Sudut antar garis dalam ruang kita akan memanggil salah satu dari sudut yang berdekatan, dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik titik sewenang-wenang sejajar dengan datanya.
Biarkan dua garis diberikan dalam ruang:
Jelasnya, sudut φ antara garis lurus dapat dianggap sebagai sudut antara vektor arahnya dan . Karena , maka dengan menggunakan rumus kosinus sudut antar vektor kita peroleh
Syarat kesejajaran dan tegak lurus dua garis lurus ekuivalen dengan syarat kesejajaran dan tegak lurus vektor arahnya dan:
Dua lurus paralel jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu. aku 1 paralel aku 2 jika dan hanya jika sejajar 
.
Dua lurus tegak lurus jika dan hanya jika jumlah produk dari koefisien-koefisien yang bersesuaian sama dengan nol: .
kamu tujuan antara garis dan bidang
Biarlah lurus D- tidak tegak lurus terhadap bidang θ;
D′− proyeksi suatu garis D ke bidang θ;
Sudut terkecil antara garis lurus D Dan D' kami akan menelepon sudut antara garis lurus dan bidang.
Mari kita nyatakan sebagai φ=( D,θ)
Jika D⊥θ, maka ( D,θ)=π/2
Oi→J→k→− sistem persegi panjang koordinat
Persamaan bidang:
θ: Kapak+Oleh+Cz+D=0
Kita asumsikan bahwa garis lurus ditentukan oleh sebuah titik dan vektor arah: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Kemudian tinggal mencari sudut antar vektor N→ dan P→, mari kita nyatakan sebagai γ=( N→,P→).
Jika sudut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Jika sudutnya γ>π/2, maka sudut yang diinginkan adalah φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=dosa(γ−2π)=−cosγ
Kemudian, sudut antara garis lurus dan bidang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Aplikasi 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23
Pertanyaan29. Konsep bentuk kuadrat. Tanda tangani kepastian bentuk kuadrat.
Bentuk kuadrat j (x 1, x 2, …, x n) n variabel real x 1, x 2, …, x n disebut penjumlahan dari bentuk tersebut 
, (1)
Di mana sebuah ij – beberapa angka yang disebut koefisien. Tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat berasumsi demikian sebuah ij = sebuah ji.
Bentuk kuadrat disebut sah, Jika sebuah ij
Î GR. Matriks bentuk kuadrat disebut matriks yang terdiri dari koefisien-koefisiennya. Bentuk kuadrat (1) sesuai dengan satu-satunya matriks simetris 
Itu adalah SEBUAH T = SEBUAH. Karena itu, bentuk kuadrat(1) dapat ditulis bentuk matriks J ( X) = x T Ah, Di mana x T = (X 1 X 2 … xn). (2)
Dan sebaliknya, setiap matriks simetris (2) mempunyai bentuk kuadrat unik hingga notasi variabel.
Peringkat bentuk kuadrat disebut pangkat matriksnya. Bentuk kuadrat disebut tidak merosot, jika matriksnya non-singular A. (ingat bahwa matriks A disebut non-degenerasi jika determinannya tidak sama dengan nol). Jika tidak, bentuk kuadratnya akan merosot.
pasti positif(atau sangat positif) jika
J ( X) > 0 , untuk siapa pun X = (X 1 , X 2 , …, xn), kecuali X = (0, 0, …, 0).
Matriks A bentuk kuadrat pasti positif j ( X) disebut juga pasti positif. Oleh karena itu, bentuk kuadrat pasti positif berhubungan dengan matriks pasti positif unik dan sebaliknya.
Bentuk kuadrat (1) disebut didefinisikan secara negatif(atau sangat negatif) jika
J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), kecuali X = (0, 0, …, 0).
Sama seperti di atas, matriks yang berbentuk kuadrat pasti negatif disebut juga pasti negatif.
Oleh karena itu, bentuk kuadrat pasti positif (negatif) j ( X) mencapai nilai minimum (maksimum) j ( X*) = 0 pada X* = (0, 0, …, 0).
Perhatikan itu kebanyakan bentuk kuadrat tidak pasti tandanya, artinya tidak positif maupun negatif. Bentuk kuadrat seperti itu berubah menjadi 0 tidak hanya di titik asal sistem koordinat, tetapi juga di titik lain.
