Contoh:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, kami berusaha untuk membawanya ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\), dan kemudian melakukan transisi ke persamaan eksponen, yaitu:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Misalnya:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Penting! Dari logika yang sama, ada dua persyaratan untuk transisi tersebut:
- nomor masuk kiri dan kanan harus sama;
- derajat di kiri dan kanan harus “murni”, yaitu tidak boleh ada perkalian, pembagian, dan sebagainya.

Misalnya:

Untuk mereduksi persamaan menjadi bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\) dan digunakan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Larutan:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Kita tahu bahwa \(27 = 3^3\). Dengan mempertimbangkan hal ini, mari kita ubah persamaannya.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Berdasarkan sifat akar \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) kita memperoleh bahwa \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat \((a^b)^c=a^(bc)\), kita memperoleh \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Kita juga mengetahui bahwa \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Menerapkan ini ke ruas kiri, kita mendapatkan: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sekarang ingat bahwa: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Rumus ini juga dapat digunakan di sisi sebaliknya: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Maka \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Menerapkan properti \((a^b)^c=a^(bc)\) ke ruas kanan, kita memperoleh: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Dan sekarang basis kita sama dan tidak ada koefisien yang mengganggu, dll. Jadi kita bisa melakukan transisi.
		Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Larutan: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Kita kembali menggunakan properti derajat \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dalam arah sebaliknya. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sekarang ingat bahwa \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Dengan menggunakan sifat derajat, kita mentransformasikan: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Kita memperhatikan persamaan tersebut dengan cermat dan melihat bahwa penggantian \(t=2^x\) muncul dengan sendirinya. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Namun, kami menemukan nilai \(t\), dan kami membutuhkan \(x\). Kami kembali ke X, melakukan penggantian terbalik. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Kami mengubah persamaan kedua menggunakan properti derajat negatif… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...dan kami memutuskan sampai jawabannya. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Menjawab : \(-1; 1\). Pertanyaannya tetap - bagaimana memahami kapan harus menggunakan metode yang mana? Ini datang dengan pengalaman. Sampai Anda menyelesaikannya, gunakan rekomendasi umum untuk menyelesaikannya tugas yang kompleks- “Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa.” Artinya, carilah bagaimana Anda dapat mengubah persamaan secara prinsip, dan coba lakukan - bagaimana jika apa yang terjadi? Hal utama adalah hanya melakukan transformasi berbasis matematika. Persamaan eksponensial tanpa solusi Mari kita lihat dua situasi lagi yang sering membingungkan siswa: - nomor positif pangkat sama dengan nol, misalnya \(2^x=0\); - bilangan positif sama dengan pangkat bilangan negatif, misalnya \(2^x=-4\). Mari kita coba menyelesaikannya dengan kekerasan. Jika x adalah bilangan positif, maka seiring bertambahnya x, seluruh pangkat \(2^x\) hanya akan bertambah: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Juga oleh. X negatif tetap ada. Mengingat properti \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kita memeriksa: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Meskipun jumlahnya semakin kecil setiap langkahnya, jumlahnya tidak akan pernah mencapai nol. Jadi derajat negatifnya tidak menyelamatkan kita. Kami sampai pada kesimpulan logis: Angka positif pada tingkat apa pun akan tetap menjadi angka positif. Jadi, kedua persamaan di atas tidak mempunyai solusi. Persamaan eksponensial dengan basis berbeda Dalam praktiknya, terkadang kita menjumpai persamaan eksponensial dengan basis berbeda yang tidak dapat direduksi satu sama lain, dan pada saat yang sama dengan eksponen yang sama. Bentuknya seperti ini: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan positif. Misalnya: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Persamaan tersebut dapat dengan mudah diselesaikan dengan membaginya dengan salah satu ruas persamaan (biasanya dibagi dengan ruas kanan, yaitu dengan \(b^(f(x))\). Anda dapat membaginya dengan cara ini karena bilangan positif positif terhadap pangkat apa pun (artinya, kita tidak membaginya dengan nol). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Larutan: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Di sini kita tidak akan bisa mengubah angka lima menjadi tiga, atau sebaliknya (setidaknya tanpa menggunakan ). Artinya kita tidak bisa mendapatkan bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Namun indikatornya sama. Mari kita bagi persamaan tersebut dengan ruas kanan, yaitu dengan \(3^(x+7)\) (kita dapat melakukan ini karena kita tahu bahwa tiga tidak akan sama dengan nol). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sekarang ingat properti \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dan gunakan di sebelah kiri dengan arah yang berlawanan. Di sebelah kanan, kita cukup mengurangi pecahannya. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Tampaknya segalanya tidak menjadi lebih baik. Tapi ingat satu lagi sifat pangkat: \(a^0=1\), dengan kata lain: “bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan \(1\).” Kebalikannya juga benar: “satu dapat direpresentasikan sebagai bilangan apa pun yang dipangkatkan nol.” Kita menggunakan ini dengan membuat alas di sebelah kanan sama dengan di sebelah kiri. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Mari kita singkirkan pangkalannya. Kami sedang menulis tanggapan. Menjawab : \(-7\). Terkadang “kesamaan” eksponen tidak terlihat jelas, namun penggunaan properti eksponen secara terampil dapat menyelesaikan masalah ini. Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Larutan: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Persamaannya terlihat sangat menyedihkan... Bukan saja basisnya tidak dapat direduksi menjadi bilangan yang sama (tujuh sama sekali tidak sama dengan \(\frac(1)(3)\)), tetapi eksponennya juga berbeda. .. Namun, mari kita gunakan deuce eksponen kiri. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Mengingat properti \((a^b)^c=a^(b·c)\) , kita transformasi dari kiri: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sekarang, mengingat sifat derajat negatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), kita transformasikan dari kanan: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Haleluya! Indikatornya sama! Bertindak sesuai dengan skema yang sudah kita kenal, kita memutuskan sebelum menjawab. Menjawab : \(2\).

Memecahkan persamaan eksponensial. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa yang terjadi persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan yang memuat bilangan-bilangan yang tidak diketahui (x) dan persamaan-persamaannya indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.

