Persamaan

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?

Di bagian ini kita akan mengingat (atau mempelajari, tergantung siapa yang Anda pilih) persamaan paling dasar. Jadi apa persamaannya? Berbicara bahasa manusia, ini adalah semacam ekspresi matematika di mana ada tanda sama dengan dan tidak diketahui. Yang biasanya dilambangkan dengan huruf "X". Selesaikan persamaannya- ini untuk mencari nilai x yang jika disubstitusikan ke asli ekspresi akan memberi kita identitas yang benar. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa identitas adalah ekspresi yang tidak menimbulkan keraguan bahkan dalam diri seseorang yang sama sekali tidak terbebani pengetahuan matematika. Seperti 2=2, 0=0, ab=ab, dst. Jadi bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Mari kita cari tahu.

Ada berbagai macam persamaan (saya terkejut, bukan?). Tetapi seluruh keragamannya yang tak terbatas hanya dapat dibagi menjadi empat jenis.

4. Lainnya.)

Selebihnya, tentu saja, yang terpenting, ya...) Ini termasuk kubik, eksponensial, logaritma, trigonometri dan lain-lain. Kami akan bekerja sama dengan mereka di bagian yang sesuai.

Saya akan segera mengatakan bahwa terkadang persamaannya adalah yang pertama tiga jenis mereka akan sangat menipu Anda sehingga Anda bahkan tidak akan mengenali mereka... Tidak ada. Kita akan belajar cara melepaskannya.

Dan mengapa kita membutuhkan keempat tipe ini? Lalu apa persamaan linear diselesaikan dengan satu cara persegi yang lain, rasional pecahan - ketiga, A istirahat Mereka tidak berani sama sekali! Ya, bukannya mereka tidak bisa mengambil keputusan sama sekali, tapi saya salah dalam matematika.) Hanya saja mereka punya teknik dan metode khusus masing-masing.

Tapi untuk siapa pun (saya ulangi - untuk setiap!) persamaan memberikan dasar yang andal dan aman untuk penyelesaian. Bekerja di mana saja dan selalu. Landasan ini - Kedengarannya menakutkan, tetapi sangat sederhana. Dan sangat (Sangat!) penting.

Sebenarnya, solusi persamaan tersebut terdiri dari transformasi-transformasi ini. 99% Jawab pertanyaan: " Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?" justru terletak pada transformasi ini. Apakah petunjuknya jelas?)

Transformasi persamaan yang identik.

DI DALAM persamaan apa pun untuk menemukan hal yang tidak diketahui, Anda perlu mengubah dan menyederhanakan contoh asli. Begitu pula saat berganti penampilan inti persamaannya tidak berubah. Transformasi seperti ini disebut identik atau setara.

Perhatikan bahwa transformasi ini berlaku khusus untuk persamaan. Ada juga transformasi identitas dalam matematika ekspresi. Ini adalah topik lain.

Sekarang kita akan mengulangi semuanya, semuanya, semuanya dasar transformasi persamaan yang identik.

Dasar karena bisa diterapkan setiap persamaan - linier, kuadrat, pecahan, trigonometri, eksponensial, logaritma, dll. dan seterusnya.

Transformasi identitas pertama: Anda dapat menambahkan (mengurangi) kedua ruas persamaan apa pun setiap(tetapi satu dan sama!) nomor atau ekspresi (termasuk ekspresi dengan yang tidak diketahui!). Hal ini tidak mengubah esensi persamaan.

Omong-omong, Anda terus-menerus menggunakan transformasi ini, Anda hanya berpikir bahwa Anda memindahkan beberapa suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya dengan perubahan tanda. Jenis:

Kasusnya familiar, kita pindahkan keduanya ke kanan, dan kita mendapatkan:

Sebenarnya kamu diambil dari kedua sisi persamaan adalah dua. Hasilnya sama:

x+2 - 2 = 3 - 2

Mentransfer istilah ke kiri dan ke kanan dengan perubahan tanda hanyalah versi singkat dari yang pertama transformasi identitas. Dan mengapa kita membutuhkan pengetahuan yang mendalam? - Anda bertanya. Tidak ada apa pun dalam persamaan. Demi Tuhan, tahanlah. Jangan lupa untuk mengganti tandanya. Namun dalam ketimpangan, kebiasaan transferensi bisa berujung pada jalan buntu...

Transformasi identitas kedua: kedua ruas persamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama bukan nol angka atau ekspresi. Di sini batasan yang dapat dimengerti sudah muncul: mengalikan dengan nol itu bodoh, dan membaginya sama sekali tidak mungkin. Ini adalah transformasi yang Anda gunakan ketika Anda memecahkan sesuatu yang keren

Tentu saja, X= 2. Bagaimana caramu menemukannya? Berdasarkan seleksi? Atau apakah itu baru saja Anda sadari? Agar tidak memilih dan tidak menunggu wawasan, Anda perlu memahami bahwa Anda adil membagi kedua sisi persamaan sebanyak 5. Saat membagi ruas kiri (5x), limanya dikurangi, menyisakan X murni. Itulah yang kami butuhkan. Dan ketika membagi ruas kanan (10) dengan lima, kita mendapatkan dua.

