Dia akan berbicara tentang konsep deret Fibonacci dan kaitannya dengan teori gelombang, dan juga akan menyangkal penerapan deret tersebut pada proses alami.
, yang dikembangkan oleh sang master pada tahun 30-an abad terakhir, adalah salah satu bagian yang paling menarik. Dengan sendirinya, itu disorot bab baru ilmu yang mempelajari grafik. Hal ini didasarkan pada perkembangan para ahli lain di bidang teori (saya menyarankan Anda untuk membaca buku penulisnya).
Misalnya, matematikawan besar Italia Leonardo Fibonacci dianggap sebagai salah satu ilmuwan (yang telah saya bicarakan di artikel -), yang menciptakan dasar bagi teori Eliot.
Seri digital Angka Fibonacci — rasio emas dan koefisien atau tingkat koreksi + video. Angka Fibonacci di alam.
Spesialis itu hidup pada abad ke-13. Ilmuwan tersebut menerbitkan sebuah karya berjudul “The Book of Calculations.” Buku ini memberi Eropa penemuan penting pada masa itu dan tidak hanya - sistem desimal Perhitungan. Sistem ini memperkenalkan angka-angka yang sudah dikenal dari nol hingga sembilan ke dalam sirkulasi.
Kemunculan sistem ini adalah yang pertama pencapaian penting Eropa sejak jatuhnya Roma. Fibonacci melestarikan ilmu angka untuk Abad Pertengahan. Dan juga diletakkan fundamental yang mendalam untuk pengembangan ilmu-ilmu lain seperti matematika yang lebih tinggi, fisika, astronomi, teknik mesin.
Tonton videonya
Bagaimana bilangan dan turunannya muncul
Memutuskan masalah yang diterapkan, Leonardo menemukan serangkaian angka Fibonacci yang aneh, yang awalnya ada dua unit.
Setiap suku berikutnya merupakan jumlah dari dua suku sebelumnya. Hal yang paling menarik adalah itu seri angka Fibonacci adalah barisan yang luar biasa karena jika suatu suku dibagi dengan suku sebelumnya, hasilnya adalah angka yang mendekati 0,618. Nomor ini diberi nama " Rasio emas».
Ternyata angka tersebut sudah dikenal umat manusia sejak lama. Misalnya, di Mesir kuno mereka membangun piramida dengan menggunakannya, dan orang Yunani kuno membangun kuil mereka di atasnya. Leonardo da Vinci menunjukkan bagaimana struktur tubuh manusia mematuhi angka ini.
Alam menggunakan angka Fibonacci di area yang paling intim dan canggih. Dari struktur atom dan bentuk kecil lainnya, seperti molekul DNA dan mikrokapiler otak, hingga bentuk besar, seperti orbit planet dan struktur galaksi. Jumlah contohnya sangat banyak sehingga harus dikatakan bahwa memang ada hukum dasar perbandingan di alam.
Oleh karena itu, tidak mengherankan jika deret Fibonacci dan rasio emas telah memasuki grafik saham. Dan bukan hanya angka 0,618 saja, tapi juga turunannya.
Jika Anda menaikkan angka rasio emas ke pangkat pertama, kedua, ketiga, dan keempat dan mengurangkan hasilnya dari kesatuan, Anda mendapatkan baris baru, yang disebut " Rasio retracement Fibonacci" Yang tersisa hanyalah menambahkan tanda lima persepuluh - ini lima puluh persen.
Namun, bukan hanya itu yang bisa dilakukan dengan rasio emas. Jika kita membagi satu dengan 0,618, kita mendapatkan 1,618; jika kita mengkuadratkannya, kita mendapatkan 2,618; jika kita membaginya menjadi 4,236. Ini adalah rasio ekspansi Fibonacci. Satu-satunya angka yang hilang di sini adalah 3.236, yang diusulkan oleh John Murphy.
Apa pendapat para ahli tentang konsistensi?
Beberapa orang akan mengatakan bahwa angka-angka ini sudah familiar karena digunakan dalam program analisis teknis untuk menentukan besarnya koreksi dan perluasan. Selain itu, baris yang sama juga dimainkan peran penting dalam teori gelombang Eliot. Itu adalah basis numeriknya.
