Banyak orang beranggapan bahwa kesenjangan eksponensial adalah sesuatu yang rumit dan tidak dapat dipahami. Dan belajar memecahkannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Yang Terpilih...
Benar-benar omong kosong! Ketimpangan eksponensial itu mudah. Dan masalah tersebut selalu diselesaikan dengan sederhana. Yah, hampir selalu. :)
Hari ini kita akan melihat topik ini luar dan dalam. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan masalah sederhana dan beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tidak akan ada kerja keras hari ini, tapi apa yang Anda baca sekarang akan cukup untuk menyelesaikan sebagian besar kesenjangan dalam semua jenis tes dan kerja mandiri. Dan pada ujianmu ini juga.
Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang mengandung fungsi eksponensial. Dengan kata lain, hal ini selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk
\[((a)^(x)) \gt b\]
Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin yang lebih keras. Contohnya? Ya silahkan:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(sejajarkan)\]
Menurut saya maknanya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, dibandingkan dengan sesuatu, lalu diminta mencari $x$. Dalam kasus-kasus klinis tertentu, alih-alih variabel $x$, mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan :)
Tentu saja, dalam beberapa kasus, kesenjangan tersebut mungkin terlihat lebih parah. Misalnya:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Atau bahkan ini:
Secara umum, kompleksitas dari pertidaksamaan tersebut bisa sangat berbeda, namun pada akhirnya pertidaksamaan tersebut tetap bermuara pada konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan entah bagaimana kita akan memahami konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Oleh karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial sederhana
Mari kita pertimbangkan sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Jelasnya, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Jadi, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat mudah:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Dan sekarang tanganku gatal untuk “mencoret” keduanya di dasar kekuasaan untuk mendapatkan jawabannya $x \gt 2$. Namun sebelum mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua hal:
\[((2)^(1))=2;\kuad ((2)^(2))=4;\kuad ((2)^(3))=8;\kuad ((2)^( 4))=16;...\]
Seperti yang Anda lihat, semakin besar angka eksponennya, semakin besar angka keluarannya. "Terima kasih, Kapten!" - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada bedanya? Sayangnya, hal itu terjadi. Misalnya:
\[((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu, dibagi dua). Dengan demikian, barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:
- Jika alas derajat $a \gt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
- Dan sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ akan berkurang.
Meringkas fakta-fakta ini, kita memperoleh pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh penyelesaian pertidaksamaan eksponensial:
Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \lt n$.
Dengan kata lain, jika basisnya lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika alasnya kurang dari satu, maka alasnya juga bisa dihilangkan, tetapi pada saat yang sama Anda harus mengubah tanda pertidaksamaan.
Harap dicatat bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini timbul ketidakpastian. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Seseorang akan memberikan satu lagi kepada kekuatan mana pun - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.
Dengan alasan negatif, segalanya menjadi lebih menarik. Misalnya, pertimbangkan ketidaksetaraan ini:
\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sekilas, semuanya sederhana:
Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $x$ beberapa angka genap dan beberapa angka ganjil untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:
\[\begin(align) & x=4\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi ada juga kekuatan pecahan dan omong kosong lainnya. Misalnya, bagaimana cara Anda menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurang dua pangkat tujuh)? Mustahil!
Oleh karena itu, agar lebih pasti, kita berasumsi bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaannya) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & x \gt n\quad \kiri(a \gt 1 \kanan), \\ & x \lt n\quad \kiri(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Secara umum, ingat kembali aturan utamanya: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya; dan jika basisnya kurang dari satu, dapat juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya berubah.
Contoh solusi
Jadi, mari kita lihat beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(sejajarkan)\]
Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: mengurangi pertidaksamaan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Apa yang bisa kamu lakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi indikatif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada beberapa omong kosong: pecahan, dan bahkan akar penyebutnya!
Namun, mari kita ingat aturan mengerjakan pecahan dan pangkat:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(sejajarkan)\]
Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat dengan eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebutnya memiliki akar, alangkah baiknya jika dipangkatkan - kali ini dengan eksponen pecahan.
Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan pertidaksamaan dan lihat apa yang terjadi:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\kiri(\sqrt(2) \kanan))^(-1))=((\kiri(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kiri(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Jangan lupa bahwa saat menaikkan suatu derajat, eksponen derajat tersebut dijumlahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, sangat penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan pangkat:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\kiri(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(sejajarkan)\]
Sebenarnya kami baru menerapkan aturan terakhir. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah Kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frak(1)(3)))\]
Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan akan tetap sama:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Panah Kanan x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \kiri(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]
Itulah solusinya! Kesulitan utama sama sekali bukan pada fungsi eksponensial, tetapi pada transformasi kompeten dari ekspresi aslinya: Anda perlu dengan hati-hati dan cepat membawanya ke bentuk yang paling sederhana.
Perhatikan pertidaksamaan kedua:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Biasa saja. Pecahan desimal menunggu kita di sini. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan pangkat Anda harus menghilangkan desimal - ini sering kali merupakan satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan sederhana. Di sini kita akan menyingkirkan:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah Kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\kiri(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]
Di sini sekali lagi kita mempunyai pertidaksamaan yang paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kita hapus basisnya, sekaligus mengubah tanda dari "lebih sedikit" menjadi "lebih banyak", dan kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Kami menerima jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap diperhatikan: jawabannya adalah himpunan, dan bukan merupakan konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal, konstruksi seperti itu bukanlah himpunan sama sekali, melainkan pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, ini sangat sederhana, tapi itu bukanlah jawabannya!
Catatan penting. Ketimpangan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mereduksi kedua belah pihak menjadi kekuatan yang basisnya lebih besar dari satu. Lihatlah:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah Kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Setelah transformasi seperti itu, kita akan kembali memperoleh pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Artinya, kita cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -1\cdot \kiri(1-x \kanan) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari keharusan mengubah tanda dan secara umum mengingat aturan apa pun :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Namun, jangan biarkan hal ini membuat Anda takut. Apa pun indikatornya, teknologi untuk mengatasi kesenjangan tetap sama. Oleh karena itu, mari kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan fakta ini:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Hore! Kami mendapatkan pertidaksamaan kuadrat seperti biasa! Tandanya tidak berubah dimanapun, karena alasnya adalah dua - angka yang lebih besar dari satu.
Nol suatu fungsi pada garis bilangan
Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada “plus” ” di samping. Kami tertarik pada wilayah yang fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.
Terakhir, pertimbangkan ketimpangan lainnya:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di dasarnya. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Panah Kanan \\ & \Panah Kanan ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kiri(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \kiri(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(sejajarkan)\]
Dalam hal ini, kami menggunakan pernyataan yang diberikan sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5 > 1 untuk menyederhanakan solusi selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:
\[\frac(1)(25)=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan kedua transformasi:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(-1\cdot \kiri(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Basis di kedua sisinya sama dan melebihi satu. Tidak ada istilah lain di kanan dan kiri, jadi kita cukup “mencoret” angka limanya dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(sejajarkan)\]
Di sinilah Anda perlu lebih berhati-hati. Banyak siswa yang suka mengambil akar kuadrat dari kedua ruas pertidaksamaan dan menulis sesuatu seperti $x\le 1\Panah Kanan x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]$. Hal ini tidak boleh dilakukan dalam kondisi apa pun , karena akar kuadrat eksak adalah modulus, dan bukan merupakan variabel asli:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\kiri| x\kanan|\]
Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:
$\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$
Kita tandai kembali titik-titik yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:
Harap dicatat: titik-titiknya diarsir Karena kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukanlah sebuah interval, melainkan sebuah segmen.
Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam ketidaksetaraan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini direduksi menjadi algoritma sederhana:
- Temukan dasar di mana kita akan mengurangi semua derajat;
- Lakukan transformasi dengan hati-hati untuk mendapatkan pertidaksamaan berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, selain variabel $x$ dan $n$, mungkin terdapat fungsi yang jauh lebih kompleks, tetapi maknanya tidak akan berubah;
- Coretlah dasar derajatnya. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.
Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan mereka sampaikan kepada Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus yang akan menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Kita akan membicarakan salah satu teknik ini sekarang :)
Metode rasionalisasi
Mari kita pertimbangkan serangkaian ketidaksetaraan lainnya:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Jadi apa istimewanya mereka? Itu ringan. Meskipun begitu, berhentilah! Apakah bilangan π dipangkatkan? Omong kosong apa?
Bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penulis masalah jelas meminum terlalu banyak Hawthorn sebelum mulai bekerja :)
Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Izinkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi bentuk $((a)^(x))$, dengan basis $a$ adalah bilangan positif apa pun kecuali satu. Angka π positif - kita sudah mengetahuinya. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika Anda membandingkannya dengan nol.
Ternyata semua kesenjangan yang “menakutkan” ini diselesaikan dengan cara yang sederhana seperti yang dibahas di atas? Dan apakah permasalahan tersebut diselesaikan dengan cara yang sama? Ya, itu benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan salah satu teknik yang sangat menghemat waktu dalam pekerjaan mandiri dan ujian. Kita akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:
Setiap pertidaksamaan eksponensial berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Itulah keseluruhan metodenya. :) Apakah menurut Anda akan ada permainan lain? Tidak ada yang seperti ini! Namun fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:
\[\begin(matriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\teks( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \kiri(x+7-\kiri(((x)^(2)) -3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )-1 \kanan) \gt 0 \\\end(matriks)\]
Jadi tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Namun masalah baru muncul: apa yang harus dilakukan dengan pengali sialan itu \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kita tidak tahu berapa nilai pasti dari bilangan π tersebut. Namun, sang kapten sepertinya mengisyaratkan hal yang sudah jelas:
\[\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah Kanan \teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )- 1\gt 3-1=2\]
Secara umum, nilai pasti dari π tidak terlalu menjadi perhatian kita - yang penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan konstanta tersebut:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \kanan) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \kiri(x-5 \kanan)\kiri(x+1 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, pada saat tertentu kita harus membaginya dengan minus satu - dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta - jelas bahwa akar-akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=-1$ . Kemudian semuanya diselesaikan dengan menggunakan metode interval klasik:
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan metode interval Semua poin dihilangkan karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Kami tertarik pada wilayah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itulah solusinya. :)
Mari kita beralih ke masalah berikutnya:
\[((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Semuanya disini umumnya sederhana, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan nol. Sekalipun bilangan ini merupakan ekspresi irasional di dasar sebelah kiri:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(sejajarkan)\]
Baiklah, mari kita rasionalkan:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\kiri(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\ ]
Yang tersisa hanyalah mencari tahu tanda-tandanya. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - ini hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\[\begin(matriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]
Ternyata faktor kedua bukan sekadar konstanta, melainkan konstanta negatif! Dan bila dibagi, tanda pertidaksamaan awal berubah menjadi kebalikannya:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Sekarang semuanya menjadi jelas. Akar trinomial persegi di sebelah kanan adalah: $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kita menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Kasus ketika kita tertarik pada interval sisi Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Mari kita beralih ke contoh berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Nah, semuanya sudah jelas di sini: basisnya berisi pangkat dengan nomor yang sama. Oleh karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:
\[\begin(matriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kiri(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(-1\cdot \kiri(((x)^(2))+2x \kanan))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \kiri(-((x)^(2))-2x-\kiri(-32+2x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \kiri(x+8 \kanan)\kiri(x-4 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, selama proses transformasi kita harus mengalikannya dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaannya berubah. Pada bagian akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial kuadrat. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - siapa pun dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik-titik dan menghitung tanda-tandanya. Sementara itu, kita akan beralih ke ketimpangan terakhir dari “kumpulan” kita:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Seperti yang Anda lihat, di pangkalan ada lagi bilangan irasional, dan di sebelah kanan ada lagi satuan. Oleh karena itu, kami menulis ulang pertidaksamaan eksponensial kami sebagai berikut:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\kiri(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
Kami menerapkan rasionalisasi:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\kira-kira 1,4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua juga merupakan konstanta negatif yang dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan:
\[\begin(matriks) \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot 2\kiri(1-\sqrt(2) \kanan) \lt 0 \\ \Panah Bawah \ \\akhir(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Pindah ke markas lain
Masalah tersendiri dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian basis yang “benar”. Sayangnya, tidak selalu jelas pada pandangan pertama suatu tugas apa yang harus dijadikan dasar dan apa yang harus dilakukan sesuai dengan tingkat dasar tersebut.
