Presentasi dikembangkan untuk buku teks “Aljabar dan Elemen” analisis matematis. Kelas 11. Dasar dan Prof. tingkat." Kolyagin Yu.M. dll. Pemaparan ini dapat digunakan saat mempelajari bab “Elemen Teori Probabilitas” di kelas 11, serta saat mempersiapkan Ujian Negara Bersatu. Presentasi berisi tugas untuk aplikasi berbagai elemen kombinatorik saat mencari probabilitas.
Lihat isi dokumen
"Presentasi dengan topik "Elemen kombinatorika dalam masalah dalam teori probabilitas""
Elemen kombinatorik dalam permasalahan dalam teori probabilitas
Diselesaikan oleh seorang guru matematika
Sekolah Menengah MBOU Bolshemurashkinskaya Kozlova E.E.
Menerapkan permutasi
Masalah 1 .
Rak buku menampung 30 volume. Dalam berapa cara mereka dapat disusun tanpa jilid ke-1 dan ke-2 saling bersebelahan?
- - total 30 pilihan pengaturan buku;
- - jumlah opsi ketika volume ke-1 dan ke-2 bersebelahan dan volume pertama di sebelah kiri;
- - Jumlah pilihan ketika volume pertama dan kedua bersebelahan
- -pilihan total untuk akomodasi yang diperlukan
Menerapkan permutasi
Tugas 2.
Ada 30 volume di rak buku. Anak itu menjatuhkan buku-buku dari rak lalu menyusunnya secara acak. Berapa peluang dia tidak meletakkan jilid 1 dan 2 secara berdampingan?
- - total pilihan akomodasi;
- - jumlah pilihan ketika volume pertama dan kedua berdampingan;
- - kemungkinan volume pertama dan kedua akan bersebelahan;
- - kemungkinan volume pertama dan kedua tidak akan bersebelahan.
Penerapan penempatan
Tugas 3.
Dalam berapa cara 15 jilid dapat disusun dalam satu rak buku jika anda memilihnya dari 30 buku yang tersedia?
Tugas 4.
Berapa cara 30 buku dapat disusun dalam dua rak jika setiap rak hanya menampung 15 jilid?
Penerapan penempatan
Tugas 5.
Di rak buku terdapat koleksi karya salah satu penulis dalam 6 jilid. Buku-buku dengan format yang sama disusun secara acak. Pembaca tanpa melihat mengambil 3 buku. Berapa peluang dia mengambil tiga jilid pertama?
Menerapkan kombinasi
Tugas 6.
Dalam berapa cara 15 jilid dapat disusun dalam rak buku jika Anda memilihnya dari 30 buku yang secara lahiriah tidak dapat dibedakan yang tersedia?
Tugas 7.
Dalam berapa cara 30 buku yang tampilan luarnya tidak dapat dibedakan dapat disusun dalam dua rak jika setiap rak hanya menampung 15 jilid?
Menerapkan kombinasi
Tugas 8.
Di rak buku terdapat koleksi karya salah satu penulis dalam 6 jilid. Buku-buku tersebut dirancang secara identik dan disusun dalam urutan acak. Pembaca mengambil 3 buku secara acak. Berapa probabilitas dia mengambil tiga jilid pertama?
Masalah kombinatorik
1. Jadwal satu hari berisi 5 pelajaran. Tentukan jumlah jadwal tersebut ketika memilih dari sebelas disiplin ilmu.
Jawaban: 55.440.
2. Komisi tersebut terdiri dari seorang ketua, wakilnya, dan lima orang lainnya. Berapa banyak cara anggota komite dapat membagi tanggung jawab di antara mereka sendiri?
3. Dalam berapa cara Anda dapat memilih tiga petugas yang bertugas dari kelompok yang beranggotakan 20 orang?
Jawaban: 1.140.
4. Berapa banyak kombinasi suara berbeda yang dapat dimainkan pada sepuluh tuts piano yang dipilih, jika setiap kombinasi suara dapat berisi tiga hingga sepuluh suara?
Jawaban: 968.
5. Ada 10 anyelir merah dan 5 anyelir merah muda di dalam vas. Dalam berapa cara kamu dapat memilih lima anyelir yang warnanya sama dari sebuah vas?
Jawaban: 253.
6. Nomor rute trem terkadang ditandai dengan dua lampu berwarna. Berapa banyak rute berbeda yang dapat ditandai jika delapan warna lentera digunakan?
7. Kejuaraan ini, yang menampilkan 16 tim, dimainkan dalam dua babak (yaitu setiap tim bermain melawan tim lain sebanyak dua kali). Tentukan berapa banyak pertemuan yang harus diadakan.
Jawaban: 240.
8. Kunci hanya terbuka jika nomor tiga digit tertentu dihubungi. Upaya ini terdiri dari pemanggilan tiga digit secara acak dari lima digit yang diberikan. Nomor tersebut hanya dapat ditebak pada upaya terakhir dari semua kemungkinan. Berapa banyak percobaan yang berhasil sebelum percobaan tersebut berhasil?
Jawaban: 124.
9. Dari kelompok yang terdiri dari 15 orang, dipilih empat peserta estafet 800+400+200+100. Ada berapa cara atlet disusun menurut tahapan lari estafetnya?
Jawaban: 32.760.
10. Sebuah tim yang beranggotakan lima orang bertanding dalam perlombaan renang bersama 20 atlet lainnya yang bertanding. Berapa banyak cara pembagian tempat yang ditempati oleh anggota tim ini?
Jawaban: 25!/20!.
11. Berapa banyak cara dua benteng dapat ditempatkan pada papan catur sehingga yang satu tidak dapat menangkap yang lain? (Satu benteng dapat mengambil benteng lainnya jika berada pada garis horizontal atau vertikal yang sama di papan catur.)
Jawaban: 3.126.