Pakar kami Nikolay adalah manajer portofolio terbukti di perusahaan investasi Vostok.
- — Nikolay, apakah menurut Anda kemunculan angka Fibonacci dan turunannya pada grafik berbagai instrumen adalah suatu kebetulan? Dan apakah mungkin untuk mengatakan: “Penerapan praktis deret Fibonacci” terjadi?
- — Saya memiliki sikap buruk terhadap mistisisme. Dan terlebih lagi pada grafik bursa. Segala sesuatu mempunyai alasannya masing-masing. dalam buku “Fibonacci Levels” dia dengan indah menggambarkan di mana rasio emas muncul, sehingga dia tidak terkejut bahwa rasio emas muncul di grafik kutipan bursa saham. Namun sia-sia! Dalam banyak contoh yang diberikannya, angka Pi sering muncul. Namun entah kenapa tidak termasuk dalam rasio harga.
- — Jadi Anda tidak percaya pada keefektifan prinsip gelombang Eliot?
- - Tidak, bukan itu intinya. Prinsip gelombang- itu satu hal. Rasio numerik- ini berbeda. Dan alasan kemunculannya di grafik harga adalah yang ketiga
- — Menurut Anda, apa alasan munculnya rasio emas di grafik saham?
- — Jawaban yang benar untuk pertanyaan ini mungkin dapat menghasilkan Penghargaan Nobel di bidang ekonomi. Sementara kita hanya bisa menebak alasan yang benar. Mereka jelas tidak selaras dengan alam. Ada banyak model penetapan harga pertukaran. Mereka tidak menjelaskan fenomena yang dimaksud. Namun tidak memahami hakikat suatu fenomena tidak seharusnya mengingkari fenomena itu sendiri.
- — Dan jika undang-undang ini dibuka, apakah akan mampu menghancurkan proses pertukaran?
- — Seperti yang ditunjukkan oleh teori gelombang yang sama, hukum perubahan harga saham adalah murni psikologi. Bagi saya pengetahuan tentang undang-undang ini tidak akan mengubah apapun dan tidak akan mampu menghancurkan bursa.
Materi disediakan oleh blog webmaster Maxim.
Kebetulan prinsip-prinsip dasar matematika dalam berbagai teori nampaknya luar biasa. Mungkin itu fiksi atau penyesuaian hasil akhir. Tunggu dan lihat. Banyak hal yang sebelumnya dianggap tidak biasa atau tidak mungkin dilakukan: eksplorasi ruang angkasa, misalnya, telah menjadi hal biasa dan tidak mengejutkan siapa pun. Juga teori gelombang, mungkin tidak dapat dipahami, seiring waktu akan menjadi lebih mudah diakses dan dimengerti. Apa yang sebelumnya tidak diperlukan akan berada di tangan analis berpengalaman alat yang kuat memprediksi perilaku di masa depan.
Angka Fibonacci di alam.
Lihat
Sekarang, mari kita bicara tentang bagaimana Anda dapat menyangkal suatu hal seri digital Fibonacci terlibat dalam beberapa pola di alam.
Mari kita ambil dua angka lainnya dan buat barisan dengan logika yang sama dengan angka Fibonacci. Artinya, anggota urutan berikutnya sama dengan jumlahnya dua sebelumnya. Sebagai contoh, mari kita ambil dua angka: 6 dan 51. Sekarang kita akan membuat barisan yang akan kita selesaikan dengan dua angka 1860 dan 3009. Perhatikan bahwa ketika membagi angka-angka ini, kita mendapatkan angka yang mendekati rasio emas.
Pada saat yang sama, angka-angka yang diperoleh dengan membagi pasangan lain berkurang dari yang pertama ke yang terakhir, yang memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa jika deret ini berlanjut tanpa batas waktu, maka kita akan mendapatkan angka yang sama dengan rasio emas.
