Kerucut. kerucut terpotong

Permukaan berbentuk kerucut adalah permukaan yang dibentuk oleh semua garis lurus yang melalui setiap titik pada suatu kurva tertentu dan suatu titik di luar kurva (Gbr. 32).

Kurva ini disebut memandu , lurus - pembentukan , titik – atas permukaan kerucut.

Permukaan kerucut melingkar lurus adalah permukaan yang dibentuk oleh semua garis lurus yang melalui setiap titik pada suatu lingkaran dan suatu titik pada suatu garis lurus yang tegak lurus bidang lingkaran dan melalui pusatnya. Berikut ini kita akan secara singkat menyebut permukaan ini permukaan kerucut (Gbr. 33).

Kerucut (langsung kerucut melingkar ) dipanggil tubuh geometris, dibatasi oleh permukaan kerucut dan bidang yang sejajar dengan bidang lingkaran pemandu (Gbr. 34).

Beras. 32 Gambar. 33 Gambar. 34

Kerucut dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh melalui rotasi segitiga siku-siku mengelilingi sumbu yang memuat salah satu kaki segitiga.

Lingkaran yang mengelilingi kerucut disebut lingkarannya dasar . Titik puncak permukaan kerucut disebut atas kerucut Ruas yang menghubungkan titik sudut kerucut dengan pusat alasnya disebut tinggi kerucut Segmen terbentuk permukaan kerucut, dipanggil pembentukan kerucut Sumbu kerucut adalah garis lurus yang melalui titik puncak kerucut dan titik pusat alasnya. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut. Perkembangan permukaan samping kerucut adalah bidang yang jari-jarinya sama dengan panjangnya generatrix kerucut, dan panjang busur sektor sama dengan keliling alas kerucut.

Rumus kerucut yang benar adalah:

Di mana R– radius dasar;

H- tinggi;

aku– panjang generatrix;

basis S– daerah pangkalan;

sisi S

S penuh

V– volume kerucut.

Kerucut terpotong disebut bagian kerucut yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas kerucut (Gbr. 35).

Kerucut terpotong dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang di sekitar sumbu yang memuatnya samping trapesium tegak lurus alasnya.

Dua lingkaran yang melingkari kerucut disebut lingkarannya alasan . Tinggi kerucut terpotong adalah jarak antara alasnya. Ruas-ruas yang membentuk permukaan kerucut pada kerucut yang terpotong disebut pembentukan . Garis lurus yang melalui pusat-pusat alas disebut sumbu kerucut terpotong. Bagian aksial disebut bagian yang melalui sumbu kerucut terpotong.

Untuk kerucut terpotong rumus yang benar adalah:

(8)

Di mana R– radius alas bawah;

R– radius alas atas;

H– tinggi, l – panjang generatrix;

sisi S– luas permukaan lateral;

S penuh- persegi permukaan penuh;

V– volume kerucut yang terpotong.

Contoh 1. Penampang kerucut yang sejajar alas membagi tinggi dengan perbandingan 1:3, dihitung dari puncaknya. Hitunglah luas permukaan lateral kerucut yang terpotong jika jari-jari alas dan tinggi kerucut adalah 9 cm dan 12 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 36).

Untuk menghitung luas permukaan lateral kerucut yang terpotong, kita menggunakan rumus (8). Mari kita cari jari-jari basanya Sekitar 1A Dan Sekitar abad ke-1 dan membentuk AB.

Mari kita pertimbangkan segitiga sebangun SO2B Dan JADI 1 A, koefisien kesamaan, lalu

Dari sini

Sejak itu

Luas permukaan lateral kerucut yang terpotong sama dengan:

Menjawab: .

Contoh 2. Jari-jari seperempat lingkaran dilipat menjadi permukaan kerucut. Temukan jari-jari alas dan tinggi kerucut.

Larutan. Kuadran lingkaran merupakan perkembangan permukaan lateral kerucut. Mari kita tunjukkan R– radius alasnya, H - tinggi. Mari kita hitung luas permukaan lateral menggunakan rumus: . Luasnya sama dengan seperempat lingkaran: . Kami mendapatkan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui R Dan aku(membentuk kerucut). DI DALAM dalam hal ini generator sama dengan jari-jari seperempat lingkaran R, lalu kita dapatkan persamaan berikut: , dari mana, mengetahui jari-jari alas dan generator, kita mencari tinggi kerucut:

Menjawab: 2 cm, .

