Ini adalah nama persamaan yang bentuknya tidak diketahui, baik dalam eksponen maupun dalam basis pangkat.

Anda dapat menentukan algoritma yang sangat jelas untuk menyelesaikan persamaan bentuk. Untuk melakukan ini, Anda perlu memperhatikan fakta kapan Oh) Bukan sama dengan nol, satu dan minus satu, persamaan derajat dengan basis yang sama (positif atau negatif) hanya mungkin jika eksponennya sama f(x) = g(x) Pernyataan sebaliknya tidak benar, kapan Oh)< 0 dan nilai pecahan f(x) Dan g(x) ekspresi Oh) f(x) Dan

Oh) g(x) kehilangan maknanya. Artinya, ketika berpindah dari ke f(x) = g(x)(untuk dan akar asing mungkin muncul, yang harus dikecualikan dengan memeriksa persamaan asli. Dan kasus a = 0, a = 1, a = -1 perlu dipertimbangkan secara terpisah.

Jadi untuk solusi lengkap persamaan kami mempertimbangkan kasus-kasus:

Sebuah(x) = HAI f(x) Dan g(x) akan menjadi bilangan positif, maka inilah solusinya. Jika tidak, tidak

Sebuah(x) = 1. Akar-akar persamaan ini juga merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Sebuah(x) = -1. Jika, untuk nilai x yang memenuhi persamaan ini, f(x) Dan g(x) adalah bilangan bulat dengan paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil), maka ini solusinya. Jika tidak, tidak

Kapan dan kita menyelesaikan persamaannya f(x)= g(x) dan dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan asli, kita memotong akar-akar asingnya.

Contoh penyelesaian persamaan pangkat eksponensial.

Contoh No.1.

1) x - 3 = 0, x = 3. karena 3 > 0, dan 3 2 > 0, maka x 1 = 3 adalah penyelesaiannya.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Kedua indikator tersebut genap. Solusinya adalah x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 dan x? ± 1. x = x 2, x = 0 atau x = 1. Untuk x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - solusi ini benar: x 4 = 0. Untuk x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - solusi ini benar x 5 = 1.

Jawaban: 0, 1, 2, 3, 4.

Contoh No.2.

Menurut definisi aritmatika akar pangkat dua: x - 1 ? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 atau x = 1, = 0, 0 0 bukan penyelesaian.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 tidak muat di ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - tidak ada akar.

Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menimbulkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori secara menyeluruh, mengingat rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi tugas semacam ini, lulusan akan dapat mengandalkan nilai tinggi lulus Ujian Negara Bersatu matematika.

Bersiaplah untuk ujian ujian dengan Shkolkovo!

Saat mereview materi yang telah dipelajarinya, banyak siswa dihadapkan pada masalah dalam menemukan rumus-rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku pelajaran sekolah tidak selalu tersedia, dan memilih informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu lama.

Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan sepenuhnya metode baru persiapan ujian akhir. Dengan belajar di website kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan pengetahuan dan memperhatikan tugas-tugas yang paling menimbulkan kesulitan.

Guru Shkolkovo mengumpulkan, mensistematisasikan, dan menyajikan semua yang diperlukan berhasil diselesaikan Materi Ujian Negara Bersatu dalam bentuk yang paling sederhana dan paling mudah diakses.

Definisi dan rumus dasar disajikan pada bagian “Latar Belakang Teoritis”.

Untuk lebih memahami materi, kami menyarankan Anda berlatih menyelesaikan tugas. Tinjau dengan cermat contoh-contoh yang disajikan di halaman ini. persamaan eksponensial dengan solusi untuk memahami algoritma perhitungan. Setelah itu, lanjutkan untuk melakukan tugas di bagian “Direktori”. Anda bisa mulai dengan soal yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa soal yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.

Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke “Favorit”. Dengan cara ini Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru Anda.

Agar berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!

Pelajaran ini ditujukan bagi mereka yang baru mulai mempelajari persamaan eksponensial. Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi dan contoh sederhana.

Jika Anda membaca pelajaran ini, saya kira Anda setidaknya sudah memiliki pemahaman minimal tentang persamaan paling sederhana - linier dan kuadrat: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, dst. Mampu menyelesaikan konstruksi seperti itu mutlak diperlukan agar tidak “terjebak” pada topik yang sekarang akan dibahas.