12. Dua benteng dengan warna berbeda ditempatkan di papan catur sehingga masing-masing dapat mengambil yang lain. Berapa banyak lokasi seperti itu yang ada?
Jawaban: 896.
13. Urutan penampilan delapan peserta kompetisi ditentukan melalui undian. Berapa banyak kemungkinan hasil pengundian yang berbeda?
14. Tiga puluh orang dibagi menjadi tiga kelompok yang masing-masing terdiri dari sepuluh orang. Berapa banyak komposisi grup yang berbeda?
Jawaban: 30!/(10!).
15. Berapa banyak bilangan empat angka yang habis dibagi 5 yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 3, 5, 7, jika setiap bilangan tidak boleh mempunyai angka-angka yang sama?
16. Berapa banyak cincin bercahaya berbeda yang dapat dibuat dengan menempatkan 10 bola lampu dengan warna berbeda mengelilingi lingkaran (cincin tersebut dianggap sama jika urutan warnanya sama)?
17. Rak buku menampung 30 volume. Berapa banyak cara menyusunnya tanpa jilid pertama dan jilid kedua saling bersebelahan?
18. Empat penembak harus mencapai delapan sasaran (masing-masing dua). Berapa banyak cara mereka dapat mendistribusikan target di antara mereka?
Jawaban: 2.520.
19. Dari kelompok yang berjumlah 12 orang, dipilih dua orang yang bertugas setiap hari selama 6 hari. Tentukan kuantitas berbagai daftar bertugas jika setiap orang bertugas satu kali.
Jawaban: 12!/(2!).
20. Berapa banyak bilangan empat angka yang terdiri dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 yang mengandung angka 3 (angka-angka tersebut tidak berulang dalam bilangan)?
Jawaban: 204.
21. Sepuluh kelompok belajar di sepuluh ruang kelas berturut-turut. Berapa banyak pilihan penjadwalan yang ada pada kelompok No. 1 dan No. 2 yang berada di ruang kelas yang berdekatan?
Jawaban: 2x9!.
22. 16 pemain catur berpartisipasi dalam turnamen ini. Tentukan jumlah jadwal berbeda pada babak pertama (jadwal dianggap berbeda jika peserta dalam setidaknya satu permainan berbeda; warna bidak dan nomor papan tidak diperhitungkan).
Jawaban: 2.027.025.
23. Enam kotak berbagai bahan dikirim ke lima lantai lokasi konstruksi. Berapa banyak cara bahan dapat didistribusikan ke seluruh lantai? Dalam berapa varian suatu material dikirim ke lantai lima?
Jawaban: 5 6 ; 6x4 5 .
24. Dua tukang pos harus mengantarkan 10 surat ke 10 alamat. Berapa banyak cara mereka dapat mendistribusikan pekerjaan tersebut?
Jawaban: 2 10.
25. Kereta metro berhenti 16 kali, di mana semua penumpang turun. Dalam berapa cara 100 penumpang yang menaiki kereta api di perhentian terakhir dapat didistribusikan di antara perhentian tersebut?
Jawaban: 16.100.
26. Berapa banyak angka tiga digit, habis dibagi 3, dapat dibuat dari bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, jika setiap bilangan tidak boleh mempunyai angka yang sama?
27. Rapat yang terdiri dari 80 orang memilih seorang ketua, seorang sekretaris dan tiga anggota komisi audit. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Jawaban: 80!(3!×75!).
28. Dari 10 petenis putri dan 6 petenis, terdiri dari 4 ganda campuran. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Jawaban: 10!/48.
29. Tiga kendaraan No. 1, 2, 3 harus mengantarkan barang ke enam toko. Dalam berapa cara mesin dapat digunakan jika daya dukung masing-masing mesin memungkinkan untuk mengambil barang ke semua toko sekaligus dan jika dua mesin tidak dikirim ke toko yang sama? Berapa banyak pilihan rute yang mungkin jika Anda memutuskan untuk hanya menggunakan mobil No. 1?
Jawaban: 3 6×6!.
30. Empat laki-laki dan dua perempuan memilih bagian olahraga. Hanya anak laki-laki yang diterima di bagian hoki dan tinju, hanya anak perempuan yang diterima di bagian senam ritmik, dan baik anak laki-laki maupun perempuan diterima di bagian ski dan speed skating. Dalam berapa cara keenam orang ini dapat didistribusikan ke dalam bagian-bagian tersebut?
Jawaban: 2304.
31. Dari laboratorium yang mempekerjakan 20 orang, 5 orang karyawan harus melakukan perjalanan bisnis. Berapa banyak komposisi berbeda dalam kelompok ini jika kepala laboratorium, wakilnya, dan kepala teknisi tidak harus keluar pada waktu yang bersamaan?
Jawaban: 15.368.
32. Ada 10 orang di klub piano; kata artistik–15, di lingkaran vokal – 12, di lingkaran fotografi – 20 orang. Dalam berapa cara sebuah tim yang terdiri dari empat pembaca, tiga pianis, lima penyanyi, dan satu fotografer dapat dibentuk?
Jawaban: 15!10/7!
33. Dua puluh delapan kartu domino dibagikan kepada empat pemain. Berapa banyak distribusi berbeda yang mungkin dilakukan?
34. Dari kelompok yang terdiri dari 15 orang, harus dipilih seorang mandor dan 4 anggota tim. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Jawaban: 15.015.
35. Lima siswa harus dibagi menjadi tiga kelas paralel. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Jawaban: 3 5.
36. Lift berhenti di 10 lantai. Dalam berapa cara 8 penumpang dalam lift dapat didistribusikan di antara perhentian tersebut?
Jawaban: 16!/(2 6 ×3 2).
38. Turnamen catur ini diikuti oleh 8 pecatur kelas tiga, 6 pecatur kelas dua, dan 2 pecatur kelas satu. Tentukan banyaknya komposisi babak pertama sehingga pecatur dari kategori yang sama bertemu satu sama lain (warna bidak tidak diperhitungkan).
