Garis orde kedua.
Elips dan persamaan kanoniknya. Lingkaran
Setelah mempelajarinya secara menyeluruh garis lurus pada bidang tersebut Kami terus mempelajari geometri dunia dua dimensi. Taruhannya berlipat ganda dan saya mengundang Anda untuk mengunjungi galeri elips, hiperbola, parabola yang indah, yang merupakan perwakilan khas garis orde kedua. Tamasya sudah dimulai, dan yang pertama informasi singkat tentang keseluruhan pameran di berbagai lantai museum:
Konsep garis aljabar dan keteraturannya
Garis pada suatu bidang disebut aljabar, jika di sistem koordinat affine persamaannya berbentuk , dimana merupakan polinomial yang terdiri dari suku-suku yang berbentuk ( – bilangan real, – bilangan bulat non-negatif).
Seperti yang Anda lihat, persamaan garis aljabar tidak mengandung sinus, cosinus, logaritma, dan beau monde fungsional lainnya. Hanya X dan Y yang masuk bilangan bulat non-negatif derajat.
Urutan garis sama dengan nilai maksimum syarat-syarat yang termasuk di dalamnya.
Menurut teorema yang sesuai, konsep garis aljabar, serta urutannya, tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat affine, oleh karena itu, untuk kemudahan keberadaan, kami berasumsi bahwa semua perhitungan selanjutnya dilakukan di Koordinat Kartesius.
Persamaan umum baris orde kedua berbentuk , dimana 
– sewenang-wenang bilangan real (Merupakan kebiasaan untuk menulisnya dengan faktor dua), dan koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.
Jika , maka persamaan disederhanakan menjadi 
, dan jika koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang sama, maka ini tepat persamaan umum garis “datar”., yang mewakili baris pesanan pertama.
Banyak yang telah memahami arti istilah baru ini, namun, untuk 100% menguasai materi, kami memasukkan jari kami ke dalam soket. Untuk menentukan urutan baris, Anda perlu melakukan iterasi semua persyaratan persamaannya dan temukan masing-masing persamaannya jumlah derajat variabel masuk.
Misalnya:
istilah tersebut mengandung “x” pangkat 1;
istilah tersebut mengandung “Y” pangkat 1;
Tidak ada variabel dalam suku tersebut, jadi jumlah pangkatnya adalah nol.
Sekarang mari kita cari tahu mengapa persamaan tersebut mendefinisikan garis Kedua memesan:
istilahnya mengandung “x” pangkat 2;
penjumlahannya mempunyai jumlah pangkat variabel: 1 + 1 = 2;
istilahnya mengandung “Y” pangkat 2;
semua istilah lainnya - lebih sedikit derajat.
Jika kita menambahkan tambahan, katakanlah, ke persamaan kita, maka persamaan tersebut sudah menentukan garis urutan ketiga. Jelasnya, bentuk umum persamaan garis orde ke-3 berisi “ set lengkap» suku, jumlah pangkat variabelnya sama dengan tiga:
, di mana koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.
Jika Anda menambahkan satu atau lebih istilah yang sesuai yang mengandung 
, maka kita akan membicarakannya baris pesanan ke-4, dll.
Kita harus menemukan garis aljabar orde 3, 4 dan lebih tinggi lebih dari satu kali, khususnya, ketika mengenal sistem koordinat kutub.
Namun, mari kembali ke persamaan umum dan mengingat variasi sekolah yang paling sederhana. Sebagai contoh, sebuah parabola muncul, persamaannya dapat dengan mudah direduksi menjadi penampilan umum, dan hiperbola dengan persamaan setara. Namun, tidak semuanya mulus...
Kerugian yang signifikan persamaan umum adalah bahwa hampir selalu tidak jelas garis mana yang ditetapkan. Bahkan dalam kasus paling sederhana sekalipun, Anda tidak akan langsung menyadari bahwa ini adalah hiperbola. Tata letak seperti itu hanya bagus di pesta topeng, jadi berhati-hatilah geometri analitik sedang dipertimbangkan tugas khas membawa persamaan garis orde 2 ke bentuk kanonik.
Apa bentuk persamaan kanonik?
Hal ini diterima secara umum tampilan standar persamaan, ketika dalam hitungan detik menjadi jelas objek geometris apa yang didefinisikannya. Selain itu, bentuk kanonik sangat cocok untuk menyelesaikan banyak hal tugas-tugas praktis. Jadi, misalnya menurut persamaan kanonik lurus "datar"., pertama, langsung terlihat jelas bahwa ini adalah garis lurus, dan kedua, titik miliknya dan vektor arahnya mudah terlihat.
Jelas sekali baris pesanan pertama adalah garis lurus. Di lantai dua, bukan lagi penjaga yang menunggu kami, tetapi sembilan patung yang jauh lebih beragam:
Klasifikasi garis orde kedua
Dengan menggunakan serangkaian tindakan khusus, setiap persamaan garis orde kedua direduksi menjadi salah satu jenis berikut:
(dan merupakan bilangan real positif)
1) 
– persamaan kanonik elips;
2) – persamaan kanonik hiperbola;
3) 
– persamaan kanonik parabola;
4) – imajiner elips;
5) – sepasang garis berpotongan;
6) – berpasangan imajiner garis berpotongan (dengan satu titik perpotongan nyata di titik asal);
7) – sepasang garis sejajar;
8) – berpasangan imajiner garis sejajar;
9) – sepasang garis yang berhimpitan.