Contoh 3. Trapesium persegi panjang Dengan sudut lancip 45 Oh dasar yang lebih rendah 3cm dan sisi miringnya sama dengan , berputar mengelilingi sisinya tegak lurus dengan alasnya. Temukan volume benda rotasi yang dihasilkan.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 37).

Sebagai hasil rotasi, kita memperoleh kerucut terpotong; untuk mencari volumenya, kita menghitung jari-jarinya basis yang lebih besar dan tinggi badan. Di trapeze HAI 1 HAI 2 AB kami akan melakukan AC^O 1B. B kita punya: artinya segitiga ini sama kaki AC=SM=3 cm.

Menjawab:

Contoh 4. Sebuah segitiga dengan panjang sisi 13 cm, 37 cm, dan 40 cm berputar mengelilingi sumbu luar yang sejajar sisi yang lebih besar dan terletak pada jarak 3 cm darinya (sumbunya terletak pada bidang segitiga). Temukan luas permukaan benda revolusi yang dihasilkan.

Larutan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 38).

Permukaan benda revolusi yang dihasilkan terdiri dari permukaan lateral dua kerucut terpotong dan permukaan lateral silinder. Untuk menghitung luas tersebut, perlu diketahui jari-jari alas kerucut dan silinder ( MENJADI Dan O.C.), membentuk kerucut ( SM Dan AC) dan tinggi silinder ( AB). Satu-satunya yang tidak diketahui adalah BERSAMA. ini adalah jarak dari sisi segitiga ke sumbu rotasi. Kami akan menemukannya DC. Persegi segitiga ABC di satu sisi sama dengan hasil kali setengah sisi AB dan tinggi yang ditarik ke sana DC, sebaliknya, dengan mengetahui semua sisi segitiga, kita menghitung luasnya menggunakan rumus Heron.

(lat. amplitudo- magnitudo) adalah simpangan terbesar suatu benda yang berosilasi dari posisi setimbangnya.

Untuk pendulum, ini adalah jarak maksimum bola menjauh dari posisi setimbangnya (gambar di bawah). Untuk osilasi dengan amplitudo kecil, jarak seperti panjang busur 01 atau 02, dan panjang segmen ini dapat diambil.

Amplitudo osilasi diukur dalam satuan panjang - meter, sentimeter, dll. Pada grafik osilasi, amplitudo didefinisikan sebagai ordinat maksimum (modulo) dari kurva sinusoidal (lihat gambar di bawah).

Periode osilasi.

Periode osilasi- Ini kesenjangan terkecil waktu setelah sistem osilasi kembali lagi ke keadaan yang sama seperti pada saat awal, dipilih secara sewenang-wenang.

Dengan kata lain, periode osilasi ( T) adalah waktu terjadinya satu osilasi penuh. Misalnya pada gambar di bawah ini adalah waktu yang diperlukan bandul pendulum untuk bergerak dari titik paling kanan melalui titik kesetimbangan TENTANG ke titik paling kiri dan kembali melalui titik tersebut TENTANG lagi ke paling kanan.

Selama periode osilasi penuh, benda menempuh jalur yang sama dengan empat amplitudo. Periode osilasi diukur dalam satuan waktu - detik, menit, dll. Periode osilasi dapat ditentukan dengan seniman grafis terkenal getaran (lihat gambar di bawah).

Konsep “periode osilasi”, sebenarnya, hanya berlaku jika nilai besaran osilasi diulang secara tepat setelah jangka waktu tertentu, yaitu untuk osilasi harmonik. Namun konsep ini juga berlaku untuk kasus-kasus besaran yang kira-kira berulang, misalnya untuk osilasi teredam.

Frekuensi osilasi.

Frekuensi osilasi- ini adalah jumlah osilasi yang dilakukan per satuan waktu, misalnya dalam 1 s.

Satuan SI untuk frekuensi diberi nama hertz(Hz) untuk menghormati fisikawan Jerman G. Hertz (1857-1894). Jika frekuensi osilasi ( ay) sama dengan 1 Hz, artinya setiap detik terjadi satu osilasi. Frekuensi dan periode osilasi dihubungkan oleh hubungan:

Dalam teori osilasi mereka juga menggunakan konsep tersebut berhubung dgn putaran, atau frekuensi melingkar ω . Hal ini terkait dengan frekuensi normal ay dan periode osilasi T rasio:

.

