1. Aksioma paralel. Melalui titik ini Anda dapat menggambar paling banyak satu garis lurus yang sejajar dengan garis tertentu.
2. Jika dua garis sejajar dengan garis yang sama, maka keduanya sejajar.
3. Dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar.
4. Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis ketiga, maka sudut-sudut dalam yang terbentuk adalah sama besar; sudut-sudut yang bersesuaian sama besar; sudut satu sisi internal berjumlah 180°.
5. Jika dua garis lurus memotong garis ketiga, terbentuk sudut-sudut bersilangan dalam yang sama besar, maka garis-garis lurus tersebut sejajar.
6. Jika dua garis lurus memotong garis ketiga, terbentuk sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka garis-garis lurus tersebut sejajar.
7. Jika dua garis lurus memotong garis ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 180°, maka garis lurus tersebut sejajar.
teorema Thales. Jika ruas-ruas yang sama besar diletakkan pada salah satu sisi suatu sudut dan ditarik garis-garis sejajar melalui ujung-ujungnya yang memotong sisi kedua sudut tersebut, maka ruas-ruas yang sama besar juga diletakkan pada sisi kedua sudut tersebut.
Teorema tentang segmen proporsional . Garis-garis sejajar yang memotong sisi-sisi suatu sudut memotong segmen-segmen yang sebanding.
Segi tiga. Tanda-tanda persamaan segitiga.
1. Jika dua sisi dan sudut antara kedua segitiga sama besar dengan dua sisi dan sudut antara segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
2. Jika salah satu sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga sama besar dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
3. Jika tiga sisi suatu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku
1. Di dua sisi.
2. Sepanjang kaki dan sisi miring.
3. Menurut sisi miring dan sudut lancip.
4. Sepanjang kaki dan sudut lancip.
Teorema jumlah sudut segitiga dan akibat-akibatnya
1. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180°.
2. Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.
3. Jumlah sudut dalam n-gon cembung adalah sama dengan
4. Jumlah sudut luar satu ha-gon adalah 360°.
5. Sudut satu sama lain sisi tegak lurus sama jika kedua-duanya lancip atau kedua-duanya tumpul.
6. Sudut antara garis bagi sudut-sudut yang berdekatan adalah 90°.
7. Garis bagi sudut satu sisi dalam dengan garis sejajar dan garis transversal tegak lurus.
Sifat-sifat dasar dan ciri-ciri segitiga sama kaki
1. Sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah sama besar.
2. Jika dua sudut suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.
3.B segitiga sama kaki median, garis bagi, dan tinggi yang ditarik ke alas adalah sama.
4. Jika ada pasangan segmen dari tripel yang berhimpitan dalam sebuah segitiga - median, garis bagi, ketinggian, maka segitiga tersebut adalah sama kaki.
Pertidaksamaan segitiga dan akibat-akibatnya
1. Jumlah dua sisi suatu segitiga lebih besar dari sisi ketiganya.
2. Jumlah link pada polyline lebih besar dari pada ruas yang menghubungkan bagian awal
tautan pertama dengan akhir tautan terakhir.
3. Melawan sudut yang lebih besar Sisi terpanjang suatu segitiga terletak.
4. Melawan sisi yang lebih besar suatu segitiga terletak sudut yang lebih besar.
5. Sisi Miring segitiga siku-siku lebih banyak kaki.
6. Jika garis tegak lurus dan miring ditarik dari satu titik ke garis lurus, maka
1) garis tegak lurus lebih pendek dari garis miring;
2) miring yang lebih besar berhubungan dengan proyeksi yang lebih besar dan sebaliknya.
garis tengah segi tiga.
Ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi suatu segitiga disebut garis tengah segitiga.
Teorema Garis Tengah Segitiga.
Garis tengah segitiga sejajar dengan sisi segitiga dan sama dengan setengahnya.
Teorema median segitiga
1. Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan membaginya dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudutnya.
2. Jika median suatu segitiga sama dengan setengah sisi yang ditariknya, maka segitiga tersebut siku-siku.
3. Median segitiga siku-siku yang diambil dari suatu titik sudut sudut kanan, sama dengan setengah sisi miring.
Sifat-sifat garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi suatu segitiga. Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik, yaitu pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga.
