Ketika seseorang telah mengambil langkah mandiri pertamanya dalam mempelajari analisis matematika dan mulai bertanya pertanyaan canggung, maka tidak mudah lagi untuk lolos dari ungkapan bahwa “kalkulus diferensial ditemukan dalam kubis”. Oleh karena itu, telah tiba waktunya untuk menentukan dan mengungkap rahasia kelahiran tersebut tabel turunan dan aturan diferensiasi. Dimulai di artikel tentang pengertian turunan, yang sangat saya rekomendasikan untuk dipelajari, karena di sana kita baru saja melihat konsep turunan dan mulai mengklik soal pada topik tersebut. Pelajaran yang sama ini memiliki orientasi praktis yang nyata, terlebih lagi,

contoh-contoh yang dibahas di bawah ini pada prinsipnya dapat dikuasai secara formal saja (misalnya, ketika tidak ada waktu/keinginan untuk mendalami hakikat turunan). Juga sangat diinginkan (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat menemukan turunan menggunakan metode “konvensional” - setidaknya pada tingkat dua pelajaran dasar: Bagaimana cara mencari turunan dan turunan suatu fungsi kompleks.

Tapi ada satu hal yang kita tidak bisa lakukan tanpanya sekarang, yaitu batas fungsi. Anda harus MEMAHAMI apa itu batasan dan mampu menyelesaikannya setidaknya pada level rata-rata. Dan semua itu karena turunannya

fungsi di suatu titik ditentukan dengan rumus:

Izinkan saya mengingatkan Anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil peningkatan argumen;

– peningkatan fungsi;

– ini adalah simbol TUNGGAL (“delta” tidak dapat “dilepaskan” dari “X” atau “Y”).

Jelasnya, yang dimaksud dengan variabel “dinamis” adalah konstanta dan hasil perhitungan limitnya - nomor (terkadang - "plus" atau "minus" tak terhingga).

Intinya, Anda dapat mempertimbangkan nilai APAPUN yang dimilikinya domain definisi fungsi yang mempunyai turunan.

Catatan: klausa "di mana turunannya ada" adalah secara umum hal ini penting! Jadi, misalnya, meskipun suatu titik termasuk dalam domain definisi suatu fungsi, turunannya

tidak ada di sana. Oleh karena itu rumusnya

tidak berlaku pada saat itu

dan formulasi yang dipersingkat tanpa syarat akan salah. Fakta serupa juga berlaku untuk fungsi lain yang grafiknya “putus”, khususnya untuk arcsinus dan arccosine.

Jadi, setelah mengganti , kita mendapatkan rumus kerja kedua:

Perhatikan keadaan berbahaya yang dapat membingungkan teko: dalam batas ini, “x”, karena merupakan variabel independen, berperan sebagai statistik, dan “dinamika” kembali ditentukan oleh kenaikan. Hasil penghitungan limit

adalah fungsi turunan.

Berdasarkan uraian di atas, kami merumuskan kondisi untuk dua masalah umum:

- Menemukan turunan pada suatu titik, menggunakan definisi turunan.

- Menemukan fungsi turunan, menggunakan definisi turunan. Versi ini, menurut pengamatan saya, jauh lebih umum dan akan mendapat perhatian utama.

Perbedaan mendasar antara tugas-tugas ini adalah bahwa dalam kasus pertama Anda perlu menemukan nomornya (opsional, tak terbatas), dan yang kedua –

fungsi Selain itu, turunannya mungkin tidak ada sama sekali.

Bagaimana ?

Buat rasio dan hitung batasnya.

Dari mana asalnya? tabel turunan dan aturan diferensiasi ? Berkat satu-satunya batasan

Sepertinya ajaib, tapi

pada kenyataannya - sulap dan tidak ada penipuan. Di pelajaran Apa itu turunan? Saya mulai melihat contoh spesifik, di mana, dengan menggunakan definisi, saya menemukan turunan dari linier dan fungsi kuadrat. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu tabel turunan, mengasah algoritma dan solusi teknis:

Intinya, Anda perlu membuktikannya kasus spesial turunan fungsi daya, yang biasanya muncul di tabel: .

Solusinya secara teknis diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulai dengan pendekatan pertama yang sudah familiar: tangga dimulai dengan papan, dan turunan fungsi dimulai dengan turunan di suatu titik.

