Variabel acak ditelepon nilai variabel, yang sebagai hasil dari setiap pengujian mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital dengan huruf latin: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Menurut tipenya, variabel acak dapat berupa terpisah Dan kontinu.
Diskrit nilai acak - ini adalah variabel acak yang nilainya tidak lebih dari dapat dihitung, yaitu berhingga atau dapat dihitung. Yang kami maksud dengan countability adalah nilai suatu variabel acak dapat diberi nomor.
Contoh 1 . Berikut adalah contoh variabel acak diskrit:
a) jumlah pukulan tepat sasaran dengan tembakan $n$, di sini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.
b) banyaknya emblem yang dijatuhkan pada pelemparan sebuah koin, disini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.
c) jumlah kapal yang tiba di kapal ( himpunan yang dapat dihitung nilai).
d) jumlah panggilan yang masuk ke PBX (kumpulan nilai yang dapat dihitung).
1. Hukum distribusi probabilitas suatu variabel acak diskrit.
Variabel acak diskrit $X$ dapat mengambil nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dengan probabilitas $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Kesesuaian antara nilai-nilai ini dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak diskrit. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \titik & p_n \\
\hline
\end(array)$
Contoh 2 . Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah poin yang diperoleh ketika sebuah dadu dilempar. Variabel acak $X$ dapat mengambil nilai berikut: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitas semua nilai ini sama dengan $1/6$. Maka hukum distribusi probabilitas variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(array)$
Komentar. Karena dalam hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ kejadian $1,\ 2,\ \titik ,\ 6$ membentuk kelompok kejadian lengkap, maka jumlah probabilitasnya harus sama dengan satu, yaitu $ \jumlah(p_i)=1$.
2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit.
Ekspektasi variabel acak menetapkan makna “pusat”-nya. Untuk variabel acak diskrit, ekspektasi matematis dihitung sebagai jumlah produk dari nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dan probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ yang sesuai dengan nilai-nilai ini, yaitu : $M\kiri(X\kanan)=\jumlah ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dalam literatur berbahasa Inggris, notasi lain $E\left(X\right)$ digunakan.
Properti harapan matematis $M\kiri(X\kanan)$:
- $M\left(X\right)$ berada di antara yang terkecil dan nilai tertinggi variabel acak $X$.
- Ekspektasi matematis suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu. $M\kiri(C\kanan)=C$.
- Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Ekspektasi matematis dari hasil kali variabel acak independen sama dengan hasil kali ekspektasi matematisnya: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Contoh 3 . Mari kita cari ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.
$$M\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\lebih (6))=3,5.$$
Kita dapat melihat bahwa $M\left(X\right)$ terletak di antara nilai terkecil ($1$) dan terbesar ($6$) dari variabel acak $X$.
Contoh 4 . Diketahui ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=2$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $3X+5$.
Dengan menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.
Contoh 5 . Diketahui ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=4$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $2X-9$.
Dengan menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Dispersi variabel acak diskrit.
Nilai yang mungkin dari variabel acak dengan ekspektasi matematis yang sama dapat menyebar secara berbeda di sekitar nilai rata-ratanya. Misalnya, dalam dua kelompok siswa IPK untuk ujian teori probabilitas ternyata sama dengan 4, namun di satu kelompok semuanya ternyata siswa yang baik, dan di kelompok yang lain hanya siswa C dan siswa yang berprestasi. Oleh karena itu, diperlukan suatu karakteristik numerik dari suatu variabel acak yang dapat menunjukkan penyebaran nilai-nilai variabel acak tersebut di sekitar ekspektasi matematisnya. Karakteristik ini adalah dispersi.
Varians dari variabel acak diskrit$X$ sama dengan:
$$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2).\ $$
Dalam literatur Inggris notasi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ digunakan. Seringkali varians $D\left(X\right)$ dihitung menggunakan rumus $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kiri(X \kanan)\kanan))^2$.
Sifat dispersi$D\kiri(X\kanan)$:
- Variansnya selalu lebih besar atau sama dengan nol, yaitu. $D\kiri(X\kanan)\ge 0$.
- Varians dari konstanta adalah nol, mis. $D\kiri(C\kanan)=0$.
- Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi asalkan dikuadratkan, yaitu. $D\kiri(CX\kanan)=C^2D\kiri(X\kanan)$.