Kapan N> 2, diperlukan kriteria khusus untuk memeriksa tanda suatu bentuk kuadrat. Mari kita lihat mereka.
Anak di bawah umur besar bentuk kuadrat disebut minor:
yaitu, ini adalah anak di bawah umur dari urutan 1, 2, ..., N matriks A, terletak di sebelah kiri sudut atas, yang terakhir bertepatan dengan determinan matriks A.
Kriteria Kepastian Positif (Kriteria Sylvester)
X) = x T Ah adalah pasti positif, maka perlu dan mencukupi semua minor mayor matriks A positif, yaitu: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M N > 0. Kriteria kepastian negatif Agar bentuk kuadrat j ( X) = x T Ah bersifat negatif pasti, maka minor utamanya yang berorde genap harus positif, dan minor utamanya yang berorde ganjil menjadi negatif, yaitu: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N
Oh-oh-oh-oh-oh... yah, sulit, seolah-olah dia sedang membacakan kalimat untuk dirinya sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu nanti, apalagi hari ini saya membeli aksesoris yang sesuai. Oleh karena itu mari kita lanjutkan ke bagian pertama, semoga di akhir artikel suasana hati saya tetap ceria.
Posisi relatif dua garis lurus
Hal ini terjadi ketika penonton ikut bernyanyi dalam paduan suara. Dua garis lurus bisa:
1) pertandingan;
2) sejajar: ;
3) atau berpotongan di satu titik: .
Bantuan untuk boneka : tolong ingat tanda matematika persimpangan, itu akan sangat sering terjadi. Notasi tersebut berarti garis tersebut berpotongan dengan garis di titik .
Bagaimana cara menentukan posisi relatif dua garis?
Mari kita mulai dengan kasus pertama:
Dua garis berhimpitan jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu ada bilangan “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut
Mari kita perhatikan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Oleh karena itu, dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa garis-garis ini bertepatan.
Memang, jika semua koefisien persamaan 
kalikan dengan –1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan 
dipotong 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .
Kasus kedua, ketika garis-garisnya sejajar:
Dua garis sejajar jika dan hanya jika koefisien variabelnya sebanding: 
, Tetapi.
Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel: 
Namun, hal itu cukup jelas.
Dan kasus ketiga, ketika garis-garis tersebut berpotongan:
Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut 
Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem: 
Dari persamaan pertama maka , dan dari persamaan kedua: , yang artinya sistemnya tidak konsisten (tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien variabelnya tidak proporsional.
Kesimpulan: garis berpotongan
DI DALAM masalah praktis ah, Anda bisa menggunakan skema solusi yang baru saja dibahas. Omong-omong, ini sangat mengingatkan pada algoritma untuk memeriksa kolinearitas vektor, yang kita lihat di kelas Konsep ketergantungan linier (dalam) vektor. Dasar vektor . Namun ada kemasan yang lebih beradab:
Contoh 1
Cari tahu posisi relatif garis: 
Larutan berdasarkan kajian vektor pengarah garis lurus:
a) Dari persamaan kita mencari vektor arah garis: 
.
, artinya vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.
Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:
Sisanya melompati batu dan mengikuti lebih jauh, langsung ke Kashchei the Immortal =)
b) Temukan vektor arah garis: 
Garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama, artinya garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Tidak perlu menghitung determinannya di sini.
Jelaslah bahwa koefisien untuk hal-hal yang tidak diketahui adalah proporsional, dan .
Mari kita cari tahu apakah persamaan tersebut benar: 
Dengan demikian,
c) Temukan vektor arah garis: 
Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor berikut: 
, oleh karena itu, vektor arahnya adalah segaris. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.
Koefisien proporsionalitas “lambda” mudah dilihat langsung dari perbandingan vektor-vektor arah collinear. Namun, hal ini juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: 
.
Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebasnya adalah nol, jadi:
Nilai yang dihasilkan memuaskan persamaan ini(nomor berapa pun umumnya memenuhinya).
Jadi, garis-garisnya bertepatan.
Menjawab:
Segera Anda akan belajar (atau bahkan sudah belajar) untuk memecahkan masalah yang dibahas secara lisan hanya dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan apa pun keputusan independen, lebih baik meletakkan batu bata penting lainnya di fondasi geometris:
Bagaimana cara membuat garis yang sejajar dengan garis tertentu?