Namun jangan khawatir: tidak ada keajaiban atau teknologi “rahasia” di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini, Anda harus memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang berbeda-beda. Misalnya seperti ini:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir(sejajarkan)\]
Sulit? Menakutkan? Ini lebih mudah daripada menabrak ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Menurut saya, semuanya sudah jelas di sini:
Kami menulis ulang pertidaksamaan awal, mereduksi semuanya menjadi basis dua:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah Kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]
Ya, ya, Anda tidak salah dengar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita memiliki pertidaksamaan pecahan-rasional (ini adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel dalam penyebutnya), jadi sebelum menyamakan apa pun dengan nol, kita perlu membawa semuanya ke penyebut yang sama dan menghilangkan faktor konstanta .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Sekarang kita menggunakan metode interval standar. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebutnya menjadi nol hanya jika $x=0$. Total ada tiga titik yang perlu ditandai pada garis bilangan (semua titik diberi pin karena tanda pertidaksamaannya tegas). Kita mendapatkan:
Kasus yang lebih kompleks: tiga akar Seperti yang Anda duga, arsiran menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri bernilai negatif. Oleh karena itu, jawaban akhir akan mencakup dua interval sekaligus:
Ujung-ujung interval tidak disertakan dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Tidak diperlukan verifikasi lebih lanjut atas jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODZ, tidak ada batasan, dll.
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah mengetahui bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah Kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-\kiri(2+x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan)\ge 0; \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-2-x \kanan)\cdot 2\ge 0;\quad \kiri| :\kiri(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Harap diperhatikan: di baris ketiga saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan dua dikurangi dengan faktor konstan. Inilah yang harus Anda lakukan saat menyiapkan perhitungan nyata untuk pekerjaan independen dan pengujian - Anda tidak perlu menjelaskan setiap tindakan dan transformasi secara langsung.
Selanjutnya, metode interval yang lazim digunakan. Pembilangnya nol: tapi tidak ada. Karena diskriminannya akan negatif. Pada gilirannya, penyebutnya direset hanya ketika $x=0$ - sama seperti terakhir kali. Jelas bahwa di sebelah kanan $x=0$ pecahan akan bernilai positif, dan di sebelah kiri - negatif. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]
Apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Benar: singkirkan, ubah menjadi biasa. Di sini kami akan menerjemahkan:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Panah Kanan ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x)) =((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah Kanan ((\kiri(6.25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25) (4)\kanan))^(x)). \\\end(sejajarkan)\]
Jadi, apa yang kita dapatkan dari dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah Kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Jadi, pertidaksamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\kiri(-x \kanan)))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan, seperti yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Yang tersisa hanyalah merasionalisasi:
\[((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Panah kanan \kiri(x+1-0 \kanan)\cdot \kiri(\frac(4)(25)-1 \kanan)\ge 0\]
Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yaitu faktor kedua adalah konstanta negatif, dan bila dibagi dengan faktor tersebut, tanda pertidaksamaan akan berubah:
\[\begin(sejajarkan) & x+1-0\le 0\Panah Kanan x\le -1; \\ & x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]. \\\end(align)\]
Terakhir, pertidaksamaan terakhir dari “himpunan” saat ini:
\[((\kiri(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Pada prinsipnya, gagasan penyelesaian di sini juga jelas: semua fungsi eksponensial yang termasuk dalam pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis “3”. Tetapi untuk ini Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan kekuatannya:
\[\begin(sejajarkan) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kuad 81=((3)^(4)). \\\end(sejajarkan)\]
Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(sejajarkan)\]
Perhatikan baris perhitungan ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan pertidaksamaan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \ itu ((a)^(n))$. Selama Anda memiliki beberapa faktor kidal, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan, tidak ada rasionalisasi atau “pencoretan” alasan yang dapat dilakukan! Banyak sekali tugas yang diselesaikan secara tidak benar karena kegagalan memahami fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini pada siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.