Anda disana contoh persamaan eksponensial:

3 x 2 x = 8 x+3

Catatan! Di dasar derajat (di bawah) - hanya angka. DI DALAM indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan X. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul pada persamaan di tempat lain selain indikator, misalnya:

ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak ada aturan yang jelas solusi. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Di sini kita akan menanganinya menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.

Faktanya, persamaan eksponensial murni pun tidak selalu dapat diselesaikan dengan jelas. Tapi ada tipe tertentu persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe yang akan kami pertimbangkan.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana.

Pertama, mari kita selesaikan sesuatu yang sangat mendasar. Misalnya:

Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada nilai X lain yang berfungsi. Sekarang mari kita lihat solusi persamaan eksponensial yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Faktanya, kami hanya membuang basis yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, kabar baiknya adalah, kita berhasil!

Memang jika dalam persamaan eksponensial ada kiri dan kanan sama bilangan dalam pangkat apa pun, bilangan tersebut dapat dihilangkan dan eksponennya dapat disamakan. Matematika memungkinkan. Masih menyelesaikan persamaan yang lebih sederhana. Hebat, kan?)

Namun, mari kita ingat dengan tegas: Anda dapat menghapus basis hanya ketika nomor basis di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang bagus! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:

2 x +2 x+1 = 2 3, atau

berpasangan tidak dapat dihilangkan!

Ya, kita sudah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.

"Itulah saatnya!" - kamu bilang. “Siapa yang akan memberikan pelajaran primitif tentang ulangan dan ujian!?”

Saya harus setuju. Tidak ada yang mau. Tapi sekarang Anda tahu ke mana harus mengarahkan ketika memecahkan contoh-contoh rumit. Harus dibawa ke bentuk bilangan pokok yang sama di kiri dan kanan. Maka segalanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Tentu saja sesuai dengan kaidah matematika.

Mari kita lihat contoh-contoh yang memerlukan upaya tambahan untuk menyederhanakannya menjadi yang paling sederhana. Mari kita hubungi mereka persamaan eksponensial sederhana.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana. Contoh.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan derajat. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.

Untuk tindakan yang bertingkat, seseorang harus menambahkan observasi pribadi dan kecerdikan. Kami membutuhkan nomor yang sama-alasan? Jadi kami mencarinya di contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.

Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dalam praktiknya?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan tajam pertama adalah pada alasan. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Namun masih terlalu dini untuk berkecil hati. Sudah waktunya untuk mengingat hal itu

Dua dan delapan adalah saudara sederajat.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita mengingat rumus operasi dengan derajat:

(sebuah) m = sebuah nm ,

ini berhasil dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh asli mulai terlihat seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan operasi dasar matematika!), kita mendapatkan:

2 2x = 2 3(x+1)

Itu saja. Menghapus pangkalan:

Kami memecahkan monster ini dan mendapatkannya

Ini adalah jawaban yang benar.

Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua hal membantu kita. Kami diidentifikasi di delapan ada dua yang terenkripsi. Teknik ini (enkripsi kesamaan di bawah nomor yang berbeda) adalah teknik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, dan dalam logaritma juga. Anda harus bisa mengenali pangkat bilangan lain dalam bilangan. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Faktanya adalah menaikkan angka berapa pun ke pangkat apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di atas kertas, dan itu saja. Misalnya, siapa pun dapat menaikkan 3 pangkat lima. 243 akan berhasil jika Anda mengetahui tabel perkaliannya.) Namun dalam persamaan eksponensial, persamaan eksponensial lebih sering tidak perlu dipangkatkan, tetapi sebaliknya... Cari tahu nomor berapa sampai derajat berapa tersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.

Kamu perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat kan... Ayo berlatih?

Tentukan pangkat apa dan bilangan berapa bilangan tersebut:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawaban (berantakan, tentu saja!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat melihatnya fakta yang aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada tugas! Ya, itu terjadi... Misalnya, 2 6, 4 3, 8 2 - semuanya 64.

Mari kita asumsikan bahwa Anda telah mencatat informasi tentang pengenalan angka.) Izinkan saya juga mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial kita menggunakan semua saham pengetahuan matematika. Termasuk mereka yang berasal dari kalangan junior dan menengah. Kamu tidak langsung masuk SMA, kan?)

Misalnya, ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung sering kali membantu (halo kelas 7!). Mari kita lihat sebuah contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama tertuju pada fondasinya! Dasar derajatnya berbeda... Tiga dan sembilan. Tapi kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini keinginan itu terpenuhi sepenuhnya!) Karena:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menggunakan aturan yang sama untuk menangani derajat:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bagus sekali, Anda bisa menuliskannya:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh dengan alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Anda tidak bisa membuang bertiga... Jalan buntu?

Sama sekali tidak. Kami ingat yang paling universal dan aturan yang kuat solusi setiap orang tugas matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang Anda perlukan, lakukan apa yang Anda bisa!

Lihat, semuanya akan berhasil).

Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini Bisa Mengerjakan? Ya, di sisi kiri hanya minta dikeluarkan dari tanda kurung! Pengganda keseluruhan 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Teladannya terus menjadi lebih baik dan lebih baik lagi!

Kita ingat bahwa untuk menghilangkan alasan kita memerlukan derajat murni, tanpa koefisien apa pun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita bagi kedua ruas persamaan dengan 70, kita peroleh:

Ups! Semuanya menjadi lebih baik!

Ini adalah jawaban terakhir.

Namun, hal ini terjadi bahwa taxiing dengan alasan yang sama berhasil, namun penghapusannya tidak berhasil. Hal ini terjadi pada jenis persamaan eksponensial lainnya. Mari kita kuasai tipe ini.

Mengganti variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.

Mari selesaikan persamaannya:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari beralih ke satu basis. Untuk dua kali lipat.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapatkan persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan disinilah kami berkumpul. Teknik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda melihatnya. Kita harus mengeluarkan senjata lain yang kuat dan metode universal. Ini disebut penggantian variabel.

Inti dari metode ini ternyata sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami - 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya - t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti ini membuahkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!