Itu saja.

Ini lucu, tetapi dua (hanya dua!) transformasi identik ini adalah dasar dari solusinya semua persamaan matematika. Wow! Masuk akal untuk melihat contoh apa dan bagaimana, bukan?)

Contoh transformasi persamaan identik. Masalah utama.

Mari kita mulai dengan Pertama transformasi identitas. Pindahkan ke kiri-kanan.

Contoh bagi yang lebih muda.)

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

3-2x=5-3x

Mari kita ingat mantranya: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan!" Mantra ini adalah instruksi untuk menggunakan transformasi identitas pertama.) Apa ekspresi dengan tanda X di sebelah kanan? 3x? Jawabannya salah! Di sebelah kanan kami - 3x! dikurangi tigax! Oleh karena itu, bila digeser ke kiri, tandanya akan berubah menjadi plus. Ternyata:

3-2x+3x=5

Jadi, X-nya dikumpulkan dalam satu tumpukan. Mari kita bahas angkanya. Ada tiga di sebelah kiri. Dengan tanda apa? Jawaban “tidak ada” tidak diterima!) Di depan ketiganya, memang tidak ada yang tergambar. Artinya sebelum ketiganya ada plus. Jadi para ahli matematika setuju. Tidak ada yang tertulis, yang artinya plus. Oleh karena itu, tripelnya akan dipindahkan ke sisi kanan dengan minus. Kita mendapatkan:

-2x+3x=5-3

Hanya ada hal-hal sepele yang tersisa. Di sebelah kiri - bawa yang serupa, di sebelah kanan - hitung. Jawabannya langsung muncul:

Dalam contoh ini, satu transformasi identitas saja sudah cukup. Yang kedua tidak diperlukan. Baiklah.)

Contoh untuk anak yang lebih besar.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Perkiraan rencana pembelajaran materi pendidikan

Barang buku teks	Jumlah pelajaran	Materi didaktik	Ciri-ciri jenis utama kegiatan siswa
8.1. TENTANG bahasa matematika		O-44, Hal-34	Diskusikan ciri-ciri bahasa matematika. Tuliskan ekspresi matematika dengan memperhatikan kaidah sintaksis bahasa matematika, menyusun ekspresi sesuai dengan kondisi soal data huruf. Gunakan huruf untuk menulis kalimat matematika dan pernyataan umum; melakukan penerjemahan dari bahasa matematika ke bahasa alami dan sebaliknya. Menggambarkan pernyataan umum yang ditulis dalam bentuk surat, contoh numerik
8.2. Ekspresi literal dan substitusi numerik		-	Membangun struktur bicara menggunakan terminologi baru (ekspresi literal, substitusi numerik, makna ekspresi literal, nilai yang valid huruf). Hitung nilai numerik ekspresi literal untuk nilai huruf tertentu. Temukan nilai huruf yang valid dalam sebuah ekspresi. Jawablah pertanyaan dalam soal surat dengan mengarang ekspresi yang sesuai
8.3. Rumus. Perhitungan menggunakan rumus		O-45, Hal-35, Hal-36	Menyusun rumus yang menyatakan ketergantungan antar besaran, termasuk kondisi yang ditentukan oleh gambar. Menghitung menggunakan rumus, nyatakan satu besaran dari suatu rumus ke dalam besaran lain
8.4. Rumus keliling, luas lingkaran, dan volume bola			Temukan secara eksperimental rasio keliling terhadap diameter. Diskusikan ciri-ciri bilangan π; temukan informasi tambahan tentang nomor ini. Mengenal rumus keliling, luas lingkaran, volume bola; hitung menggunakan rumus ini. Hitunglah besar kecil bangun-bangun yang dibatasi oleh lingkaran dan busur-busurnya. Bulatkan hasil perhitungan menggunakan rumus
8.5. Apa persamaannya		O-46, “Uji dirimu sendiri”, Hlm.-37	Bangunlah struktur tuturan dengan menggunakan kata “persamaan”, “akar persamaan”. Periksa apakah bilangan yang ditentukan merupakan akar persamaan yang dimaksud. Selesaikan persamaan berdasarkan ketergantungan antar komponen tindakan. Membuat model matematika (persamaan) berdasarkan kondisi soal cerita
Tinjau dan kendalikan

Tujuan dasar: mengembangkan gagasan siswa tentang penggunaan simbol-simbol huruf, mengembangkan keterampilan dasar menyusun ungkapan-ungkapan huruf dan menghitung maknanya, serta mengerjakan rumus-rumus, dan memberikan pemahaman awal terhadap suatu persamaan dengan satu variabel.