Jadi, persamaan eksponensial. Izinkan saya memberi Anda beberapa contoh:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Beberapa di antaranya mungkin tampak lebih rumit bagi Anda, sementara yang lain, sebaliknya, terlalu sederhana. Tapi mereka semua memiliki satu kesamaan tanda penting: notasinya berisi fungsi eksponensial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Jadi, mari kita perkenalkan definisinya:

Persamaan eksponensial adalah persamaan apa pun yang mengandung fungsi eksponensial, yaitu. ekspresi bentuk $((a)^(x))$. Di samping itu fungsi yang ditentukan persamaan serupa dapat berisi konstruksi aljabar lainnya - polinomial, akar, trigonometri, logaritma, dll.

Baiklah kalau begitu. Kami telah memilah definisinya. Sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana mengatasi semua omong kosong ini? Jawabannya sederhana dan kompleks.

Mari kita mulai dengan kabar baik: dari pengalaman saya mengajar banyak siswa, saya dapat mengatakan bahwa kebanyakan dari mereka jauh lebih mudah menemukan persamaan eksponensial daripada logaritma yang sama, dan terlebih lagi trigonometri.

Namun ada kabar buruknya: terkadang para penyusun soal untuk semua jenis buku pelajaran dan ujian terkena “inspirasi”, dan otak mereka yang meradang karena obat mulai menghasilkan persamaan yang begitu brutal sehingga penyelesaiannya menjadi masalah tidak hanya bagi siswa - bahkan banyak guru. terjebak pada masalah seperti itu.

Namun, jangan membicarakan hal-hal yang menyedihkan. Dan mari kita kembali ke tiga persamaan yang diberikan di awal cerita. Mari kita coba menyelesaikannya masing-masing.

Persamaan pertama: $((2)^(x))=4$. Nah, sampai pangkat berapakah kamu perlu menaikkan angka 2 untuk mendapatkan angka 4? Mungkin yang kedua? Lagi pula, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - dan kita mendapatkan persamaan numerik yang benar, yaitu. memang $x=2$. Terima kasih, Cap, tapi persamaan ini sangat sederhana sehingga kucing saya pun bisa menyelesaikannya :)

Mari kita lihat persamaan berikut:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tapi ini sedikit lebih rumit. Banyak siswa yang mengetahui bahwa $((5)^(2))=25$ adalah tabel perkalian. Beberapa juga menduga bahwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ pada dasarnya adalah definisi kekuatan negatif(dengan analogi dengan rumus $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Akhirnya, hanya segelintir orang yang menyadari bahwa fakta-fakta ini dapat digabungkan dan menghasilkan hasil sebagai berikut:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Jadi, persamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Tapi ini sudah sepenuhnya bisa dipecahkan! Di sebelah kiri persamaan ada fungsi eksponensial, di sebelah kanan persamaan ada fungsi eksponensial, tidak ada yang lain selain fungsi tersebut. Oleh karena itu, kita dapat “membuang” basisnya dan dengan bodohnya menyamakan indikatornya:

Kami telah memperoleh persamaan linier paling sederhana yang dapat diselesaikan oleh siswa mana pun hanya dalam beberapa baris. Oke, dalam empat baris:

\[\begin(sejajarkan)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(sejajarkan)\]

Jika Anda tidak memahami apa yang terjadi di empat baris terakhir, pastikan untuk kembali ke topik “ persamaan linear"dan ulangi. Karena tanpa pemahaman yang jelas tentang topik ini, masih terlalu dini bagi Anda untuk mengambil persamaan eksponensial.

\[((9)^(x))=-3\]

Jadi bagaimana kita bisa mengatasi ini? Pemikiran pertama: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, sehingga persamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[((\kiri(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]

Kemudian kita ingat bahwa ketika suatu pangkat dipangkatkan, eksponennya dikalikan:

\[((\kiri(((3)^(2)) \kanan))^(x))=((3)^(2x))\Panah Kanan ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dan untuk keputusan seperti itu, sejujurnya kami akan menerima dua. Sebab, dengan keseimbangan batin seekor Pokemon, kami mengirimkan tanda minus di depan ketiganya ke pangkat tiga ini. Tapi Anda tidak bisa melakukan itu. Dan itulah kenapa. Melihat derajat yang berbeda kembar tiga:

\[\begin(matriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriks)\]