Pertimbangkan beberapa poin (spesifik) yang menjadi miliknya domain definisi fungsi yang mempunyai turunan. Mari kita atur kenaikannya pada saat ini (tentu saja, dalam ruang lingkup o/o -ya) dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung batasnya:

Ketidakpastian 0:0 dihilangkan dengan teknik standar, yang dikembangkan pada abad pertama SM. Mari kita perbanyak

pembilang dan penyebut ekspresi konjugasinya :

Teknik penyelesaian limit tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran pendahuluan. tentang batasan fungsi.

Karena Anda dapat memilih titik mana pun dalam interval tersebut

Kemudian, setelah melakukan penggantian, kita mendapatkan:

Sekali lagi mari kita bergembira dengan logaritma:

Temukan turunan suatu fungsi menggunakan definisi turunan

Solusi: Mari pertimbangkan pendekatan berbeda untuk mempromosikan tugas yang sama. Persis sama, tetapi lebih rasional dari segi desain. Idenya adalah untuk menyingkirkan

subskrip dan gunakan huruf sebagai pengganti huruf.

Pertimbangkan suatu titik sembarang milik domain definisi fungsi (interval), dan atur kenaikan di dalamnya. Tapi di sini, omong-omong, seperti dalam kebanyakan kasus, Anda dapat melakukannya tanpa syarat apa pun, karena fungsi logaritma dapat dibedakan pada titik mana pun dalam domain definisi.

Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mari kita cari turunannya:

Kesederhanaan desain diimbangi dengan kebingungan yang ada

terjadi di kalangan pemula (dan tidak hanya). Lagi pula, kita terbiasa dengan kenyataan bahwa huruf "X" berubah batasnya! Tapi di sini semuanya berbeda: - patung antik, dan - pengunjung yang masih hidup, berjalan cepat di sepanjang koridor museum. Artinya, “x” adalah “seperti sebuah konstanta.”

Saya akan mengomentari penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Menggunakan properti logaritma.

(2) Dalam tanda kurung, bagilah pembilang dengan penyebut suku demi suku.

(3) Pada penyebutnya, kita mengalikan dan membagi secara artifisial dengan “x” sehingga

manfaatkan batas luar biasa ini , sementara sebagai kecil sekali tindakan.

Jawaban: menurut definisi turunan:

Atau singkatnya:

Saya mengusulkan untuk membuat sendiri dua rumus tabel lagi:

Temukan turunan menurut definisi

DI DALAM pada kasus ini akan lebih mudah untuk segera memimpin kenaikan yang dikomposisikan faktor persekutuan. Contoh perkiraan tugas di akhir pelajaran (metode pertama).

Temukan turunan menurut definisi

Dan di sini semuanya harus direduksi hingga batas yang luar biasa. Solusinya diformalkan dengan cara kedua.

Sejumlah lainnya turunan tabel. Daftar lengkap dapat ditemukan di buku pelajaran sekolah, atau, misalnya, Fichtenholtz jilid pertama. Saya tidak melihat ada gunanya menyalin bukti aturan diferensiasi dari buku - mereka juga dibuat

rumus

Mari kita beralih ke tugas yang sebenarnya dihadapi: Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi , menggunakan definisi turunan

Solusi: gunakan gaya desain pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa poin yang menjadi bagiannya dan berikan peningkatan argumen pada poin tersebut. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mungkin sebagian pembaca belum sepenuhnya memahami prinsip perlunya melakukan peningkatan. Ambil sebuah titik (angka) dan temukan nilai fungsi di dalamnya: , yaitu, ke dalam fungsi

bukannya "X" harus diganti. Sekarang mari kita ambil

Peningkatan fungsi yang dikompilasi Akan bermanfaat jika kita segera menyederhanakannya. Untuk apa? Memfasilitasi dan mempersingkat solusi hingga batas yang lebih jauh.

Kami menggunakan rumus, membuka tanda kurung dan mempersingkat segala sesuatu yang dapat dipersingkat:

Kalkunnya dikupas, tidak ada masalah dengan daging panggangnya:

Pada akhirnya:

Karena Anda dapat memilih kualitas apa pun bilangan real, lalu kita lakukan penggantian dan dapatkan .

Menjawab : a-priori.

Untuk keperluan verifikasi, mari kita cari turunannya menggunakan aturan

diferensiasi dan tabel:

Mengetahui jawaban yang benar selalu berguna dan menyenangkan terlebih dahulu, jadi lebih baik membedakan fungsi yang diusulkan dengan cara yang "cepat" di awal solusi, baik secara mental atau dalam draf.

