Gambar tersebut menunjukkan grafik 8 4. Turunan suatu fungsi. Arti geometris dari turunan. Perhitungan nilai turunannya. Metode dua titik

Garis lurus y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Larutan

Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang dilalui garis singgung grafik tersebut.

Nilai turunan di titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgungnya, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung tersebut secara bersamaan berada pada kedua grafik tersebut. fungsi dan garis singgungnya, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \mulai(kasus) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) (yaitu garis putus-putus yang terdiri dari tiga ruas lurus). Dengan menggunakan gambar tersebut, hitunglah F(9)-F(5), dengan F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x).

Larutan

Menurut rumus Newton-Leibniz, selisih F(9)-F(5), dimana F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x), sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi berdasarkan grafik fungsi y=f(x), garis lurus y=0 , x=9 dan x=5. Dari grafik tersebut kita tentukan bahwa trapesium lengkung yang ditunjukkan adalah trapesium dengan alas sama dengan 4 dan 3 serta tinggi 3.

Luasnya sama \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=f"(x) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-4; 10). Temukan interval penurunan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan panjang yang terbesar dari mereka.

Larutan

Sebagaimana diketahui, fungsi f(x) berkurang pada interval-interval tersebut di setiap titik yang turunannya f"(x) kurang dari nol. Mengingat perlunya mencari panjang interval terbesarnya, tiga interval tersebut adalah secara alami dibedakan dari gambar: (-4; -2) ;

Panjang yang terbesar - (5; 9) adalah 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=f"(x) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-8; 7). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam interval [-6; -2].

Larutan

Grafik menunjukkan bahwa turunan f"(x) dari fungsi f(x) berubah tanda dari plus ke minus (pada titik tersebut akan terdapat maksimum) tepat pada satu titik (antara -5 dan -4) dari interval [ -6; -2 ] Oleh karena itu, terdapat tepat satu titik maksimum dalam interval [-6; -2].

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan banyak titik yang turunan fungsi f(x) sama dengan 0.

Larutan

Persamaan turunan suatu titik dengan nol berarti garis singgung grafik fungsi yang digambarkan di titik tersebut sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kita menemukan titik-titik yang garis singgung grafik fungsinya sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini, titik-titik tersebut merupakan titik ekstrem (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 5 titik ekstrem.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Kondisi

Garis lurus y=-3x+4 sejajar garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik singgungnya.

Larutan

Koefisien sudut garis lurus ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 di titik sembarang x_0 sama dengan y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, artinya y" (x_0)=-2x_0+5. Koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan -3. Garis sejajar mempunyai koefisien sudut yang sama -2x_0 +5=-3.

Kita mendapatkan: x_0 = 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan titik -6, -1, 1, 4 ditandai pada absisnya. Di antara titik-titik berikut manakah turunan yang paling kecil? Harap tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda.

(Gbr.1)

Gambar 1. Grafik turunan

Properti grafik turunan

1. Pada interval yang semakin meningkat, turunannya positif. Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada interval tersebut bertambah.
2. Pada interval menurun, turunannya negatif (dengan tanda minus). Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval tersebut.
3. Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik grafik fungsi di titik yang sama.
4. Pada titik maksimum dan minimum suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu OX.

Contoh 1

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 2), tentukan di titik mana pada segmen [-3; 5] fungsinya maksimal.

Gambar 2. Grafik turunan

Penyelesaian: Pada ruas ini turunannya negatif, artinya fungsinya mengecil dari kiri ke kanan, dan nilai terbesar ada di ruas kiri di titik -3.

Contoh 2

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik maksimum pada segmen [-11; 3].

Gambar 3. Grafik turunan

Penyelesaian: Titik maksimum adalah titik yang tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Pada interval ini, fungsi berubah tanda dari plus ke minus dua kali - di titik -10 dan di titik -1. Artinya jumlah poin maksimalnya adalah dua.

Contoh 3

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik minimum pada segmen [-11; -1].

Penyelesaian: Titik minimum adalah titik yang tanda turunannya berubah dari negatif ke positif. Di segmen ini, titik tersebut hanya -7. Artinya jumlah titik minimum pada suatu ruas tertentu adalah satu.

