Cara menghilangkan logaritma desimal. Fitur dan tanda-tanda penting. Menghitung nomor log

Pangkat satu bilangan disebut istilah matematika, ditemukan beberapa abad yang lalu. Dalam geometri dan aljabar, ada dua pilihan - desimal dan logaritma natural. Mereka sedang dihitung formula yang berbeda, sedangkan persamaan yang berbeda ejaannya selalu sama satu sama lain. Identitas ini mencirikan sifat-sifat yang berhubungan dengan potensi manfaat suatu fungsi.

Fitur dan tanda-tanda penting

Pada saat ini membedakan sepuluh kualitas matematika yang diketahui. Yang paling umum dan populer adalah:

Log radikal dibagi besaran akar selalu sama dengan logaritma desimal √.
Log produk selalu sama dengan jumlah produsen.
Lg = besar daya dikalikan bilangan yang dipangkatkan.
Jika Anda mengurangkan pembagi dari log pembagian, Anda mendapatkan log hasil bagi.

Selain itu, terdapat persamaan berdasarkan identitas utama (dianggap sebagai kunci), transisi ke basis yang diperbarui, dan beberapa rumus minor.

Menghitung logaritma desimal adalah tugas yang cukup khusus, jadi pengintegrasian properti ke dalam solusi harus dilakukan dengan hati-hati dan secara teratur memeriksa tindakan dan konsistensi Anda. Kita tidak boleh melupakan tabel, yang harus selalu dikonsultasikan, dan hanya dipandu oleh data yang ditemukan di sana.

Varietas istilah matematika

Perbedaan utama angka matematika"tersembunyi" di pangkalan (a). Jika memiliki indeks 10, maka itu benar log desimal. Sebaliknya, “a” diubah menjadi “y” dan memiliki sifat transendental dan irasional. Perlu juga dicatat bahwa nilai alami dihitung dengan persamaan khusus, di mana pembuktiannya adalah teori yang dipelajari di luar kurikulum sekolah kelas senior.

Logaritma desimal banyak digunakan dalam perhitungan. rumus yang rumit. Seluruh tabel telah disusun untuk memudahkan perhitungan dan menunjukkan dengan jelas proses penyelesaian masalah. Dalam hal ini, sebelum langsung ke intinya, Anda perlu membuat log Selain itu, di setiap toko perlengkapan sekolah Anda dapat menemukan penggaris khusus dengan skala tercetak yang membantu Anda menyelesaikan persamaan dengan kompleksitas apa pun.

Logaritma desimal Bilangan tersebut disebut bilangan Brigg, atau bilangan Euler, untuk menghormati peneliti yang pertama kali menerbitkan nilai tersebut dan menemukan perbedaan antara kedua definisi tersebut.

Dua jenis rumus

Semua jenis dan ragam soal untuk menghitung jawabannya, yang memiliki syarat istilah log in, mempunyai nama tersendiri dan struktur matematis yang ketat. Persamaan eksponensial adalah salinan perhitungan logaritma yang hampir sama persis, jika Anda melihat kebenaran solusinya. Hanya saja opsi pertama menyertakan nomor khusus yang membantu Anda memahami kondisi dengan cepat, dan opsi kedua menggantikan log dengan pangkat biasa. Dalam hal ini perhitungan menggunakan rumus terakhir harus menyertakan nilai variabel.

Perbedaan dan terminologi

Kedua indikator utama tersebut memiliki ciri khas tersendiri yang membedakan angka satu sama lain:

Logaritma desimal. Detail penting Angka memerlukan basis. Versi standar nilainya adalah 10. Ditandai dengan urutan - log x atau log x.
Alami. Jika basisnya adalah tanda "e", yang merupakan konstanta yang identik dengan persamaan yang dihitung secara ketat, di mana n bergerak cepat menuju tak terhingga, maka perkiraan besaran bilangan dalam ekuivalen digital adalah 2,72. Penandaan resmi, yang diadopsi baik di sekolah maupun dalam formula profesional yang lebih kompleks, adalah ln x.
Berbeda. Selain logaritma dasar, ada tipe heksadesimal dan biner (masing-masing basis 16 dan 2). Apakah masih ada lagi pilihan yang paling sulit dengan indikator dasar 64, tunduk pada kontrol adaptif sistematis, yang menghitung hasil akhir dengan akurasi geometris.

Terminologinya mencakup besaran-besaran berikut yang termasuk dalam soal aljabar:

arti;
argumen;
basis.

