Mari kita kembali ke masalah luas trapesium lengkung dan definisi integral tertentu. Kita melihat bahwa luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y=f(x), dimana f(x)0 pada ruas tersebut, sumbu x dan garis lurus x = a dan x = b secara numerik sama ke integral tertentu, mis.
Sejauh ini kita telah membahas integral tertentu dengan batas konstan integrasi a dan b. Jika Anda berubah, misalnya, batas atas, tanpa meninggalkan segmen, nilai integralnya akan berubah. Dengan kata lain, integral dengan batas atas variabel merupakan fungsi dari batas atasnya. Jadi, jika kita mempunyai integralnya
dengan batas bawah konstan A dan batas atas variabel x, maka nilai integral tersebut merupakan fungsi dari batas atas x. Mari kita nyatakan fungsi ini dengan (х), yaitu kita masukkan
(2.1)
dan sebut saja integral tertentu dengan batas atas variabel. Secara geometris, fungsi Ф(x) adalah luas trapesium lengkung yang diarsir jika f(x)0 (Gbr. 2)
Sekarang mari kita lihat pembuktian teorema tersebut, salah satu teorema utama analisis matematika.
Dalil
3
.
Jika f(t) merupakan fungsi kontinu dan 
maka kesetaraan berlaku
atau 
(2.2)
Dengan kata lain, turunan integral tertentu dari fungsi berkelanjutan dengan variabel batas atas ada dan sama dengan nilai integran pada batas atas.
Bukti. Mari kita ambil nilai apa saja x dan beri kenaikan x 0 sehingga x + x , yaitu. 
. Maka fungsi Ф(х) akan menerima nilai baru:
Kami menemukan kenaikan fungsi Ф(х):
Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =
Menerapkan teorema nilai rata-rata pada integral terakhir kita memperoleh:
dimana C adalah bilangan antara bilangan x dan x + x. Dari sini 
Jika sekarang x 0, maka c x dan f(c) f(x) (karena kontinuitas f(x) pada ). Oleh karena itu, meneruskan ke limit persamaan terakhir yang kita peroleh
F
(
X
)
atau 
,
Q.E.D.
Konsekuensi. Integral pasti dengan batas atas variabel merupakan salah satu antiturunan integral kontinu. Dengan kata lain, untuk setiap fungsi kontinu mempunyai antiturunan,
Komentar. Integral dengan batas atas integrasi variabel digunakan untuk mendefinisikan banyak fungsi baru, misalnya:
.
3. Rumus Newton-Leibniz
Seperti yang telah kita ketahui, menghitung integral tertentu dengan menggunakan metode yang didasarkan pada pencarian limit jumlah integral biasanya menimbulkan kesulitan yang besar. Oleh karena itu, ada metode lain yang biasanya lebih mudah digunakan untuk menghitung integral tertentu, yang didasarkan pada koneksi dekat, ada antara konsep integral tertentu dan integral tak tentu. Hubungan ini diungkapkan sebagai berikut
Teorema 4 . Integral pasti dari fungsi kontinu sama dengan perbedaannya nilai-nilai antiturunannya untuk batas atas dan bawah integrasi.
Bukti. Kita telah menetapkan bahwa fungsi f(x), kontinu pada ruas ini, mempunyai antiturunan, dan salah satu antiturunannya adalah fungsi
.
Misalkan F(x) adalah antiturunan lain untuk fungsi f(x) pada segmen yang sama. Karena antiturunan Ф(х) dan F(х) berbeda konstanta (lihat sifat antiturunan), persamaan berikut berlaku:
dimana C adalah bilangan tertentu. Menggantikan nilai ke dalam persamaan ini X = A akan memiliki 0 = F(A) + C, C = - F(A), yaitu untuk x yang kita punya
Dengan menetapkan x = b, kita memperoleh relasinya
(3.1)
Rumus (3.1) disebut rumus Newton-Leibniz. Perbedaan F(B)
–
F(A)
Merupakan kebiasaan untuk menuliskannya secara konvensional dalam bentuk 
dan kemudian rumus (3.1) mengambil bentuk
Jadi, rumus (3.1) yang kita peroleh, di satu sisi, menetapkan hubungan antara integral tertentu dan integral tak tentu, di sisi lain, memberikan metode sederhana untuk menghitung integral tertentu:
integral tertentu dari suatu fungsi kontinu sama dengan selisih antara nilai-nilai antiturunannya, dihitung untuk batas atas dan batas bawah integrasi.
