Berbeda dengan mean aritmatika, mean geometrik memungkinkan Anda memperkirakan derajat perubahan suatu variabel dari waktu ke waktu. Rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil kali n nilai (di Excel, fungsi =SRGEOM digunakan):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Parameter serupa adalah rata-rata makna geometris tingkat pengembalian - ditentukan oleh rumus:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,
di mana R i adalah tingkat keuntungan periode ke-i waktu.
Misalnya, investasi awal adalah $100,000. Pada akhir tahun pertama, investasi tersebut turun menjadi $50,000, dan pada akhir tahun kedua, investasi tersebut pulih ke tingkat awal $100,000 -periode tahun sama dengan 0, karena jumlah dana awal dan akhir sama satu sama lain. Namun rata-rata aritmatika tingkat pengembalian tahunan adalah = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 atau 25%, karena tingkat pengembalian pada tahun pertama R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0.5 , dan pada detik R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Sedangkan nilai rata-rata geometrik tingkat keuntungan selama dua tahun adalah: G = [(1-0.5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Jadi, rata-rata geometrik lebih akurat mencerminkan perubahan (lebih tepatnya, tidak adanya perubahan) volume investasi selama periode dua tahun dibandingkan mean aritmatika.
Fakta Menarik. Pertama, rata-rata geometrik akan selalu lebih kecil dari rata-rata aritmatika dari bilangan-bilangan yang sama. Kecuali jika semua bilangan yang diambil sama satu sama lain. Kedua, setelah mempertimbangkan propertinya segitiga siku-siku, kita dapat memahami mengapa mean disebut geometris. Tinggi suatu segitiga siku-siku, diturunkan ke sisi miring, adalah perbandingan rata-rata antara proyeksi kaki-kaki ke sisi miring, dan masing-masing kaki adalah perbandingan rata-rata antara sisi miring dan proyeksinya ke sisi miring. Ini memberi metode geometris membangun rata-rata geometrik dari dua (panjang) segmen: Anda perlu membuat lingkaran menggunakan jumlah kedua segmen ini sebagai diameter, maka tinggi yang dikembalikan dari titik sambungannya hingga perpotongan dengan lingkaran akan memberikan nilai yang diperlukan:
Beras. 4.
Kedua properti penting data numerik - variasinya, yang mencirikan tingkat penyebaran data. Dua sampel yang berbeda mungkin berbeda dalam hal mean dan varians.
Ada lima perkiraan variasi data:
jarak interkuartil,
penyebaran,
deviasi standar,
koefisien variasi.
Rentang adalah selisih antara elemen terbesar dan terkecil dalam sampel:
Rentang = X Maks - X Min
Kisaran sampel yang berisi data rata-rata return tahunan 15 reksa dana dengan sangat level tinggi risiko dapat dihitung menggunakan array terurut: Range = 18.5 - (-6.1) = 24.6. Artinya, selisih rata-rata imbal hasil tahunan tertinggi dan terendah dari dana berisiko sangat tinggi adalah sebesar 24,6%.
Rentang mengukur penyebaran data secara keseluruhan. Meskipun rentang sampel merupakan perkiraan yang sangat sederhana mengenai penyebaran data secara keseluruhan, kelemahannya adalah rentang sampel tidak memperhitungkan secara tepat bagaimana data didistribusikan antara elemen minimum dan maksimum. Skala B menunjukkan bahwa jika suatu sampel mengandung setidaknya satu nilai ekstrem, rentang sampel merupakan perkiraan penyebaran data yang sangat tidak tepat.
Nilai rata-rata berperan dalam statistik peran penting, Karena mereka memungkinkan kita memperoleh karakteristik umum dari fenomena yang sedang dianalisis. Tentu saja, rata-rata yang paling umum adalah . Ini terjadi ketika indikator agregasi dibentuk menggunakan jumlah elemen. Misalnya, massa beberapa buah apel, total pendapatan penjualan setiap hari, dll. Namun hal ini tidak selalu terjadi. Terkadang indikator agregat terbentuk bukan sebagai hasil penjumlahan, tetapi sebagai hasil operasi matematika lainnya.