Menghitung nomor log

Ada tiga cara cepat dan mudah secara lisan untuk melakukan segalanya perhitungan yang diperlukan untuk menemukan hasil yang menarik dengan hasil keputusan yang benar wajib. Awalnya, kita mendekatkan logaritma desimal ke urutannya (notasi ilmiah suatu bilangan pangkat). Setiap nilai positif dapat ditentukan dengan persamaan, yang sama dengan mantissa (angka dari 1 hingga 9) dikalikan sepuluh dalam gelar ke-n. Opsi perhitungan ini didasarkan pada dua fakta matematika:

log hasil kali dan jumlah selalu memiliki eksponen yang sama;
logaritma yang diambil dari angka satu sampai sepuluh tidak boleh melebihi nilai 1 poin.

Jika terjadi kesalahan dalam perhitungan, maka pada arah pengurangan tidak pernah kurang dari satu.
Akurasi meningkat jika kita menganggap lg dengan basis tiga memiliki hasil akhir- lima persepuluh satu. Oleh karena itu, nilai matematika apa pun yang lebih besar dari 3 secara otomatis menambahkan satu poin pada jawabannya.
Akurasi yang hampir sempurna dapat dicapai jika Anda memilikinya meja khusus, yang dapat dengan mudah diterapkan dalam kegiatan penilaian Anda. Dengan bantuannya, Anda dapat mengetahui berapa logaritma desimal yang sama dengan sepersepuluh persen dari bilangan aslinya.

Sejarah log nyata

Abad ke-16 sangat membutuhkan kalkulus yang lebih kompleks dibandingkan ilmu pengetahuan pada saat itu. Hal ini terutama berlaku untuk membagi dan mengalikan bilangan multi-digit urutan besar, termasuk pecahan.

Di penghujung era paruh kedua, beberapa pemikir langsung mengambil kesimpulan tentang penjumlahan bilangan dengan menggunakan tabel perbandingan dua dan tabel geometri. Dalam hal ini, semua perhitungan dasar harus bertumpu pada nilai terakhir. Para ilmuwan telah mengintegrasikan pengurangan dengan cara yang sama.

Penyebutan lg pertama kali terjadi pada tahun 1614. Hal ini dilakukan oleh seorang matematikawan amatir bernama Napier. Perlu dicatat bahwa, meskipun hasil yang diperoleh sangat dipopulerkan, ada kesalahan dalam rumus karena ketidaktahuan terhadap beberapa definisi yang muncul kemudian. Itu dimulai dengan digit keenam dari indikator. Yang paling dekat dengan pemahaman logaritma adalah Bernoulli bersaudara, dan legalisasi debutnya terjadi pada abad kedelapan belas oleh Euler. Ia juga memperluas fungsinya ke bidang pendidikan.

Sejarah log yang kompleks

Upaya debut untuk mengintegrasikan lg ke masyarakat umum dilakukan pada awal abad ke-18 oleh Bernoulli dan Leibniz. Namun mereka tidak pernah mampu menyusun perhitungan teoritis yang komprehensif. Ada banyak diskusi tentang ini, tapi definisi yang tepat nomor itu tidak ditetapkan. Kemudian dialog dilanjutkan kembali, namun antara Euler dan d'Alembert.

Yang terakhir pada prinsipnya setuju dengan banyak fakta yang diajukan oleh pendiri Magnitudo, tetapi percaya bahwa hal positif dan indikator negatif harus sama. Pada pertengahan abad tersebut, formula tersebut didemonstrasikan sebagai versi final. Selain itu, Euler menerbitkan turunan logaritma desimal dan menyusun grafik pertama.

Tabel

Sifat-sifat bilangan menunjukkan bahwa bilangan multi-digit tidak dapat dikalikan, tetapi lognya dapat ditemukan dan dijumlahkan menggunakan tabel khusus.

Indikator ini menjadi sangat berharga bagi para astronom yang terpaksa bekerja dengan rangkaian urutan yang besar. DI DALAM waktu Soviet Logaritma desimal dicari dalam koleksi Bradis yang diterbitkan pada tahun 1921. Kemudian, pada tahun 1971, edisi Vega muncul.

Yang sangat mudah digunakan, tidak memerlukan antarmuka dan peluncurannya - program tambahan. Yang harus Anda lakukan adalah mengunjungi situs web Google dan memasukkan kueri yang sesuai di satu-satunya bidang di halaman ini. Misalnya, untuk menghitung logaritma desimal 900, masukkan permintaan pencarian lg 900 dan segera (bahkan tanpa menekan tombol) Anda akan menerima 2.95424251.