Ikhtisar bab. Bab ini memuat materi terkait blok aljabar isi mata kuliah matematika kelas 5-6. Ini dikelompokkan menjadi tiga hal mendasar konsep aljabar: ekspresi, rumus, persamaan. Penyajian materi didasarkan pada keakraban dengan bahasa matematika, terjemahan dari bahasa alami untuk matematika, penggunaan bahasa matematika untuk menggambarkan realitas.

Pertama, masalah penggunaan huruf untuk menunjukkan angka dibahas, konsep ekspresi literal dan konsep terkait seperti "substitusi numerik", "arti ekspresi literal", "makna huruf yang diperbolehkan" diperkenalkan. Di tingkat dasar, keterampilan praktis yang relevan dikembangkan.

Pengalaman dengan ekspresi literal adalah dasar untuk mempelajari bagian berikutnya, yang membahas masalah rumus. Rumus bagi siswa adalah persamaan literal yang menggambarkan suatu aturan dalam bahasa simbolik. Siswa menuliskan dalam bentuk rumus aturan-aturan yang diketahuinya untuk menghitung besaran tertentu (keliling dan luas persegi panjang dan persegi, volume paralelepiped persegi panjang dll.) dan bertemu yang baru konsep geometris dan rumus yang sesuai (keliling, luas lingkaran, volume bola).

Bab ini diakhiri dengan pembahasan persamaan. Persamaan tersebut muncul sebagai hasil penerjemahan kondisi masalah kata ke dalam bahasa matematika. Persamaan pada tahap pembelajaran mata kuliah ini diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang diketahui sekolah dasar teknik - berdasarkan ketergantungan antara komponen tindakan. Mari kita tekankan bahwa fragmen ini adalah peran didaktik berfungsi sebagai langkah pengantar pada topik “Persamaan” yang pembelajarannya akan dimulai pada mata kuliah aljabar kelas 7.

Bahan untuk kontrol.

Keuntungan " Makalah ujian" Tes 7. Huruf dan rumus.

Keuntungan " Tes mata pelajaran" Tes 14. Huruf dan rumus.

Tentang bahasa matematika

Komentar metodis

Siswa sudah mempunyai pengalaman menggunakan huruf untuk menulis ekspresi sederhana, sifat-sifat operasi aritmatika, untuk menunjukkan nomor yang tidak dikenal. Mereka juga tahu cara menggunakannya simbol matematika, seperti tanda aritmatika, tanda perbandingan, tanda kurung. Sekarang pengetahuan dan keterampilan ini menjadi dasar untuk berbicara tentang bahasa matematika sebagai bahasa khusus ilmu pengetahuan yang diciptakan dan ditingkatkan seiring dengan perkembangan matematika.

Latihan-latihan pada paragraf ini bertujuan untuk mengembangkan keterampilan membaca dan menulis ungkapan huruf dan persamaan huruf. Semua pekerjaan dilakukan sebagai kegiatan penerjemahan dari bahasa alami ke bahasa matematika dan sebaliknya. Dianjurkan untuk menambahkan tugas-tugas tentang interpretasi makna ekspresi huruf ke dalam sistem latihan di buku teks, misalnya: “Satu kilogram coklat harganya A rubel, satu kilogram harga karamel B rubel Apa yang bisa dibeli jika harga pembelian (dalam rubel) adalah A+ B? 3B? 2A? 2A+ B? Apa arti dari ungkapan tersebut A– B?»

Tingkat pertama

Mengonversi Ekspresi. Teori terperinci (2019)

Mengonversi Ekspresi

Kita sering mendengar ungkapan tidak menyenangkan ini: “sederhanakan ungkapan”. Biasanya kita melihat monster seperti ini:

“Ini jauh lebih sederhana,” kata kami, namun jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut pada apa pun tugas serupa. Terlebih lagi, di akhir pelajaran Anda akan menyederhanakan contoh ini menjadi (hanya!) nomor biasa(ya, persetan dengan surat-surat ini).

Namun sebelum memulai pelajaran ini, Anda harus mampu menangani pecahan dan polinomial faktor. Oleh karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik “” dan “”.

Sudahkah Anda membacanya? Jika ya, maka Anda sekarang siap.

Operasi penyederhanaan dasar

Sekarang mari kita lihat teknik dasar yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa serupa

Apa yang serupa? Anda mengambil ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah suku (monomial) yang bagian hurufnya sama. Misalnya saja secara total istilah serupa- ini aku.

Apakah kamu ingat?