Munculnya konsep integral disebabkan adanya kebutuhan untuk mencari fungsi antiturunan berdasarkan turunannya, serta menentukan besarnya usaha, luas bangun kompleks, jarak yang ditempuh, dengan parameter yang digariskan oleh kurva yang dijelaskan dengan rumus nonlinier.
dan usaha itu sama dengan hasil kali gaya dan jarak. Jika seluruh gerakan terjadi dengan kecepatan konstan atau jarak yang ditempuh dengan gaya yang sama, maka semuanya jelas, Anda hanya perlu mengalikannya. Apa integral dari konstanta? dari bentuk y=kx+c.
Tetapi kekuatannya bisa berubah sepanjang pekerjaan, dan dalam beberapa jenis ketergantungan alami. Situasi yang sama terjadi dengan perhitungan jarak yang ditempuh jika kecepatannya tidak konstan.
Jadi sudah jelas mengapa integral diperlukan. Mendefinisikannya sebagai jumlah produk dari nilai suatu fungsi dengan kenaikan argumen yang sangat kecil menjelaskan secara lengkap arti utama konsep ini sebagai luas suatu bangun, yang bagian atasnya dibatasi oleh garis fungsi, dan pada bagian tepinya dibatasi oleh batas definisi.
Jean Gaston Darboux Matematikawan Perancis, pada paruh kedua abad ke-19, dijelaskan dengan sangat jelas apa itu integral. Ia menjelaskan dengan jelas bahwa secara umum tidak akan sulit bahkan bagi anak sekolah untuk memahami masalah ini. kelas junior sekolah menengah atas.
Katakanlah ada fungsi dengan bentuk kompleks apa pun. Sumbu ordinat di mana nilai-nilai argumen diplot dibagi menjadi interval-interval kecil, idealnya sangat kecil, tetapi karena konsep tak terhingga cukup abstrak, cukup dengan membayangkan segmen-segmen kecil, yang nilainya biasanya dilambangkan surat YunaniΔ (delta).
Fungsinya ternyata “dipotong” menjadi batu bata kecil.
Setiap nilai argumen berhubungan dengan suatu titik pada sumbu ordinat di mana nilai yang sesuai fungsi. Namun karena area yang dipilih memiliki dua batas, maka akan terdapat dua nilai fungsi, lebih besar dan lebih kecil.
Jumlah hasil kali nilai-nilai yang lebih besar dengan pertambahan Δ disebut jumlah Darboux besar, dan dilambangkan dengan S. Oleh karena itu, nilai-nilai yang lebih kecil dalam luas terbatas, dikalikan dengan Δ, semuanya membentuk jumlah Darboux kecil s . Situsnya sendiri mirip trapesium persegi panjang, karena kelengkungan garis fungsi dengan kenaikan yang sangat kecil dapat diabaikan. Cara termudah untuk menemukan area tersebut adalah seperti ini sosok geometris- adalah menjumlahkan produk yang lebih besar dan nilai yang lebih kecil berfungsi dengan kenaikan Δ dan membaginya dengan dua, yaitu ditentukan sebagai mean aritmatika.
Inilah yang dimaksud dengan integral Darboux:
s=Σf(x) Δ - jumlah kecil;
S= Σf(x+Δ)Δ adalah jumlah yang besar.
Jadi apa yang dimaksud dengan integral? Persegi, dibatasi oleh sebuah garis batas fungsi dan definisi akan sama dengan:
f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Artinya, rata-rata aritmatika jumlah Darboux besar dan kecil adalah nilai konstan yang disetel ulang selama diferensiasi.