Jadi biarkan

Maka 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dalam persamaan kita, kita mengganti semua pangkat dengan x dengan t:

Nah, apakah Anda sadar?) Apakah Anda sudah lupa persamaan kuadrat? Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:

Hal utama di sini adalah jangan berhenti, seperti yang terjadi... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Mari kita kembali ke tanda X, yaitu. kami melakukan penggantian terbalik. Pertama untuk t 1:

Itu adalah,

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:

Hm... 2 x di kiri, 1 di kanan... Masalah? Sama sekali tidak! Cukup diingat (dari operasi dengan kekuatan ya...) bahwa itu adalah satuan setiap angka pangkat nol. Setiap. Apapun yang dibutuhkan, kami akan menginstalnya. Kami membutuhkan dua. Cara:

Itu saja sekarang. Kami mendapat 2 akar:

Inilah jawabannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya terkadang Anda berakhir dengan ekspresi canggung. Jenis:

Dari tujuh menjadi dua lewat gelar sederhana tidak bekerja. Mereka bukan saudara... Bagaimana kita bisa menjadi saudara? Mungkin ada yang bingung... Tapi orang yang membaca di situs ini topik “Apa itu logaritma?” , hanya tersenyum tipis dan menuliskan dengan tangan tegas jawaban yang benar-benar benar:

Tidak mungkin ada jawaban seperti itu pada tugas “B” pada Unified State Examination. Di sana diperlukan nomor tertentu. Tapi dalam tugas “C” itu mudah.

Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari kita soroti poin-poin utamanya.

Saran praktis:

1. Pertama-tama, kita lihat alasan derajat. Kami bertanya-tanya apakah mungkin untuk membuatnya identik. Mari kita coba melakukannya dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan derajat. Jangan lupa bahwa bilangan tanpa x juga bisa diubah menjadi pangkat!

2. Kita coba bawa persamaan eksponensial ke bentuk bila di kiri dan di kanan ada sama angka dalam kekuatan apa pun. Kita gunakan tindakan dengan derajat Dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka, kami hitung.

3. Jika tip kedua tidak berhasil, coba gunakan penggantian variabel. Hasilnya mungkin berupa persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.

4. Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui pangkat beberapa bilangan secara langsung.

Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diajak untuk memutuskan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponensial:

Lebih sulit:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Temukan produk dari akar:

2 3 + 2 x = 9

Telah terjadi?

Baiklah kalau begitu contoh yang paling rumit(memutuskan, bagaimanapun, dalam pikiran...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk untuk Anda. Cukup menggoda untuk meningkatkan kesulitan. Izinkan saya memberi petunjuk bahwa dalam contoh ini, yang menyelamatkan Anda adalah kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Contoh yang lebih sederhana, untuk relaksasi):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk hidangan penutup. Temukan jumlah akar persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Mengapa mempertimbangkannya, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Nah, kamu butuh kecerdikan... Dan semoga kelas tujuh membantu Anda (ini petunjuk!).

Jawaban (berantakan, dipisahkan dengan titik koma):

1; 2; 3; 4; tidak ada solusi; 2; -2; -5; 4; 0.

Apakah semuanya berhasil? Besar.

Ada masalah? Tidak masalah! Di Bagian Khusus 555, semua persamaan eksponensial ini diselesaikan dengan penjelasan rinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada informasi tambahan yang berharga tentang cara bekerja dengan segala macam persamaan eksponensial. Bukan hanya yang ini.)

Satu pertanyaan menyenangkan terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini kita bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Omong-omong, dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting...

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang persamaan yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen. Persamaan eksponensial paling sederhana berbentuk: a x = a b, dimana a> 0, a 1, x tidak diketahui.

Sifat utama pangkat yang mengubah persamaan eksponensial: a>0, b>0.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, properti berikut juga digunakan: Fungsi eksponensial: y = ax , a > 0, a1:

Untuk menyatakan suatu bilangan sebagai suatu pangkat, gunakan bilangan dasar identitas logaritmik: b = , a > 0, a1, b > 0.

Soal dan tes pada topik "Persamaan Eksponensial"

• Persamaan eksponensial

  Pelajaran: 4 Tugas: 21 Tes: 1

• Persamaan eksponensial - Topik Penting untuk mengulang Ujian Negara Bersatu dalam matematika

  Tugas: 14

• Sistem persamaan eksponensial dan logaritma - Fungsi eksponensial dan logaritma kelas 11

  Pelajaran: 1 Tugas: 15 Tes: 1

• §2.1. Memecahkan persamaan eksponensial

  Pelajaran: 1 Tugas: 27

• §7 Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma - Bagian 5. Fungsi eksponensial dan logaritma, kelas 10

  Pelajaran: 1 Tugas: 17

Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda harus mengetahuinya sifat dasar derajat, sifat-sifat fungsi eksponensial, identitas logaritma dasar.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, dua metode utama digunakan:

1. transisi dari persamaan a f(x) = a g(x) ke persamaan f(x) = g(x);
2. pengenalan baris baru.

Contoh.

1. Persamaan direduksi menjadi yang paling sederhana. Penyelesaiannya adalah dengan mereduksi kedua ruas persamaan menjadi pangkat dengan basis yang sama.

3 x = 9 x – 2 .

Larutan:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Menjawab: 4.

2. Persamaan diselesaikan dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Larutan:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Menjawab: 3.

3. Persamaan diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel.

Larutan:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Kami menyatakan 2 x = y.
kamu 2 + kamu – 12 = 0
kamu 1 = - 4; kamu2 = 3.
a) 2 x = - 4. Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, karena 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Menjawab: catatan 2 3.

4. Persamaan yang mengandung pangkat dengan dua basis yang berbeda (tidak dapat direduksi satu sama lain).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Menjawab: 2.

5. Persamaan homogen terhadap a x dan b x.

Bentuk umum: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Larutan:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Mari kita nyatakan (3/2) x = y.
kamu 2 – 2,5kamu + 1 = 0,
kamu 1 = 2; kamu 2 = ½.

Menjawab: catatan 3/2 2; - catatan 3/2 2.

