Sebelum kita mulai memutuskan masalah perkembangan aritmatika, mari kita perhatikan apa itu barisan bilangan perkembangan aritmatika- Ini kasus spesial urutan nomor.

Urutan nomornya adalah kumpulan nomor, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor seri elemen urutan ditunjukkan dengan indeks:

Elemen pertama dari barisan;

Elemen kelima dari barisan;

- elemen "ke-n" dari barisan tersebut, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.

Terdapat hubungan antara nilai suatu elemen barisan dengan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap suatu barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari elemen barisan tersebut. Dengan kata lain, kita dapat mengatakan demikian urutannya adalah fungsi dari argumen natural:

Urutannya dapat diatur dalam tiga cara:

1 . Urutannya dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup menetapkan nilai setiap anggota barisan.

Misalnya, Seseorang memutuskan untuk melakukannya manajemen waktu pribadi, dan pertama-tama, hitung berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte selama seminggu. Dengan mencatat waktu dalam tabel, ia akan memperoleh urutan yang terdiri dari tujuh unsur:

Baris pertama tabel menunjukkan jumlah hari dalam seminggu, baris kedua menunjukkan waktu dalam menit. Kita melihat bahwa pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat hanya 15 menit.

2 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus suku ke-n.

Dalam hal ini, ketergantungan nilai suatu unsur barisan terhadap bilangannya dinyatakan langsung dalam bentuk rumus.

Misalnya, jika , maka

Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus suku ke-n.

Kita melakukan hal yang sama jika kita perlu mencari nilai suatu fungsi jika nilai argumennya diketahui. Kami mengganti nilai argumen ke dalam persamaan fungsi:

Jika, misalnya, , Itu

Izinkan saya mencatat sekali lagi bahwa secara berurutan, tidak seperti sembarangan fungsi numerik, argumennya hanya dapat berupa bilangan asli.

3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai bilangan anggota barisan n terhadap nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, kita tidak cukup hanya mengetahui banyaknya anggota barisan untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan tersebut.

Misalnya, perhatikan urutannya ,

Kita dapat menemukan nilai-nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:

Artinya, setiap kali mencari nilai suku ke-n barisan tersebut, kita kembali ke dua suku sebelumnya. Metode menentukan urutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.

Sekarang kita dapat mendefinisikan barisan aritmatika. Perkembangan aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari suatu barisan bilangan.

Kemajuan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya dijumlahkan dengan bilangan yang sama.

Nomor tersebut dipanggil perbedaan perkembangan aritmatika. Selisih barisan aritmatika bisa positif, negatif, atau sama dengan nol.

Jika judul="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.

Misalnya, 2; 5; 8; sebelas;...

Jika , maka setiap suku suatu barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah menurun.

Misalnya, 2; -1; -4; -7;...

Jika , maka semua suku barisan tersebut sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah tidak bergerak.

Misalnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama barisan aritmatika:

Mari kita lihat gambarnya.

Kami melihatnya

, dan pada saat yang sama

Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 2:

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari barisan aritmatika kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua barisan aritmatika yang bertetangga:

Apalagi sejak itu

, dan pada saat yang sama

, Itu

, dan maka dari itu

Setiap suku suatu barisan aritmatika, dimulai dengan title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Rumus suku ke-th.

Kita melihat bahwa suku-suku barisan aritmatika memenuhi hubungan berikut:

dan akhirnya

Kita punya rumus suku ke-n.

PENTING! Setiap anggota barisan aritmatika dapat dinyatakan melalui dan. Mengetahui suku pertama dan perbedaan suatu barisan aritmatika, Anda dapat menemukan suku-sukunya.

Jumlah n suku suatu barisan aritmatika.

Dalam barisan aritmatika sembarang, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:

Pertimbangkan barisan aritmatika dengan n suku. Misalkan jumlah n suku barisan tersebut sama dengan .