Saat menyusun tablet ini, saya berusaha sekuat tenaga untuk menghindari penyimpangan: dan derajat positif Saya mempertimbangkan bilangan negatif dan genap pecahan... nah, di manakah setidaknya satu bilangan negatif di sini? Dia pergi! Dan itu tidak mungkin, karena fungsi eksponensial $y=((a)^(x))$, pertama, selalu hanya membutuhkan nilai-nilai positif(tidak peduli seberapa banyak Anda mengalikan atau membaginya dengan dua, hasilnya akan tetap berupa bilangan positif), dan kedua, basis dari fungsi tersebut - bilangan $a$ - menurut definisi adalah bilangan positif!

Nah, lalu bagaimana cara menyelesaikan persamaan $((9)^(x))=-3$? Tapi tidak mungkin: tidak ada akarnya. Dan dalam hal ini, persamaan eksponensial sangat mirip dengan persamaan kuadrat - mungkin juga tidak memiliki akar. Tetapi jika dalam persamaan kuadrat jumlah akar ditentukan oleh diskriminan (diskriminan positif - 2 akar, negatif - tanpa akar), maka dalam persamaan eksponensial semuanya tergantung pada apa yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan.

Jadi, mari kita rumuskan kesimpulan utamanya: persamaan eksponensial paling sederhana berbentuk $((a)^(x))=b$ memiliki akar jika dan hanya jika $b>0$. Mengetahui fakta sederhana ini, Anda dapat dengan mudah menentukan apakah persamaan yang diajukan kepada Anda mempunyai akar atau tidak. Itu. Apakah layak untuk diselesaikan sama sekali atau segera tuliskan bahwa tidak ada akarnya.

Pengetahuan ini akan membantu kita berkali-kali ketika kita harus mengambil keputusan lebih lanjut tugas yang kompleks. Untuk saat ini, cukup liriknya - saatnya mempelajari algoritma dasar untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Jadi, mari kita rumuskan masalahnya. Persamaan eksponensial perlu diselesaikan:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Menurut algoritma “naif” yang kita gunakan sebelumnya, bilangan $b$ perlu direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan $a$:

Selain itu, jika selain variabel $x$ ada ekspresi apa pun, kita akan mendapatkan persamaan baru yang sudah bisa diselesaikan. Misalnya:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Panah Kanan ((2)^(x))=((2)^(3))\Panah Kanan x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Panah Kanan ((3)^(-x))=((3)^(4))\Panah Kanan -x=4\Panah Kanan x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Panah Kanan ((5)^(2x))=((5)^(3))\Panah Kanan 2x=3\Panah Kanan x=\frac(3)( 2). \\\end(sejajarkan)\]

Dan anehnya, skema ini berhasil pada sekitar 90% kasus. Lalu bagaimana dengan 10% sisanya? 10% sisanya adalah persamaan eksponensial yang sedikit “skizofrenia” dalam bentuk:

\[((2)^(x))=3;\kuad ((5)^(x))=15;\kuad ((4)^(2x))=11\]

Nah, pangkat berapa yang perlu dinaikkan 2 untuk mendapatkan 3? Pertama? Tapi tidak: $((2)^(1))=2$ tidak cukup. Kedua? Tidak juga: $((2)^(2))=4$ terlalu banyak. Lalu yang mana?

Siswa yang berpengetahuan luas mungkin sudah menebak: dalam kasus seperti itu, ketika tidak mungkin untuk menyelesaikannya dengan "indah", "artileri berat" - logaritma - ikut berperan. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa dengan menggunakan logaritma, bilangan positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan lain nomor positif(kecuali satu):

Ingat rumus ini? Ketika saya memberi tahu siswa saya tentang logaritma, saya selalu memperingatkan: rumus ini (juga yang utama identitas logaritmik atau, jika Anda suka, definisi logaritma) akan menghantui Anda untuk waktu yang sangat lama dan “muncul” di tempat yang paling tidak terduga. Yah, dia muncul ke permukaan. Mari kita lihat persamaan dan rumus kita ini:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Jika kita berasumsi bahwa $a=3$ adalah bilangan asli kita di sebelah kanan, dan $b=2$ adalah basis fungsi eksponensial yang ingin kita kurangi ruas kanannya, kita mendapatkan yang berikut:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Panah Kanan 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Panah Kanan ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Panah Kanan x=( (\log )_(2))3. \\\end(sejajarkan)\]