Jawaban: 420.
39. Dari bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dibuat segala macam bilangan yang terdiri dari lima angka: bilangan yang tidak mengandung angka-angka yang sama. Tentukan banyaknya bilangan yang memuat angka 2, 4 dan 5 sekaligus.
Jawaban: 1800.
40. Tujuh buah apel dan dua buah jeruk harus dimasukkan ke dalam dua kantong agar setiap kantong berisi paling sedikit satu buah jeruk dan jumlah buah di dalamnya sama. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
Jawaban: 105.
41. Huruf kode morse terdiri dari simbol-simbol (titik dan garis). Berapa banyak huruf yang dapat Anda gambar jika Anda mengharuskan setiap huruf berisi tidak lebih dari lima karakter?
42. Nomor trailer mobil terdiri dari dua huruf dan empat angka. Berapa banyak angka berbeda yang dapat kamu buat dengan menggunakan 30 huruf dan 10 angka?
Jawaban: 9×10 6.
43. Tukang kebun harus menanam 10 pohon dalam waktu tiga hari. Berapa banyak cara dia dapat mendistribusikan pekerjaannya selama beberapa hari jika dia menanam paling sedikit satu pohon sehari?
44. Dari vas berisi 10 bunga anyelir merah dan 4 bunga anyelir merah jambu, pilihlah satu bunga berwarna merah dan dua bunga berwarna merah muda. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
45. Dua belas siswa diberi dua pilihan. pekerjaan tes. Dalam berapa cara siswa dapat duduk dalam dua baris sehingga yang duduk bersebelahan tidak mempunyai pilihan yang sama, tetapi yang duduk bersebelahan mempunyai pilihan yang sama?
Jawaban: 2(6!) 2.
46. Masing-masing dari sepuluh operator radio di titik A mencoba menjalin kontak dengan masing-masing dari dua puluh operator radio di titik B. Sebanyak mungkin berbagai pilihan hubungan seperti itu?
Jawaban: 2.200.
47. Enam kotak bahan berbeda dikirim ke delapan lantai lokasi konstruksi. Berapa banyak cara bahan dapat didistribusikan ke seluruh lantai? Dalam berapa banyak pilihan yang tidak lebih dari dua bahan akan dikirim ke lantai delapan?
Jawaban: 8 6 ; 8 6 –13×7 5 .
48. Berapa banyak cara pemain dari dua tim sepak bola dapat berbaris dalam satu baris tanpa dua pemain dari tim yang sama berdiri bersebelahan?
Jawaban: 2(11!) 2.
49. Di rak buku ada buku matematika dan logika - total 20 buku. Tunjukkan apa jumlah terbesar Pilihan satu set yang berisi 5 buku matematika dan 5 buku logika dimungkinkan jika jumlah buku di rak untuk setiap mata pelajaran adalah 10.
Menjawab: C 5 10– x × C 5 10+ x ( C 5 10) 2 .
50 .Lift yang membawa 9 penumpang bisa berhenti di sepuluh lantai. Penumpang turun dalam kelompok dua, tiga, dan empat. Dalam berapa banyak cara hal ini dapat terjadi?
Jawaban: 10!/4.
51. “Pagi-pagi sekali, Igor yang tersenyum bergegas pergi memancing tanpa alas kaki.” Berapa banyak kalimat bermakna berbeda yang dapat dibuat dengan menggunakan sebagian kata dalam kalimat ini, tetapi tanpa mengubah urutannya?
52. Dalam pertandingan catur antara dua tim yang beranggotakan 8 orang, peserta permainan dan warna bidak masing-masing peserta ditentukan dengan cara undian. Berapa banyak hasil pengundian yang berbeda?
53. A dan B serta 8 orang lainnya sedang mengantri. Berapa banyak cara orang dapat diatur dalam suatu antrian sehingga A dan B dipisahkan satu sama lain oleh tiga orang?
Jawaban: 6×8! × 2!.
54. Berapa banyak bilangan empat angka yang dapat dibuat dari bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5 jika a) bilangan-bilangan tersebut tidak berulang; b) angka dapat diulang; c) hanya nomor ganjil yang digunakan dan boleh diulang; d) seharusnya hanya muncul angka ganjil dan angka dapat diulang.
Jawaban: a) 5×5×4×3=300; b) 5×6 = 1080; c) 3 4 ; d) 5×6×6×3 = 540.
55. Ada 10 mata pelajaran yang dipelajari di kelas tersebut. Ada berapa cara membuat jadwal hari senin jika ada 6 pelajaran di hari senin dan semuanya berbeda?
56. Diambil pada satu garis lurus M titik-titik pada garis yang sejajar dengannya N poin. Berapa banyak segitiga dengan titik sudut pada titik-titik tersebut yang dapat diperoleh?
Menjawab: 
57 . Ada berapa angka lima angka yang dibaca sama dari kanan ke kiri dan kiri ke kanan, misalnya 67876.
Jawaban: 9×10×10 = 900.
58. Berapa banyak pembagi berbeda (termasuk 1 dan bilangan itu sendiri) yang dimiliki bilangan tersebut?
59. Dalam matriks persegi panjang A = {sebuah ij} M garis dan N kolom. Setiap sebuah ijО(+1, –1), dan hasil kali sebuah ij untuk setiap baris atau kolom mana pun sama dengan 1. Berapa banyak matriks yang demikian?
Jawaban: 2 ( M–1)(N–1) .
60. Di dalam ruangan N bola lampu Berapa banyak cara yang berbeda pencahayaan ruangan,
saat lampu menyala:
a) tepatnya k bola lampu ( k< N);
b) setidaknya satu bola lampu.
Jawaban: a) ; B) 
= 2N–1.
61. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari empat angka yang setiap angka berikutnya lebih besar dari angka sebelumnya?
Jawaban: = 126.
62. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari empat angka yang setiap angka berikutnya lebih kecil dari angka sebelumnya?
Jawaban: = 210.
63. Tersedia P putih dan Q bola hitam. Dalam berapa cara kedua bola tersebut dapat disusun berjajar sehingga tidak ada 2 bola hitam yang terletak bersebelahan ( Q £ P + 1)?
64. Tersedia P buku yang berbeda dalam ikatan merah dan Q berbagai buku berjilid biru ( Q £ P+ 1). Berapa banyak cara buku-buku tersebut dapat disusun berjajar sehingga tidak ada dua buku bersampul biru yang saling bersebelahan?
65. Ada berapa cara anda dapat memesan (1, 2, ... N) bilangan sehingga bilangan 1, 2, 3 bersebelahan secara menaik?
Menjawab: ( N – 2)!.
66. Harus ada 4 pembicara dalam rapat: A, B, C dan D, dan B tidak dapat berbicara sebelum A. Dalam berapa cara urutannya dapat ditentukan?
Jawaban: 12 = 3! + 2× 2 +2.
67. Dalam berapa banyak cara M + N + S benda dapat dibagi menjadi 3 kelompok, sehingga satu kelompok mempunyai m benda, kelompok lainnya - N, di urutan ketiga – S item.
Menjawab: 
68. Berapa banyak yang utuh solusi non-negatif memiliki persamaan X 1+ X 2+ ... + xm= N.
69. Temukan jumlah vektor Z = (A 1A 2... sebuah), yang koordinatnya memenuhi syarat:
1) ai tentang (0, 1);
2) ai tentang (0, 1, ... k – 1};
3) ai tentang (0, 1, ... ki– 1};
4) ai tentang (0, 1) dan A 1+ A 2+ ... + sebuah= R.
Jawaban: 1) 2 N; 2) buku; 3) k 1k 2... buku; 4) .
70. Berapa jumlah matriksnya ( aij), Di mana aijО(0,1) dan di mana M garis dan N kolom? 1) garis dapat diulang; 2) senarnya berbeda berpasangan.
Jawaban: 1) 2 M× N; 2) .
71. Diberikan M item dari jenis yang sama dan N lain. Temukan jumlah sampel yang terdiri dari R elemen yang berjenis sama dan S lain.
72. Dalam berapa cara bilangan tersebut N dapat direpresentasikan sebagai jumlah k istilah alami (representasi yang berbeda hanya dalam urutan istilah dianggap berbeda).
73. 10 buah dadu yang identik dilempar. Berapa banyak cara mereka jatuh sehingga :
1) tidak ada dadu yang akan melempar 6 poin;
2) setidaknya satu dadu akan melempar 6 poin;
3) tepat 3 dadu akan menghasilkan 6 poin;
4) tepat 3 dadu akan menghasilkan 6 poin, dan 2 dadu lainnya akan menghasilkan 5 poin.
Jawaban: 5 10, 6 10 -5 10, 24´5 8, 630´4 6
74. Misalkan nomor telepon terdiri dari 7 digit dan dapat juga diawali dengan 0, tentukan banyaknya nomor telepon sedemikian rupa sehingga:
1) 4 angka terakhir sama dan tidak terdapat di antara 3 angka pertama (3 angka pertama berbeda);
2) semua nomor berbeda;
3) angka dimulai dengan angka 5;
4) bilangan tersebut berisi tiga angka 5, dua angka 1, dan dua angka 2.
Jawaban: 5040, , 10 6, 210.
75. 10 orang, termasuk Ivanov dan Petrov, diakomodasi di hotel dalam dua kamar dengan 3 tempat tidur dan satu kamar dengan 4 tempat tidur. Dalam berapa cara penempatannya? Berapa banyak cara mereka dapat ditempatkan jika Ivanov dan Petrov ditempatkan dalam kamar dengan 4 tempat tidur?
, .78. Ada berapa cara untuk menyusun 9 orang :
1) satu per satu dalam satu kolom;
2) pada kolom 3, jika pada setiap baris orang berbaris menurut tinggi badannya dan tidak ada orang yang tinggi badannya sama?
Jawaban: 9!, .
79. Dari N surat, di antaranya A memenuhi α satu surat B memenuhi β kali, dan sisa hurufnya berbeda berpasangan, kata-kata terbentuk. Berapa banyak yang berbeda yang akan ada? R-kata-kata literal yang mengandung H kali surat A Dan k kali surat B?
80. Ada setumpuk 4 buah N (N³5) kartu, yang berisi kartu dengan 4 jenis sesuai N kartu masing-masing jenis, bernomor 1,2... N. Hitunglah berapa cara anda dapat memilih 5 kartu sehingga diantaranya adalah :
1) 5 kartu berurutan dengan jenis yang sama;
2) 4 kartu dari 5 dengan nomor yang sama;
3) 3 kartu dengan satu nomor dan 2 kartu dengan nomor lainnya;
4) 5 kartu dengan jenis yang sama;
5) 5 kartu bernomor urut;
6) 3 kartu dari 5 dengan nomor yang sama;
7) tidak lebih dari 2 kartu dari setiap jenis.
Jawaban: 4( N–4), 4N(N–1), 12N(N–1), , 4 5 (N–4), , 
.
81. Berapa banyak cara yang dapat anda atur N nol dan k unit sehingga di antara 2 unit mana pun terdapat paling sedikit M nol?
Kepadatan probabilitas komponen X
f 1 (x) = σ x 1 2π × e − u2 / 2. (1,59)
Mari kita cari fungsi regresi M(Y | x), yang pertama-tama kita cari hukum kondisional distribusi nilai Y pada X = x:
y (y x) = f (x, y). f 1 (x)
Substitusikan (1.57) dan (1.58) ke dalam sisi kanan rumus ini dan melakukan perhitungan yang kita miliki
x) = | × e | −(v −ru) 2 /(2(1−r | 2 )) | ||||||
σy | |||||||||
Mengganti u dan v menggunakan rumus (1.58), akhirnya kita peroleh
x) = | × e | ||||||||||||||||||||
(σy | |||||||||||||||||||||
1−r2 | |||||||||||||||||||||
Diterima distribusi bersyarat oke dengan ekspektasi matematis(dengan fungsi regresi Y pada X)
M(Y x) = a 2 + rσ y (x − a1 )
dan dispersi σ 2 y (1 − r 2 ).