Gunakan kalkulator jika Anda tidak memiliki akses mesin pencari. Bisa juga berupa kalkulator perangkat lunak dari ditetapkan standar sistem operasi Windows. Cara termudah untuk menjalankannya adalah dengan menekan kombinasi tombol WIN + R, masukkan perintah calc dan klik tombol OK. Cara lain adalah dengan membuka menu pada tombol “Start” dan memilih “All Programs” darinya. Kemudian Anda perlu membuka bagian "Standar" dan pergi ke subbagian "Layanan" dan mengklik tautan "Kalkulator" di sana. Jika Anda menggunakan Windows 7, Anda dapat menekan tombol WIN dan mengetik "Kalkulator" di kotak pencarian, lalu klik link yang sesuai di hasil pencarian.

Alihkan antarmuka kalkulator ke mode lanjutan, karena ini terbuka secara default versi dasar Operasi yang Anda perlukan tidak disediakan. Untuk melakukan ini, buka bagian "Tampilan" di menu program dan pilih " " atau "rekayasa" - tergantung pada versi sistem operasi yang diinstal pada komputer Anda.

Saat ini Anda tidak akan mengejutkan siapa pun dengan diskon. Penjual memahami bahwa diskon bukanlah sarana untuk meningkatkan pendapatan. Yang paling efektif bukanlah diskon 1-2 untuk produk tertentu, melainkan sistem diskon yang harus sederhana dan mudah dipahami oleh karyawan perusahaan dan pelanggannya.

instruksi

Anda mungkin memperhatikan bahwa saat ini yang paling umum adalah pertumbuhan seiring dengan peningkatan volume produksi. DI DALAM pada kasus ini penjual mengembangkan skala persentase diskon, yang meningkat seiring dengan pertumbuhan volume pembelian selama periode tertentu. Misalnya, Anda membeli ketel dan pembuat kopi dan menerimanya diskon 5%. Jika Anda juga membeli setrika bulan ini, Anda akan menerimanya diskon 8% untuk semua barang yang dibeli. Pada saat yang sama, keuntungan yang diterima perusahaan pada harga diskon dan peningkatan volume penjualan tidak boleh kurang dari keuntungan yang diharapkan pada harga tanpa diskon dan tingkat penjualan yang sama.

Menghitung skala diskon itu mudah. Pertama, tentukan volume penjualan dari mana diskon dimulai. Sebagai batasan yang lebih rendah dapat diambil . Kemudian hitung perkiraan jumlah keuntungan yang ingin Anda peroleh dari produk yang Anda jual. Batas atasnya akan dibatasi oleh daya beli produk dan sifat kompetitifnya. Maksimum diskon dapat dihitung sebagai berikut: (keuntungan – (keuntungan x penjualan minimum / volume yang diharapkan) / harga satuan.

Diskon lain yang cukup umum adalah diskon kontrak. Ini mungkin diskon saat pembelian tipe tertentu barang, serta ketika membayar dalam satu mata uang atau lainnya. Terkadang diskon jenis ini diberikan saat membeli barang dan memesan untuk pengiriman. Misalnya, Anda membeli produk perusahaan, memesan transportasi dari perusahaan yang sama dan menerimanya diskon 5% untuk barang yang dibeli.

Besarnya diskon sebelum hari raya dan musiman ditentukan berdasarkan harga pokok barang di gudang dan kemungkinan terjualnya barang pada harga yang ditetapkan. Biasanya pengecer menggunakan diskon seperti itu, misalnya saat menjual pakaian dari koleksi musim lalu. Supermarket menggunakan diskon serupa untuk meringankan beban kerja toko di malam hari dan akhir pekan. Dalam hal ini, besar kecilnya diskon ditentukan oleh besarnya keuntungan yang hilang jika permintaan konsumen tidak terpenuhi pada jam sibuk.

Sumber:

cara menghitung persentase diskon di tahun 2019

Menghitung logaritma mungkin diperlukan untuk mencari nilai menggunakan rumus yang mengandung hal yang tidak diketahui indikator variabel derajat. Dua jenis logaritma, tidak seperti yang lainnya, miliki nama yang tepat dan notasinya adalah logaritma dengan basis 10 dan bilangan e (konstanta irasional). Mari kita lihat beberapa cara sederhana menghitung logaritma basis 10 - logaritma "desimal".

instruksi

Gunakan untuk perhitungan yang dibangun di ruang operasi sistem jendela. Untuk menjalankannya, tekan tombol win, pilih “Run” di menu utama sistem, masukkan calc dan klik OK. Antarmuka standar program ini tidak memiliki fungsi untuk menghitung algoritma, jadi perluas bagian "Tampilan" di menunya (atau tekan kombinasi tombol alt + "dan") dan pilih baris "ilmiah" atau "rekayasa".

instruksi

Tuliskan yang diberikan ekspresi logaritmik. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;

Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.

