Logaritma nyata
Logaritma nyata nomor log A B masuk akal dengan src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Yang paling banyak digunakan jenis berikut logaritma.
Jika kita menganggap bilangan logaritmik sebagai variabel, kita memperolehnya fungsi logaritma, Misalnya: . Fungsi ini didefinisikan di sisi kanan garis bilangan: X > 0 , kontinu Dan dapat dibedakan di sana (lihat Gambar 1).
Properti
Logaritma natural
Ketika kesetaraan itu benar
| (1) |
Secara khusus,
Deret ini konvergen lebih cepat, dan selain itu, sisi kiri rumus kini dapat menyatakan logaritma bilangan positif apa pun.
Hubungan dengan logaritma desimal: .
Logaritma desimal
Beras. 2. Skala logaritma
Logaritma ke basis 10 (simbol: lg A) sebelum penemuan kalkulator banyak digunakan untuk komputasi. Skala tidak rata Logaritma desimal biasanya diplot aturan geser. Skala ini banyak digunakan di berbagai bidang ilmu pengetahuan, misalnya:
- Kimia- aktivitas hidrogen ion ().
- Teori musik- skala nada, dalam kaitannya dengan frekuensi bunyi nada.
Skala logaritmik juga banyak digunakan untuk mengidentifikasi eksponen dalam hubungan kekuasaan dan koefisien dalam eksponen. Pada saat yang sama, grafik dibuat skala logaritma sepanjang satu atau dua sumbu, berbentuk garis lurus, lebih mudah dipelajari.
Logaritma kompleks
Fungsi multinilai
permukaan Riemann
Fungsi logaritma kompleks - sebuah contoh permukaan Riemann; bagian imajinernya (Gbr. 3) terdiri dari jumlah yang tak terbatas cabang-cabangnya bengkok seperti spiral. Permukaan ini hanya terhubung; hanya nol (orde pertama) yang diperoleh di z = 1 , poin tunggal: z= 0 dan (titik cabang dengan orde tak terhingga).
Permukaan logaritma Riemann adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik 0.
Sketsa sejarah
Logaritma nyata
Perlunya perhitungan yang rumit di abad ke-16 berkembang pesat, dan sebagian besar kesulitannya terkait dengan perkalian dan pembagian angka multi-digit. Pada akhir abad ini, beberapa ahli matematika, hampir secara bersamaan, mengemukakan ide: mengganti perkalian padat karya dengan penjumlahan sederhana, membandingkan menggunakan tabel khusus geometris Dan hitung perkembangan, sedangkan yang geometris akan menjadi yang asli. Kemudian pembagian secara otomatis digantikan dengan pengurangan yang jauh lebih sederhana dan lebih dapat diandalkan. Dia adalah orang pertama yang mempublikasikan ide ini dalam bukunya “ Integrasi Aritmatika» Michael Stiefel, yang, bagaimanapun, tidak melakukan upaya serius untuk mengimplementasikan idenya.
Pada tahun 1620-an Edmund Wingate dan William Seharusnya menemukan yang pertama aturan geser, sebelum munculnya kalkulator saku, alat insinyur yang sangat diperlukan.
Dekat dengan pemahaman modern logaritma - sebagai operasi kebalikan eksponen- pertama kali muncul di Wallis Dan Johann Bernoulli, dan akhirnya disahkan Euler V XVIII abad. Dalam buku "Pengantar Analisis Ketakterbatasan" () Euler memberi definisi modern Bagaimana indikatif, dan fungsi logaritmik, mengakibatkan perluasannya menjadi seri kekuatan, secara khusus mencatat peran logaritma natural.
Euler juga dikreditkan dengan penyebaran fungsi logaritma ke area yang kompleks.
Logaritma kompleks
Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad ke-17-18 Leibniz Dan Johann Bernoulli Namun, mereka gagal menciptakan teori yang lengkap - terutama karena konsep logaritma belum didefinisikan dengan jelas. Diskusi mengenai masalah ini terjadi pertama kali antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 - antara d'Alembert dan Euler. Bernoulli dan d'Alembert percaya bahwa hal itu harus ditentukan catatan(-x) = catatan(x). Teori lengkap tentang logaritma negatif dan bilangan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan yang modern.