Jadi, angka Fibonacci sama sekali tidak menonjol. Ada barisan angka lain yang himpunan tak terbatas, apa yang diberikan sebagai hasil dari operasi yang sama angka emas fi.
Fibonacci bukanlah seorang esoteris. Dia tidak ingin memasukkan mistisisme apa pun ke dalam angka-angka; dia hanya memecahkan masalah biasa tentang kelinci. Dan dia menuliskan urutan angka yang mengikuti masalahnya, pada bulan pertama, kedua dan bulan lainnya, berapa jumlah kelinci setelah dikawinkan. Dalam setahun, dia menerima urutan yang sama. Dan aku tidak menjalin hubungan. Tidak ada pembicaraan tentang proporsi emas atau hubungan ketuhanan. Semua ini ditemukan setelah dia selama Renaisans.
Dibandingkan dengan matematika, kelebihan Fibonacci sangat besar. Ia mengadopsi sistem bilangan dari bangsa Arab dan membuktikan keabsahannya. Sebuah perjuangan yang berat dan panjang. Dari sistem bilangan Romawi: berat dan tidak nyaman untuk dihitung. Dia menghilang setelahnya revolusi Perancis. Fibonacci tidak ada hubungannya dengan rasio emas.
Ada banyak sekali spiral, yang paling populer: spiral logaritma natural, Spiral Archimedes, spiral hiperbolik.
Sekarang mari kita lihat spiral Fibonacci. Unit gabungan sepotong-sepotong ini terdiri dari beberapa seperempat lingkaran. Dan ini bukanlah sebuah spiral.
Kesimpulan
Tidak peduli berapa lama kita mencari konfirmasi atau sanggahan terhadap penerapan seri Fibonacci di bursa saham, praktik seperti itu tetap ada.
Banyak orang bertindak berdasarkan garis Fibonacci, yang ditemukan di banyak terminal pengguna. Oleh karena itu, suka atau tidak suka: Angka Fibonacci berpengaruh, dan kita bisa memanfaatkan pengaruh ini.
Deret Fibonacci didefinisikan sebagai berikut:
Beberapa anggota pertamanya:
Cerita
Angka-angka ini diperkenalkan pada tahun 1202 oleh Leonardo Fibonacci (juga dikenal sebagai Leonardo Pisano). Namun, berkat ahli matematika abad ke-19, Lucas, nama “bilangan Fibonacci” menjadi umum digunakan.
Namun, matematikawan India menyebutkan bilangan barisan ini lebih awal: Gopala sampai tahun 1135, Hemachandra - pada tahun 1150.
Angka Fibonacci di alam
Fibonacci sendiri menyebutkan angka-angka ini sehubungan dengan masalah berikut: “Seseorang meletakkan sepasang kelinci di dalam kandang yang dikelilingi dinding di semua sisinya. Berapa pasang kelinci yang dapat dihasilkan oleh pasangan ini dalam setahun, jika diketahui setiap bulan, mulai bulan kedua, setiap pasang apakah menghasilkan satu pasang kelinci?” Solusi untuk masalah ini adalah bilangan-bilangan dari barisan yang sekarang dinamai menurut namanya. Namun, situasi yang dijelaskan oleh Fibonacci lebih merupakan permainan pikiran daripada sifat nyata.
Matematikawan India, Gopala dan Hemachandra, menyebutkan angka-angka barisan ini sehubungan dengan banyaknya pola ritme yang dihasilkan dari silih bergantinya suku kata panjang dan pendek dalam puisi atau ketukan kuat dan lemah dalam musik. Banyaknya gambar tersebut, yang mempunyai jumlah seluruh saham, sama dengan .
Bilangan Fibonacci juga muncul dalam karya Kepler tahun 1611 tentang bilangan yang ditemukan di alam (On Hexagonal Snowflakes).
Contoh tanaman yang menarik adalah yarrow, yang jumlah batangnya (dan bunganya) selalu berupa bilangan Fibonacci. Alasannya sederhana: setelah awalnya mempunyai satu batang, batang itu kemudian terbelah menjadi dua, lalu satu lagi bercabang dari batang utama, lalu dua batang pertama bercabang lagi, lalu semua kecuali dua batang terakhir bercabang, dan seterusnya. pada. Jadi, setiap batang, setelah kemunculannya, “melewati” satu cabang, dan kemudian mulai membelah pada setiap tingkat percabangan, yang menghasilkan bilangan Fibonacci.