Teorema ketinggian segitiga. Garis-garis yang memuat ketinggian segitiga berpotongan di satu titik.
Teorema garis bagi segitiga. Garis-garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang merupakan pusat lingkaran pada segitiga tersebut.
Sifat garis bagi segitiga. Garis bagi suatu segitiga membagi sisi-sisinya menjadi segmen-segmen yang sebanding dengan kedua sisi lainnya.
Tanda-tanda kemiripan segitiga
1. Jika dua sudut suatu segitiga sama besar dengan dua sudut lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.
2. Jika dua sisi suatu segitiga masing-masing sebanding dengan dua sisi yang lain, dan sudut antara sisi-sisi tersebut sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.
3. Jika ketiga sisi suatu segitiga masing-masing sebanding dengan ketiga sisi segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.
Kotak segitiga sebangun
1. Perbandingan luas segitiga-segitiga sebangun sama dengan kuadrat koefisien kesebangunan.
2. Jika dua segitiga mempunyai sudut-sudut yang sama besar, maka luas kedua segitiga tersebut dihitung sebagai hasil kali sisi-sisi yang melingkari sudut-sudut tersebut.
Dalam segitiga siku-siku
1. Kaki segitiga siku-siku sama dengan produknya sisi miring dengan sinus yang berlawanan atau dengan kosinus sudut lancip yang berdekatan dengan kaki ini.
2. Kaki suatu segitiga siku-siku sama dengan kaki lainnya dikalikan dengan garis singgung segitiga di depannya atau dengan kotangen sudut lancip yang berdekatan dengan kaki tersebut.
3. Kaki segitiga siku-siku yang terletak berhadapan dengan sudut 30°, sama dengan setengah sisi miring.
4. Jika salah satu kaki suatu segitiga siku-siku sama dengan setengah sisi miringnya, maka sudut yang berhadapan dengan kaki tersebut adalah 30°.
5.R = ; r = , dengan a, b adalah kaki-kakinya, dan c adalah sisi miring segitiga siku-siku; r dan R berturut-turut adalah jari-jari lingkaran bertulis dan berbatas.
teorema dan teorema Pythagoras, kebalikan dari teorema Pythagoras
1. Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
2. Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka segitiga tersebut siku-siku.
Proporsional artinya dalam segitiga siku-siku.
Tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku adalah rata-rata sebanding dengan proyeksi kaki-kakinya ke sisi miring, dan setiap kaki adalah rata-rata sebanding dengan sisi miring dan proyeksinya ke sisi miring.
Rasio metrik dalam segitiga
1. Teorema kosinus. Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya tanpa dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara keduanya.
2. Akibat wajar dari teorema kosinus. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya.
3. Rumus median suatu segitiga. Jika m adalah median segitiga yang ditarik ke sisi c, maka m = 
, dimana a dan b adalah sisi-sisi segitiga yang tersisa.
4. Teorema sinus. Sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan.
5. Teorema umum sinus. Perbandingan sisi-sisi suatu segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga tersebut.
Rumus luas segitiga
1. Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali alas dan tinggi.
2. Luas suatu segitiga sama dengan setengah hasil kali kedua sisinya dan sinus sudut di antara keduanya.
3. Luas suatu segitiga sama dengan hasil kali setengah kelilingnya dan jari-jari lingkaran yang tertulis.
4. Luas segitiga tersebut adalah produk dari tiga sisi-sisinya dibagi empat kali jari-jari lingkaran luar.
5. Rumus Heron: S=, dimana p adalah setengah keliling; a, b, c - sisi-sisi segitiga.
Elemen segitiga sama sisi
. Misalkan h, S, r, R adalah tinggi, luas, jari-jari lingkaran bertulisan dan dibatasi suatu segitiga sama sisi dengan sisi a. Kemudian
Segiempat
Genjang. Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan.
Sifat-sifat dan tanda-tanda jajar genjang.
1. Diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga sama besar.
2. Sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang berpasangan sama besar.
3. Sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar berpasangan.
4. Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan dan dibagi dua oleh titik potong tersebut.
5. Jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat sama besar berpasangan, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.
6. Jika dua sisi yang berhadapan pada suatu segiempat sama panjang dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajar genjang.