Frekuensi siklik adalah jumlah osilasi yang dilakukan per 2π detik

Osilasi harmonik mekanis- itu mudah pergerakan yang tidak merata, di mana koordinat benda yang berosilasi ( poin materi) berubah menurut hukum kosinus atau sinus tergantung waktu.

Menurut definisi ini, hukum perubahan koordinat tergantung waktu berbentuk:

Dimana wt adalah nilai di bawah tanda kosinus atau sinus; w- koefisien, arti fisik yang akan kami ungkapkan di bawah ini; A adalah amplitudo getaran harmonik mekanis.

Persamaan (4.1) bersifat dasar persamaan kinematika getaran harmonik mekanis.

Mari kita pertimbangkan contoh berikutnya. Mari kita ambil sumbu Sapi (Gbr. 64). Dari titik 0 kita menggambar sebuah lingkaran dengan jari-jari R = A. Misalkan titik M dari posisi 1 mulai bergerak mengelilingi lingkaran dengan kecepatan tetap ay(atau dengan konstan kecepatan sudut w, v = wА). Setelah beberapa waktu t jari-jarinya akan berputar membentuk sudut f: f=berat.

Dengan gerak melingkar titik M, proyeksinya pada sumbu x M x akan bergerak sepanjang sumbu x, yang koordinatnya x sama dengan x = A cos f = = SEBUAH karena berat. Jadi, jika suatu titik material bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari A yang pusatnya berimpit dengan titik asal koordinat, maka proyeksi titik tersebut pada sumbu x (dan sumbu y) akan menghasilkan getaran mekanis harmonik.

Jika nilai wt yang berada di bawah tanda cosinus dan amplitudo A diketahui, maka x juga dapat ditentukan pada persamaan (4.1).

Besaran wt, yang berada di bawah tanda cosinus (atau sinus), yang secara unik menentukan koordinat titik osilasi pada amplitudo tertentu, disebut fase osilasi. Untuk titik M yang bergerak melingkar, nilai w berarti kecepatan sudutnya. Apa arti fisis dari nilai w untuk suatu titik M x yang melakukan osilasi harmonik mekanis? Koordinat titik osilasi M x adalah sama pada suatu titik waktu t dan (T +1) (dari definisi periode T), yaitu A cos berat = A cos w (t + T) yang artinya w(t + T) - berat = 2 PI(dari sifat periodisitas fungsi kosinus). Oleh karena itu

Oleh karena itu, untuk suatu titik material yang melakukan osilasi mekanik harmonik, nilai w dapat diartikan sebagai banyaknya osilasi pada suatu titik tertentu. siklus waktu setara 2l. Oleh karena itu nilainya w ditelepon berhubung dgn putaran(atau melingkar) frekuensi.

Jika titik M memulai pergerakannya bukan dari titik 1 melainkan dari titik 2, maka persamaan (4.1) berbentuk:

Ukuran f 0 ditelepon fase awal.

Kita mencari kecepatan titik M x sebagai turunan koordinat terhadap waktu:

Percepatan suatu titik berosilasi sepanjang hukum harmonik, kami mendefinisikannya sebagai turunan dari kecepatan:

Dari rumus (4.4) jelas bahwa kecepatan suatu titik yang melakukan osilasi harmonik juga berubah menurut hukum kosinus. Tapi kecepatan fasenya lebih cepat dari koordinatnya PI/2 . Percepatan selama osilasi harmonik bervariasi sesuai dengan hukum kosinus, tetapi berada di depan koordinat dalam fase sebesar

N . Persamaan (4.5) dapat ditulis dalam koordinat x:

Percepatan pada getaran harmonik sebanding dengan perpindahan dengan tanda yang berlawanan:

. Mari kita kalikan ruas kanan dan kiri persamaan (4.5) dengan massa titik material yang berosilasi m, kita peroleh hubungan berikut:

Menurut hukum kedua Newton, arti fisis dari ruas kanan ekspresi (4.6) adalah proyeksi gaya F x, yang menghasilkan harmonik gerakan mekanis Nilai F x sebanding dengan perpindahan x dan arahnya berlawanan. Contoh gaya tersebut adalah gaya elastis, yang besarnya sebanding dengan deformasi dan arahnya berlawanan (hukum Hooke). Pola percepatan versus perpindahan, yang mengikuti persamaan (4.6), yang kita pertimbangkan untuk osilasi harmonik mekanis, dapat digeneralisasi dan diterapkan ketika mempertimbangkan osilasi yang bersifat fisik berbeda (misalnya, perubahan arus dalam rangkaian osilasi , perubahan muatan, tegangan, induksi.

medan magnet

dll.). Oleh karena itu, persamaan (4.8) disebut persamaan utama dinamika harmonis Mari kita perhatikan pergerakan pegas dan pendulum matematika.

