§ 1 Pemilihan akar persamaan dalam situasi nyata
Mari kita pertimbangkan situasi nyata ini:
Master dan magang bersama-sama membuat 400 suku cadang khusus. Apalagi master bekerja selama 3 hari, dan siswa selama 2 hari. Berapa banyak bagian yang dibuat setiap orang?
Ayo menulis model aljabar situasi ini. Biarkan master memproduksi suku cadang dalam 1 hari. Dan siswa mengetahui detailnya. Kemudian master membuat 3 bagian dalam 3 hari, dan siswa membuat 2 bagian dalam 2 hari. Bersama-sama mereka akan menghasilkan 3 + 2 bagian. Karena menurut kondisi tersebut, total diproduksi 400 bagian, maka diperoleh persamaan:
Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan linier dua variabel. Di sini kita perlu mencari pasangan bilangan x dan y yang persamaannya akan berbentuk persamaan numerik yang sebenarnya. Perhatikan bahwa jika x = 90, y = 65, maka kita memperoleh persamaan:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Karena persamaan numerik yang benar telah diperoleh, pasangan angka 90 dan 65 akan menjadi solusi persamaan ini. Namun solusi yang ditemukan bukanlah satu-satunya. Jika x = 96 dan y = 56, maka diperoleh persamaan:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Ini juga merupakan persamaan numerik sejati, artinya pasangan angka 96 dan 56 juga merupakan solusi persamaan ini. Namun pasangan bilangan x = 73 dan y = 23 tidak akan menjadi solusi persamaan ini. Faktanya, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 akan menghasilkan persamaan numerik yang salah 265 = 400. Perlu dicatat bahwa jika kita mempertimbangkan persamaan yang berhubungan dengan ini situasi nyata, maka akan ada pasangan bilangan yang meskipun merupakan solusi persamaan tersebut, namun tidak akan menjadi solusi permasalahan tersebut. Misalnya, beberapa angka:
x = 200 dan y = -100
merupakan penyelesaian persamaan, tetapi siswa tidak dapat membuat -100 bagian, oleh karena itu pasangan bilangan tersebut tidak dapat menjadi jawaban dari soal soal. Oleh karena itu, dalam setiap situasi nyata tertentu, perlu dilakukan pendekatan yang masuk akal dalam memilih akar persamaan.
Mari kita rangkum hasil pertama:
Persamaan yang berbentuk ax + bу + c = 0, dimana a, b, c adalah bilangan sembarang, disebut persamaan linier dua variabel.
Berdasarkan keputusan persamaan linier dengan dua variabel, sepasang bilangan yang bersesuaian dengan x dan y disebut, yang persamaannya berubah menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
§ 2 Grafik persamaan linier
Pencatatan pasangan (x;y) membuat kita berpikir tentang kemungkinan menggambarkannya sebagai sebuah titik dengan koordinat xy y pada sebuah bidang. Artinya kita bisa mendapatkan model geometris situasi tertentu. Misalnya, perhatikan persamaan:
2x + y - 4 = 0
Mari kita pilih beberapa pasang bilangan yang akan menjadi solusi persamaan ini dan buat titik-titik dengan koordinat yang ditemukan. Biarkan ini menjadi poin:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Perhatikan bahwa semua titik terletak pada garis yang sama. Garis ini disebut grafik persamaan linier dua variabel. Ini adalah model grafis (atau geometris) dari persamaan tertentu.
Jika pasangan bilangan (x;y) merupakan solusi persamaan tersebut
ax + vy + c = 0, maka titik M(x;y) termasuk dalam grafik persamaan tersebut. Kita dapat mengatakan sebaliknya: jika titik M(x;y) termasuk dalam grafik persamaan ax + y + c = 0, maka pasangan bilangan (x;y) merupakan solusi dari persamaan tersebut.
Dari mata kuliah geometri kita mengetahui:
Untuk menggambar garis lurus diperlukan 2 titik, sehingga untuk membuat grafik persamaan linier dua variabel cukup mengetahui 2 pasang solusi saja. Namun menebak akar permasalahan tidak selalu merupakan prosedur yang mudah dan rasional. Anda dapat bertindak sesuai aturan lain. Karena absis suatu titik (variabel x) adalah variabel bebas, Anda dapat memberinya nilai apa pun yang sesuai. Mengganti angka ini ke dalam persamaan, kita menemukan nilai variabel y.