Karena ketidaktahuan akan hal ini tugas paling sederhana Nightingale si Perampok menghukum dengan berat.
Contoh 2
Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui suatu titik.
Larutan: Mari kita nyatakan garis yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan kondisi tersebut tentang dirinya? Garis lurus melewati suatu titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas vektor arah garis lurus “tse” juga cocok untuk membuat garis lurus “de”.
Kita keluarkan vektor arah dari persamaan:
Menjawab:
Geometri contohnya terlihat sederhana: 
Pengujian analitik terdiri dari langkah selanjutnya:
1) Kita periksa apakah garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan baik, maka vektor-vektornya akan segaris).
2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan.
Dalam kebanyakan kasus, pengujian analitis dapat dengan mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah kedua persamaan tersebut, dan banyak dari Anda akan dengan cepat menentukan paralelisme garis tanpa menggambar apa pun.
Contoh solusi independen saat ini akan menjadi kreatif. Karena kamu masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, lho, pecinta segala macam teka-teki.
Contoh 3
Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut jika
Ada yang rasional dan ada yang tidak begitu rasional cara yang rasional solusi. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.
Kami bekerja sedikit dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis-garis yang berhimpitan tidak begitu menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sudah Anda kenal kurikulum sekolah:
Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?
Jika lurus 
berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear
Bagaimana cara mencari titik potong garis? Selesaikan sistem.
Ini dia makna geometris sistem dua persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui- ini adalah dua garis yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.
Contoh 4
Temukan titik potong garis
Larutan: Ada dua cara untuk menyelesaikannya - grafis dan analitis.
Metode grafis adalah dengan menggambar garis-garis tertentu dan mencari titik potong langsung dari gambar: 
Inilah poin kami: . Untuk memeriksanya, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, keduanya harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat suatu titik merupakan solusi sistem. Pada dasarnya, kami melihat solusi grafis sistem persamaan linear
dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.
Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Bukan, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti itu, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan AKURAT. Selain itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongannya mungkin terletak di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.
Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik persimpangan metode analitis. Mari kita selesaikan sistemnya: 
Untuk menyelesaikan sistem tersebut digunakan metode penjumlahan persamaan suku demi suku. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, ambillah pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?
Menjawab:
Pemeriksaannya sepele - koordinat titik potong harus memenuhi setiap persamaan sistem.
Contoh 5
Temukan titik potong garis-garis tersebut jika garis-garis tersebut berpotongan.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Akan lebih mudah untuk membagi tugas menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan perlunya:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan titik potongnya.
Pengembangan algoritma tindakan merupakan hal yang biasa bagi banyak orang masalah geometri, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.
Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran:
Bahkan sepasang sepatu pun tidak rusak sebelum kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran ini:
Garis tegak lurus. Jarak suatu titik ke suatu garis.
Sudut antar garis lurus
Mari kita mulai dengan yang khas dan sangat tugas penting. Pada bagian pertama, kita belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan garis ini, dan sekarang gubuk di atas kaki ayam akan berubah 90 derajat:
Bagaimana cara membuat garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu?
Contoh 6
Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan tegak lurus garis yang melalui titik tersebut.
Larutan: Dengan syarat diketahui bahwa . Akan menyenangkan untuk menemukan vektor pengarah garis. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:
Dari persamaan tersebut kita “menghilangkan” vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.
Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:
Menjawab: 
Mari kita perluas sketsa geometrisnya:
Hmmm... Langit oranye, laut oranye, unta oranye.
Verifikasi analitis dari solusi:
1) Kami mengambil vektor arah dari persamaan 
dan dengan bantuan produk skalar vektor
kita sampai pada kesimpulan bahwa garis-garis tersebut memang tegak lurus: .
Omong-omong, Anda bisa menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.
2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan 
.
Tes ini, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.
Contoh 7
Temukan titik potong garis tegak lurus jika persamaannya diketahui 
dan titik.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Ada beberapa tindakan dalam masalah ini, sehingga akan lebih mudah untuk merumuskan solusi poin demi poin.
Perjalanan menarik kami berlanjut:
Jarak dari titik ke garis
Kami memiliki aliran sungai yang lurus di depan kami dan tugas kami adalah mencapainya melalui jalur terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah bergerak secara tegak lurus. Artinya, jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas tegak lurus tersebut.
Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan surat Yunani“ro”, contoh: – jarak titik “em” ke garis lurus “de”.
Jarak dari titik ke garis 
dinyatakan dengan rumus
Contoh 8
Temukan jarak dari suatu titik ke garis 
Larutan: yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti angka-angka tersebut dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:
Menjawab: 
Mari kita membuat gambarnya: 
Jarak yang didapat dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda menggambar kertas kotak-kotak dalam skala 1 satuan. = 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.
Mari pertimbangkan tugas lain berdasarkan gambar yang sama:
Tugasnya adalah mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap garis lurus 
. Saya sarankan melakukan langkah-langkahnya sendiri, tetapi saya akan menguraikan algoritma solusinya hasil antara:
1) Carilah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.
2) Temukan titik potong garis: 
.
Kedua tindakan tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.
3) Titik adalah titik tengah ruas tersebut. Kita mengetahui koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus koordinat titik tengah suatu ruas kami menemukan.
Sebaiknya periksa apakah jaraknya juga 2,2 satuan.
Kesulitan mungkin timbul dalam perhitungan di sini, tetapi mikrokalkulator sangat membantu menara, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Saya telah menasihati Anda berkali-kali dan akan merekomendasikan Anda lagi.
Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?
Contoh 9
Temukan jarak antara dua garis sejajar
Ini adalah contoh lain untuk Anda putuskan sendiri. Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Pembekalan di akhir pelajaran, tapi lebih baik coba tebak sendiri, menurut saya kecerdikan Anda sudah berkembang dengan baik.
Sudut antara dua garis lurus
Setiap sudut adalah kusen: 
Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus dianggap sudut yang LEBIH KECIL, sehingga otomatis tidak mungkin tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut "raspberi".
Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut tersebut dapat diambil sebagai sudut di antara keduanya.
Bagaimana perbedaan sudutnya? Orientasi. Pertama, arah “gulir” sudut adalah hal yang sangat penting. Kedua, sudut yang berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya .
Mengapa aku memberitahumu hal ini? Tampaknya kita dapat bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah rumus yang digunakan untuk mencari sudut dapat dengan mudah memberikan hasil negatif, dan ini tidak akan mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus juga tidak lebih buruk, dan memiliki arti geometris yang sangat spesifik. Pada gambar, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan panah (searah jarum jam).
Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis lurus? Ada dua rumus kerja:
Contoh 10
Temukan sudut antar garis
Larutan Dan Metode satu
Misalkan dua garis lurus, diberikan oleh persamaan V pandangan umum:
Jika lurus tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 
Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya - inilah tepatnya produk skalar
mengarahkan vektor garis lurus:
Jika , maka penyebut rumusnya menjadi nol, vektor-vektornya ortogonal dan garis-garisnya tegak lurus. Oleh karena itu dibuat reservasi tentang garis lurus yang tidak tegak lurus dalam formulasinya.
Berdasarkan penjelasan di atas, akan lebih mudah untuk memformalkan solusi dalam dua langkah:
1) Mari kita hitung produk skalar mengarahkan vektor garis lurus:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.
2) Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:
Dengan menggunakan fungsi terbalik Sangat mudah untuk menemukan sudutnya sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan garis singgung busur (lihat. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar
):
Menjawab: 
Dalam jawabannya kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (sebaiknya dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.
Ya, minus, minus, bukan masalah besar. Berikut adalah ilustrasi geometris: 
Tidak mengherankan jika sudutnya ternyata berorientasi negatif, karena dalam rumusan masalah bilangan pertama adalah garis lurus dan “pelepasan” sudut dimulai tepat dari situ.
Jika memang ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garisnya, yaitu mengambil koefisien dari persamaan kedua 
, dan ambil koefisien dari persamaan pertama. Singkatnya, Anda harus memulai dengan langsung 
.
bahan ini dikhususkan untuk konsep seperti sudut antara dua garis yang berpotongan. Di paragraf pertama kami akan menjelaskan apa itu dan menunjukkannya dalam ilustrasi. Kemudian kita akan melihat bagaimana Anda dapat menemukan sinus, kosinus dari sudut ini dan sudut itu sendiri (kami akan mempertimbangkan secara terpisah kasus dengan bidang dan ruang tiga dimensi), kami sajikan formula yang diperlukan dan tunjukkan dengan contoh bagaimana penggunaannya dalam praktik.