Mari kita pertimbangkan contoh selanjutnya. Inflasi bulanan adalah perubahan tingkat harga suatu bulan dibandingkan bulan sebelumnya. Jika tingkat inflasi setiap bulan diketahui, bagaimana cara memperoleh nilai tahunannya? Dari sudut pandang statistik, ini adalah indeks rantai, jadi jawaban yang benar adalah: dengan mengalikan tingkat inflasi bulanan. Itu adalah indikator umum inflasi bukanlah suatu jumlah, tetapi suatu produk. Sekarang bagaimana cara mengetahui rata-rata inflasi sebulan jika ada nilai tahunannya? Tidak, bukan membaginya dengan 12, tetapi mengambil akar ke-12 (derajatnya tergantung pada jumlah faktor). Secara umum, mean geometrik dihitung dengan menggunakan rumus:
Artinya, merupakan akar hasil perkalian data asli, yang derajatnya ditentukan oleh banyaknya faktor. Misalnya, mean geometrik dua bilangan adalah Akar pangkat dua dari pekerjaan mereka
dari tiga angka - akar pangkat tiga dari pekerjaan
dll.
Jika setiap bilangan asli diganti dengan mean geometriknya, maka hasil perkaliannya akan memberikan hasil yang sama.
Untuk lebih memahami apa itu mean geometrik dan perbedaannya dengan mean aritmatika, perhatikan gambar berikut. Ada segitiga siku-siku yang tertulis di dalam lingkaran.
Dari sudut kanan median dihilangkan A(ke tengah sisi miring). Ketinggiannya juga diturunkan dari sudut kanan B, itulah intinya P membagi sisi miring menjadi dua bagian M Dan N. Karena Sisi miring adalah diameter lingkaran yang dibatasi, dan median adalah jari-jarinya, maka jelaslah panjang median tersebut A adalah rata-rata aritmatika dari M Dan N.
Mari kita hitung berapa tingginya B. Karena kemiripan segitiga ABP Dan BCP kesetaraan adalah benar
Artinya, tinggi segitiga siku-siku adalah rata-rata geometrik dari segmen-segmen yang membagi sisi miringnya. Perbedaan yang sangat jelas.
Di M.S. Rata-rata Excel yang geometris dapat ditemukan menggunakan fungsi SRGEOM.
Semuanya sangat sederhana: panggil fungsinya, tentukan rentangnya dan selesai.
Dalam praktiknya, indikator ini tidak digunakan sesering rata-rata aritmatika, namun tetap saja muncul. Misalnya ada ini indeks pembangunan manusia, yang digunakan untuk membandingkan standar hidup di negara lain. Ini dihitung sebagai rata-rata geometrik dari beberapa indeks.
Ada rata-rata lainnya. Tentang mereka lain kali.
Topik mean aritmatika dan mean geometrik dimasukkan dalam program matematika untuk kelas 6-7. Karena paragrafnya cukup mudah dipahami, maka paragrafnya cepat selesai dan selesai tahun ajaran anak sekolah melupakannya. Namun pengetahuan tentang statistika dasar diperlukan untuk itu lulus Ujian Negara Bersatu, dan juga untuk ujian internasional DUDUK. Ya dan untuk Kehidupan sehari-hari dikembangkan berpikir analitis tidak pernah sakit.
Cara menghitung mean aritmatika dan mean geometrik suatu bilangan
Katakanlah ada serangkaian angka: 11, 4, dan 3. Rata-rata aritmatika adalah jumlah semua angka dibagi dengan banyaknya angka yang diberikan. Artinya, jika ada angka 11, 4, 3, jawabannya adalah 6. Bagaimana cara mendapatkan 6?
Penyelesaian: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Penyebutnya harus memuat bilangan yang sama dengan banyaknya bilangan yang perlu dicari rata-ratanya. Jumlahnya habis dibagi 3, karena ada tiga suku.
Sekarang kita perlu mencari mean geometriknya. Katakanlah ada rangkaian angka: 4, 2 dan 8.
