 2y - 4 = 0$. Ubah menjadi bentuk: $y = kx + m$. Temukan nilai $k$ dan $m$.
a) $y = 6x - 2$, dengan $x = 2$; b) $y = -3x + 5$, dengan $х = 3$.
3. Buatlah grafik fungsi: $y = 3\frac(5)(8)x -\frac(1)(2)$.
4. Diberikan persamaan linear: $y = 4 - 3x$. Hitung nilai argumen yang mengambil nilai:
a) 3; b) -2; c) -1.1.
5. Di titik manakah dua titik berpotongan? fungsi linier: $y = 3x - 12$ dan $y = -2x + 3$?
6. Aktif interval yang diberikan$[-3; +3]$ temukan yang terhebat dan nilai terkecil fungsi $y=-5x + 4$.
pilihan II.
1. Diketahui persamaan linier: $2x - 3y - 5 = 0$. Ubah menjadi bentuk: $y = kx + m$. Temukan nilai $k$ dan $m$.
2. Carilah nilai fungsi jika nilai argumennya diketahui.
a) $y = 2x + 2$, dengan $x = 1$; b) $y = 3x - 6$, dengan $x = 4$.
3. Buatlah grafik fungsi: $y = 4\frac(2)(3)x - \frac(3)(6)$.
4. Diberikan persamaan linier: $y = 5 + 2x$. Hitung nilai argumen yang mengambil nilai:
a) -2; b) -4; c) -2.6.
5. Di titik manakah dua fungsi linier berpotongan: $y = 2x - 5$ dan $y = -3x + 10$?
6. Pada interval tertentu $[-2; +6]$ tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $y=-2x - 2$.
Opsi III.
1. Diketahui persamaan linier: $3x - y + 2 = 0$. Ubah menjadi bentuk $y = kx + m$. Temukan nilai $k$ dan $m$.
2. Carilah nilai fungsi jika nilai argumennya diketahui.
a) $y = -2x +5$, dengan $x = 3$; b) $y = -2x + 6$, dengan $х = -1$.
3. Buatlah grafik fungsi: $y = 2\frac(1)(4)x + \frac(2)(3)$.
4. Diberikan persamaan linier: $y = 3 +2x$. Hitung nilai argumen yang mengambil nilai:
a) -1; b) -4; di 2.
5. Di titik manakah dua fungsi linier berpotongan: $y = -2x +4$ dan $y = -4x - 2$?
6. Pada interval tertentu $$, tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $y=3x-5$.
Pekerjaan mandiri No. 1 (kuartal 2) "Sistem dua persamaan linier dengan dua variabel"
Opsi I1. Sebuah sistem persamaan diberikan. Tentukan pasangan bilangan (4;0), (3;4), (0;5) manakah yang merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut.
$\begin (kasus) 2x+y=10, \\ 4x-2y=4. \end (kasus)$
$\begin (kasus) x-y=2, \\ 3x+3y=6. \end (kasus)$
a) $\begin (kasus) x=-y, \\ 3x-y=8. \end (kasus)$
B) $\begin (kasus) x=2y, \\ 2x+4y=40. \end (kasus)$
a) $\begin (kasus) x=y+4, \\ -x=-3y-4. \end (kasus)$
B) $\begin (kasus) x=4y, \\ 2x+4y=24. \end (kasus)$
5. Selesaikan masalahnya.
Jumlah dua bilangan adalah 9 dan selisihnya adalah 1. Temukan bilangan-bilangan ini.
6. Selesaikan masalahnya.
Diberikan 2 nomor. Jumlah bilangan-bilangan tersebut adalah 80. Jika bilangan pertama dikurangi 2 kali dan bilangan kedua ditambah 2 kali, maka jumlah bilangan tersebut adalah 115. Berapakah bilangan-bilangan tersebut?
pilihan II
1. Sebuah sistem persamaan diberikan. Tentukan pasangan bilangan (2;6), (-3;4), (2;4) manakah yang merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut.