Yandex.RTB RA-339285-1
Untuk memahami besarnya sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis, kita perlu mengingat pengertian sudut, tegak lurus, dan titik potong.
Definisi 1
Kita menyebut dua garis berpotongan jika keduanya mempunyai satu poin umum. Titik ini disebut titik potong dua garis.
Setiap garis lurus dibagi oleh titik potong menjadi sinar-sinar. Kedua garis lurus tersebut membentuk 4 sudut, dua diantaranya vertikal dan dua lagi berdekatan. Jika kita mengetahui ukuran salah satunya, maka kita dapat menentukan sisanya.
Katakanlah kita mengetahui bahwa salah satu sudutnya sama dengan α. Dalam hal ini, sudut vertikal terhadapnya juga akan sama dengan α. Untuk mencari sudut yang tersisa, kita perlu menghitung selisih 180° - . Jika α sama dengan 90 derajat, maka semua sudut siku-siku. Garis yang berpotongan tegak lurus disebut tegak lurus (artikel terpisah dikhususkan untuk konsep tegak lurus).
Lihatlah gambarnya:
Mari kita beralih ke merumuskan definisi utama.
Definisi 2
Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah besar sudut yang lebih kecil dari 4 sudut yang membentuk kedua garis tersebut.
Kesimpulan penting harus diambil dari definisi tersebut: besar sudut dalam hal ini akan dinyatakan dengan sembarang bilangan real dalam interval (0, 90]. Jika garis-garisnya tegak lurus, maka sudut di antara keduanya akan sama dengan 90 derajat.
Kemampuan mencari besar sudut antara dua garis yang berpotongan berguna untuk memecahkan banyak masalah praktis. Metode penyelesaiannya dapat dipilih dari beberapa pilihan.
Untuk memulainya, kita bisa mengambil metode geometris. Jika kita mengetahui sesuatu tentang sudut bersuplemen, maka kita dapat menghubungkannya dengan sudut yang kita perlukan menggunakan sifat-sifat bangun datar yang sama besar atau sebangun. Misalnya, jika kita mengetahui sisi-sisi suatu segitiga dan perlu menghitung sudut antara garis-garis di mana sisi-sisi tersebut berada, maka teorema kosinus cocok untuk menyelesaikannya. Jika kita mempunyai syaratnya segitiga siku-siku, maka untuk perhitungannya kita juga membutuhkan pengetahuan tentang sinus, cosinus dan tangen suatu sudut.
Metode koordinat juga sangat cocok untuk memecahkan masalah jenis ini. Mari kami jelaskan cara menggunakannya dengan benar.
Kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang (Kartesius) O x y, yang di dalamnya diberikan dua garis lurus. Mari kita nyatakan dengan huruf a dan b. Garis lurus dapat dijelaskan dengan menggunakan beberapa persamaan. Garis asal mempunyai titik potong M. Bagaimana cara menentukan sudut yang diperlukan (sebut saja α) antara garis lurus ini?
Mari kita mulai dengan merumuskan prinsip dasar mencari sudut dalam kondisi tertentu.
Kita mengetahui bahwa konsep garis lurus erat kaitannya dengan konsep vektor arah dan vektor normal. Jika kita mempunyai persamaan garis tertentu, kita dapat mengambil koordinat vektor-vektor tersebut dari persamaan tersebut. Kita bisa melakukan ini untuk dua garis yang berpotongan sekaligus.
Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan dapat dicari dengan menggunakan:
- sudut antar vektor arah;
- sudut antara vektor normal;
- sudut antara vektor normal suatu garis dan vektor arah garis lainnya.
Sekarang mari kita lihat setiap metode secara terpisah.
1. Misalkan kita mempunyai garis a dengan vektor arah a → = (ax, a y) dan garis b dengan vektor arah b → (b x, b y). Sekarang mari kita gambarkan dua vektor a → dan b → dari titik potong. Setelah ini kita akan melihat bahwa masing-masingnya akan ditempatkan pada garis lurusnya masing-masing. Lalu kami memiliki empat opsi untuk mereka posisi relatif. Lihat ilustrasi:
Jika sudut antara dua vektor tidak tumpul, maka itulah sudut yang kita perlukan antara perpotongan garis a dan b. Jika tumpul, maka sudut yang diinginkan sama dengan sudut yang berdekatan dengan sudut a →, b → ^. Jadi, α = a → , b → ^ jika a → , b → ^ ≤ 90 ° , dan α = 180 ° - a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .
Berdasarkan fakta bahwa cosinus sudut yang sama sama, kita dapat menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai berikut: cos α = cos a → , b → ^ , jika a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ > 90°.
Dalam kasus kedua, rumus reduksi digunakan. Dengan demikian,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Mari kita tulis rumus terakhir dengan kata-kata:
Definisi 3
Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah sama dengan modulus kosinus sudut antara vektor arahnya.
Bentuk umum rumus kosinus sudut antara dua vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) terlihat seperti ini:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dari situ kita dapat memperoleh rumus kosinus sudut antara dua garis lurus tertentu:
cos α = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Maka sudutnya sendiri dapat dicari dengan rumus berikut:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Di sini a → = (ax , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah dari garis-garis tertentu.
Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.
Contoh 1
Dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang, diberikan dua garis berpotongan a dan b. Mereka dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R dan x 5 = y - 6 - 3. Hitung sudut antara garis-garis ini.
Larutan
Kami memiliki kondisi kami persamaan parametrik, artinya untuk garis ini kita dapat langsung menuliskan koordinat vektor arahnya. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil nilai koefisien untuk parameternya, mis. garis lurus x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R mempunyai vektor arah a → = (4, 1).
Garis lurus kedua dijelaskan menggunakan persamaan kanonik x 5 = kamu - 6 - 3 . Di sini kita dapat mengambil koordinat dari penyebutnya. Jadi, garis ini mempunyai vektor arah b → = (5 , - 3) .
Selanjutnya kita langsung mencari sudutnya. Caranya, cukup substitusikan koordinat kedua vektor yang ada ke dalam rumus di atas α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Kami mendapatkan yang berikut:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Menjawab: Garis lurus ini membentuk sudut 45 derajat.
Kita bisa memutuskan tugas serupa dengan mencari sudut antara vektor-vektor normal. Jika kita mempunyai garis a dengan vektor normal n a → = (n a x , n a y) dan garis b dengan vektor normal n b → = (n b x , n b y), maka sudut antara keduanya sama dengan sudut antara n a → dan n b → atau sudut yang berdekatan dengan n a →, n b → ^. Cara ini ditunjukkan pada gambar:
Rumus untuk menghitung kosinus sudut antara garis berpotongan dan sudut itu sendiri menggunakan koordinat vektor normal adalah sebagai berikut:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Di sini n a → dan n b → menyatakan vektor normal dari dua garis tertentu.
Contoh 2
Dalam sistem koordinat persegi panjang, dua garis lurus ditentukan menggunakan persamaan 3 x + 5 y - 30 = 0 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sinus dan kosinus sudut di antara keduanya dan besar sudut itu sendiri.
Larutan
Garis asli ditentukan menggunakan persamaan biasa garis lurus berbentuk A x + B y + C = 0. Kami menyatakan vektor normal sebagai n → = (A, B). Mari kita cari koordinat vektor normal pertama untuk satu garis dan tuliskan: n a → = (3, 5) . Untuk baris kedua x + 4 y - 17 = 0, vektor normalnya mempunyai koordinat n b → = (1, 4). Sekarang mari tambahkan nilai yang diperoleh ke rumus dan hitung totalnya:
cos α = cos na → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Jika kita mengetahui cosinus suatu sudut, maka kita dapat menghitung sinusnya menggunakan dasar identitas trigonometri. Karena sudut α yang dibentuk oleh garis lurus tidak tumpul, maka sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Dalam hal ini, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Jawaban: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Mari kita analisis kasus terakhir - mencari sudut antara garis lurus jika kita mengetahui koordinat vektor arah suatu garis lurus dan vektor normal garis lainnya.
Misalkan garis lurus a mempunyai vektor arah a → = (ax , a y) , dan garis lurus b mempunyai vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Kita perlu mengesampingkan vektor-vektor ini dari titik perpotongannya dan mempertimbangkan semua opsi untuk posisi relatifnya. Lihat di gambar:
Jika sudut antara vektor-vektor tertentu tidak lebih dari 90 derajat, ternyata sudut antara a dan b akan membentuk sudut siku-siku.
a → , n b → ^ = 90 ° - α jika a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Jika kurang dari 90 derajat, maka diperoleh hasil sebagai berikut:
a → , n b → ^ > 90 ° , maka a → , n b → ^ = 90 ° + α
Dengan menggunakan aturan persamaan kosinus sudut yang sama, kita menulis:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α untuk a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α untuk a → , n b → ^ > 90 ° .