Membawa serupa berarti menjumlahkan beberapa suku yang serupa satu sama lain dan mendapatkan satu suku.

Bagaimana kita bisa menyatukan surat-surat itu? - Anda bertanya.

Hal ini sangat mudah dipahami jika kita membayangkan bahwa huruf adalah suatu benda. Misalnya surat adalah kursi. Lalu apa persamaan ekspresi tersebut? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa jumlahnya? Benar, kursi: .

Sekarang coba ungkapan ini: .

Untuk menghindari kebingungan, biarkan huruf yang berbeda mewakili objek yang berbeda. Misalnya, - (seperti biasa) adalah kursi, dan - adalah meja. Kemudian:

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka yang digunakan untuk mengalikan huruf-huruf dalam suku-suku tersebut disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial, koefisiennya sama. Dan di dalamnya setara.

Jadi aturan membawa yang serupa adalah:

Contoh:

Berikan yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya yang paling banyak bagian penting dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan persamaan serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan perlu difaktorkan, yaitu disajikan sebagai produk. Hal ini sangat penting dalam pecahan: agar dapat mereduksi suatu pecahan, pembilang dan penyebutnya harus direpresentasikan sebagai suatu hasil kali.

Anda telah mempelajari metode memfaktorkan ekspresi secara rinci dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, putuskan beberapa contoh(perlu difaktorkan):

Solusi:

3. Mengurangi pecahan.

Nah, apa yang lebih menyenangkan daripada mencoret sebagian pembilang dan penyebutnya lalu membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya perampingan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor yang sama, maka keduanya dapat dikurangkan, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah itu Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan yang Anda butuhkan:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum , mereka dapat dicoret.

Prinsipnya menurut saya sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian Anda pada satu hal kesalahan tipikal saat berkontraksi. Meskipun topik ini sederhana, banyak orang melakukan kesalahan tanpa memahaminya mengurangi- ini berarti membagi pembilang dan penyebutnya sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya merupakan penjumlahan.

Misalnya: kita perlu menyederhanakan.

Beberapa orang melakukan hal ini: itu sepenuhnya salah.

Contoh lain: kurangi.

Yang “paling pintar” akan melakukan ini: .

Katakan padaku ada apa disini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, yang berarti dapat dikurangi.

Tapi tidak: - ini hanya merupakan faktor dari satu suku pada pembilangnya, tetapi pembilangnya sendiri secara keseluruhan tidak difaktorkan.

Berikut contoh lainnya: .

Ekspresi ini difaktorkan, artinya Anda dapat menguranginya, yaitu membagi pembilang dan penyebutnya dengan, lalu dengan:

Anda bisa langsung membaginya menjadi:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah cara mudah untuk menentukan apakah suatu ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai suatu ekspresi adalah operasi “master”. Artinya, jika Anda mengganti beberapa angka (apa saja) dengan huruf dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir akan ada perkalian, artinya kita mempunyai hasil perkalian (ekspresinya difaktorkan). Jika tindakan terakhir adalah penjumlahan atau pengurangan, ini berarti ekspresi tersebut tidak difaktorkan (sehingga tidak dapat direduksi).

Untuk mengkonsolidasikan, selesaikan sendiri beberapa hal contoh:

Jawaban:

1. Saya harap Anda tidak langsung terburu-buru memotong dan? Masih belum cukup untuk “mengurangi” unit seperti ini:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah faktorisasi:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.

Penambahan dan pengurangan pecahan biasa- operasinya sudah diketahui: kita mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang, dan menambah/mengurangi pembilangnya. Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan relatif prima, yaitu tidak mempunyai faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari bilangan-bilangan ini sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut. Ini akan menjadi penyebut yang sama:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Hal pertama di sini pecahan campuran kami mengubahnya menjadi yang salah, lalu mengikuti pola yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana:

a) Penyebutnya tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kita mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah/mengurangi pembilangnya:

Sekarang di pembilangnya Anda dapat memberikan bilangan serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip mencari penyebut yang sama tanpa huruf:

· pertama-tama, kita menentukan faktor persekutuannya;

· lalu kita tuliskan semua faktor persekutuannya satu per satu;

· dan mengalikannya dengan semua faktor bukan persekutuan lainnya.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebutnya, pertama-tama kita faktorkan menjadi faktor prima:

Mari kita tekankan faktor umum:

Sekarang mari kita tuliskan faktor-faktor persekutuannya satu per satu dan tambahkan ke dalamnya semua faktor-faktor yang tidak umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut yang umum.

Mari kita kembali ke surat-surat itu. Penyebutnya diberikan dengan cara yang persis sama:

· faktorkan penyebutnya;

· menentukan faktor-faktor yang umum (identik);

· tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

· kalikan dengan semua faktor bukan persekutuan lainnya.