Berdasarkan ekspresi geometri konsep ini, makna fisis integral menjadi jelas. digariskan oleh fungsi kecepatan, dan dibatasi oleh selang waktu sepanjang sumbu x, adalah panjang jarak yang ditempuh.
L = ∫f(x)dx pada interval dari t1 sampai t2,
f(x) adalah fungsi kecepatan, yaitu rumus yang berubah seiring waktu;
L - panjang jalur;
t1 - waktu mulai perjalanan;
t2 adalah waktu akhir perjalanan.
Prinsip yang persis sama digunakan untuk menentukan besarnya usaha, hanya jarak yang akan diplot sepanjang absis, dan jumlah gaya yang diterapkan pada setiap titik tertentu akan diplot sepanjang ordinat.
Arti fisik integral sangat sederhana.
Arti fisis dari integral (aa aa) adalah menggambarkan gaya tolak menolak antara dua elektron yang berasal dari pusat atom yang sama.
Arti fisis integral Aris hanya dapat dijelaskan secara kurang lebih; namun, selalu berguna untuk memvisualisasikan faktor-faktor yang terlibat dalam persamaan ketinggian yang setara dengan pelat teoretis. Secara kasar, integrasi pada t memberikan waktu yang bertambah seiring bertambahnya ukuran kolom. Hal ini dapat dijelaskan oleh fakta bahwa seiring bertambahnya ukuran kolom, jarak difusi molekul juga meningkat. Namun, meskipun demikian, nilai sesungguhnya H(x) ditentukan oleh kecepatan efektif, yang nilainya ditentukan oleh profil kecepatan.
Mari kita perhatikan arti fisis integral dalam persamaan ini. Integral pertama menyatakan penurunan laju aliran kedua melalui bagian c lapisan batas tinggi 8, karena pengaruh viskositas.
Untuk kesimpulan selanjutnya, integral ini tidak perlu diberi arti fisis, tetapi mudah dipahami bahwa integral ini menyatakan kerja ganda beban eksternal dalam proses deformasi benda, jika beban ini meningkat sangat lambat dari awal keadaan alami tubuh.
Sekarang mari kita perhatikan lebih detail sifat dan arti fisis integral semacam ini.
Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari fenomena utama yang ditunjukkan hukum umum dinamika sistem titik dan makna fisis integral gerak. Dalam kasus umum, masalahnya adalah nonlinier, dan untuk mendapatkannya solusi analitis gagal. Pada saat yang sama, melakukan serangkaian percobaan mesin memungkinkan kita memperoleh gambaran yang cukup lengkap dan jelas tentang ciri-ciri pergerakan benda yang diteliti. sistem mekanis. Kekhususan pengaturan eksperimen mesin dimanifestasikan, pertama, dalam perlunya penilaian awal terhadap karakteristik waktu proses untuk organisasi yang tepat mengeluarkan hasil pemecahan masalah. Penilaian ini ditentukan dengan menentukan nilai spesifik untuk parameter sistem dan kondisi awal dan dilakukan oleh siswa terlebih dahulu sebelum setiap input data awal. Kedua, pengaturan parameter atau kondisi awal yang salah dapat menyebabkan gangguan darurat pada solusi yang tidak berhubungan dengan esensi masalah dan ditentukan oleh implementasi spesifiknya pada mesin. Siswa juga yakin bahwa keakuratan solusi bergantung pada pilihan algoritma dan data awal. Tidak sulit untuk menelusuri, misalnya, bagaimana mereka mengubah perilaku mereka nilai numerik integral gerak jika langkah integrasi persamaan diferensial yang relatif besar dipilih.
Pada saat yang sama, untuk banyak aplikasi, yang paling signifikan adalah / Atheory, yang, khususnya, dijelaskan oleh makna fisik integral modulus kuadrat.