Misalnya, persamaannya diberikan:
Misalkan x = 0, maka didapat 0 - y + 1 = 0 atau y = 1. Artinya jika x = 0, maka y = 1. Sepasang bilangan (0;1) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Mari kita tentukan nilai lain untuk variabel x: x = 2. Maka kita mendapatkan 2 - y + 1 = 0 atau y = 3. Pasangan bilangan (2;3) juga merupakan solusi dari persamaan ini. Dengan menggunakan dua titik yang ditemukan, kita sudah dapat membuat grafik persamaan x - y + 1 = 0.
Anda dapat melakukan ini: pertama-tama berikan nilai tertentu ke variabel y, dan baru kemudian hitung nilai x.
§ 3 Sistem persamaan
Temukan dua bilangan asli, yang jumlahnya 11 dan selisihnya 1.
Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita menulis model matematika(yaitu aljabar). Misalkan bilangan pertama adalah x dan bilangan kedua adalah y. Maka jumlah bilangan x + y = 11 dan selisih bilangan x - y = 1. Karena kedua persamaan tersebut memuat bilangan yang sama, maka syarat-syarat tersebut harus dipenuhi secara bersamaan. Biasanya dalam kasus seperti itu catatan khusus digunakan. Persamaan ditulis satu di bawah yang lain dan digabungkan dengan tanda kurung kurawal.
Catatan seperti itu disebut sistem persamaan.
Sekarang mari kita buat himpunan solusi untuk setiap persamaan, yaitu. grafik dari masing-masing persamaan. Mari kita ambil persamaan pertama:
Jika x = 4 maka y = 7. Jika x = 9 maka y = 2.
Mari kita menggambar garis lurus melalui titik (4;7) dan (9;2).
Mari kita ambil persamaan kedua x - y = 1. Jika x = 5, maka y = 4. Jika x = 7, maka y = 6. Kita juga menggambar garis lurus melalui titik (5;4) dan (7;6 ). Kami memperoleh model geometris dari masalahnya. Pasangan bilangan yang kita minati (x;y) harus merupakan solusi kedua persamaan. Pada gambar kita melihat satu titik yang terletak pada kedua garis; ini adalah titik potong garis tersebut.
Koordinatnya adalah (6;5). Oleh karena itu, penyelesaian soal adalah: bilangan pertama yang diperlukan adalah 6, bilangan kedua adalah 5.
Daftar literatur bekas:
- Mordkovich A.G., Aljabar kelas 7 dalam 2 bagian, Bagian 1, Buku teks untuk lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich. – Edisi ke-10, direvisi – Moskow, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Aljabar kelas 7 dalam 2 bagian, Bagian 2, Buku Soal untuk lembaga pendidikan / [A.G. Mordkovich dan lainnya]; diedit oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, direvisi - Moskow, "Mnemosyne", 2007
- DIA. Tulchinskaya, Aljabar kelas 7. Survei kilat: manual untuk siswa lembaga pendidikan umum, edisi ke-4, direvisi dan diperluas, Moskow, “Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Aljabar kelas 7. Tematik pekerjaan pengujian V bentuk baru untuk mahasiswa lembaga pendidikan umum, diedit oleh A.G. Mordkovich, Moskow, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Aljabar kelas 7. Pekerjaan mandiri untuk mahasiswa lembaga pendidikan umum, diedit oleh A.G. Mordkovich - Edisi ke-6, stereotip, Moskow, “Mnemosyne”, 2010
Subjek:Fungsi linier
Pelajaran:Persamaan linier dua variabel dan grafiknya
Kami berkenalan dengan konsepnya sumbu koordinat Dan bidang koordinat. Kita tahu bahwa setiap titik pada bidang secara unik mendefinisikan sepasang bilangan (x; y), dengan bilangan pertama adalah absis titik tersebut, dan bilangan kedua adalah ordinatnya.
Kita akan sering menjumpai persamaan linier dua variabel yang penyelesaiannya berupa pasangan bilangan yang dapat direpresentasikan pada bidang koordinat.
Persamaan bentuk:
Dimana a, b, c adalah bilangan, dan 
Disebut persamaan linier dengan dua variabel x dan y. Solusi untuk persamaan tersebut adalah pasangan angka x dan y, dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan tersebut kita akan memperoleh persamaan numerik yang benar.