Sumber:

turunan dari suatu konstanta

Jadi, apa perbedaannya persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

instruksi

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukan nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu 1 adalah akar asing, dan karenanya persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotong akar-akar asing. Untuk melakukan ini, gantikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli.

Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, di sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Artinya, hal yang biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transformasi identitas sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan yang paling sederhana operasi aritmatika tugas yang ada akan terpecahkan.

Anda akan perlu

- kertas;
- pena.

instruksi

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak dan rumus trigonometri, yang pada dasarnya merupakan identitas yang sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua suku sama dengan persegi bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kedua dan ditambah kuadrat bilangan kedua, yaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Sederhanakan keduanya

Prinsip umum penyelesaiannya

Ulangi sesuai dengan buku teks analisis matematis atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti diketahui, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya menghasilkan integral. Fungsi ini disebut antiturunan. Berdasarkan prinsip ini, integral utama dibangun.
Tentukan berdasarkan jenis integran integral tabel mana yang cocok dalam kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan hal ini dengan segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa kali transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode Penggantian Variabel

Jika fungsi integralnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya mengandung beberapa polinomial, lalu coba gunakan metode penggantian variabel. Untuk melakukan ini, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan hubungan antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Diferensiasi ekspresi yang diberikan temukan diferensial baru di . Jadi, Anda akan mendapatkan jenis baru dari integral sebelumnya, mendekati atau bahkan sesuai dengan integral tabel mana pun.

Menyelesaikan integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integran, maka Anda perlu menggunakan aturan transisi dari integral tersebut ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah hubungan Ostrogradsky-Gauss. hukum ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari aliran rotor ke beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga atas divergensi bidang vektor tertentu.

Pergantian batas integrasi

Setelah menemukan antiturunannya, perlu dilakukan substitusi terhadap limit integrasinya. Substitusikan dulu nilainya batas atas menjadi ekspresi untuk antiturunan. Anda akan mendapatkan beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari bilangan yang dihasilkan bilangan lain yang diperoleh dari batas bawah ke dalam antiturunan. Jika salah satu limit integrasi adalah tak terhingga, maka ketika disubstitusikan ke dalam fungsi antiturunan kita perlu mencapai batasnya dan menemukan apa yang diperjuangkan oleh ekspresi tersebut.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, Anda harus merepresentasikan limit integrasi secara geometris untuk memahami cara mengevaluasi integral. Memang benar, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang diintegrasikan.

Mereka sering mengambil nomor sepuluh. Logaritma bilangan yang berdasarkan basis sepuluh disebut desimal. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma desimal, biasanya dilakukan dengan tanda lg, tapi tidak catatan; dalam hal ini, angka sepuluh, yang menentukan basis, tidak ditunjukkan. Ya, mari kita ganti catatan 10 105 untuk disederhanakan lg105; A catatan 10 2 pada lg2.

Untuk logaritma desimal ciri-ciri yang sama yang dimiliki logaritma dengan basis lebih besar dari satu adalah tipikal. Yaitu, logaritma desimal dikarakterisasi secara eksklusif untuk bilangan positif. Logaritma bilangan desimal, unit besar, bernilai positif, dan angka yang kurang dari satu bernilai negatif; dari dua bilangan non-negatif, bilangan yang lebih besar setara dengan logaritma desimal yang lebih besar, dan seterusnya. Selain itu, logaritma desimal memiliki fitur khas dan ciri-ciri khusus yang menjelaskan mengapa angka sepuluh lebih disukai sebagai basis logaritma.

Sebelum mengkaji sifat-sifat ini, mari kita kenali formulasi berikut ini.

Bagian bilangan bulat dari logaritma desimal suatu bilangan A disebut ciri, dan pecahannya adalah mantissa logaritma ini.

Ciri-ciri logaritma desimal suatu bilangan A diindikasikan sebagai , dan mantissa sebagai (lg A}.

Misalkan, log 2 ≈ 0,3010. Oleh karena itu = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Begitu juga untuk log 543.1 ≈2.7349. Oleh karena itu, = 2, (log 543.1)≈ 0,7349.

Perhitungan logaritma desimal bilangan positif dari tabel banyak digunakan.

Ciri-ciri logaritma desimal.

Tanda pertama logaritma desimal. bilangan bulat non-negatif yang diwakili oleh satu diikuti dengan nol adalah bilangan bulat positif yang sama dengan jumlah nol dalam catatan bilangan yang dipilih .

Misalkan log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Secara umum, jika

Itu A= 10N , dari mana kita mendapatkan

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Tanda kedua. Sepuluh logaritma desimal positif, yang ditampilkan sebagai satu dengan nol di depannya, adalah - P, Di mana P- jumlah angka nol dalam representasi angka ini, dengan memperhitungkan nol bilangan bulat.