Tingkat pertama

Persamaan eksponensial. Panduan Komprehensif (2019)

Halo! Hari ini kami akan berdiskusi dengan Anda bagaimana menyelesaikan persamaan yang bersifat dasar (dan saya harap setelah membaca artikel ini, hampir semuanya akan berlaku untuk Anda), dan persamaan yang biasanya diberikan “untuk diisi”. Rupanya akhirnya tertidur. Namun saya akan berusaha semaksimal mungkin agar saat ini Anda tidak mendapat kesulitan saat dihadapkan pada persamaan jenis ini. Saya tidak akan bertele-tele lagi, tapi saya akan segera membukanya rahasia kecil: hari ini kita akan belajar persamaan eksponensial.

Sebelum beralih ke menganalisis cara untuk menyelesaikannya, saya akan segera menjelaskan kepada Anda serangkaian pertanyaan (cukup kecil) yang harus Anda ulangi sebelum terburu-buru menyerang topik ini. Jadi, untuk mendapatkan hasil terbaik, Silakan, mengulang:

1. Properti dan
2. Solusi dan persamaan

Ulang? Luar biasa! Maka tidak akan sulit bagi Anda untuk menyadari bahwa akar persamaannya adalah bilangan. Apakah Anda mengerti persis bagaimana saya melakukannya? Apakah itu benar? Kalau begitu mari kita lanjutkan. Sekarang jawab pertanyaan saya, apa yang setara dengan pangkat ketiga? Anda benar sekali: . Berapakah pangkat dua yang delapan? Benar - yang ketiga! Karena. Nah, sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut: Biarkan saya mengalikan bilangan itu dengan bilangan itu sendiri satu kali dan mendapatkan hasilnya. Pertanyaannya, berapa kali saya mengalikannya sendiri? Tentu saja Anda dapat memeriksanya secara langsung:

\begin(sejajarkan) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( meluruskan)

Maka Anda dapat menyimpulkan bahwa saya mengalikannya dengan kali saya sendiri. Bagaimana lagi Anda bisa memeriksanya? Begini caranya: langsung menurut definisi derajat: . Tapi, harus Anda akui, jika saya bertanya berapa kali dua perlu dikalikan dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan, katakanlah, Anda akan menjawab: Saya tidak akan membodohi diri sendiri dan mengalikan dengan sendirinya sampai wajah saya membiru. Dan dia benar sekali. Karena bagaimana kamu bisa tuliskan semua langkahnya secara singkat(dan singkatnya adalah saudara perempuan dari bakat)

dimana - ini adalah hal yang sama "waktu", saat Anda mengalikannya dengan sendirinya.

Saya pikir Anda tahu (dan jika Anda tidak tahu, segera ulangi derajatnya!) bahwa maka masalah saya akan ditulis dalam bentuk:

Bagaimana Anda dapat menyimpulkan secara masuk akal bahwa:

Jadi, tanpa disadari, saya menuliskan yang paling sederhana persamaan eksponensial:

Dan aku bahkan menemukannya akar. Tidakkah menurut Anda semuanya sepele? Menurutku persis sama. Berikut ini contoh lain untuk Anda:

Tapi apa yang harus dilakukan? Lagi pula, itu tidak bisa ditulis sebagai pangkat dari suatu bilangan (yang masuk akal). Jangan putus asa dan perhatikan bahwa kedua bilangan ini dinyatakan dengan sempurna melalui pangkat bilangan yang sama. Yang mana? Benar: . Kemudian persamaan aslinya diubah menjadi bentuk:

Dimana, seperti yang sudah Anda pahami, . Jangan tunda lagi dan tuliskan definisi:

Dalam kasus kami: .

Persamaan ini diselesaikan dengan mereduksinya menjadi bentuk:

diikuti dengan menyelesaikan persamaan tersebut

Faktanya, pada contoh sebelumnya kita melakukan hal itu: kita mendapatkan yang berikut: Dan kami memecahkan persamaan paling sederhana.

Sepertinya tidak ada yang rumit, bukan? Mari kita praktikkan yang paling sederhana dulu contoh:

Kita kembali melihat bahwa ruas kanan dan kiri persamaan perlu direpresentasikan sebagai pangkat satu bilangan. Benar, di sebelah kiri ini sudah dilakukan, tetapi di sebelah kanan ada nomor. Tapi tidak apa-apa, karena persamaan saya adalah secara ajaib akan berubah menjadi ini:

Apa yang harus saya gunakan di sini? Aturan apa? Aturan "derajat dalam derajat" yang berbunyi:

Bagaimana jika:

Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, mari kita isi tabel berikut ini:

Mudah bagi kita untuk memperhatikan bahwa semakin sedikit, semakin banyak nilainya lebih sedikit, namun demikian, semua nilai ini lebih besar dari nol. DAN AKAN SELALU TERJADI!!! Sifat yang sama juga berlaku UNTUK DASAR APAPUN DENGAN INDIKATOR APAPUN!! (untuk apa pun dan). Lalu apa yang bisa kita simpulkan tentang persamaan tersebut? Ini dia: itu tidak memiliki akar! Sama seperti persamaan apa pun yang tidak memiliki akar. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan contoh sederhana:

Mari kita periksa:

1. Di sini Anda tidak memerlukan apa pun kecuali pengetahuan tentang sifat-sifat derajat (yang, omong-omong, saya minta Anda mengulanginya!) Sebagai aturan, semuanya mengarah ke basis terkecil: , . Maka persamaan aslinya akan menjadi ekuivalen dengan persamaan berikut: Yang saya perlukan hanyalah menggunakan sifat-sifat pangkat: Saat mengalikan bilangan dengan basis yang sama, pangkatnya ditambahkan, dan saat membaginya, dikurangi. Maka saya akan mendapatkan: Nah, sekarang dengan hati nurani yang bersih saya akan beralih dari persamaan eksponensial ke persamaan linier: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(sejajarkan)

2. Pada contoh kedua, kita harus lebih berhati-hati: masalahnya adalah di ruas kiri kita tidak mungkin merepresentasikan bilangan yang sama sebagai suatu pangkat. Dalam hal ini terkadang berguna menyatakan bilangan sebagai hasil kali pangkat dengan basis berbeda, tetapi eksponennya sama:

Sisi kiri persamaannya akan terlihat seperti ini: Apa manfaatnya bagi kita? Inilah yang: Bilangan yang basisnya berbeda tetapi eksponennya sama dapat dikalikan.Dalam hal ini, basisnya dikalikan, tetapi indikatornya tidak berubah:

Dalam situasi saya ini akan memberikan:

\mulai(sejajarkan)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(sejajarkan)

Tidak buruk, bukan?