Jadi, secara berurutan:

1) faktorkan penyebutnya:

2) menentukan faktor persekutuan (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuannya satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (yang tidak digarisbawahi):

Jadi ada kesamaan di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, pecahan kedua dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Misalnya: .

Kita melihat faktor-faktor yang sama pada penyebutnya, hanya saja semuanya dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang umum adalah:

sampai tingkat tertentu

sampai tingkat tertentu

sampai tingkat tertentu

sampai tingkat tertentu.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara agar pecahan mempunyai penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tertulis bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka pada pembilang dan penyebutnya, misalnya, . Apa yang kamu pelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Saat Anda mereduksi pecahan menjadi faktor persekutuan, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang perlu Anda kalikan untuk mendapatkannya?

Jadi kalikan dengan. Dan kalikan dengan:

Kita akan menyebut ekspresi yang tidak dapat difaktorkan sebagai “faktor dasar”. Misalnya, ini adalah faktor dasar. - Sama. Tapi tidak: itu bisa difaktorkan.

Bagaimana dengan ekspresinya? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik “”).

Jadi, faktor dasar yang digunakan untuk memperluas ekspresi dengan huruf adalah analog faktor utama, di mana Anda menguraikan angka-angkanya. Dan kami akan menanganinya dengan cara yang sama.

Kita melihat bahwa kedua penyebutnya memiliki pengali. Ini akan menuju ke penyebut yang sama sampai tingkat tertentu (ingat alasannya?).

Faktornya bersifat dasar, dan tidak memiliki faktor persekutuan, yang berarti pecahan pertama hanya perlu dikalikan dengan faktor tersebut:

Contoh lain:

Larutan:

Sebelum Anda mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan bagaimana cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Besar! Kemudian:

Contoh lain:

Larutan:

Seperti biasa, mari kita faktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di detik - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor yang sama. Tapi kalau dicermati, keduanya mirip... Dan memang benar:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung kita menukar suku-sukunya, dan pada saat yang sama tanda di depan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang mari kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Mari kita periksa sekarang.

Tugas untuk solusi mandiri:

Jawaban:

Di sini kita perlu mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:

Perlu diperhatikan bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus “kuadrat jumlah”! Kuadrat dari jumlah tersebut akan terlihat seperti ini: .

A disebut kuadrat tak lengkap dari jumlah tersebut: suku kedua di dalamnya adalah hasil kali suku pertama dan suku terakhir, dan bukan hasil kali gandanya. Kuadrat parsial dari jumlah tersebut adalah salah satu faktor perluasan selisih pangkat tiga:

Apa yang harus dilakukan jika sudah ada tiga pecahan?

Ya, hal yang sama! Pertama-tama, mari kita pastikan itu jumlah maksimum faktor penyebutnya sama:

Harap diperhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam satu tanda kurung, tanda di depan pecahan akan berubah menjadi kebalikannya. Saat kita mengganti tanda pada kurung kedua, maka tanda di depan pecahan berubah lagi menjadi kebalikannya. Alhasil (tanda di depan pecahan) tidak berubah.

Kita tuliskan seluruh penyebut pertama ke dalam penyebut yang sama, lalu tambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari faktor kedua, lalu dari faktor ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Artinya, ternyata seperti ini:

Hmm... Sudah jelas apa yang harus dilakukan dengan pecahan. Tapi bagaimana dengan keduanya?

Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, kita perlu membuat dua menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilangnya dibagi penyebutnya, kalau-kalau Anda lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi suatu angka. Dalam hal ini, bilangan itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Persis apa yang dibutuhkan!

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulitnya sudah berakhir sekarang. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi sekaligus paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur penghitungannya? ekspresi numerik? Ingat dengan menghitung arti ungkapan ini:

Apakah kamu menghitung?

Ini seharusnya berhasil.

Jadi, izinkan saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajatnya.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika terdapat beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, maka dapat dilakukan secara sembarang.

Dan terakhir, kami melakukan penjumlahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Namun: ekspresi dalam tanda kurung dievaluasi secara bergantian!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita menghitung ekspresi di masing-masing tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada lebih banyak tanda kurung di dalam tanda kurung? Baiklah, mari kita pikirkan: ada ekspresi yang tertulis di dalam tanda kurung. Saat menghitung suatu ekspresi, apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Benar, hitung dalam tanda kurung. Baiklah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, prosedur untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan saat ini):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi ini tidak sama dengan ekspresi dengan huruf?

Tidak, itu sama saja! Hanya alih-alih operasi aritmatika, Anda perlu melakukan operasi aljabar, yaitu tindakan yang dijelaskan dalam bagian sebelumnya: membawa serupa, penjumlahan pecahan, pengurangan pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah cara memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat mengerjakan pecahan). Paling sering, untuk memfaktorkan, Anda perlu menggunakan I atau cukup memasukkan faktor persekutuan di luar tanda kurung.