Mari kita pertimbangkan , catatan 0,001 = - 3, catatan 0,000001 = -6.

Secara umum, jika

Itu A= 10-N dan ternyata

lga= lg 10N =-n log 10 =-n

Tanda ketiga. Ciri-ciri logaritma desimal suatu bilangan non-negatif yang lebih besar dari satu sama dengan banyaknya digit pada bagian bilangan bulat bilangan tersebut tidak termasuk satu.

Mari kita selesaikan tanda ini 1) Ciri logaritma lg 75.631 sama dengan 1.

Memang benar, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ini menyiratkan,

catatan 75.631 = 1 +b,

Menggeser titik desimal dalam pecahan desimal ke kanan atau ke kiri sama dengan operasi mengalikan pecahan ini dengan pangkat sepuluh dengan eksponen bilangan bulat P(positif atau negatif). Oleh karena itu, ketika koma desimal pada pecahan desimal positif digeser ke kiri atau ke kanan, mantissa logaritma desimal pecahan tersebut tidak berubah.

Jadi, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

BAGIAN XIII.

LOGARITMA DAN APLIKASINYA.

§ 2. Logaritma desimal.

Logaritma desimal dari angka 1 adalah 0. Logaritma desimal derajat positif 10, yaitu bilangan 10, 100, 1000,.... intinya bilangan positif 1, 2, 3,...., jadi pada umumnya logaritma suatu bilangan dilambangkan dengan satu yang nol, sama dengan nomornya angka nol. Logaritma desimal pangkat negatif 10, mis. pecahan 0,1, 0,01, 0,001,.... merupakan bilangan negatif -1, -2, -3....., jadi secara umum logaritma pecahan desimal yang pembilangnya satu sama dengan bilangan negatif dari angka nol pada penyebutnya.

Logaritma dari semua bilangan sepadan lainnya tidak dapat dibandingkan. Logaritma tersebut dihitung kira-kira, biasanya dengan akurasi seperseratus ribu, dan oleh karena itu dinyatakan dalam lima digit desimal; misalnya log 3 = 0,47712.

Saat memaparkan teori logaritma desimal, semua bilangan diasumsikan tersusun menurut sistem desimal satuan dan pecahannya, dan semua logaritma dinyatakan melalui pecahan desimal yang berisi 0 bilangan bulat, dengan kenaikan atau penurunan bilangan bulat. Bagian pecahan dari logaritma disebut mantissanya, dan seluruh kenaikan atau penurunannya disebut mantissanya ciri. Logaritma bilangan yang lebih besar dari satu selalu positif dan oleh karena itu mempunyai sifat positif; logaritma bilangan yang kurang dari satu selalu negatif, tetapi direpresentasikan sedemikian rupa sehingga mantissanya menjadi positif, dan salah satu karakteristiknya negatif: misalnya log 500 = 0,69897 + 2 atau lebih pendek 2,69897, dan log 0,05 = 0, 69897-2, yang singkatnya dilambangkan dengan 2,69897, menempatkan karakteristik di tempat bilangan bulat, tetapi dengan tanda di atasnya. Jadi, logaritma suatu bilangan yang lebih besar dari satu menyatakan jumlah aritmatika dari bilangan bulat positif dan pecahan positif, dan logaritma suatu bilangan yang kurang dari satu adalah jumlah aljabar bilangan bulat negatif dengan pecahan positif.

Logaritma negatif apa pun dapat direduksi menjadi bentuk buatan yang ditunjukkan. Misalnya, kita mempunyai log 3/5 = log 3 - log 5 = 0,47712-0,69897 = -0,22185. Untuk mengubah logaritma yang sebenarnya ini menjadi bentuk buatan, kita menambahkan 1 ke dalamnya dan, setelah penjumlahan aljabar, kita menunjukkan pengurangan satu untuk koreksi.

Kita mendapatkan log 3/5 = log 0,6 = (1-0,22185)-1 = 0,77815-1. Ternyata mantissa 0,77815 sama dengan pembilang 6 bilangan tersebut, yang direpresentasikan dalam sistem desimal sebagai pecahan 0,6.