Terlebih lagi, keberadaan limit (4) untuk fungsi berhingga yang didefinisikan pada domain berhingga dapat dibuktikan secara matematis, tanpa mengacu pada arti fisis integralnya.
Pada Gambar. 1 a dan 1 b ditampilkan contoh yang khas; pada Gambar. Gambar 1c menunjukkan bahwa dua kurva dapat disambungkan meskipun rasio jaringnya sama sama dengan nol, dan solenoid pada Gambar. Gambar 1d menunjukkan arti fisis integral Gauss sebagai kerja perpindahan kutub magnet satuan sepanjang kurva tertutup dalam medan magnet yang disebabkan oleh aliran suatu satuan. arus listrik sepanjang kurva yang berbeda.
Rumus (2.27) adalah prinsip Huygens-Fresnel yang dimodifikasi dalam optik nonlinier. Arti fisis integral (2.27) cukup sederhana.
Generalisasi lebih lanjut dari integral Mohr dimungkinkan jika tidak hanya faktor gaya tunggal yang diterapkan, namun sistem gaya tunggal. Arti fisis integral Mohr mengikuti apa yang diwakilinya pekerjaan yang mungkin sistem satuan gaya terhadap perpindahan sistem utama.
Halaman: 1
instruksi
Integrasi adalah operasi yang merupakan kebalikan dari diferensiasi. Oleh karena itu, jika Anda ingin mempelajari cara berintegrasi dengan baik, maka Anda perlu mempelajari terlebih dahulu cara mencari turunan dari suatu fungsi. Anda dapat mempelajarinya dengan cukup cepat. Toh ada turunannya yang khusus. Dengan bantuannya sudah dimungkinkan untuk melakukan integral sederhana. Dan ada juga meja utama integral tak tentu. Hal ini ditunjukkan pada gambar.
Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";
Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;
Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).
Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8
Kata “integral” berasal dari bahasa Latin integralis - integral. Nama ini diusulkan pada abad ke-17. murid Leibniz yang agung (dan juga ahli matematika terkemuka) I. Bernoulli. Apa yang dimaksud dengan integral dalam pemahaman modern? Di bawah ini kami akan mencoba memberikan jawaban komprehensif atas pertanyaan tersebut.
Latar belakang sejarah munculnya konsep integral
Pada awal abad ke-17. sedang dipertimbangkan oleh para ilmuwan terkemuka jumlah yang besar masalah fisik (terutama mekanis) di mana perlu mempelajari ketergantungan beberapa besaran pada besaran lain. Masalah yang paling jelas dan mendesak adalah menentukan kecepatan sesaat dari gerakan tidak rata suatu benda pada setiap saat dan masalah kebalikannya dalam menemukan jarak yang ditempuh benda selama periode waktu tertentu selama gerakan tersebut. Hari ini kita sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan integral kecepatan gerak - yaitu jarak yang ditempuh. Namun pemahaman tentang cara menghitungnya, mengetahui kecepatan pada setiap momen waktu, tidak serta merta muncul.
Pertama, dengan mempertimbangkan ketergantungan tersebut besaran fisis, misalnya jalur dari kecepatan terbentuk konsep matematika fungsi y = f(x). Penelitian Properti berbagai fungsi menyebabkan lahirnya analisis matematis. Para ilmuwan telah secara aktif mencari cara untuk mempelajari sifat-sifat berbagai fungsi.
Bagaimana cara menghitung integral dan turunan?
Setelah Descartes menciptakan fondasinya geometri analitik dan munculnya kemampuan untuk menggambarkan ketergantungan fungsional secara grafis dalam sumbu sistem kartesius koordinat, peneliti dihadapkan pada dua masalah besar baru: bagaimana menggambar garis singgung garis lengkung di suatu titik dan bagaimana mencari luas bangun yang dibatasi di atas oleh kurva dan garis lurus tersebut, sejajar dengan sumbu koordinat Di luar dugaan, ternyata yang pertama setara dengan mencari kecepatan sesaat, dan yang kedua setara dengan mencari jarak yang ditempuh. Bagaimanapun, dia ada di pergerakan yang tidak merata digambarkan dalam sumbu koordinat Cartesian “jarak” dan “waktu” oleh beberapa garis lengkung.