Sepasang bilangan akan digambarkan pada bidang koordinat sebagai sebuah titik.
Untuk persamaan seperti itu kita akan melihat banyak penyelesaian, yaitu banyak pasangan bilangan, dan semua titik yang bersesuaian akan terletak pada garis lurus yang sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Untuk menemukan solusi persamaan ini, Anda perlu memilih pasangan bilangan x dan y yang sesuai:
Misalkan , maka persamaan awal berubah menjadi persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui:
,
Artinya, pasangan bilangan pertama yang merupakan solusi persamaan tertentu (0; 3). Kami mendapat poin A(0; 3)
Membiarkan . Kami mendapatkan persamaan asli dengan satu variabel: 
, dari sini kita mendapat poin B(3; 0)
Mari kita masukkan pasangan angka ke dalam tabel:
Mari kita gambarkan titik-titik pada grafik dan menggambar garis lurus: 
Perhatikan bahwa setiap titik pada garis tertentu akan menjadi solusi persamaan yang diberikan. Mari kita periksa - ambil suatu titik dengan koordinat dan gunakan grafik untuk menemukan koordinat keduanya. Jelas sekali pada saat ini. Mari kita gantikan pasangan ini angka ke dalam persamaan. Kita mendapatkan 0=0 - persamaan numerik yang benar, yang berarti sebuah titik yang terletak pada sebuah garis adalah solusinya.
Untuk saat ini, kami tidak dapat membuktikan bahwa titik mana pun yang terletak pada garis yang dibangun merupakan solusi persamaan tersebut, jadi kami menerima kebenarannya dan akan membuktikannya nanti.
Contoh 2 - buat grafik persamaannya:
Mari kita buat tabel; kita hanya memerlukan dua titik untuk membuat garis lurus, tetapi kita akan mengambil titik ketiga sebagai kendali:
Di kolom pertama kami mengambil yang nyaman, kami akan menemukannya dari:
, ,
Di kolom kedua kami mengambil yang nyaman, cari x:
, , ,
Mari kita periksa dan temukan:
, ,
Mari kita buat grafiknya:
Mari kita perbanyak persamaan yang diberikan oleh dua:
Dari transformasi tersebut, himpunan solusi tidak akan berubah dan grafiknya akan tetap sama.
Kesimpulan: kita belajar menyelesaikan persamaan dengan dua variabel dan membuat grafiknya, kita belajar bahwa grafik persamaan tersebut adalah garis lurus dan setiap titik pada garis ini adalah solusi persamaan tersebut
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. M.: Pencerahan. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7.M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain. Aljabar 7.M.: Pencerahan. 2006
2. Portal untuk melihat keluarga ().
Tugas 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No. 960, Pasal 210;
Tugas 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No. 961, Pasal 210;
Tugas 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No. 962, Pasal 210;
Persamaan nonlinier dengan dua hal yang tidak diketahui
Definisi 1. Biarkan A menjadi beberapa kumpulan pasangan angka (X; kamu) . Mereka mengatakan bahwa himpunan A diberikan fungsi numerik z dari dua variabel
x dan y , jika suatu aturan ditentukan dengan bantuan yang setiap pasangan bilangan dari himpunan A dikaitkan dengan bilangan tertentu. Latihan fungsi numerik z dari dua variabel x dan y sering menunjukkan
Jadi: Di mana (X , kamu) F
Di mana (X , kamu) = – fungsi apa pun selain fungsi ,
kapak+oleh+c
dimana a, b, c diberi nomor. Definisi 3. Menyelesaikan persamaan (2) X; kamu memanggil sepasang nomor (
) , yang rumusnya (2) merupakan persamaan sejati.
Karena kuadrat suatu bilangan adalah non-negatif, maka dari rumus (4) maka bilangan x dan y yang tidak diketahui memenuhi sistem persamaan
penyelesaiannya adalah pasangan bilangan (6; 3).
Jawaban: (6; 3)
Contoh 2. Selesaikan persamaannya
Oleh karena itu, solusi persamaan (6) adalah himpunan tak terbatas pasangan angka baik
(1 + kamu ; kamu) ,
di mana y adalah bilangan apa pun.
linier
Definisi 4. Memecahkan sistem persamaan
memanggil sepasang nomor ( X; kamu) , dengan mensubstitusikannya ke dalam setiap persamaan sistem ini, diperoleh persamaan yang benar.