IIra representasi tertentu dari logaritma desimal, mantissa dan karakteristiknya properti penting sehubungan dengan penunjukan dalam sistem desimal dari angka-angka yang sesuai. Untuk menjelaskan sifat-sifat ini, kami perhatikan hal berikut. Mari kita ambil sebagai jenis bilangan utama beberapa bilangan arbitrer yang terdapat antara 1 dan 10, dan, jika dinyatakan dalam sistem desimal, nyatakan dalam bentuk a,b,c,d,e,f ...., Di mana A terdapat salah satu angka penting 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan tanda desimalnya, b,c,d,e,f ....... adalah bilangan apa pun yang di antaranya mungkin ada angka nol. Karena bilangan yang diambil berisi antara 1 dan 10, maka logaritmanya terdapat antara 0 dan 1 sehingga logaritma ini terdiri dari satu mantissa tanpa karakteristik atau dengan karakteristik 0. Mari kita nyatakan logaritma ini dalam bentuk 0 ,α β γ δ ε ...., Di mana α, β ,γ ,δ, ε inti dari beberapa angka. Sekarang mari kita kalikan bilangan ini di satu sisi dengan bilangan 10, 100, 1000,.... dan di sisi lain dengan bilangan 0,1, 0,01, 0,001,... dan terapkan teorema pada logaritma hasil kali dan hasil bagi. Kemudian kita memperoleh rangkaian bilangan yang lebih besar dari satu dan rangkaian bilangan yang kurang dari satu dengan logaritmanya:

lg A ,SMK f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg ab,cde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg abc, de f ....= 2 ,α β γ δ ε ....lg 0,0abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg abcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε ....lg 0,00abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Ketika mempertimbangkan persamaan ini, sifat-sifat dan karakteristik mantissa berikut ini terungkap:

Properti Mantissa. Mantissa bergantung pada lokasi dan jenis celah digit suatu bilangan, tetapi sama sekali tidak bergantung pada tempat koma dalam penunjukan bilangan tersebut. Mantissa logaritma bilangan yang mempunyai perbandingan desimal, mis. mereka yang rasio kelipatannya sama dengan positif atau derajat negatif sepuluh adalah sama.

Properti karakteristik. Ciri-cirinya bergantung pada pangkat satuan tertinggi atau pecahan desimal suatu bilangan, tetapi sama sekali tidak bergantung pada jenis angka dalam penunjukan bilangan tersebut.

Jika kita menyebutkan angka-angkanya A ,SMK f ...., ab,cde f ...., abc, de f .... bilangan digit positif - digit pertama, kedua, ketiga, dst., digit angka 0,abcde f .... kita akan mempertimbangkan nol, dan digit angka 0,0abcde f ...., 0,00abcde f ...., 0,000abcde f ....mari kita berekspresi angka negatif minus satu, minus dua, minus tiga, dan seterusnya, maka secara umum kita dapat mengatakan bahwa karakteristik logaritma suatu angka desimal per unit angka yang lebih sedikit, menunjukkan peringkat

101. Diketahui log 2 =0,30103, carilah logaritma dari bilangan 20,2000, 0,2 dan 0,00002.

101. Mengetahui log 3=0,47712, tentukan logaritma dari bilangan 300, 3000, 0,03 dan 0,0003.

102. Diketahui log 5 = 0,69897, carilah logaritma dari bilangan 2,5, 500, 0,25 dan 0,005.

102. Mengetahui log 7 = 0,84510, tentukan logaritma dari bilangan 0,7, 4,9, 0,049 dan 0,0007.

103. Mengetahui log 3=0,47712 dan log 7=0,84510, tentukan logaritma dari bilangan 210, 0,021, 3/7, 7/9 dan 3/49.

103. Mengetahui log 2=0,30103 dan log 7=0,84510, tentukan logaritma bilangan 140, 0,14, 2/7, 7/8 dan 2/49.

104. Mengetahui log 3 = 0,47712 dan log 5 = O.69897, tentukan logaritma bilangan 1.5, 3/5, 0.12, 5/9 dan 0.36.

104. Mengetahui log 5 = 0,69897 dan log 7 = 0,84510, tentukan logaritma bilangan 3,5, 5/7, 0,28, 5/49 dan 1,96.

Logaritma desimal bilangan yang dinyatakan dalam tidak lebih dari empat digit ditemukan langsung dari tabel, dan dari tabel ditemukan mantissa dari logaritma yang diinginkan, dan karakteristiknya diatur sesuai dengan pangkat bilangan yang diberikan.

Jika bilangan tersebut mengandung lebih dari empat digit, maka pencarian logaritmanya disertai dengan perhitungan tambahan. Aturannya adalah: untuk menemukan logaritma suatu bilangan yang mengandung lebih dari empat digit, Anda perlu mencari dalam tabel bilangan yang ditunjukkan oleh empat digit pertama dan menuliskan mantissa yang sesuai dengan empat digit tersebut; kemudian kalikan selisih tabel mantissa dengan bilangan yang terdiri dari angka-angka yang dibuang, dalam hasil perkaliannya, buang sebanyak mungkin angka dari kanan yang dibuang pada bilangan yang diberikan, dan tambahkan hasilnya ke digit terakhir mantpsea yang dipilih; letakkan ciri-cirinya sesuai dengan pangkat bilangan yang diberikan.