Temukan turunan suatu fungsi menurut definisi turunan

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Hasilnya jelas:

Mari kita kembali ke gaya #2: Contoh 7

Mari kita cari tahu segera apa yang harus terjadi. Oleh aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Solusi: pertimbangkan titik sewenang-wenang, milik, atur kenaikan argumen di dalamnya dan buat kenaikannya

Mari kita cari turunannya:

(1) Kami menggunakan rumus trigonometri

(2) Di bawah sinus kita buka tanda kurung, di bawah kosinus kita sajikan suku-suku serupa.

(3) Di bawah sinus kita batalkan suku-sukunya, di bawah kosinus kita bagi pembilangnya dengan penyebutnya suku demi suku.

(4) Karena keanehan sinusnya, kita hilangkan “minusnya”. Di bawah kosinus

kami menunjukkan istilah itu.

(5) Kita melakukan perkalian buatan pada penyebutnya agar dapat digunakan Pertama batas yang luar biasa . Dengan demikian, ketidakpastian dihilangkan, mari kita rapikan hasilnya.

Jawaban: menurut definisi Seperti yang Anda lihat, kesulitan utama dari masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada

kompleksitas yang sangat terbatas + sedikit orisinalitas kemasan. Dalam praktiknya, kedua metode desain tersebut terjadi, jadi saya menjelaskan kedua pendekatan tersebut sedetail mungkin. Mereka setara, tapi tetap saja, menurut kesan subjektif saya, lebih disarankan bagi orang bodoh untuk tetap menggunakan opsi 1 dengan “X-zero”.

Dengan menggunakan definisi tersebut, carilah turunan dari fungsi tersebut

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Sampel dirancang dengan semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.

Mari kita lihat versi masalahnya yang lebih jarang:

Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik menggunakan definisi turunan.

Pertama, apa yang harus menjadi intinya? Nomor Mari kita hitung jawabannya dengan cara standar:

Solusi: dari sudut pandang kejelasan, tugas ini jauh lebih sederhana, karena dalam rumusnya, bukan

nilai tertentu dipertimbangkan.

Mari kita atur kenaikan pada titik dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung turunannya di titik:

Kami menggunakan rumus selisih tangen yang sangat langka dan sekali lagi kita kurangi solusinya menjadi yang pertama

batas luar biasa:

Jawaban: menurut definisi turunan pada suatu titik.

Masalahnya tidak begitu sulit untuk diselesaikan "secara umum" - cukup dengan mengganti paku, atau hanya bergantung pada metode desain. Dalam hal ini jelas bahwa hasilnya bukanlah bilangan, melainkan fungsi turunan.

Contoh 10 Dengan menggunakan definisi tersebut, carilah turunan dari fungsi tersebut pada intinya

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Tugas bonus akhir ditujukan terutama untuk siswa yang mempelajari analisis matematika secara mendalam, tetapi tidak akan merugikan orang lain juga:

Apakah fungsinya akan terdiferensiasi? pada intinya?

Penyelesaian: Jelaslah bahwa suatu fungsi tertentu kontinu di suatu titik, tetapi apakah fungsi tersebut terdiferensiasi di sana?

Algoritma penyelesaiannya, dan tidak hanya untuk fungsi sepotong-sepotong, adalah sebagai berikut:

1) Temukan turunan kiri pada suatu titik tertentu: .

2) Temukan turunan kanan pada suatu titik tertentu: .

3) Jika turunan satu sisi berhingga dan berimpit:

, maka fungsinya terdiferensialkan pada titik tersebut

secara geometris, ada garis singgung yang sama di sini (lihat bagian teoretis dari pelajaran ini Pengertian dan Arti Derivatif).

Jika dua diterima arti yang berbeda: (salah satunya mungkin berubah menjadi tak terbatas), maka fungsinya tidak terdiferensiasi pada titik tersebut.

Jika kedua turunan satu sisi sama dengan tak terhingga

(meskipun tandanya berbeda), maka fungsinya tidak

dapat terdiferensialkan pada suatu titik, tetapi terdapat turunan tak terhingga dan garis singgung vertikal persekutuan pada grafik tersebut (lihat contoh pelajaran 5Persamaan biasa) .