Demikian pula, Anda bisa mendapatkan fungsi regresi X pada Y:
M(X y) = a1 + rσ x (y − a2 ).
Karena kedua fungsi regresi tersebut linier, maka korelasi antara nilai X dan Y adalah linier, sehingga perlu dibuktikan.
Mempertimbangkan arti probabilistik dari parameter dua dimensi distribusi normal, kami menyimpulkan bahwa persamaan garis regresi
2 = hal | (x − a1 ), | x − a1 = r | (kamu − a 2 ) |
|||
bertepatan dengan persamaan garis regresi mean square.
KOMPLEKS PELATIHAN DAN METODOLOGI
BAGIAN 13 “TEORI PROBABILITAS”
2. Pedoman bagi siswa
2.1. KOMBINATORIK
Misalkan suatu himpunan terdiri dari n elemen berbeda. Anda perlu memilih beberapa k elemen darinya dan menyusun k elemen ini dalam urutan tertentu. Barisan terurut seperti itu disebut susunan n elemen dengan k elemen (diurutkan - oleh karena itu, barisan ( 1;2) dan ( 2;1 ) merupakan susunan yang berbeda).
Jika tidak ada elemen yang identik dalam barisan, maka mereka berbicara tentang penempatan tanpa pengulangan. Nomor mereka
k = n!A n (n− k) !
Jika urutannya memungkinkan adanya elemen yang identik, maka mereka berbicara tentang penempatan dengan pengulangan. Nomor mereka
Akn=nk
Setiap himpunan bagian (tidak berurutan) yang terdiri dari k elemen disebut gabungan n elemen dengan k elemen. Berbagai kombinasi berbeda satu sama lain hanya dalam elemen itu sendiri; urutan kemunculannya tidak berbeda, yaitu. sesuai dengan kondisi soal, himpunan bagian ( 1;2) dan ( 2;1) tidak berbeda (terhubung).
Jumlah kombinasi tanpa pengulangan
Banyaknya cara untuk menyusun ulang n elemen dalam suatu himpunan
(jumlah permutasi) dihitung dengan rumus
Pn = n!
Saat menyelesaikan masalah kombinatorial paling sederhana, Anda dapat menggunakan tabel berikut
Banyaknya himpunan k elemen yang dipilih dari himpunan n elemen
Tidak Terurut Terurut |
Tidak ada pengulangan | tidak k | Sebuah nk= | |||||||||||
k!(n − k)! | (n − k)! |
||||||||||||
(n + k− 1)! | nk= nk |
||||||||||||
Mengulang | |||||||||||||
k!(n − 1)! | |||||||||||||
Mari kita lihat perbedaan kombinasi, penempatan dengan pengulangan, tanpa pengulangan pada contoh berikut.
120 .
Contoh pemecahan masalah
Contoh 2.1 Ada 6 bola di dalam sebuah kotak, diberi nomor 1 sampai 6. 3 bola dikeluarkan dari kotak satu demi satu dan angka-angka yang dihasilkan dituliskan dengan urutan yang sama. Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat ditulis dengan cara ini?
Penyelesaian: Sesuai dengan kondisi permasalahan, himpunan bagian (1;2;3) dan (3;2;1) berbeda. Tidak boleh ada pengulangan dalam subset, karena bola tidak kembali ke kotak. n = 6; k = 3.
SEBUAH 3 6 = | 120 . |
||||||
(6− 3) ! | |||||||
Contoh 2.2. Ada 6 bola di dalam kotak, diberi nomor 1 sampai 6. 3 bola dikeluarkan dari kotak dan nomornya ditulis dalam urutan angka menaik. Berapa banyak
Bisakah angka tiga digit ditulis dengan cara ini?
Penyelesaian: Menurut kondisi soal, himpunan bagian (1;2;3) dan (3;2;1) diberi bilangan 123, yaitu. tidak berbeda.
C3 6 | |||||
Contoh 2.3. Kondisi soal 2.1 (bola kembali ke kotak)
Penyelesaian: A3 6 = 63 = 216.
Contoh 2.4. Kondisi soal 2.2 (bola kembali ke kotak)
(6+ 3− 1) ! | 7 8= 56 . |
|||||||||
Solusi: C6 | (6− 1) !3! | |||||||||
Contoh 2.5. Berapa banyak permutasi berbeda yang dapat dibuat dari huruf?
kata "nyamuk"?
Penyelesaian: P5 = 5!=1 2 3 4 5 =120 .
Contoh 2.6. Berapa banyak permutasi berbeda yang dapat dibuat dari huruf?
kata "tugas"?
Penyelesaian: Jika keenam huruf suatu kata berbeda, maka banyaknya permutasinya adalah 6! Tapi huruf "a" muncul di Dunia ini tiga kali, dan menata ulang tiga huruf "a" ini saja tidak menghasilkan cara baru dalam menyusun huruf-hurufnya. Oleh karena itu, banyaknya permutasi huruf pada kata “tugas” bukanlah 6!, melainkan 3! waktu
kurang, itu 6! = 3! 4 5 6 3! 3!
Contoh 2.7. Workshop ini memiliki materi dalam 5 warna. Pesanan telah diterima untuk menjahit bendera yang terdiri dari tiga garis horizontal dengan warna berbeda masing-masing.
Berapa banyak bendera berbeda yang bisa dijahit oleh bengkel?