Contoh 4

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik ekstrem.

Penyelesaian: Titik ekstrim merupakan titik minimum dan maksimum. Mari kita cari banyak titik di mana turunannya berubah tanda.

Soal B9 memberikan grafik fungsi atau turunan yang darinya Anda perlu menentukan salah satu besaran berikut:

1. Nilai turunan di suatu titik x 0,
2. Poin maksimum atau minimum (titik ekstrem),
3. Interval kenaikan dan penurunan fungsi (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam soal ini selalu kontinu sehingga penyelesaiannya lebih mudah. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas tersebut termasuk dalam bagian analisis matematika, bahkan siswa yang paling lemah pun dapat melakukannya, karena tidak diperlukan pengetahuan teoretis yang mendalam di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem, dan interval monotonisitas, terdapat algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah.

Bacalah kondisi soal B9 dengan cermat untuk menghindari kesalahan bodoh: terkadang Anda menemukan teks yang cukup panjang, tetapi ada beberapa kondisi penting yang mempengaruhi jalannya penyelesaian.

Perhitungan nilai turunannya. Metode dua titik

Jika dalam soal diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik tersebut di suatu titik x 0, dan diperlukan untuk mencari nilai turunannya di titik tersebut, maka algoritma berikut diterapkan:

1. Temukan dua titik yang “cukup” pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tuliskan koordinatnya dengan benar - ini adalah poin kunci dalam solusi, dan kesalahan apa pun di sini akan menghasilkan jawaban yang salah.
2. Mengetahui koordinatnya, mudah untuk menghitung kenaikan argumen Δx = x 2 − x 1 dan kenaikan fungsi Δy = y 2 − y 1 .
3. Terakhir, kita cari nilai turunan D = y/Δx. Dengan kata lain, Anda perlu membagi pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen - dan inilah jawabannya.

Mari kita perhatikan sekali lagi: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgungnya, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus berisi setidaknya dua titik seperti itu - jika tidak, masalahnya tidak akan tersusun dengan benar.

Perhatikan titik A (−3; 2) dan B (−1; 6) dan temukan pertambahannya:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = kamu 2 − kamu 1 = 6 − 2 = 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 3) dan B (3; 0), carilah pertambahan:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = kamu 2 − kamu 1 = 0 − 3 = −3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan pertambahannya:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = kamu 2 − kamu 1 = 2 − 2 = 0.

Tinggal mencari nilai turunannya: D = y/Δx = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir, kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, maka turunan fungsi di titik singgung tersebut adalah nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - cukup lihat grafiknya.

Perhitungan poin maksimum dan minimum

Terkadang, alih-alih grafik suatu fungsi, Soal B9 memberikan grafik turunan dan mengharuskan pencarian titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam situasi ini, metode dua titik tidak ada gunanya, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

1. Titik x 0 disebut titik maksimum fungsi f(x) jika di lingkungan titik tersebut terdapat pertidaksamaan berikut: f(x 0) ≥ f(x).
2. Titik x 0 disebut titik minimum fungsi f(x) jika di lingkungan titik tersebut terdapat pertidaksamaan berikut: f(x 0) ≤ f(x).

Untuk mencari titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, ikuti saja langkah-langkah berikut:

1. Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak perlu. Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, data yang tidak perlu hanya mengganggu pengambilan keputusan. Oleh karena itu, kami menandai angka nol dari turunannya pada sumbu koordinat - dan selesai.
2. Temukan tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika pada suatu titik x 0 diketahui f'(x 0) ≠ 0, maka hanya ada dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) ≥ 0 atau f'(x 0) ≤ 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika grafik turunannya terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) ≥ 0. Begitu pula sebaliknya, jika grafik turunannya terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) ≤ 0.
3. Kami memeriksa kembali angka nol dan tanda turunannya. Dimana perubahan tanda dari minus menjadi plus merupakan titik minimum. Sebaliknya jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus maka inilah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi berkelanjutan - tidak ada skema lain di soal B9.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu dan hanya menyisakan batasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = −3 dan x = 2,5. Kami juga memperhatikan tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = −3 tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah poin minimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7]. Tentukan titik maksimum fungsi f(x) pada ruas tersebut.