3. Saya tidak suka bila, jika tidak perlu, saya memiliki dua suku di satu sisi persamaan dan tidak ada dua suku di sisi lain (terkadang, tentu saja, hal ini dapat dibenarkan, tetapi sekarang tidak demikian). Saya akan memindahkan suku minusnya ke kanan:

Sekarang, seperti sebelumnya, saya akan menulis semuanya dalam pangkat tiga:

Saya menambahkan derajat di sebelah kiri dan mendapatkan persamaan yang setara

Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya:

4. Seperti pada contoh ketiga, suku minus ditempatkan di sebelah kanan!

Di sebelah kiri saya, hampir semuanya baik-baik saja, kecuali apa? Ya, “derajat yang salah” dari keduanya mengganggu saya. Tapi saya dapat dengan mudah memperbaikinya dengan menulis: . Eureka - di sebelah kiri semua alasnya berbeda, tetapi semua derajatnya sama! Ayo segera perbanyak!

Di sini sekali lagi, semuanya jelas: (jika Anda tidak mengerti bagaimana saya secara ajaib mendapatkan kesetaraan terakhir, istirahat sejenak, tarik napas dan baca kembali properti derajat dengan sangat hati-hati. Siapa bilang Anda bisa melewatinya? gelar dengan indikator negatif? Ya, itu yang saya katakan, tidak ada). Sekarang saya akan mendapatkan:

\mulai(sejajarkan)
& ((2)^(4\kiri((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(sejajarkan)

Berikut beberapa soal untuk Anda praktikkan, yang hanya akan saya berikan jawabannya (tetapi dalam bentuk “campuran”). Selesaikan, periksa, dan Anda dan saya akan melanjutkan penelitian kita!

Siap? Jawaban seperti ini:

1. nomor berapa pun

Oke, oke, saya bercanda! Berikut adalah beberapa sketsa solusi (beberapa sangat singkat!)

Tidakkah menurut Anda bukan suatu kebetulan bahwa satu pecahan di sebelah kiri adalah pecahan lainnya yang "terbalik"? Merupakan dosa jika tidak memanfaatkan hal ini:

Aturan ini sangat sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, ingatlah baik-baik!

Maka persamaan aslinya akan menjadi seperti ini:

Setelah memutuskan ini persamaan kuadrat, Anda akan mendapatkan akar berikut:

2. Solusi lain: membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi di sebelah kiri (atau kanan). Bagilah dengan yang di sebelah kanan, maka didapat:

Dimana (mengapa?!)

3. Saya bahkan tidak ingin mengulanginya lagi, semuanya sudah “dikunyah” begitu banyak.

4. setara dengan persamaan kuadrat, akar

5. Anda perlu menggunakan rumus yang diberikan pada soal pertama, maka Anda akan mendapatkan bahwa:

Persamaan tersebut telah berubah menjadi identitas sepele yang berlaku bagi siapa pun. Maka jawabannya adalah bilangan real apa pun.

Nah, sekarang Anda sudah berlatih memecahkannya persamaan eksponensial sederhana. Sekarang saya ingin memberi Anda beberapa contoh kehidupan, yang akan membantu Anda memahami mengapa hal itu pada prinsipnya diperlukan. Di sini saya akan memberikan dua contoh. Salah satunya bersifat sehari-hari, namun yang lain lebih cenderung bersifat ilmiah daripada kepentingan praktis.

Contoh 1 (merkantil) Misalkan Anda memiliki rubel, tetapi Anda ingin mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan Anda untuk mengambil uang ini dari Anda dengan tarif tahunan dengan kapitalisasi bunga bulanan (akrual bulanan). Pertanyaannya, berapa bulan Anda perlu membuka deposit untuk mencapai jumlah akhir yang dibutuhkan? Tugas yang sangat biasa, bukan? Namun demikian, penyelesaiannya dikaitkan dengan konstruksi persamaan eksponensial yang sesuai: Misalkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - tingkat bunga untuk periode tersebut, - jumlah periode. Kemudian:

Dalam kasus kami (jika tarifnya tahunan, maka dihitung per bulan). Mengapa dibagi? Jika Anda tidak tahu jawaban atas pertanyaan ini, ingatlah topik “”! Kemudian kita mendapatkan persamaan ini:

Persamaan eksponensial ini hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan kalkulator penampilan petunjuk tentang hal ini, dan ini membutuhkan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita bahas nanti), yang akan saya lakukan: ... Jadi, untuk menerima satu juta, kita perlu melakukan deposit selama sebulan ( tidak terlalu cepat, kan?).

Contoh 2 (agak ilmiah). Terlepas dari “isolasi” tertentu, saya sarankan Anda memperhatikannya: dia secara teratur “tergelincir dalam Ujian Negara Bersatu!! (soal diambil dari versi “sebenarnya”) Selama peluruhan suatu isotop radioaktif, massanya berkurang menurut hukum, di mana (mg) adalah massa awal isotop, (min.) adalah waktu yang berlalu dari waktu ke waktu. momen awal, (min.) adalah waktu paruh. Pada saat awal, massa isotop adalah mg. Waktu paruhnya min. Setelah berapa menit massa isotop akan sama dengan mg? Tidak apa-apa: kita tinggal mengambil dan mengganti semua data ke dalam rumus yang diusulkan kepada kita:

Mari kita bagi kedua bagian tersebut, "dengan harapan" di sebelah kiri kita akan mendapatkan sesuatu yang dapat dicerna:

Ya, kami sangat beruntung! Letaknya di sebelah kiri, lalu mari kita lanjutkan ke persamaan ekuivalennya:

Dimana min.