Apa itu turunan?
Pengertian dan Arti Turunan Fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan penempatan artikel ini yang tidak terduga dalam kursus penulis saya tentang turunan fungsi dari satu variabel dan penerapannya. Lagi pula, seperti yang terjadi sejak sekolah: buku teks standar pertama-tama memberikan definisi turunan, geometriknya, pengertian mekanis. Selanjutnya siswa mencari turunan fungsi menurut definisinya, dan baru kemudian menyempurnakan teknik diferensiasi yang digunakan tabel turunan.

Tapi menurut saya, lebih pragmatis pendekatan berikutnya: pertama-tama disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas suatu fungsi, dan, khususnya, jumlah yang sangat kecil. Faktanya adalah itu pengertian turunan didasarkan pada konsep limit, yang dianggap buruk kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda granit pengetahuan tidak memahami esensi turunannya. Jadi, jika Anda kurang berorientasi pada hal tersebut kalkulus diferensial atau otak yang bijaksana untuk bertahun-tahun yang panjang berhasil membuang bagasi ini, silakan mulai batas fungsi. Pada saat yang sama, kuasai/ingat solusi mereka.

Sama arti praktis menunjukkan bahwa itu menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori tetaplah teori, tetapi seperti kata pepatah, Anda selalu ingin membedakannya. Dalam hal ini, lebih baik mempelajari pelajaran dasar yang tercantum, dan mungkin ahli diferensiasi tanpa menyadari inti dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai dengan materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi Anda bisa menunggu. Faktanya adalah banyak penerapan turunan yang tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan jika pelajaran teori muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskannya. menemukan interval naik/turun dan ekstrem fungsi. Apalagi dia sudah membahas topik itu cukup lama. Fungsi dan grafik”, hingga akhirnya saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Oleh karena itu teko sayang, jangan buru-buru menyerap sari turunannya seperti hewan lapar, karena rasa kenyangnya akan terasa hambar dan tidak lengkap.

Konsep kenaikan, penurunan, maksimum, minimum suatu fungsi

Banyak alat peraga mengarah pada konsep turunan menggunakan beberapa masalah praktis, dan saya juga memikirkannya contoh yang menarik. Bayangkan kita akan melakukan perjalanan ke kota yang dapat dicapai dengan berbagai cara. Mari kita segera membuang jalur berkelok-kelok dan hanya mempertimbangkan jalan raya yang lurus. Namun, petunjuk arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota melalui jalan raya yang datar. Atau di sepanjang jalan raya yang berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lainnya hanya menanjak, dan jalan lainnya selalu menurun. Penggemar olahraga ekstrem akan memilih rute melalui jurang dengan tebing terjal dan tanjakan terjal.

Namun apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui wilayah tersebut atau setidaknya memiliki peta topografinya. Bagaimana jika informasi tersebut hilang? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan yang mulus, tetapi sebagai hasilnya Anda akan menemukan lereng ski dengan orang Finlandia yang ceria. Bukan fakta bahwa navigator dan bahkan citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya memformalkan relief jalan tersebut dengan menggunakan matematika.

Mari kita lihat beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu di area yang sedang dipertimbangkan.

Apa sajakah fiturnya dari jadwal ini?

Secara berkala fungsi meningkat, yaitu, setiap nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya sudah aktif turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsinya berkurang– setiap nilai berikutnya lebih sedikit sebelumnya, dan jadwal kami aktif Perintahkan ke bawah(kita menuruni lereng).

Mari kita juga memperhatikannya poin tunggal. Pada titik yang kita capai maksimum, itu adalah ada bagian jalur yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama hal itu tercapai minimum, Dan ada lingkungannya yang nilainya paling kecil (terendah).

Kita akan melihat terminologi dan definisi yang lebih ketat di kelas. tentang ekstrem dari fungsi tersebut, tapi untuk saat ini mari kita pelajari satu lagi fitur penting: secara berkala fungsinya meningkat, tetapi meningkat Dengan pada kecepatan yang berbeda . Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya melonjak selama interval jauh lebih keren, dibandingkan pada interval . Mungkinkah mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: mari kita ambil nilai (baca "deltax"), yang akan kami panggil peningkatan argumen, dan mari kita mulai “mencobanya”. berbagai titik Jalan kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak, kita mendaki lereng hingga ketinggian (garis hijau). Besarannya disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Sebutannya adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "melepaskan" "delta" dari "X" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja komentar tersebut juga menyangkut simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan dengan lebih bermakna. Mari kita awalnya berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garis merah kiri), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsinya adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter...lupa perlengkapan pendakianmu? =) Dengan kata lain, hubungan yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) dari fungsi tersebut.