Mari kita menggambar ulang grafiknya, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunannya x = −1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda turunannya pada grafik yang dihasilkan. Kita punya:

Jelasnya, pada titik x = 5 tanda turunannya berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval [−6; 4]. Tentukan banyaknya titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam ruas [−4; 3].

Dari kondisi soal maka cukup dengan memperhatikan bagian grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Oleh karena itu, kami membuat grafik baru yang hanya menandai batas [−4; 3] dan nol dari turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = −3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini hanya terdapat satu titik maksimum x = 2. Pada titik inilah tanda turunannya berubah dari plus menjadi minus.

Catatan kecil tentang titik-titik dengan koordinat bukan bilangan bulat. Misalnya, dalam soal terakhir, titik x = −3.5 dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = −3.4. Jika soal disusun dengan benar, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi jawaban, karena poin “tanpa tempat tinggal tetap” tidak ikut serta langsung dalam penyelesaian soal. Tentu saja trik ini tidak akan berhasil dengan poin integer.

Menemukan interval fungsi naik dan turun

Dalam soal seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menggunakan grafik turunan untuk mencari luas di mana fungsi itu sendiri bertambah atau berkurang. Pertama, mari kita definisikan apa itu kenaikan dan penurunan:

1. Suatu fungsi f(x) dikatakan meningkat pada suatu ruas jika untuk dua titik x 1 dan x 2 dari ruas tersebut pernyataan berikut ini benar: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen maka semakin besar pula nilai fungsinya.
2. Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk dua titik x 1 dan x 2 dari ruas tersebut pernyataan berikut ini benar: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Itu. Nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.

Mari kita rumuskan kondisi yang cukup untuk kenaikan dan penurunan:

1. Agar fungsi kontinu f(x) meningkat pada segmen tersebut, turunannya di dalam segmen tersebut cukup positif, yaitu f'(x) ≥ 0.
2. Agar fungsi kontinu f(x) menurun pada segmen tersebut, turunannya di dalam segmen tersebut cukup negatif, yaitu f'(x) ≤ 0.

Mari kita menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kita memperoleh skema untuk mencari interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

1. Hapus semua informasi yang tidak perlu. Dalam grafik turunan asli, kita terutama tertarik pada angka nol dari fungsi tersebut, jadi kita hanya menyisakannya saja.
2. Tandai tanda turunannya pada interval antara nol. Dimana f’(x) ≥ 0 maka fungsinya bertambah, dan jika f’(x) ≤ 0 maka fungsinya menurun. Jika soal menetapkan batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada grafik baru.
3. Sekarang setelah kita mengetahui perilaku fungsi dan batasannya, tinggal menghitung besaran yang diperlukan dalam soal.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7.5]. Tentukan interval penurunan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, mari kita gambar ulang grafiknya dan tandai batasnya [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = −1.5 dan x = 5.3. Kemudian kita perhatikan tanda turunannya. Kita punya:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1.5), ini adalah interval penurunan fungsi. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval [−10; 4]. Tentukan interval kenaikan fungsi f(x). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu. Mari kita tinggalkan batasnya saja [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini berjumlah empat: x = −8, x = −6, x = −3 dan x = 2. Mari kita tandai tanda-tanda turunannya dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval peningkatan fungsi, yaitu. dimana f’(x) ≥ 0. Ada dua interval pada grafik: (−8; −6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
aku 1 = − 6 − (−8) = 2;
aku 2 = 2 − (−3) = 5.

Karena kita perlu mencari panjang interval terbesar, kita tuliskan nilai l 2 = 5 sebagai jawabannya.

Halo! Mari kita ikuti Ujian Negara Terpadu yang akan datang dengan persiapan sistematis berkualitas tinggi dan ketekunan dalam mengasah granit ilmu pengetahuan!!! DI DALAMAda tugas kompetisi di akhir postingan, jadilah yang pertama! Dalam salah satu artikel di bagian ini, Anda dan saya, yang di dalamnya diberikan grafik fungsi dan berbagai pertanyaan yang diajukan mengenai ekstrem, interval kenaikan (penurunan) dan lain-lain.

