Definisi fungsi halus dan contohnya. Perkiraan dengan fungsi analitik

Titik-titik diferensiasinya padat dan mempunyai kontinum. Ada fungsi kontinu yang mulus pada garis bilangan dan tidak terdiferensiasi. G.f. memiliki turunan di setiap titik ekstrem lokal dan, oleh karena itu, teorema dasar kalkulus diferensial tetap berlaku untuk fungsi kontinu mulus - teorema Rolle, Lagrange, Cauchy,

Darboux dan lainnya.

Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M.Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa itu "FUNGSI HALUS" di kamus lain:

Atau fungsi terdiferensiasi kontinu adalah fungsi yang mempunyai turunan kontinu pada seluruh himpunan definisinya. Informasi dasar Fungsi halus orde tinggi juga dipertimbangkan, yaitu fungsi dengan orde kelancaran memiliki ... ... Wikipedia

Fungsi halus- suatu fungsi yang semua turunan parsialnya, hingga orde r inklusif, kontinu. Artinya "kelancaran tatanan r". ...

fungsi lancar- Suatu fungsi yang turunan parsialnya, hingga orde r inklusif, kontinu. Artinya "kelancaran tatanan r". Topik: ekonomi EN kelancaran fungsi… Panduan Penerjemah Teknis

Fungsi halus sepotong-sepotong adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real, terdiferensiasi pada setiap interval yang membentuk domain definisi. Definisi formal Biarkan poin-poin perubahan rumus diberikan. Seperti semuanya sepotong-sepotong... ... Wikipedia

- adalah fungsi mulus pada manifold yang memiliki titik kritis tak merosot. Fungsi Morse berasal dan digunakan dalam teori Morse, salah satu alat utama topologi diferensial. Isi 1 Definisi 2 Properti ... Wikipedia

Fungsi halus yang memiliki sifat khusus tertentu. M.f. muncul dan digunakan dalam teori Morse. Biarkan Hilbert yang halus melengkapi (sehubungan dengan beberapa metrik Riemannian) manifold (misalnya, dimensi hingga) yang batasnya adalah... ... Ensiklopedia Matematika

Fungsi tertentu adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan real, didefinisikan pada setiap interval yang membentuk domain definisi dengan rumus terpisah. Definisi dan tugas formal Biarkan poin-poin perubahan rumus diberikan... Wikipedia

1) P.f. dalam teori deret trigonometri, suatu fungsi diperkenalkan oleh B. Riemann (B. Riemann, 1851) (lihat) untuk mempelajari masalah keterwakilan suatu fungsi trigonometri. di dekat. Misalkan deret (*) diberikan dengan batasan... ... Ensiklopedia Matematika

Generalisasi konsep fungsi halus, termasuk fungsi linier halus, cembung, dan sepotong-sepotong. Definisi Suatu fungsi disebut semihalus jika pada setiap titik terdapat himpunan bagian operator linier sedemikian rupa sehingga untuk sembarang barisan ... Wikipedia

Fungsi spline- Fungsi halus sedikit demi sedikit digunakan untuk menyelaraskan deret waktu. Penerapan S.f. alih-alih fungsi tren biasa, fungsi ini efektif ketika tren dan arah rangkaian berubah dalam periode yang dianalisis. S.f. membantu... ... Kamus ekonomi dan matematika

Di seluruh rangkaian definisi. Sangat sering di bawah mulus fungsi berarti fungsi yang mempunyai turunan kontinu semua orde.

Informasi dasar[ | ]

Fungsi halus dari orde yang lebih tinggi juga dipertimbangkan, yaitu fungsi dengan urutan kelancaran r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) memiliki turunan kontinu dari semua ordo hingga r (\gaya tampilan r) inklusif (turunan orde nol adalah fungsi itu sendiri). Fungsi seperti ini disebut r (\gaya tampilan r)-mulus. Sekelompok r (\gaya tampilan r)-Fungsi halus yang didefinisikan dalam domain dilambangkan dengan C r (Ω) (\displaystyle C^(r)(\Omega)). Catatan f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) maksudnya f ∈ C r (Ω) (\displaystyle f\in C^(r)(\Omega)) untuk siapa pun r (\gaya tampilan r), fungsi seperti itu disebut tanpa henti-mulus(terkadang yang dimaksud dengan fungsi halus adalah fungsi yang sangat mulus). Terkadang notasi juga digunakan f ∈ C ω (Ω) (\displaystyle f\in C^(\omega )(\Omega)) atau f ∈ C a (Ω) (\displaystyle f\in C^(a)(\Omega)), yang berarti itu f (\gaya tampilan f)- analitis.