$\begin (kasus) 5x-3y=-2, \\ 3x+y=10. \end (kasus)$
2. Selesaikan sistem persamaan yang diberikan secara grafis.
$\begin (kasus) 2x-2y=6, \\ x-y=1. \end (kasus)$
3. Sistem persamaan diberikan. Selesaikan mereka menggunakan metode pementasan.
a) $\begin (kasus) x=-0,5y, \\ 3x-y=15. \end (kasus)$
B) $\begin (kasus) x=-3y, \\ 3x+4y=10. \end (kasus)$
4. Selesaikan sistem persamaan yang diberikan dengan menggunakan metode penjumlahan aljabar.
a) $\begin (kasus) x=2y-1, \\ x-3y=-4. \end (kasus)$
B) $\begin (kasus) x=4y, \\ 2x-4y=4. \end (kasus)$
5. Selesaikan masalahnya.
Jumlah dua bilangan adalah 10, dan selisih tiga kali lipat bilangan pertama dan bilangan kedua adalah 2. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
6. Selesaikan masalahnya.
Dua petani mengumpulkan 300 kg buah beri pada bulan Juli. Pada bulan Agustus, petani pertama mengumpulkan buah beri 2 kali lebih banyak, dan petani kedua mengumpulkan setengah dari jumlah buah yang dikumpulkannya pada bulan Juli. Berapa kg buah beri yang dikumpulkan para petani setiap bulannya, jika mereka mengumpulkan 450 kg pada bulan Agustus?
Opsi III
1. Sebuah sistem persamaan diberikan. Tentukan pasangan bilangan (2;6), (3;-2), (2;4) manakah yang merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut.
$\begin (kasus) 2x-4y=14, \\ -3x+y=-11. \end (kasus)$
2. Selesaikan sistem persamaan yang diberikan secara grafis.
$\begin (kasus) 5x+5y=-5, \\ 5x+y=3. \end (kasus)$
3. Sistem persamaan diberikan. Selesaikan mereka menggunakan metode pementasan.
a) $\begin (kasus) x=-y, \\ 3x-2y=5. \end (kasus)$
B) $\begin (kasus) x+y=4, \\ 3x+4y=12. \end (kasus)$
4. Selesaikan sistem persamaan yang diberikan dengan menggunakan metode penjumlahan aljabar.
a) $\begin (kasus) x=y+1, \\ x-2y=1. \end (kasus)$
B) $\mulai (kasus) x=2y,\\ x-4y=12. \end (kasus)$
5. Selesaikan masalahnya.
Jumlah dua bilangan adalah 10 dan selisihnya adalah -2. Temukan angka-angka ini.
6. Selesaikan masalahnya.
Sebuah perahu menempuh jarak antara dua desa dalam waktu 4 jam ke hilir dan 6 jam melawan arus. Hitunglah kecepatan perahu dan arus sungai jika jarak antar desa 60 km.
Karya mandiri No. 2 (kuartal 2) "Gelar dengan indikator alam dan sifat-sifatnya"
Opsi I.
a) 3,4*3,4*3,4*3,4.
b) a * a * a * a * a * a * a.
2. Hitung:
a) $5^3$.
b) $7^3- 4^4$.
3. Selesaikan persamaan:
a) $5x^3=$320.
b) $3^(x-3)=81$.
4. Hitunglah volume kubus dan luasnya jika rusuknya 4 cm.
a) $x^3*x^5$.
b) $x^6*x^4$.
c) $(a^3)^6$.
6. Hitung: $\frac(2^6*(2^3)^2)(2^4)$.
7. Ekspresi diberikan. Tingkatkan kekuatan mereka.
a) $(4z^3)^3$.
b) $(6x^3y^3)^2$.
c) $\frac((2a^3)^4)((b^2)^3)$.
pilihan II.
1. Tuliskan ekspresi berikut sebagai pangkat:
a) 5.1*5.1*5.1*5.1.
b) d * d * d * d * d * d * d * d.