Meskipun perselisihan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan memperdebatkannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), sudut pandang Euler dengan cepat mendapat pengakuan universal.
Tabel logaritma
Tabel logaritma
Dari sifat-sifat logaritma dapat disimpulkan bahwa alih-alih mengalikan bilangan multi-digit dengan susah payah, cukup mencari (dari tabel) dan menjumlahkan logaritmanya, lalu menggunakan tabel yang sama untuk melakukan potensiasi, yaitu mencari nilai hasil berdasarkan logaritmanya. Perbedaan dalam melakukan pembagian hanya terletak pada pengurangan logaritmanya. Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma “memperpanjang umur para astronom”, mempercepat proses perhitungan berkali-kali lipat.
Saat memindahkan koma desimal dalam suatu angka ke N digit, nilai logaritma desimal dari angka ini berubah menjadi N. Misalnya, log8314.63 = log8.31463 + 3. Oleh karena itu, cukup menyusun tabel logaritma desimal untuk bilangan dalam rentang 1 hingga 10.
Tabel logaritma pertama diterbitkan oleh John Napier (), dan hanya berisi logaritma fungsi trigonometri, dan dengan kesalahan. Terlepas dari dia, Joost Bürgi, seorang teman, menerbitkan tabelnya Kepler(). DI DALAM 1617 Oxford profesor matematika Henry Briggs tabel yang diterbitkan yang sudah disertakan logaritma desimal angkanya sendiri, dari 1 sampai 1000, dengan 8 (kemudian 14) digit. Namun ada juga kesalahan dalam tabel Briggs. Edisi bebas kesalahan pertama berdasarkan tabel Vega () hanya muncul di 1857 di Berlin (meja Bremiwer).
Di Rusia, tabel logaritma pertama diterbitkan pada 1703 dibintangi L.F.Magnitsky. Beberapa kumpulan tabel logaritma diterbitkan di Uni Soviet.
- Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. Edisi ke-44, M., 1973.
Tabel Bradis () digunakan di lembaga pendidikan dan dalam perhitungan teknik yang tidak memerlukan ketelitian tinggi. Mereka berisi
Logaritma nyata
Logaritma log bilangan real A B masuk akal dengan src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Jenis logaritma yang paling banyak digunakan adalah:
Jika kita menganggap bilangan logaritmik sebagai variabel, kita memperolehnya fungsi logaritma, Misalnya: . Fungsi ini didefinisikan di sisi kanan garis bilangan: X > 0 , kontinu Dan dapat dibedakan di sana (lihat Gambar 1).
Properti
Logaritma natural
Ketika kesetaraan itu benar
| (1) |
Secara khusus,
Deret ini konvergen lebih cepat, dan selain itu, sisi kiri rumus kini dapat menyatakan logaritma bilangan positif apa pun.
Hubungan dengan logaritma desimal: .
Logaritma desimal
Beras. 2. Skala logaritma
Logaritma ke basis 10 (simbol: lg A) sebelum penemuan kalkulator banyak digunakan untuk komputasi. Skala tidak rata Logaritma desimal biasanya diplot aturan geser. Skala serupa banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, misalnya:
- Kimia- aktivitas hidrogen ion ().
- Teori musik- skala nada, dalam kaitannya dengan frekuensi bunyi nada.
Skala logaritmik juga banyak digunakan untuk mengidentifikasi eksponen dalam hubungan kekuasaan dan koefisien dalam eksponen. Dalam hal ini, grafik yang dibangun pada skala logaritmik sepanjang satu atau dua sumbu berbentuk garis lurus, sehingga lebih mudah dipelajari.
Logaritma kompleks
Fungsi multinilai
permukaan Riemann
Fungsi logaritma kompleks - sebuah contoh permukaan Riemann; bagian imajinernya (Gbr. 3) terdiri dari cabang-cabang yang jumlahnya tak terhingga, dipelintir seperti spiral. Permukaan ini hanya terhubung; hanya nol (orde pertama) yang diperoleh di z= 1, poin tunggal: z= 0 dan (titik cabang dengan orde tak terhingga).
