Apa itu persamaan kuadrat? Cara menyelesaikan persamaan kuadrat. cara menyelesaikan persamaan kuadrat

Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babel Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya persamaan derajat pertama, tetapi juga derajat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas. bidang tanah dan dengan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Menggunakan modern notasi aljabar, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks paku mereka, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep tersebut angka negatif Dan metode umum menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar secara sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan membangun persamaan-persamaan dengan derajat yang berbeda-beda.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x .

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

kamu 2 - 20 tahun + 96 = 0. (2)


Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan Kuadrat di India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi satu bentuk kanonik:

ah 2+ B x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

DI DALAM India Kuno Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi tersebut: “Seperti matahari menutupi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang terpelajar akan menutupi kemuliaan orang lain majelis rakyat, mengusulkan dan memutuskan masalah aljabar" Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Ada berapa monyet di alun-alun, bagian delapan.

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. kapak 2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. ah 2+ bx = s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu. bx + c = kapak 2 .

Bagi al-Khorezmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak ada keputusan positif. Penulis menguraikan solusinya persamaan di atas, menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama

al-Khorezmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena secara spesifik masalah praktis itu tidak masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap al-Khorezmi secara parsial contoh numerik menjabarkan aturan penyelesaiannya dan kemudian pembuktian geometrinya.

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (menyiratkan akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XVII bb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun di dunia Yunani kuno, dibedakan berdasarkan kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa hal baru contoh aljabar memecahkan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang memperkenalkan angka negatif. Bukunya membantu menyebar pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Peraturan umum solusi persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B , Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Penurunan rumus penyelesaian persamaan kuadrat di pandangan umum Viet memilikinya, tapi Viet hanya mengenalinya akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Mereka memperhitungkan, selain hal positif, dan akar negatif. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D, dikalikan dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D ».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita X), vokal DI DALAM, D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(sebuah + B )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Menyatakan hubungan antara akar dan koefisien persamaan rumus umum ditulis menggunakan simbol, Viet menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Vietnam masih jauh dari harapan tampilan modern. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

Melanjutkan topik “Menyelesaikan Persamaan”, materi pada artikel ini akan mengenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari kita pertimbangkan semuanya secara detail: esensi dan pencatatan persamaan kuadrat, tentukan istilah-istilah terkait, analisis skema penyelesaian tidak lengkap dan persamaan lengkap, kita akan mengenal rumus akar dan diskriminan, membangun hubungan antara akar dan koefisien, dan tentunya kita akan memberikan solusi visual melalui contoh-contoh praktis.

Yandex.RTB RA-339285-1

Persamaan kuadrat, jenis-jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis sebagai ax 2 + bx + c = 0, Di mana X– variabel, a , b dan C– beberapa nomor, sementara A tidak nol.

Seringkali persamaan kuadrat disebut juga persamaan derajat kedua, karena pada hakikatnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Mari kita beri contoh untuk mengilustrasikannya definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dst. Ini adalah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Angka a, b dan C adalah koefisien persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, sedangkan koefisiennya A disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien pada X, A C disebut anggota bebas.

Misalnya pada persamaan kuadrat 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 koefisien terdepan adalah 6, koefisien kedua adalah − 2 , dan suku bebasnya sama dengan − 11 . Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien B dan/atau c negatif, maka gunakan bentuk pendek catatan seperti 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, tapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Mari kita perjelas juga aspek ini: jika koefisien A dan/atau B setara 1 atau − 1 , maka mereka tidak boleh mengambil bagian secara eksplisit dalam penulisan persamaan kuadrat, yang dijelaskan oleh kekhasan penulisan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya pada persamaan kuadrat kamu 2 − kamu + 7 = 0 koefisien terdepan adalah 1, dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi

Berdasarkan nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibedakan menjadi tereduksi dan tidak tereduksi.

Definisi 3

Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat yang koefisien utamanya adalah 1. Untuk nilai koefisien terdepan lainnya, persamaan kuadrat tidak tereduksi.

Mari kita beri contoh: persamaan kuadrat x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 dikurangi, yang masing-masing koefisien utamanya adalah 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- persamaan kuadrat tak tereduksi yang koefisien pertamanya berbeda 1 .

Persamaan kuadrat yang tidak tereduksi dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua ruas dengan koefisien pertama ( transformasi setara). Persamaan yang ditransformasikan akan memiliki akar-akar yang sama dengan persamaan tak tereduksi yang diberikan atau juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan contoh konkrit akan memungkinkan kita untuk dengan jelas menunjukkan transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi.