Misalnya, C 0 (Ω) (\displaystyle C^(0)(\Omega))- kumpulan kontinu Ω (\displaystyle \Omega ) fungsi, dan C 1 (Ω) (\displaystyle C^(1)(\Omega))- himpunan yang dapat dibedakan secara kontinu Ω (\displaystyle \Omega ) fungsi, yaitu fungsi yang mempunyai turunan kontinu di setiap titik pada daerah tertentu.

Jika urutan kehalusan tidak ditentukan, maka biasanya dianggap cukup agar semua tindakan yang dilakukan pada fungsi tersebut selama penalaran saat ini menjadi masuk akal.

Perkiraan dengan fungsi analitik[ | ]

Biarkan daerah itu Ω (\displaystyle \Omega ) buka di R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Dan f ∈ C k (Ω) (\displaystyle f\in C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Membiarkan ( K p ) (\displaystyle \(K_(p)\))- urutan himpunan bagian kompak Ω (\displaystyle \Omega ) seperti yang K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\displaystyle K_(p)\subset K_(p+1)) Dan ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). Membiarkan ( n p ) (\displaystyle \(n_(p)\))- barisan bilangan bulat positif dan yang berubah-ubah m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Akhirnya, biarkan ( ε p ) (\displaystyle \(\varepsilon _(p)\))- urutan angka positif yang berubah-ubah. Lalu ada fungsi analitik nyata g (\gaya tampilan g), didefinisikan dalam Ω (\displaystyle \Omega ) sedemikian rupa untuk semua orang p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) ketimpangan terpenuhi

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Di mana ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p))((K_(p+1)\backslash K_(p))) )) menunjukkan norma maksimum (dalam arti konvergensi seragam, yaitu modulus maksimum pada himpunan K p + 1 ∖ K p (\displaystyle (K_(p+1)\backslash K_(p)))) turunan dari fungsi tersebut f − g (\displaystyle fg) semua pesanan dari nol hingga m p (\displaystyle (m_(p))) inklusif.

Di seluruh rangkaian definisi.

Informasi dasar

Fungsi halus dari orde yang lebih tinggi juga dipertimbangkan, yaitu fungsi dengan urutan kelancaran $R$ mempunyai turunan keteraturan yang kontinu $R$. Sekelompok fungsi-fungsi tersebut didefinisikan di lapangan $\backslash Akhir$ dilambangkan dengan $C^r(\backslash Omega)$. $f\backslash dalam\; C^\backslash infty(\backslash Omega)$ maksudnya $f\backslash dalam\; C^r(\backslash Omega)$ untuk siapa pun $R$, A $f\backslash dalam\; C^\backslash omega(\backslash Omega)=C^a(\backslash Omega)$ maksudnya $F$ - analitis.

Misalnya, $C^0(\backslash Omega)$- kumpulan kontinu $\backslash Akhir$ fungsi, dan $C^1(\backslash Omega)$- himpunan yang dapat dibedakan secara kontinu $\backslash Akhir$ fungsi, yaitu fungsi yang mempunyai turunan kontinu di setiap titik pada daerah tersebut.

Jika urutan kehalusan tidak ditentukan, maka biasanya dianggap cukup agar semua tindakan yang dilakukan pada fungsi tersebut selama penalaran saat ini menjadi masuk akal.

Untuk analisis kelas halus fungsi yang dapat dibedakan juga memperkenalkan konsepnya kehalusan pecahan pada suatu titik atau Eksponen pemegang, yang menggeneralisasi semua konsep kehalusan di atas.

Fungsi $F$ milik kelas $C^(r,\backslash ;\backslash alfa)$, Di mana $R$ adalah bilangan bulat non-negatif dan , jika memiliki turunan sesuai pesanan $R$ inklusif dan $f^((kanan))$ adalah Hölder dengan eksponen $\backslash alfa$.

Dalam literatur terjemahan, beserta istilahnya "Eksponen pemegang", istilah "eksponen Lipschitz" digunakan.