Beberapa pembaca mungkin mendapat kesan bahwa daftar tersebut tidak lengkap. Misalnya pada poin no. 7, persamaannya menentukan pasangan langsung, sejajar dengan sumbu, dan timbul pertanyaan: di manakah persamaan yang mendefinisikan garis lurus, sumbu paralel ordinat? Jawab ini tidak dianggap kanonik. Garis lurus mewakili kasus standar yang sama, diputar 90 derajat, dan entri tambahan dalam klasifikasi adalah mubazir, karena tidak membawa sesuatu yang baru secara fundamental.
Jadi ada sembilan dan hanya sembilan berbagai jenis baris urutan ke-2, tetapi dalam praktiknya paling sering ditemukan elips, hiperbola, dan parabola.
Mari kita lihat elipsnya dulu. Seperti biasa, saya fokus pada poin-poin yang ada sangat penting untuk memecahkan masalah, dan jika Anda memerlukan turunan rumus secara rinci, bukti teorema, silakan merujuk, misalnya, ke buku teks karya Bazylev/Atanasyan atau Aleksandrov.
Elips dan persamaan kanoniknya
Ejaan... tolong jangan ulangi kesalahan beberapa pengguna Yandex yang tertarik dengan "cara membuat elips", "perbedaan antara elips dan oval", dan "eksentrisitas elips".
Persamaan kanonik elips berbentuk , dimana bilangan real positif, dan . Saya akan merumuskan definisi elips nanti, tetapi untuk sekarang saatnya istirahat dari pembicaraan dan memecahkan masalah umum:
Bagaimana cara membuat elips?
Ya, ambil saja dan gambar saja. Tugas tersebut sering muncul, dan sebagian besar siswa tidak dapat menguasai gambar dengan benar:
Contoh 1
Buatlah elips, diberikan oleh persamaan
Larutan: Pertama, mari kita bawa persamaannya ke bentuk kanonik: 
Mengapa membawa? Salah satu kelebihan persamaan kanonik adalah memungkinkan Anda menentukan secara instan simpul elips, yang terletak di titik-titik. Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat masing-masing titik memenuhi persamaan.
DI DALAM pada kasus ini :
Segmen garis ditelepon poros utama elips;
segmen garis – sumbu kecil;
nomor 
ditelepon poros semi mayor elips;
nomor 
– sumbu kecil.
dalam contoh kita: .
Untuk membayangkan dengan cepat seperti apa elips tertentu, lihat saja nilai “a” dan “be” dari persamaan kanoniknya.
Semuanya baik-baik saja, halus dan indah, tetapi ada satu peringatan: Saya membuat gambar menggunakan program. Dan Anda dapat membuat gambarnya menggunakan aplikasi apa saja. Namun, kenyataannya, ada selembar kertas kotak-kotak di atas meja, dan tikus menari berputar-putar di tangan kita. Orang dengan bakat seni tentu saja bisa berdebat, tapi Anda juga punya tikus (walaupun lebih kecil). Bukan sia-sia umat manusia menemukan penggaris, kompas, busur derajat, dan alat sederhana lainnya untuk menggambar.
Oleh karena itu, kita tidak mungkin dapat menggambar elips secara akurat hanya dengan mengetahui titik sudutnya saja. Tidak apa-apa jika elipsnya kecil, misalnya dengan setengah sumbu. Alternatifnya, Anda dapat memperkecil skala dan, karenanya, dimensi gambar. Namun secara umum, sangat diinginkan untuk mencari poin tambahan.
Ada dua pendekatan untuk membangun elips - geometris dan aljabar. Saya tidak suka konstruksi menggunakan kompas dan penggaris karena algoritmenya bukan yang terpendek dan gambarnya sangat berantakan. Dalam keadaan darurat, silakan merujuk ke buku teks, namun kenyataannya jauh lebih rasional menggunakan alat aljabar. Dari persamaan elips pada rancangan kita dengan cepat menyatakan: 
Persamaan tersebut kemudian dipecah menjadi dua fungsi: 
– mendefinisikan busur atas elips; 
– mendefinisikan busur bawah elips.
Elips yang ditentukan oleh persamaan kanonik adalah simetris terhadap sumbu koordinat, dan juga relatif terhadap asal. Dan ini bagus - simetri hampir selalu menjadi pertanda barang gratis. Jelasnya, menangani kuarter koordinat 1 saja sudah cukup, jadi kita membutuhkan fungsinya 
. Mohon ditemukan poin tambahan dengan absis 
. Mari ketuk tiga pesan SMS di kalkulator: 
Tentu saja, menyenangkan juga jika terjadi kesalahan serius dalam perhitungan, hal itu akan segera menjadi jelas selama konstruksi.
Tandai titik-titik pada gambar (warna merah), titik-titik simetris pada busur yang tersisa ( Warna biru) dan dengan hati-hati menghubungkan seluruh perusahaan dengan sebuah garis: 
Lebih baik menggambar sketsa awal dengan sangat tipis, dan baru kemudian memberi tekanan dengan pensil. Hasilnya seharusnya berupa elips yang lumayan bagus. Ngomong-ngomong, mau tahu kurva apa itu?