Contoh 1

Diketahui persamaan 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Persamaan asli perlu diubah menjadi bentuk tereduksi.

Larutan

Berdasarkan skema di atas, kita membagi kedua ruas persamaan awal dengan koefisien utama 6. Kemudian kita mendapatkan: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, dan ini sama dengan: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Dengan demikian, diperoleh persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya kami menetapkan hal itu sebuah ≠ 0. Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan tersebut ax 2 + bx + c = 0 tepatnya persegi, sejak di sebuah = 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier bx + c = 0.

Dalam kasus ketika koefisien B Dan C sama dengan nol (yang mungkin terjadi baik sendiri-sendiri maupun bersama-sama), persamaan kuadrat tersebut disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan kuadrat seperti itu ax 2 + bx + c = 0, di mana setidaknya salah satu koefisien B Dan C(atau keduanya) adalah nol.

Persamaan kuadrat lengkap– persamaan kuadrat yang semua koefisien numeriknya tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis persamaan kuadrat diberi nama seperti ini.

Jika b = 0, persamaan kuadratnya berbentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai ax 2 + bx + 0 = 0, yang setara ax 2 + bx = 0. Pada b = 0 Dan c = 0 persamaannya akan berbentuk a x 2 = 0. Persamaan yang kita peroleh berbeda dengan persamaan kuadrat lengkap karena ruas kirinya tidak memuat suku dengan variabel x, suku bebas, atau keduanya. Sebenarnya, fakta ini memberi nama pada persamaan jenis ini – tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Definisi yang diberikan di atas memungkinkan kita untuk membedakan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut ini:

  • a x 2 = 0, persamaan ini sesuai dengan koefisien b = 0 dan c = 0 ;
  • a · x 2 + c = 0 pada b = 0 ;
  • a · x 2 + b · x = 0 pada c = 0.

Mari kita perhatikan secara berurutan penyelesaian setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan a x 2 =0

Seperti disebutkan di atas, persamaan ini berhubungan dengan koefisien B Dan C, sama dengan nol. Persamaannya a x 2 = 0 dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x 2 = 0, yang kita peroleh dengan membagi kedua ruas persamaan awal dengan angka A, tidak sama dengan nol. Fakta yang jelas adalah akar persamaannya x 2 = 0 ini nol karena 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat dijelaskan dengan sifat-sifat derajat: untuk bilangan berapa pun P, tidak sama dengan nol, pertidaksamaan tersebut benar hal 2 > 0, dari situlah kapan hal ≠ 0 persamaan hal 2 = 0 tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 = 0 terdapat satu akar x = 0.

Contoh 2

Misalnya, mari kita selesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap − 3 x 2 = 0. Ini setara dengan persamaan x 2 = 0, satu-satunya akarnya adalah x = 0, maka persamaan aslinya memiliki akar tunggal - nol.

Secara singkat solusinya ditulis sebagai berikut:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Menyelesaikan persamaan ax 2 + c = 0

Baris berikutnya adalah penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap, dimana b = 0, c ≠ 0, yaitu persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita transformasikan persamaan ini dengan memindahkan suatu suku dari satu ruas persamaan ke ruas lainnya, mengubah tandanya menjadi kebalikannya, dan membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang tidak sama dengan nol:

  • transfer C V sisi kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = − c;
  • bagi kedua ruas persamaan dengan A, kita mendapatkan x = - c a .

Transformasi kita ekuivalen; oleh karena itu, persamaan yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya, dan fakta ini memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang akar-akar persamaan tersebut. Dari apa nilai-nilainya A Dan C nilai ekspresi - c a bergantung: dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika sebuah = 1 Dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (misalnya, jika Sebuah = − 2 Dan c = 6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); itu bukan nol karena c ≠ 0. Mari kita membahas lebih detail situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P persamaan p 2 = - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a > 0: ingat akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 = - c a akan menjadi bilangan - c a, karena - c a 2 = - c a. Tidak sulit untuk memahami bahwa bilangan - - c a juga merupakan akar persamaan x 2 = - c a: memang, - - c a 2 = - c a.

Persamaannya tidak akan memiliki akar lain. Kita dapat mendemonstrasikannya dengan menggunakan metode kontradiksi. Untuk memulainya, mari kita definisikan notasi untuk akar-akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 Dan − x 1. Misalkan persamaan x 2 = - c a juga mempunyai akar x 2, yang berbeda dari akarnya x 1 Dan − x 1. Kita mengetahuinya dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan X akar-akarnya, kita ubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang adil.