7. Jika diagonal-diagonal suatu segiempat dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.
Sifat-sifat titik tengah sisi-sisi segi empat. Titik tengah sisi-sisi suatu segi empat adalah titik sudut jajar genjang yang luasnya sama dengan setengah luas segiempat tersebut.
Persegi panjang. Jajargenjang yang mempunyai sudut siku-siku disebut persegi panjang.
Sifat-sifat dan ciri-ciri persegi panjang.
1. Diagonal-diagonal persegi panjang adalah sama.
2. Jika diagonal-diagonal jajar genjang sama besar, maka jajar genjang tersebut adalah persegi panjang.
Persegi. Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.
Belah ketupat. Belah ketupat adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang.
Sifat dan tanda belah ketupat.
1. Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus.
2. Diagonal belah ketupat membagi sudutnya menjadi dua.
3. Jika diagonal-diagonal jajar genjang tegak lurus, maka jajar genjang tersebut adalah belah ketupat.
4. Jika diagonal-diagonal jajar genjang membagi dua sudutnya, maka jajar genjang tersebut adalah belah ketupat.
Trapesium. Trapesium adalah segi empat yang hanya dua sisi berhadapannya (alasnya) sejajar. Garis tengah trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi (sisi) yang tidak sejajar.
1. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengah jumlah trapesium tersebut.
2. Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium sama dengan setengah selisih alasnya.
Sifat luar biasa dari trapesium. Titik potong diagonal-diagonal trapesium, titik potong panjang sisi-sisinya, dan titik tengah alasnya terletak pada satu garis lurus.
Trapesium sama kaki. Trapesium disebut sama kaki jika sisi-sisinya sama panjang.
Sifat dan tanda trapesium sama kaki.
1. Sudut-sudut alas trapesium sama kaki adalah sama besar.
2. Diagonal-diagonal trapesium sama kaki adalah sama besar.
3. Jika sudut-sudut pada alas trapesium sama besar, maka trapesium tersebut sama kaki.
4. Jika diagonal-diagonal trapesium sama besar, maka trapesium tersebut sama kaki.
5. Proyeksi sisi lateral trapesium sama kaki pada alasnya sama dengan setengah selisih alasnya, dan proyeksi diagonalnya sama dengan setengah jumlah alasnya.
Rumus luas segiempat
1. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali alas dan tinggi.
2. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya.
3. Luas suatu persegi panjang sama dengan hasil kali dua sisi yang berdekatan.
4. Luas belah ketupat sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya.
5. Luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya.
6. Luas suatu segi empat sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya.
7. Rumus Heron untuk segiempat yang keliling lingkarannya dapat digambarkan:
S = , dimana a, b, c, d adalah sisi-sisi segiempat tersebut, p adalah setengah keliling, dan S adalah luasnya.
Angka serupa
1. Perbandingan unsur-unsur linier yang bersesuaian dari bangun-bangun yang sejenis sama dengan koefisien kemiripan.
2. Perbandingan luas bangun-bangun yang sebangun sama dengan kuadrat koefisien kemiripan.
Poligon beraturan.
Biarkan n menjadi sisinya n-gon biasa, dan rn dan R n adalah jari-jari lingkaran bertulisan dan dibatasi. Kemudian
Lingkaran.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang berjarak positif dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat lingkaran, dengan jarak positif yang sama.
Sifat dasar lingkaran
1. Sebuah diameter yang tegak lurus tali busur membagi tali busur dan busur-busur yang dilingkupinya menjadi dua.
2. Diameter yang melalui titik tengah tali busur yang bukan diameter tegak lurus terhadap tali busur tersebut.
3. Garis bagi yang tegak lurus tali busur melewati pusat lingkaran.
4. Akord yang sama menjauh dari pusat lingkaran jarak yang sama.
5. Tali busur lingkaran yang jaraknya dari pusat sama adalah sama.
6. Sebuah lingkaran adalah simetris terhadap salah satu diameternya.
7. Busur lingkaran yang terletak di antara tali busur sejajar adalah sama besar.
8. Dari dua tali busur, tali busur yang jaraknya lebih kecil dari pusatnya adalah tali busur yang lebih besar.
9. Diameter adalah tali busur terbesar pada suatu lingkaran.
Bersinggungan dengan lingkaran. Garis lurus yang mempunyai hubungan unik dengan lingkaran poin umum, disebut garis singgung lingkaran.