2. Hitung:
a) $4^5$.
b) $8^2- 6^3$.
3. Selesaikan persamaan:
a) $2 tahun^2=162$.
b) $4^(x-3)=64$.
4. Hitunglah volume kubus dan panjang rusuknya jika luas permukaannya 216 cm 2.
5. Ekspresi diberikan. Ekspresikan mereka sebagai kekuatan:
a) $y^4*y^3$.
b) $z^6* z^2$.
c) $(b^4)^5$.
6. Hitung: $\frac(3^6*(3^2)^3)(3^4)$.
a) $(2 tahun^2)^4$.
b) $(5x^2z^3)^3$.
c) $\frac((3c^4)^5)((d^2)^2)$.
Opsi III.
1. Tuliskan ekspresi berikut sebagai pangkat:
a) 6.2*6.2*6.2.
b) z* z * z* z .
2. Hitung:
a) $6^4$.
a) $5^2- 3^4$.
3. Selesaikan persamaan:
a) $2f^4=512$.
b) $3^(x-1)=81$.
4. Volume sebuah kubus adalah 125 cm3. Hitunglah panjang rusuk kubus dan luasnya.
5. Ekspresi diberikan. Ekspresikan mereka sebagai kekuatan:
a) $z^4* z^2$.
b) $\frac(y^5)(y^2)$.
c) $(c^4)^6$.
6. Hitung:
$\frac(4^6*(4^3)^3)(4^5)$.
7. Ekspresi diberikan. Tingkatkan kekuatan mereka:
a) $(3a^2)^2$.
b) $(5z^3)^2$.
c) $\frac((2d^5)^6)((c^2)^3)$.
Pekerjaan mandiri No. 1 (kuartal ke-3) "Bentuk standar monomial", "Penambahan dan pengurangan monomial"
Opsi I.5 3 x 3 tahun 4 * (-3x 2 tahun 4).
2. Sederhanakan: 5ab 3 - 3ab 3 + 4ab 3.
3. Sederhanakan ekspresi yang diberikan dan temukan nilainya pada $y=2$, $t= 0,5$.
-4t 3 tahun 2 + 3 tahun 2 - 2t 2 + 3t 2 + tahun 2 .
Sebuah bus yang membawa turis menempuh perjalanan 2 ⁄ 9 perjalanan dengan kecepatan 60 km/jam, dan 4 ⁄ 9 perjalanan dengan kecepatan 50 km/jam. Dia mengendarai sisa 18 km dengan kecepatan 60 km/jam. Berapa jarak yang ditempuh bus wisata tersebut?
pilihan II.
1. Kurangi monomial yang diberikan ke bentuk standar.
3 4 tahun 3 x 2 * 3 tahun 4 x 5 .
2. Sederhanakan: 2cd 4 - 3cd 4 + 7cd 4.
3. Sederhanakan ekspresi yang diberikan dan temukan nilainya di $d=0.3$; $e=2$.
5d 3 e 2 + 2d 2 - 2e 2 + 4d 2 + e 2
4. Memecahkan masalah dengan menyoroti tiga tahap pemodelan matematika.
Atlet tersebut berlari 3 ⁄ 8 jarak dengan kecepatan 12 km/jam, dan berlari 1 ⁄ 8 jarak dengan kecepatan 15 km/jam. Dia berlari sisa 5 km dengan kecepatan 10 km/jam. Berapa jarak yang ditempuh atlet tersebut?
Opsi III.
1. Kurangi monomial yang diberikan ke bentuk standar.
5 3 a 2 b 3 * 2y 3 a 3 .
2. Sederhanakan: 4mn 2 + 5mn 2 - 6mn 2.
3. Sederhanakan ekspresi yang diberikan dan temukan nilainya di t= - 1 ⁄ 2, $u= 6$.
-3t 3 kamu 2 + 5t 2 - 7t 3 kamu 2 + 3t 2 + kamu 2 .
