Volume prisma. Penyelesaian masalah

Geometri adalah sarana paling ampuh untuk mempertajam kemampuan mental kita dan memungkinkan kita berpikir dan bernalar dengan benar.

G.Galileo

Tujuan pelajaran:

• mengajarkan pemecahan masalah penghitungan volume prisma, merangkum dan mensistematisasikan informasi yang dimiliki siswa tentang prisma dan unsur-unsurnya, mengembangkan kemampuan memecahkan masalah yang semakin kompleks;
• mengembangkan pemikiran logis, kemampuan bekerja mandiri, keterampilan saling mengontrol dan mengendalikan diri, kemampuan berbicara dan mendengarkan;
• mengembangkan kebiasaan terus-menerus bekerja dalam beberapa kegiatan yang bermanfaat, menumbuhkan daya tanggap, kerja keras, dan ketelitian.

Jenis pelajaran: pelajaran tentang penerapan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan.

Perlengkapan: kartu kendali, proyektor media, presentasi “Pelajaran. Volume Prisma”, komputer.

Selama kelas

• Tulang rusuk lateral prisma (Gbr. 2).
• Permukaan lateral prisma (Gambar 2, Gambar 5).
• Ketinggian prisma (Gbr. 3, Gbr. 4).
• Prisma lurus (Gambar 2,3,4).
• Prisma miring (Gambar 5).
• Prisma beraturan (Gbr. 2, Gbr. 3).
• Bagian diagonal prisma (Gambar 2).
• Diagonal prisma (Gambar 2).
• Bagian prisma tegak lurus (Gbr. 3, Gbr. 4).
• Luas permukaan lateral prisma.
• Total luas permukaan prisma.
• Volume prisma.

1. PEMERIKSAAN PEKERJAAN RUMAH (8 menit)

Tukar buku catatan, cek solusinya pada slide dan tandai (tandai 10 jika soal sudah disusun)

Buatlah masalah berdasarkan gambar dan selesaikan. Siswa mempertahankan masalah yang disusunnya di papan tulis. Gambar 6 dan Gambar 7.





Bab 2,§3
Masalah.2. Panjang semua rusuk prisma segitiga beraturan adalah sama satu sama lain. Hitung volume prisma jika luas permukaannya cm 2 (Gbr. 8)



Bab 2,§3
Soal 5. Alas prisma lurus ABCA 1B 1C1 adalah segitiga siku-siku ABC (sudut ABC=90°), AB=4cm. Hitunglah volume prisma jika jari-jari lingkaran yang dibatasi segitiga ABC adalah 2,5 cm dan tinggi prisma adalah 10 cm. (Gambar 9).



Bab2,§3
Soal 29. Panjang sisi alas prisma segi empat beraturan adalah 3 cm. Diagonal prisma membentuk sudut 30° dengan bidang sisinya. Hitung volume prisma (Gambar 10).



2. Kolaborasi antara guru dan kelas (2-3 menit).

Tujuan: merangkum hasil pemanasan teori (siswa saling menilai), mempelajari cara memecahkan masalah pada topik.

3. MENIT FISIK (3 menit)
4. PEMECAHAN MASALAH (10 menit)

Pada tahap ini, guru mengatur pekerjaan frontal tentang metode pengulangan untuk menyelesaikan masalah planimetri dan rumus planimetri. Kelas dibagi menjadi dua kelompok, beberapa memecahkan masalah, yang lain bekerja di depan komputer. Kemudian mereka berubah. Siswa diminta menyelesaikan semua no 8 (lisan), no 9 (lisan). Kemudian mereka dibagi menjadi beberapa kelompok dan melanjutkan penyelesaian soal no.14, no.30, no.32.

Bab 2, §3, halaman 66-67

Soal 8. Semua rusuk prisma segitiga beraturan sama besar satu sama lain. Hitunglah volume prisma jika luas penampang bidang yang melalui tepi alas bawah dan titik tengah sisi alas atas sama dengan cm (Gbr. 11).



Bab 2,§3, halaman 66-67
Soal 9. Alas prisma lurus berbentuk persegi, dan rusuk-rusuknya dua kali panjang sisi alasnya. Hitung volume prisma jika jari-jari lingkaran yang dibatasi di dekat bagian prisma oleh bidang yang melalui sisi alas dan titik tengah sisi yang berhadapan adalah cm (Gbr. 12)



Bab 2,§3, halaman 66-67
Masalah 14 Alas prisma lurus adalah belah ketupat yang salah satu diagonalnya sama dengan sisinya. Hitung keliling penampang dengan bidang yang melalui diagonal utama alas bawah, jika volume prisma sama dan semua sisi sisinya berbentuk persegi (Gbr. 13).



Bab 2,§3, halaman 66-67
Soal 30 ABCA 1 B 1 C 1 adalah prisma segitiga beraturan yang semua rusuknya sama besar, titik tengah rusuk BB 1. Hitung jari-jari lingkaran pada bagian prisma pada bidang AOS jika volume prisma sama dengan (Gbr. 14).



Bab 2,§3, halaman 66-67
Soal 32.Pada prisma segi empat beraturan, jumlah luas alasnya sama dengan luas permukaan lateral. Hitung volume prisma jika diameter lingkaran yang dibatasi dekat penampang prisma oleh bidang yang melalui dua titik sudut alas bawah dan titik sudut alas atas yang berhadapan adalah 6 cm (Gbr. 15).



Saat memecahkan masalah, siswa membandingkan jawaban mereka dengan yang ditunjukkan oleh guru. Ini adalah contoh solusi untuk suatu masalah dengan komentar rinci... Pekerjaan individu seorang guru dengan siswa yang “kuat” (10 menit).

5. Siswa mengerjakan ujian secara mandiri di depan komputer

1. Sisi alas prisma segitiga beraturan adalah , dan tingginya 5. Temukan volume prisma.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Pilihlah pernyataan yang benar.

1) Volume prisma siku-siku yang alasnya segitiga siku-siku sama dengan hasil kali luas alas dan tingginya.

2) Volume prisma segitiga beraturan dihitung dengan rumus V = 0,25a 2 jam - dengan a adalah sisi alasnya, h adalah tinggi prisma.

3) Volume prisma lurus sama dengan setengah hasil kali luas alas dan tinggi.

4) Volume prisma segi empat beraturan dihitung dengan rumus V = a 2 h-dengan a adalah sisi alasnya, h adalah tinggi prisma.

5) Volume prisma segi enam beraturan dihitung dengan rumus V = 1,5a 2 jam, dimana a adalah sisi alasnya, h adalah tinggi prisma.

3. Sisi alas prisma segitiga beraturan adalah . Sebuah bidang ditarik melalui sisi alas bawah dan titik sudut yang berhadapan dengan alas atas, yang membentuk sudut 45° terhadap alas. Temukan volume prisma.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Alas sebuah prisma tegak adalah belah ketupat yang panjang sisinya 13 dan salah satu diagonalnya 24. Hitunglah volume prisma jika diagonal sisi sisinya adalah 14.

instruksi

Jika dalam kondisi soal diberikan volume (V) ruang yang dibatasi oleh rusuk-rusuknya prisma, dan luas alasnya, untuk menghitung tinggi (H) gunakan rumus yang umum untuk alas bangun geometri apa pun. Bagilah volume dengan luas alasnya: H=V/s. Misalnya, dengan alas 1200 cm³ sama dengan 150 cm², tingginya prisma harus sama dengan 1200/150=8 cm.

Jika segi empat di alasnya prisma, memiliki bentuk bangun datar apa pun; alih-alih luas, Anda dapat menggunakan panjang tepi dalam penghitungan prisma. Misalnya, jika alasnya berbentuk persegi, ganti luas pada rumus langkah sebelumnya dengan pangkat dua dari panjang rusuknya (a):H=V/a². Dan untuk rumus yang sama, substitusikan hasil kali panjang dua sisi alas yang berdekatan (a dan b): H=V/(a*b).

Untuk menghitung tinggi badan (H) prisma Mungkin cukup untuk mengetahui luas permukaan total (S) dan panjang salah satu sisi alas (a). Karena luas total adalah jumlah luas dua alas dan empat sisi sisinya, dan pada polihedron tersebut alasnya adalah , maka luas salah satu sisi permukaannya harus sama dengan (S-a²)/4. Muka ini mempunyai dua rusuk yang sama dengan rusuk persegi yang ukurannya diketahui, artinya untuk menghitung panjang rusuk lainnya, bagilah luas yang dihasilkan dengan sisi persegi: (S-a²)/(4*a). Karena prisma yang dimaksud berbentuk persegi panjang, rusuk dengan panjang yang Anda hitung berbatasan dengan alasnya membentuk sudut 90°, yaitu. bertepatan dengan tinggi polihedron: H=(S-a²)/(4*a).

Pada tinggi yang benar (H), mengetahui panjang diagonal (L) dan salah satu sisi alas (a) sudah cukup untuk menghitung tinggi (H). Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh diagonal ini, diagonal alas persegi dan salah satu sisi sisinya. Tepi di sini adalah besaran yang tidak diketahui yang bertepatan dengan tinggi yang diinginkan, dan diagonal persegi, berdasarkan teorema Pythagoras, sama dengan hasil kali panjang sisi dan akar dua. Sesuai dengan teorema yang sama, nyatakan besaran (kaki) yang diinginkan dalam panjang diagonal prisma(sisi miring) alas (kaki kedua): H=√(L²-(a*V2)²)=√(L²-2*a²).

Sumber:

• prisma segi empat

Prisma adalah alat yang memisahkan cahaya normal menjadi warna-warna individual: merah, oranye, kuning, hijau, cyan, nila, ungu. Ini adalah benda tembus cahaya, dengan permukaan datar yang membiaskan gelombang cahaya tergantung pada panjang gelombangnya sehingga memungkinkan cahaya terlihat dalam berbagai warna. Melakukan prisma Cukup mudah untuk melakukannya sendiri.

Anda akan perlu

• Dua lembar kertas
• Menggagalkan
• Cangkir
• CD
• Meja kopi
• Senter
• Pin

instruksi

Sesuaikan posisi senter dan kertas sampai Anda melihat pelangi di lembaran - beginilah cara berkas cahaya Anda diuraikan menjadi spektrum.

Video tentang topik tersebut

Piramida segi empat adalah pentahedron dengan alas segi empat dan permukaan samping empat sisi segitiga. Tepi lateral polihedron berpotongan di satu titik - puncak piramida.

instruksi

Piramida segi empat bisa berbentuk beraturan, persegi panjang, atau sewenang-wenang. Piramida beraturan memiliki segi empat beraturan di alasnya, dan puncaknya menonjol ke tengah alasnya. Jarak puncak limas ke alasnya disebut tinggi limas. Sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki, dan semua rusuknya sama besar.

Alas balok biasa bisa berbentuk persegi atau persegi panjang. Ketinggian H dari piramida tersebut diproyeksikan ke titik potong diagonal alasnya. Pada persegi dan persegi panjang, diagonal-diagonalnya d adalah sama. Semua rusuk lateral L sebuah limas yang alasnya berbentuk persegi atau persegi panjang adalah sama besar.

Untuk mencari rusuk limas, perhatikan segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya: sisi miring adalah rusuk yang diinginkan L, kaki-kakinya adalah tinggi limas H dan setengah diagonal alas d. Hitung rusuk menggunakan teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya: L²=H²+(d/2)². Pada piramida yang alasnya berbentuk belah ketupat atau jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar berpasangan dan ditentukan dengan rumus: L₁²=H²+(d₁/2)² dan L₂²=H²+(d₂/2)², dengan d₁ dan d₂ adalah diagonal alasnya.

V=S utama h = a 2 jam

Sisi S =Pl=4al

Sisi S =Ph=4ah

Bagian samping S =ahv2=alv2

S keliling =a 2

Prisma dalam optik

Dalam ilmu optik, prisma adalah suatu benda yang berbentuk benda geometris (prisma) yang terbuat dari bahan transparan. Sifat-sifat prisma banyak digunakan dalam optik, khususnya teropong. Teropong prismatik menggunakan prisma Porro ganda dan prisma Abbe, dinamai menurut penemunya. Prisma-prisma ini, karena struktur dan susunannya yang khusus, menciptakan satu atau beberapa efek optik.

Prisma Porro adalah prisma yang alasnya berbentuk segitiga sama kaki. Prisma Porro ganda tercipta karena susunan khusus dalam ruang dua prisma Porro. Prisma Porro ganda memungkinkan Anda membalik gambar, meningkatkan jarak optik antara lensa dan lensa mata, sambil mempertahankan dimensi eksternal.

Prisma Abbe adalah prisma yang alasnya berbentuk segitiga dengan sudut 30°, 60°, 90°. Prisma Abbe digunakan jika diperlukan untuk membalikkan bayangan tanpa menyimpangkan garis pandang ke objek.

Pengukuran volume

Volume lumbung gandum dan bangunan lain dalam bentuk kubus, prisma, dan silinder dihitung oleh orang Mesir dan Babilonia, Cina, dan India dengan mengalikan luas alas dengan tingginya. Namun, Timur kuno pada dasarnya hanya mengetahui aturan-aturan tertentu, yang ditemukan secara eksperimental, yang digunakan untuk mencari volume luas bangun-bangun. Di kemudian hari, ketika geometri terbentuk sebagai ilmu, ditemukan pendekatan umum untuk menghitung volume polihedra.

Di antara ilmuwan Yunani yang luar biasa pada abad V - IV. SM yang mengembangkan teori volume adalah Democritus dari Abdera dan Eudoxus dari Cnidus. Euclid tidak menggunakan istilah “volume”. Baginya, istilah “kubus”, misalnya, juga berarti volume kubus. Dalam Buku XI “Prinsip”, antara lain disajikan teorema-teorema yang isinya sebagai berikut.

• 1. Pipa-pipa sejajar yang tingginya sama dan alasnya sama besarnya.
• 2. Perbandingan volume dua buah balok sejajar yang tingginya sama sama dengan perbandingan luas alasnya.
• 3. Pada paralelepiped yang luasnya sama, luas alasnya berbanding terbalik dengan tingginya.

Teorema Euclid hanya berhubungan dengan perbandingan volume, karena Euclid mungkin menganggap perhitungan langsung volume benda sebagai panduan praktis dalam geometri. Dalam karya terapan Heron dari Alexandria, terdapat aturan untuk menghitung volume kubus, prisma, paralelepiped, dan bangun ruang lainnya.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Prisma yang berbeda berbeda satu sama lain. Di saat yang sama, mereka memiliki banyak kesamaan. Untuk mencari luas alas prisma, Anda perlu memahami jenisnya.

Teori umum

Prisma adalah polihedron apa pun yang sisi-sisinya berbentuk jajar genjang. Selain itu, alasnya dapat berupa polihedron apa saja - dari segitiga hingga n-gon. Selain itu, alas prisma selalu sama besar satu sama lain. Apa yang tidak berlaku pada permukaan samping adalah ukurannya dapat sangat bervariasi.

Saat menyelesaikan soal, tidak hanya luas alas prisma saja yang ditemui. Ini mungkin memerlukan pengetahuan tentang permukaan lateral, yaitu semua permukaan yang bukan alas. Permukaan lengkapnya akan menjadi gabungan semua permukaan yang membentuk prisma.

Terkadang masalah melibatkan ketinggian. Itu tegak lurus dengan alasnya. Diagonal polihedron adalah segmen yang menghubungkan secara berpasangan dua simpul yang tidak memiliki sisi yang sama.

Perlu dicatat bahwa luas alas prisma lurus atau miring tidak bergantung pada sudut antara prisma dan sisi-sisinya. Jika kedua bangun tersebut sama pada sisi atas dan bawahnya, maka luas keduanya sama.

Prisma segitiga

Pada dasarnya terdapat bangun datar dengan tiga titik sudut, yaitu segitiga. Seperti yang Anda tahu, ini bisa berbeda. Jika demikian, cukup diingat bahwa luasnya ditentukan oleh setengah hasil kali kaki-kakinya.

Notasi matematikanya terlihat seperti ini: S = ½ av.

Untuk mengetahui luas alas secara umum, rumus yang berguna adalah: Bangau dan yang setengah sisinya diambil oleh tinggi yang ditarik ke sana.

Rumus pertama harus ditulis sebagai berikut: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Notasi ini mengandung setengah keliling (p), yaitu jumlah tiga sisi dibagi dua.

Kedua: S = ½ n a * a.

Jika ingin mencari luas alas prisma segitiga beraturan, maka segitiga tersebut ternyata sama sisi. Ada rumusnya: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma segi empat

Basisnya adalah salah satu segi empat yang diketahui. Itu bisa berupa persegi panjang atau persegi, paralelepiped atau belah ketupat. Dalam setiap kasus, untuk menghitung luas alas prisma, Anda memerlukan rumus Anda sendiri.

Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka luasnya ditentukan sebagai berikut: S = ab, dimana a, b adalah sisi-sisi persegi panjang tersebut.

Untuk prisma segi empat, luas alas prisma beraturan dihitung menggunakan rumus persegi. Karena dialah yang mendasarinya. S = sebuah 2.

Jika alasnya adalah paralelepiped, diperlukan persamaan berikut: S = a * n a. Kebetulan sisi paralelepiped dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk menghitung tinggi, Anda perlu menggunakan rumus tambahan: n a = b * sin A. Selain itu, sudut A berbatasan dengan sisi “b”, dan tinggi n berhadapan dengan sudut tersebut.

Jika terdapat belah ketupat pada alas prisma, maka untuk menentukan luasnya diperlukan rumus yang sama seperti jajar genjang (karena merupakan kasus khusus). Tapi Anda juga bisa menggunakan ini: S = ½ d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 adalah dua diagonal belah ketupat.

Prisma segi lima beraturan

Kasus ini melibatkan pembagian poligon menjadi segitiga, yang luasnya lebih mudah diketahui. Meskipun demikian, angka-angka tersebut dapat memiliki jumlah simpul yang berbeda.

Karena alas prisma berbentuk segi lima beraturan, maka prisma dapat dibagi menjadi lima segitiga sama sisi. Maka luas alas prisma sama dengan luas salah satu segitiga tersebut (rumusnya dapat dilihat di atas), dikalikan lima.

Prisma heksagonal beraturan

Menurut prinsip yang dijelaskan untuk prisma segi lima, segi enam alasnya dapat dibagi menjadi 6 segitiga sama sisi. Rumus luas alas prisma tersebut mirip dengan rumus sebelumnya. Hanya saja harus dikalikan enam.

Rumusnya akan terlihat seperti ini: S = 3/2 a 2 * √3.

Tugas

Nomor 1. Diketahui sebuah garis lurus beraturan, diagonalnya 22 cm, tinggi polihedron 14 cm. Hitunglah luas alas prisma dan seluruh permukaannya.

Larutan. Alas prisma berbentuk persegi, namun sisinya tidak diketahui. Anda dapat mencari nilainya dari diagonal persegi (x), yang berhubungan dengan diagonal prisma (d) dan tingginya (h). x 2 = d 2 - n 2. Sebaliknya, ruas “x” ini adalah sisi miring pada segitiga yang kaki-kakinya sama dengan sisi persegi. Artinya, x 2 = a 2 + a 2. Jadi ternyata a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Gantikan angka 22 dengan d, dan ganti “n” dengan nilainya - 14, ternyata panjang sisi persegi adalah 12 cm. Sekarang tinggal cari luas alasnya: 12*12 = 144 cm 2.

Untuk mengetahui luas seluruh permukaan, Anda perlu menjumlahkan dua kali luas alas dan empat kali lipat luas sisinya. Yang terakhir ini dapat dengan mudah ditemukan menggunakan rumus persegi panjang: kalikan tinggi polihedron dan sisi alasnya. Artinya, 14 dan 12, angkanya sama dengan 168 cm 2. Luas permukaan prisma tersebut adalah 960 cm2.

Menjawab. Luas alas prisma adalah 144 cm2. Luas seluruh permukaannya adalah 960 cm2.

Nomor 2. Diketahui alasnya terdapat sebuah segitiga yang panjang sisinya 6 cm. Dalam hal ini, diagonal sisi sisinya adalah 10 cm. Hitung luas alas dan permukaan sisinya.

Larutan. Karena prisma beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi. Oleh karena itu, luasnya menjadi 6 kuadrat, dikalikan dengan ¼ dan dengan akar kuadrat 3. Perhitungan sederhana menghasilkan hasil: 9√3 cm 2. Ini adalah luas salah satu alas prisma.

Semua sisi sisinya sama dan berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi 6 dan 10 cm. Untuk menghitung luasnya, kalikan saja angka-angka ini. Kemudian kalikan dengan tiga, karena prisma mempunyai sisi-sisi yang persis sama. Maka luas permukaan lateral luka adalah 180 cm2.

Menjawab. Luas: alas - 9√3 cm 2, permukaan lateral prisma - 180 cm 2.