1. Garis singgungnya tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik kontak.
2. Jika garis lurus a yang melalui suatu titik pada lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik titik tersebut, maka garis lurus a menyinggung lingkaran tersebut.
3. Jika garis lurus yang melalui titik M menyentuh lingkaran di titik A dan B, maka MA = MB dan ﮮAMO = ﮮBMO, dimana titik O adalah pusat lingkaran.
4. Pusat lingkaran pada suatu sudut terletak pada garis bagi sudut tersebut.
Lingkaran singgung. Dua lingkaran dikatakan bersentuhan jika keduanya mempunyai satu titik persekutuan (titik singgung).
1. Titik singgung dua lingkaran terletak pada garis pusatnya.
2. Lingkaran berjari-jari r dan R dengan pusat O 1 dan O 2 bersentuhan secara eksternal jika dan hanya jika R + g = O 1 O 2.
3. Lingkaran berjari-jari r dan R (r
4. Lingkaran dengan pusat O 1 dan O 2 bersentuhan secara eksternal di titik K. Sebuah garis lurus tertentu menyentuh lingkaran tersebut di berbagai titik A dan B dan berpotongan dengan garis singgung persekutuan yang melalui titik K di titik C. Maka ﮮAK B = 90° dan ﮮO 1 CO 2 = 90°.
5. Ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran singgung yang berjari-jari r dan R sama dengan ruas garis singgung persekutuan dalam yang terletak di antara lingkaran luar persekutuan. Kedua segmen ini setara.
Sudut yang berhubungan dengan lingkaran
1. Besar kecilnya busur suatu lingkaran sama dengan besarnya sudut tengah, bersandar padanya.
2. Sudut tertulis sama dengan setengah nilai sudut busur tempat sudut itu bertumpu.
3. Sudut-sudut bertulisan yang membentuk busur yang sama adalah sama besar.
4. Sudut antar tali busur yang berpotongan sama dengan setengah jumlah tersebut busur berlawanan yang diukir oleh tali busur.
5. Sudut antara dua garis potong yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan selisih setengah busur yang dipotong oleh garis potong pada lingkaran.
6. Sudut antara garis singgung dan tali busur yang ditarik dari titik singgung sama dengan setengah nilai sudut busur yang dipotong pada lingkaran oleh tali busur tersebut.
Sifat-sifat akord lingkaran
1. Garis pusat dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus terhadap tali busur persekutuannya.
2. Hasil kali panjang ruas tali busur AB dan CD sebuah lingkaran yang berpotongan di titik E adalah sama, yaitu AE EB = CE ED.
Lingkaran bertulis dan berbatas
1. Pusat lingkaran bertulis dan berbatas segitiga beraturan sesuai.
2. Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga siku-siku adalah titik tengah sisi miring.
3. Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segi empat, maka jumlahnya sisi yang berlawanan adalah sama.
4. Jika suatu segiempat dapat ditulisi dalam lingkaran, maka jumlahnya sudut yang berlawanan sama dengan 180°.
5. Jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segi empat adalah 180°, maka dapat dibuat sebuah lingkaran di sekelilingnya.
6. Jika sebuah lingkaran dapat ditulisi pada trapesium, maka samping trapesium terlihat dari pusat lingkaran tegak lurus.
7. Jika sebuah lingkaran dapat dibuat pada trapesium, maka jari-jari lingkaran tersebut adalah rata-ratanya sebanding dengan segmen, di mana titik kontak membagi sisi.
8. Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam poligon, maka luasnya sama dengan hasil kali setengah keliling poligon dan jari-jari lingkaran tersebut.
Teorema tangen dan garis potong serta akibat wajarnya
1. Jika suatu garis singgung dan garis potong ditarik pada sebuah lingkaran dari satu titik, maka hasil kali seluruh garis potong dan bagian luarnya sama dengan kuadrat garis singgung tersebut.
2. Hasil kali seluruh garis potong dan bagian luarnya untuk suatu titik tertentu dan lingkaran tertentu adalah konstan.
Keliling lingkaran berjari-jari R sama dengan C= 2πR
BAB III.
LANGSUNG PARALEL
§ 35. TANDA DUA GARIS PARALEL.
