Temukan jarak terpendek dari suatu titik ke pesawat. Jarak dari suatu titik ke bidang. Teori terperinci dengan contoh. Menentukan jarak antar pesawat

SUDUT ANTARA BIDANG

Pertimbangkan dua bidang α 1 dan α 2, masing-masing ditentukan oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua bidang kita akan memahami salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang tersebut. Jelaslah bahwa sudut antara vektor normal dan bidang α 1 dan α 2 sama dengan salah satu sudut dihedral berdekatan yang ditunjukkan atau . Itu sebabnya . Karena Dan , Itu

.

Contoh. Tentukan sudut antar bidang X+2kamu-3z+4=0 dan 2 X+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang α 1 dan α 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya sejajar, dan oleh karena itu .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien koordinat-koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelas bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Dengan demikian, .

Contoh.

LURUS DALAM RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR UNTUK GARIS.

PERSAMAAN LANGSUNG PARAMETRIK

Posisi suatu garis dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan titik tetapnya M 1 dan sebuah vektor yang sejajar dengan garis tersebut.

Vektor yang sejajar dengan garis disebut panduan vektor garis ini.

Jadi biarkan garis lurus aku melewati suatu titik M 1 (X 1 , kamu 1 , z 1), terletak pada garis yang sejajar dengan vektor .

Mari kita pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dari gambar tersebut jelas bahwa.

Vektor dan bersifat kolinear, jadi ada bilangan seperti itu T, apa , dimana pengalinya T dapat menerima apa pun nilai numerik tergantung pada posisi titik tersebut M pada garis lurus. Faktor T disebut parameter. Setelah menetapkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , kita memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa untuk setiap nilai parameter T sesuai dengan vektor radius suatu titik M, berbaring dalam garis lurus.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu, dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter T perubahan koordinat X, kamu Dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Membiarkan M 1 (X 1 , kamu 1 , z 1) – suatu titik yang terletak pada garis lurus aku, Dan adalah vektor arahnya. Mari kita kembali mengambil titik sembarang pada garis tersebut M(x,y,z) dan pertimbangkan vektornya.

Jelas bahwa vektor-vektornya juga segaris, sehingga koordinat-koordinatnya harus proporsional, oleh karena itu,

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan garis kanonik dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameternya T. Memang dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garisnya dalam bentuk parametrik.

Mari kita tunjukkan , dari sini X = 2 + 3T, kamu = –1 + 2T, z = 1 –T.

Catatan 2. Biarkan garisnya tegak lurus dengan salah satu sumbu koordinat, misalnya kapak Sapi. Maka vektor arah garis tersebut tegak lurus Sapi, karena itu, M=0. Akibatnya, persamaan parametrik garis akan berbentuk

Tidak termasuk parameter dari persamaan T, kita memperoleh persamaan garis dalam bentuk

Namun, dalam hal ini juga, kami setuju untuk menuliskan persamaan garis kanonik secara formal dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, berarti garis lurus tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang bersesuaian.

Juga, persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi Dan Oi atau sejajar dengan sumbu Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LURUS SEBAGAI GARIS PERSimpangan DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa ada lintasan tak terhitung pesawat terbang. Dua di antaranya, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dua bidang tersebut, jika dipertimbangkan bersama-sama, mewakili persamaan garis ini.

Secara umum, keduanya tidak bidang paralel, diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis lurus perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum langsung.

Contoh.

Buatlah garis yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis lurus, cukup mencari dua titik mana saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya titik potong dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Setelah memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula dengan asumsi kamu= 0, kita peroleh titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis, kita dapat melanjutkan ke kanoniknya atau persamaan parametrik. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan titik tertentu M 1 pada garis lurus dan vektor arah garis lurus.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, dengan memberikan salah satu koordinatnya nilai sewenang-wenang. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal Dan . Oleh karena itu, di luar vektor arah garis lurus aku kamu bisa mengambilnya produk vektor vektor normal:

.

Contoh. Memimpin persamaan umum langsung ke bentuk kanonik.

Mari kita cari titik yang terletak pada sebuah garis. Untuk melakukan ini, kita memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaan:

Vektor-vektor normal pada bidang-bidang yang menentukan garis mempunyai koordinat Oleh karena itu, vektor arahnya akan lurus

. Karena itu, aku: .