- Varians dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya, yaitu. $D\kiri(X+Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.
- Varians selisih antara variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya, yaitu. $D\kiri(X-Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.
Contoh 6 . Mari kita hitung varians variabel acak $X$ dari contoh $2$.
$$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2)=((1)\over (6))\cdot (\kiri(1-3.5\kanan))^2+((1)\over (6))\cdot (\kiri(2-3.5\kanan))^2+ \titik +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\kira-kira 2,92.$$
Contoh 7 . Diketahui varians variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=2$. Temukan varians dari variabel acak $4X+1$.
Dengan menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kiri(X\kanan)=16\cdot 2=32$.
Contoh 8 . Diketahui varians variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=3$. Temukan varians dari variabel acak $3-2X$.
Dengan menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kiri(X\kanan)=4\cdot 3=12$.
4. Fungsi distribusi variabel acak diskrit.
Cara merepresentasikan variabel acak diskrit dalam bentuk deret distribusi bukanlah satu-satunya, dan yang terpenting, metode ini tidak universal, karena variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan dengan menggunakan deret distribusi. Ada cara lain untuk merepresentasikan variabel acak - fungsi distribusi.
Fungsi distribusi variabel acak $X$ disebut fungsi $F\left(x\right)$, yang menentukan probabilitas bahwa variabel acak $X$ akan mengambil nilai kurang dari nilai tetap $x$, yaitu $F\ kiri(x\kanan )=P\kiri(X< x\right)$
Sifat-sifat fungsi distribusi:
- $0\le F\kiri(x\kanan)\le 1$.
- Peluang variabel acak $X$ mengambil nilai dari interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ sama dengan selisih antara nilai fungsi distribusi di akhir interval ini interval: $P\kiri(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - tidak berkurang.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.
Contoh 9 . Mari kita cari fungsi distribusi $F\left(x\right)$ untuk hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dari contoh $2$.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$
Jika $x\le 1$, maka, tentu saja, $F\left(x\right)=0$ (termasuk untuk $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).
Jika $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Jika $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Jika $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Jika $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Jika $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Jika $x > 6$, maka $F\kiri(x\kanan)=P\kiri(X=1\kanan)+P\kiri(X=2\kanan)+P\kiri(X=3\kanan) +P\kiri(X=4\kanan)+P\kiri(X=5\kanan)+P\kiri(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.
Jadi $F(x)=\left\(\begin(matriks)
0,\ di\ x\le 1,\\
1/6,di\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ di\ 2< x\le 3,\\
1/2,di\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ di\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ di\ 4< x\le 5,\\
1,\ untuk\ x > 6.
\end(matriks)\kanan.$
Sebagaimana telah diketahui, hukum distribusi sepenuhnya mencirikan suatu variabel acak. Namun, seringkali hukum distribusinya tidak diketahui dan kita harus membatasi diri pada informasi yang lebih sedikit. Kadang-kadang lebih menguntungkan menggunakan angka yang menggambarkan total variabel acak; nomor seperti itu disebut karakteristik numerik dari variabel acak. Di antara yang penting karakteristik numerik mengacu pada ekspektasi matematis.
Ekspektasi matematisnya, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, kira-kira sama dengan nilai rata-rata variabel acak. Untuk menyelesaikan banyak masalah, cukup mengetahui ekspektasi matematisnya. Misalnya, jika diketahui bahwa ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dicetak oleh penembak pertama lebih besar daripada yang kedua, maka rata-rata penembak pertama mencetak lebih banyak poin daripada penembak kedua, dan oleh karena itu, menembak lebih baik. daripada yang kedua. Meskipun ekspektasi matematis memberikan lebih sedikit informasi tentang variabel acak dibandingkan hukum distribusinya, pengetahuan tentang ekspektasi matematis cukup untuk memecahkan masalah seperti di atas dan banyak masalah lainnya.
§ 2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit
Harapan matematis Variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya.
Biarkan variabel acak X hanya dapat mengambil nilai X 1 , X 2 , ..., X P , yang probabilitasnya masing-masing sama R 1 , R 2 , . . ., R P . Kemudian ekspektasi matematisnya M(X) variabel acak X ditentukan oleh kesetaraan
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .
Jika variabel acak diskrit X mengambil sekumpulan nilai yang mungkin dapat dihitung
M(X)=
Selain itu, ekspektasi matematis ada jika deret di sisi kanan persamaan konvergen mutlak.
Komentar. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa ekspektasi matematis suatu variabel acak diskrit adalah besaran yang tidak acak (konstan). Kami menyarankan Anda mengingat pernyataan ini, karena akan digunakan berkali-kali di kemudian hari. Nanti akan ditunjukkan bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga merupakan nilai konstan.
Contoh 1. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X, mengetahui hukum distribusinya:
Larutan. Ekspektasi matematis yang diperlukan sama dengan jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Contoh 2. Temukan ekspektasi matematis dari jumlah kemunculan suatu peristiwa A dalam satu percobaan, jika peluang kejadiannya A sama dengan R.
Larutan. Nilai acak X - jumlah kemunculan peristiwa tersebut A dalam satu tes - hanya dapat mengambil dua nilai: X 1 = 1 (peristiwa A terjadi) dengan probabilitas R Dan X 2 = 0 (peristiwa A tidak terjadi) dengan probabilitas Q= 1 -R. Ekspektasi matematis yang diperlukan
M(X)= 1* P+ 0* Q= P
Jadi, ekspektasi matematis banyaknya kemunculan suatu kejadian dalam satu percobaan sama dengan peluang kejadian tersebut. Hasil ini akan digunakan di bawah.
§ 3. Makna probabilistik dari ekspektasi matematis
Biarkan itu diproduksi P tes di mana variabel acak X diterima T 1 nilai kali X 1 , T 2 nilai kali X 2 ,...,M k nilai kali X k , Dan T 1 + T 2 + …+t Ke = hal. Kemudian jumlahkan semua nilai yang diambil X, sama dengan
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Ke T Ke .
Mari kita cari mean aritmatikanya 
semua nilai yang diterima oleh variabel acak, yang jumlah yang ditemukan kita bagi dengan jumlah total tes:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X Ke T Ke)/P,
=
X 1
(M 1 /
N)
+
X 2
(M 2 /
N)
+ ... +
X Ke
(T Ke /P).
(*)
Memperhatikan sikap itu M 1 / N- Frekuensi relatif W 1 nilai-nilai X 1 , M 2 / N - Frekuensi relatif W 2 nilai-nilai X 2 dst, kita tulis relasinya (*) seperti ini:
=X 1
W 1
+
X 2 W 2
+ ..
. + X Ke W k .
(**)
Mari kita asumsikan jumlah tesnya cukup besar. Maka frekuensi relatifnya kira-kira sama dengan peluang terjadinya suatu peristiwa (akan dibuktikan pada Bab IX, § 6):
W 1
P 1 ,
W 2
P 2 ,
…,
W k
P k .
Mengganti dalam rasio (**) frekuensi relatif dengan probabilitas yang sesuai, kita dapatkan
X 1 P 1
+
X 2 R 2
+ … +
X Ke R Ke .
Bagian kanan perkiraan persamaan ini adalah M(X). Jadi,
M(X).
Arti probabilistik dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut: ekspektasi matematis kira-kira sama(semakin akurat jumlah yang lebih besar tes) mean aritmatika dari nilai observasi variabel acak.
Catatan 1. Mudah untuk memahami bahwa ekspektasi matematis lebih besar dari nilai terkecil dan lebih kecil dari nilai terbesar yang mungkin. Dengan kata lain, pada garis bilangan, nilai yang mungkin terletak di kiri dan kanan ekspektasi matematis. Dalam pengertian ini, ekspektasi matematis mencirikan lokasi distribusi dan oleh karena itu sering disebut Pusat distribusi.
Istilah ini dipinjam dari mekanika: jika massa R 1 , R 2 , ..., R P terletak pada titik absis X 1 ,
X 2 ,
...,
X N, Dan 
lalu absis pusat gravitasi
X C =
.
Mengingat bahwa
=
M
(X)
Dan 
kita mendapatkan M(X)= x Dengan .
Jadi ekspektasi matematisnya adalah absis pusat gravitasi sistem poin materi, absisnya sama dengan nilai kemungkinan variabel acak, dan massanya sama dengan probabilitasnya.