Secara umum, untuk banyak bunga (misalnya lili), jumlah kelopaknya adalah satu atau beberapa bilangan Fibonacci.
Fenomena “phyllotaxis” juga dikenal dalam bidang botani. Contohnya adalah susunan biji bunga matahari: jika Anda melihat susunannya dari atas, Anda dapat melihat dua rangkaian spiral secara bersamaan (seolah-olah saling bertumpukan): ada yang dipelintir searah jarum jam, ada yang berlawanan arah jarum jam. Ternyata jumlah spiral ini kira-kira sama dengan dua angka Fibonacci yang berurutan: 34 dan 55 atau 89 dan 144. Fakta serupa juga berlaku untuk beberapa bunga lain, juga untuk pohon cemara, brokoli, nanas, dll.
Bagi banyak tumbuhan (menurut beberapa data, 90% di antaranya) hal ini juga berlaku fakta yang menarik. Mari kita perhatikan beberapa daun, dan kita akan turun darinya sampai kita mencapai daun yang terletak di batang dengan cara yang persis sama (yaitu diarahkan ke arah yang persis sama). Sepanjang jalan, kita akan menghitung semua daun yang kita temui (yaitu, terletak di ketinggian antara daun awal dan daun terakhir), tetapi letaknya berbeda. Dengan memberi nomor, kita akan memutar batang secara bertahap (karena daun terletak pada batang dalam bentuk spiral). Tergantung pada apakah Anda berbelok searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam, Anda akan mendapatkannya nomor yang berbeda ternyata. Namun ternyata banyaknya putaran yang kita lakukan searah jarum jam, banyaknya putaran yang kita lakukan berlawanan arah jarum jam, dan banyaknya daun yang kita jumpai membentuk 3 bilangan Fibonacci yang berurutan.
Namun perlu dicatat bahwa ada juga tumbuhan yang perhitungan di atas akan memberikan angka dari urutan yang sama sekali berbeda, sehingga tidak dapat dikatakan bahwa fenomena phyllotaxis adalah sebuah hukum - ini merupakan tren yang menarik.
Properti
Angka Fibonacci memiliki banyak sifat matematika yang menarik.
Berikut ini beberapa di antaranya:
Sistem bilangan Fibonacci
Teorema Zeckendorff menyatakan bahwa apapun bilangan asli dapat direpresentasikan secara unik sebagai jumlah angka Fibonacci:
dimana , , , (yaitu, dua angka Fibonacci yang berdekatan tidak dapat digunakan dalam entri).
Oleh karena itu, nomor apa pun dapat ditulis secara unik Sistem bilangan Fibonacci, Misalnya:
Selain itu, tidak ada angka yang dapat memiliki dua angka berturut-turut.
Tidak sulit untuk mendapatkan aturan penjumlahan satu pada suatu bilangan dalam sistem bilangan Fibonacci: jika angka terendah adalah 0, maka kita ganti dengan 1, dan jika sama dengan 1 (yaitu di akhir ada 01) , lalu 01 diganti dengan 10. Lalu kita “memperbaiki” rekaman, mengoreksi secara berurutan di mana-mana 011 hingga 100. Hasilnya, waktu linier nomor baru akan dicatat.
Mengonversi suatu bilangan ke sistem bilangan Fibonacci dilakukan dengan algoritma “serakah” sederhana: kita cukup mengurutkan bilangan Fibonacci dari besar ke kecil dan, jika ada, maka dimasukkan dalam notasi bilangan tersebut, dan kita kurangi darinya. dan melanjutkan pencarian.
Rumus bilangan Fibonacci ke-n
Formula melalui radikal
Ada formula luar biasa yang disebut namanya Matematikawan Perancis Binet, meskipun dia dikenal sebelum dia di Moivre:
Rumus ini mudah dibuktikan dengan induksi, tetapi dapat diturunkan dengan menggunakan konsep pembangkitan fungsi atau dengan menyelesaikan persamaan fungsional.
