Memfaktorkan trinomial kuadrat mungkin berguna saat menyelesaikan pertidaksamaan dari soal C3 atau soal dengan parameter C5. Selain itu, banyak soal kata B13 akan diselesaikan lebih cepat jika Anda mengetahui teorema Vieta.
Teorema ini tentunya dapat dilihat dari sudut pandang kelas 8 yang baru pertama kali diajarkan. Namun tugas kita adalah mempersiapkan diri dengan baik untuk Ujian Negara Bersatu dan belajar menyelesaikan tugas ujian seefisien mungkin. Oleh karena itu, pelajaran ini menganggap pendekatannya sedikit berbeda dari pendekatan di sekolah.
Rumus akar persamaan menggunakan teorema Vieta Banyak orang mengetahui (atau setidaknya pernah melihat):
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \kuad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
dimana `a, b` dan `c` adalah koefisien trinomial kuadrat `ax^2+bx+c`.
Untuk mempelajari cara menggunakan teorema dengan mudah, mari kita pahami dari mana teorema tersebut berasal (ini akan memudahkan untuk mengingatnya).
Mari kita punya persamaan `ax^2+ bx+ c = 0`. Untuk memudahkan lebih lanjut, bagilah dengan `a` dan dapatkan `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat tereduksi.
Ide pelajaran penting: polinomial kuadrat apa pun yang memiliki akar dapat diperluas ke dalam tanda kurung. Mari kita asumsikan bahwa persamaan kita dapat direpresentasikan sebagai `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, di mana `k` dan ` l` - beberapa konstanta.
Mari kita lihat bagaimana tanda kurung terbuka:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Jadi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
Ini sedikit berbeda dengan penafsiran klasik teorema Vieta- di dalamnya kita mencari akar persamaan. Saya mengusulkan untuk mencari istilah untuk dekomposisi braket- dengan cara ini kamu tidak perlu mengingat minus dari rumus tersebut (artinya `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Cukup dengan memilih dua bilangan tersebut, yang jumlahnya sama dengan koefisien rata-rata, dan hasil kali sama dengan suku bebas.
Jika kita membutuhkan penyelesaian persamaan, maka sudah jelas: akar `x=-k` atau `x=-l` (karena dalam kasus ini salah satu tanda kurung akan menjadi nol, yang berarti seluruh ekspresi akan menjadi nol ).
Saya akan menunjukkan algoritmanya sebagai contoh: Cara memperluas polinomial kuadrat ke dalam tanda kurung.
Contoh satu. Algoritma untuk memfaktorkan trinomial kuadrat
Jalur yang kita miliki adalah trinomial kuadran `x^2+5x+4`.
Dikurangi (koefisien `x^2` sama dengan satu). Dia memiliki akar. (Yang pasti, Anda dapat memperkirakan diskriminan dan memastikan bahwa diskriminannya lebih besar dari nol.)
Langkah selanjutnya (Anda perlu mempelajarinya dengan menyelesaikan semua tugas pelatihan):
- Lengkapi entri berikut: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Daripada titik, sisakan ruang kosong, kami akan menambahkan angka dan tanda yang sesuai di sana.
- Pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan untuk menguraikan angka `4` menjadi produk dua angka. Kami mendapatkan pasangan “kandidat” untuk akar persamaan: `2, 2` dan `1, 4`.
- Cari tahu dari pasangan mana Anda bisa mendapatkan koefisien rata-rata. Jelas itu `1, 4`.
- Tulis $$x^2+5x+4=(x \kuad 4)(x \kuad 1)$$.
- Langkah selanjutnya adalah memasang tanda di depan nomor yang disisipkan.
Bagaimana memahami dan mengingat selamanya tanda apa yang harus muncul sebelum angka dalam tanda kurung? Coba buka (tanda kurung). Koefisien sebelum `x` pangkat pertama adalah `(± 4 ± 1)` (kita belum mengetahui tandanya - kita harus memilih), dan harus sama dengan `5`. Jelas, akan ada dua plus $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Lakukan operasi ini beberapa kali (halo, tugas pelatihan!) dan Anda tidak akan mengalami masalah lagi dengan ini.