Tapi mari kita kembali ke tugas kita. Mari kita coba melakukannya tanpa rasionalisasi kali ini. Mari kita ingat: alas derajatnya lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipatnya cukup dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(sejajarkan)\]
Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \kiri(-\infty ;3 \kanan)$.
Mengisolasi ekspresi stabil dan mengganti variabel
Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk menyelesaikan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan derajat. Khususnya, menghilangkan faktor persekutuan.
Namun yang terpenting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari tanda kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - ekspresi ini dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Mari kita mulai dari baris pertama. Mari kita tuliskan pertidaksamaan ini secara terpisah:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, jadi sebelah kanan sisi dapat ditulis ulang:
Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Kita kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama mengingat bahwa 1=5 0 . Kita punya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(sejajarkan)\]
Itulah solusinya! Jawaban: $x\in \kiri[ -1;+\infty \kanan)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \kiri| ((3)^(x))=t \benar. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\end(sejajarkan)\]
Kira-kira beginilah cara Anda perlu menyusun solusi untuk ujian nyata dan kerja mandiri.
Baiklah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, berikut ketimpangannya:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Apa masalahnya disini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:
\[\begin(sejajarkan) & ((25)^(x+1.5))=((\kiri(((5)^(2)) \kanan))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(sejajarkan )\]
Seperti yang Anda lihat, pertama-tama kami membawa semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami memperhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah direduksi menjadi suku kedua - Anda hanya perlu memperluas eksponennya. Sekarang Anda dapat dengan aman memasukkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban akhir: $x\in \kiri[ 1;+\infty \kanan)$. Mari beralih ke pertidaksamaan terakhir dalam pelajaran hari ini:
\[((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Hal pertama yang harus Anda perhatikan tentu saja adalah pecahan desimal pangkat satu. Penting untuk menghilangkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x- 8))= ((\kiri(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah Kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Hebat, kita telah mengambil langkah pertama—semuanya mengarah pada landasan yang sama. Sekarang Anda perlu memilih ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, pertanyaan yang mungkin timbul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui pangkat dua (dan sekaligus pangkat tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (bisa dibagi, karena 256 bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:
\[\begin(sejajarkan) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(sejajarkan )\]
Hal yang sama berlaku untuk tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah derajatnya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya derajat “indah” yang perlu Anda ketahui:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, jika Anda mau, semua angka ini dapat diingat kembali hanya dengan mengalikannya secara berurutan. Namun, ketika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada pertidaksamaan sebelumnya, hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa bilangan. Dan dalam hal ini, permasalahan ini lebih kompleks daripada kesenjangan “klasik” yang diselesaikan dengan metode interval.
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Pertidaksamaan irasional. Pertidaksamaan dengan modulus"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"
Teman-teman, dalam pelajaran ini kita akan melihat cara menyelesaikan dua jenis pertidaksamaan. Mereka mungkin berguna saat mempersiapkan Ujian Negara Bersatu jika Anda memecahkan masalah dari bagian kedua ujian.