SUDUT ANTARA LURUS

Sudut antar garis dalam ruang kita akan memanggil salah satu dari sudut yang berdekatan, dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui suatu titik sembarang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis diberikan dalam spasi:

Jelasnya, sudut φ antara garis lurus dapat dianggap sebagai sudut antara vektor arahnya dan . Karena , maka dengan menggunakan rumus kosinus sudut antar vektor kita peroleh

Konsep sudut antara garis lurus dan bidang dapat diperkenalkan untuk siapa saja posisi relatif lurus dan datar.

Jika garis lurus l tegak lurus bidang, maka sudut antara l dan dianggap sama dengan 90.

Jika garis lurus l sejajar dengan bidang atau terletak pada bidang tersebut, maka sudut antara l dan dianggap sama dengan nol.

Jika garis lurus l condong ke bidang, maka sudut antara l dan ini adalah sudut "antara garis lurus l dan proyeksi p ke bidang (Gbr. 39).

Beras. 39. Sudut antara garis lurus dan bidang

Jadi, mari kita ingat kembali definisi kasus nontrivial ini: jika suatu garis lurus miring, maka sudut antara garis lurus dan bidang adalah sudut antara garis lurus tersebut.

Dan proyeksinya ke bidang tertentu.

7.1 Contoh pemecahan masalah

Mari kita lihat tiga tugas, disusun dalam tingkat kesulitan yang semakin meningkat. Tugas ketiga level C2 pada Unified State Examination bidang matematika.

Soal 1. Dalam tetrahedron beraturan, tentukan sudut antara tepi samping dan bidang alasnya.

Tugas 2. Benar prisma segitiga Tepi sisi ABCA1 B1 C1 sama dengan sisi alasnya. Tentukan sudut antara garis AA1 dan bidang ABC1.

Larutan. Sudut antara garis lurus dengan bidang tidak akan berubah jika garis lurus tersebut digeser sejajar satu sama lain. Karena CC1 sejajar dengan AA1, maka sudut yang diperlukan adalah sudut antara garis lurus CC1 dan bidang ABC1 (Gbr. 41).

B 1"

Beras. 41. Untuk tugas 2

Misalkan M adalah titik tengah AB. Mari kita gambarkan ketinggian CH pada segitiga CC1 M. Mari kita tunjukkan bahwa CH tegak lurus bidang ABC1. Untuk melakukan ini, Anda perlu membayangkan dua garis berpotongan pada bidang ini, tegak lurus terhadap CH.

Garis lurus pertama jelas: C1 M. Memang CH? C1 M berdasarkan konstruksi.

Baris kedua adalah AB. Memang proyeksi bidang miring CH pada bidang ABC adalah garis lurus CM; sedangkan AB? CM. Dari teorema tiga garis tegak lurus maka AB ? CH.

Jadi CH? ABC1. Oleh karena itu, sudut antara CC1 dan ABC1 adalah " = \CC1 H. Kita mencari nilai CH dari relasi tersebut

C1 M CH = CC1 CM

(kedua sisi perbandingan ini sama dengan dua kali luas segitiga CC1 M). Kami memiliki:

CM = sebuah 2 3 ;

Tetap mencari sudut ":

Menjawab: arcsin 3 7 .

dosa" = CH =3 : CC1 7

Soal 3. Titik K diambil pada rusuk A1 B1 kubus ABCDA1 B1 C1 D1 sehingga A1 K:KB1 = 3:1. Tentukan sudut antara garis lurus AK dan bidang BC1 D1.

Larutan. Setelah membuat gambar (Gbr. 42, kiri), kami memahami bahwa diperlukan konstruksi tambahan.

Pertama, perhatikan bahwa garis AB terletak pada bidang BC1 D1 (karena AB k C1 D1 ). Kedua, gambar B1 M sejajar dengan AK (Gbr. 42, kanan). Mari kita gambar juga B1 C, dan misalkan N menjadi titik potong B1 C dan BC1.

Mari kita tunjukkan bahwa garis lurus B1 C tegak lurus terhadap bidang BC1 D1. Nyatanya:

1) B 1 C ? BC1 (seperti diagonal persegi);

2) B 1 C ? AB dengan teorema tiga garis tegak lurus (bagaimanapun juga, AB tegak lurus terhadap garis lurus BC dari proyeksi bidang miring B1 C pada bidang ABC).

Jadi, B1 C tegak lurus terhadap dua garis berpotongan pada bidang BC1 D1; oleh karena itu, B1 C ? BC1 D1. Oleh karena itu, proyeksi garis lurus MB

dosa " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Pengertian sudut antara garis lurus dan bidang didasarkan pada konsep proyeksi miring. Definisi. Sudut antara garis lurus dan bidang adalah sudut antara garis lurus tersebut dengan proyeksinya pada suatu bidang tertentu.