Misalkan sebuah pegas (Gbr. 63), yang terletak mendatar dan terfiksasi di titik 0, dipasang di salah satu ujungnya pada benda bermassa m, yang dapat bergerak sepanjang sumbu x tanpa gesekan.

Misalkan koefisien kekakuan pegas sama dengan k. Mari kita turunkan tubuh m

kekuatan eksternal

dari posisi setimbang dan lepaskan. Kemudian sepanjang sumbu x hanya gaya elastis yang akan bekerja pada benda, yang menurut hukum Hooke sama dengan: F yпp = -kx.

Persamaan gerak benda ini akan berbentuk: Membandingkan persamaan (4.6) dan (4.9), kita menarik dua kesimpulan: dari posisi setimbang, maka gaya yang sama bekerja pada benda, tetapi tidak lagi seimbang satu sama lain, dan benda mulai bergerak sepanjang busur di bawah pengaruh komponen gravitasi yang diarahkan sepanjang garis singgung busur dan sama dengan mg sin A.

Persamaan gerak pendulum berbentuk:

Tanda minus di sebelah kanan berarti gaya F x = mg sin a berlawanan arah dengan perpindahan. Osilasi harmonik akan terjadi pada sudut defleksi yang kecil, yaitu asalkan sebuah 2* dosa A.

Mari kita gantikan dosa dan masuk persamaan (4.12), kita peroleh persamaan berikut.

Osilasi gerakan atau proses yang dicirikan oleh pengulangan tertentu dari waktu ke waktu disebut. Proses osilasi tersebar luas di alam dan teknologi, misalnya ayunan pendulum jam yang bergantian arus listrik dll. Kapan gerakan osilasi Pendulum mengubah koordinat pusat massanya; jika terjadi arus bolak-balik, tegangan dan arus dalam rangkaian berfluktuasi. Sifat fisik getaran bisa berbeda, oleh karena itu getaran mekanis, elektromagnetik, dll. Namun, berbagai proses osilasi dijelaskan dengan karakteristik dan yang sama persamaan yang identik. Oleh karena itu kemanfaatannya pendekatan umum untuk mempelajari getaran dari sifat fisik yang berbeda.

Osilasi disebut bebas, jika mereka dilakukan hanya di bawah pengaruh kekuatan internal bekerja antara elemen-elemen sistem setelah sistem dipindahkan dari posisi setimbang kekuatan eksternal dan dibiarkan sendiri. Getaran bebas selalu osilasi teredam , karena di sistem nyata kehilangan energi tidak bisa dihindari. Dalam kasus ideal suatu sistem tanpa kehilangan energi getaran bebas(bertahan selama yang diinginkan) disebut memiliki.

Jenis gratis yang paling sederhana osilasi terus menerus adalah getaran harmonik - osilasi yang besaran osilasinya berubah seiring waktu menurut hukum sinus (kosinus). Getaran yang terdapat pada alam dan teknologi seringkali bersifat mendekati harmonik.

Osilasi harmonik dijelaskan dengan persamaan yang disebut persamaan osilasi harmonik:

Di mana A- amplitudo osilasi, nilai maksimum besarnya yang berfluktuasi X; - frekuensi osilasi alami melingkar (siklik); - fase awal osilasi pada momen waktu T= 0; - fase osilasi pada momen waktu T. Fase osilasi menentukan nilai besaran osilasi dalam saat ini waktu. Karena kosinus bervariasi dari +1 hingga -1, maka X dapat mengambil nilai dari + A ke - A.

Waktu T selama sistem menyelesaikan satu osilasi lengkap disebut periode osilasi. Selama ini T fase osilasi bertambah 2 π , yaitu

Di mana . (14.2)

Kebalikan dari periode osilasi

yaitu, jumlah osilasi lengkap yang dilakukan per satuan waktu disebut frekuensi osilasi. Membandingkan (14.2) dan (14.3) kita peroleh

Satuan frekuensi adalah hertz (Hz): 1 Hz adalah frekuensi terjadinya satu osilasi lengkap dalam 1 s.