Teorema dua garis tegak lurus pada satu garis sejajar (§ 33) memberikan tanda bahwa dua garis sejajar. Anda dapat menarik lebih banyak tanda-tanda umum paralelisme dua garis.
1. Tanda pertama paralelisme.
Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut-sudut dalam yang bersilangan sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.
Misalkan garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus EF dan / 1 = / 2. Ambil titik O - bagian tengah ruas KL dari garis potong EF (Gbr. 189).
Mari kita turunkan garis tegak lurus OM dari titik O ke garis lurus AB dan lanjutkan sampai berpotongan dengan garis lurus CD, AB_|_MN. Mari kita buktikan CD_|_MN itu.
Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua segitiga: MOE dan NOK. Segitiga-segitiga ini sama besar satu sama lain. Memang: /
1 = /
2 menurut ketentuan teorema; ОK = ОL - berdasarkan konstruksi;
/
MOL = /
Oke, seperti sudut vertikal. Jadi, sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga lainnya; karena itu, /\
MOL = /\
NOK, dan karenanya
/
LMO = /
TAHU, tapi /
LMO itu langsung yang artinya /
KNO juga lurus. Jadi garis AB dan CD tegak lurus terhadap garis MN yang sama, oleh karena itu sejajar (§ 33), itu yang perlu dibuktikan.
Catatan. Perpotongan garis lurus MO dan CD dapat ditentukan dengan memutar segitiga MOL mengelilingi titik O sebesar 180°.
2. Tanda paralelisme yang kedua.
Mari kita lihat apakah garis lurus AB dan CD sejajar jika, ketika keduanya memotong garis lurus ketiga EF, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Misalkan beberapa sudut yang bersesuaian sama besar /
3 = /
2 (gambar 190);
/
3 = /
1, karena sudutnya vertikal; Cara, /
2 akan sama /
1. Tetapi sudut 2 dan 1 merupakan sudut dalam yang berpotongan, dan kita telah mengetahui bahwa jika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut dalam yang berpotongan sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar. Oleh karena itu AB || CD.
Jika dua garis berpotongan dengan garis ketiga, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.
Konstruksi garis sejajar menggunakan penggaris dan gambar segitiga didasarkan pada sifat ini. Ini dilakukan sebagai berikut.
Mari kita tempelkan segitiga pada penggaris seperti yang ditunjukkan pada gambar 191. Kita akan memindahkan segitiga tersebut sehingga salah satu sisinya meluncur di sepanjang penggaris, dan menggambar beberapa garis lurus di sepanjang sisi segitiga yang lain. Garis-garis ini akan sejajar.
3. Tanda ketiga paralelisme.
Diketahui bahwa ketika dua garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 D(atau 180°). Akankah garis lurus AB dan CD sejajar dalam kasus ini (Gbr. 192).
Membiarkan /
1 dan /
2 adalah sudut satu sisi dalam dan dijumlahkan menjadi 2 D.
Tetapi /
3 + /
2 = 2D sebagai sudut yang berdekatan. Karena itu, /
1 + /
2 = /
3+ /
2.
Dari sini / 1 = / 3, dan sudut-sudut dalam ini terletak melintang. Oleh karena itu AB || CD.
Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, jumlah sudut satu sisi dalam adalah sama dengan 2 d, maka kedua garis tersebut sejajar.
Latihan.
Buktikan bahwa garis-garis tersebut sejajar:
a) jika sudut melintang luar sama besar (Gbr. 193);
b) jika jumlah sudut luar satu sisi sama dengan 2 D(gambar 194).
§ 1. Tanda kesejajaran dua garis - Geometri kelas 7 (Atanasyan L.S.)
Deskripsi Singkat:
Anda akan mempelajari apa itu garis sejajar di paragraf ini. Anda akan mendapatkan definisi yang sederhana, tetapi pada saat yang sama agak tidak biasa - dua garis pada bidang disebut paralel jika tidak berpotongan. Dengan kata lain, jika dua garis tidak berpotongan maka keduanya sejajar. Atau, jika garis-garis tersebut tidak mempunyai titik potong, maka garis-garis tersebut sejajar.
Keunikan definisi ini terletak pada kenyataan bahwa jika ada dua garis lurus di depan Anda dan Anda tidak melihat titik potongnya, bukan berarti garis tersebut tidak ada sama sekali. Ini berarti Anda mungkin tidak melihatnya.