Kami menerima jawaban yang agak aneh: $x=((\log )_(2))3$. Dalam beberapa tugas lain, banyak yang akan ragu dengan jawaban seperti itu dan akan mulai memeriksa ulang solusi mereka: bagaimana jika kesalahan terjadi di suatu tempat? Saya segera menyenangkan Anda: tidak ada kesalahan di sini, dan logaritma di akar persamaan eksponensial cukup situasi yang khas. Jadi biasakanlah :)

Sekarang mari kita selesaikan dua persamaan sisanya dengan analogi:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Panah Kanan ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Panah Kanan x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Panah Kanan ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Panah Kanan 2x=( (\log )_(4))11\Panah Kanan x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Omong-omong, jawaban terakhir bisa ditulis berbeda:

Kami memperkenalkan pengali pada argumen logaritma. Namun tidak ada yang menghentikan kami untuk menambahkan faktor ini ke basis:

Selain itu, ketiga opsi tersebut benar - sederhana saja berbeda bentuk catatan dengan nomor yang sama. Yang mana yang harus dipilih dan ditulis dalam solusi ini terserah Anda.

Jadi, kita telah belajar menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun yang berbentuk $((a)^(x))=b$, yang bilangan $a$ dan $b$ benar-benar positif. Namun kenyataan pahit dunia kita sedemikian rupa tugas-tugas sederhana Anda akan sangat, sangat jarang bertemu. Lebih sering daripada tidak, Anda akan menemukan sesuatu seperti ini:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(sejajarkan)\]

Jadi bagaimana kita bisa mengatasi ini? Bisakah ini diselesaikan? Dan jika ya, bagaimana caranya?

Jangan panik. Semua persamaan ini dapat dengan cepat dan mudah direduksi menjadi rumus sederhana yang telah kami pertimbangkan. Anda hanya perlu mengingat beberapa trik dari kursus aljabar. Dan tentu saja, tidak ada aturan untuk bekerja dengan gelar. Aku akan memberitahumu tentang semua ini sekarang :)

Mengonversi Persamaan Eksponensial

Hal pertama yang harus diingat: persamaan eksponensial apa pun, betapapun rumitnya, dengan satu atau lain cara harus direduksi menjadi persamaan paling sederhana - persamaan yang telah kita pertimbangkan dan yang kita tahu cara menyelesaikannya. Dengan kata lain, skema penyelesaian persamaan eksponensial terlihat seperti ini:

Tuliskan persamaan aslinya. Misalnya: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Lakukan hal-hal aneh. Atau bahkan omong kosong yang disebut "mengubah persamaan";
Pada output, dapatkan ekspresi paling sederhana dari bentuk $((4)^(x))=4$ atau sesuatu yang lain seperti itu. Selain itu, satu persamaan awal dapat menghasilkan beberapa ekspresi serupa sekaligus.

Semuanya jelas dengan poin pertama - bahkan kucing saya dapat menulis persamaannya di selembar kertas. Poin ketiga juga tampaknya kurang lebih jelas - kita telah menyelesaikan sejumlah persamaan di atas.

Namun bagaimana dengan poin kedua? Transformasi seperti apa? Ubah apa menjadi apa? Dan bagaimana?

Baiklah, mari kita cari tahu. Pertama-tama, saya ingin mencatat hal berikut. Semua persamaan eksponensial dibagi menjadi dua jenis:

Persamaan tersebut terdiri dari fungsi eksponensial dengan basis yang sama. Contoh: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Rumusnya berisi fungsi eksponensial dengan karena alasan yang berbeda. Contoh: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dan $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Mari kita mulai dengan persamaan tipe pertama - persamaan ini paling mudah diselesaikan. Dan dalam menyelesaikannya, kita akan dibantu dengan teknik seperti menyorot ekspresi stabil.