Untuk x 1 Dan − x 1 kita menulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x 2- x 2 2 = - c a . Berdasarkan sifat-sifat persamaan numerik, kita mengurangkan satu suku demi suku persamaan yang benar dari persamaan lainnya, sehingga diperoleh: x 1 2 − x 2 2 = 0. Kami menggunakan properti operasi dengan angka untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Diketahui hasil kali dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut adalah nol. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa x 1 − x 2 = 0 dan/atau x 1 + x 2 = 0, yang sama x 2 = x 1 dan/atau x 2 = − x 1. Kontradiksi yang nyata muncul, karena pada mulanya disepakati akar persamaan x 2 berbeda dari x 1 Dan − x 1. Jadi, kita telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar-akar selain x = - c a dan x = - - c a.

Mari kita rangkum semua argumen di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c = 0 setara dengan persamaan x 2 = - c a, yang:

  • tidak akan berakar pada - c a< 0 ;
  • akan memiliki dua akar x = - c a dan x = - - c a untuk - c a > 0.

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberikan persamaan kuadrat 9 x 2 + 7 = 0. Solusinya perlu dicari.

Larutan

Mari kita pindahkan suku bebasnya ke ruas kanan persamaan, maka persamaan tersebut akan berbentuk 9 x 2 = − 7.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat angka dengan tanda minus yang artinya: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Kemudian persamaan kuadrat tidak lengkap yang asli 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan mempunyai akar.

Menjawab: persamaannya 9 x 2 + 7 = 0 tidak memiliki akar.

Contoh 4

Persamaan tersebut perlu diselesaikan − x 2 + 36 = 0.

Larutan

Mari kita pindahkan 36 ke sisi kanan: − x 2 = − 36.
Mari kita bagi kedua bagiannya − 1 , kita mendapatkan x 2 = 36. Di sebelah kanan ada bilangan positif, dari situ kita dapat menyimpulkannya x = 36 atau x = - 36 .
Mari kita ekstrak akarnya dan tuliskan hasil akhirnya: persamaan kuadrat tidak lengkap − x 2 + 36 = 0 mempunyai dua akar x = 6 atau x = − 6.

Menjawab: x = 6 atau x = − 6.

Penyelesaian persamaan a x 2 +b x=0

Mari kita analisis persamaan kuadrat tidak lengkap jenis ketiga, kapan c = 0. Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 + bx = 0, kita akan menggunakan metode faktorisasi. Mari kita faktorkan polinomial yang ada di sisi kiri persamaan, keluarkan dari tanda kurung pengganda umum X. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat tidak lengkap asli menjadi persamaannya x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan sekumpulan persamaan x = 0 Dan a x + b = 0. Persamaannya a x + b = 0 linier, dan akarnya: x = − b a.

Definisi 7

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 + bx = 0 akan memiliki dua akar x = 0 Dan x = − b a.

Mari kita perkuat materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Perlu dicari penyelesaian persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Larutan

Kami akan mengeluarkannya X di luar tanda kurung kita mendapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini setara dengan persamaan x = 0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Tuliskan secara singkat penyelesaian persamaan tersebut sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Menjawab: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk mencari solusi persamaan kuadrat, ada rumus akar:

Definisi 8

x = - b ± D 2 · a, dimana D = b 2 − 4 a c– yang disebut diskriminan persamaan kuadrat.

Penulisan x = - b ± D 2 · a pada dasarnya berarti x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Akan berguna untuk memahami bagaimana rumus ini diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita dihadapkan pada tugas menyelesaikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Mari kita lakukan sejumlah transformasi yang setara:

  • membagi kedua ruas persamaan dengan angka A, berbeda dengan nol, kita peroleh persamaan kuadrat berikut: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • mari kita soroti persegi sempurna di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
    Setelah itu, persamaannya akan berbentuk: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
  • Sekarang kita dapat memindahkan dua suku terakhir ke ruas kanan dengan mengubah tandanya menjadi kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Terakhir, kami mengubah ekspresi yang ditulis di sisi kanan persamaan terakhir:
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekuivalen dengan persamaan awal ax 2 + bx + c = 0.

Kami memeriksa solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang diperoleh memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan mengenai akar-akar persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

  • dengan b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • bila b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 persamaannya adalah x + b 2 · a 2 = 0, maka x + b 2 · a = 0.

Dari sini satu-satunya akar x = - b 2 · a sudah jelas;

  • untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, yang berikut ini benar: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , sama dengan x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis. persamaan tersebut memiliki dua akar.