Catatan 2. Asal usul istilah “ekspektasi matematis” dikaitkan dengan periode awal munculnya teori probabilitas (abad XVI - XVII), ketika ruang lingkup penerapannya terbatas pada perjudian. Pemain tertarik pada nilai rata-rata dari kemenangan yang diharapkan, atau, dengan kata lain, ekspektasi matematis untuk menang.
Konsep ekspektasi matematis dapat dilihat dengan menggunakan contoh pelemparan sebuah dadu. Dengan setiap lemparan, poin yang dijatuhkan dicatat. Untuk mengekspresikannya kami menggunakan nilai-nilai alam dalam rentang 1 – 6.
Setelah sejumlah lemparan tertentu, dengan menggunakan perhitungan sederhana Anda dapat menemukan rata-ratanya nilai aritmatika poin yang dijatuhkan.
Sama seperti kemunculan nilai mana pun dalam rentang tersebut, nilai ini akan acak.
Bagaimana jika Anda menambah jumlah lemparan beberapa kali? Pada jumlah besar lemparan, rata-rata aritmatika poin akan mendekati angka tertentu, yang dalam teori probabilitas disebut ekspektasi matematis.
Jadi, yang kami maksud dengan ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari suatu variabel acak. Indikator ini juga dapat disajikan sebagai jumlah tertimbang dari nilai-nilai kemungkinan.
Konsep ini memiliki beberapa sinonim:
- nilai rata-rata;
- nilai rata-rata;
- indikator tendensi sentral;
- momen pertama.
Dengan kata lain, ini tidak lebih dari sebuah angka di mana nilai-nilai variabel acak didistribusikan.
DI DALAM berbagai bidang aktifitas manusia Pendekatan untuk memahami ekspektasi matematis akan agak berbeda.
Ini dapat dianggap sebagai:
- rata-rata manfaat yang diperoleh dari pengambilan suatu keputusan, jika keputusan tersebut dipertimbangkan dari sudut pandang teori bilangan besar;
- jumlah kemungkinan menang atau kalah (teori perjudian), dihitung rata-rata untuk setiap taruhan. Dalam bahasa gaul, terdengar seperti “keuntungan pemain” (positif untuk pemain) atau “keuntungan kasino” (negatif untuk pemain);
- persentase keuntungan yang diterima dari kemenangan.
Ekspektasinya tidak wajib untuk semua variabel acak. Tidak ada bagi mereka yang memiliki perbedaan dalam jumlah atau integral yang sesuai.
Sifat ekspektasi matematis
Seperti parameter statistik lainnya, ekspektasi matematis memiliki sifat berikut:
Rumus dasar ekspektasi matematis
Perhitungan ekspektasi matematis dapat dilakukan baik untuk variabel acak yang bercirikan kontinuitas (rumus A) dan diskrit (rumus B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dengan xi adalah nilai variabel acak, pi adalah probabilitas:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dengan f(x) adalah kepadatan probabilitas yang diberikan.
Contoh penghitungan ekspektasi matematis
Contoh A.
Apakah mungkin untuk mengetahui tinggi rata-rata para kurcaci dalam dongeng tentang Putri Salju. Diketahui bahwa masing-masing dari 7 kurcaci tersebut memiliki tinggi badan tertentu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 dan 0,81 m.
Algoritma perhitungannya cukup sederhana:
- kami menemukan jumlah semua nilai indikator pertumbuhan (variabel acak):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Bagilah jumlah yang dihasilkan dengan jumlah gnome:
6,31:7=0,90.
Jadi, tinggi rata-rata kurcaci dalam dongeng adalah 90 cm. Dengan kata lain, ini adalah ekspektasi matematis dari pertumbuhan kurcaci.
Rumus kerja - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Implementasi praktis dari ekspektasi matematis
Menuju perhitungan indikator statistik ekspektasi matematis digunakan dalam berbagai bidang kegiatan praktis. Pertama yang sedang kita bicarakan tentang bidang komersial. Bagaimanapun, pengenalan indikator ini oleh Huygens dikaitkan dengan penentuan peluang yang mungkin menguntungkan, atau, sebaliknya, tidak menguntungkan, untuk suatu peristiwa.
Parameter ini banyak digunakan untuk menilai risiko, terutama dalam investasi keuangan.