Kejeniusan Leibniz dan Newton pada pertengahan abad ke-17. metode diciptakan yang memungkinkan untuk memecahkan kedua masalah ini. Ternyata untuk menggambar garis singgung kurva di suatu titik, perlu dicari nilai turunan dari fungsi yang menggambarkan kurva tersebut pada titik yang ditinjau, dan nilai tersebut ternyata adalah kecepatan yang sama perubahan fungsi, yaitu dalam kaitannya dengan ketergantungan “jalur pada kecepatan” dengan kecepatan sesaat benda yang sebenarnya.
Untuk mencari luas yang dibatasi oleh garis lengkung, kita harus menghitungnya integral tertentu, yang memberikan nilai pastinya. Turunan dan integral - konsep dasar diferensial dan kalkulus integral, yang merupakan dasar analisis matematika modern - cabang terpenting dari matematika tingkat tinggi.
Area di bawah garis lengkung
Jadi, bagaimana cara menentukan nilai pastinya? Mari kita coba mengungkap proses penghitungannya melalui integral secara detail, dari dasar-dasarnya.
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada interval tersebut. Perhatikan kurva y = f(x), yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Bagaimana cara mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva), sumbu x, dan garis x = a dan x = b? Artinya, luas bangun yang diarsir pada gambar tersebut.
Kasus paling sederhana adalah ketika f adalah fungsi konstan; yaitu kurvanya berupa garis mendatar f(X) = k, dengan k konstan dan k ≥ 0, seperti terlihat pada gambar di bawah.
Dalam hal ini luas di bawah kurva hanyalah persegi panjang dengan tinggi k dan lebar (b - a), sehingga luasnya didefinisikan sebagai: k · (b - a).
Area beberapa lainnya angka sederhana, seperti segitiga, trapesium, dan setengah lingkaran, diberikan dengan rumus dari planimetri.
Luas daerah di bawah kurva kontinu y = f(x) dinyatakan dengan integral tertentu, yang ditulis dengan cara yang sama seperti integral biasa.
Jumlah Riemann
Sebelum mendalami jawaban rinci atas pertanyaan tentang apa itu integral, mari kita soroti beberapa gagasan dasar.
Pertama, luas di bawah kurva dibagi menjadi sejumlah n garis vertikal dengan lebar cukup kecil Δx. Selanjutnya setiap garis vertikal diganti dengan persegi panjang vertikal dengan tinggi f(x), lebar Δx, dan luas f(x)dx. Langkah berikutnya adalah dengan membentuk jumlah luas semua persegi panjang tersebut, yang disebut jumlah Riemann (lihat gambar di bawah).
Saat menggambar persegi panjang dengan lebar Δx, kita dapat mengambil tingginya, sama dengan nilainya fungsi di tepi kiri setiap strip, yaitu titik paling kiri dari sisi pendek atasnya yang lebarnya Δx akan terletak pada kurva. Selain itu, pada bagian yang fungsinya bertambah dan kurvanya cembung, semua persegi panjang berada di bawah kurva ini, yaitu. jumlah pastinya akan lebih kecil dari luas persis di bawah kurva pada bagian ini (lihat gambar di bawah). Metode perkiraan ini disebut sisi kiri.
Pada prinsipnya, seseorang dapat menggambar persegi panjang sedemikian rupa sehingga titik paling kanan dari sisi pendek atasnya yang lebarnya Δx terletak pada kurva. Kemudian mereka akan berada di atas kurva, dan perkiraan luas pada bagian ini akan lebih besar dari nilai pastinya, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Metode ini disebut tangan kanan.