Oleh karena itu, definisi ini tidak dapat digunakan secara langsung untuk membuktikan dua garis sejajar. Lagi pula, Anda tidak bisa terus-menerus mengikuti kelanjutan garis untuk memastikan garis tersebut tidak berpotongan.
Tapi ini tidak perlu. Ada tanda-tanda yang dapat digunakan untuk menilai paralelisme garis. Ada tiga di antaranya. Sesuai dengan masing-masingnya, sudut khusus atau kombinasinya dipertimbangkan, yang terbentuk ketika dua garis yang diteliti ini berpotongan dengan garis lurus ketiga - garis potong. Sudut-sudut ini digunakan untuk menilai paralelisme garis lurus.
Bukti dari tanda-tanda ini - teorema paralelisme garis - didasarkan pada teorema yang telah Anda pertimbangkan di Bab 1 buku teks - dua garis yang tegak lurus sepertiga tidak berpotongan. Hanya sekarang teorema ini terlihat berbeda - dua garis yang tegak lurus terhadap garis ketiga adalah sejajar.
Video pembelajaran “Tanda-tanda kesejajaran dua garis” berisi pembuktian teorema-teorema yang menguraikan tanda-tanda kesejajaran garis. Pada saat yang sama, video tersebut menjelaskan 1) teorema kesejajaran garis, di mana sudut-sudut yang sama besar diciptakan oleh sebuah garis transversal, 2) sebuah tanda yang berarti kesejajaran dua garis lurus - pada sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, 3) a tanda yang berarti kesejajaran dua garis jika kedua garis tersebut berpotongan dengan garis potong, sudut satu sisinya berjumlah 180°. Tujuan dari video pembelajaran ini adalah untuk membiasakan siswa dengan tanda-tanda kesejajaran dua garis, yang pengetahuannya diperlukan untuk menyelesaikan banyak masalah. masalah praktis, menyajikan secara visual pembuktian teorema tersebut, mengembangkan keterampilan dalam membuktikan pernyataan geometri.
Kelebihan dari video pembelajaran ini adalah dengan bantuan animasi, pengiring suara, dan kemampuan menyorot dengan warna, memberikan tingkat tinggi kejelasannya, dapat berfungsi sebagai pengganti pasokan blok standar yang baru materi pendidikan guru.
Video pembelajaran dimulai dengan judul yang ditampilkan di layar. Sebelum menjelaskan tanda-tanda garis sejajar, siswa diperkenalkan dengan konsep garis potong. Garis potong didefinisikan sebagai garis yang memotong garis lainnya. Layar memperlihatkan dua garis lurus a dan b yang berpotongan dengan garis lurus c. Garis c yang dibangun disorot dengan warna biru, menekankan fakta bahwa itu adalah garis potong dari garis a dan b. Untuk mengetahui tanda-tanda kesejajaran garis, perlu diketahui luas perpotongan garis. Garis potong pada titik potong dengan garis membentuk 8 sudut ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, dengan menganalisis hubungan-hubungan yang dapat diperoleh tanda-tandanya paralelisme garis-garis ini. Diketahui bahwa sudut ∠3 dan ∠5, serta ∠2 dan ∠4 disebut bersilangan. Diberikan penjelasan detail menggunakan animasi susunan sudut terletak melintang sebagai sudut yang terletak di antara garis lurus sejajar dan garis lurus yang terletak melintang. Kemudian diperkenalkan konsep sudut satu sisi, yang meliputi pasangan ∠4 dan ∠5, serta ∠3 dan ∠6. Pasangan sudut yang bersesuaian juga ditunjukkan, yang mana terdapat 4 pasang pada gambar yang dibuat - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
Bagian selanjutnya dari video pelajaran membahas tiga tanda paralelisme dari dua garis mana pun. Deskripsi pertama muncul di layar. Teorema tersebut menyatakan bahwa jika sudut-sudut melintang yang dibentuk oleh garis transversal sama besar, maka garis-garis yang diberikan akan sejajar. Pernyataan tersebut disertai dengan gambar yang menunjukkan dua garis lurus a dan b serta garis potong AB. Perhatikan bahwa sudut-sudut berbaring ∠1 dan ∠2 yang dibentuk melintang adalah sama besar. Pernyataan ini memerlukan bukti.