Definisi elips. Fokus elips dan eksentrisitas elips
Elips adalah kasus spesial bulat telur Kata “oval” tidak boleh dipahami dalam arti filistin (“anak menggambar oval”, dll.). Ini istilah matematika, yang memiliki rumusan rinci. Tujuan pelajaran ini tidak membahas teori oval dan berbagai jenisnya, yang praktis tidak mendapat perhatian dalam mata kuliah standar geometri analitik. Dan sesuai dengan kebutuhan yang lebih mendesak, kami segera melanjutkan ke definisi yang ketat elips:
Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak ke masing-masing titik dari dua titik tertentu, disebut Trik elips - adalah besaran konstan, secara numerik sama dengan panjangnya sumbu utama elips ini: .
Pada saat yang sama, jarak antar fokus menjadi lebih kecil nilai yang diberikan: .
Sekarang semuanya akan menjadi lebih jelas: 
Bayangkan titik biru “bergerak” sepanjang elips. Jadi, berapa pun titik elips yang kita ambil, jumlah panjang ruasnya akan selalu sama:
Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita, nilai penjumlahannya benar-benar sama dengan delapan. Tempatkan secara mental titik “um” di titik sudut kanan elips, lalu: , yang perlu diperiksa.
Metode lain menggambarnya didasarkan pada definisi elips. Matematika yang lebih tinggi, terkadang menjadi penyebab ketegangan dan stres, sehingga saatnya melakukan sesi bongkar muat lagi. Silakan ambil kertas Whatman atau selembar karton besar dan tempelkan ke meja dengan dua paku. Ini akan menjadi trik. Ikat benang hijau ke kepala paku yang menonjol dan tarik seluruhnya dengan pensil. Ujung pensil akan berakhir pada titik tertentu yang termasuk dalam elips. Sekarang mulailah menggerakkan pensil di sepanjang lembaran kertas, jaga agar benang hijau tetap kencang. Lanjutkan prosesnya sampai kembali ke titik awal... bagus... gambarnya bisa dicek oleh dokter dan guru =)
Bagaimana cara mencari fokus elips?
Dalam contoh di atas, saya menggambarkan titik fokus “yang sudah jadi”, dan sekarang kita akan belajar cara mengekstraknya dari kedalaman geometri.
Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik, maka fokusnya memiliki koordinat 
, dimana itu jarak setiap fokus ke pusat simetri elips.
Perhitungannya lebih sederhana lobak kukus: 
! Koordinat spesifik dari fokus tidak dapat diidentifikasi dengan arti “tse”! Saya ulangi bahwa ini memang benar JARAK dari setiap fokus ke pusat(yang pada umumnya tidak harus ditempatkan persis di titik asal).
Oleh karena itu, jarak antar fokus juga tidak dapat dikaitkan dengan posisi kanonik elips. Dengan kata lain, elips dapat dipindahkan ke tempat lain dan nilainya tidak akan berubah, sedangkan fokusnya secara alami akan berubah koordinatnya. Tolong pertimbangkan saat ini selama studi lebih lanjut tentang topik tersebut.
Eksentrisitas elips dan makna geometrisnya
Eksentrisitas elips adalah rasio yang dapat mengambil nilai dalam rentang tersebut.
Dalam kasus kami:
Mari kita cari tahu bagaimana bentuk elips bergantung pada eksentrisitasnya. Untuk ini perbaiki simpul kiri dan kanan elips yang ditinjau, yaitu nilai sumbu semimayor akan tetap konstan. Maka rumus eksentrisitasnya akan berbentuk: .
Mari kita mulai mendekatkan nilai eksentrisitas pada kesatuan. Hal ini hanya mungkin terjadi jika. Apa artinya? ...ingat triknya 
. Artinya fokus elips akan “bergerak menjauh” sepanjang sumbu absis menuju simpul samping. Dan, karena “bagian hijau bukanlah karet”, elips pasti akan mulai rata, berubah menjadi sosis yang semakin tipis yang digantung pada porosnya.
Dengan demikian, Bagaimana nilai lebih dekat eksentrisitas elips terhadap kesatuan, semakin memanjang elips tersebut.
Sekarang mari kita simulasikan proses sebaliknya: fokus elips 
berjalan menuju satu sama lain, mendekati tengah. Artinya nilai “ce” semakin mengecil sehingga eksentrisitasnya cenderung nol: .
Dalam hal ini, “segmen hijau” sebaliknya akan “menjadi ramai” dan mulai “mendorong” garis elips ke atas dan ke bawah.
Dengan demikian, Semakin dekat nilai eksentrisitas ke nol, semakin mirip elipsnya... lihat kasus pembatas ketika fokus berhasil disatukan kembali di titik asal:
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips
Memang, dalam kasus persamaan sumbu semi, persamaan kanonik elips berbentuk , yang secara refleks diubah menjadi persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal jari-jari “a”, yang terkenal di sekolah.
Dalam prakteknya, notasi dengan huruf “berbicara” “er” lebih sering digunakan: . Jari-jari adalah panjang suatu ruas, dengan setiap titik pada lingkaran berjarak satu jarak radius dari pusatnya.
Perhatikan bahwa definisi elips tetap sepenuhnya benar: fokusnya bertepatan, dan jumlah panjang segmen yang berhimpitan untuk setiap titik pada lingkaran adalah konstan. Karena jarak antara fokus adalah , maka eksentrisitas suatu lingkaran adalah nol.
Membuat lingkaran itu mudah dan cepat, cukup gunakan kompas. Namun, terkadang perlu untuk mengetahui koordinat beberapa titiknya, dalam hal ini kita menggunakan cara yang biasa - kita membawa persamaan tersebut ke bentuk Matanov yang ceria:
– fungsi setengah lingkaran atas;
– fungsi setengah lingkaran bawah.