Jadi, dalam bisnis, penghitungan ekspektasi matematis bertindak sebagai metode untuk menilai risiko saat menghitung harga.
Indikator ini juga dapat digunakan untuk menghitung efektivitas tindakan tertentu, misalnya perlindungan tenaga kerja. Berkat itu, Anda dapat menghitung kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Area penerapan lain dari parameter ini adalah manajemen. Itu juga dapat dihitung selama kontrol kualitas produk. Misalnya menggunakan mat. ekspektasi, Anda dapat menghitung kemungkinan jumlah suku cadang cacat yang diproduksi.
Ekspektasi matematisnya pun ternyata tak tergantikan saat menjalankannya pengolahan statistik diterima selama penelitian ilmiah hasil. Ini memungkinkan Anda menghitung kemungkinan hasil yang diinginkan atau tidak diinginkan dari suatu eksperimen atau penelitian tergantung pada tingkat pencapaian tujuan. Bagaimanapun, pencapaiannya dapat dikaitkan dengan untung dan rugi, dan kegagalannya dapat dikaitkan dengan kerugian atau kerugian.
Menggunakan ekspektasi matematis dalam Forex
Penerapan praktis dari parameter statistik ini dimungkinkan ketika melakukan operasi pasar valuta asing. Dengan bantuannya, Anda dapat menganalisis keberhasilan transaksi perdagangan. Selain itu, peningkatan nilai ekspektasi menunjukkan peningkatan keberhasilan mereka.
Penting juga untuk diingat bahwa ekspektasi matematis tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis kinerja trader. Penggunaan beberapa parameter statistik beserta nilai rata-ratanya meningkatkan keakuratan analisis secara signifikan.
Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan baik dalam memantau observasi akun perdagangan. Berkat itu, penilaian cepat atas pekerjaan yang dilakukan pada rekening deposito dilakukan. Jika aktivitas trader berhasil dan dia terhindar dari kerugian, tidak disarankan untuk hanya menggunakan perhitungan ekspektasi matematis. Dalam kasus ini, risiko tidak diperhitungkan, sehingga mengurangi efektivitas analisis.
Studi yang dilakukan mengenai taktik trader menunjukkan bahwa:
- Taktik yang paling efektif adalah taktik yang didasarkan pada entri acak;
- Yang paling tidak efektif adalah taktik yang didasarkan pada masukan terstruktur.
Sama pentingnya dalam mencapai hasil positif:
- taktik pengelolaan uang;
- strategi keluar.
Dengan menggunakan indikator seperti ekspektasi matematis, Anda dapat memprediksi berapa untung atau ruginya ketika berinvestasi 1 dolar. Diketahui bahwa indikator ini, yang dihitung untuk semua permainan yang dilakukan di kasino, menguntungkan pihak institusi. Inilah yang memungkinkan Anda menghasilkan uang. Dalam kasus serangkaian permainan yang panjang, kemungkinan klien kehilangan uang meningkat secara signifikan.
Permainan yang dimainkan oleh pemain profesional dibatasi dalam jangka waktu singkat, sehingga meningkatkan kemungkinan menang dan mengurangi risiko kalah. Pola yang sama diamati ketika melakukan operasi investasi.
Seorang investor dapat memperoleh sejumlah besar uang dengan antisipasi dan eksekusi positif. jumlah besar transaksi dalam jangka waktu singkat.
Ekspektasi dapat dianggap sebagai selisih antara persentase keuntungan (PW) dikalikan dengan rata-rata keuntungan (AW) dan probabilitas kerugian (PL) dikalikan dengan rata-rata kerugian (AL).
Sebagai contoh, kita dapat mempertimbangkan hal berikut: posisi – 12,5 ribu dolar, portofolio – 100 ribu dolar, risiko deposit – 1%. Profitabilitas transaksi adalah 40% kasus dengan keuntungan rata-rata 20%. Jika terjadi kerugian, rata-rata kerugiannya adalah 5%. Menghitung ekspektasi matematis untuk transaksi tersebut menghasilkan nilai $625.
Ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari suatu variabel acak.Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya:
Contoh.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Solusi: Ekspektasi matematis sama dengan jumlah produk dari semua kemungkinan nilai X dan probabilitasnya:
M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Untuk menghitung ekspektasi matematis, akan lebih mudah untuk melakukan perhitungan di Excel (terutama bila datanya banyak), kami sarankan menggunakan templat yang sudah jadi ().