Dapat disimpulkan bahwa ada tidaknya akar-akar persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (dan oleh karena itu persamaan aslinya) bergantung pada tanda ekspresi b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ditulis di sebelah kanan. Dan tanda ungkapan ini diberikan dengan tanda pembilangnya (penyebut 4 dan 2 akan selalu positif), yaitu tanda ekspresi b 2 − 4 a c. Ekspresi ini b 2 − 4 a c nama yang diberikan adalah diskriminan persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai sebutannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka dapat menyimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar real, dan, jika ya, berapa jumlah akarnya - satu atau dua.

Mari kita kembali ke persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Mari kita tulis ulang menggunakan notasi diskriminan: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita rumuskan kembali kesimpulan kita:

Definisi 9

  • pada D< 0 persamaan tersebut tidak memiliki akar real;
  • pada D=0 persamaan tersebut mempunyai akar tunggal x = - b 2 · a ;
  • pada D > 0 persamaan mempunyai dua akar: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 atau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar tersebut dapat ditulis dalam bentuk: x = - b 2 · a + D 2 · a atau - b 2 · a - D 2 · a. Dan, ketika kita membuka modul dan membawa pecahan ke penyebut yang sama, kita mendapatkan: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Jadi, hasil pemikiran kami adalah turunan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminan D dihitung dengan rumus D = b 2 − 4 a c.

Rumus ini memungkinkan untuk menentukan kedua akar real ketika diskriminannya lebih besar dari nol. Jika diskriminannya nol, penerapan kedua rumus akan menghasilkan akar yang sama, seperti satu-satunya keputusan persamaan kuadrat. Dalam kasus diskriminan negatif, jika kita mencoba menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstraksi Akar pangkat dua dari bilangan negatif, yang akan membawa kita melampaui bilangan real. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar nyata, tetapi sepasang akar konjugasi kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama dengan yang kita peroleh.

Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi pada dasarnya hal ini dilakukan saat Anda perlu mencarinya akar yang kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, ini biasanya berarti mencari bukan akar persamaan kuadrat yang kompleks, melainkan akar riil. Maka sebaiknya, sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, tentukan dulu diskriminannya dan pastikan tidak negatif (jika tidak kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar real), lalu lanjutkan menghitung nilai akarnya.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma penyelesaian persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, diperlukan:

  • sesuai dengan rumusnya D = b 2 − 4 a c temukan nilai diskriminannya;
  • di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • untuk D = 0, cari satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus x = - b 2 · a;
  • untuk D > 0, tentukan dua akar real persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa jika diskriminannya nol, Anda dapat menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a, hasilnya akan sama dengan rumus x = - b 2 · a.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Mari kita beri solusi dengan contoh arti yang berbeda diskriminan.

Contoh 6

Kita perlu mencari akar persamaannya x 2 + 2 x − 6 = 0.

Larutan

Mari kita tuliskan koefisien numerik persamaan kuadrat: a = 1, b = 2 dan c = − 6. Selanjutnya kita lanjutkan sesuai algoritma, yaitu. Mari kita mulai menghitung diskriminan, yang koefisiennya kita substitusikan a, b Dan C ke dalam rumus diskriminan: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi didapat D > 0, artinya persamaan awal mempunyai dua akar real.
Untuk mencarinya, kita menggunakan rumus akar x = - b ± D 2 a dan, substitusikan nilai yang sesuai, kita peroleh: x = - 2 ± 28 2 · 1. Mari kita sederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan menghilangkan faktor dari tanda akar dan kemudian mengurangi pecahannya:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Menjawab: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Perlu menyelesaikan persamaan kuadrat − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Larutan

Mari kita definisikan diskriminannya: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Dengan nilai diskriminan tersebut, persamaan awal hanya akan mempunyai satu akar yang ditentukan dengan rumus x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Menjawab: x = 3,5.

Contoh 8

Persamaan tersebut perlu diselesaikan 5 tahun 2 + 6 tahun + 2 = 0

Larutan

Koefisien numerik persamaan ini adalah: a = 5, b = 6 dan c = 2. Kita menggunakan nilai berikut untuk mencari diskriminan: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar real.