Biasanya tujuan kita adalah merepresentasikan ekspresi sebagai hasil kali atau hasil bagi.

Misalnya:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama, kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kita mempunyai selisih pecahan, dan tujuan kita adalah menyajikannya sebagai hasil kali atau hasil bagi. Jadi, kita membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih jauh; semua faktor di sini bersifat mendasar (apakah Anda masih ingat apa artinya?).

2) Kami mendapatkan:

Mengalikan pecahan: apa yang bisa lebih sederhana.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Oke, semuanya sudah berakhir. Sekarang. Tidak ada yang rumit, bukan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi tersebut.

Pertama, coba selesaikan sendiri, baru kemudian lihat solusinya.

Pertama-tama, mari kita tentukan urutan tindakannya. Pertama, mari kita jumlahkan pecahan di dalam tanda kurung, sehingga kita mendapatkan satu daripada dua pecahan. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Baiklah, mari kita jumlahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor langkah-langkahnya secara skematis:

Sekarang saya akan menunjukkan prosesnya, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:

Terakhir, saya akan memberi Anda dua tips bermanfaat:

1. Bila ada yang serupa harus segera dibawa. Kapanpun hal serupa muncul di negara kita, disarankan untuk segera mengungkitnya.

2. Hal yang sama berlaku untuk mereduksi pecahan: begitu ada peluang untuk mereduksi, maka harus dimanfaatkan. Pengecualiannya adalah untuk pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika sekarang ada penyebut yang sama, maka pengurangannya harus dibiarkan untuk nanti.

Berikut beberapa tugas yang harus Anda selesaikan sendiri:

Dan apa yang dijanjikan di awal:

Solusi (singkat):

Jika Anda telah menguasai setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

MENGONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menjumlahkan (mengurangi) suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkannya, dll.
• Mengurangi sebagian kecil: Pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, tanpa mengubah nilai pecahan tersebut.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka keduanya dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Mengalikan dan membagi pecahan:
  ;

PERSAMAAN DENGAN VARIABEL TUNGGAL

PERSAMAAN DAN AKARNYA

Mari kita selesaikan soal: “Ada 40 buku di dua rak, dan di rak paling atas ada 8 kali lebih banyak lebih banyak buku daripada di bagian bawah. Berapa banyak buku yang ada di rak paling bawah?

Mari kita tunjukkan dengan huruf X jumlah buku di rak paling bawah. Maka banyaknya buku yang ada di rak paling atas adalah Zx. Berdasarkan soal, terdapat 40 buku pada kedua rak tersebut. Kondisi ini dapat dituliskan sebagai persamaan:

3x + x = 40.

Untuk mencari jumlah buku yang tidak diketahui, kami menyusun persamaan yang mengandung variabel. Persamaan seperti itu disebut persamaan. Variabel dalam persamaan disebut juga nomor tak dikenal atau sederhananya tidak dikenal.

Kita perlu mencari bilangan yang, jika disubstitusikan dengan x, ke dalam persamaan Zx + x = 40 kesetaraan yang benar diperoleh. Nomor ini dipanggil menyelesaikan persamaan tersebut atau akar persamaan. Persamaan Zx + x = 40 benar kapan x = 10. Angka 10 adalah akar persamaan Zx + x = 40.

Definisi. Akar suatu persamaan adalah nilai suatu variabel yang menjadikan persamaan tersebut benar.

Persamaannya Zx + x = 40 memiliki satu akar. Anda dapat memberikan contoh persamaan yang memiliki dua, tiga atau lebih akar atau tidak memiliki akar sama sekali.

Jadi, persamaan (x-4)(x - 5) (x-6) = 0 mempunyai tiga akar: 4, b dan 6. Memang benar, masing-masing bilangan ini menghasilkan nol salah satu faktor hasil kali (x- 4) (x -5) (x-b), dan oleh karena itu merupakan hasil karya itu sendiri. Untuk nilai x lainnya, tidak ada faktor yang bernilai nol, yang berarti hasil kali juga tidak bernilai nol. Persamaan x + 2 = x tidak mempunyai akar, karena untuk setiap nilai x ruas kiri persamaan adalah 2 lebih besar dari ruas kanan.

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya atau membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak ada.

Persamaan x 2 =4 memiliki dua akar - angka 2 dan -2. Persamaan (x-2) (x+2)=0 juga memiliki akar 2 dan -2. Persamaan yang mempunyai akar-akar yang sama disebut persamaan yang setara . Persamaan yang tidak mempunyai akar juga dianggap setara.