Catatan : nilai numerik Contoh yang dipertimbangkan hanya sesuai dengan proporsi gambar kira-kira.

2) Sekarang mari kita menempuh jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih bertahap, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan kasus sebelumnya akan sangat kecil. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini ada untuk setiap meter jalan rata-rata kenaikan setengah meter.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat bagian atas titik hitam, terletak pada sumbu ordinat. Anggap saja ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - di ketinggian 30 meter. Sejak gerakan itu dilakukan Perintahkan ke bawah(dalam arah “berlawanan” sumbu), lalu yang terakhir kenaikan fungsi (tinggi) akan negatif: meter (segmen coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita sudah membicarakannya tingkat penurunan Fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan pada bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebesar 2 meter. Jagalah pakaian Anda pada poin kelima.

Sekarang mari kita bertanya pada diri kita sendiri: nilai “standar pengukuran” manakah yang paling baik digunakan? Dapat dimengerti sepenuhnya, 10 meter itu sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah dipasang di atasnya. Tidak peduli apa pun gundukannya, mungkin ada jurang yang dalam di bawahnya, dan setelah beberapa meter ada sisi lainnya dengan tanjakan yang lebih curam. Jadi, dengan jarak sepuluh meter kita tidak akan mendapatkan gambaran yang jelas tentang bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut: Bagaimana nilainya lebih sedikit , semakin akurat kami menggambarkan topografi jalan. Selain itu, fakta-fakta berikut ini benar adanya:

– Untuk siapa pun poin pengangkatan Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan tertentu. Artinya pertambahan ketinggian yang bersangkutan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi di setiap titik pada interval tersebut dengan tepat.

- Juga, untuk apa pun titik kemiringan ada nilai yang sesuai sepenuhnya pada kemiringan ini. Akibatnya, pertambahan tinggi yang bersesuaian jelas negatif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi di setiap titik pada interval tertentu.

– Kasus yang sangat menarik adalah ketika laju perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah sebuah tanda jalan mulus. Dan kedua, ada situasi menarik lainnya, contohnya dapat Anda lihat pada gambar. Bayangkan nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang terbang tinggi atau dasar jurang dengan katak yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, perubahan ketinggian dapat diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya adalah nol. Ini persis seperti gambaran yang terlihat pada titik-titik tersebut.

Oleh karena itu, kita mempunyai peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Lagipula analisis matematis memungkinkan Anda mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, muncul pertanyaan logis lainnya: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya fungsi lain, yang akan memberi tahu kami tentang semua bagian datar, tanjakan, turunan, puncak, lembah, serta laju pertumbuhan/penurunan di setiap titik sepanjang perjalanan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tidak begitu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikelnya nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, akan berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara menyeluruh (nasihat ini sangat relevan untuk siswa “teknisi” yang memiliki matematika yang lebih tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Tentu saja, dalam definisi turunan pada suatu titik kita menggantinya dengan:

Apa yang telah kita capai? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk fungsinya sesuai undang-undang sudah sesuai fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Derivatifnya mencirikan tingkat perubahan fungsi Bagaimana? Idenya berjalan seperti benang merah sejak awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa hal domain definisi fungsi Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsinya bertambah di titik . Dan jelas ada selang(bahkan yang sangat kecil), berisi titik di mana fungsi tersebut bertambah, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”.

2) Jika , maka fungsinya berkurang di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsinya menurun (grafiknya “dari atas ke bawah”).

3) Jika , maka sangat dekat di dekat suatu titik, fungsi tersebut mempertahankan kecepatannya konstan. Hal ini terjadi, sebagaimana dicatat, dengan fungsi konstan dan pada titik-titik kritis fungsi, secara khusus pada titik minimum dan maksimum.

Sedikit semantik. Apa yang ada di dalam arti luas maksudnya kata kerja “membedakan”? Membedakan berarti menonjolkan suatu ciri. Dengan mendiferensiasikan suatu fungsi, kita “mengisolasi” laju perubahannya dalam bentuk turunan fungsi tersebut. Ngomong-ngomong, apa yang dimaksud dengan kata “turunan”? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil ditafsirkan oleh makna mekanis turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat benda, bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak tubuh yang diberikan. Fungsi tersebut mencirikan laju perubahan koordinat benda, oleh karena itu merupakan turunan pertama fungsi tersebut terhadap waktu: . Jika konsep “gerakan tubuh” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan tubuh".