Pada artikel ini kita akan membahas soal-soal yang termasuk dalam Unified State Examination matematika, yang di dalamnya diberikan grafik turunan suatu fungsi dan diajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Pada titik manakah pada segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar (atau terkecil).

2. Temukan jumlah titik maksimum (atau minimum) dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.

3. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.

4. Temukan titik ekstrem dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.

5. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi dan dalam jawabannya tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

6. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi tersebut. Dalam jawaban Anda, tunjukkan panjang interval terbesarnya.

7. Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis berbentuk y = kx + b.

8. Tentukan absis titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan sumbu absis.

Mungkin ada pertanyaan lain, tetapi pertanyaan tersebut tidak akan menyulitkan Anda jika Anda memahami dan (tautan disediakan ke artikel yang memberikan informasi yang diperlukan untuk solusinya, saya sarankan untuk mengulanginya).

Informasi dasar (secara singkat):

1. Turunan pada interval kenaikan mempunyai tanda positif.

Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada interval tersebut bertambah.

2. Pada interval menurun, turunannya bertanda negatif.

Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval tersebut.

3. Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik yang sama.

4. Pada titik ekstrem (maksimum-minimum) suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu x.

Ini harus dipahami dan diingat dengan jelas!!!

Grafik turunannya “membingungkan” banyak orang. Beberapa orang secara tidak sengaja salah mengartikannya sebagai grafik fungsi itu sendiri. Oleh karena itu, pada bangunan seperti itu, di mana Anda melihat diberikan grafik, segera fokuskan perhatian Anda pada kondisi yang diberikan: grafik fungsi atau grafik turunan fungsi?

Jika grafik tersebut merupakan turunan suatu fungsi, perlakukan grafik tersebut sebagai "refleksi" dari fungsi itu sendiri, yang akan memberi Anda informasi tentang fungsi tersebut.

Pertimbangkan tugasnya:

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–2;21).

Kami akan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X) mengambil nilai terbesar.

Pada suatu interval tertentu, turunan suatu fungsi bernilai negatif, artinya fungsi pada interval tersebut berkurang (menurun dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terbesar dicapai pada batas kiri segmen, yaitu di titik 7.

Jawaban: 7

2. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X)

Dari grafik turunan ini kita dapat mengatakan sebagai berikut. Pada suatu interval tertentu, turunan fungsinya adalah positif, artinya fungsi pada interval tersebut bertambah (bertambah dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terkecil dicapai pada batas kiri ruas, yaitu pada titik x = 3.

Jawaban: 3

3. Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X)

Titik maksimum adalah titik dimana tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Mari kita pertimbangkan di mana tandanya berubah dengan cara ini.

Pada ruas (3;6) turunannya positif, pada ruas (6;16) turunannya negatif.

Pada segmen (16;18) turunannya positif, pada segmen (18;20) negatif.

Jadi, pada suatu segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai dua titik maksimum x = 6 dan x = 18.

Jawaban: 2

4. Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Poin minimum sesuai dengan titik di mana tanda turunannya berubah dari negatif menjadi positif. Turunan kita negatif pada interval (0;3), dan positif pada interval (3;4).

Jadi, pada segmen tersebut fungsi tersebut hanya memiliki satu titik minimum x = 3.

*Hati-hati saat menuliskan jawabannya - jumlah poin yang dicatat, bukan nilai x; kesalahan seperti itu bisa terjadi karena kurangnya perhatian.

Jawaban 1

5. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Harap perhatikan apa yang perlu Anda temukan kuantitas titik ekstrem (ini adalah titik maksimum dan minimum).

Titik ekstrem merupakan titik yang tanda turunannya berubah (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada grafik yang diberikan dalam kondisi, ini adalah fungsi nol. Turunannya hilang di titik 3, 6, 16, 18.

Jadi, fungsi tersebut memiliki 4 titik ekstrem pada segmen tersebut.