Sistem dua persamaan, salah satunya linier, mempunyai bentuk
G(X , kamu)
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan
Solusi. Mari kita nyatakan y yang tidak diketahui dari persamaan pertama sistem (7) melalui x yang tidak diketahui dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:
Memecahkan persamaan
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Karena itu,
kamu 1 = 8 - X 1 = 9 ,
kamu 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Sistem dua persamaan, salah satunya homogen
Sistem dua persamaan, salah satunya homogen, mempunyai bentuk
dimana a, b, c diberi bilangan, dan G(X , kamu) – fungsi dua variabel x dan y.
Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan
Solusi. Mari kita selesaikan persamaan homogennya
3X 2 + 2xy - kamu 2 = 0 ,
3X 2 + 17xy + 10kamu 2 = 0 ,
memperlakukannya sebagai persamaan kuadrat terhadap x yang tidak diketahui:
.
Jika X = - 5kamu, dari persamaan kedua sistem (11) kita peroleh persamaannya
5kamu 2 = - 20 ,
yang tidak mempunyai akar.
Jika
dari persamaan kedua sistem (11) kita memperoleh persamaan
,
yang akarnya adalah bilangan kamu 1 = 3 , kamu 2 = - 3 . Menemukan untuk masing-masing nilai ini y nilai yang sesuai x, kita memperoleh dua solusi untuk sistem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Jawaban: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Contoh penyelesaian sistem persamaan jenis lainnya
Contoh 8. Memecahkan sistem persamaan (MIPT)
Solusi. Mari kita perkenalkan u dan v baru yang tidak diketahui, yang dinyatakan melalui x dan y sesuai dengan rumus:
Untuk menulis ulang sistem (12) dalam bentuk yang tidak diketahui baru, pertama-tama kita nyatakan yang tidak diketahui x dan y dalam bentuk u dan v. Dari sistem (13) berikut ini
Mari kita selesaikan sistem linier (14) dengan menghilangkan variabel x dari persamaan kedua sistem ini.
- Untuk tujuan ini, kami melakukan transformasi berikut pada sistem (14):
- Kita akan membiarkan persamaan pertama sistem tidak berubah;
dari persamaan kedua kita kurangi persamaan pertama dan ganti persamaan kedua sistem dengan selisih yang dihasilkan.
Akibatnya, sistem (14) diubah menjadi sistem ekuivalen
dari mana kita menemukan
Dengan menggunakan rumus (13) dan (15), kita menulis ulang sistem asli (12) ke dalam bentuk
Persamaan pertama sistem (16) adalah linier, sehingga kita dapat menyatakan u yang tidak diketahui melalui v yang tidak diketahui dan mengganti persamaan ini ke persamaan kedua sistem. masalah matematika. Sudah di awal milenium ke-2 SM. e. Orang Babilonia tahu bagaimana menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan dua variabel. Perkembangan terbesar bidang matematika ini telah tercapai Yunani Kuno. Sumber utama bagi kami adalah Aritmatika Diophantus yang berisi berbagai jenis persamaan. Di dalamnya, Diophantus (menurut namanya nama persamaannya adalah persamaan Diophantine) mengantisipasi sejumlah metode untuk mempelajari persamaan derajat 2 dan 3, yang baru berkembang pada abad ke-19.
Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah ax + y = 1 (persamaan dua variabel, derajat pertama) x2 + y2 = z2 (persamaan tiga variabel, derajat kedua)
Paling dipelajari sepenuhnya persamaan aljabar, keputusan mereka adalah salah satunya tugas yang paling penting aljabar pada abad 16-17.
Pada awal abad ke-19, karya P. Fermat, L. Euler, K. Gauss menyelidiki persamaan Diophantine yang berbentuk: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, di mana a, b, c , d, e, f adalah angka; x, y variabel yang tidak diketahui.
Ini adalah persamaan derajat 2 dengan dua hal yang tidak diketahui.
K. Gauss dibangun teori umum bentuk kuadrat, yang menjadi dasar penyelesaian jenis persamaan tertentu dengan dua variabel (persamaan Diophantine). Ada jumlah besar persamaan Diophantine tertentu diselesaikan dengan metode dasar. /p>
Materi teori.