Setelah itu kita temukan nilai-nilai yang diperlukan, membedakan, mengintegrasikan dan melakukan hal-hal baik lainnya.
Artikel tersebut tentu saja hanya untuk referensi saja, tapi bagaimana Anda bisa hidup di dunia tanpa cinta? tugas kreatif Untuk keputusan independen
Contoh 2
Buatlah persamaan kanonik elips jika salah satu fokus dan sumbu semi minornya diketahui (pusatnya berada di titik asal). Temukan simpul, titik tambahan, dan buat garis pada gambar. Hitung eksentrisitas.
Solusi dan gambar di akhir pelajaran
Mari tambahkan tindakan:
Putar dan terjemahkan paralel elips
Mari kita kembali ke persamaan kanonik elips, yaitu kondisi yang misterinya telah menyiksa pikiran yang ingin tahu sejak pertama kali kurva ini disebutkan. Jadi kami melihat elips 
, tetapi tidakkah mungkin dalam praktiknya memenuhi persamaan tersebut 
? Lagi pula, di sini, tampaknya juga berbentuk elips!
Persamaan seperti ini jarang terjadi, namun bisa saja terjadi. Dan itu sebenarnya mendefinisikan elips. Mari kita demistifikasi: 
Konstruksi tersebut menghasilkan elips asli kita yang diputar 90 derajat. Itu adalah, 
- Ini entri non-kanonik elips 
. Catatan!- persamaan 
tidak mendefinisikan elips lainnya, karena tidak ada titik (fokus) pada sumbu yang memenuhi definisi elips.
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu F_1, dan F_2 adalah nilai konstanta (2a) yang lebih besar dari jarak (2c) antara titik-titik tersebut poin yang diberikan(Gbr. 3.36, a). Definisi geometris ini mengungkapkan properti fokus elips.
Properti fokus elips
Titik F_1 dan F_2 disebut fokus elips, jarak antara keduanya 2c=F_1F_2 adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat elips, angka 2a adalah panjang sumbu mayor elips elips (dengan demikian, angka a adalah sumbu semi-mayor elips). Segmen F_1M dan F_2M menghubungkan titik sewenang-wenang M elips dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M. Ruas yang menghubungkan dua titik pada suatu elips disebut tali busur elips.
Rasio e=\frac(c)(a) disebut eksentrisitas elips. Dari definisi (2a>2c) maka 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definisi geometris elips, yang menyatakan sifat fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik elips:
Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.36c). Kita ambil pusat O elips sebagai titik asal sistem koordinat; kita ambil garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus atau sumbu pertama elips) sebagai sumbu absis (arah positifnya adalah dari titik F_1 ke titik F_2); mari kita ambil garis lurus yang tegak lurus sumbu fokus dan melalui pusat elips (sumbu kedua elips) sebagai sumbu ordinat (arah pada sumbu ordinat dipilih sedemikian rupa sehingga sistem persegi panjang koordinat Oxy ternyata benar).
Mari kita buat persamaan elips menggunakan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0),~F_2(c,0). Untuk titik sembarang M(x,y) yang termasuk dalam elips, kita mempunyai:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Menuliskan persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita peroleh:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Kita pindahkan radikal kedua ke ruas kanan, kuadratkan kedua ruas persamaan dan bawa suku-suku serupa:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Panah kiri kanan ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Membaginya dengan 4, kita mengkuadratkan kedua ruas persamaan:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Panah Kanan Kiri~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Setelah ditunjuk b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kita mendapatkan b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Membagi kedua ruas dengan a^2b^2\ne0, kita sampai pada persamaan kanonik elips:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Oleh karena itu, sistem koordinat yang dipilih bersifat kanonik.
Jika titik fokus elips bertepatan, maka elips tersebut adalah lingkaran (Gbr. 3.36,6), karena a=b. Dalam hal ini, setiap sistem koordinat persegi panjang dengan titik asal di suatu titik akan bersifat kanonik O\ekuivalen F_1\ekuivalen F_2, dan persamaan x^2+y^2=a^2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik O dan jari-jari sama dengan a.
Dengan bernalar urutan terbalik, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.49), dan hanya titik tersebut, termasuk dalam tempat kedudukan titik-titik geometri yang disebut elips. Dengan kata lain, definisi analitis elips setara dengan itu definisi geometris, menyatakan sifat fokus elips.
Properti direktori elips
Direktriks elips adalah dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama \frac(a^2)(c) darinya. Pada c=0, jika elips berbentuk lingkaran, tidak ada direktriks (kita dapat berasumsi bahwa direktriks berada pada tak terhingga).
Elips dengan eksentrisitas 0
Faktanya, misalnya, untuk fokus F_2 dan direktriks d_2 (Gbr. 3.37,6) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat dituliskan dalam bentuk koordinat:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\kanan)
Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kita sampai pada persamaan elips kanonik (3.49). Alasan serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan sutradara d_1\titik dua\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Persamaan elips dalam sistem koordinat kutub
Persamaan elips pada sistem koordinat kutub F_1r\varphi (Gbr. 3.37, c dan 3.37 (2)) berbentuk
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
di mana p=\frac(b^2)(a) adalah parameter fokus elips.