Persamaan tersebut memiliki sifat-sifat berikut:

1) jika Anda menambahkan angka yang sama ke kedua ruas persamaan, Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan;

2) jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Perhatikan persamaan x 2 - 2 = 7. Menjumlahkan ke kiri dan sisi kanan dari persamaan ini bilangannya adalah 2, kita peroleh persamaan x 2 = 9. Mari kita buktikan bahwa persamaan x 2 - 2 = 7 dan x 2 = 9 ekuivalen.

Misalkan suatu nilai x menjadi akar persamaan pertama, yaitu dengan nilai x tersebut, persamaan x 2 -2 = 7 berubah menjadi persamaan yang benar. Dengan menambahkan angka 2 pada kedua ruas persamaan ini, kita kembali mendapatkan persamaan yang benar. Artinya untuk nilai x ini persamaan kedua juga menjadi persamaan yang benar. Kita telah membuktikan bahwa setiap akar persamaan pertama merupakan akar persamaan kedua.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa nilai tertentu dari x adalah akar dari persamaan kedua x 2 = 9, yaitu mengubahnya menjadi persamaan yang benar. Setelah mengurangkan angka 2 dari kedua ruas persamaan ini, kita mendapatkan persamaan yang benar. Artinya untuk nilai x ini persamaan pertama juga menjadi persamaan yang benar. Oleh karena itu, setiap akar persamaan kedua adalah akar persamaan pertama.

Jadi, persamaan x 2 - 2 = 7 dan x 2 = 9 mempunyai akar-akar yang sama, yaitu ekuivalen.

Alasan serupa menetapkan validitas kedua sifat persamaan dalam kasus umum.

3) Dapat juga dibuktikan bahwa jika dalam suatu persamaan kita memindahkan suku dari satu bagian ke bagian lain dengan mengubah tandanya, maka kita memperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut. Misalnya memindahkan suku 2x dari persamaan 5x = 2x + 9 tanda yang berlawanan dari ruas kanan persamaan ke kiri diperoleh persamaan 5x-2ds=9 yang ekuivalen dengan persamaan tersebut.

Mentransfer suku-suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya sering kali digunakan saat menyelesaikan persamaan.

PERSAMAAN LINEAR DENGAN SATU VARIABEL

Masing-masing persamaan 5x = - 4, - 0,2x = 0, -x = -6,5 berbentuk ax = b dimana a dan b adalah bilangan. Pada persamaan pertama a = 5, b = - 4, persamaan kedua a = -0,2, b = 0, persamaan ketiga a = - 1, b = -6,5. Persamaan seperti ini disebut persamaan linear dengan satu variabel.

Definisi. Persamaan yang berbentuk ax = b, dimana x adalah variabel, a dan b adalah bilangan, disebut persamaan linier dengan satu variabel.

Nomor a dipanggil koefisien variabel, dan bilangan b adalah anggota bebas.

Perhatikan persamaan linier ax = b, yang koefisien a tidak ada sama dengan nol. Membagi kedua ruas persamaan dengan a, kita peroleh. Artinya persamaan linear ax=b yang a≠ 0 mempunyai akar tunggal

Sekarang mari kita perhatikan persamaan linier ax = b, yang koefisien a sama dengan nol. Jika a = 0 dan b≠ O, maka persamaan ax = b tidak mempunyai akar, karena persamaan Ox = b, di mana b≠ 0, tidak berlaku untuk sembarang x. Jika a = 0 dan b = O, maka sembarang nilai x adalah akar persamaan, karena persamaan 0x = 0 berlaku untuk sembarang x.

Menyelesaikan banyak persamaan berarti menyelesaikan persamaan linier.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya

Mari kita perluas tanda kurungnya:

Mari kita pindahkan suku -x ke ruas kiri persamaan, dan suku 28 ke kanan, ubah tandanya:

Mari kita lihat istilah serupa:

Dengan mengganti satu persamaan secara berturut-turut dengan persamaan lain yang ekuivalen, diperoleh persamaan linier yang koefisien x-nya berbeda dari nol. Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan koefisien ini:

Angka -5 adalah akar persamaan.

Mungkin saja kita sampai pada penyelesaian persamaan tersebut persamaan linier dari bentuk 0x=b. Dalam hal ini, persamaan aslinya tidak memiliki akar, atau akarnya adalah bilangan apa pun. Misalnya, persamaan tersebut direduksi menjadi persamaan Ox = 7, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar. Persamaan tersebut direduksi menjadi persamaan 0x = 0, dan oleh karena itu bilangan apa pun adalah akarnya.