Jika tugasnya adalah menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus akar, melakukan tindakan dengan bilangan kompleks:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 saya 10 atau x = - 6 - 2 saya 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i atau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Menjawab: tidak ada akar yang nyata; akar kompleksnya adalah sebagai berikut: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Dalam kurikulum sekolah tidak ada syarat baku untuk mencari akar kompleks, oleh karena itu jika pada saat penyelesaian diskriminan ditentukan negatif, jawabannya langsung dituliskan tidak ada akar real.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) memungkinkan diperoleh rumus lain yang lebih ringkas, sehingga memungkinkan seseorang menemukan solusi persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk x ( atau dengan koefisien berbentuk 2 · n, misalnya 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Mari kita dihadapkan pada tugas mencari solusi persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Kita lanjutkan sesuai dengan algoritma: kita menentukan diskriminan D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), dan kemudian menggunakan rumus akar:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ca .

Misalkan ekspresi n 2 − a · c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus akar-akar persamaan kuadrat yang ditinjau dengan koefisien kedua 2 · n akan berbentuk:

x = - n ± D 1 a, dimana D 1 = n 2 − a · c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D = 4 · D 1, atau D 1 = D 4. Dengan kata lain, D 1 adalah seperempat dari diskriminan. Tentunya tanda D 1 sama dengan tanda D, artinya tanda D 1 juga dapat berfungsi sebagai indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, perlu:

  • temukan D 1 = n 2 − a · c ;
  • di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • bila D 1 = 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus x = - n a;
  • untuk D 1 > 0, tentukan dua akar real dengan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 harus diselesaikan.

Larutan

Kita dapat menyatakan koefisien kedua dari persamaan yang diberikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita tulis ulang persamaan kuadrat tersebut menjadi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, dengan a = 5, n = − 3 dan c = − 32.

Mari kita hitung bagian keempat dari diskriminan: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Nilai yang dihasilkan bernilai positif, artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar real. Mari kita tentukan menggunakan rumus akar yang sesuai:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus biasa untuk akar-akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini penyelesaiannya akan lebih rumit.

Menjawab: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Menyederhanakan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan asli, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jelas lebih mudah diselesaikan daripada 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat lebih sering dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua ruasnya dengan bilangan tertentu. Misalnya, di atas kami menunjukkan representasi sederhana dari persamaan 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, yang diperoleh dengan membagi kedua ruas dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan jika koefisien persamaan kuadrat tidak saling menguntungkan bilangan prima. Lalu kita biasanya membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan yang terbesar pembagi persekutuan nilai absolut koefisiennya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan GCD dari nilai absolut koefisiennya: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Mari kita membagi kedua ruas persamaan kuadrat asli dengan 6 dan memperoleh persamaan kuadrat ekuivalen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat, Anda biasanya menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini, mereka dikalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misalnya setiap bagian persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) = 6, maka akan ditulis dalam lebih dalam bentuk yang sederhana x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Terakhir, kita perhatikan bahwa kita hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat dengan mengubah tanda setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua ruas dengan − 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, Anda dapat beralih ke versi sederhananya 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus akar-akar persamaan kuadrat yang sudah kita ketahui, x = - b ± D 2 · a, menyatakan akar-akar persamaan melalui koefisien numeriknya. Bergantung pada rumus ini, kita mempunyai kesempatan untuk menentukan ketergantungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan dapat diterapkan adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 = - b a dan x 2 = c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadrat tertentu, jumlah akar-akarnya adalah koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Misalnya dengan melihat bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, kita dapat langsung menentukan jumlah akar-akarnya adalah 7 3 dan hasil kali akar-akarnya adalah 22 3.

Anda juga dapat menemukan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam koefisien:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode penyelesaian persamaan kuadrat // Ilmuwan muda. 2016. No.6.1. Hal.17-20..02.2019).





Proyek kami adalah tentang cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Tujuan proyek: belajar menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semuanya cara yang mungkin memecahkan persamaan kuadrat dan mempelajari cara menggunakannya sendiri dan memperkenalkan metode ini kepada teman sekelas Anda.

Apa itu “persamaan kuadrat”?

Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, Di mana A, B, C- beberapa nomor ( sebuah ≠ 0), X- tidak dikenal.

Bilangan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.

  • a disebut koefisien pertama;
  • b disebut koefisien kedua;
  • c - anggota gratis.

Siapa yang pertama kali “menemukan” persamaan kuadrat?

Beberapa teknik aljabar untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat telah dikenal 4000 tahun yang lalu di Babilonia Kuno. Penemuan tablet tanah liat Babilonia kuno, yang berasal dari antara tahun 1800 dan 1600 SM, memberikan bukti paling awal tentang studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk menyelesaikan jenis persamaan kuadrat tertentu.

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta begitu pula dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri.