Mengisolasi ekspresi stabil

Mari kita lihat persamaan ini lagi:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Apa yang kita lihat? Keempatnya diangkat ke derajat yang berbeda. Namun semua pangkat ini merupakan penjumlahan sederhana dari variabel $x$ dengan bilangan lainnya. Oleh karena itu, perlu diingat aturan untuk bekerja dengan derajat:

\[\begin(sejajarkan)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(kamu))). \\\end(sejajarkan)\]

Sederhananya, penjumlahan dapat diubah menjadi hasil kali pangkat, dan pengurangan dapat dengan mudah diubah menjadi pembagian. Mari kita coba menerapkan rumus berikut pada derajat persamaan kita:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4.\ \\akhir(sejajarkan)\]

Mari kita tulis ulang persamaan aslinya dengan mempertimbangkan fakta ini, lalu kumpulkan semua suku di sebelah kiri:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -sebelas; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(sejajarkan)\]

DI DALAM empat pertama istilahnya mengandung elemen $((4)^(x))$ - mari kita keluarkan dari tanda kurung:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))\cdot \kiri(1+\frac(1)(4)-4 \kanan)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \kiri(-\frac(11)(4) \kanan)=-11. \\\end(sejajarkan)\]

Tetap membagi kedua ruas persamaan dengan pecahan $-\frac(11)(4)$, yaitu pada dasarnya kalikan dengan pecahan terbalik - $-\frac(4)(11)$. Kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))\cdot \kiri(-\frac(11)(4) \kanan)\cdot \kiri(-\frac(4)(11) \kanan )=-11\cdot \kiri(-\frac(4)(11) \kanan); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami telah mereduksi persamaan awal menjadi bentuk paling sederhana dan memperoleh jawaban akhir.

Pada saat yang sama, dalam proses penyelesaian, kami menemukan (dan bahkan mengeluarkannya dari kurung) pengganda umum$((4)^(x))$ adalah ekspresi stabil. Itu bisa ditetapkan sebagai variabel baru, atau Anda bisa mengekspresikannya dengan hati-hati dan mendapatkan jawabannya. Bagaimanapun, prinsip kunci Solusinya adalah sebagai berikut:

Temukan dalam persamaan asli ekspresi stabil yang mengandung variabel yang mudah dibedakan dari semua fungsi eksponensial.

Kabar baiknya adalah hampir setiap persamaan eksponensial memungkinkan Anda mengisolasi ekspresi stabil tersebut.

Namun ada juga kabar buruknya: ekspresi serupa bisa sangat rumit dan bisa sangat sulit untuk diidentifikasi. Jadi mari kita lihat satu masalah lagi:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Mungkin sekarang ada yang bertanya: “Pasha, apakah kamu dilempari batu? Ada basis yang berbeda di sini – 5 dan 0,2.” Tapi mari kita coba mengubah pangkatnya menjadi basis 0,2. Misalnya, mari kita hilangkan pecahan desimal dengan mereduksinya menjadi pecahan biasa:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(2)(10 ) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)) )\]

Seperti yang Anda lihat, angka 5 tetap muncul, meskipun dalam penyebutnya. Pada saat yang sama, indikatornya ditulis ulang menjadi negatif. Dan sekarang mari kita ingat salah satunya aturan yang paling penting bekerja dengan gelar:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Panah Kanan ((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^( -\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(5)(1) \kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Di sini, tentu saja, saya sedikit berbohong. Karena untuk pemahaman penuh formula untuk menghilangkannya indikator negatif seharusnya ditulis seperti ini:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kiri(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Panah Kanan ((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Di sisi lain, tidak ada yang menghalangi kami untuk mengerjakan pecahan saja:

\[((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((5)^(\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-\kiri(x+1 \kanan) \kanan) ))=((5)^(x+1))\]

Namun dalam hal ini, Anda harus bisa menaikkan suatu pangkat ke pangkat lain (izinkan saya mengingatkan Anda: dalam hal ini, indikatornya dijumlahkan). Tapi saya tidak perlu "membalikkan" pecahannya - mungkin ini akan lebih mudah bagi sebagian orang :)

Bagaimanapun, persamaan eksponensial awal akan ditulis ulang menjadi:

\[\begin(sejajarkan)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(sejajarkan)\]