Namun kita juga dapat menganggap tinggi masing-masing persegi panjang yang didekati sebagai nilai fungsi di dalamnya titik sewenang-wenang x* i di dalam strip yang sesuai Δx i (lihat gambar di bawah). Dalam hal ini, kita mungkin tidak mengambil lebar semua garis yang sama.
Mari kita buat jumlah Riemann:
Transisi dari jumlah Riemann ke integral tertentu
DI DALAM matematika yang lebih tinggi teorema terbukti yang menyatakan bahwa jika, dengan pertambahan tak terbatas dalam jumlah n persegi panjang yang mendekati, lebar terbesarnya cenderung nol, maka jumlah Riemannian A n cenderung ke batas tertentu A. Bilangan A sama untuk metode apa pun untuk membentuk perkiraan persegi panjang dan untuk setiap titik pilihan x* i .
Penjelasan visual dari teorema tersebut diberikan pada gambar di bawah ini.
Terlihat bahwa semakin sempit persegi panjang maka luas bangun berundak semakin dekat dengan luas di bawah kurva. Jika banyaknya persegi panjang adalah n→∞, lebarnya adalah Δx i →0, dan limit A dari jumlah A n secara numerik sama dengan luas yang dibutuhkan. Limit ini merupakan integral tentu dari fungsi f(x):
Simbol integral, yaitu huruf miring S yang dimodifikasi, diperkenalkan oleh Leibniz. J. B. Fourier menyarankan untuk menempatkan limit di atas dan di bawah notasi integral. Nilai awal dan akhir x ditunjukkan dengan jelas.
Interpretasi geometri dan mekanik integral tertentu
Mari kita coba memberikan jawaban rinci atas pertanyaan apa itu integral? Mari kita perhatikan integral pada interval fungsi positif f(x) di dalamnya, dan kita asumsikan bahwa batas atas lebih besar dari batas bawah a Jika ordinat fungsi f(x) di dalamnya negatif, maka nilai absolut integralnya sama dengan luas antara sumbu absis dan grafik y=f(x), sedangkan integralnya sendiri negatif. Dalam kasus perpotongan grafik y=f(x) satu kali atau berulang dengan sumbu absis pada segmen tersebut , seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah, untuk menghitung integral, Anda perlu menentukan selisih di mana minuendnya adalah sama dengan luas total bagian-bagian yang terletak di atas sumbu absis, dan pengurangannya akan sama dengan luas total bidang-bidang yang terletak di bawahnya. Jadi, untuk fungsi pada gambar di atas, integral tentu dari a ke b sama dengan (S1 + S3) - (S2 + S4). Interpretasi mekanis integral tertentu berkaitan erat dengan interpretasi geometri. Mari kita kembali ke bagian “Jumlah Riemann” dan bayangkan bahwa grafik yang ditunjukkan pada gambar menyatakan fungsi kecepatan v=f(t) untuk gerak tidak rata suatu titik material (sumbu x adalah sumbu waktu). Maka luas persegi panjang perkiraan dengan lebar Δt, yang kita buat saat membentuk jumlah Riemann, kira-kira akan menyatakan jalur titik dalam waktu Δt, yaitu v(t*)Δt. Jumlah total luas persegi panjang pada ruas dari t 1 =a sampai t 2 =b kira-kira akan menyatakan lintasan s selama waktu t 2 - t 1, dan limitnya, yaitu integral (ditentukan) dari a ke b dari fungsi v = f(t ) dengan dt akan memberikan nilai pasti dari jalur s. Jika kita kembali ke peruntukannya, maka sangat mungkin untuk mengasumsikan bahwa a = const, dan b adalah nilai spesifik dari beberapa variabel bebas x. Kemudian integral tertentu yang mempunyai batas atas x̃ dari suatu bilangan tertentu diubah menjadi fungsi x̃. Integral ini sama dengan luas gambar di bawah kurva yang ditunjukkan oleh titik aABb pada gambar di bawah. Dengan garis diam aA dan garis bergerak Bb, luas tersebut menjadi fungsi