Jawaban: 4

6. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)

Interval kenaikan fungsi ini F(X) sesuai dengan interval di mana turunannya positif, yaitu interval (3;6) dan (16;18). Harap dicatat bahwa batas interval tidak termasuk di dalamnya (tanda kurung bulat - batas tidak termasuk dalam interval, tanda kurung siku - termasuk). Interval ini berisi bilangan bulat poin 4, 5, 17. Jumlahnya adalah: 4 + 5 + 17 = 26

Jawaban: 26

7. Temukan interval penurunan fungsi F(X) pada interval tertentu. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Interval penurunan fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Dalam soal ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18:21).

Interval ini berisi titik bilangan bulat berikut: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jumlahnya adalah:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Jawaban: 140

*Perhatikan syarat: apakah batas-batas tersebut termasuk dalam interval atau tidak. Jika batas-batas dimasukkan, maka dalam interval yang dipertimbangkan dalam proses penyelesaian, batas-batas ini juga harus diperhitungkan.

8. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)

Interval peningkatan fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya positif. Kami telah menunjukkannya: (3;6) dan (16:18). Yang terbesar adalah interval (3;6), panjangnya 3.

Jawaban: 3

9. Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

Interval penurunan fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Kami telah menunjukkannya; ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18;21), panjangnya masing-masing 5, 10, 3.

Panjang yang terbesar adalah 10.

Jawaban: 10

10. Tentukan banyak titik yang bersinggungan dengan grafik fungsi tersebut F(X) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = 2x + 3.

Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis lurus y = 2x + 3 atau berimpit dengannya, maka koefisien sudutnya sama dengan 2. Artinya, perlu dicari banyak titik di mana y′(x 0) = 2. Secara geometris, ini sesuai dengan jumlah titik potong grafik turunan dengan garis lurus y = 2. Ada 4 titik pada interval ini.

Jawaban: 4

11. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik di mana turunannya sama dengan nol, dan di sekitar titik tersebut turunannya berubah tanda (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada ruas tersebut grafik turunannya memotong sumbu x, turunannya berubah tanda dari negatif menjadi positif. Oleh karena itu, titik x = 3 merupakan titik ekstrem.

Jawaban: 3

12. Tentukan absis titik-titik yang garis singgung grafik y = f (x) sejajar atau berimpit dengan sumbu absis. Dalam jawaban Anda, sebutkan yang terbesar.

Garis singgung grafik y = f (x) dapat sejajar dengan sumbu absis atau berimpit dengannya, hanya pada titik-titik yang turunannya sama dengan nol (dapat berupa titik ekstrem atau titik diam di sekitar turunannya). tidak mengubah tandanya). Grafik ini menunjukkan turunannya nol di titik 3, 6, 16,18. Yang terbesar adalah 18.

Anda dapat menyusun alasan Anda seperti ini:

Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar atau berimpit dengan sumbu x, kemiringannya adalah 0 (memang, garis singgung sudut nol derajat adalah nol). Oleh karena itu, kita mencari titik yang kemiringannya sama dengan nol, sehingga turunannya sama dengan nol. Turunannya sama dengan nol pada titik perpotongan grafiknya dengan sumbu x, yaitu titik 3, 6, 16,18.

Jawaban: 18

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–8;4). Pada titik manakah pada segmen [–7;–3] fungsi tersebut berada F(X) mengambil nilai terkecil.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;14). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–6;9].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–18;6). Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–13;1].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11; –11). Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–10; -10].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;4). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–5;7). Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11;3). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

F Gambar tersebut menunjukkan grafik

Kondisi masalahnya sama (yang kami pertimbangkan). Temukan jumlah tiga angka:

1. Jumlah kuadrat ekstrem fungsi f(x).

2. Selisih kuadrat jumlah titik maksimum dan jumlah titik minimum fungsi f (x).

3. Banyaknya garis singgung f (x) yang sejajar garis lurus y = –3x + 5.

Orang pertama yang memberikan jawaban benar akan menerima hadiah insentif sebesar 150 rubel. Tulis jawaban Anda di komentar. Jika ini adalah komentar pertama Anda di blog, maka komentar tersebut tidak akan langsung muncul, melainkan beberapa saat kemudian (jangan khawatir, waktu penulisan komentar tersebut dicatat).

Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitsikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.