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya. Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Matematikawan Babilonia sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM Euclid mengemukakan pendapat yang lebih umum metode geometris solusi. Matematikawan pertama yang menemukan solusi persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar, adalah seorang ilmuwan India Brahmagupta(India, abad ke-7 M).

Brahmagupta menetapkan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

kapak2 + bx = c, a>0

Koefisien dalam persamaan ini juga bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa di India. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan melampaui kejayaannya di pertemuan publik dengan mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Dalam sebuah risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linier dan kuadrat diberikan. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu ax2 = bx.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu ax2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar-akar sama dengan bilangan tersebut,” yaitu ax2 + bx = c.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-mukabal. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi murni retoris, perlu dicatat, misalnya, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama, Al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika hingga abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam praktik tertentu tidak masalah dalam tugas. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan penyelesaiannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometrinya.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat mengikuti model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam “Kitab Sempoa” yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari buku ini digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 14-17. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bх = с untuk semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. terima kasih atas usahanya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Mari kita lihat beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Metode standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:

  1. Memfaktorkan ruas kiri persamaan.
  2. Metode untuk memilih persegi lengkap.
  3. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.
  4. Solusi grafis persamaan kuadrat.
  5. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita membahas lebih detail tentang penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi menggunakan teorema Vieta.

Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di atas, cukup mencari dua bilangan yang produknya sama dengan suku bebasnya, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda berlawanan.

Contoh.X 2 -5x+6=0

Anda perlu mencari bilangan yang hasil perkaliannya 6 dan jumlahnya 5. Bilangan tersebut adalah 3 dan 2.

Jawaban: x 1 =2,x 2 =3.

Namun Anda juga dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Ambil koefisien pertama dan kalikan dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0

Akar-akar persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang hasil kali - 15 dan jumlahnya sama dengan - 2. Bilangan-bilangan tersebut adalah 5 dan 3. Untuk mencari akar-akar persamaan awal, bagilah akar-akar yang dihasilkan dengan koefisien pertama.

Jawaban: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “lempar”.

Perhatikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dimana a≠0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misalkan ax = y, maka x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, ekuivalen dengan persamaan yang diberikan. Kita mencari akarnya untuk 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, itulah sebabnya disebut metode “melempar”. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas dan melakukan substitusi dan mendapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Berdasarkan teorema terbalik Vietnam

kamu 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5;

Jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jika a+ b + c = 0 (yaitu jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 = 1.

2. Jika a - b + c = 0, atau b = a + c, maka x 1 = - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Karena a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), maka x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Karena a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), maka x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. namun penggunaannya lebih kompleks.

8. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Gambar 1. Nomogram

Itu sudah tua dan saat ini metode yang terlupakan solusi persamaan kuadrat, ditempatkan pada hal. 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dari koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibuat sesuai dengan rumus (Gbr. 1):

Percaya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari Gambar 1 persamaan segitiga SAN Dan CDF kita mendapatkan proporsinya

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan z 2 + pz + q = 0, dan surat itu z berarti tanda titik mana pun pada skala melengkung.

Beras. 2 Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram menghasilkan akar z 1 = 8.0 dan z 2 = 1.0

Jawaban:8.0; 1.0.

2) Dengan menggunakan nomogram, kita selesaikan persamaannya

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram menghasilkan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

9. Metode geometris menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39.”

Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, sehingga luas masing-masingnya adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dilengkapi dengan persegi ABCD baru, menambahkan empat persegi di sudutnya. persegi yang sama, sisi masing-masingnya adalah 2,5, dan luasnya adalah 6,25

Beras. 3 Metode grafis penyelesaian persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas dari: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4∙2.5x = 10x) dan empat persegi tambahan (6.25∙4 = 25), mis. S = x 2 + 10x = 25. Mengganti x 2 + 10x dengan bilangan 39, kita peroleh S = 39 + 25 = 64, artinya sisi persegi tersebut adalah ABCD, yaitu ruas AB = 8. Untuk sisi x yang diperlukan dari persegi asal kita peroleh

10. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Bezout.

teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial P(x) dengan binomial x - α sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = α).

Jika bilangan α merupakan akar dari polinomial P(x), maka polinomial tersebut habis dibagi x -α tanpa sisa.

Contoh.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Bagilah P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; Jawaban: x1 =2,x2 =3.