Mari kita susun suku-suku perkembangannya terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, dan kemudian dalam urutan menurun:

Mari kita tambahkan secara berpasangan:

Jumlah tiap tanda kurung adalah , banyaknya pasangan adalah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n suku suatu barisan aritmatika dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Mari kita pertimbangkan memecahkan masalah perkembangan aritmatika.

1 . Barisan tersebut diberikan dengan rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Mari kita buktikan bahwa selisih dua suku yang berdekatan pada barisan tersebut sama dengan bilangan yang sama.

Kami menemukan bahwa perbedaan antara dua anggota barisan yang berdekatan tidak bergantung pada jumlahnya dan merupakan konstanta. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah barisan aritmatika.

2 . Diketahui barisan aritmatika -31; -27;...

a) Tentukan 31 suku barisan tersebut.

b) Tentukan apakah termasuk dalam kemajuan ini nomor 41.

A) Kami melihat itu;

Mari kita tuliskan rumus suku ke-n untuk perkembangan kita.

Secara umum

Dalam kasus kami , Itu sebabnya

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel ini, perhatikan navigator kami semaksimal mungkin sumber daya yang berguna Untuk

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami secara lebih luas. dalam arti luas, seperti barisan bilangan tak terhingga. Nama "aritmatika" ditransfer dari teori proporsi kontinu, yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing anggotanya sama dengan anggota sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih suatu barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:

Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk "depersonalisasi" rumus ini- ayo bawa dia ke bentuk umum dan kami mendapatkan:

Persamaan perkembangan aritmatika.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika ini jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:

Dari dulu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Coba cari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar-benar tepat. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang ribet, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

suku perkembangan sebelumnya adalah:
suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali lipat nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan nilai berturut-turut yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru, yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menugaskan tugas berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari ke (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.

Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah total adalah sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari th dan jumlah bilangan yang dimulai dari th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini orang yang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat perkembangan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan yang paling banyak konstruksi skala besar waktu itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.

Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

DI DALAM pada kasus ini Perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
Saat menyimpan log, penebang menumpuknya sedemikian rupa sehingga masing-masing log dapat disimpan lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Pada kasus ini
(minggu = hari).
Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.
Pertama angka ganjil, nomor terakhir.
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:
Angka memang mengandung angka ganjil.
Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:
Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.
Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:
Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

- barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:

, di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. LEVEL RATA-RATA

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi, rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika yang hebat Karl Gauss, sebagai anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Ia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Berapa total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semuanya angka dua digit, kelipatan.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Anggota terakhir kemajuan akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan ia tempuh dalam seminggu, jika pada hari pertama ia berlari km m?
Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh jarak km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
.
Menjawab:
Di sini diberikan: , harus ditemukan.
Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
.
Gantikan nilainya:
Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
(km).
Menjawab:
Diberikan: . Menemukan: .
Ini sangat sederhana:
(menggosok).
Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, dapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena masih banyak yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dimengerti” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Kemajuan aritmatika sebutkan barisan bilangan (suku suatu barisan)

Dimana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan suku baru, yang disebut juga perbedaan langkah atau perkembangan.

Jadi, dengan menentukan langkah perkembangan dan suku pertamanya, Anda dapat mencari salah satu elemennya menggunakan rumus

Sifat-sifat barisan aritmatika

1) Setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari bilangan kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan berikutnya

Hal sebaliknya juga benar. Jika rata-rata aritmatika suku-suku ganjil (genap) yang berdekatan suatu barisan sama dengan suku-suku yang berada di antara suku-suku tersebut, maka barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika. Dengan menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Selain itu, berdasarkan sifat perkembangan aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut

Hal ini mudah diverifikasi jika Anda menuliskan suku-sukunya di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam soal.

2) Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dihitung dengan menggunakan rumus

Ingat baik-baik rumus jumlah barisan aritmatika ini sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup sering ditemukan dalam situasi kehidupan sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu mencari jumlah keseluruhannya, tetapi sebagian dari barisan yang dimulai dari suku ke-k, maka Anda memerlukan rumus berikut jumlah

4) Yang menarik secara praktis adalah mencari jumlah n suku suatu barisan aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Hal ini materi teori berakhir dan kami melanjutkan untuk memecahkan masalah umum dalam praktik.

Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh barisan aritmatika 4;7;...

Larutan:

Sesuai dengan kondisi yang kita miliki

Mari kita tentukan langkah perkembangannya

Dengan menggunakan rumus yang terkenal, kita mencari suku keempat puluh dari perkembangan tersebut

Contoh 2. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh suku ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama barisan tersebut dan jumlah sepuluhnya.

Larutan:

Mari kita tuliskan unsur-unsur perkembangan tertentu menggunakan rumus

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangannya

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan mana pun untuk mencari suku pertama barisan aritmatika

Kami menghitung jumlah sepuluh suku pertama perkembangannya

Tanpa melamar perhitungan yang rumit Kami menemukan semua jumlah yang dibutuhkan.

Contoh 3. Suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan penyebut dan salah satu sukunya. Tentukan suku pertama suatu barisan, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah 100 suku pertama.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus unsur keseratus dari perkembangan tersebut

dan temukan yang pertama

Berdasarkan persamaan pertama, kita mencari suku ke-50 dari perkembangan tersebut

Menemukan jumlah bagian perkembangannya

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah perkembangannya adalah 250.

Contoh 4.

Tentukan banyaknya suku suatu barisan aritmatika jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Larutan:

Mari kita tulis persamaan suku pertama dan langkah perkembangannya dan tentukan

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus penjumlahan untuk menentukan jumlah suku dalam penjumlahan

Kami melakukan penyederhanaan

dan memutuskan persamaan kuadrat

Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi permasalahan. Jadi, jumlah delapan suku pertama barisan tersebut adalah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaannya

1+3+5+...+x=307.

Larutan: Persamaan ini adalah jumlah dari perkembangan aritmatika. Mari kita tuliskan suku pertamanya dan temukan perbedaan perkembangannya

Ya, ya: perkembangan aritmatika bukanlah mainan untuk Anda :)

Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum mengetahui apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SANGAT OO!) ingin mengetahuinya. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, tidak ada akar sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan tersebut disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menuliskan sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah terjadi kemajuan tanpa akhir. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Perkembangan aritmatika disebut:

meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;

menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner nomor yang identik: (1; 1; 1; 1; ...), dst.

Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang bisa kita lihat, dalam ketiga kasus tersebut, perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Syarat perkembangan dan rumus perulangan

Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan$\]

Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya di berbagai buku referensi dan buku soal. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; −2)

Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.

Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.

Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Sederhana namun sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat penyelesaian banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:

Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: sampai kapan (yaitu sampai apa bilangan asli$n$) ketentuan negatifnya dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi bilangan terbesar yang diizinkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .

Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana angka positif akan muncul dalam urutan kita:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti deret aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak setara di masa depan :)

Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama

Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus kekambuhan dan tuliskan untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi kenapa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar

Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu perkembangan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen sentral$x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: −3; 2.

Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses pemecahan masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah pada soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi merupakan perkembangan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan masalah terakhir, kami menemukan masalah lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga angka kedua berada di tengah aritmatika terlebih dahulu dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk "merancang" secara harfiah kemajuan yang diperlukan, berdasarkan kondisi permasalahan. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita perlu memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.

Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen

Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:

Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke sisi yang berlawanan(saling mendekat atau sebaliknya menjauh), lalu jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita memecahkan masalah dengan cara yang lebih mendasar level tinggi kesulitan daripada yang kami pertimbangkan di atas. Misalnya, ini:

Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi yang ada di dalam tangki: Saya keluarkan pengganda umum 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang dibutuhkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah nomor positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola yang bercabang ke atas:

jadwal fungsi kuadrat- parabola
Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menggunakan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk diperhatikan bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean angka aritmatika−66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan bantuannya, produk yang dibutuhkan diambil nilai terkecil(omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak wajib bagi kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: −36

Tugas No.9. Di antara angka-angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga angka sehingga bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, yang angka pertama dan terakhirnya sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah “tengah” barisan kita - jaraknya sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan kalau dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan berakhirnya perkembangan. Mari kita ingat mean aritmatika:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya

Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas No.10. Di antara angka-angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Terlebih lagi tugas yang sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan menurut skema yang sama seperti skema sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Totalnya, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah kata dengan perkembangan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa hal secara relatif tugas-tugas sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?

Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat melanjutkan dengan aman pelajaran berikutnya, dimana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Urutan bilangan. Perkembangan aritmatika"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga di toko online “Integral” untuk buku pelajaran kelas 9
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Jadi apa itu perkembangan aritmatika?

Urutan numerik di mana setiap anggota, mulai dari yang kedua, sama dengan jumlahnya bilangan sebelumnya dan bilangan tetap disebut barisan aritmatika.

Perkembangan aritmatika adalah perkembangan numerik yang didefinisikan secara berulang.

Mari kita tuliskan bentuk berulangnya: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, angka d – perbedaan perkembangan. a dan d adalah bilangan tertentu.

Contoh. 1,4,7,10,13,16... Perkembangan aritmatika dengan $a=1, d=3$.

Contoh. 3,0,-3,-6,-9... Perkembangan aritmatika dengan $a=3, d=-3$.

Contoh. 5,5,5,5,5... Perkembangan aritmatika dengan $a=5, d=0$.

Suatu barisan aritmatika mempunyai sifat monotonisitas: jika selisih barisan lebih besar dari nol maka barisan tersebut bertambah, jika selisih barisan tersebut kurang dari nol maka barisan tersebut menurun.

Jika suatu barisan aritmatika mempunyai jumlah anggota yang berhingga, maka barisan tersebut disebut barisan aritmatika yang berhingga.

Jika suatu barisan $a_(n)$ diberikan dan merupakan barisan aritmatika, maka biasanya dilambangkan dengan: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika

Perkembangan aritmatika juga dapat ditentukan dalam bentuk analitis. Mari kita lihat cara melakukannya:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Kita dengan mudah melihat polanya: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Rumus kita disebut rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Mari kita kembali ke contoh kita dan menuliskan rumus kita untuk setiap contoh.

Contoh. 1,4,7,10,13,16... Perkembangan aritmatika, dimana a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Contoh. 3,0,-3,-6,-9... Perkembangan aritmatika, dimana a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Contoh. Diketahui barisan aritmatika: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Diketahui $a_(1)=5$, $d=3$. Temukan $a_(23)$.
b) Diketahui $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Temukan n.
c) Diketahui $d=-1$, $a_(22)=15$. Temukan $a_(1)$.
d) Diketahui $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Temukan d.
Larutan.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Contoh. Jika suku kesembilan suatu barisan aritmatika dibagi dengan suku kedua, hasil bagi tetap 7, dan jika suku kesembilan dibagi dengan suku kelima, hasil bagi adalah 2, dan sisanya adalah 5. Tentukan suku ketiga puluh dari barisan tersebut.
Larutan.
Mari kita tuliskan secara berurutan rumus 2,5 dan 9 suku perkembangan kita.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Kita juga mengetahui dari kondisi:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Atau:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Mari kita buat sistem persamaan:
$\begin(kasus)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(kasus)$.
$\begin(kasus)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(kasus)$.
Setelah menyelesaikan sistem yang kita dapatkan: $d=6, a_(1)=1$.
Mari kita cari $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Jumlah perkembangan aritmatika yang terbatas

Mari kita memiliki perkembangan aritmatika yang terbatas. Timbul pertanyaan: apakah mungkin menghitung jumlah seluruh anggotanya?
Mari kita coba memahami masalah ini.
Misalkan diberikan perkembangan aritmatika berhingga: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Mari kita perkenalkan notasi untuk jumlah suku-sukunya: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Mari kita lihat contoh spesifik, berapa jumlahnya?