Bagian dari pekerjaan ini akan menjelaskan bagian utama konsep matematika, definisi istilah diberikan, teorema dekomposisi dirumuskan menggunakan metode koefisien yang tidak pasti, yang dipelajari dan dipertimbangkan ketika menyelesaikan persamaan dengan dua variabel.
Definisi 1: Persamaan bentuk ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, dimana a, b, c, d, e, f adalah bilangan; x,y variabel yang tidak diketahui disebut persamaan derajat kedua dengan dua variabel.
DI DALAM kursus sekolah matematika, persamaan kuadrat ax2+inx+c=0 dipelajari, dimana angka a,b,c variabel x, dengan satu variabel. Ada banyak cara untuk menyelesaikan persamaan ini:
1. Mencari akar dengan menggunakan diskriminan;
2. Mencari akar-akar koefisien genap dalam (menurut D1=);
3. Mencari akar menggunakan teorema Vieta;
4. Menemukan akar menggunakan seleksi persegi penuh binomium.
Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya atau membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak ada.
Definisi 2: Akar suatu persamaan adalah suatu bilangan yang jika disubstitusikan ke dalam suatu persamaan akan membentuk persamaan yang benar.
Definisi 3: Penyelesaian persamaan dua variabel disebut pasangan bilangan (x, y) jika disubstitusikan ke persamaan tersebut menjadi persamaan sejati.
Proses mencari solusi suatu persamaan seringkali terdiri dari penggantian persamaan tersebut persamaan setara, tetapi lebih mudah diselesaikan. Persamaan seperti ini disebut ekuivalen.
Definisi 4: Dua persamaan dikatakan ekuivalen jika setiap penyelesaian suatu persamaan merupakan penyelesaian persamaan yang lain, begitu pula sebaliknya, dan kedua persamaan dianggap berada dalam domain yang sama.
Untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel, gunakan teorema penguraian persamaan menjadi jumlah kuadrat sempurna (dengan metode koefisien tak tentu).
Untuk persamaan orde kedua ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), terjadi pemuaian a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Mari kita rumuskan kondisi terjadinya pemuaian (2) untuk persamaan (1) dua variabel.
Teorema: Jika koefisien persamaan a,b,c(1) memenuhi kondisi a0 dan 4ab – c20, maka pemuaian (2) ditentukan dengan cara unik.
Dengan kata lain persamaan (1) dengan dua variabel dapat direduksi menjadi bentuk (2) dengan menggunakan metode koefisien tak tentu jika syarat teorema terpenuhi.
Mari kita lihat contoh penerapan metode koefisien tak tentu.
METODE No.1. Selesaikan persamaan tersebut menggunakan metode koefisien tak tentu
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Mari kita periksa pemenuhan syarat teorema a=2, b=1, c=2, yang artinya a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Syarat teorema terpenuhi; dapat diperluas menurut rumus (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, berdasarkan kondisi teorema, kedua bagian identitas tersebut ekuivalen. Mari kita sederhanakan sisi kanan identitas.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Kita samakan koefisien variabel yang identik dengan derajatnya.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Mari kita ambil sistem persamaan, selesaikan dan cari nilai koefisiennya.
7. Substitusikan koefisien-koefisien tersebut ke dalam (2), maka persamaannya akan berbentuk
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Jadi, persamaan aslinya ekuivalen dengan persamaan tersebut
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), persamaan ini setara dengan sistem dua persamaan linier.
Jawaban: (-1; 1).
Jika Anda memperhatikan jenis pemuaian (3), Anda akan melihat bahwa bentuknya identik dengan mengisolasi persegi lengkap dari persamaan kuadrat dengan satu variabel: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Mari kita terapkan teknik ini saat menyelesaikan persamaan dengan dua variabel. Mari kita selesaikan, dengan menggunakan pemilihan kuadrat lengkap, persamaan kuadrat dengan dua variabel yang telah diselesaikan menggunakan teorema.
METODE No.2: Selesaikan persamaan 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Penyelesaian: 1. Bayangkan 2x2 sebagai jumlah dua suku x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Mari kita kelompokkan suku-suku tersebut sedemikian rupa sehingga kita dapat menjumlahkannya menggunakan rumus persegi lengkap.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Pilih kotak lengkap dari ekspresi dalam tanda kurung.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Persamaan ini setara dengan sistem persamaan linear.
Jawaban: (-1;1).