Kesimpulan: Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional sangat diperlukan untuk menyelesaikan lebih banyak persamaan kuadrat persamaan kompleks, Misalnya, persamaan rasional pecahan, persamaan derajat yang lebih tinggi, persamaan bikuadrat, dan masuk sekolah menengah atas trigonometri, eksponensial dan persamaan logaritma. Setelah mempelajari semua metode yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas kami, selain metode standar, untuk menyelesaikan dengan metode transfer (6) dan menyelesaikan persamaan menggunakan sifat koefisien (7), karena lebih mudah diakses. untuk memahami.

Literatur:

  1. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
  2. Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B.ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pendidikan, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.

Persamaan kuadrat - mudah diselesaikan! *Selanjutnya disebut “KU”. Teman-teman, tampaknya tidak ada yang lebih sederhana dalam matematika selain menyelesaikan persamaan seperti itu. Tapi sesuatu memberitahuku bahwa banyak orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan berdasarkan permintaan yang diberikan Yandex per bulan. Inilah yang terjadi, lihat:


Apa artinya? Artinya ada sekitar 70.000 orang per bulan yang melakukan penelusuran informasi ini, apa hubungannya musim panas ini dengan itu, dan apa yang akan terjadi di antaranya tahun ajaran— akan ada permintaan dua kali lebih banyak. Hal ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang sudah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Terpadu mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu Anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materinya. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya berdasarkan permintaan ini; kedua, pada artikel lain, ketika topik “KU” muncul, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,Bdan c adalah bilangan sembarang, dengan a≠0.

DI DALAM kursus sekolah materi diberikan dalam bentuk berikut– persamaan dibagi menjadi tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Hanya memiliki satu akar.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu dicatat secara khusus di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminannya. Di bawah kata “mengerikan” ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

*Anda perlu hafal rumus ini.

Anda dapat langsung menuliskan dan menyelesaikannya:

Contoh:


1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:


Dalam hal ini, ketika diskriminan sama dengan nol, dalam pelajaran sekolah dikatakan bahwa satu akar diperoleh, di sini sama dengan sembilan. Semuanya benar, memang benar, tapi...

Gagasan ini agak salah. Faktanya, ada dua akar. Iya iya jangan kaget, ternyata ada dua akar yang sama, dan tepatnya secara matematis, jawabannya harus mengandung dua akar:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi memang begitu - kemunduran kecil. Di sekolah Anda dapat menuliskannya dan mengatakan bahwa akarnya hanya satu.

Sekarang contoh berikutnya:


Seperti yang kita ketahui, akar suatu bilangan negatif tidak dapat diambil, sehingga penyelesaiannya masuk pada kasus ini TIDAK.

Itulah keseluruhan proses pengambilan keputusan.

Fungsi kuadrat.

Ini menunjukkan seperti apa solusinya secara geometris. Hal ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari formulir:

dimana x dan y adalah variabel

a, b, c – nomor yang diberikan, dimana a ≠ 0

Grafiknya adalah parabola:

Artinya, menyelesaikan persamaan kuadrat di “y” sama dengan nol kita cari titik potong parabola dengan sumbu x. Terdapat dua titik (diskriminan positif), satu (diskriminan nol) dan tidak ada (diskriminan negatif). Detail tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ruas kiri dan kanan persamaan dapat langsung dibagi 2, yaitu menyederhanakannya. Perhitungannya akan lebih mudah.

Contoh 2: Memutuskan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami menemukan bahwa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Boleh menuliskan x = 11 pada jawaban.

Jawaban: x = 11

Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminannya negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminannya negatif. Ada solusinya!

Di sini kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan jika ternyata diskriminan negatif. Apakah kamu mengetahui sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran spesifik dan kebutuhan mereka dalam matematika; ini adalah topik untuk artikel besar yang terpisah.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan yang bentuknya

z = a + dua

di mana a dan b berada bilangan real, saya disebut satuan imajiner.

a+bi – ini adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:


Kami mendapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus, yaitu ketika koefisien “b” atau “c” sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah tanpa adanya diskriminatif.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari bertransformasi:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari kita transformasikan dan faktorkan:

*Perkaliannya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan tersebut akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan dengan koefisien besar.

AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A + B+ c = 0, Itu

- jika untuk koefisien persamaan AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A+ c =B, Itu

Properti ini membantu untuk memutuskan tipe tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Jumlah peluangnya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 yang artinya

Contoh 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Kesetaraan berlaku A+ c =B, Cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika pada persamaan ax 2 + bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien"a", maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika pada persamaan ax 2 – bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Persamaan. kapak 2 + bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – ax 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika pada persamaan ax 2 – bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = ax 2 = – 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta dinamai menurut nama yang terkenal Matematikawan Perancis François Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat menyatakan jumlah dan hasil kali akar-akar KU sembarang dalam bentuk koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara total, angka 14 hanya menghasilkan 5 dan 9. Inilah akar-akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan dengan segera.