4. Memecahkan masalah dengan menyoroti tiga tahap pemodelan matematika.
Pengendara sepeda menempuh 1 ⁄ 5 perjalanan dengan kecepatan 25 km/jam, 3 ⁄ 5 perjalanan dengan kecepatan 30 km/jam. Dia mengendarai sisa 10 km dengan kecepatan 18 km/jam. Berapa jarak yang ditempuh atlet tersebut?
Karya mandiri No. 2 (kuartal ke-3) “Mengalikan monomial”, “Menaikkan monomial menjadi pangkat alami”, “Membagi monomial dengan monomial”
Opsi I.1. Hitung.
a) 3n 3 m 2 *(- 4m 3 n 4).
b) 2 ⁄ 7 x 2 tahun 4 * 1 ⁄ 3 x 3 tahun 4 .
2. Selesaikan masalahnya.
Ada 2 kotak yang diberikan. Sisi persegi yang lebih besar adalah 1,5 kali lebih banyak sisi persegi yang lebih kecil. Dan luas persegi yang lebih besar adalah 125 cm 2 lebih besar dari luas persegi yang lebih kecil. Temukan sisi-sisi persegi.
3. Bagi monomial dengan monomial: $\frac((-6a^4b)^3)(3a^3)$.
4. Sederhanakan persamaan: $\frac((3x^3d^2)^3)((xd^2)^2)$.
pilihan II.
1. Hitung.
a) 5y 2 z 3 * (- 6y 4 z 4).
B) 3 ⁄ 8 a 4 b 2 * 1 ⁄ 8 a 2 b 3 .
2. Bagi monomial dengan monomial: $\frac(5b^4d^2)(7b^2)$.
3. Sederhanakan persamaan: $\frac((5c^3z^4)^2)(cz^3)$.
Opsi III.
1. Hitung.
a) - 6tu 2 * 5t 4 kamu 3.
B) 5 ⁄ 9 x 2 tahun 3 * 1 ⁄ 9 x 2 tahun 2 .
2. Bagi monomial dengan monomial: $\frac(14z^4e^3)(7z^3)$.
3. Sederhanakan persamaan: $\frac((8t^5u^5)^2)(4t^3)$.
Pekerjaan mandiri No. 1 (kuartal ke-4) "Memfaktorkan polinomial"
Opsi I.1. Hitung ekspresi berikut dengan cara yang paling rasional: 4.5 2 - 2.5 2.
2. Putuskan persamaan yang diberikan: $(3x + 5)(2x - 2) = 0$.
3. Hitung ekspresi dengan cara yang paling rasional: $\frac(346^2- 146^2)(50 * 512)$.
4. Faktorkan persamaan berikut:
a) 4 tahun + 8 tahun 2 .
b) 7z 5 - 21z 2.
c) 6a 2 b 5 c + 24 ab 2 c - 8 a 2 b 3 .
5. Selesaikan persamaan: 3y 2 - 9 y =0.
pilihan II.
1. Hitung ekspresi berikut dengan cara yang paling rasional: 12.5 2 - 7.5 2.
2. Selesaikan persamaan berikut: $(4y + 6)(y - 3) = 0$.
3. Hitung ekspresi dengan cara yang paling rasional: $\frac((456)^2-(256)^2)(1200 * 1024)$.
a) 2z + 6z 2 .
b) 8 tahun 5 - 24 tahun 3 .
c) 2abc -3 a 2 b 2 + 4 a 2 b 3 c.
5. Selesaikan persamaan: 6y 2 + 4y =0.
Opsi III.
1. Hitung ekspresi berikut dengan cara yang paling rasional: 8.2 2 - 4.2 2.
2. Selesaikan persamaan yang diberikan: $(2z - 3)(z + 5) = 0$.
3. Hitung ekspresi dengan cara yang paling rasional: $\frac((663)^2-(363)^2)(40 * 243)$.
4. Faktorkan persamaan berikut.
a) 3x + 9x 2 .
b) 12 tahun 4 - 26 tahun 2 .
c) 3x 2 tahun 5 z+12xy 2 z - 9x 2 tahun 3 z.