Jadi ternyata persamaan awal dapat diselesaikan dengan lebih sederhana daripada persamaan yang dipertimbangkan sebelumnya: di sini Anda bahkan tidak perlu memilih ekspresi stabil - semuanya telah direduksi dengan sendirinya. Yang perlu diingat hanyalah $1=((5)^(0))$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(sejajarkan)\]

Itulah solusinya! Kami mendapat jawaban akhir: $x=-2$. Pada saat yang sama, saya ingin mencatat satu teknik yang sangat menyederhanakan semua perhitungan bagi kita:

Dalam persamaan eksponensial, pastikan untuk menghilangkannya desimal, ubah menjadi yang biasa. Ini akan memungkinkan Anda melihat basis derajat yang sama dan sangat menyederhanakan penyelesaiannya.

Sekarang mari kita beralih ke persamaan yang lebih kompleks yang memiliki basis-basis berbeda yang tidak dapat direduksi satu sama lain menggunakan pangkat sama sekali.

Menggunakan Properti Derajat

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki dua persamaan yang sangat sulit:

\[\begin(sejajarkan)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(sejajarkan)\]

Kesulitan utama di sini adalah tidak jelasnya apa yang harus diberikan dan atas dasar apa. Di mana mengatur ekspresi? Dimana alasan yang sama? Tidak ada semua ini.

Tapi mari kita coba mengambil jalan yang berbeda. Jika tidak ada basis identik yang siap pakai, Anda dapat mencoba menemukannya dengan memfaktorkan basis yang ada.

Mari kita mulai dengan persamaan pertama:

\[\begin(sejajarkan)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Panah Kanan ((21)^(3x))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(sejajarkan)\]

Namun Anda dapat melakukan yang sebaliknya - buatlah angka 21 dari angka 7 dan 3. Hal ini sangat mudah dilakukan di sebelah kiri, karena indikator kedua derajatnya sama:

\[\begin(sejajarkan)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Anda mengambil eksponen di luar perkalian dan segera mendapatkan persamaan indah yang dapat diselesaikan dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat persamaan kedua. Semuanya jauh lebih rumit di sini:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\kiri(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

DI DALAM pada kasus ini pecahan tersebut ternyata tidak dapat direduksi, tetapi jika ada yang dapat direduksi, pastikan untuk mereduksinya. Seringkali, alasan menarik akan muncul yang sudah dapat Anda kerjakan.

Sayangnya, tidak ada hal istimewa yang tampak bagi kami. Namun kita melihat bahwa eksponen di sebelah kiri hasil perkalian adalah kebalikannya:

Izinkan saya mengingatkan Anda: untuk menghilangkan tanda minus pada indikator, Anda hanya perlu “membalik” pecahannya. Baiklah, mari kita tulis ulang persamaan aslinya:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\kiri(100\cdot \frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\kiri(\frac(1000)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(sejajarkan)\]

Di baris kedua kita cukup menjalankannya indikator umum dari hasil kali di luar tanda kurung menurut aturan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, dan yang terakhir cukup mengalikan angka 100 dengan pecahan.

Sekarang perhatikan bahwa angka di kiri (di dasar) dan di kanan agak mirip. Bagaimana? Ya, sudah jelas: mereka adalah kekuatan dengan jumlah yang sama! Kita punya:

\[\begin(sejajarkan)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\kiri(\frac( 10)(3) \kanan))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\kiri(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]

Jadi, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((\kiri(((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan))^(x-1))=((\kiri(\frac(3 )(10)\kanan))^(2))\]

\[((\kiri(((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan))^(x-1))=((\kiri(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kiri(x-1 \kanan)))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]

Dalam hal ini, di sebelah kanan Anda juga bisa mendapatkan gelar dengan basis yang sama, yang cukup dengan “membalik” pecahannya:

\[((\kiri(\frac(3)(10) \kanan))^(2))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(-2))\]

Persamaan kita akhirnya akan berbentuk:

\[\begin(sejajarkan)& ((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(sejajarkan)\]

Itulah solusinya. Gagasan utamanya bermuara pada fakta bahwa meskipun dengan landasan yang berbeda, kita mencoba, dengan cara apa pun, untuk mereduksi landasan ini menjadi hal yang sama. Transformasi dasar persamaan dan aturan untuk bekerja dengan pangkat membantu kita dalam hal ini.