Percepatan suatu benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep awal “gerakan benda” dan “kecepatan benda” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep “percepatan benda”.

Sejarah teorema Pythagoras sudah ada sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Pernyataan yang menyatakan bahwa hal itu telah diketahui jauh sebelum lahirnya ahli matematika Yunani. Namun, teorema Pythagoras, sejarah penciptaannya dan pembuktiannya sebagian besar dikaitkan dengan ilmuwan ini. Menurut beberapa sumber, alasannya adalah pembuktian pertama teorema yang diberikan oleh Pythagoras. Namun, beberapa peneliti menyangkal fakta tersebut.

Musik dan logika

Sebelum menceritakan bagaimana sejarah teorema Pythagoras berkembang, mari kita lihat sekilas biografi sang ahli matematika. Dia hidup pada abad ke-6 SM. Tanggal lahir Pythagoras dianggap 570 SM. e., tempatnya adalah pulau Samos. Sedikit yang diketahui secara pasti tentang kehidupan ilmuwan. Data biografi dalam sumber-sumber Yunani kuno terkait dengan fiksi yang jelas. Di halaman-halaman risalah, dia tampil sebagai seorang bijak agung dengan penguasaan kata-kata yang sangat baik dan kemampuan membujuk. Omong-omong, inilah sebabnya ahli matematika Yunani dijuluki Pythagoras, yaitu “ucapan persuasif”. Menurut versi lain, kelahiran orang bijak masa depan diprediksi oleh Pythia. Sang ayah menamai anak laki-laki itu Pythagoras untuk menghormatinya.

Orang bijak belajar dari para pemikir besar pada masa itu. Di antara guru Pythagoras muda adalah Hermodamantus dan Pherecydes dari Syros. Yang pertama menanamkan dalam dirinya kecintaan pada musik, yang kedua mengajarinya filsafat. Kedua ilmu ini akan tetap menjadi fokus ilmuwan sepanjang hidupnya.

30 tahun pelatihan

Menurut salah satu versi, sebagai seorang pemuda yang ingin tahu, Pythagoras meninggalkan tanah airnya. Dia pergi mencari ilmu di Mesir, di mana dia tinggal, menurut sumber yang berbeda, dari usia 11 hingga 22 tahun, lalu ditangkap dan dikirim ke Babilonia. Pythagoras mendapat keuntungan dari posisinya. Selama 12 tahun ia belajar matematika, geometri dan sihir negara kuno. Pythagoras kembali ke Samos hanya pada usia 56 tahun. Polycrates yang tiran memerintah di sini pada waktu itu. Pythagoras tidak bisa menerima hal itu sistem politik dan segera pergi ke selatan Italia, tempat koloni Yunani Croton berada.

Saat ini tidak mungkin untuk mengatakan dengan pasti apakah Pythagoras berada di Mesir dan Babilonia. Dia mungkin kemudian meninggalkan Samos dan langsung menuju Croton.

Pythagoras

Sejarah teorema Pythagoras dikaitkan dengan perkembangan ciptaan Filsuf Yunani sekolah. Persaudaraan agama dan etika ini mengajarkan ketaatan pada cara hidup khusus, mempelajari aritmatika, geometri dan astronomi, dan terlibat dalam studi sisi filosofis dan mistik dari angka.

Semua penemuan siswa matematikawan Yunani dikaitkan dengannya. Namun, sejarah munculnya teorema Pythagoras oleh para penulis biografi kuno hanya dikaitkan dengan filosof itu sendiri. Diasumsikan bahwa dia mewariskan kepada orang-orang Yunani pengetahuan yang diperoleh di Babilonia dan Mesir. Ada juga versi bahwa ia justru menemukan dalil hubungan antara kaki dan sisi miring, tanpa mengetahui prestasi orang lain.

Teorema Pythagoras: sejarah penemuan

Beberapa sumber Yunani kuno menggambarkan kegembiraan Pythagoras ketika berhasil membuktikan teorema tersebut. Untuk menghormati peristiwa tersebut, ia memerintahkan pengorbanan kepada para dewa berupa ratusan ekor lembu jantan dan mengadakan pesta. Namun, beberapa ilmuwan menunjukkan ketidakmungkinan tindakan seperti itu karena kekhasan pandangan Pythagoras.