Jika kita membandingkan hasilnya, kita dapat melihat bahwa persamaan yang diselesaikan dengan metode No. 1 menggunakan teorema dan metode koefisien tak tentu dan persamaan yang diselesaikan dengan metode No. 2 menggunakan ekstraksi kuadrat lengkap memiliki akar-akar yang sama.
Kesimpulan: Persamaan kuadrat dengan dua variabel dapat diperluas menjadi jumlah kuadrat dengan dua cara:
➢ Metode pertama adalah metode koefisien tak tentu yang didasarkan pada teorema dan perluasan (2).
➢ Cara kedua adalah dengan menggunakan transformasi identitas, memungkinkan Anda memilih kotak lengkap secara berurutan.
Tentu saja, ketika menyelesaikan masalah, metode kedua lebih disukai, karena tidak memerlukan menghafal perluasan (2) dan kondisi.
Metode ini juga dapat digunakan untuk persamaan kuadrat dengan tiga variabel. Mengisolasi kuadrat lengkap dalam persamaan tersebut lebih memakan waktu. Saya akan melakukan transformasi seperti ini tahun depan.
Menarik untuk diperhatikan bahwa suatu fungsi yang berbentuk: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f disebut fungsi kuadrat dua variabel. Fungsi kuadrat termasuk peran penting dalam berbagai cabang matematika:
Dalam pemrograman matematika (pemrograman kuadrat)
DI DALAM aljabar linier dan geometri (bentuk kuadrat)
Secara teori persamaan diferensial(mengurangi persamaan linier orde kedua ke bentuk kanonik).
Saat menyelesaikan ini berbagai tugas, sebenarnya Anda harus menerapkan prosedur untuk mengisolasi kuadrat lengkap dari persamaan kuadrat (satu, dua atau lebih variabel).
Garis yang persamaannya dijelaskan persamaan kuadrat dua variabel disebut kurva orde kedua.
Ini adalah lingkaran, elips, hiperbola.
Saat membuat grafik kurva ini, metode isolasi persegi lengkap secara berurutan juga digunakan.
Mari kita lihat cara kerja metode pemilihan persegi lengkap secara berurutan menggunakan contoh spesifik.
Bagian praktis.
Selesaikan persamaan menggunakan metode mengisolasi kuadrat lengkap secara berurutan.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Jawaban:(-1;1).
2.x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Menjawab:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Jawaban:(-1;1).
Selesaikan persamaan:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(direduksi menjadi bentuk: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Jawaban: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(direduksi menjadi bentuk: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Jawaban: (-1; 1)
3.x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(direduksi menjadi bentuk: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Jawaban: (7; -7)
Kesimpulan.
Dalam hal ini karya ilmiah persamaan dengan dua variabel tingkat kedua dipelajari, dan metode penyelesaiannya dipertimbangkan. Tugas telah diselesaikan, dirumuskan dan dijelaskan secara lebih rinci. cara singkat solusi berdasarkan pada mengisolasi kuadrat lengkap dan mengganti persamaan dengan sistem persamaan yang setara, sehingga menghasilkan prosedur yang disederhanakan untuk menemukan akar persamaan dengan dua variabel.
Poin penting dari pekerjaan ini adalah bahwa teknik yang sedang dipertimbangkan digunakan ketika memecahkan berbagai masalah matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, membangun kurva orde kedua, dan menemukan nilai ekspresi terbesar (terkecil).
Oleh karena itu, teknik menguraikan persamaan orde kedua dengan dua variabel menjadi jumlah kuadrat memiliki penerapan paling banyak dalam matematika.
Asam dapat diklasifikasikan berdasarkan kriteria yang berbeda:
1) Kehadiran atom oksigen dalam asam
2) Kebasaan asam
Kebasaan suatu asam adalah jumlah atom hidrogen yang “bergerak” dalam molekulnya, yang mampu dipisahkan dari molekul asam dalam bentuk kation hidrogen H+ pada saat disosiasi, dan juga digantikan oleh atom logam:
4) Kelarutan
5) Stabilitas
7) Sifat pengoksidasi
Sifat kimia asam
1. Kemampuan untuk berdisosiasi
Asam terdisosiasi menjadi larutan berair menjadi kation hidrogen dan residu asam. Seperti telah disebutkan, asam dibagi menjadi asam yang terdisosiasi baik (kuat) dan asam yang terdisosiasi rendah (lemah). Saat menulis persamaan disosiasi untuk asam monobasa kuat, digunakan salah satu panah yang mengarah ke kanan () atau tanda sama dengan (=), yang menunjukkan bahwa disosiasi tersebut hampir tidak dapat diubah. Misalnya persamaan disosiasi kuat asam klorida dapat ditulis dengan dua cara:
atau dalam bentuk ini: HCl = H + + Cl -
atau begini: HCl → H + + Cl -
Intinya, arah panah memberitahu kita bahwa proses kebalikan dari penggabungan kation hidrogen dengan residu asam (asosiasi) asam kuat praktis tidak ada kebocoran.