Sistem yang dapat terjadi getaran bebas disebut osilator . Sifat-sifat apa yang harus dimiliki suatu sistem agar getaran bebas dapat terjadi di dalamnya? Sistem mekanis harus dimiliki posisi keseimbangan yang stabil, setelah keluar yang muncul gaya pemulih yang diarahkan menuju posisi setimbang. Posisi ini diketahui sesuai dengan minimum energi potensial sistem. Mari kita perhatikan beberapa sistem osilasi yang memenuhi sifat-sifat berikut.

Pergerakan pendulum pada jam, gempa bumi, AC dalam rangkaian listrik, proses transmisi radio dan penerimaan radio adalah proses yang sangat berbeda dan tidak berhubungan. Masing-masing dari mereka memiliki miliknya sendiri alasan khusus, tetapi mereka disatukan oleh satu tanda – tanda sifat umum perubahan besaran fisis seiring berjalannya waktu. Dalam banyak kasus, disarankan untuk mempertimbangkan proses ini dan banyak proses lain yang bersifat fisik berbeda sebagai satu kesatuan tipe khusus fenomena fisik- fluktuasi.

Ciri umum fenomena fisik yang disebut osilasi adalah keterulangannya sepanjang waktu. Dengan berbeda sifat fisik banyak osilasi terjadi menurut hukum yang sama, sehingga memungkinkan untuk diterapkan metode umum untuk deskripsi dan analisisnya.

Getaran harmonik. Dari jumlah besar dari berbagai getaran di alam dan teknologi, getaran harmonik sangat umum terjadi. Getaran yang terjadi menurut hukum kosinus atau sinus disebut harmonik:

dimana kuantitasnya mengalami fluktuasi; - waktu; - konstan, yang maknanya akan dijelaskan lebih lanjut.

Nilai maksimum suatu besaran yang berubah menurut hukum harmonik disebut amplitudo osilasi. Argumen kosinus atau sinus untuk osilasi harmonik disebut fase osilasi

Fase osilasi pada momen awal disebut fase awal. Fase awal menentukan nilai suatu kuantitas pada momen waktu awal

Nilai fungsi sinus atau kosinus diulang ketika argumen fungsi berubah sebesar , oleh karena itu, dengan osilasi harmonik, nilai besaran diulang ketika fase osilasi berubah sebesar . Sebaliknya pada osilasi harmonik, besaran harus mempunyai nilai yang sama setelah selang waktu yang disebut periode osilasi T. Oleh karena itu, tidak terjadi perubahan fasa.

melalui periode osilasi T. Untuk kasus ketika kita memperoleh:

Dari persamaan (1.2) dapat disimpulkan bahwa konstanta persamaan osilasi harmonik adalah banyaknya osilasi yang terjadi dalam hitungan detik. Besarannya disebut frekuensi siklik osilasi. Dengan menggunakan ekspresi (1.2), persamaan (1.1) dapat dinyatakan dalam frekuensi atau periode T osilasi:

Seiring dengan secara analitis deskripsi getaran harmonik banyak digunakan metode grafis ide-ide mereka.

Cara pertama adalah dengan membuat grafik fluktuasi sistem kartesius koordinat Waktu I diplot sepanjang sumbu absis, dan nilai besaran yang berubah diplot sepanjang sumbu ordinat. Untuk osilasi harmonik, grafik ini adalah gelombang sinus atau gelombang kosinus (Gbr. 1).

Cara kedua untuk merepresentasikan proses osilasi adalah spektral. Amplitudo diukur sepanjang sumbu ordinat, dan frekuensi osilasi harmonik diukur sepanjang sumbu absis. Proses osilasi harmonik dengan frekuensi dan amplitudo dalam hal ini diwakili oleh segmen garis lurus vertikal yang ditarik dari titik dengan koordinat pada sumbu absis (Gbr. 2).

Cara ketiga untuk menggambarkan osilasi harmonik adalah dengan metode diagram vektor. Dalam metode ini, teknik formal murni berikut digunakan untuk mencari nilai suatu besaran yang berubah menurut hukum harmonik setiap saat:

Mari kita memilih yang diarahkan secara sewenang-wenang sumbu koordinat yang dengannya kita akan mengukur besaran yang kita minati. Dari titik asal koordinat sepanjang sumbu kita menggambar sebuah vektor yang modulusnya sama dengan amplitudo osilasi harmonik xt. Jika sekarang kita bayangkan vektor berputar mengelilingi titik asal koordinat pada bidang dengan kecepatan sudut konstan c berlawanan arah jarum jam, maka sudut a antara vektor yang berputar dan sumbu pada suatu waktu ditentukan oleh ekspresi.