Solusi: Bendera-bendera tersebut berbeda satu sama lain baik dalam warna garis maupun warnanya
Contoh 2.8. Ada berapa cara 5 siswa dapat dibagi menjadi 3 kelas paralel?
Solusi: Mari buat tabel bantu
Nomor siswa | ||||||
Dengan demikian jelas jika untuk satu siswa terdapat 3 pilihan
memilih kelas, maka untuk kelima siswa tersebut terdapat 3 3 3 3 3 = 3 5 cara
distribusi berdasarkan kelas.
Contoh 2.9. Rak buku menampung 30 volume. Berapa banyak cara menyusunnya tanpa jilid pertama dan jilid kedua bersebelahan?
Solusi: Mari kita lakukan kebalikan dari penalaran. Tiga puluh volume dalam satu rak dapat menampung 30! cara.
1442443 .
30 elemen
Jika jilid 1 dan 2 harus berdiri berdampingan, maka jumlah pilihan susunan dikurangi menjadi (29!) 2, karena kombinasi jilid 1 dan 2 dapat dianggap sebagai satu jilid, namun keduanya dapat berdiri sebagai (1;2) atau (2;1), yakni
Maka banyaknya metode penataan yang diperlukan adalah
30!− 2 29!= (30− 2) 29!= 28 29!
Contoh 2.10. Kejuaraan yang diikuti 16 tim ini diadakan dalam dua babak, yaitu. Setiap tim bermain melawan tim lainnya dua kali.
Tentukan berapa banyak pertemuan yang harus diadakan.
Penyelesaian: Sesuai dengan kondisi permasalahan, dari 16 tim, harus dipilih 2 tim untuk setiap pertemuan. DI DALAM pada kasus ini seleksi dilakukan tanpa pengulangan dan
Urutan pemilihan tidak penting, mis. jumlah opsi - C16 2. Karena tim harus bermain dua kali, jumlah variasinya digandakan, yaitu. 2 C16 2.
Contoh 2.11. Bengkel mobil memiliki 10 warna primer untuk pengecatan. Berapa banyak cara sebuah mobil dapat dicat jika dicampur
3 sampai 7 warna primer?
Penyelesaian: Sesuai dengan kondisi permasalahan, pemilihan warna untuk lukisan dilakukan tanpa pengulangan dan urutan pemilihannya tidak penting yaitu. jumlah pilihan hanya bergantung pada jumlah warna yang dipilih untuk pewarnaan - C10 N, N( 3;4;5;6;7). Itu sebabnya jumlah total ada pilihan
C 10 3 + C 10 4 + C 10 5 + C 10 6 + C 10 7 = ∑ C 10 N. tidak=3
Contoh 2.12. Turis tersebut menempuh rute dari titik A ke titik B, dari B ke C dan kembali lagi. Berapa banyak pilihan rute yang ada jika terdapat 3 jalan dari titik A ke titik B, dan 4 dari B ke C, dan Anda tidak dapat kembali melalui jalan tersebut?
yang mana yang sudah lulus? Solusi: Mari kita buat diagramnya
Gambar tersebut menunjukkan bahwa terdapat 3 pilihan rute dari A ke B, dan dari B ke C
– 4, yaitu jumlah rute 3 4 =12.
Pada jalan kembali Ada 3 pilihan rute dari C ke B (satu sudah selesai), dan dari B ke A – 2, yaitu. Ada 3 2 = 6 kemungkinan rute kembali yang tersisa. Maka total pilihan rutenya adalah 12 6 = 72.
Contoh 2.13. Dua belas siswa diberikan dua versi tes. Berapa cara siswa dapat duduk dalam dua baris yang masing-masing berjumlah 6 orang sehingga yang duduk bersebelahan tidak mempunyai pilihan yang sama, tetapi yang duduk bersebelahan mempunyai pilihan yang sama?
Solusi: Kami akan melakukan penalaran dengan beberapa cara
Metode I) Awalnya 12 siswa dibagi menjadi 2 kelompok beranggotakan 6 orang. Hal ini dapat dilakukan C12 dalam 6 cara.
Kemudian mereka dapat didistribusikan di antara baris-barisnya sesuai dengan skema
Opsi I | pilihan II | ||||
6! pilihan akomodasi | 6! pilihan akomodasi |
||||
pilihan II | atau opsi I | 1;2;3;4;5;6 . |
|||
6! pilihan akomodasi | 6! pilihan akomodasi |
||||
Jadi, banyaknya cara pendistribusian siswa adalah |
|||||
C12 6 2 (6!)2 | 2 (6!)2 = 2 12!. | ||||
Metode II) Awalnya, 12 siswa dikirim ke dalam kelas, menunjukkan tempat di mana setiap orang harus duduk, misalnya “baris kedua, tempat ketiga”. Karena kursinya juga 12, total ada 12 pilihan distribusi!
Pilihan untuk pekerjaan tes dapat diperluas
“Pilihan I – baris ke-1, opsi ke-2 – baris ke-2”
“Opsi II – baris ke-1, opsi ke-1 – baris ke-2”,
itu. 2 cara.
Jadi, banyaknya cara pendistribusian siswa adalah 2 12! Dari solusi di atas terlihat jelas bahwa hasil solusinya sama.
Contoh 2.14. Berapa banyak pilihan yang ada untuk enam tamu?
di meja bundar dengan enam tempat duduk?
Solusi: Masalah ini ada solusi yang berbeda dan, karenanya, jawaban yang berbeda - tergantung pada apa yang dimaksud dengan lokasi yang berbeda
tamu di meja. Oleh karena itu, kami sedang menjajaki opsi yang memungkinkan.
Jika yang penting bukanlah siapa yang menduduki kursi yang mana, tetapi siapa yang duduk di sebelah siapa, maka Anda perlu mempertimbangkan pilihan untuk posisi relatif para tamu. Dalam hal ini posisi para tamu yang diperoleh satu sama lain ketika para tamu berputar mengelilingi meja sebenarnya sama (lihat gambar).