Seperti yang Anda lihat, persamaan eksponensial memiliki penerapan nyata dalam praktiknya. Sekarang saya ingin menunjukkan cara lain (sederhana) untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yaitu dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung dan kemudian mengelompokkan suku-sukunya. Jangan takut dengan kata-kata saya, Anda sudah menemukan metode ini di kelas 7 ketika Anda mempelajari polinomial. Misalnya, jika Anda perlu memfaktorkan ekspresi:

Mari kita kelompokkan: suku pertama dan ketiga, serta suku kedua dan keempat. Jelas bahwa yang pertama dan ketiga adalah selisih kuadrat:

dan yang kedua dan keempat punya pengganda umum tiga:

Maka ekspresi aslinya setara dengan ini:

Di mana mendapatkan faktor persekutuan tidak lagi sulit:

Karena itu,

Kira-kira inilah yang akan kita lakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial: cari “kesamaan” di antara suku-suku tersebut dan keluarkan dari tanda kurung, lalu - apa pun yang terjadi, saya yakin kita akan beruntung =)) Misalnya:

Di sebelah kanan jauh dari pangkat tujuh (saya sudah memeriksanya!) Dan di sebelah kiri - ini sedikit lebih baik, Anda tentu saja dapat "memotong" faktor a dari suku kedua dari suku pertama, dan kemudian menangani dengan apa yang kamu punya, tapi mari kita lebih berhati-hati dengan kamu. Saya tidak ingin berurusan dengan pecahan yang pasti terbentuk saat "memilih" , jadi bukankah sebaiknya saya mengeluarkannya? Maka saya tidak akan mendapatkan pecahan apa pun: seperti kata mereka, serigala diberi makan dan domba aman:

Hitung ekspresi dalam tanda kurung. Ajaibnya, ajaibnya, ternyata (anehnya, padahal apa lagi yang bisa kita harapkan?).

Kemudian kita kurangi kedua ruas persamaan tersebut dengan faktor ini. Kami mendapatkan: , dari.

Berikut ini contoh yang lebih rumit (sedikit sekali):

Sungguh sebuah masalah! Kami tidak memiliki satu kesamaan di sini! Tidak sepenuhnya jelas apa yang harus dilakukan sekarang. Mari kita lakukan apa yang kita bisa: pertama, pindahkan “empat” ke satu sisi, dan “lima” ke sisi lainnya:

Sekarang mari kita keluarkan "umum" di kiri dan kanan:

Jadi bagaimana sekarang? Apa keuntungan dari kelompok bodoh seperti itu? Sekilas memang tidak terlihat sama sekali, tapi mari kita lihat lebih dalam:

Nah, sekarang kita akan memastikan bahwa di sebelah kiri kita hanya memiliki ekspresi c, dan di sebelah kanan - yang lainnya. Bagaimana kita melakukan ini? Begini caranya: Bagilah kedua ruas persamaan terlebih dahulu dengan (sehingga kita menghilangkan eksponen di sebelah kanan), lalu membagi kedua ruas tersebut dengan (sehingga kita menghilangkan faktor numerik di sebelah kiri). Akhirnya kita mendapatkan:

Menakjubkan! Di sebelah kiri kita memiliki ekspresi, dan di sebelah kanan kita memiliki ekspresi sederhana. Lalu kita langsung menyimpulkannya

Berikut contoh lain yang perlu Anda perkuat:

aku akan membawanya solusi singkat(tanpa terlalu repot dengan penjelasannya), cobalah memahami sendiri semua “seluk-beluk” solusinya.

Sekarang tentang konsolidasi akhir dari materi yang dibahas. Cobalah selesaikan sendiri permasalahan berikut ini. Saya hanya akan memberikan rekomendasi singkat dan tips untuk mengatasinya:

1. Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari dalam kurung: Dimana:
2. Mari kita sajikan ekspresi pertama dalam bentuk: , bagi kedua ruasnya dengan dan dapatkan hasilnya
3. , kemudian persamaan aslinya diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuknya - cari di mana Anda dan saya sudah menyelesaikan persamaan ini!
4. Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, baiklah, lalu bagi kedua ruasnya, sehingga diperoleh persamaan eksponensial yang paling sederhana.
5. Keluarkan dari kurung.
6. Keluarkan dari kurung.

PERSAMAAN EKSPONENTER. LEVEL RATA-RATA

Saya berasumsi setelah membaca artikel pertama yang dibicarakan apa itu persamaan eksponensial dan cara penyelesaiannya, kamu sudah menguasainya minimum yang diperlukan pengetahuan yang diperlukan untuk memecahkan contoh-contoh sederhana.

Sekarang saya akan melihat metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yaitu

“metode memperkenalkan variabel baru” (atau penggantian). Dia memecahkan sebagian besar masalah “sulit” pada topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan). Metode ini adalah salah satu yang paling sering digunakan dalam praktik. Pertama, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik tersebut.

Seperti yang sudah Anda pahami dari namanya, inti dari metode ini adalah memasukkan perubahan variabel sehingga persamaan eksponensial Anda secara ajaib akan berubah menjadi persamaan yang dapat Anda selesaikan dengan mudah. Yang tersisa bagi Anda setelah menyelesaikan “persamaan yang disederhanakan” ini adalah melakukan “penggantian terbalik”: yaitu, kembali dari yang diganti ke yang diganti. Mari kita ilustrasikan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat sederhana:

Contoh 1:

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan “substitusi sederhana”, sebagaimana para ahli matematika menyebutnya dengan meremehkan. Faktanya, penggantian di sini adalah yang paling jelas. Kita hanya perlu melihatnya

Maka persamaan aslinya akan berubah menjadi ini:

Kalau kita bayangkan juga caranya, maka sudah jelas apa yang perlu diganti: tentu saja. Lalu apa yang menjadi persamaan aslinya? Inilah yang:

Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya sendiri: . Apa yang harus kita lakukan sekarang? Saatnya kembali ke variabel awal. Apa yang saya lupa sebutkan? Yaitu: ketika mengganti derajat tertentu dengan variabel baru (yaitu ketika mengganti suatu tipe), saya akan tertarik hanya akar positif! Anda sendiri dapat dengan mudah menjawab alasannya. Jadi, Anda dan saya tidak tertarik, tetapi root kedua cukup cocok untuk kita:

Lalu dari mana.

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada contoh sebelumnya, penggantinya hanya meminta tangan kita. Sayangnya, hal ini tidak selalu terjadi. Namun, jangan langsung ke hal-hal yang menyedihkan, tapi mari kita berlatih dengan satu contoh lagi dengan pengganti yang cukup sederhana

Contoh 2.