Faktanya, mari kita pilih fokus kiri F_1 elips sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar F_1F_2 sebagai sumbu kutub (Gbr. 3.37, c). Kemudian untuk titik sembarang M(r,\varphi), menurut definisi geometri (properti fokus) elips, kita mempunyai r+MF_2=2a. Kami menyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_2(2c,0) (lihat paragraf 2 dari keterangan 2.8):
\begin(sejajar)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(sejajar)
Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan elips F_1M+F_2M=2a berbentuk
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Kami mengisolasi radikal, mengkuadratkan kedua sisi persamaan, membaginya dengan 4 dan menyajikan suku-suku serupa:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\kanan)\!\cdot r=a^2-c^2.
Nyatakan jari-jari kutub r dan lakukan penggantian e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Panah Kanan Kiri \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Arti geometris dari koefisien dalam persamaan elips
Mari kita cari titik potong elips (lihat Gambar 3.37a) dengan sumbu koordinat (titik puncak elips). Mengganti y=0 ke dalam persamaan, kita mencari titik potong elips dengan sumbu absis (dengan sumbu fokus): x=\pm a. Jadi, panjang ruas sumbu fokus yang terdapat di dalam elips adalah 2a. Ruas ini, sebagaimana disebutkan di atas, disebut sumbu mayor elips, dan bilangan a adalah sumbu semi mayor elips. Mengganti x=0, kita mendapatkan y=\pm b. Jadi, panjang ruas sumbu kedua elips yang berada di dalam elips adalah 2b. Ruas ini disebut sumbu minor elips, dan bilangan b adalah sumbu semiminor elips.
Benar-benar, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, dan persamaan b=a diperoleh hanya dalam kasus c=0, jika elipsnya berbentuk lingkaran. Sikap k=\frac(b)(a)\leqslant1 disebut rasio kompresi elips.
Catatan 3.9
1. Garis lurus x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, yang di dalamnya terdapat elips (lihat Gambar 3.37, a).
2. Elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang diperoleh dengan memampatkan lingkaran ke diameternya.
Misalkan persamaan lingkaran pada sistem koordinat persegi panjang Oxy adalah x^2+y^2=a^2. Ketika dikompresi ke sumbu x dengan koefisien 0 \begin(kasus)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(kasus) Substitusikan lingkaran x=x" dan y=\frac(1)(k)y" ke dalam persamaan, kita peroleh persamaan koordinat bayangan M"(x",y") dari titik M(x,y ) : (x")^2+(\kiri(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} sejak b=k\cdot a . Ini adalah persamaan kanonik elips. 3. Sumbu koordinat (sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri elips (disebut sumbu utama elips), dan pusatnya adalah pusat simetri. Memang jika titik M(x,y) termasuk dalam elips . maka titik M"(x,-y) dan M""(-x,y), simetris terhadap titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk dalam elips yang sama. 4. Dari persamaan elips pada sistem koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.37, c), ternyata makna geometris parameter fokus adalah setengah panjang tali busur elips yang melalui fokusnya tegak lurus sumbu fokus ( r = p pada \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk elips, yaitu selisih antara elips dan lingkaran. Semakin besar e, semakin memanjang elipsnya, dan semakin dekat e ke nol, semakin dekat elips tersebut ke lingkaran (Gbr. 3.38a). Memang, dengan mempertimbangkan bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2-b^2 , kita mendapatkan E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kiri(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} di mana k adalah rasio kompresi elips, 0 6. Persamaan \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 di a
7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b mendefinisikan elips dengan pusat di titik O"(x_0,y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.38, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36). Ketika a=b=R persamaannya (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 menggambarkan lingkaran berjari-jari R dengan pusat di titik O"(x_0,y_0) . Persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk \begin(kasus)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(kasus)0\leqslant t<2\pi.
Memang, dengan mengganti ekspresi ini ke persamaan (3.49), kita sampai pada identitas trigonometri utama \cos^2t+\sin^2t=1 . Contoh 3.20. Gambarlah sebuah elips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan sumbu semi, panjang fokus, eksentrisitas, rasio kompresi, parameter fokus, persamaan direktriks. Larutan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kita menentukan sumbu semi-sumbu: a=2 - sumbu semi-mayor, b=1 - sumbu semi-minor elips. Kita membuat persegi panjang utama dengan sisi 2a=4,~2b=2 dengan pusat di titik asal (Gbr. 3.39). Mengingat simetri elips, kita memasukkannya ke dalam persegi panjang utama. Jika perlu, tentukan koordinat beberapa titik elips. Misalnya, dengan mensubstitusikan x=1 ke persamaan elips, kita peroleh \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ segi empat y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat \kiri(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\kanan)\!,~\kiri(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\kanan)- milik elips. Menghitung rasio kompresi k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Kami menyusun persamaan direktriks: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Panah Kanan Kiri~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Kurva orde kedua pada suatu bidang terdapat garis-garis yang ditentukan oleh persamaan-persamaan yang koordinat variabelnya X Dan kamu termasuk dalam derajat kedua. Ini termasuk elips, hiperbola dan parabola. Bentuk umum persamaan kurva orde kedua adalah sebagai berikut: Di mana A, B, C, D, E, F- angka dan setidaknya salah satu koefisien A, B, C tidak sama dengan nol. Saat memecahkan masalah dengan kurva orde kedua, persamaan kanonik elips, hiperbola, dan parabola paling sering dipertimbangkan. Sangat mudah untuk beralih ke persamaan umum; contoh 1 soal elips akan dikhususkan untuk ini. Definisi elips. Elips adalah himpunan semua titik pada bidang yang jumlah jarak ke titik-titik yang disebut fokus bernilai konstan lebih besar daripada jarak antar fokus. Fokusnya ditunjukkan seperti pada gambar di bawah ini. Persamaan kanonik elips berbentuk: Di mana A Dan B (A > B) - panjang setengah sumbu, yaitu setengah panjang segmen yang dipotong oleh elips pada sumbu koordinat. Garis lurus yang melalui titik fokus elips disebut sumbu simetrinya. Sumbu simetri elips yang lain adalah garis lurus yang melalui titik tengah suatu ruas yang tegak lurus ruas tersebut. Dot TENTANG perpotongan garis-garis ini berfungsi sebagai pusat simetri elips atau sekadar pusat elips. Sumbu absis elips berpotongan di titik ( A, TENTANG) Dan (- A, TENTANG), dan sumbu ordinatnya dalam satuan titik ( B, TENTANG) Dan (- B, TENTANG). Keempat titik ini disebut simpul elips. Ruas antara titik-titik elips pada sumbu x disebut sumbu mayor, dan pada sumbu ordinat disebut sumbu minor. Segmennya dari atas ke tengah elips disebut semi-sumbu. Jika A = B, maka persamaan elipsnya berbentuk . Ini adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari A, dan lingkaran adalah kasus khusus dari elips. Elips dapat diperoleh dari radius lingkaran A, jika Anda mengompresnya menjadi A/B kali sepanjang sumbu Oi
. Contoh 1. Periksa apakah garis yang diberikan oleh persamaan umum adalah Larutan. Kami mengubah persamaan umum. Kami menggunakan pemindahan suku bebas ke ruas kanan, pembagian suku demi suku persamaan dengan bilangan yang sama, dan pengurangan pecahan: Menjawab. Persamaan yang diperoleh dari transformasi tersebut merupakan persamaan kanonik elips. Oleh karena itu, garis ini berbentuk elips. Contoh 2. Buatlah persamaan kanonik elips jika sumbu semi-nya masing-masing sama dengan 5 dan 4. Larutan. Kita melihat rumus persamaan kanonik elips dan menggantinya: sumbu semimayor adalah A= 5, sumbu semi minornya adalah B= 4 . Kami memperoleh persamaan kanonik elips: Titik dan , ditandai dengan warna hijau pada sumbu utama, dimana disebut Trik. ditelepon keanehan elips. Sikap B/A mencirikan “oblateness” dari elips. Semakin kecil rasio ini, elips semakin memanjang sepanjang sumbu mayor. Namun, derajat pemanjangan elips lebih sering dinyatakan melalui eksentrisitas, yang rumusnya diberikan di atas. Untuk elips yang berbeda, eksentrisitasnya bervariasi dari 0 hingga 1, selalu kurang dari satu. Contoh 3. Buatlah persamaan kanonik elips jika jarak antara fokus adalah 8 dan sumbu utama adalah 10. Larutan. Mari kita buat beberapa kesimpulan sederhana: Jika sumbu mayor sama dengan 10, maka setengahnya, yaitu sumbu semi A = 5
, Jika jarak antara fokus adalah 8, maka bilangan tersebut C koordinat fokus sama dengan 4. Kami mengganti dan menghitung: Hasilnya adalah persamaan kanonik elips: Contoh 4. Buatlah persamaan kanonik elips jika sumbu mayornya adalah 26 dan eksentrisitasnya adalah . Larutan. Sebagai berikut dari ukuran sumbu mayor dan persamaan eksentrisitas, sumbu semimayor elips A= 13. Dari persamaan eksentrisitas kita nyatakan bilangannya C, diperlukan untuk menghitung panjang sumbu semi minor: Kami menghitung kuadrat panjang sumbu semi minor: Kami menyusun persamaan kanonik elips: Contoh 5. Tentukan fokus elips yang diberikan oleh persamaan kanonik. Larutan. Temukan nomornya C, yang menentukan koordinat pertama fokus elips: Kami mendapatkan fokus elips: Contoh 6. Fokus elips terletak pada sumbu Sapi simetris terhadap titik asal. Buatlah persamaan kanonik elips jika: 1) jarak titik fokus adalah 30 dan sumbu mayor adalah 34 2) sumbu minor 24, dan salah satu fokusnya berada di titik (-5; 0) 3) eksentrisitas, dan salah satu fokusnya ada di titik (6; 0) Jika adalah titik sembarang dari elips (ditunjukkan dengan warna hijau di bagian kanan atas elips pada gambar) dan merupakan jarak ke titik tersebut dari fokus, maka rumus jaraknya adalah sebagai berikut: Untuk setiap titik yang termasuk dalam elips, jumlah jarak dari fokus adalah nilai konstan