Jika Anda perlu menyelesaikan persamaan `x^2+5x+4`, sekarang menyelesaikannya tidak akan sulit. Akarnya adalah `-4, -1`.
Contoh dua. Faktorisasi trinomial kuadrat dengan koefisien yang berbeda tanda
Mari kita selesaikan persamaan `x^2-x-2=0`. Begitu saja, diskriminannya positif.
Kami mengikuti algoritmanya.
- $$x^2-x-2=(x \ltitik) (x \ltitik).$$
- Hanya ada satu faktorisasi dua menjadi faktor bilangan bulat: `2 · 1`.
- Kami melewatkan intinya - tidak ada yang bisa dipilih.
- $$x^2-x-2=(x \kuad 2) (x \kuad 1).$$
- Hasil kali bilangan-bilangan kita adalah negatif (`-2` adalah suku bebasnya), yang berarti salah satu bilangan tersebut akan bernilai negatif dan bilangan lainnya akan bernilai positif.
Karena jumlah keduanya sama dengan `-1` (koefisien `x`), maka `2` akan bernilai negatif (penjelasan intuitifnya adalah bahwa dua adalah bilangan yang lebih besar dari kedua bilangan tersebut, sehingga akan “menarik” lebih kuat pada bilangan tersebut. arah negatif). Kita mendapatkan $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Contoh ketiga. Memfaktorkan trinomial kuadrat
Persamaannya adalah `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ltitik) (x \ltitik).$$
- Penguraian 84 menjadi faktor bilangan bulat: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Karena kita membutuhkan selisih (atau jumlah) angka-angka tersebut menjadi 5, maka pasangan `7, 12` adalah yang cocok.
- $$x+ 5x-84=(x\kuad 12) (x\kuad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Harapan, perluasan trinomial kuadrat ini ke dalam tanda kurung Sudah jelas.
Jika Anda memerlukan solusi persamaan, ini dia: `12, -7`.
Tugas pelatihan
Saya sampaikan kepada Anda beberapa contoh yang mudah diselesaikan menggunakan teorema Vieta.(Contoh diambil dari majalah “Mathematics”, 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Beberapa tahun setelah artikel ini ditulis, kumpulan 150 tugas untuk memperluas polinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta muncul.
Sukai dan ajukan pertanyaan di komentar!
Trinomial persegi disebut polinomial bentuk kapak 2 +bx+C, Di mana X– variabel, A,B,C– beberapa angka, dan a ≠ 0.
Koefisien A ditelepon koefisien senior, C – anggota bebas trinomial persegi.
Contoh trinomial kuadrat:
2 x 2 + 5x+4(Di Sini A = 2, B = 5, C = 4)
x 2 – 7x + 5(Di Sini A = 1, B = -7, C = 5)
9x 2 + 9x – 9(Di Sini A = 9, B = 9, C = -9)
Koefisien B atau koefisien C atau kedua koefisien bisa sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Misalnya:
5 x 2 + 3X(Di Sinisebuah = 5,b = 3,c = 0, jadi tidak ada nilai c pada persamaan tersebut).
6x 2 – 8 (Di Sinia = 6, b = 0, c = -8)
2x2(Di Sinia = 2, b = 0, c = 0)
Nilai variabel yang menghilangkan polinomialnya disebut akar polinomial.
Mencari akar-akar trinomial kuadratkapak 2 +
bx+
C, kita perlu menyamakannya dengan nol -
yaitu menyelesaikan persamaan kuadratkapak 2 +
bx+
c = 0 (lihat bagian "Persamaan kuadrat").
Memfaktorkan trinomial kuadrat
Contoh:
Mari kita faktorkan trinomial 2 X 2 + 7x – 4.
Kita melihat: koefisien A = 2.