5. Selesaikan persamaan berikut: 5a 2 + 10a =0.
Opsi I.
1. 40,6.
2. 2,5.
3.$x=-0,25$.
pilihan II.
1. $20,525$.
2.$-14\frac(23)(30)$.
3.$x=0,4$.
Opsi III.
1.$12\frac(87)(90)$.
2. $-14,6$.
3.$y=5$.
Opsi I.
1.$a^3-b^3$.
2. Untuk sembarang bilangan $a$, pernyataan $a*a=a^2$ benar.
3. $3\frac(3)(4)+5\frac(4)(8)*\frac(1)(8)=$4,4375.
4. $13x+$20.
pilihan II.
1.$x^2+kamu^2$.
2. Untuk sembarang bilangan $a$, pernyataan $a*(-1)=-a$ benar.
3. $3\frac(5)(8)-2\frac(5)(8):\frac(1)(2)=-1\frac(5)(8)$.
4. Mereka akan menempuh jarak $(6x+6)$. Pejalan kaki kedua membutuhkan $\frac(10)(x+2)$ jam.
Opsi III.
1. $3(nm)$.
2. Untuk sembarang bilangan $a$, $b$, pernyataan berikut ini benar: $1:(\frac(a)(b))=\frac(b)(a)$.
3. $6\frac(5)(8)+1\frac(5)(9):\frac(2)(9)=-\frac(3)(8)$.
4. Sebuah perahu menempuh jarak 10 km dengan muatan $\frac(5)(x+1)$. Dibutuhkan waktu 5 jam untuk kembali ke dermaga.
Opsi I.
1.
a) $z=\frac(8)(3)$.
b) $x=-1$.
2. 10,5 km/jam.
pilihan II.
1.
a) $z=2$.
b) $y=-44$.
2. 60 km/jam.
Opsi III.
1.
a) $6\frac(6)(11)$.
b) -14,5,20 km/jam.
2. 20 km/jam.
Opsi I.
pilihan II.
3. 43.
Opsi III.
3. Tidak ada bilangan asli pada interval ini.
Opsi I.
2.$x=2$, $y=1$.
3.$y=0$.
pilihan II.
2.$x=-1$, $y=-2$.
3.$y=-1,25$.
Opsi III.
2.$x=5$, $y=0$.
3.$y=-0,75$.
Opsi I.
1.$y=0,5x+2$.
2.
a) $y=10$.
b) $y=-4$.
4.
a) $x=\frac(1)(3)$.
b) $x=2$.
c) $x=1,7$.
5. Titik dengan koordinat $x=3$, $y=-3$.
6. $y_(min)=-11$, $y_(maks)=19$.
pilihan II.
1. $y=\frac(2)(3)x-\frac(5)(3)$.
2.
a) $y=4$.
b) $y=6$.
4.
a) $x=-3,5$.
b) $x=-4,5$.
c) $x=-3,8$.
5. Titik dengan koordinat $x=3$, $y=1$.
6. $y_(min)=2$, $y_(maks)=-14$.
Opsi III.
1.$y=3x+2$.
2.
a) $y=-1$.
b) $y=8$.
4.
a) $x=-2$.
b) $x=3,5$.
c) $x=-0,5$.
5. Titik dengan koordinat $x=-3$, $y=10$.
6. $y_(min)=-5$, $y_(maks)=16$.
Opsi I.
1. Titik dengan koordinat (3;4).
2. Titik dengan koordinat (2;0).
3.
a) $x=2$, $y=-2$.
b) $x=10$, $y=5$.
4.
a) $x=4$, $y=0$.
b) $x=8$, $y=2$.
5. Satu angka adalah 5, angka lainnya adalah 4.
6. Angka yang satu adalah 30, angka yang lain adalah 50.
pilihan II.
1. Titik dengan koordinat (2;4).
2. Tidak ada titik potong.
3.
a) $x=3$, $y=-6$.
b) $x=6$, $y=-2$.