Properti derajat:

(1) am ⋅ an = am + n

Contoh:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Contoh:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ bn

Contoh:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Contoh:

$$(\kiri((\frac(a)(b)) \kanan)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = saya ⋅ n

Contoh:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Contoh:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Properti akar pangkat dua:

(1) a b = a ⋅ b, untuk a ≥ 0, b ≥ 0

Contoh:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b, untuk a ≥ 0, b > 0

Contoh:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a, untuk a ≥ 0

Contoh:

(4) sebuah 2 = | sebuah | untuk setiap a

Contoh:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Rasional dan bilangan irasional

Angka rasional – angka yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa m n dimana m adalah bilangan bulat (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 ...), n adalah bilangan asli (ℕ = 1, 2, 3, 4 ...).

Contoh bilangan rasional:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Bilangan irasional – bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa m n; ini adalah pecahan desimal non-periodik tak terhingga.

Contoh bilangan irasional:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Sederhananya, bilangan irasional adalah bilangan yang mengandung tanda akar kuadrat dalam notasinya. Tapi itu tidak sesederhana itu. Ada beberapa bilangan rasional yang disamarkan sebagai bilangan irasional, misalnya bilangan 4 terdapat tanda akar kuadrat pada notasinya, namun kita sadari bahwa kita dapat menyederhanakan bentuk notasi 4 = 2. Artinya bilangan 4 merupakan bilangan rasional.

Demikian pula bilangan 4 81 = 4 81 = 2 9 merupakan bilangan rasional.

Beberapa soal mengharuskan Anda menentukan bilangan mana yang rasional dan mana yang irasional. Tugasnya adalah memahami angka mana yang irasional dan angka mana yang disamarkan sebagai angka tersebut. Untuk melakukan ini, Anda harus dapat melakukan operasi menghilangkan pengali dari bawah tanda akar kuadrat dan memasukkan pengali di bawah tanda akar.

Penjumlahan dan pengurangan pengali di luar tanda akar kuadrat

Dengan memindahkan faktor melampaui tanda akar kuadrat, Anda dapat menyederhanakan beberapa ekspresi matematika secara signifikan.

Contoh:

Sederhanakan ekspresi 2 8 2.

Metode 1 (menghilangkan pengali dari bawah tanda root): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Metode 2 (memasukkan pengali di bawah tanda root): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Rumus perkalian yang disingkat (FSU)

Kuadrat dari jumlah tersebut

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Contoh:

(3 x + 4 tahun) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 tahun + (4 tahun) 2 = 9 x 2 + 24 x tahun + 16 tahun 2

Perbedaan kuadrat

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Contoh:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Jumlah kuadrat tidak dapat difaktorkan

a 2 + b 2 ≠

Perbedaan kuadrat

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Contoh:

25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)

Kubus jumlah

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Contoh:

(x + 3 tahun) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 tahun) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 tahun) 2 + (3 tahun) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 tahun + 3 ⋅ x ⋅ 9 tahun 2 + 27 tahun 3 = x 3 + 9 x 2 tahun + 27 tahun x tahun 2 + 27 tahun 3

Perbedaan kubus

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Contoh:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Jumlah kubus

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Contoh:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Perbedaan kubus

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Contoh:

x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 tahun) (x 4 + 3 x 2 tahun + 9 tahun 2)

Jenis nomor standar

Untuk memahami cara membawa sewenang-wenang bilangan rasional Ke tampilan standar, Anda perlu mengetahui angka penting pertama suatu bilangan.

Digit penting pertama suatu bilangan sebut saja digit bukan nol pertama di sebelah kiri.

Contoh:
2 5 ; 3, 05; 0, 1 43; 0,00 1 2. Digit penting pertama disorot dengan warna merah.

Untuk membawa nomor ke bentuk standar, Anda perlu:

1. Pindahkan koma desimal sehingga tepat setelah angka penting pertama.
2. Lipat gandakan angka yang dihasilkan dengan 10 n, di mana n adalah angka yang didefinisikan sebagai berikut:
3. n > 0 jika koma dipindahkan ke kiri (dikalikan dengan 10 n menunjukkan bahwa koma seharusnya berada lebih jauh ke kanan);
4. N< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. nilai mutlak bilangan n sama dengan banyaknya angka perpindahan koma desimal.

Contoh:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Koma telah berpindah ke kiri sebanyak 1 tempat. Karena pergeseran desimalnya ke kiri, maka derajatnya positif.

Itu sudah diubah ke bentuk standar; Anda tidak perlu melakukan apa pun dengannya. Anda dapat menuliskannya sebagai 3,05 ⋅ 10 0, tetapi karena 10 0 = 1, kita biarkan bilangan tersebut dalam bentuk aslinya.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Koma telah berpindah 1 tempat ke kanan. Karena pergeseran desimal ke kanan, maka derajatnya negatif.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Koma telah berpindah tiga tempat ke kanan. Karena pergeseran desimal ke kanan, maka derajatnya negatif.