Jika kita ingin menulis persamaan disosiasi untuk asam monoprotik lemah, kita harus menggunakan dua anak panah pada persamaan tersebut, bukan tandanya. Tanda ini mencerminkan reversibilitas disosiasi asam lemah - dalam kasusnya, proses kebalikan dari penggabungan kation hidrogen dengan residu asam sangat terasa:
CH 3 COOH CH 3 COO — + H +
Asam polibasa berdisosiasi bertahap, mis. Kation hidrogen tidak dipisahkan dari molekulnya secara bersamaan, tetapi satu per satu. Oleh karena itu, disosiasi asam-asam tersebut dinyatakan bukan dengan satu, tetapi dengan beberapa persamaan, yang bilangannya sama dengan kebasaan asam. Misalnya, disosiasi asam fosfat tribasa terjadi dalam tiga tahap dengan pemisahan kation H+ secara bergantian:
H 3 PO 4 H + + H 2 PO 4 —
H 2 PO 4 - H + + HPO 4 2-
HPO 4 2- H + + PO 4 3-
Perlu dicatat bahwa setiap tahap disosiasi berikutnya terjadi di pada tingkat yang lebih rendah daripada yang sebelumnya. Artinya, molekul H 3 PO 4 berdisosiasi lebih baik (dalam ke tingkat yang lebih besar) daripada ion H 2 PO 4 -, yang selanjutnya berdisosiasi lebih baik daripada ion HPO 4 2-. Fenomena ini dikaitkan dengan peningkatan biaya residu asam, akibatnya kekuatan ikatan antara keduanya dan ion H+ positif meningkat.
Pengecualian untuk asam polibasa adalah asam sulfat. Karena asam ini terdisosiasi dengan baik pada kedua tahap, diperbolehkan menuliskan persamaan disosiasinya dalam satu tahap:
H 2 JADI 4 2H + + JADI 4 2-
2. Interaksi asam dengan logam
Poin ketujuh dalam klasifikasi asam, kami telah menunjukkannya sifat pengoksidasi. Dinyatakan bahwa asam merupakan oksidator lemah dan zat pengoksidasi kuat. Sebagian besar asam (hampir semuanya kecuali H 2 SO 4 (conc.) dan HNO 3) adalah zat pengoksidasi lemah, karena mereka hanya dapat menunjukkan kemampuan oksidasi karena kation hidrogen. Asam tersebut hanya dapat mengoksidasi logam-logam yang berada dalam rangkaian aktivitas di sebelah kiri hidrogen, dan garam dari logam yang bersangkutan serta hidrogen terbentuk sebagai produk. Misalnya:
H 2 SO 4 (encer) + Zn ZnSO 4 + H 2
2HCl + Fe FeCl 2 + H 2
Adapun asam pengoksidasi kuat, yaitu. H 2 SO 4 (conc.) dan HNO 3 , maka daftar logam yang bertindak lebih luas, dan mencakup semua logam sebelum hidrogen dalam rangkaian aktivitas, dan hampir semuanya setelahnya. Artinya, asam sulfat pekat dan asam nitrat dengan konsentrasi berapa pun, misalnya, akan mengoksidasi bahkan logam dengan aktivitas rendah seperti tembaga, merkuri, dan perak. Interaksi lebih detail asam nitrat s dan belerang pekat dengan logam, serta beberapa zat lainnya, karena kekhususannya, akan dibahas secara terpisah di akhir bab ini.