Anda dapat segera melihat bahwa suku kedua selalu kurang dari 1 dalam modulus, dan terlebih lagi, suku kedua menurun dengan sangat cepat (secara eksponensial). Oleh karena itu, nilai suku pertama memberikan nilai “hampir”. Ini dapat ditulis dalam bentuk yang ketat:
Di mana tanda kurung siku menunjukkan pembulatan ke bilangan bulat terdekat.
Namun, untuk aplikasi praktis Rumus ini kurang cocok untuk perhitungan karena memerlukan ketelitian yang sangat tinggi saat bekerja dengan bilangan pecahan.
Rumus matriks untuk bilangan Fibonacci
Tidak sulit untuk membuktikan persamaan matriks berikut:
Tapi kemudian, menunjukkan
kita mendapatkan:
Jadi, untuk mencari bilangan Fibonacci ke-th, Anda perlu menaikkan matriksnya ke pangkat.
Mengingat bahwa menaikkan matriks ke pangkat th dapat dilakukan di (lihat.
Kita mulai mempertimbangkan proses sebenarnya menghitung integral ganda dan mengenal makna geometrisnya.
Integral ganda secara numerik sama dengan luas bangun datar (wilayah integrasi). Ini bentuk paling sederhana integral ganda, jika fungsi dua variabel sama dengan satu: .
Mari kita pertimbangkan dulu masalahnya pandangan umum. Sekarang Anda akan terkejut betapa sederhananya segala sesuatunya! Mari kita hitung luas bangun datar, dibatasi oleh garis. Untuk lebih pastinya, kami berasumsi bahwa pada segmen tersebut. Luas gambar ini secara numerik sama dengan:
Mari kita gambarkan luasnya pada gambar: 
Mari kita pilih cara pertama untuk melintasi area tersebut: 
Dengan demikian: 
Dan sekaligus teknik teknis yang penting: integral iterasi dapat dihitung secara terpisah. Pertama integral dalam, kemudian integral luar. Metode ini Saya sangat merekomendasikannya kepada pemula di bidang ini.
1) Mari kita hitung integral internal, dan integrasi dilakukan pada variabel “y”: 
Integral tak tentu di sini adalah yang paling sederhana, dan kemudian rumus dangkal Newton-Leibniz digunakan, dengan satu-satunya perbedaan bahwa batas integrasi bukanlah angka, melainkan fungsi. Pertama mereka menaruhnya di “Y” ( fungsi antiturunan) batas atas, Kemudian - batasan yang lebih rendah
2) Hasil yang diperoleh pada paragraf pertama harus disubstitusikan ke integral luar: 
Representasi yang lebih ringkas dari keseluruhan solusi terlihat seperti ini:
Rumus yang dihasilkan 
- itulah tepatnya rumus kerja menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tentu “biasa”! Tonton pelajarannya Menghitung Luas Menggunakan Integral Pasti, itu dia di setiap langkah!
Itu adalah, soal menghitung luas menggunakan integral ganda tidak jauh berbeda dari soal mencari luas dengan menggunakan integral tertentu! Faktanya, itu sama saja!
Oleh karena itu, tidak ada kesulitan yang muncul! Saya tidak akan melihat banyak contoh, karena Anda sebenarnya telah berulang kali menghadapi tugas ini.
Contoh 9
Larutan: Mari kita gambarkan luasnya pada gambar: 
Mari kita pilih urutan penjelajahan area berikut: 
Di sini dan selanjutnya saya tidak akan membahas bagaimana cara melintasi kawasan tersebut, karena penjelasan yang sangat detail telah diberikan di paragraf pertama.
Dengan demikian: 
Seperti yang telah saya catat, lebih baik bagi pemula untuk menghitung integral iterasi secara terpisah, dan saya akan tetap menggunakan metode yang sama:
1) Pertama, dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita menangani integral internal: 
2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama disubstitusikan ke integral luar: 
Poin ke 2 sebenarnya mencari luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu.