Pada Gambar. Gambar 341 menunjukkan sudut a antara kemiringan AM dan proyeksinya pada bidang K.

Catatan. Jika suatu garis lurus sejajar dengan suatu bidang atau terletak di dalamnya, maka sudutnya terhadap bidang tersebut dianggap sama dengan nol. Jika tegak lurus terhadap bidang, maka sudut tersebut dinyatakan siku-siku (definisi sebelumnya ada di sini secara harfiah tidak berlaku!). Dalam kasus lain, sudut lancip tersirat antara garis lurus dan proyeksinya. Oleh karena itu, sudut antara garis lurus dan bidang tidak pernah melebihi sudut siku-siku. Perhatikan juga bahwa di sini lebih tepat berbicara tentang ukuran sudut, dan bukan tentang sudut (memang, yang sedang kita bicarakan tentang derajat kemiringan garis lurus terhadap bidang, konsep sudut sebagai sosok datar, dibatasi oleh dua sinar, tidak berhubungan langsung di sini).

Mari kita verifikasi satu lagi sifat sudut lancip antara garis lurus dan bidang.

Dari semua sudut yang dibentuk oleh suatu garis lurus tertentu dan semua kemungkinan garis lurus pada suatu bidang, sudut yang diproyeksikan oleh suatu garis lurus tertentu adalah yang terkecil.

Bukti. Mari kita lihat Gambar. 342. Misalkan a adalah suatu garis tertentu, proyeksinya pada bidang tersebut adalah garis sembarang lainnya pada bidang K (untuk memudahkan, kita menggambarnya melalui titik A pada perpotongan garis a dengan bidang). Mari kita letakkan pada segmen lurus, mis. sama dengan basis MA miring, dimana merupakan proyeksi salah satu titik miring a.

Kemudian dalam segitiga, dua sisinya sama besar: sisi AM sama, konstruksinya sama. Namun sisi ketiga segitiga lebih besar dari sisi ketiga segitiga (sisi miring lebih besar dari tegak lurus). Artinya sudut berhadapan b lebih besar dari sudut berhadapan a b (lihat paragraf 217): , yang perlu dibuktikan.

Sudut antara garis lurus dan bidang adalah sudut terkecil antara suatu garis lurus tertentu dan semua kemungkinan garis lurus pada bidang tersebut.

Adil dan sebagainya

Dalil. Sudut lancip antara garis lurus yang terletak pada suatu bidang dan proyeksi suatu bidang miring pada bidang tersebut lebih kecil dari sudut antara garis lurus tersebut dengan bidang miring tersebut.

Bukti. Misalkan adalah garis lurus yang terletak pada bidang (Gbr. 342), a miring terhadap bidang, dan proyeksinya pada bidang. Kita akan menganggap garis lurus miring terhadap bidang, kemudian proyeksinya ke bidang yang ditunjukkan dan, dengan menggunakan sifat sebelumnya, kita akan menemukan: apa yang perlu kita buktikan. Dari teorema tiga garis tegak lurus jelas bahwa dalam kasus ketika garis lurus pada suatu bidang tegak lurus, maka proyeksinya adalah miring (kasusnya tidak lancip, tetapi sudut kanan), garis lurus juga tegak lurus terhadap garis paling miring; dalam hal ini, kedua sudut yang kita bicarakan adalah sudut siku-siku dan oleh karena itu sama besar satu sama lain.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Sudut a antara garis lurus l dan bidang 6 dapat ditentukan melalui sudut tambahan p antara suatu garis lurus tertentu l dan tegak lurus n terhadap suatu bidang tertentu yang ditarik dari titik mana pun pada garis lurus tersebut (Gbr. 144). Sudut P melengkapi sudut a yang diinginkan hingga 90°. Setelah menentukan nilai sebenarnya dari sudut P dengan memutar di sekitar garis lurus tingkat bidang sudut yang dibentuk oleh garis lurus l dan tegak lurus dan, tetap melengkapinya menjadi sudut siku-siku. Sudut tambahan ini akan memberikan nilai sebenarnya sudut a antara garis lurus l dan bidang 0.