4.
a) $x=5$, $y=3$.
b) $x=4$, $y=1$.
5. Satu angka adalah 3, angka lainnya adalah 7.
6. Pada bulan Juli, petani pertama mengumpulkan 200 kg, petani kedua - 100 kg. Pada bulan Agustus, petani pertama mengumpulkan 400 kg, petani kedua mengumpulkan 50 kg.
Opsi III.
1. Titik dengan koordinat (3;-2).
2. Titik dengan koordinat (1;-2).
3.
a) $x=1$, $y=-1$.
b) $x=4$, $y=0$.
4.
a) $x=1$, $y=0$.
b) $x=-12$, $y=-6$.
5. Satu angka adalah 4, angka lainnya adalah 6.
6. Kecepatan perahu adalah 12,5 km/jam. Kecepatan sungai adalah 2,5 km/jam.
Opsi I.
1.a) $(3,4)^4$; b) $a^7$.
2.a) 125; b) 87.
3.a) $x=4$; b) $x=7$.
4.$V=64 (cm)^3$. $S=96 (cm)^2$.
5.a) $x^8$; b) $x^(10)$; c) $a^(18)$.
6. 256.
7.a) $64z^9$; b) $36x^6y^6$; c) $\frac(16a^(12))(b^6)$.
pilihan II.
1.a) $(5,1)^4$; b) $d^8$.
2.a) 1024; b) -152.
3.a) $y=9$; b) $x=6$.
4.$V=216 (cm)^3$; $a=6cm$.
5.a) $y^7$; b) $z^8$; c) $b^(20)$.
6. 6561.
7. a) $16 tahun^8$; b) $125x^6z^9$; c) $\frac(243c^(20))(d^4)$.
Opsi III.
1.a) $(6,2)^3$; b) $z^4$.
2.a) 1296; b) -56.
3.a) $f=4$; b) $x=5$.
4. $a=5cm$. $S=150 (cm)^2$.
5.a) $z^6$; b) $y^3$; c) $c^24$.
6. 64.
7.a) $9a^4$; b) $25z^6$; c) $\frac(64d^(30))(c^6)$.
Opsi I.
1. $-375x^5 tahun^8$.
2.$6ab^3$.
3. 3,25.
4.54km.
pilihan II.
1. $243x^7 tahun^7$.
2.$6cd^4$.
3. -2,92.
4.10 km.
Opsi III.
1. $-250a^5b^3y^3$.
2. $3 juta^2$.
3. 83.
4. 50km.
Opsi I.
1.a) $-12n^7m^5$; b) $\frac(2)(21)x^5y^8$.
2.10cm dan 15cm.
3.$-72a^9b^3$.
4.$27x^7d^4$.
pilihan II.
1. a) $-30y^6z^7$ b) $\frac(3)(64)a^6b^5$.
2.$\frac(5)(7)b^2d^2$.
3.$25c^5Z^5$.
Opsi III.
1.$-30t^5u^5$; b) $\frac(5)(81)x^4y^4$.
2. $2ze^3$.
3.$16t^7u^(10)$.
Opsi I.
1. 14.
2.$3x^2+2x-5=0$.
3.$\frac(123)(32)$.
4. a) $4 tahun(1+2 tahun)$; b) $7z^2(z^3-3)$; c) $2ab(3ab^4c+12bc-4ab^2)$.
5.$y=3$.
pilihan II.
1. 25.
2. $2 tahun^2-3 tahun-9=0$.
3.$\frac(89)(768)$.
4.a) $2z(1+3z)$; b) $8 tahun^3(tahun^2-3)$; c) $ab(2c-3ab+4ab^2c)$.
5. $y=-\frac(2)(3)$.
Opsi III.
1. 49,6.
2.$2z^2+7z-15=0$.
3.$\frac(2565)(81)$.
4.a) $3x(1+3x)$; b) $2 tahun^2(6 tahun^2-13)$; c) $3xy^2z(xy^3+4-3xy)$.
5.$a=-2$.