Menjawab:
Ini adalah tugas yang bodoh dan naif.
Contoh menarik untuk keputusan independen:
Contoh 10
Dengan menggunakan integral ganda, hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , ,
Contoh perkiraan solusi akhir di akhir pelajaran.
Dalam Contoh 9-10, jauh lebih menguntungkan menggunakan metode pertama dalam melintasi area; pembaca yang penasaran dapat mengubah urutan penjelajahan dan menghitung area menggunakan metode kedua. Jika tidak melakukan kesalahan, tentu saja Anda akan mendapatkan nilai luas yang sama.
Namun dalam beberapa kasus, metode kedua untuk melintasi area tersebut lebih efektif, dan di akhir kursus para kutu buku muda, mari kita lihat beberapa contoh lagi tentang topik ini:
Contoh 11
Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi garis,
Larutan: Kami menantikan dua parabola dengan kekhasan yang terletak di sisinya. Tidak perlu tersenyum; hal serupa cukup sering terjadi pada integral berganda.
Apa cara termudah untuk membuat gambar?
Bayangkan parabola sebagai dua fungsi:
– cabang atas dan – cabang bawah.
Demikian pula, bayangkan sebuah parabola berbentuk atas dan bawah 
ranting.
Selanjutnya, pembuatan plot grafik secara titik, menghasilkan gambar yang aneh: 
Kami menghitung luas gambar menggunakan integral ganda sesuai dengan rumus:
Apa yang terjadi jika kita memilih metode pertama untuk melintasi area tersebut? Pertama, kawasan ini harus dibagi menjadi dua bagian. Dan kedua, kita akan mengamati gambaran menyedihkan ini: 
. Integral, tentu saja, bukanlah tingkat yang sangat rumit, tetapi... ada pepatah matematika kuno: mereka yang dekat dengan akarnya tidak memerlukan tes.
Oleh karena itu, dari kesalahpahaman yang diberikan dalam kondisi tersebut, kami menyatakan fungsi kebalikannya: 
Fungsi terbalik V dalam contoh ini memiliki keuntungan bahwa mereka menentukan seluruh parabola sekaligus tanpa daun, biji, cabang dan akar.
Menurut metode kedua, penjelajahan area adalah sebagai berikut: 
Dengan demikian: 
Seperti yang mereka katakan, rasakan perbedaannya.
1) Kita berurusan dengan integral internal:
Kami mengganti hasilnya ke integral luar:
Integrasi pada variabel “y” tidak akan membingungkan; jika ada huruf “zy”, akan lebih baik untuk mengintegrasikannya. Meskipun siapa yang membaca paragraf kedua pelajaran Cara menghitung volume suatu benda rotasi, ia tidak lagi mengalami kecanggungan sedikit pun dengan integrasi menurut metode “Y”.
Perhatikan juga langkah pertama: integrannya genap, dan interval integrasinya simetris terhadap nol. Oleh karena itu, segmennya bisa dibelah dua, dan hasilnya bisa digandakan. Teknik ini dikomentari secara rinci dalam pelajaran. Metode yang efektif perhitungan integral tertentu.
Apa yang harus ditambahkan…. Semua!
Menjawab:
Untuk menguji teknik integrasi Anda, Anda dapat mencoba menghitung . Jawabannya harus persis sama.
Contoh 12
Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi garis 
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mencoba menggunakan metode pertama melintasi area tersebut, gambar tersebut tidak lagi harus dibagi menjadi dua, tetapi menjadi tiga bagian! Dan karenanya, kita mendapatkan tiga pasang integral berulang. Terkadang itu terjadi.
Kelas master telah berakhir, dan inilah waktunya untuk melanjutkan ke tingkat grandmaster - Bagaimana cara menghitung integral ganda? Contoh solusi. Saya akan mencoba untuk tidak terlalu gila di artikel kedua =)
Aku harap kamu berhasil!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2:Larutan:
Mari kita gambarkan area tersebut pada gambar:
Mari kita pilih urutan penjelajahan area berikut:
Dengan demikian: 
Mari beralih ke fungsi invers:
Dengan demikian: 
Menjawab:
Contoh 4:Larutan:
Mari beralih ke fungsi langsung:
Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ubah urutan melintasi area tersebut:
Menjawab:
Masalah 1(tentang menghitung luas trapesium lengkung).