sebesar 2 A. Garis ditentukan oleh persamaan disebut kepala sekolah elips (pada gambar ada garis merah di sepanjang tepinya). Dari dua persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang titik elips dimana dan adalah jarak titik ini ke direktriks dan . Contoh 7. Diberikan elips. Tuliskan persamaan direktriksnya. Larutan. Kita melihat persamaan direktriks dan menemukan bahwa kita perlu mencari eksentrisitas elips, yaitu. Kami memiliki semua data untuk ini. Kami menghitung: Kita memperoleh persamaan direktriks elips: Contoh 8. Buatlah persamaan kanonik elips jika fokusnya berupa titik dan direktriksnya berupa garis. Kuliah tentang aljabar dan geometri. Semester 1. Kuliah 15. Elips. Bab 15. Elips. ayat 1. Definisi dasar. Definisi. Elips adalah GMT suatu bidang, jumlah jarak ke dua titik tetap pada bidang tersebut, disebut fokus, adalah nilai konstan. Definisi. Jarak dari titik sembarang M pada bidang ke fokus elips disebut jari-jari fokus titik M. Sebutan: Menurut definisi elips, titik M adalah titik elips jika dan hanya jika perhatikan itu Menurut definisi elips, fokusnya adalah titik-titik tetap, sehingga jarak antara titik-titik tersebut juga merupakan nilai konstan untuk elips tertentu. Definisi. Jarak antara fokus elips disebut panjang fokus. Penamaan: Dari segitiga Mari kita nyatakan dengan b bilangan yang sama dengan Definisi. Sikap disebut eksentrisitas elips. Mari kita perkenalkan sistem koordinat pada bidang ini, yang kita sebut kanonik untuk elips. Definisi. Sumbu tempat fokus elips disebut sumbu fokus. Mari kita buat PDSC kanonik untuk elips, lihat Gambar 2. Kami memilih sumbu fokus sebagai sumbu absis, dan menggambar sumbu ordinat melalui bagian tengah segmen Kemudian fokusnya memiliki koordinat ayat 2. Persamaan kanonik elips. Dalil. Dalam sistem koordinat kanonik elips, persamaan elips berbentuk: Bukti. Pembuktiannya kami lakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kita akan membuktikan bahwa koordinat titik mana pun yang terletak pada elips memenuhi persamaan (4). Pada tahap kedua kita akan membuktikan bahwa setiap solusi persamaan (4) memberikan koordinat suatu titik yang terletak pada elips. Oleh karena itu persamaan (4) dipenuhi oleh titik-titik tersebut dan hanya titik-titik pada bidang koordinat yang terletak pada elips. Dari sini dan dari definisi persamaan kurva maka persamaan (4) adalah persamaan elips. 1) Misalkan titik M(x, y) adalah titik pada elips, yaitu. jumlah jari-jari fokusnya adalah 2a: Mari kita gunakan rumus jarak antara dua titik pada bidang koordinat dan gunakan rumus ini untuk mencari jari-jari fokus suatu titik M: Mari kita pindahkan satu akar ke ruas kanan persamaan dan mengkuadratkannya: Mengurangi, kita mendapatkan: Kami menyajikan yang serupa, kurangi 4 dan hilangkan radikalnya: mengkuadratkan Buka tanda kurung dan persingkat di mana kita mendapatkan: Dengan menggunakan persamaan (2), kita memperoleh: Membagi persamaan terakhir dengan 2) Misalkan sepasang bilangan (x, y) memenuhi persamaan (4) dan misalkan M(x, y) adalah titik yang bersesuaian pada bidang koordinat Oxy. Kemudian dari (4) sebagai berikut: Kami mengganti persamaan ini ke dalam ekspresi jari-jari fokus titik M: Di sini kami menggunakan persamaan (2) dan (3). Dengan demikian, Sekarang perhatikan bahwa dari persamaan (4) berikut ini Oleh karena itu, pada gilirannya, berikut ini Dari persamaan (5) berikut ini Teorema tersebut telah terbukti. Definisi. Persamaan (4) disebut persamaan kanonik elips. Definisi. Sumbu koordinat kanonik elips disebut sumbu utama elips. Definisi. Asal usul sistem koordinat kanonik elips disebut pusat elips. ayat 3. Properti elips. Dalil. (Sifat elips.) 1. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, semuanya titik-titik elips berada pada persegi panjang 2. Poinnya terletak pada 3. Elips adalah kurva yang simetris terhadap sumbu utama mereka. 4. Pusat elips adalah pusat simetrinya. Bukti. 1, 2) Langsung mengikuti persamaan kanonik elips. 3, 4) Misalkan M(x, y) adalah titik sembarang pada elips. Maka koordinatnya memenuhi persamaan (4). Namun koordinat titik-titik tersebut juga memenuhi persamaan (4), dan oleh karena itu, merupakan titik-titik elips, yang kemudian menjadi dasar pernyataan teorema. Teorema tersebut telah terbukti. Definisi. Besaran 2a disebut sumbu mayor elips, besaran a disebut sumbu semi mayor elips. Definisi. Besaran 2b disebut sumbu minor elips, besaran b disebut sumbu semiminor elips. Definisi. Titik potong elips dengan sumbu utamanya disebut titik sudut elips. Komentar. Elips dapat dibuat sebagai berikut. Di pesawat, kami “menancapkan paku ke titik fokus” dan mengikatkan seutas benang ke titik tersebut Dari definisi eksentrisitas berikut ini Mari kita perbaiki bilangan a dan arahkan bilangan c ke nol. Lalu di Sekarang mari kita langsung ayat 4. Persamaan parametrik elips. Dalil. Membiarkan adalah persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik untuk elips. Bukti. Cukup dibuktikan bahwa sistem persamaan (6) ekuivalen dengan persamaan (4), yaitu. mereka memiliki serangkaian solusi yang sama. 1) Misalkan (x, y) adalah solusi sembarang untuk sistem (6). Bagi persamaan pertama dengan a, persamaan kedua dengan b, kuadratkan kedua persamaan dan tambahkan: Itu. setiap solusi (x, y) dari sistem (6) memenuhi persamaan (4). 