Contoh untuk keputusan independen(Anda dapat menggunakan kalkulator).
Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X yang diberikan oleh hukum distribusi:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Ekspektasi matematis memiliki sifat-sifat berikut.
Sifat 1. Ekspektasi matematis terhadap nilai konstanta sama dengan konstanta itu sendiri: M(C)=C.
Sifat 2. Faktor konstanta dapat dianggap sebagai tanda ekspektasi matematis: M(CX)=CM(X).
Sifat 3. Ekspektasi matematis hasil kali variabel acak yang saling bebas sama dengan hasil kali ekspektasi matematis faktor-faktor: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Sifat 4. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Soal 189. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Penyelesaian: Dengan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis (ekspektasi matematis dari jumlah sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku-sukunya; faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis), kita memperoleh M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Dengan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis, buktikan bahwa: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) ekspektasi matematis deviasi X-M(X) sama dengan nol.
191. Variabel acak diskrit X mengambil tiga kemungkinan nilai: x1= 4 Dengan probabilitas p1 = 0,5; xЗ = 6 Dengan probabilitas P2 = 0,3 dan x3 dengan probabilitas p3. Carilah: x3 dan p3, diketahui bahwa M(X)=8.
192. Daftar nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit X diberikan: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; ekspektasi matematis dari nilai ini dan kuadratnya juga diketahui: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Temukan probabilitas p1, p2, p3 yang sesuai dengan kemungkinan nilai xi
194. Satu batch yang terdiri dari 10 bagian berisi tiga bagian non-standar. Dua bagian dipilih secara acak. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X - jumlah bagian non-standar di antara dua bagian yang dipilih.
196. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit X-jumlah pelemparan lima kali dadu, yang masing-masingnya akan muncul satu poin pada dua dadu, jika jumlah total lemparannya adalah dua puluh.
Nilai yang diharapkan distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan: Nilai yang diharapkan
Penyebaran variabel acak kontinu X, yang kemungkinan nilainya dimiliki oleh seluruh sumbu Ox, ditentukan oleh persamaan: 
Tujuan layanan. Kalkulator daring dirancang untuk memecahkan masalah yang mana pun kepadatan distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x) (lihat contoh). Biasanya dalam tugas seperti itu Anda perlu menemukannya ekspektasi matematis, rata-rata deviasi standar, plot fungsi f(x) dan F(x).
instruksi. Pilih jenis data sumber: kepadatan distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x).
Kepadatan distribusi f(x) diberikan: 
Fungsi distribusi F(x) diberikan: 
Variabel acak kontinu ditentukan oleh kepadatan probabilitas 
(Hukum distribusi Rayleigh - digunakan dalam teknik radio). Temukan M(x) , D(x) .
Variabel acak X disebut kontinu
, jika fungsi distribusinya F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Fungsi distribusi variabel acak kontinu digunakan untuk menghitung peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval tertentu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Selain itu, untuk variabel acak kontinu, tidak menjadi masalah apakah batas-batasnya termasuk dalam interval ini atau tidak:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Kepadatan distribusi
variabel acak kontinu disebut fungsi
f(x)=F’(x) , turunan dari fungsi distribusi.
Sifat kepadatan distribusi
1. Kepadatan distribusi variabel acak adalah non-negatif (f(x) ≥ 0) untuk semua nilai x.2. Kondisi normalisasi:
Arti geometris dari kondisi normalisasi: luas di bawah kurva kepadatan distribusi sama dengan satu.
3. Peluang suatu variabel acak X yang berada dalam interval dari α sampai β dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Secara geometris, peluang suatu variabel acak kontinu X masuk ke dalam interval (α, β) sama dengan luas trapesium lengkung di bawah kurva kerapatan distribusi berdasarkan interval tersebut.
4. Fungsi distribusi dinyatakan dalam densitas sebagai berikut:
Nilai kerapatan distribusi di titik x tidak sama dengan peluang menerima nilai ini; untuk variabel acak kontinu kita hanya dapat berbicara tentang peluang masuk ke dalam interval tertentu. Membiarkan )