Apabila suatu bilangan dicari dengan menggunakan logaritma tertentu dan logaritma tersebut terdapat dalam tabel, maka angka-angka dari bilangan yang dicari tersebut dicari langsung dari tabel tersebut, dan pangkat bilangan tersebut ditentukan sesuai dengan ciri-ciri logaritma yang diberikan.

Jika logaritma ini tidak terdapat dalam tabel, maka pencarian bilangan tersebut disertai dengan perhitungan tambahan. Aturannya adalah: untuk menemukan bilangan yang sesuai dengan logaritma tertentu, yang mantissanya tidak terdapat dalam tabel, Anda perlu mencari mantissa terdekat yang lebih kecil dan menuliskan digit dari bilangan yang sesuai; kemudian kalikan selisih antara mantissa yang diberikan dan mantissa yang ditemukan dengan 10 dan bagi hasilnya dengan selisih yang ditabulasikan; tambahkan digit hasil bagi yang dihasilkan di sebelah kanan ke digit angka yang tertulis, itulah sebabnya Anda mendapatkan kumpulan digit yang diinginkan; Pangkat suatu bilangan harus ditentukan sesuai dengan ciri-ciri logaritma yang diberikan.

105. Carilah logaritma dari bilangan 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18.43, 2.05, 900.1, 0.73, 0.0028, 0.1008, 0.00005.

105. Tentukan logaritma bilangan 15.154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8.315, 790.7, 0.09, 0.6745, 0.000745, 0.04257, 0.00071.

106. Carilah logaritma dari bilangan 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.79556, 0.747428, 0.00237158.

106. Tentukan logaritma dari bilangan 2578.4, 1323.6, 8170.5, 6245.3, 437.65, 87.268, 0.059372, 0.84938, 62.5475, 131.037, 0.593946, 0.00234261.

107. Temukan angka-angka yang sesuai dengan logaritma 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692. 4.87800 5.14613.

107. Carilah bilangan-bilangan yang sesuai dengan logaritma 3.07372, 3.69205, 1.64904, 2.16107, 0.70364, 1.31952, 4.30814, 3.00087, 2.69949, 6.57978.

108. Carilah bilangan yang sesuai dengan logaritma 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 4.25100.

108. Carilah bilangan-bilangan yang sesuai dengan logaritma 3.33720, 3.09875, 0.70093, 4.04640, 2.94004, 1.41509, 2.32649, 4.14631, 3.01290, 5.39003.

Logaritma positif dari bilangan yang lebih besar dari satu adalah jumlah aritmatika karakteristik dan mantissa mereka. Oleh karena itu, operasi dengan mereka dilakukan sesuai dengan aturan aritmatika biasa.

Logaritma negatif dari bilangan yang kurang dari satu adalah jumlah aljabar dari karakteristik negatif dan mantissa positif. Oleh karena itu, tindakan terhadap mereka dilakukan sesuai dengan aturan aljabar, yang dilengkapi dengan instruksi khusus yang berkaitan dengan pengurangan logaritma negatif ke bentuk normalnya. Bentuk biasa Logaritma negatif adalah logaritma yang karakteristiknya berupa bilangan bulat negatif dan mantissanya berupa pecahan wajar positif.

Untuk mengubah logaritma reflektif sebenarnya ke bentuk buatan normalnya, Anda perlu meningkatkannya nilai mutlak keseluruhan istilahnya satu per satu dan menjadikan hasilnya sebagai karakteristik negatif; lalu tambahkan semua angka suku pecahan menjadi 9, dan angka terakhir menjadi 10 dan jadikan hasilnya mantissa positif. Misalnya -2,57928 = 3,42072.

Untuk mengubah bentuk normal buatan suatu logaritma menjadi bentuk aslinya arti negatif, perlu dikurangi satu karakterisasi negatif dan jadikan hasilnya sebagai bilangan bulat dengan jumlah negatif; kemudian jumlahkan semua angka mantissa menjadi 9, dan angka terakhir menjadi 10 dan jadikan hasilnya menjadi suku pecahan dengan jumlah negatif yang sama. Contoh: 4,57406= -3,42594.