Paling mudah dibuktikan kasus spesial- bila sudut melintang yang diberikan adalah sudut siku-siku. Artinya garis potongnya tegak lurus terhadap garis, dan menurut teorema yang sudah dibuktikan, dalam hal ini garis a dan b tidak akan berpotongan, yaitu sejajar. Bukti untuk kasus khusus ini dijelaskan dengan menggunakan contoh gambar yang dibuat di sebelah gambar pertama, dengan highlight detail penting bukti melalui animasi.
Untuk membuktikannya secara umum, perlu ditarik garis tegak lurus tambahan dari titik tengah ruas AB ke garis lurus a. Selanjutnya ruas BH 1 diplot pada garis lurus b, sama dengan segmennya SEBUAH. Dari titik H 1 yang dihasilkan, ditarik segmen yang menghubungkan titik O dan H 1. Selanjutnya kita perhatikan dua segitiga ΔОНА dan ΔОВН 1, yang persamaannya dibuktikan dengan kriteria pertama persamaan dua segitiga. Sisi OA dan OB mempunyai konstruksi yang sama, karena titik O ditandai sebagai titik tengah ruas AB. Sisi HA dan H 1 B juga sama konstruksinya, karena kita meletakkan ruas H 1 B yang sama dengan HA. Dan sudutnya adalah ∠1=∠2 sesuai dengan kondisi soal. Karena segitiga-segitiga yang terbentuk sama besar, maka pasangan sudut dan sisi yang tersisa juga sama besar. Oleh karena itu, ruas OH 1 merupakan kelanjutan dari ruas OH yang merupakan satu ruas HH 1. Diketahui bahwa karena ruas OH yang dibangun tegak lurus terhadap garis lurus a, maka ruas HH 1 tegak lurus terhadap garis lurus a dan b. Fakta ini Artinya, dengan menggunakan teorema kesejajaran garis-garis yang dibangun salah satu garis tegak lurusnya, maka garis-garis a dan b yang diberikan sejajar.
Teorema selanjutnya yang perlu dibuktikan adalah tanda persamaan garis sejajar dengan persamaan sudut-sudut bersesuaian yang terbentuk pada perpotongan garis transversal. Pernyataan teorema ini ditampilkan di layar dan dapat diajukan oleh siswa untuk direkam. Pembuktiannya dimulai dengan konstruksi pada layar dua garis sejajar a dan b, dimana garis potong c dibuat. Disorot dengan warna biru pada gambar. Garis potong membentuk sudut-sudut yang bersesuaian ∠1 dan ∠2, yang dengan syarat sama besar satu sama lain. Juga dicatat sudut yang berdekatan∠3 dan ∠4. ∠2 terhadap sudut ∠3 adalah sudut vertikal. Dan sudut vertikal selalu sama besar. Selain itu, sudut ∠1 dan ∠3 saling bersilangan - persamaannya (menurut pernyataan yang telah dibuktikan) berarti garis a dan b sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.
Bagian terakhir dari video pembelajaran dikhususkan untuk membuktikan pernyataan bahwa jika jumlah sudut satu sisi yang terbentuk pada perpotongan dua garis dengan garis transversal sama dengan 180°, maka garis-garis tersebut sejajar satu sama lain. Pembuktiannya ditunjukkan dengan menggunakan gambar yang menunjukkan garis a dan b yang memotong garis potong c. Sudut-sudut yang dibentuk oleh perpotongan ditandai dengan cara yang sama seperti pembuktian sebelumnya. Syaratnya, jumlah sudut ∠1 dan ∠4 sama dengan 180°. Diketahui jumlah sudut ∠3 dan ∠4 sama dengan 180° karena keduanya berdekatan. Artinya sudut ∠1 dan ∠3 sama besar. Kesimpulan ini memberikan hak untuk menyatakan bahwa garis a dan b sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.
Video pembelajaran “Tanda-tanda kesejajaran dua garis” dapat digunakan oleh guru sebagai blok mandiri yang mendemonstrasikan pembuktian teorema tersebut, menggantikan penjelasan guru atau menyertainya. Penjelasan rinci memungkinkan penggunaan materi untuk Belajar sendiri siswa dan akan membantu dalam menjelaskan materi selama pembelajaran jarak jauh.