2) Sebaliknya, misalkan pasangan (x, y) menjadi solusi persamaan (4), yaitu. Dari persamaan ini diperoleh titik dengan koordinat Dari pengertian sinus dan cosinus langsung berikut ini Teorema tersebut telah terbukti. Komentar. Elips dapat diperoleh sebagai hasil “kompresi” seragam lingkaran berjari-jari a terhadap sumbu absis. Membiarkan Dengan transformasi ini, setiap titik pada lingkaran “bertransisi” ke titik lain pada bidang yang memiliki absis yang sama, tetapi ordinatnya lebih kecil. Mari kita nyatakan ordinat lama suatu titik melalui ordinat baru: dan substitusikan lingkaran ke dalam persamaan: Dari sini kita mendapatkan: Oleh karena itu, jika sebelum transformasi “kompresi”, titik M(x, y) terletak pada lingkaran, yaitu. koordinatnya memenuhi persamaan lingkaran, kemudian setelah transformasi “kompresi” titik ini “berubah” menjadi titik ayat 5. Bersinggungan dengan elips. Dalil. Membiarkan Maka persamaan garis singgung elips di titik tersebut Bukti. Cukup dengan memperhatikan kasus ketika titik singgung terletak pada seperempat pertama atau kedua bidang koordinat: Mari kita gunakan persamaan tangen grafik fungsi Di mana Kami mengganti nilai turunan yang ditemukan ke dalam persamaan tangen (10): di mana kita mendapatkan: Ini menyiratkan: Mari kita bagi persamaan ini dengan Perlu dicatat bahwa Persamaan tangen (8) dibuktikan dengan cara yang sama pada titik singgung yang terletak pada kuarter ketiga atau keempat bidang koordinat. Dan terakhir, kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa persamaan (8) memberikan persamaan tangen pada titik-titiknya Teorema tersebut telah terbukti. ayat 6. Properti cermin elips. Dalil. Garis singgung elips mempunyai sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus titik singgung tersebut. Membiarkan Teorema menyatakan bahwa Persamaan ini dapat diartikan sebagai persamaan sudut datang dan pantulan seberkas cahaya dari suatu elips yang dilepaskan dari fokusnya. Properti ini disebut properti cermin elips: Seberkas cahaya yang dilepaskan dari fokus elips, setelah dipantulkan dari cermin elips, melewati fokus elips yang lain. Bukti teorema. Untuk membuktikan persamaan sudut (11), kita buktikan kesebangunan segitiga Persamaan parametrik elips
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!
Elips diberikan oleh persamaan kanonik
, elips.
.
.
Mari kita terus menyelesaikan masalah elips bersama-sama
,
.
– fokus elips, 
– jari-jari fokus titik M.
- nilai konstan. Konstanta ini biasanya dilambangkan dengan 2a:
.
(1)
.
.
mengikuti itu 
, yaitu
.
, yaitu
.
(2)
(3)
tegak lurus terhadap sumbu fokus.
,
.
.
(4)
.
,
, dari mana kita mendapatkan:
.
:
.
, kita memperoleh persamaan (4), dst.
.
.
. Juga, 
.
atau 
dll. 
, maka pertidaksamaannya sebagai berikut:
.
atau 
Dan
,
.
(5)
, yaitu titik M(x, y) adalah titik elips, dan seterusnya.
,
.
. Lalu kita ambil pensil dan gunakan untuk mengencangkan benang. Kemudian kita gerakkan ujung pensil di sepanjang bidang, pastikan benangnya kencang.
,
Dan 
. Dalam batas yang kita dapatkan
atau 
– persamaan lingkaran.
. Kemudian 
,
dan kita melihat bahwa pada batas elips merosot menjadi ruas garis lurus 
dalam notasi Gambar 3.
– bilangan real sembarang. Kemudian sistem persamaan
,
(6)
.
.
terletak pada lingkaran berjari-jari satuan dengan pusat di titik asal, yaitu. adalah suatu titik pada lingkaran trigonometri yang mempunyai sudut tertentu 
:
,
, Di mana 
, maka pasangan (x, y) adalah solusi sistem (6), dst.
– persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal. “Kompresi” lingkaran ke sumbu absis tidak lebih dari transformasi bidang koordinat, yang dilakukan menurut aturan berikut. Untuk setiap titik M(x, y) kita mengasosiasikan sebuah titik pada bidang yang sama 
, Di mana 
,
- rasio kompresi.
.
.
(7)
, yang koordinatnya memenuhi persamaan elips (7). Jika kita ingin memperoleh persamaan elips dengan sumbu semiminorb, maka kita perlu mengambil faktor kompresi
.
– titik sembarang dari elips
.
memiliki bentuk:
.
(8)
. Persamaan elips pada setengah bidang atas berbentuk:
.
(9)
pada intinya 
:
– nilai turunan suatu fungsi tertentu di suatu titik 
. Elips pada kuartal pertama dapat dianggap sebagai grafik fungsi (8). Mari kita cari turunannya dan nilainya di titik singgung:
,
. Di sini kita mengambil keuntungan dari fakta bahwa titik singgung 
adalah titik elips dan oleh karena itu koordinatnya memenuhi persamaan elips (9), yaitu.
.
,
:
.
, Karena dot 
milik elips dan koordinatnya memenuhi persamaannya.
,
:
atau 
, Dan 
atau 
.
– titik kontak, 
,
– jari-jari fokus titik singgung, P dan Q – proyeksi fokus pada garis singgung yang ditarik ke elips di titik tersebut 
.
.
(11)
Dan 
, di mana para pihak 
Dan 
akan serupa. Karena segitiga-segitiga itu siku-siku, maka persamaannya sudah cukup untuk dibuktikan