Jelasnya, untuk setiap pengaturan tamu ada enam opsi identik yang diperoleh satu sama lain dengan memutar. Maka jumlah pilihan dikurangi enam kali lipat dan tersisa 5!= 120.
Dalam kasus ketika kita hanya tertarik pada pengaturan bersama tamu, maka susunan simetris dimana setiap tamu mempunyai tetangga yang sama di meja juga dapat dianggap sama, hanya yang kiri dan kanan yang berpindah tempat (lihat gambar).
Dalam rumusan pertanyaan ini, jumlah pilihan pengaturan tamu yang berbeda dibelah dua dan berjumlah 60.
Contoh 2.15. Tujuh belas siswa lulus ujian dalam 4 mata pelajaran dengan hanya nilai “baik” dan “sangat baik”. Benarkah setidaknya ada dua di antaranya
Apakah nilai mata pelajaran ujian mereka cocok?
Solusi: Tentu saja, dalam kasus ini yang sedang kita bicarakan HAI pilihan yang memungkinkan baik
Siswa 1 | |||||
Siswa 2 | |||||
Siswa 3 | |||||
Siswa 17 |
Contoh ini dapat diselesaikan dengan cara yang dijelaskan pada contoh 1.8., dan diperoleh banyaknya pilihan 2 2 2 2 =16. Mari kita berikan solusi visual lainnya menggunakan apa yang disebut “pohon keputusan”, yang mewakili semua opsi (16 buah) untuk memperoleh nilai ujian.
Keempat | ||||||||||||||||
Menurut “pohon keputusan” | terlihat 16 siswa hanya dapat lulus ujian |
|||||||||||||||
" Bagus" | " Besar" | hasilnya akan bervariasi, tetapi jika |
||||||||||||||
Siswanya ada 17, pasti minimal ada satu kali pengulangan. | ||||||||||||||||
Saat memecahkan masalah kombinatorik, kami menggunakan aturan berikut. Jika beberapa objek A dapat dipilih dari kumpulan objek
m cara, dan objek B lainnya dapat dipilih dengan n cara, maka:
Aturan penjumlahan: Anda dapat memilih A atau B dengan m + n cara. Aturan produk. Sepasang objek (A, B) dalam urutan yang ditentukan
dapat dipilih dalam banyak cara.
2.2. MENGHITUNG PROBABILITAS MENGGUNAKAN FORMULA KLASIK
Peluang kejadian A diberikan oleh rumus
P(A) =m, n
di mana m adalah jumlah hasil dasar yang mendukung kejadian A; n adalah jumlah semua kemungkinan hasil tes dasar.
Diasumsikan bahwa hasil-hasil dasar tidak kompatibel, sama-sama mungkin dan membentuk kelompok yang lengkap.
Contoh pemecahan masalah
Contoh 2.16. Ditinggalkan dadu. Temukan kemungkinan itu
akan rontok bilangan genap poin. | ||
Solusi: Mari kita masukkan kejadian: E1 – | satu poin; E2 - dua poin; E3 – | tiga poin; |
E4 – empat poin; E5 – lima poin; E6 – | enam poin. Jadi n = 6. | |
Mari kita perhatikan kejadian A - hilangnya sejumlah poin genap. | ||
acara tersebut disukai oleh hasil dasar E2, E4, E6. Karena itu,
m = 3. Maka P(A) =3 = 0,5. 6
Contoh 2.17. Saat memanggil nomor telepon, pelanggan lupa tiga digit terakhir dan hanya ingat bahwa digit tersebut berbeda; Menemukan
probabilitas bahwa nomor yang diperlukan telah dihubungi. Solusi: Acara A− nomor yang diperlukan telah dihubungi.
n - banyaknya hasil dasar percobaan adalah n = A10 3 == 10 9 8= 720.
m = 1, karena satu-satunya kombinasi angka yang mendukung kejadian tersebut
A. Maka P(A) =1. 720
Contoh 2.18. Ada 12 siswa dalam kelompok, termasuk 8 siswa berprestasi. 9 siswa dipilih secara acak dari daftar. Tentukan peluang bahwa di antara siswa yang terpilih terdapat 6 siswa yang berprestasi.
Solusi: EventA - diantara siswa terpilih akan ada 6 siswa berprestasi. Bilangan n sama dengan banyaknya cara memilih 9 siswa dari 12 siswa
3 sisanya dipilih di antara siswa yang tidak berprestasi. Hanya ada 12-8=4. Tiga siswa-
siswa yang tidak berprestasi dari empat dapat dipilih C3 dengan 4 cara. Berdasarkan teorema perkalian kombinatorik m = C 8 6 C 3 4 . Kemudian,
P(A) = | C 8 6C 34 | |||||
Bab 129 | ||||||
220 55 . |
||||||
2.3. DEFINISI PROBABILITAS GEOMETRIS DAN STATISTIK
Jika pengalaman turun ke jumlah yang tak terbatas kasus yang sama, maka berlaku definisi geometris probabilitas
P(A) = kali g, kali G
dimana mes g sama dengan panjang ruas jika titik-titik himpunan g terletak pada suatu garis; mes g sama dengan luas gambar jika titik-titik himpunan g terletak pada bidang; mes g sama dengan volume benda jika titik-titik himpunan g berada
di ruang hampa.
Contoh pemecahan masalah
Contoh 2.19. Luas depo minyak berbentuk persegi panjang dengan sisi a = 50 m, b = 30 m. Di wilayah tersebut terdapat sebuah tangki dengan diameter 10 m.