Sekarang mari kita cari akar-akar trinomialnya. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol dan menyelesaikan persamaannya
2X 2 + 7x – 4 = 0.
Cara menyelesaikan persamaan seperti itu - lihat bagian “Rumus akar-akar persamaan kuadrat. Diskriminan." Disini kami akan langsung menyatakan hasil perhitungannya. Trinomial kami memiliki dua akar:
x 1 = 1/2, x 2 = –4.
Mari kita substitusikan nilai-nilai akar ke dalam rumus kita, dengan mengeluarkan nilai koefisien dari tanda kurung A, dan kita mendapatkan:
2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).
Hasil yang diperoleh dapat ditulis secara berbeda dengan mengalikan koefisien 2 dengan binomial X – 1/2:
2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Masalahnya terpecahkan: trinomialnya difaktorkan.
Perluasan seperti itu dapat diperoleh untuk semua trinomial kuadrat yang mempunyai akar.
PERHATIAN!
Jika diskriminan suatu trinomial kuadrat adalah nol, maka trinomial tersebut mempunyai satu akar, tetapi ketika trinomial tersebut didekomposisi, akar tersebut diambil sebagai nilai dari dua akar - yaitu, sebagai nilai yang sama X 1 danX 2 .
Misalnya, suatu trinomial memiliki satu akar sama dengan 3. Maka x 1 = 3, x 2 = 3.
Trinomial persegi adalah polinomial dengan bentuk ax^2+bx+c, dengan x adalah variabel, a, b, dan c adalah suatu bilangan, dan a tidak sama dengan nol.
Sebenarnya hal pertama yang perlu kita ketahui untuk memfaktorkan trinomial naas adalah teoremanya. Tampilannya seperti ini: “Jika x1 dan x2 adalah akar-akar trinomial persegi ax^2+bx+c, maka ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).” Tentu saja, teorema ini mempunyai bukti, namun hal ini memerlukan pengetahuan teoritis (ketika kita menghilangkan faktor a dalam polinomial ax^2+bx+c kita mendapatkan ax^2+bx+c=a(x^2 +(b/a) x + c/a). Berdasarkan teorema Viette, x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, maka b/a=-(x1+x2), c/ a=x1*x2. -x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2). Artinya ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . tetapi jika tidak diperlukan, saya sarankan Anda menghafal rumus akhirnya saja.
Langkah 2
Mari kita ambil trinomial 3x^2-24x+21 sebagai contoh. Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyamakan trinomial dengan nol: 3x^2-24x+21=0. Akar-akar persamaan kuadrat yang dihasilkan masing-masing akan menjadi akar-akar trinomial.
Langkah 3
Mari selesaikan persamaan 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Jadi, mari kita putuskan. Bagi yang belum tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat, lihat instruksi saya dengan 2 cara menyelesaikannya menggunakan persamaan yang sama sebagai contoh. Akar yang dihasilkan adalah x1=7, x2=1.
Langkah 4
Sekarang setelah kita memiliki akar-akar trinomial, kita dapat dengan aman mensubstitusikannya ke dalam rumus =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
kita peroleh: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Anda dapat menghilangkan suku a dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
hasilnya kita mendapatkan: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Catatan: masing-masing faktor hasil ((x-7), (3x-3) adalah polinomial derajat pertama. Itu saja perluasannya =) Jika Anda meragukan jawaban yang diterima, Anda selalu dapat memeriksanya dengan mengalikan tanda kurung.
Langkah 5
Memeriksa solusinya. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Sekarang kami tahu pasti bahwa keputusan kami benar! Saya harap instruksi saya akan membantu seseorang =) Semoga sukses dengan studi Anda!
- Dalam kasus kita, dalam persamaan D > 0 dan kita mendapatkan 2 akar. Jika ada D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Jika suatu trinomial persegi tidak mempunyai akar, maka tidak dapat difaktorkan, yaitu polinomial derajat pertama.