Rata-rata geometri suatu bilangan adalah hasil kali semua bilangan tertentu, yang terletak di bawah akar dengan pangkat yang sama dengan banyaknya bilangan yang diberikan. Artinya, untuk bilangan 4, 2 dan 8, jawabannya adalah 4. Begini caranya ternyata:
Penyelesaian: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Di kedua opsi, kami mendapat jawaban utuh, karena nomor khusus diambil sebagai contoh. Hal ini tidak selalu terjadi. Dalam kebanyakan kasus, jawabannya harus dibulatkan atau dibiarkan pada akarnya. Misalnya, untuk bilangan 11, 7, dan 20, mean aritmatikanya adalah ≈ 12,67, dan mean geometriknya adalah ∛1540. Dan untuk angka 6 dan 5 jawabannya masing-masing adalah 5,5 dan √30.
Mungkinkah rata-rata aritmetika menjadi sama dengan rata-rata geometrik?
Tentu saja bisa. Namun hanya dalam dua kasus. Jika ada rangkaian angka yang hanya terdiri dari satu atau nol. Patut dicatat juga bahwa jawabannya tidak bergantung pada jumlah mereka.
Buktikan dengan satuan: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (rata-rata aritmatika).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(rata-rata geometri).
Bukti dengan nol: (0 + 0) / 2=0 (rata-rata aritmatika).
√(0 × 0) = 0 (rata-rata geometri).
Tidak ada pilihan lain dan tidak mungkin ada.
Itu tersesat dalam menghitung rata-rata.
Rata-rata arti himpunan bilangan sama dengan jumlah bilangan S dibagi banyaknya bilangan tersebut. Artinya, ternyata begitu rata-rata arti sama dengan: 19/4 = 4,75.
catatan
Jika Anda hanya perlu mencari rata-rata geometrik untuk dua angka, maka Anda tidak memerlukan kalkulator teknik: Anda dapat mengekstrak akar kedua (akar kuadrat) dari angka apa pun menggunakan kalkulator paling biasa.
Berbeda dengan mean aritmatika, mean geometrik tidak terlalu dipengaruhi oleh deviasi dan fluktuasi yang besar antar nilai individu dalam kumpulan indikator yang diteliti.
Sumber:
- Kalkulator online yang menghitung mean geometrik
- rata-rata rumus geometris
Rata-rata nilai merupakan salah satu ciri dari himpunan bilangan. Mewakili suatu bilangan yang tidak boleh berada di luar rentang yang ditentukan oleh bilangan terbesar dan nilai terendah dalam kumpulan angka ini. Rata-rata nilai aritmatika adalah jenis rata-rata yang paling umum digunakan.
instruksi
Jumlahkan semua bilangan dalam himpunan dan bagi dengan banyaknya suku untuk mendapatkan mean aritmatika. Bergantung pada kondisi penghitungan tertentu, terkadang lebih mudah untuk membagi setiap angka dengan jumlah nilai dalam kumpulan dan menjumlahkan hasilnya.
Gunakan, misalnya, yang disertakan dalam OS Windows jika tidak mungkin menghitung rata-rata aritmatika di kepala Anda. Anda dapat membukanya menggunakan dialog peluncuran program. Untuk melakukan ini, tekan tombol pintas WIN + R atau klik tombol Start dan pilih Run dari menu utama. Kemudian ketik calc di kolom input dan tekan Enter atau klik tombol OK. Hal yang sama dapat dilakukan melalui menu utama - buka, buka bagian "Semua program" dan di bagian "Standar" dan pilih baris "Kalkulator".
Masukkan semua angka dalam kumpulan secara berurutan dengan menekan tombol Plus setelah masing-masing angka (kecuali yang terakhir) atau mengklik tombol yang sesuai di antarmuka kalkulator. Anda juga dapat memasukkan angka baik dari keyboard atau dengan mengklik tombol antarmuka yang sesuai.
Tekan tombol garis miring atau klik ini di antarmuka kalkulator setelah masuk nilai terakhir mengatur dan mencetak jumlah angka dalam urutan. Kemudian tekan tanda sama dengan dan kalkulator akan menghitung dan menampilkan mean aritmatika.