3. Interaksi asam dengan oksida basa dan amfoter
Asam bereaksi dengan basa dan oksida amfoter. Asam silikat, karena tidak larut, bereaksi dengan yang tidak aktif oksida basa dan tidak berinteraksi dengan oksida amfoter:
H 2 JADI 4 + ZnO ZnSO 4 + H 2 O
6HNO 3 + Fe 2 O 3 2Fe(NO 3) 3 + 3H 2 O
H 2 SiO 3 + FeO ≠
4. Interaksi asam dengan basa dan hidroksida amfoter
HCl + NaOH H 2 O + NaCl
3H 2 SO 4 + 2Al(OH) 3 Al 2 (SO 4) 3 + 6H 2 O
5. Interaksi asam dengan garam
Reaksi ini terjadi jika terbentuk endapan, gas, atau asam yang jauh lebih lemah daripada asam yang bereaksi. Misalnya:
H 2 SO 4 + Ba(NO 3) 2 BaSO 4 ↓ + 2HNO 3
CH 3 COOH + Na 2 SO 3 CH 3 COONa + SO 2 + H 2 O
HCOONa + HCl HCOOH + NaCl
6. Sifat oksidatif spesifik asam nitrat dan asam sulfat pekat
Seperti disebutkan di atas, asam nitrat dalam konsentrasi berapa pun, serta asam sulfat secara eksklusif dalam keadaan pekat, merupakan zat pengoksidasi yang sangat kuat. Secara khusus, tidak seperti asam lainnya, asam ini tidak hanya mengoksidasi logam yang terletak sebelum hidrogen dalam rangkaian aktivitas, tetapi juga hampir semua logam setelahnya (kecuali platina dan emas).
Misalnya, mereka mampu mengoksidasi tembaga, perak dan merkuri. Namun, kita harus memahami dengan tegas fakta bahwa sejumlah logam (Fe, Cr, Al), meskipun cukup aktif (tersedia sebelum hidrogen), namun tidak bereaksi dengan HNO 3 pekat dan H 2 SO 4 pekat tanpa pemanasan karena fenomena pasivasi - pada permukaan logam tersebut, film pelindung dari produk oksidasi padat, yang tidak memungkinkan molekul asam sulfat pekat dan asam nitrat pekat menembus jauh ke dalam logam untuk terjadinya reaksi. Namun, dengan pemanasan yang kuat, reaksi tetap terjadi.
Jika terjadi interaksi dengan logam produk wajib selalu garam dari logam yang sesuai dan asam yang digunakan, serta air. Produk ketiga juga selalu diisolasi, yang rumusnya bergantung pada banyak faktor, khususnya, seperti aktivitas logam, serta konsentrasi asam dan suhu reaksi.
Kemampuan oksidasi yang tinggi dari asam sulfat pekat dan asam nitrat pekat memungkinkan mereka bereaksi tidak hanya dengan hampir semua logam dari rangkaian aktivitas, tetapi bahkan dengan banyak non-logam padat, khususnya dengan fosfor, belerang, dan karbon. Tabel di bawah ini dengan jelas menunjukkan produk interaksi asam sulfat dan asam nitrat dengan logam dan nonlogam tergantung pada konsentrasinya:
7. Mengurangi sifat asam bebas oksigen
Semua asam bebas oksigen (kecuali HF) dapat menunjukkan sifat pereduksi karena unsur kimia, yang merupakan bagian dari anion, di bawah pengaruh berbagai zat pengoksidasi. Misalnya, semua asam hidrohalat (kecuali HF) dioksidasi oleh mangan dioksida, kalium permanganat, dan kalium dikromat. Dalam hal ini, ion halida dioksidasi menjadi halogen bebas:
4HCl + MnO 2 MnCl 2 + Cl 2 + 2H 2 O
18HBr + 2KMnO 4 2KBr + 2MnBr 2 + 8H 2 O + 5Br 2
14НI + K 2 Cr 2 O 7 3I 2 ↓ + 2Crl 3 + 2KI + 7H 2 O
Di antara semua asam hidrohalat, asam hidroiodik mempunyai aktivitas reduksi paling besar. Tidak seperti asam hidrohalat lainnya, oksida besi dan garam pun dapat mengoksidasinya.
6HI+Fe 2 O 3 2FeI 2 + I 2 ↓ + 3H 2 O
2HI + 2FeCl 3 2FeCl 2 + I 2 ↓ + 2HCl
Ia juga memiliki aktivitas pereduksi yang tinggi asam hidrosulfida H 2 S. Bahkan zat pengoksidasi seperti sulfur dioksida dapat mengoksidasinya.