Jelas bahwa kemungkinan besar kita harus melakukan penggantian (ini adalah pangkat terkecil yang termasuk dalam persamaan kita), tetapi sebelum melakukan penggantian, persamaan kita perlu “disiapkan” untuk itu, yaitu: , . Kemudian Anda bisa menggantinya, alhasil saya mendapatkan ekspresi berikut:

Ya Tuhan: persamaan kubik dengan formula yang sangat buruk untuk solusinya (yah, berbicaralah pandangan umum). Tapi jangan langsung putus asa, tapi pikirkan apa yang harus kita lakukan. Saya akan menyarankan kecurangan: kita tahu bahwa untuk mendapatkan jawaban yang “indah”, kita perlu mendapatkannya dalam bentuk pangkat tiga (mengapa demikian, ya?). Mari kita coba menebak setidaknya satu akar persamaan kita (saya akan mulai menebak dengan pangkat tiga).

Tebakan pertama. Bukan akar. Sayangnya dan ah...

.
Sisi kirinya sama.
Bagian kanan: !
Makan! Tebak akar pertama. Sekarang segalanya akan menjadi lebih mudah!

Tahukah Anda tentang skema pembagian “sudut”? Tentu saja, Anda menggunakannya saat membagi satu angka dengan angka lainnya. Namun hanya sedikit orang yang mengetahui bahwa hal yang sama dapat dilakukan dengan polinomial. Ada satu teorema yang luar biasa:

Jika diterapkan pada situasi saya, ini memberi tahu saya bahwa itu habis dibagi tanpa sisa. Bagaimana pembagiannya dilakukan? Begitulah caranya:

Saya melihat monomial mana yang harus saya kalikan untuk mendapatkan Jelas, lalu:

Saya mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari, saya mendapatkan:

Sekarang, apa yang perlu saya kalikan untuk mendapatkan? Jelasnya, maka saya akan mendapatkan:

dan kurangi lagi ekspresi yang dihasilkan dari ekspresi yang tersisa:

Dengan baik langkah terakhir, kalikan dengan, dan kurangi dari ekspresi yang tersisa:

Hore, perpecahan sudah berakhir! Apa yang telah kita kumpulkan secara pribadi? Dengan sendirinya: .

Kemudian kita mendapatkan perluasan polinomial asli berikut:

Mari selesaikan persamaan kedua:

Ia memiliki akar:

Maka persamaan aslinya:

memiliki tiga akar:

Tentu saja kita akan membuang akar terakhir, karena akarnya kurang dari nol. Dan dua akar pertama setelah penggantian terbalik akan memberi kita dua akar:

Menjawab: ..

Dengan contoh ini saya sama sekali tidak ingin menakut-nakuti Anda; sebaliknya, saya ingin menunjukkan bahwa meskipun kita sudah cukup penggantian mudah, namun hal itu membuahkan hasil yang cukup persamaan kompleks, solusinya memerlukan beberapa keahlian khusus dari kami. Yah, tidak ada yang kebal dari ini. Tapi penggantinya masuk pada kasus ini cukup jelas.

Berikut ini contoh dengan pengganti yang sedikit kurang jelas:

Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya dalam persamaan kita ada dua basis yang berbeda dan satu landasan tidak dapat diperoleh dari landasan lain dengan menaikkannya ke tingkat apa pun (yang wajar dan wajar). Namun, apa yang kita lihat? Kedua basa hanya berbeda tandanya, dan hasil kali keduanya adalah selisih kuadrat sama dengan satu:

Definisi:

Jadi, bilangan-bilangan yang menjadi basis dalam contoh kita adalah bilangan konjugasi.

Dalam hal ini, langkah cerdasnya adalah kalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan konjugasinya.

Misalnya pada, maka ruas kiri persamaan akan menjadi sama dengan, dan ruas kanan. Jika kita melakukan substitusi, maka persamaan awal kita akan menjadi seperti ini:

akarnya, dan dengan mengingat hal itu, kita memahaminya.

Menjawab: , .

Biasanya, metode penggantian cukup untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan eksponensial “sekolah”. Tugas-tugas berikut diambil dari Unified State Examination C1 ( peningkatan tingkat kesulitan). Anda sudah cukup melek huruf untuk memecahkan sendiri contoh-contoh ini. Saya hanya akan memberikan pengganti yang diperlukan.

1. Selesaikan persamaan:
2. Temukan akar persamaan:
3. Selesaikan persamaan: . Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut:

Dan sekarang penjelasan singkat dan jawaban:

1. Di sini cukuplah kita mencatat bahwa... Maka persamaan aslinya akan menjadi ekuivalen dengan ini: Persamaan ini diselesaikan dengan penggantian. Lakukan perhitungan lebih lanjut sendiri. Pada akhirnya, tugas Anda akan direduksi menjadi menyelesaikan masalah trigonometri sederhana (tergantung pada sinus atau kosinus). Larutan contoh serupa kita akan melihatnya di bagian lain.
2. Di sini Anda bahkan dapat melakukannya tanpa substitusi: cukup pindahkan pengurang ke kanan dan nyatakan kedua basis melalui pangkat dua: , lalu langsung ke persamaan kuadrat.
3. Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan cukup standar: mari kita bayangkan caranya. Kemudian, menggantikannya, kita mendapatkan persamaan kuadrat: lalu,

   Anda sudah tahu apa itu logaritma kan? TIDAK? Kemudian segera baca topiknya!

   Akar pertama jelas bukan milik segmen tersebut, tetapi akar kedua tidak jelas! Tapi kita akan segera mengetahuinya! Karena itu (ini adalah properti logaritma!) Mari kita bandingkan:

   Kurangi kedua ruasnya, maka didapat:

   Sisi kiri dapat direpresentasikan sebagai:

   kalikan kedua ruasnya dengan:

   bisa dikalikan dengan, kalau begitu

   Kemudian bandingkan:

   Dari dulu:

   Kemudian root kedua termasuk dalam interval yang diperlukan

   Menjawab:

Seperti yang kamu lihat, pemilihan akar persamaan eksponensial memerlukan kecukupan pengetahuan yang mendalam sifat-sifat logaritma, jadi saya menyarankan Anda untuk berhati-hati saat menyelesaikan persamaan eksponensial. Seperti yang Anda pahami, segala sesuatu dalam matematika saling berhubungan! Seperti yang dikatakan guru matematika saya: “matematika, seperti sejarah, tidak dapat dibaca dalam semalam.”