Tapi apa aturannya dan kapan menggunakannya? Bagaimana Anda memahami bahwa dalam satu persamaan Anda perlu membagi kedua ruas dengan sesuatu, dan di persamaan lain Anda perlu memfaktorkan basis fungsi eksponensial?

Jawaban atas pertanyaan ini akan datang melalui pengalaman. Cobalah tangan Anda pada awalnya persamaan sederhana, dan kemudian secara bertahap memperumit tugas - dan keterampilan Anda akan segera cukup untuk menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun dari Ujian Negara Terpadu yang sama atau pekerjaan independen/tes apa pun.

Dan untuk membantu Anda dalam masalah sulit ini, saya sarankan mengunduh kumpulan persamaan untuk keputusan independen. Semua persamaan mempunyai jawabannya, sehingga Anda selalu dapat menguji diri sendiri.

Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. an am = an + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

DI DALAM dalam contoh ini angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, ke kiri dan bagian kanan sama, Anda perlu mengganti x dengan angka 3.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita bisa membuang basisnya dan menyamakan pangkatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

DI DALAM contoh berikut Terlihat basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh dengan alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita. Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari bertransformasi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan tiga. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Nomor s derajat paling rendah mengganti:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kita mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di website Anda dapat mengajukan pertanyaan menarik di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Universitas Negeri Belgorod

DEPARTEMEN aljabar, teori bilangan dan geometri

Tema kerja: Persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.

Pekerjaan pascasarjana mahasiswa Fakultas Fisika dan Matematika

Penasihat ilmiah:

______________________________

Pengulas: __________________

________________________

Belgorod. 2006

Perkenalan			3
*Subjek* *SAYA.*	Analisis literatur tentang topik penelitian.
*Subjek* *II.*	Fungsi dan sifat-sifatnya digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.
	*saya.1.*	Fungsi daya dan propertinya.
	*saya.2.*	Fungsi eksponensial dan propertinya.
*Subjek* *AKU AKU AKU.*	Memecahkan persamaan pangkat eksponensial, algoritma dan contoh.
*Subjek* *IV.*	Memecahkan pertidaksamaan eksponensial, rencana penyelesaian dan contoh.
*Subjek* V.	Pengalaman menyelenggarakan kelas dengan anak sekolah dengan topik: “Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.”
V. 1.	Materi pendidikan.
V. 2.	Masalah untuk solusi mandiri.
*Kesimpulan.*	Kesimpulan dan penawaran.
*Bibliografi.*
*Aplikasi*

Perkenalan.

“...kegembiraan melihat dan memahami...”

A.Einstein.

Dalam karya ini, saya mencoba menyampaikan pengalaman saya sebagai guru matematika, untuk menyampaikan setidaknya sampai batas tertentu sikap saya terhadap pengajarannya - penyebab manusia, di mana luar biasa terjalin dan ilmu matematika, dan pedagogi, dan didaktik, dan psikologi, dan bahkan filsafat.

Saya mempunyai kesempatan untuk bekerja dengan anak-anak dan lulusan, dengan anak-anak berdiri di tiang perkembangan intelektual: mereka yang terdaftar di psikiater dan sangat tertarik dengan matematika

Saya harus menyelesaikan banyak hal tugas metodologis. Saya akan mencoba berbicara tentang hal-hal yang berhasil saya pecahkan. Namun yang lebih gagal lagi, dan bahkan pada hal-hal yang tampaknya telah terselesaikan, muncul pertanyaan-pertanyaan baru.

Namun yang lebih penting dari pengalaman itu sendiri adalah refleksi dan keraguan guru: mengapa justru seperti ini, pengalaman ini?

Dan musim panas sekarang berbeda, dan perkembangan pendidikan menjadi lebih menarik. “Under the Jupiters” saat ini bukanlah pencarian sistem mitos optimal dalam mengajar “semua orang dan segalanya”, tetapi anak itu sendiri. Tapi kemudian - tentu saja - gurunya.

DI DALAM kursus sekolah aljabar dan awal analisis, kelas 10 - 11, ketika lulus Ujian Negara Bersatu untuk kursus sekolah menengah atas dan pada ujian masuk universitas terdapat persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung bilangan pokok dan eksponen yang tidak diketahui - ini adalah persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.