Dalam Cartesian sistem persegi panjang koordinat xOy, diberikan suatu bangun (lihat gambar) yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x = a, x = b (trapesium lengkung. Diperlukan untuk menghitung luas trapesium lengkung.
Larutan. Geometri memberi kita resep untuk menghitung luas poligon dan beberapa bagian lingkaran (sektor, segmen). Dengan menggunakan pertimbangan geometris, kita hanya dapat menemukan nilai perkiraan luas yang dibutuhkan, dengan alasan sebagai berikut.
Mari kita bagi segmen [a; b] (alas trapesium lengkung) di n bagian yang sama; partisi ini dilakukan dengan menggunakan titik x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini, sumbu paralel kamu. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.
Mari kita perhatikan kolom ke-k secara terpisah, mis. trapesium melengkung yang alasnya berupa ruas. Mari kita ganti dengan persegi panjang yang alasnya sama dan tingginya sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang sama dengan \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dengan \(\Delta x_k \) adalah panjang ruas; Wajar jika produk yang dihasilkan dianggap sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k. 
Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut: luas S dari trapesium lengkung tertentu kira-kira sama dengan luas S n dari bangun datar yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman notasi, kita asumsikan a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen, \(\Delta x_1 \) - panjang segmen, dll.; dalam hal ini, seperti yang kita sepakati di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Jadi, \(S \kira-kira S_n \), dan persamaan perkiraan ini lebih akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, luas trapesium lengkung yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Masalah 2(tentang memindahkan suatu titik)
Bergerak dalam garis lurus poin materi. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Temukan pergerakan suatu titik selama periode waktu [a; B].
Larutan. Jika geraknya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan tidak rata, Anda harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar solusi masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Perhatikan suatu periode waktu dan asumsikan bahwa selama periode waktu tersebut kecepatannya konstan, sama seperti pada waktu t k. Jadi kita asumsikan bahwa v = v(t k).
3) Mari kita cari nilai perkiraan pergerakan titik selama periode waktu tertentu; kita nyatakan nilai perkiraan ini sebagai s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Temukan perkiraan nilai perpindahan s:
\(s \kira-kira S_n \) dimana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Mari kita rangkum. Solusi berbagai tugas direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyak permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi yang mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Jadi ini model matematika perlu dipelajari secara khusus.
Konsep integral tertentu
Mari kita memberi deskripsi matematika model yang dibangun dalam tiga soal yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam soal yang dipertimbangkan) pada interval [a; B]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) buat jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hitung $$ \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Aku tahu analisis matematis telah dibuktikan bahwa limit ini ada pada fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Dia dipanggil integral tertentu dari fungsi y = f(x) pada segmen [a; B] dan dilambangkan sebagai berikut:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Bilangan a dan b disebut limit integrasi (masing-masing bawah dan atas).
Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan pada Soal 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
disini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. Ini makna geometris integral tertentu.
Definisi perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b, yang diberikan pada Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Rumus Newton-Leibniz
Pertama, mari kita jawab pertanyaannya: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?
Jawabannya terdapat pada Soal 2. Di satu sisi, perpindahan s suatu titik yang bergerak lurus dengan kecepatan v = v(t) selama periode waktu dari t = a ke t = b dihitung dengan rumusnya
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Di sisi lain, koordinat suatu titik bergerak merupakan antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); Artinya perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya kita mendapatkan:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dimana s(t) adalah antiturunan dari v(t).
Teorema berikut dibuktikan dalam analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada interval [a; b], maka rumus tersebut valid
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dimana F(x) adalah antiturunan dari f(x).
Rumus yang diberikan biasanya disebut Rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.
Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi \(\left.F(x)\right|_a^b \) (terkadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, tulis ulang rumus Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)
Menghitung integral tertentu, cari dulu antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.
Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, kita dapat memperoleh dua sifat integral tertentu.
Properti 1. Integral jumlah fungsi sama dengan jumlah integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Menghitung luas bangun datar dengan integral tertentu
Dengan menggunakan integral, Anda tidak hanya dapat menghitung luas trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar lainnya tipe kompleks, misalnya yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melakukan hal berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Jadi, luas S suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada ruas tersebut dan sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x dari ruas tersebut [A; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) terpenuhi, dihitung dengan rumus
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tabel integral tak tentu (antiturunan) beberapa fungsi
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \teks(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\teks(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \teks(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teks(arctg) x +C $$ $$ \int \teks(ch) x dx = \teks(sh) x +C $$ $$ \int \teks(sh) x dx = \teks(ch ) x+C$$Pada artikel ini Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun yang dibatasi garis dengan menggunakan perhitungan integral. Rumusan masalah seperti itu pertama kali kita temui di sekolah menengah, ketika kita baru saja menyelesaikan pembelajaran integral tertentu dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometri dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.
Jadi, apa yang diperlukan agar berhasil menyelesaikan masalah mencari luas suatu bangun menggunakan integral:
- Kemampuan membuat gambar yang kompeten;
- Kemampuan menyelesaikan integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
- Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. memahami bagaimana akan lebih mudah untuk melakukan integrasi dalam kasus tertentu? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
- Nah, bagaimana jadinya kita tanpa perhitungan yang benar?) Hal ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis integral lainnya dan perhitungan numerik yang benar.
Algoritma penyelesaian masalah menghitung luas bangun yang dibatasi garis:
1. Kami sedang membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas kotak-kotak, dalam skala besar. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensil di atas setiap grafik. Penandatanganan grafik dilakukan semata-mata untuk memudahkan perhitungan selanjutnya. Setelah menerima grafik dari angka yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Inilah cara kami memecahkan masalah tersebut metode grafis. Namun, nilai batasnya bersifat pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.
2. Jika batas integrasi tidak ditentukan secara eksplisit, maka kita mencari titik potong grafik satu sama lain dan melihat apakah solusi grafis kita cocok dengan solusi analitis.
3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambarnya. Tergantung pada bagaimana grafik fungsi disusun, ada pendekatan yang berbeda untuk mencari luas suatu bangun. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeda tentang mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral.
3.1. Versi soal yang paling klasik dan sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini sosok datar, dibatasi oleh sumbu x (kamu = 0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari A sebelum B. Di mana, angka ini non-negatif dan terletak tidak di bawah sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu, dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Garis manakah yang dibatasi oleh bangun tersebut? Kami memiliki parabola kamu = x2 – 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, itu non-negatif, karena semua titik yang dimiliki parabola ini nilai-nilai positif. Selanjutnya diberi garis lurus x = 1 Dan x = 3, yang berjalan sejajar dengan sumbu kamu, adalah garis batas gambar di kiri dan kanan. Dengan baik kamu = 0, itu juga merupakan sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Gambar yang dihasilkan diarsir, seperti terlihat pada gambar di sebelah kiri. DI DALAM pada kasus ini, Anda dapat segera mulai memecahkan masalah tersebut. Di hadapan kita adalah contoh sederhana trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.
3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kita memeriksa kasus ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Bagaimana cara memutuskan tugas serupa Mari kita lihat lebih jauh.
Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Dalam contoh ini kita memiliki parabola kamu = x2 + 6x + 2, yang berasal dari sumbu OH, lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di Sini kamu = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 Dan x = -1 ini adalah batas di mana integral tentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah mencari luas suatu bangun hampir seluruhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Perbedaannya hanya pada fungsi yang diberikan tidak positif, dan masih kontinu pada interval tersebut [-4; -1] . Apa maksudnya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, angka yang terletak di dalam x tertentu hanya memiliki koordinat “negatif”, yang perlu kita lihat dan ingat saat menyelesaikan soal. Kita mencari luas bangun tersebut menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.
Artikel ini belum selesai.