Dengan demikian,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Mari kita merumuskan kesimpulan.
Definisi 4
Untuk mencari sinus sudut antara dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, Anda perlu menghitung modulus kosinus sudut antara vektor arah garis pertama dan vektor normal garis kedua.
Mari kita tuliskan formula yang diperlukan. Mencari sinus suatu sudut:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Menemukan sudut itu sendiri:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Di sini a → adalah vektor arah garis pertama, dan n b → adalah vektor normal garis kedua.
Contoh 3
Dua garis berpotongan diberikan oleh persamaan x - 5 = y - 6 3 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sudut persimpangan.
Larutan
Kami mengambil koordinat panduan dan vektor normal dari persamaan yang diberikan. Ternyata a → = (- 5, 3) dan n → b = (1, 4). Kita ambil rumus α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dan hitung:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Harap dicatat bahwa kami mengambil persamaan dari soal sebelumnya dan memperoleh hasil yang persis sama, tetapi dengan cara yang berbeda.
Menjawab:α = a r c sin 7 2 34
Mari kita tunjukkan cara lain untuk mencari sudut yang diinginkan menggunakan koefisien sudut garis lurus tertentu.
Kita mempunyai garis a, yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang menggunakan persamaan y = k 1 x + b 1, dan garis b, yang didefinisikan sebagai y = k 2 x + b 2. Ini adalah persamaan garis dengan kemiringan. Untuk mencari sudut potong, kita menggunakan rumus:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dimana k 1 dan k 2 adalah koefisien sudut diberi garis lurus. Untuk memperoleh notasi tersebut digunakan rumus penentuan sudut melalui koordinat vektor normal.
Contoh 4
Ada dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, diberikan oleh persamaan y = - 3 5 x + 6 dan y = - 1 4 x + 17 4. Hitung nilai sudut potongnya.
Larutan
Koefisien sudut garis kita sama dengan k 1 = - 3 5 dan k 2 = - 1 4. Mari kita tambahkan ke rumus α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 dan hitung:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Menjawab:α = a r c cos 23 2 34
Dalam kesimpulan paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa rumus mencari sudut yang diberikan di sini tidak harus dihafal. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui koordinat pemandu dan/atau vektor normal garis tertentu dan dapat menentukannya dengan jenis yang berbeda persamaan. Namun ada baiknya mengingat atau menuliskan rumus menghitung kosinus suatu sudut.
Cara menghitung sudut antar garis yang berpotongan dalam ruang
Perhitungan sudut tersebut dapat direduksi menjadi menghitung koordinat vektor-vektor arah dan menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Untuk contoh seperti itu, alasan yang sama yang kami berikan sebelumnya digunakan.
Misalkan kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang yang terletak di ruang tiga dimensi. Ini berisi dua garis lurus a dan b dengan titik potong M. Untuk menghitung koordinat vektor arah, kita perlu mengetahui persamaan garis-garis tersebut. Mari kita nyatakan vektor arah a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Untuk menghitung kosinus sudut di antara keduanya, kita menggunakan rumus:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Untuk mencari sudutnya sendiri, kita membutuhkan rumus berikut:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Contoh 5
Kita mempunyai garis yang didefinisikan dalam ruang tiga dimensi menggunakan persamaan x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Diketahui berpotongan dengan sumbu O z. Hitung sudut potong dan kosinus sudut tersebut.
Larutan
Mari kita nyatakan sudut yang perlu dihitung dengan huruf α. Mari kita tuliskan koordinat vektor arah garis lurus pertama – a → = (1, - 3, - 2) . Untuk aplikasi axis bisa kita ambil koordinat vektor k → = (0, 0, 1) sebagai panduan. Kami telah menerima data yang diperlukan dan dapat menambahkannya ke rumus yang diinginkan:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Hasilnya, kami menemukan bahwa sudut yang kami butuhkan sama dengan a r c cos 1 2 = 45 °.
Menjawab: karena α = 1 2 , α = 45° .
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