109. Ubah logaritma menjadi bentuk tiruan -2.69537, -4, 21283, -0.54225, -1.68307, -3.53820, -5.89990.

109. Ubah logaritma menjadi bentuk tiruan -3.21729, -1.73273, -5.42936, -0.51395, -2.43780, -4.22990.

110. Temukan nilai sebenarnya dari logaritma 1.33278, 3.52793, 2.95426, 4.32725, 1.39420, 5.67990.

110. Tentukan nilai sebenarnya dari logaritma 2.45438, 1.73977, 3.91243, 5.12912, 2.83770, 4.28990.

Aturan operasi aljabar dengan logaritma negatif dinyatakan sebagai berikut:

Untuk menerapkan logaritma negatif dalam bentuk buatannya, Anda perlu menerapkan mantissa dan mengurangi nilai absolut dari karakteristiknya. Jika bilangan bulat positif muncul dari penjumlahan mantissa, maka Anda perlu mengaitkannya dengan karakteristik hasil, dan melakukan koreksi yang sesuai. Misalnya,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Untuk mengurangkan logaritma negatif dalam bentuk buatannya, Anda perlu mengurangi mantissa dan menambahkan nilai absolut dari karakteristiknya. Jika mantissa yang dikurangi berukuran besar, maka perlu dilakukan penyesuaian pada ciri minuend sehingga dapat memisahkan satuan positif dari minuend. Misalnya,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Untuk mengalikan logaritma negatif dengan bilangan bulat positif, Anda perlu mengalikan karakteristik dan mantissanya secara terpisah. Jika, saat mengalikan mantissa, bilangan bulat positif teridentifikasi, maka Anda perlu mengaitkannya dengan karakteristik hasil, dengan membuat amandemen yang sesuai. Misalnya,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Saat mengalikan logaritma negatif dengan besaran negatif, Anda harus mengganti perkaliannya dengan nilai sebenarnya.

Untuk membagi logaritma negatif dengan bilangan bulat positif, Anda perlu memisahkan karakteristik dan mantissanya secara terpisah. Jika sifat pembagi tidak habis dibagi pembaginya, maka perlu dilakukan perubahan sehingga memasukkan beberapa satuan positif ke dalam mantissa, dan menjadikan sifat tersebut kelipatan pembaginya. Misalnya,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Saat membagi logaritma negatif dengan besaran negatif, Anda perlu mengganti dividen dengan nilai sebenarnya.

Lakukan penghitungan berikut menggunakan tabel logaritma dan periksa hasilnya dalam kasus paling sederhana menggunakan metode biasa:

174. Tentukan volume kerucut yang matriks generatriknya 0,9134 kaki dan jari-jari alasnya 0,04278 kaki.

175. Hitung suku ke-15 suatu barisan berganda yang suku pertamanya 2 3/5 dan penyebutnya 1,75.

175. Hitung suku pertama suatu barisan berganda yang suku kesebelasnya sama dengan 649,5 dan penyebutnya 1,58.

176. Tentukan banyaknya faktor A , A 3 , A 5 R . Temukan sesuatu seperti ini A , yang hasil kali 10 faktornya sama dengan 100.

176. Tentukan banyaknya faktor. A 2 , A 6 , A 10 ,.... agar produknya setara nomor yang diberikan R . Temukan sesuatu seperti ini A , yang hasil kali 5 faktornya sama dengan 10.

177. Penyebut suatu barisan berganda adalah 1,075, jumlah 10 sukunya adalah 2017,8. Temukan suku pertama.

177. Penyebut suatu barisan berganda adalah 1,029, jumlah 20 sukunya adalah 8743,7. Temukan suku kedua puluh.

178 . Nyatakan banyaknya suku suatu barisan berganda yang diketahui suku pertamanya A , terakhir dan penyebut Q , lalu, secara acak memilih nilai numerik A Dan kamu , menjemput Q sehingga P

178. Nyatakan banyak suku suatu barisan berganda jika diketahui suku pertamanya A , terakhir Dan dan penyebut Q Dan Dan Q , menjemput A sehingga P adalah bilangan bulat.

179. Tentukan banyaknya faktor sehingga hasil kali keduanya sama R . Seperti apa rasanya R untuk A =0,5 dan B =0,9 jumlah faktornya adalah 10.

179. Tentukan banyaknya faktor agar produknya setara R . Seperti apa rasanya R untuk A =0,2 dan B =2 banyaknya faktor adalah 10.

180. Nyatakan banyaknya suku suatu barisan berganda yang diketahui suku pertamanya A , saya akan mengikuti Dan dan produk semua anggota R , dan kemudian, memilih secara sewenang-wenang nilai numerik A Dan R , menjemput Dan lalu penyebutnya Q sehingga Dan adalah bilangan bulat.

160. Nyatakan banyaknya suku suatu barisan berganda jika diketahui suku pertamanya A , yang terakhir dan dan produk dari semua istilah R , lalu, secara acak memilih nilai numerik Dan Dan R , menjemput A lalu penyebutnya Q sehingga P adalah bilangan bulat.