Teorema Vieta, sebagai tambahan. Hal ini berguna karena setelah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa (melalui diskriminan), akar-akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini selalu.

METODE TRANSPORTASI

Dengan metode ini, koefisien “a” dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika A± b+c≠ 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Dengan menggunakan teorema Vieta pada persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang dihasilkan harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika Anda melihat akar-akar persamaan, Anda hanya mendapatkan penyebut yang berbeda, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien x 2:


Yang kedua (dimodifikasi) memiliki akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita memutar ulang ketiganya, kita akan membagi hasilnya dengan 3, dst.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi. ur-ie dan Ujian Negara Bersatu.

Saya akan ceritakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir panjang, Anda perlu hafal rumus akar dan diskriminan. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas-tugas Ujian Negara Bersatu bermuara pada penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk persamaan geometris).

Sesuatu yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk penulisan persamaan dapat bersifat “implisit”. Misalnya, entri berikut ini dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda harus membawanya ke tampilan standar(agar tidak bingung saat mengambil keputusan).

2. Ingatlah bahwa x adalah besaran yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Pada artikel ini kita akan melihat penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap.

Tapi pertama-tama, mari kita ulangi persamaan yang disebut persamaan kuadrat. Persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana x adalah variabel, dan koefisien a, b, dan c adalah suatu bilangan, dan a ≠ 0 disebut persegi. Seperti yang bisa kita lihat, koefisien untuk x 2 tidak sama dengan nol, oleh karena itu koefisien untuk x atau suku bebas bisa sama dengan nol, dalam hal ini kita mendapatkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

1) Jika b = 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c = 0;

2) Jika b ≠ 0, c = 0, maka ax 2 + bx = 0;

3) Jika b = 0, c = 0, maka kapak 2 = 0.

  • Mari kita cari tahu cara menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita pindahkan suku bebas c ke ruas kanan persamaan, kita peroleh

kapak 2 = ‒s. Karena a ≠ 0, kedua ruas persamaan tersebut kita bagi dengan a, maka x 2 = ‒c/a.

Jika ‒с/а > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar

x = ±√(–c/a) .

Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari kita coba memahami dengan contoh bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 ‒ 32 = 0.

Jawaban: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawaban: persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

  • Mari kita cari tahu cara mengatasinya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx = 0, mari kita faktorkan, yaitu keluarkan x dari tanda kurung, kita peroleh x(ax + b) = 0. Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama ke nol. Maka x = 0, atau ax + b = 0. Menyelesaikan persamaan ax + b = 0, kita mendapatkan ax = - b, sehingga x = - b/a. Persamaan berbentuk ax 2 + bx = 0 selalu mempunyai dua akar x 1 = 0 dan x 2 = ‒ b/a. Lihat seperti apa solusi persamaan jenis ini pada diagram.

Mari kita konsolidasikan pengetahuan kita dengan contoh spesifik.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 atau 3x – 12 = 0

Jawaban: x 1 = 0, x 2 = 4.

  • Persamaan tipe ketiga kapak 2 = 0 diselesaikan dengan sangat sederhana.

Jika ax 2 = 0, maka x 2 = 0. Persamaan tersebut mempunyai dua akar yang sama besar x 1 = 0, x 2 = 0.

Agar lebih jelas, mari kita lihat diagramnya.

Mari kita pastikan saat menyelesaikan Contoh 4 bahwa persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan sangat sederhana.

Contoh 4. Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.

Jawaban: x 1, 2 = 0.

Tidak selalu jelas jenis persamaan kuadrat tidak lengkap apa yang harus kita selesaikan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 5. Selesaikan persamaannya

Kalikan kedua ruas persamaan dengan faktor persekutuan, yaitu pada tanggal 30

Ayo kita kurangi

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Mari kita buka tanda kurungnya

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Mari kita berikan hal serupa

Mari kita pindahkan 99 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tandanya menjadi kebalikannya

Jawaban: tidak ada akar.

Kami melihat bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap diselesaikan. Saya harap sekarang Anda tidak akan mengalami kesulitan dengan tugas-tugas seperti itu. Berhati-hatilah saat menentukan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap, maka Anda akan berhasil.

Jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kita akan menyelesaikan masalah yang muncul bersama.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.