f(x̃), dan pertambahan Δx̃ masih diplot sepanjang sumbu x, dan pertambahan fungsi f(x̃) adalah pertambahan dari area di bawah kurva. Anggaplah kita memberi variabel x̃ = b sedikit kenaikan Δx̃. Maka pertambahan luas bangun aABb adalah jumlah luas persegi panjang (yang diarsir pada gambar) Bb∙Δx̃ dan luas bangun BDC di bawah kurva. Luas persegi panjang sama dengan Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, yaitu merupakan fungsi linier dari pertambahan variabel bebas. Luas bangun BDC jelas lebih kecil dari luas persegi panjang BDCK = Δx̃∙Δy, dan semakin besar kecenderungan Δx̃ →0, semakin cepat mengecil. Artinya f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ adalah selisih luas variabel aABb, yaitu selisih integral tertentu Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa perhitungan integral terdiri dari pencarian fungsi dari ekspresi diferensial yang diberikan. Kalkulus integral adalah suatu sistem metode untuk mencari fungsi-fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan yang diketahui. Ini menghubungkan hubungan antara diferensiasi dan integrasi dan menunjukkan bahwa ada operasi kebalikan dari diferensiasi suatu fungsi - integrasinya. Hal ini juga menunjukkan bahwa jika ada fungsi f(x) yang kontinu, maka dengan menerapkan operasi matematika ini padanya seseorang dapat menemukan keseluruhan ansambel (himpunan, himpunan) fungsi yang antiturunannya (atau sebaliknya, temukan integral tak tentu dari fungsi tersebut ). Misalkan fungsi F(x) menyatakan hasil integrasi fungsi f(x). Kesesuaian antara kedua fungsi tersebut sebagai hasil pengintegrasian fungsi kedua dilambangkan sebagai berikut: Seperti terlihat, dengan simbol integral tidak ada batasan integrasi. Artinya dari yang pasti diubah menjadi integral tak tentu. Yang dimaksud dengan “tak tentu” adalah hasil operasi integrasi dalam hal ini tidak hanya satu, melainkan banyak fungsi. Lagi pula, selain fungsi F(x) itu sendiri, ekspresi terakhir juga dipenuhi oleh fungsi apa pun F(x)+C, di mana C = const. Ini menyiratkan bahwa suku konstan dalam ansambel antiturunan dapat ditentukan secara sewenang-wenang. Perlu ditekankan bahwa jika integral yang didefinisikan oleh suatu fungsi adalah suatu bilangan, maka integral tak tentu adalah suatu fungsi, atau lebih tepatnya, himpunannya. Istilah “integrasi” digunakan untuk mendefinisikan operasi pencarian kedua jenis integral. Ini adalah kebalikan dari aturan diferensiasi yang terkait. Bagaimana cara mengambil integral tak tentu? Kami akan melihat contoh prosedur ini menggunakan fungsi tertentu. Mari kita lihat fungsi daya secara umum: Setelah kita melakukan ini dengan setiap suku dalam ekspresi fungsi yang dapat diintegralkan (jika ada lebih dari satu), kita menambahkan sebuah konstanta di akhir. Ingatlah bahwa mengambil turunan dari suatu nilai konstanta akan menghancurkannya, jadi mengambil integral dari fungsi apa pun akan memberi kita pemulihan konstanta ini. Kami menyebutnya C karena konstanta tidak diketahui - bisa berupa bilangan apa saja! Oleh karena itu, kita dapat mempunyai ekspresi yang tak terhingga banyaknya untuk integral tak tentu. Mari kita lihat integral tak tentu sederhana, contohnya ditunjukkan di bawah ini. Misalkan kita perlu mencari integral dari fungsi tersebut: f(x) = 4x 2 + 2x - 3. Mari kita mulai dengan semester pertama. Kita lihat eksponen 2 dan naikkan 1, lalu bagi suku pertama dengan eksponen yang dihasilkan 3. Kita peroleh: 4(x 