Mari kita diberikan barisan aritmatika 1,2,3,4,5...100.
Mari kita sajikan jumlah anggotanya seperti ini:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Tetapi rumus serupa berlaku untuk semua perkembangan aritmatika:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Mari kita tulis rumus kita dalam kasus umum: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, di mana $k<1$.
Mari kita turunkan rumus untuk menghitung jumlah suku suatu barisan aritmatika, tuliskan rumus tersebut dua kali dengan urutan berbeda:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Mari tambahkan rumus ini bersama-sama:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Ada n suku di sisi kanan persamaan kita, dan kita tahu bahwa masing-masing suku sama dengan $a_(1)+a_(n)$.
Kemudian:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Rumus kita juga dapat ditulis ulang dalam bentuk: karena $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
lalu $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Seringkali lebih mudah menggunakan rumus khusus ini, jadi ada baiknya untuk mengingatnya!

Contoh. Perkembangan aritmatika yang terbatas diberikan.
Menemukan:
a) $s_(22),jika a_(1)=7, d=2$.
b) d,jika $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Larutan.
a) Mari kita gunakan rumus penjumlahan kedua $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 =$616.
b) Dalam contoh ini, kita akan menggunakan rumus pertama: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Contoh. Temukan jumlah semua bilangan dua angka ganjil.
Larutan.
Ketentuan perkembangan kita adalah: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Mari kita cari bilangan suku terakhir dari perkembangan tersebut:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Sekarang mari kita cari jumlahnya: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Contoh. Orang-orang itu pergi mendaki. Diketahui bahwa pada satu jam pertama mereka berjalan sejauh 500 m, setelah itu mereka mulai berjalan kurang dari 25 meter dibandingkan pada jam pertama. Berapa jam yang diperlukan untuk menempuh jarak 2975 meter?
Larutan.
Jalur yang ditempuh dalam setiap jam dapat direpresentasikan sebagai barisan aritmatika:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Selisih barisan aritmatika adalah $d=-25$.
Jarak yang ditempuh dalam 2975 meter adalah jumlah suku-suku barisan aritmatika.
$S_(n)=2975$, di mana n adalah jam yang dihabiskan dalam perjalanan.
Kemudian:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=$5950.
Bagilah kedua ruasnya dengan 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Jelas, lebih logis untuk memilih $n=7$.
Menjawab. Orang-orang itu berada di jalan selama 7 jam.

Sifat ciri suatu barisan aritmatika

Teman-teman, berdasarkan perkembangan aritmatika, mari kita pertimbangkan tiga suku berurutan dari perkembangan tersebut: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Kita tahu bahwa:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Mari kita gabungkan ekspresi kita:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Jika perkembangannya terbatas, maka persamaan ini berlaku untuk semua suku kecuali suku pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu bentuk barisan tersebut, namun diketahui: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa ini adalah perkembangan aritmatika.

Barisan numerik adalah barisan aritmatika ketika setiap anggota barisan ini sama dengan rata-rata aritmatika dari dua anggota barisan yang bertetangga (jangan lupa bahwa untuk barisan berhingga kondisi ini tidak terpenuhi untuk anggota pertama dan terakhir barisan tersebut) .

Contoh. Temukan x sehingga $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – tiga suku berturut-turut dari suatu perkembangan aritmatika.
Larutan. Mari gunakan rumus kita:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Mari kita periksa, ekspresi kita akan berbentuk: -2,2; -2.4; -2.6.
Jelas sekali, ini adalah suku dari perkembangan aritmatika dan $d=-0,2$.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Tentukan suku kedua puluh satu barisan aritmatika 38;30;22…
2. Tentukan suku kelima belas barisan aritmatika 10,21,32...
3. Diketahui $a_(1)=7$, $d=8$. Temukan $a_(31)$.
4. Diketahui $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Temukan n.
5. Tentukan jumlah tujuh belas suku pertama barisan aritmatika 3;12;21….
6. Carilah x sehingga $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – tiga suku berturut-turut dari suatu perkembangan aritmatika.

KGB dan UFO - informasi yang dideklasifikasi dokumen rahasia KGB dan UFO

Persamaan garis dalam ruang adalah persamaan dua bidang yang berpotongan