27. Menentukan sudut antara dua bidang.

Nilai sebenarnya sudut dihedral- antara dua bidang Q dan l. - dapat ditentukan dengan mengganti bidang proyeksi untuk mengubah tepi sudut dihedral menjadi garis proyeksi (soal 1 dan 2), atau jika tepinya tidak ditentukan, karena sudut antara dua garis tegak lurus n1 dan n2 ditarik ke bidang-bidang ini dari titik sembarang M ruang B bidang tegak lurus ini di titik M kita peroleh dua sudut datar a dan P, yang masing-masing sama dengan sudut linier dari dua sudut yang berdekatan (dihedral) yang dibentuk oleh bidang q dan l. Setelah menentukan nilai sebenarnya dari sudut antara tegak lurus n1 dan n2 dengan memutar mengelilingi garis lurus, maka kita tentukan sudut linier sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang q dan l.

Garis melengkung. Titik-titik khusus garis lengkung.

Dalam gambar kurva yang kompleks, titik-titik istimewanya, yang meliputi titik belok, titik kembali, putus, dan titik simpul, juga merupakan titik-titik khusus pada proyeksinya. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa poin tunggal kurva dihubungkan dengan garis singgung pada titik-titik tersebut.

Jika bidang kurva menempati posisi menonjol (Gbr. A), maka salah satu proyeksi kurva ini berbentuk garis lurus.

Untuk kurva spasial, semua proyeksinya berupa garis lengkung (Gbr. 2). B).

Untuk menentukan dari gambar kurva mana yang diberikan (bidang atau spasial), perlu diketahui apakah semua titik pada kurva tersebut berada pada bidang yang sama. Ditentukan pada Gambar. B kurvanya spasial, sejak titik D kurva tersebut tidak termasuk dalam bidang yang ditentukan oleh tiga titik lainnya A, B Dan E kurva ini.

Lingkaran - kurva bidang orde kedua, yang proyeksi ortogonalnya dapat berupa lingkaran dan elips

Garis heliks silinder (heliks) adalah kurva spasial yang mewakili lintasan suatu titik yang melakukan gerakan heliks.

29. Garis lengkung datar dan spasial.

Lihat pertanyaan 28

30. Gambar permukaan yang rumit. Ketentuan dasar.

Permukaan adalah sekumpulan posisi garis berurutan yang bergerak dalam ruang. Garis ini bisa lurus atau melengkung dan disebut matriks generasi permukaan. Jika generatrixnya berbentuk kurva, ia mungkin memiliki konstanta atau tampilan variabel. Generatrix terus bergerak panduan, mewakili garis dengan arah yang berbeda dari generator. Garis panduan mengatur hukum gerak generator. Saat menggerakkan generatrix sepanjang pemandu, a bingkai permukaan (Gbr. 84), yang merupakan kumpulan beberapa posisi generatrice dan pemandu yang berurutan. Saat memeriksa bingkainya, orang dapat yakin bahwa itu adalah generator aku dan panduan T bisa ditukar, tapi permukaannya tetap sama.

Permukaan apa pun dapat diperoleh dengan berbagai cara.

Tergantung pada bentuk generatrix, semua permukaan dapat dibagi menjadi memerintah, yang mempunyai garis lurus generatif, dan tidak diatur, yang mempunyai garis lengkung yang membentuk.

Permukaan yang dapat dikembangkan meliputi permukaan semua permukaan polihedra, silinder, kerucut, dan batang tubuh. Semua permukaan lainnya tidak dapat dikembangkan. Permukaan tak bergaris dapat memiliki generatrix dengan bentuk konstan (permukaan revolusi dan permukaan tubular) dan generatrix dengan bentuk variabel (permukaan saluran dan bingkai).

Permukaan dalam gambar kompleks ditentukan oleh proyeksi bagian geometris determinannya, yang menunjukkan metode pembuatan konstituennya. Dalam menggambar suatu permukaan, untuk titik mana pun dalam ruang, pertanyaan apakah titik tersebut termasuk dalam suatu permukaan tertentu dapat diselesaikan dengan jelas. Menentukan secara grafis elemen-elemen penentu permukaan memastikan reversibilitas gambar, tetapi tidak membuatnya visual. Untuk lebih jelasnya, mereka menggunakan proyeksi kerangka generatrice yang cukup padat dan konstruksi garis kontur permukaan (Gbr. 86). Ketika permukaan Q diproyeksikan ke bidang proyeksi, sinar proyeksi menyentuh permukaan ini pada titik-titik yang membentuk garis tertentu di atasnya aku, yang disebut kontur garis. Proyeksi garis kontur disebut karangan permukaan. Dalam gambar yang kompleks, permukaan apa pun memiliki: P 1 - garis horizontal, pada P 2 - garis depan, pada P 3 - garis profil permukaan. Sketsa tersebut, selain proyeksi garis kontur, juga mencakup proyeksi garis potong.