3) / 3. Kemudian kita melihat anggota berikutnya dan melakukan hal yang sama. Karena pangkatnya 1, maka pangkat yang dihasilkan adalah 2. Jadi, kita membagi suku ini dengan 2: 2(x 2) / 2 = x 2. Suku terakhir mempunyai faktor x, tetapi kita tidak melihatnya. Kita dapat menganggap suku terakhir sebagai (-3x 0). Ini setara dengan (-3)∙(1). Jika kita menggunakan aturan integrasi, kita akan menambahkan 1 pada eksponen untuk menaikkannya menjadi pangkat satu, lalu membagi suku terakhir dengan 1. Kita mendapatkan 3x. Aturan integrasi ini berlaku untuk semua nilai n kecuali n = - 1 (karena kita tidak bisa membaginya dengan 0). Kita telah melihat contoh paling sederhana dalam mencari integral. Secara umum, menyelesaikan integral bukanlah tugas yang mudah, dan pengalaman yang telah dikumpulkan dalam matematika sangat membantu. Pada bagian di atas, kita melihat bahwa dari setiap rumus diferensiasi diperoleh rumus integrasi yang sesuai. Oleh karena itu, semua opsi yang memungkinkan telah lama diperoleh dan dirangkum dalam tabel yang sesuai. Tabel integral di bawah ini berisi rumus-rumus pengintegrasian fungsi aljabar dasar. Rumus-rumus ini perlu dihafal, dihafal secara bertahap sambil dikonsolidasikan dengan latihan. Tabel integral lainnya berisi fungsi trigonometri dasar: Ternyata melakukan hal ini, mengetahui cara mengintegrasikan, yaitu mencari integral tak tentu, sangatlah sederhana. Dan rumus pendiri kalkulus integro-diferensial, Newton dan Leibniz, membantu dalam hal ini Menurutnya, perhitungan integral yang diinginkan terdiri dari tahap pertama mencari bilangan tak tentu, kemudian menghitung nilai antiturunan F(x) yang ditemukan dengan mensubstitusikan x yang mula-mula sama dengan batas atas, kemudian batas bawah, dan, terakhir, menentukan perbedaan nilai-nilai tersebut. Dalam hal ini, konstanta C tidak perlu dituliskan. Karena itu menghilang ketika pengurangan dilakukan. Mari kita lihat beberapa integral dengan solusi rinci. Mari kita cari luas area di bawah salah satu sinusoidal setengah gelombang. Mari kita hitung luas daerah yang diarsir di bawah hiperbola. Sekarang mari kita pertimbangkan integral dengan solusi terperinci ,
menggunakan properti aditif pada contoh pertama, dan substitusi variabel integrasi perantara pada contoh kedua. Mari kita hitung integral pasti dari fungsi rasional pecahan: y=(1+t)/t 3 dari t=1 hingga t=2. Sekarang kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat menyederhanakan pengambilan integral dengan memasukkan variabel perantara. Misalkan kita perlu menghitung integral dari (x+1) 2 . Kita telah membahas tentang integral tentu untuk interval berhingga suatu fungsi f(x) yang kontinu pada fungsi tersebut. Namun sejumlah masalah khusus menyebabkan perlunya memperluas konsep integral ke kasus ketika limit (satu atau keduanya) sama dengan tak terhingga, atau untuk fungsi diskontinu. Misalnya, saat menghitung luas di bawah kurva yang mendekati sumbu koordinat secara asimtotik. Untuk memperluas konsep integral pada kasus ini, selain meneruskan ke limit saat menghitung jumlah Riemannian dari perkiraan persegi panjang, satu langkah lagi dilakukan. Dengan lintasan ganda hingga batas tersebut, diperoleh integral tak wajar. Sebaliknya, semua integral yang dibahas di atas disebut integral yang tepat.
Diferensial integral tertentu
Hubungan mendasar kalkulus integral
Aturan dasar integrasi
Tabel integral
Cara menghitung integral tertentu
Tentang integral tak wajar