Permukaan logaritma Riemann adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik 0.
Sketsa sejarah
Logaritma nyata
Perlunya perhitungan yang rumit di abad ke-16 berkembang pesat, dan sebagian besar kesulitannya terkait dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Pada akhir abad ini, beberapa ahli matematika, hampir secara bersamaan, mengemukakan ide: mengganti perkalian padat karya dengan penjumlahan sederhana, membandingkan menggunakan tabel khusus geometris Dan hitung perkembangan, sedangkan yang geometris akan menjadi yang asli. Kemudian pembagian secara otomatis digantikan dengan pengurangan yang jauh lebih sederhana dan lebih dapat diandalkan. Dia adalah orang pertama yang mempublikasikan ide ini dalam bukunya “ Integrasi Aritmatika» Michael Stiefel, yang, bagaimanapun, tidak melakukan upaya serius untuk mengimplementasikan idenya.
Pada tahun 1620-an Edmund Wingate dan William Seharusnya menemukan yang pertama aturan geser, sebelum munculnya kalkulator saku, alat insinyur yang sangat diperlukan.
Dekat dengan pemahaman modern tentang logaritma - sebagai operasi invers eksponen- pertama kali muncul di Wallis Dan Johann Bernoulli, dan akhirnya disahkan Euler V XVIII abad. Dalam buku “Introduction to the Analysis of Infinites” (), Euler memberikan definisi modern sebagai indikatif, dan fungsi logaritma, memperluasnya ke dalam deret pangkat, dan secara khusus mencatat peran logaritma natural.
Euler juga berjasa memperluas fungsi logaritmik ke domain kompleks.
Logaritma kompleks
Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad ke-17-18 Leibniz Dan Johann Bernoulli Namun, mereka gagal menciptakan teori yang lengkap - terutama karena konsep logaritma belum didefinisikan dengan jelas. Diskusi mengenai masalah ini terjadi pertama kali antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 - antara d'Alembert dan Euler. Bernoulli dan d'Alembert percaya bahwa hal itu harus ditentukan catatan(-x) = catatan(x). Teori lengkap tentang logaritma bilangan negatif dan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan teori modern.
Meskipun perselisihan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan memperdebatkannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), sudut pandang Euler dengan cepat mendapat pengakuan universal.
Tabel logaritma
Tabel logaritma
Dari sifat-sifat logaritma dapat disimpulkan bahwa alih-alih mengalikan bilangan multi-digit dengan susah payah, cukup mencari (dari tabel) dan menjumlahkan logaritmanya, lalu menggunakan tabel yang sama untuk melakukan potensiasi, yaitu mencari nilai hasil berdasarkan logaritmanya. Perbedaan dalam melakukan pembagian hanya terletak pada pengurangan logaritmanya. Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma “memperpanjang umur para astronom”, mempercepat proses perhitungan berkali-kali lipat.
Saat memindahkan koma desimal dalam suatu angka ke N digit, nilai logaritma desimal dari angka ini berubah menjadi N. Misalnya, log8314.63 = log8.31463 + 3. Oleh karena itu, cukup menyusun tabel logaritma desimal untuk bilangan dalam rentang 1 hingga 10.
Tabel logaritma pertama diterbitkan oleh John Napier (), dan hanya berisi logaritma fungsi trigonometri, dan dengan kesalahan. Terlepas dari dia, Joost Bürgi, seorang teman, menerbitkan tabelnya Kepler(). DI DALAM 1617 Oxford profesor matematika Henry Briggs tabel yang diterbitkan yang sudah menyertakan logaritma desimal dari angka itu sendiri, dari 1 hingga 1000, dengan 8 (kemudian 14) digit. Namun ada juga kesalahan dalam tabel Briggs. Edisi bebas kesalahan pertama berdasarkan tabel Vega () hanya muncul di 1857 di Berlin (meja Bremiwer).
Di Rusia, tabel logaritma pertama diterbitkan pada 1703 dibintangi L.F.Magnitsky. Beberapa kumpulan tabel logaritma diterbitkan di Uni Soviet.
- Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. Edisi ke-44, M., 1973.
Tabel Bradis (