Dapat digunakan untuk tujuan yang sama editor spreadsheet Microsoft Excel. Dalam hal ini, luncurkan editor dan masukkan semua nilai urutan angka ke dalam sel yang berdekatan. Jika, setelah memasukkan setiap angka, Anda menekan Enter atau tombol panah bawah atau kanan, editor akan secara otomatis memindahkan fokus input ke sel yang berdekatan.
Klik sel di sebelah angka terakhir yang dimasukkan jika Anda tidak ingin hanya melihat rata-ratanya saja. Perluas menu drop-down sigma Yunani (Σ) untuk perintah Edit pada tab Beranda. Pilih baris " Rata-rata" dan editor akan menyisipkannya rumus yang diperlukan untuk menghitung rata-rata nilai aritmatika ke dalam sel yang dipilih. Tekan tombol Enter dan nilainya akan dihitung.
Rata-rata aritmatika adalah salah satu ukuran tendensi sentral, yang banyak digunakan dalam matematika dan perhitungan statistik. Menemukan rata-rata aritmatika untuk beberapa nilai sangatlah sederhana, namun setiap tugas memiliki nuansa tersendiri, yang hanya perlu diketahui agar dapat melakukan perhitungan yang benar.
Apa yang dimaksud dengan mean aritmatika
Rata-rata aritmatika menentukan nilai rata-rata untuk seluruh susunan bilangan asli. Dengan kata lain, dari sekumpulan angka tertentu, dipilih nilai yang sama untuk semua elemen, perbandingan matematis yang dengan semua elemen memakai kira-kira karakter yang setara. Rata-rata aritmatika digunakan terutama dalam penyusunan laporan keuangan dan statistik atau untuk menghitung hasil eksperimen serupa.Cara mencari mean aritmatika
Cari rata-ratanya bilangan aritmatika untuk array angka, Anda harus mulai dengan menentukan jumlah aljabar dari nilai-nilai ini. Misalnya, jika suatu array berisi angka 23, 43, 10, 74 dan 34, maka jumlah aljabarnya akan sama dengan 184. Saat menulis, mean aritmatika dilambangkan dengan huruf μ (mu) atau x (x dengan a batang). Lebih jauh jumlah aljabar harus dibagi dengan jumlah angka dalam array. Pada contoh yang dibahas ada lima bilangan, sehingga mean aritmatikanya adalah 184/5 dan menjadi 36,8.Fitur bekerja dengan angka negatif
Jika array berisi angka negatif, maka mean aritmatika ditemukan menggunakan algoritma serupa. Perbedaannya hanya ada ketika menghitung di lingkungan pemrograman, atau jika masalahnya memiliki kondisi tambahan. Dalam kasus ini, mencari mean aritmatika dari bilangan dengan tanda-tanda yang berbeda turun ke tiga langkah:1. Mencari rata-rata aritmatika umum dengan menggunakan metode standar;
2. Mencari mean aritmatika dari bilangan negatif.
3. Perhitungan mean aritmatika bilangan positif.
Jawaban setiap tindakan ditulis dipisahkan dengan koma.
Pecahan natural dan desimal
Jika serangkaian angka disajikan desimal, penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan metode penghitungan mean aritmatika bilangan bulat, tetapi hasilnya dikurangi sesuai dengan persyaratan soal untuk keakuratan jawaban.Saat bekerja dengan pecahan alami mereka harus dibawa ke faktor persekutuan, yang dikalikan dengan jumlah angka dalam array. Pembilang jawabannya adalah jumlah pembilang unsur pecahan aslinya.
- Kalkulator teknik.
instruksi
Perlu diingat bahwa secara umum rata-rata angka geometris ditemukan dengan mengalikan angka-angka ini dan mengambil akar pangkat yang sesuai dengan jumlah angka tersebut. Misalnya, jika Anda perlu mencari rata-rata geometri lima bilangan, Anda perlu mengekstrak akar pangkat dari hasil perkaliannya.