Perkiraan fungsi terdiferensiasi kontinu dengan fungsi analitik

Membiarkan $\backslash Akhir$ buka di $\backslash R^n$ Dan $f\backslash dalam\; C^k(\backslash Omega)$, $0\backslash leqslant\; k\backslash leqslant\backslash infty$. Membiarkan $\backslash (K\_p\backslash )$- urutan himpunan bagian kompak $\backslash Akhir$ seperti yang $K\_0=\backslash vartidak\; ada$, $K\_p\backslash subset\; K\_(p+1)$ Dan $\backslash bigcup\; K\_p=\backslash Omega$. Membiarkan $\backslash (n\_p\backslash )$- barisan bilangan bulat positif dan yang berubah-ubah $m\_p=\backslash min(k,\backslash ;n\_p)$. Akhirnya, biarkan $\backslash (\backslash varepsilon\_p\backslash )$- urutan angka positif yang berubah-ubah. Lalu ada $\backslash R$-fungsi analitis $G$ V $\backslash Akhir$ sedemikian rupa untuk semua orang $p\backslash geqslant\; 0$:

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Fungsi halus"

Kutipan yang mencirikan fungsi halus

Ketika Nikolushka dibawa pergi, Putri Marya kembali menemui kakaknya, menciumnya dan, tidak dapat menahan diri lagi, mulai menangis.
Dia menatapnya dengan penuh perhatian.
-Apakah kamu berbicara tentang Nikolushka? - dia berkata.
Putri Marya sambil menangis menundukkan kepalanya dengan tegas.
“Marie, kamu kenal Evan…” tapi dia tiba-tiba terdiam.
- Apa yang kamu katakan?
- Tidak ada apa-apa. Tidak perlu menangis di sini,” katanya sambil menatapnya dengan tatapan dingin yang sama.

Ketika Putri Marya mulai menangis, dia menyadari bahwa dia menangis karena Nikolushka akan ditinggalkan tanpa ayah. Dengan susah payah dia mencoba untuk hidup kembali dan dipindahkan ke sudut pandang mereka.
“Ya, mereka pasti menganggapnya menyedihkan! - dia pikir. “Betapa sederhananya!”
“Burung-burung di udara tidak menabur dan tidak menuai, tetapi ayahmu yang memberi mereka makan,” katanya dalam hati dan ingin mengatakan hal yang sama kepada sang putri. “Tapi tidak, mereka akan memahaminya dengan cara mereka sendiri, mereka tidak akan mengerti! Apa yang tidak dapat mereka pahami adalah bahwa semua perasaan yang mereka hargai adalah milik kita, semua pemikiran yang tampaknya begitu penting bagi kita ini ternyata tidak diperlukan. Kita tidak bisa memahami satu sama lain." - Dan dia terdiam.

Putra kecil Pangeran Andrei berusia tujuh tahun. Dia hampir tidak bisa membaca, dia tidak tahu apa-apa. Dia mengalami banyak hal setelah hari ini, memperoleh pengetahuan, observasi, dan pengalaman; tetapi jika dia kemudian memiliki semua kemampuan yang diperoleh kemudian ini, dia tidak akan bisa memahami dengan lebih baik, lebih dalam arti penuh dari adegan yang dia lihat antara ayahnya, Putri Marya dan Natasha daripada yang dia pahami sekarang. Dia memahami segalanya dan, tanpa menangis, meninggalkan ruangan, diam-diam mendekati Natasha, yang mengikutinya keluar, dan dengan malu-malu menatapnya dengan mata yang indah dan penuh perhatian; bibir atasnya yang terangkat dan kemerahan bergetar, dia menyandarkan kepalanya ke bibir itu dan mulai menangis.
Sejak hari itu, dia menghindari Desalles, menghindari Countess yang membelainya, dan duduk sendirian atau dengan takut-takut mendekati Putri Marya dan Natasha, yang tampaknya lebih dia cintai daripada bibinya, dan dengan tenang dan malu-malu membelai mereka.
Putri Marya, meninggalkan Pangeran Andrei, sepenuhnya memahami semua yang diungkapkan wajah Natasha kepadanya. Dia tidak lagi berbicara dengan Natasha tentang harapan menyelamatkan nyawanya. Dia bergantian bersamanya di sofanya dan tidak menangis lagi, tapi berdoa tanpa henti, mengalihkan jiwanya kepada yang abadi, tak terpahami, yang kehadirannya kini begitu gamblang pada pria yang sekarat itu.

Pangeran Andrei tidak hanya tahu bahwa dia akan mati, tetapi dia merasa bahwa dia sedang sekarat, bahwa dia sudah setengah mati. Dia mengalami kesadaran keterasingan dari segala sesuatu yang duniawi dan perasaan ringan yang menyenangkan dan aneh. Dia, tanpa tergesa-gesa dan tanpa khawatir, menunggu apa yang ada di depannya. Yang mengancam, abadi, tidak diketahui dan jauh, yang kehadirannya tidak pernah berhenti dia rasakan sepanjang hidupnya, kini dekat dengannya dan - karena ringannya kehidupan aneh yang dia alami - hampir dapat dimengerti dan dirasakan.