(Gbr. 2.1). Berapa kemungkinan kekalahannya | tank oleh bom yang menghantam |
|||||||||||||
wilayah depo minyak, jika terkena |
||||||||||||||
bom pada titik mana pun yang kemungkinannya sama? |
||||||||||||||
Solusi: Peristiwa A - kekalahan |
||||||||||||||
kontainer oleh bom yang menghantam wilayah tersebut |
||||||||||||||
depot minyak | P(A) = | salah g - |
||||||||||||
salah G - |
||||||||||||||
daerah yang diarsir |
||||||||||||||
luas persegi panjang | ||||||||||||||
P(A) = | 5 2π | |||||||||||||
Contoh 2.20. Anak melempar bola yang diameternya 0,2 m ke dalam perisai yang berbentuk bulat
lubang dengan diameter 1 m. Berapa kemungkinan masuk ke lubang ini? Solusi: Jalannya solusi jelas dari Gambar 2.2, di mana zona “menguntungkan”.
diarsir dan mempunyai diameter 2R − 2r, dimana R=0,5m, r=0,1m.
BAB 7
SENYAWA DAN BINOMIAL NEWTON
Grup B
Selesaikan persamaan (1511 -1513):
1516.
Perbedaan antara koefisien ekspansi binomial ketiga
(a + b
) n+1
Dan ( a + b
) N
sama dengan 225. Tentukan banyaknya suku rasional dari pemuaian tersebut
(5
√X
+ 9
√kamu
) N
1517. Menemukan k suku pemuaian (√3 +√2) M , jika diketahui itu
T k+2 : T k+1 : T k = 28: 8√6 : 9.
1518. Perbedaan antara beberapa istilah T k+1 Dan T k dekomposisi ( 6 √X + √X - 1) 12 sama dengan 30. Tentukan nilainya X ini mungkin jika anggota T k+1 mengandung X sampai setengah derajat dari istilahnya T k
1519. Temukan koefisien ekspansi binomial terbesar ( N + 1 / N ) N , jika hasil kali suku keempat dari awal dan suku keempat dari akhir adalah 14.400.
1520.
Untuk apa pun nilai yang dapat diterima z
anggota T
k+1
dekomposisi ( 3
√z
+ √z
) M
2 kali lebih kecil dari penis V
k+2
penguraian 
Temukan anggota ini.
1521. Jumlah koefisien muai binomial ketiga dari awal dan ketiga dari akhir (4 √3 + 3 √4) N sama dengan 9900. Berapa banyak suku rasional yang terkandung dalam perluasan ini?
1522. Istilah ketiga perluasan tidak mengandung X . Pada nilai apa X anggota ini sama dengan yang kedua jangka waktu ekspansi (1+ X 3) 30 ?
1523. Tiga puluh orang dibagi menjadi tiga kelompok, masing-masing sepuluh orang. Berapa banyak komposisi grup yang berbeda?
1524. Berapa banyak bilangan empat angka yang habis dibagi 5 yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 3, 5, 7, jika setiap bilangan tidak boleh mempunyai angka-angka yang sama?
1525. Rak buku menampung 30 volume. Dalam berapa cara mereka dapat disusun tanpa jilid ke-1 dan ke-2 saling bersebelahan?
1526. Empat penembak harus mencapai delapan sasaran (masing-masing dua). Berapa banyak cara mereka dapat mendistribusikan target di antara mereka?
1527. Berapa banyak bilangan empat angka yang terdiri dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 yang mengandung angka 3 (angka-angka tersebut tidak berulang dalam bilangan)?
1528. Sepuluh kelompok belajar di sepuluh ruang kelas berturut-turut. Berapa banyak pilihan penjadwalan yang ada pada kelompok No. 1 dan No. 2 yang berada di ruang kelas yang berdekatan?
1529. Enam kotak bahan berbeda dikirim ke lima lantai lokasi konstruksi. Berapa banyak cara bahan dapat didistribusikan ke seluruh lantai? Berapa banyak cara suatu bahan dapat dikirim ke lantai lima?
1530. Dua tukang pos harus mengantarkan 10 surat ke 10 alamat. Berapa banyak cara mereka dapat mendistribusikan pekerjaan tersebut?
1531. Berapa banyak bilangan tiga angka yang habis dibagi 3 yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, jika setiap bilangan tidak boleh mempunyai angka-angka yang sama?
1532. Rapat yang terdiri dari 80 orang memilih seorang ketua, seorang sekretaris dan tiga anggota komite redaksi. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
1533. Tiga kendaraan, No 1, No 2, No 3, harus mengantarkan barang ke enam toko. Dalam berapa cara mesin dapat digunakan jika daya dukung masing-masing mesin memungkinkan untuk mengambil barang ke semua toko sekaligus dan jika dua mesin tidak dikirim ke toko yang sama? Berapa banyak pilihan rute yang mungkin jika Anda memutuskan untuk hanya menggunakan mobil No. 1?
1534. Dari laboratorium yang mempekerjakan 20 orang, 5 orang karyawan harus melakukan perjalanan bisnis. Berapa banyak komposisi berbeda dalam kelompok ini jika kepala laboratorium, wakilnya, dan kepala teknisi tidak harus keluar pada waktu yang bersamaan?
1535. Ada 10 orang di lingkaran piano, 15 orang di lingkaran sastra, 12 orang di lingkaran vokal, dan 20 orang di lingkaran fotografi. Dalam berapa cara sebuah tim yang terdiri dari empat pembaca, tiga pianis, lima penyanyi, dan satu fotografer dapat dibentuk?
1536. Dari kelompok yang terdiri dari 15 orang, harus dipilih seorang mandor dan 4 anggota tim. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
1537. Lima siswa harus dibagi menjadi tiga kelas paralel. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
1539. Dari bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dibuat segala macam bilangan yang terdiri dari lima angka yang tidak mengandung angka-angka yang sama. Tentukan banyaknya bilangan yang memuat angka 2, 4 dan 5 sekaligus.
1540. Huruf kode morse terdiri dari simbol-simbol (titik dan garis). Berapa banyak huruf yang dapat Anda gambar jika Anda mengharuskan setiap huruf berisi tidak lebih dari lima karakter?