Untuk mencari rata-rata geometri dua bilangan, gunakan aturan dasar. Temukan hasil perkaliannya, lalu ambil akar kuadratnya, karena bilangan tersebut adalah dua, yang merupakan pangkat dari akarnya. Misalnya, untuk mencari rata-rata geometri bilangan 16 dan 4, carilah hasil kali keduanya 16 4=64. Dari angka yang dihasilkan, ekstrak akar kuadrat √64=8. Ini akan menjadi nilai yang diinginkan. Harap dicatat bahwa rata-rata aritmatika kedua angka ini lebih besar dari dan sama dengan 10. Jika seluruh akar tidak diekstraksi, bulatkan hasilnya menjadi pesanan yang diperlukan.
Untuk mencari rata-rata geometri lebih dari dua bilangan, gunakan juga aturan dasar. Untuk melakukan ini, temukan produk dari semua bilangan yang ingin Anda cari rata-rata geometrinya. Dari hasil perkalian, ekstrak akar pangkat yang sama dengan banyaknya bilangan. Misalnya, untuk mencari rata-rata geometri bilangan 2, 4, dan 64, carilah hasil kali keduanya. 2 4 64=512. Karena Anda perlu mencari hasil rata-rata geometrik tiga bilangan, ambil akar ketiga dari hasil kali tersebut. Sulit untuk melakukan ini secara lisan, jadi gunakanlah kalkulator teknik. Untuk tujuan ini ia memiliki tombol "x^y". Tekan nomor 512, tekan tombol "x^y", lalu tekan nomor 3 dan tekan tombol "1/x", untuk mencari nilai 1/3 tekan tombol "=". Kami mendapatkan hasil menaikkan 512 ke pangkat 1/3, yang sesuai dengan akar ketiga. Dapatkan 512^1/3=8. Ini adalah rata-rata geometrik dari angka 2,4 dan 64.
Dengan menggunakan kalkulator teknik Anda dapat mencari mean geometrik dengan cara lain. Temukan tombol log di keyboard Anda. Setelah itu, ambil logaritma masing-masing bilangan, cari jumlahnya dan bagi dengan banyaknya bilangan tersebut. Ambil antilogaritma dari bilangan yang dihasilkan. Ini akan menjadi rata-rata geometrik dari angka-angka tersebut. Misalnya, untuk mencari rata-rata geometri dari bilangan yang sama 2, 4 dan 64, lakukan serangkaian operasi pada kalkulator. Tekan nomor 2, lalu tekan tombol log, tekan tombol "+", tekan nomor 4 dan tekan log dan "+" lagi, tekan 64, tekan log dan "=. Hasilnya adalah angkanya sama dengan jumlahnya logaritma desimal angka 2, 4 dan 64. Bagilah angka yang dihasilkan dengan 3, karena ini adalah banyaknya angka yang dicari rata-rata geometrinya. Dari hasilnya, ambil antilogaritma dengan mengganti tombol case dan menggunakan kunci log yang sama. Hasilnya adalah angka 8, ini adalah mean geometrik yang diinginkan.
Rata-rata geometrik diterapkan dalam kasus di mana nilai-nilai individu karakteristik mewakili nilai relatif dinamika yang dibangun dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio terhadap level sebelumnya dari setiap level dalam rangkaian dinamika, yaitu mencirikan koefisien pertumbuhan rata-rata.
Modus dan median sering kali dihitung dalam soal statistik dan saling melengkapi karakteristik rata-rata agregat dan digunakan dalam statistik matematika untuk menganalisis jenis deret distribusi, bisa normal, asimetris, simetris, dll.
Sama seperti median, nilai suatu karakteristik yang membagi populasi menjadi empat bagian yang sama dihitung - kuartel, menjadi lima bagian - kuintel, pukul sepuluh bagian yang sama - menurun, menjadi seratus bagian yang sama - persen. Gunakan dalam analisis seri variasi distribusi karakteristik yang dipertimbangkan dalam statistik memungkinkan kita untuk mengkarakterisasi populasi yang diteliti secara lebih mendalam dan rinci.