Dipercaya bahwa dalam risalah “Elemen”, yang dibuat oleh Euclid, penulis memberikan bukti teorema, yang penulisnya adalah ahli matematika besar Yunani. Namun, tidak semua orang mendukung pandangan ini. Jadi, bahkan filsuf Neoplatonis kuno, Proclus, menunjukkan bahwa penulis bukti yang diberikan dalam Elemen adalah Euclid sendiri.

Meski begitu, orang pertama yang merumuskan teorema tersebut bukanlah Pythagoras.

Mesir Kuno dan Babilonia

Teorema Pythagoras, yang sejarahnya dibahas dalam artikel, menurut ahli matematika Jerman Cantor, dikenal pada tahun 2300 SM. e. di Mesir. Penduduk kuno Lembah Nil pada masa pemerintahan Firaun Amenemhat I mengetahui persamaan 3 2 + 4 ² = 5 ². Diasumsikan bahwa dengan bantuan segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5, “penarik tali” Mesir membangun sudut siku-siku.

Mereka juga mengetahui teorema Pythagoras di Babilonia. Pada tablet tanah liat yang berasal dari tahun 2000 SM. dan sejak masa pemerintahan, perhitungan perkiraan sisi miring segitiga siku-siku ditemukan.

India dan Cina

Sejarah teorema Pythagoras juga terhubung dengan peradaban kuno India dan Cina. Risalah “Zhou-bi suan jin” memuat indikasi bahwa (sisi-sisinya terkait dengan 3:4:5) telah dikenal di Tiongkok pada abad ke-12. SM e., dan pada abad ke-6. SM e. ahli matematika di negara bagian ini tahu bentuk umum teorema.

Konstruksi sudut kanan dengan bantuan segitiga Mesir hal ini juga dinyatakan dalam risalah India “Sulva Sutra”, yang berasal dari abad ke 7-5. SM e.

Dengan demikian, sejarah teorema Pythagoras pada saat kelahiran ahli matematika dan filsuf Yunani sudah berumur beberapa ratus tahun.

Bukti

Selama keberadaannya, teorema tersebut menjadi salah satu teorema fundamental dalam geometri. Sejarah pembuktian teorema Pythagoras mungkin dimulai dengan pertimbangan persegi sama sisi yang dibangun pada sisi miring dan kakinya. Segitiga yang “tumbuh” di sisi miring akan terdiri dari empat segitiga yang sama dengan segitiga pertama. Kotak di sisinya terdiri dari dua segitiga serupa. Sederhana gambar grafis dengan jelas menunjukkan validitas pernyataan yang dirumuskan dalam bentuk teorema terkenal.

Bukti sederhana lainnya menggabungkan geometri dengan aljabar. Empat segitiga siku-siku identik dengan sisi a, b, c digambar sehingga membentuk dua persegi: segitiga luar dengan sisi (a + b) dan segitiga dalam dengan sisi c. Dalam hal ini, luas persegi yang lebih kecil akan sama dengan c 2. Luas persegi besar dihitung dari jumlah luas persegi kecil dan semua segitiga (ingat, luas segitiga siku-siku dihitung dengan rumus (a*b)/2), yaitu adalah, c 2 + 4 * ((a * b) / 2), yang sama dengan c 2 + 2av. Luas persegi besar dapat dihitung dengan cara lain - sebagai hasil kali dua sisi, yaitu (a + b) 2, yang sama dengan a 2 + 2ab + b 2. Ternyata:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

Ada banyak versi pembuktian teorema ini. Euclid, ilmuwan India, dan Leonardo da Vinci mengerjakannya. Seringkali orang bijak kuno mengutip gambar, contohnya ada di atas, dan tidak disertai dengan penjelasan apa pun selain catatan “Lihat!” Kesederhanaan pembuktian geometri, asalkan tersedia beberapa pengetahuan, tidak memerlukan komentar.

Sejarah teorema Pythagoras, yang diuraikan secara singkat dalam artikel tersebut, menghilangkan prasangka mitos tentang asal usulnya. Namun, sulit untuk membayangkan bahwa nama ahli matematika dan filsuf besar Yunani tidak lagi dikaitkan dengannya.