Mereka mendapat sedikit perhatian di sekolah; praktis tidak ada tugas tentang topik ini di buku pelajaran. Namun, menguasai teknik penyelesaiannya, menurut saya, sangat berguna: meningkatkan mental dan Keterampilan kreatif siswa, cakrawala yang benar-benar baru terbuka di hadapan kita. Saat memecahkan masalah, siswa memperoleh keterampilan pertama pekerjaan penelitian, budaya matematika mereka diperkaya, kemampuan mereka untuk berpikir logis. Anak sekolah mengembangkan kualitas kepribadian seperti tekad, penetapan tujuan, kemandirian, yang akan berguna bagi mereka kehidupan kelak. Dan juga terjadi pengulangan, perluasan dan asimilasi materi pendidikan yang mendalam.

Kerjakan topik ini penelitian diploma Saya mulai dengan menulis tugas kuliah saya. Selama saya mempelajari dan menganalisis secara mendalam literatur matematika tentang topik ini, saya mengidentifikasi metode yang paling cocok untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.

Hal ini terletak pada kenyataan bahwa selain pendekatan yang diterima secara umum ketika menyelesaikan persamaan eksponensial (basis diambil lebih besar dari 0) dan ketika menyelesaikan pertidaksamaan yang sama (basis diambil lebih besar dari 1 atau lebih besar dari 0, tetapi kurang dari 1) , kasus juga dipertimbangkan ketika basisnya negatif, sama dengan 0 dan 1.

Analisis tertulis kertas ujian siswa menunjukkan bahwa kurangnya cakupan masalah nilai negatif Argumentasi fungsi eksponensial dalam buku pelajaran sekolah menimbulkan banyak kesulitan dan menimbulkan kesalahan. Dan mereka juga memiliki masalah pada tahap mensistematisasikan hasil yang diperoleh, di mana, karena transisi ke persamaan - konsekuensi atau pertidaksamaan - konsekuensi, akar-akar asing dapat muncul. Untuk menghilangkan kesalahan, kami menggunakan tes menggunakan persamaan asli atau pertidaksamaan dan algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, atau rencana untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial.

Untuk memastikan bahwa siswa dapat berhasil lulus kelulusannya dan tes masuk, Saya yakin penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan eksponensial perlu lebih diperhatikan sesi pelatihan, atau tambahan dalam pilihan dan klub.

Dengan demikian subjek , ku tesis didefinisikan sebagai berikut: “Persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.”

Sasaran dari pekerjaan ini adalah:

1. Analisis literatur tentang topik ini.

2. Memberi analisis penuh menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.

3. Berikan contoh yang cukup dari berbagai jenis tentang topik ini.

4. Periksa di kelas, kelas pilihan dan klub bagaimana metode yang diusulkan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial akan dirasakan. Berikan rekomendasi yang sesuai untuk mempelajari topik ini.

Subjek Penelitian kami adalah mengembangkan metodologi untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.

Tujuan dan pokok bahasan penelitian memerlukan pemecahan masalah sebagai berikut:

1. Pelajari literatur dengan topik: “Persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial.”

2. Menguasai teknik penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.

3. Pilih materi pelatihan dan kembangkan sistem latihan tingkat yang berbeda dengan topik: “Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.”

Selama penelitian tesis, lebih dari 20 karya dikhususkan untuk penggunaan berbagai metode menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan pangkat eksponensial. Dari sini kita dapatkan.

Rencana tesis:

Perkenalan.

Bab I. Analisis literatur tentang topik penelitian.

Bab II. Fungsi dan sifat-sifatnya digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.

II.1. Fungsi daya dan sifat-sifatnya.

II.2. Fungsi eksponensial dan sifat-sifatnya.

Bab III. Memecahkan persamaan pangkat eksponensial, algoritma dan contoh.

Bab IV. Memecahkan pertidaksamaan eksponensial, rencana penyelesaian dan contoh.

Bab V. Pengalaman memimpin kelas dengan anak sekolah tentang topik ini.

1. Materi pelatihan.

2.Tugas untuk penyelesaian mandiri.

Kesimpulan. Kesimpulan dan penawaran.