Sebagai aturan, semuanya Kesulitan dalam menyelesaikan soal C1 justru terletak pada pemilihan akar persamaan. Mari berlatih dengan satu contoh lagi:

Jelas bahwa persamaan itu sendiri dapat diselesaikan dengan cukup sederhana. Dengan melakukan substitusi, kita mereduksi persamaan awal kita menjadi berikut:

Pertama mari kita lihat root pertama. Mari kita bandingkan dan: sejak itu. (Properti fungsi logaritma, pada). Maka jelaslah bahwa akar pertama bukan milik interval kita. Sekarang akar kedua: . Jelas (karena fungsi at meningkat). Masih membandingkan dan...

sejak itu, pada saat yang sama. Dengan cara ini saya bisa “mendorong pasak” antara dan. Pasak ini adalah angka. Ekspresi pertama lebih kecil dan ekspresi kedua lebih besar. Lalu ekspresi kedua lebih dari yang pertama dan akarnya termasuk dalam interval.

Menjawab: .

Terakhir, mari kita lihat contoh persamaan lainnya yang substitusinya tidak standar:

Mari kita mulai dengan apa yang bisa dilakukan, dan apa yang pada prinsipnya bisa dilakukan, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Anda dapat membayangkan segala sesuatu melalui pangkat tiga, dua, dan enam. Kemana arahnya? Itu tidak akan menghasilkan apa pun: campur aduk derajat, beberapa di antaranya akan cukup sulit untuk dihilangkan. Lalu apa yang dibutuhkan? Mari kita perhatikan bahwa a Dan apa manfaatnya bagi kita? Dan faktanya kita dapat mereduksi solusi contoh ini menjadi solusi persamaan eksponensial yang cukup sederhana! Pertama, mari kita tulis ulang persamaan kita menjadi:

Sekarang mari kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan:

Eureka! Sekarang kita dapat menggantinya, kita mendapatkan:

Nah, sekarang giliran Anda untuk memecahkan masalah yang patut dicontoh, dan saya hanya akan memberikannya saja komentar singkat agar kamu tidak tersesat! Semoga beruntung!

1. Yang paling sulit! Sangat sulit untuk melihat penggantinya di sini! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya dengan menggunakan memulangkan persegi penuh . Untuk mengatasinya, cukup diperhatikan bahwa:

Lalu inilah penggantimu:

(Perhatikan bahwa di sini, sebagai pengganti kami, kami tidak dapat membuang akar negatif!!! Mengapa kamu berpikir?)

Sekarang untuk menyelesaikan contoh ini Anda hanya perlu menyelesaikan dua persamaan:

Keduanya dapat diselesaikan dengan “penggantian standar” (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)

2. Perhatikan itu dan buat penggantinya.

3. Uraikan bilangan tersebut menjadi faktor koprima dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan.

4. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau, jika Anda mau) dan lakukan substitusi atau.

5. Perhatikan bahwa angka-angka dan merupakan konjugasi.

PERSAMAAN EKSPONENTER. TINGKAT LANJUT

Selain itu, mari kita lihat cara lain - menyelesaikan persamaan eksponensial menggunakan metode logaritma. Saya tidak bisa mengatakan bahwa menyelesaikan persamaan eksponensial menggunakan metode ini sangat populer, tetapi hanya dalam beberapa kasus metode ini dapat membawa kita pada keputusan yang tepat persamaan kita. Ini terutama sering digunakan untuk menyelesaikan apa yang disebut “ persamaan campuran ": yaitu, tempat terjadinya berbagai jenis fungsi.

Misalnya persamaan berbentuk:

dalam kasus umum, ini hanya dapat diselesaikan dengan mengambil logaritma kedua ruas (misalnya ke basis), yang mana persamaan aslinya akan berubah menjadi berikut:

Mari kita lihat contoh berikut:

Hal ini jelas bahwa logaritma ODZ fungsi, kami hanya tertarik. Namun, hal ini tidak hanya terjadi karena ODZ logaritma, tetapi karena satu alasan lagi. Saya rasa tidak akan sulit bagi Anda untuk menebak yang mana.

Mari kita ambil logaritma kedua ruas persamaan kita ke basis:

Seperti yang Anda lihat, mengambil logaritma persamaan awal kita dengan cepat membawa kita ke jawaban yang benar (dan indah!). Mari berlatih dengan satu contoh lagi:

Tidak ada yang salah juga di sini: mari kita bawa logaritma kedua ruas persamaan ke basis, lalu kita peroleh:

Mari kita buat penggantinya:

Namun, kami melewatkan sesuatu! Apakah Anda memperhatikan di mana saya melakukan kesalahan? Lagi pula, kemudian:

yang tidak memenuhi persyaratan (pikirkan dari mana asalnya!)

Menjawab:

Coba tuliskan penyelesaian persamaan eksponensial di bawah ini:

Sekarang bandingkan keputusan Anda dengan ini:

1. Mari kita logaritmakan kedua ruas ke basis, dengan memperhatikan bahwa:

(root kedua tidak cocok untuk kami karena penggantian)

2. Logaritma ke basis:

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan ke bentuk berikut:

PERSAMAAN EKSPONENTER. DESKRIPSI SINGKAT DAN RUMUS DASAR

Persamaan eksponensial

Persamaan bentuk:

ditelepon persamaan eksponensial paling sederhana.

Sifat derajat

Pendekatan terhadap solusi

• Pengurangan ke dasar yang sama
• Pengurangan ke eksponen yang sama
• Penggantian variabel
• Menyederhanakan ekspresi dan menerapkan salah satu hal di atas.

Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. an am = an + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

DI DALAM dalam contoh ini angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, ke kiri dan bagian kanan sama, Anda perlu mengganti x dengan angka 3.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita bisa membuang basisnya dan menyamakan pangkatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

DI DALAM contoh berikut Terlihat basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita. Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari kita konversi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan tiga. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Nomor s derajat paling rendah mengganti:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di website Anda dapat mengajukan pertanyaan menarik di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup