Asam klorida hcl. Asam klorida: dampak terhadap lingkungan dan kesehatan manusia. Referensi. Keracunan parah dan luka bakar

Masalah 1(tentang menghitung luas trapesium lengkung).

Dalam Cartesian sistem persegi panjang koordinat xOy, diberikan suatu bangun (lihat gambar) yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x = a, x = b (trapesium lengkung. Diperlukan untuk menghitung luas trapesium lengkung.
Larutan. Geometri memberi kita resep untuk menghitung luas poligon dan beberapa bagian lingkaran (sektor, segmen). Dengan menggunakan pertimbangan geometris, kita hanya dapat menemukan nilai perkiraan luas yang dibutuhkan, dengan alasan sebagai berikut.

Mari kita bagi segmen [a; b] (alas trapesium lengkung) di n bagian yang sama; partisi ini dilakukan dengan menggunakan titik x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini, sumbu paralel kamu. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.

Mari kita perhatikan kolom ke-k secara terpisah, mis. trapesium melengkung yang alasnya berupa ruas. Mari kita ganti dengan persegi panjang yang alasnya sama dan tingginya sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang sama dengan \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dengan \(\Delta x_k \) adalah panjang ruas; Wajar jika produk yang dihasilkan dianggap sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k.

Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut: luas S dari trapesium lengkung tertentu kira-kira sama dengan luas S n dari bangun datar yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman notasi, kita asumsikan a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen, \(\Delta x_1 \) - panjang segmen, dll.; dalam hal ini, seperti yang kita sepakati di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Jadi, \(S \kira-kira S_n \), dan persamaan perkiraan ini lebih akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, luas trapesium lengkung yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$

Masalah 2(tentang memindahkan suatu titik)
Bergerak dalam garis lurus poin materi. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Temukan pergerakan suatu titik selama periode waktu [a; B].
Larutan. Jika geraknya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan tidak rata, Anda harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar solusi masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Perhatikan suatu periode waktu dan asumsikan bahwa selama periode waktu tersebut kecepatannya konstan, sama seperti pada waktu t k. Jadi kita asumsikan bahwa v = v(t k).
3) Mari kita cari nilai perkiraan pergerakan titik selama periode waktu tertentu; kita nyatakan nilai perkiraan ini sebagai s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Temukan perkiraan nilai perpindahan s:
\(s \kira-kira S_n \) dimana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$

Mari kita rangkum. Solusi berbagai tugas direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyak permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi yang mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Jadi ini model matematika perlu dipelajari secara khusus.

Konsep integral tertentu

Mari kita memberi deskripsi matematika model yang dibangun dalam tiga soal yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam soal yang dipertimbangkan) pada interval [a; B]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) buat jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hitung $$ \lim_(n \hingga \infty) S_n $$

Aku tahu analisis matematis telah dibuktikan bahwa limit ini ada pada fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Dia dipanggil integral tertentu dari fungsi y = f(x) pada segmen [a; B] dan dilambangkan sebagai berikut:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Bilangan a dan b disebut limit integrasi (masing-masing bawah dan atas).

Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan pada Soal 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
disini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. Ini arti geometri integral tertentu.

Definisi perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b, yang diberikan pada Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Rumus Newton-Leibniz

Pertama, mari kita jawab pertanyaannya: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?

Jawabannya terdapat pada Soal 2. Di satu sisi, perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b dihitung dengan rumusnya
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Di sisi lain, koordinat suatu titik bergerak merupakan antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); Artinya perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya kita mendapatkan:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dimana s(t) adalah antiturunan dari v(t).

Teorema berikut dibuktikan dalam analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada interval [a; b], maka rumus tersebut valid
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dimana F(x) adalah antiturunan dari f(x).

Rumus yang diberikan biasanya disebut Rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.

Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi \(\left.F(x)\right|_a^b \) (terkadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, tulis ulang rumus Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)

Saat menghitung integral tertentu, cari dulu antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.

Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, kita dapat memperoleh dua sifat integral tertentu.

Properti 1. Integral dari jumlah fungsi sama dengan jumlahnya integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Menghitung luas bangun datar dengan integral tertentu

Dengan menggunakan integral, Anda tidak hanya dapat menghitung luas trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar lainnya tipe kompleks, misalnya yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melakukan hal berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Jadi, luas S suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada ruas tersebut dan sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x dari ruas tersebut [A; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) terpenuhi, dihitung dengan rumus
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel integral tak tentu (antiturunan) beberapa fungsi

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \teks(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\teks(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \teks(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teks(arctg) x +C $$ $$ \int \teks(ch) x dx = \teks(sh) x +C $$ $$ \int \teks(sh) x dx = \teks(ch ) x+C$$

Pada artikel ini Anda akan belajar cara mencari luas suatu bangun, dibatasi oleh garis, menggunakan perhitungan menggunakan integral. Rumusan masalah seperti itu pertama kali kita jumpai di bangku SMA, ketika kita baru saja menyelesaikan pembelajaran integral tertentu dan inilah waktunya untuk memulai interpretasi geometris dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.

Jadi, apa yang diperlukan agar berhasil menyelesaikan masalah mencari luas suatu bangun menggunakan integral:

  • Kemampuan membuat gambar yang kompeten;
  • Kemampuan menyelesaikan integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
  • Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. memahami bagaimana akan lebih mudah untuk melakukan integrasi dalam kasus tertentu? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
  • Nah, bagaimana jadinya kita tanpa perhitungan yang benar?) Hal ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis integral lainnya dan perhitungan numerik yang benar.

Algoritma penyelesaian masalah menghitung luas bangun yang dibatasi garis:

1. Kami sedang membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas kotak-kotak, dalam skala besar. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensil di atas setiap grafik. Penandatanganan grafik dilakukan semata-mata untuk memudahkan perhitungan selanjutnya. Setelah menerima grafik dari angka yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Jadi, kami memecahkan masalah secara grafis. Namun, nilai batasnya bersifat pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.

2. Jika batas integrasi tidak ditentukan secara eksplisit, maka kita mencari titik potong grafik satu sama lain dan melihat apakah kita solusi grafis dengan analitis.

3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambarnya. Tergantung pada bagaimana grafik fungsi disusun, ada pendekatan yang berbeda untuk mencari luas suatu bangun. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeda tentang mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral.

3.1. Versi soal yang paling klasik dan sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (kamu = 0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari A sebelum B. Apalagi angka ini non-negatif dan terletak tidak di bawah sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu, dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:

Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Garis manakah yang dibatasi oleh bangun tersebut? Kami memiliki parabola kamu = x2 – 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, itu non-negatif, karena semua titik yang dimiliki parabola ini nilai-nilai positif. Selanjutnya diberi garis lurus x = 1 Dan x = 3, yang berjalan sejajar dengan sumbu kamu, adalah garis batas gambar di kiri dan kanan. Dengan baik kamu = 0, itu juga merupakan sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Gambar yang dihasilkan diarsir, seperti terlihat pada gambar di sebelah kiri. DI DALAM pada kasus ini, Anda dapat segera mulai memecahkan masalah tersebut. Di hadapan kita adalah contoh sederhana trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.

3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kita memeriksa kasus ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Bagaimana cara memutuskan tugas serupa Mari kita lihat lebih jauh.

Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

DI DALAM dalam contoh ini kita punya parabola kamu = x2 + 6x + 2, yang berasal dari sumbu OH, lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di Sini kamu = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 Dan x = -1 ini adalah batas di mana integral tentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah mencari luas suatu bangun hampir seluruhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa fungsi yang diberikan tidak positif, dan juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa maksudnya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, angka yang terletak di dalam x tertentu hanya memiliki koordinat “negatif”, yang perlu kita lihat dan ingat saat menyelesaikan soal. Kita mencari luas bangun tersebut menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.

Artikel ini belum selesai.

DI DALAM bagian sebelumnya didedikasikan untuk analisis makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:

Yandex.RTB RA-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .

Rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikannya tugas-tugas sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).

Dalil

Misalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G yang dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan menjadi S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .

Bukti

Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.

Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G1 sama dengan luas gambar G2. Artinya

Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.

Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Mari kita beralih ke kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x.

Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Karena itu,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.

Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.

Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.

Sekarang mari kita beralih ke menganalisis contoh menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).

Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar tersebut akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan figur-figur kompleks sebagai kesatuan dari lebih banyak hal angka sederhana. Jika membuat grafik dan gambar menyebabkan kesulitan bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometri grafik fungsi, dan juga membuat grafik sambil mempelajari suatu fungsi.

Contoh 1

Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Larutan

Mari kita menggambar garis pada grafik di sistem kartesius koordinat

Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jawaban: S(G) = 13

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 2

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.

Larutan

Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.

Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.

Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.

Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa di contoh umum pada gambar, garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), sehingga perhitungan mendetail seperti itu mungkin tampak tidak diperlukan. Kami membawa ini ke sini solusi terperinci hanya karena masih banyak lagi kasus-kasus sulit solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, selalu lebih baik menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.

Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jawaban: S (G) = 59 6

Contoh 3

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.

Larutan

Mari kita gambarkan garis pada grafik.

Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, maka persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi setara dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.

Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Contoh 4

Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.

Larutan

Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.

Mari kita tandai titik potong garis tersebut.

Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.

x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).

x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Oleh karena itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.

Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.

Pilihan 1

Kita dapat membayangkan gambar G sebagai jumlah dari dua trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsi No.2

Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.

Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Contoh 5

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Larutan

Kita akan menggambar garis pada grafik dengan garis merah, diberikan oleh fungsinya kamu = x. Kita menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.

Mari kita tandai titik persimpangannya.

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian

Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3

Metode No.1

Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.

Maka luas gambar tersebut adalah:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode nomor 2

Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.

Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.

y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Jadi luasnya adalah:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.

Jawaban: S (G) = 11 3

Hasil

Untuk mencari luas suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tertentu, kita perlu membuat garis-garis pada suatu bidang, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. DI DALAM bagian ini Kami telah mempertimbangkan varian masalah yang paling umum.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun

Mari beralih ke mempertimbangkan aplikasi kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas yang umum dan paling umum – cara menghitung luas menggunakan integral tertentu sosok datar . Akhirnya mencari makna V matematika yang lebih tinggi- semoga mereka menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan plot dacha menggunakan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.

Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:

1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat rata-rata. Oleh karena itu, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.

2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Siapkan hangat hubungan persahabatan dengan integral pasti dapat dilihat pada halaman Integral pasti. Contoh solusi.

Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, masih banyak lagi masalah topikal akan menjadi pengetahuan dan keterampilan Anda dalam menggambar. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan Anda tentang grafik-grafik utama fungsi dasar, dan minimal mampu membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola. Ini dapat dilakukan (bagi banyak orang, hal ini perlu) dengan menggunakan materi metodologis dan artikel tentang transformasi geometri graf.

Sebenarnya semua orang sudah familiar dengan tugas mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kita tidak akan membahasnya lebih jauh kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi faktanya masalahnya terjadi pada 99 dari 100 kasus, ketika seorang siswa menderita sekolah yang dibenci dan dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika yang lebih tinggi.

Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.

Mari kita mulai dengan trapesium melengkung.

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik suatu fungsi kontinu pada suatu interval yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Di pelajaran Integral pasti. Contoh solusi Saya mengatakan bahwa integral tertentu adalah bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan satu hal lagi fakta yang berguna. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA.

Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas suatu bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa yang ingin dapat membuat gambarnya), dan integral tentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah pembuatan gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi poin demi poin, teknik konstruksi titik demi titik dapat ditemukan di materi referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):


Saya tidak akan membuat trapesium melengkung, di sini jelas luasnya yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:

Menjawab:

Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz , lihat kuliahnya Integral pasti. Contoh solusi.

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Contoh 2

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,, dan sumbu

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros?

Contoh 3

Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Jika terdapat trapesium lengkung di bawah poros(atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Larutan: Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Cara, batasan yang lebih rendah integrasi, batas atas integrasi
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan cara ini..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Teknik konstruksi titik demi titik untuk berbagai grafik dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitis mencari batas kadang-kadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi rinci tidak mengungkapkan batas integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Saya ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditemukan “secara otomatis”.

Dan sekarang rumus kerja : Jika terdapat fungsi kontinu pada segmen tersebut lebih dari atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan, maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis , , dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.

Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari

Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) adalah kasus spesial rumus . Karena sumbu ditentukan oleh persamaan, dan grafik fungsinya berada tidak lebih tinggi kapak, kalau begitu

Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri

Contoh 5

Contoh 6

Temukan luas gambar yang dibatasi oleh garis , .

Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas bangun yang salah, inilah tepatnya yang dilakukan hambamu yang rendah hati beberapa kali. Di Sini kasus nyata dari kehidupan:

Contoh 7

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Larutan: Pertama, mari kita buat gambarnya:

...Eh, gambarnya jelek sekali, tapi sepertinya semuanya bisa terbaca.

Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering muncul “kesalahan” sehingga perlu mencari luas bangun yang diarsir. hijau!

Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Menjawab:

Mari beralih ke tugas penting lainnya.

Contoh 8

Menghitung luas bangun yang dibatasi garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk “sekolah” dan buatlah gambar poin demi poin:

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: .
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu? Mungkin ? Tapi di manakah jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, bisa jadi... Atau akarnya. Bagaimana jika kita salah membuat grafik?

Dalam kasus seperti itu, Anda harus mengeluarkan uang Waktu tambahan dan memperjelas batas integrasi secara analitis.

Mari kita cari titik potong garis lurus dan parabola.
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:


,

Benar-benar, .

Penyelesaian selanjutnya adalah hal yang sepele, yang utama jangan sampai bingung dalam substitusi dan tanda; perhitungan di sini bukan yang paling sederhana.

Di segmen tersebut , menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Nah, sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.

Contoh 9

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Larutan: Mari kita gambarkan angka ini pada gambar.

Sial, saya lupa menandatangani jadwalnya, dan maaf, saya tidak ingin mengulang gambarnya. Bukan hari menggambar, singkatnya, hari ini adalah harinya =)

Untuk konstruksi poin demi poin yang perlu Anda ketahui penampilan sinusoid (dan umumnya berguna untuk diketahui grafik semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti ini) konstruksi dapat dilakukan gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi harus ditampilkan dengan benar secara mendasar.

Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini; mereka mengikuti langsung dari kondisi: - “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Kami meresmikan keputusan lebih lanjut:

Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:

Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas yang umum dan paling umum menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu. Akhirnya, biarkan semua orang yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan plot dacha menggunakan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.

Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:

1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.

2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman Integral pasti. Contoh solusi. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda juga akan menjadi isu yang relevan. Minimal Anda harus bisa membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola.

Mari kita mulai dengan trapesium melengkung. Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi kamu = F(X), sumbu SAPI dan garis X = A; X = B.

Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu

Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Di pelajaran Integral pasti. Contoh solusi kita telah mengatakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan fakta bermanfaat lainnya. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA. Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas suatu bangun tertentu. Pertimbangkan integral tertentu

Integrasi

mendefinisikan kurva pada bidang (dapat digambar jika diinginkan), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.



Contoh 1

, , , .

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin terpenting solusi - menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Teknik konstruksi titik demi titik dapat ditemukan pada bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.

Mari kita menggambar (perhatikan persamaannya kamu= 0 menentukan sumbu SAPI):

Kami tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung; di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:

Di segmen [-2; 1] grafik fungsi kamu = X 2 + 2 terletak di atas sumbuSAPI, Itu sebabnya:

Menjawab: .

Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz

,

merujuk pada kuliah Integral pasti. Contoh solusi. Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Contoh 2

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis xy = 4, X = 2, X= 4 dan sumbu SAPI.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah porosSAPI?

Contoh 3

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis kamu = mantan, X= 1 dan sumbu koordinat.

Solusi: Mari kita membuat gambar:

Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu SAPI , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Pada kasus ini:

.

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis kamu = 2X – X 2 , kamu = -X.

Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Saat membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola kamu = 2X – X 2 dan lurus kamu = -X. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Artinya batas bawah integrasi A= 0, batas atas integrasi B= 3. Seringkali lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Mari kita ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditentukan “secara otomatis”.

Dan sekarang rumus kerjanya:

Jika pada segmen [ A; B] beberapa fungsi berkelanjutan F(X) lebih dari atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan G(X), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.

Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu dari 2 X – X 2 harus dikurangi – X.

Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola kamu = 2X – X 2 di atas dan lurus kamu = -X di bawah.

Di segmen 2 X – X 2 ≥ -X. Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab: .

Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh No. 3) merupakan kasus khusus dari rumus tersebut.

.

Karena porosnya SAPI diberikan oleh persamaan kamu= 0, dan grafik fungsinya G(X) terletak di bawah sumbu SAPI, Itu

.

Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri

Contoh 5

Contoh 6

Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis

Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... Ditemukan luas gambar yang salah.

Contoh 7

Pertama mari kita buat gambarnya:

Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, orang sering kali memutuskan untuk mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!

Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:

1) Pada segmen [-1; 1] di atas sumbu SAPI grafiknya terletak lurus kamu = X+1;

2) Pada ruas di atas sumbu SAPI grafik hiperbola berada kamu = (2/X).

Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Menjawab:

Contoh 8

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Mari kita sajikan persamaannya dalam bentuk “sekolah”.

dan buatlah gambar poin demi poin:

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: B = 1.

Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu?

Mungkin, A=(-1/3)? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi sempurna, mungkin saja demikian A=(-1/4). Bagaimana jika kita salah membuat grafik?

Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.

Mari kita cari titik potong grafiknya

Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:

.

Karena itu, A=(-1/3).

Solusi selanjutnya adalah hal yang sepele. Hal utama adalah jangan bingung dalam substitusi dan tanda. Perhitungan di sini bukanlah yang paling sederhana. Di segmen tersebut

, ,

sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.

Contoh 9

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.

Untuk membuat gambar titik demi titik, Anda perlu mengetahui bentuk sinusoidal. Secara umum, mengetahui grafik semua fungsi dasar, serta beberapa nilai sinus, akan berguna. Mereka dapat ditemukan di tabel nilai fungsi trigonometri . Dalam beberapa kasus (misalnya, dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.

Tidak ada masalah dengan batasan integrasi di sini;

– “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:

Pada suatu segmen, grafik suatu fungsi kamu= dosa 3 X terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:

(1) Anda dapat melihat bagaimana sinus dan cosinus dipangkatkan ganjil dalam pelajaran Integral fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.

(2) Kita menggunakan identitas trigonometri utama dalam bentuk

(3) Mari kita ubah variabelnya T= karena X, maka: terletak di atas sumbu, oleh karena itu:

.

.

Catatan: perhatikan bagaimana integral garis singgung dalam kubus diambil; akibat wajar dari garis singgung utama digunakan di sini identitas trigonometri

.