Kapan pertama kali kamu belajar tentang akar kuadrat dan cara menyelesaikannya? persamaan irasional(persamaan yang mengandung tanda akar yang tidak diketahui), Anda mungkin mendapat gambaran pertama tentangnya penggunaan praktis. Kemampuan untuk mengekstrak Akar pangkat dua dari bilangan juga diperlukan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan teorema Pythagoras. Teorema ini menghubungkan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Misalkan panjang kaki-kaki suatu segitiga siku-siku (kedua sisi yang bertemu pada sudut siku-siku) dilambangkan dengan huruf dan, dan panjang sisi miring (sisi terpanjang dari segitiga yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku) dilambangkan dengan surat. Kemudian panjang-panjang yang bersesuaian dihubungkan dengan hubungan berikut:

Persamaan ini memungkinkan Anda mencari panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang dua sisi lainnya diketahui. Selain itu, ini memungkinkan Anda untuk menentukan apakah segitiga yang dimaksud siku-siku, asalkan panjangnya semuanya tiga sisi diketahui sebelumnya.

Menyelesaikan masalah menggunakan teorema Pythagoras

Untuk memantapkan materi, kita akan menyelesaikan soal-soal berikut dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Jadi, diberikan:

1. Panjang salah satu kakinya 48, sisi miringnya 80.
2. Panjang kakinya 84, sisi miringnya 91.

Mari kita ke solusinya:

a) Mensubstitusi data ke persamaan di atas memberikan hasil sebagai berikut:

48 2 + B 2 = 80 2

2304 + B 2 = 6400

B 2 = 4096

B= 64 atau B = -64

Karena panjang salah satu sisi suatu segitiga tidak dapat dinyatakan angka negatif, opsi kedua otomatis dibuang.

Jawaban pada gambar pertama: B = 64.

b) Panjang kaki segitiga kedua dicari dengan cara yang sama:

84 2 + B 2 = 91 2

7056 + B 2 = 8281

B 2 = 1225

B= 35 atau B = -35

Seperti pada kasus sebelumnya, keputusan negatif dibuang.

Jawaban pada gambar kedua: B = 35

Kami diberikan:

1. Panjang sisi yang lebih kecil segitiga masing-masing berjumlah 45 dan 55, yang terbesar adalah 75.
2. Panjang sisi-sisi kecil segitiga masing-masing adalah 28 dan 45, dan sisi-sisi besarnya adalah 53.

Mari kita selesaikan masalahnya:

a) Perlu diperiksa apakah jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lebih pendek sama segitiga yang diberikan kuadrat yang lebih panjang:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Oleh karena itu, segitiga pertama bukanlah segitiga siku-siku.

b) Operasi yang sama dilakukan:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Oleh karena itu, segitiga kedua adalah segitiga siku-siku.

Pertama mari kita cari panjangnya segmen terpanjang, dibentuk oleh titik-titik dengan koordinat (-2, -3) dan (5, -2). Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus terkenal untuk mencari jarak antar titik sistem persegi panjang koordinat:

Demikian pula, kita mencari panjang segmen yang terletak di antara titik-titik dengan koordinat (-2, -3) dan (2, 1):

Terakhir, kita tentukan panjang ruas antara titik-titik dengan koordinat (2, 1) dan (5, -2):

Karena persamaan berlaku:

maka segitiga yang bersesuaian adalah siku-siku.

Dengan demikian, kita dapat merumuskan jawaban dari soal tersebut: karena jumlah kuadrat sisi-sisi yang mempunyai panjang terpendek sama dengan kuadrat sisi-sisi yang mempunyai panjang terpendek. panjang terpanjang, titik-titiknya adalah titik sudut segitiga siku-siku.

Bentuk alas (terletak secara horizontal), kusen (terletak secara vertikal) dan kabel (diregangkan secara diagonal) segitiga siku-siku Oleh karena itu, untuk mencari panjang kabel dapat digunakan teorema Pythagoras:

Jadi, panjang kabelnya kurang lebih 3,6 meter.

Diketahui: jarak titik R ke titik P (kaki segitiga) adalah 24, jarak titik R ke titik Q (sisi miring) adalah 26.

Jadi, mari bantu Vita mengatasi masalahnya. Karena sisi-sisi segitiga yang ditunjukkan pada gambar seharusnya membentuk segitiga siku-siku, Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang sisi ketiga:

Jadi, lebar kolam tersebut adalah 10 meter.

Sergei Valerievich