Pertimbangkan pertidaksamaan dalam bentuk: $\sqrt(f(x))
Hal pertama yang harus kita ingat adalah bahwa akar kuadrat hanya dapat diambil dari bilangan positif, jadi $f(x)≥0$.
Kedua, ingat grafik fungsi akar kuadrat. Nilai yang diterimanya tidak kurang dari nol. Kemudian, untuk memenuhi kondisi pertidaksamaan, kondisi $g(x)>0$ diperlukan persamaan dengan nol, karena pertidaksamaan awal kita sangat ketat dan persamaan nilai tidak mungkin dilakukan.
Ketiga, kedua sisi ketimpangan tidak bersifat negatif. Kemudian, dengan menggunakan Teorema 5 dari pelajaran tentang kesetaraan pertidaksamaan, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan tersebut, yaitu, kita memperoleh pertidaksamaan: $f(x)
Jadi, ketika menyelesaikan pertidaksamaan irasional, kita dapat beralih ke sistem pertidaksamaan berikut: $\sqrt(f(x))
Sekarang mari kita lihat pertidaksamaan yang bentuknya: $\sqrt(f(x))>g(x)$.
$f(x)≥0$ merupakan kondisi tanpa syarat yang harus diterapkan, seperti pada contoh sebelumnya.
a) Perhatikan bahwa jika $g(x)
b) Jika $g(x)≥0$, maka kedua ruas pertidaksamaan tersebut tidak negatif. Dengan menggunakan Teorema 5 dari pelajaran tentang kesetaraan pertidaksamaan, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan kita, yaitu, kita memperoleh pertidaksamaan: $f(x)>(g(x))^2$ - setara dengan pertidaksamaan awal .
Dalam hal ini, kita dapat menghilangkan pemeriksaan kondisi $f(x)≥0$: jika $g(x)≥0$, maka untuk $f(x)≥0$ pertidaksamaan tetap berlaku (ingat pertidaksamaan akibat wajarnya. )
Jadi, pertidaksamaan $\sqrt(f(x))>g(x)$ ekuivalen dengan himpunan sistem berikut:
Contoh.
Selesaikan kesenjangan:
a) $\sqrt(x^2+x-30)
Larutan. Mari kita selesaikan sistemnya: $\begin (cases) (x-5)(x+6)≥0, \\ x>0, \\ x Contoh. Larutan. Cara kedua. Contoh. Larutan. Kita hanya perlu menyelesaikan kombinasi dua sistem: Hari ini kawan, tidak akan ada ingus dan sentimentalitas. Sebaliknya, saya akan mengirim Anda, tanpa bertanya apa pun, ke dalam pertempuran dengan salah satu lawan paling tangguh dalam kursus aljabar kelas 8-9. Ya, Anda memahami semuanya dengan benar: kita berbicara tentang pertidaksamaan dengan modulus. Kami akan melihat empat teknik dasar yang akan Anda pelajari untuk memecahkan sekitar 90% masalah tersebut. Bagaimana dengan 10% sisanya? Baiklah, kita akan membicarakannya dalam pelajaran terpisah :) Namun, sebelum menganalisis teknik apa pun, saya ingin mengingatkan Anda tentang dua fakta yang perlu Anda ketahui. Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami materi pelajaran hari ini sama sekali. Captain Obviousness sepertinya mengisyaratkan bahwa untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan modulus Anda perlu mengetahui dua hal: Mari kita mulai dengan poin kedua. Semuanya sederhana di sini. Ada dua definisi: aljabar dan grafis. Untuk memulainya - aljabar: Definisi. Modulus suatu bilangan $x$ adalah bilangan itu sendiri, jika bilangan tersebut bukan negatif, atau bilangan yang berlawanan dengannya, jika $x$ aslinya masih negatif. Ada tertulis seperti ini: \[\kiri| x \kanan|=\kiri\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\] Secara sederhana, modulus adalah “angka tanpa minus.” Dan justru dalam dualitas ini (di beberapa tempat Anda tidak perlu melakukan apa pun dengan nomor aslinya, tetapi di tempat lain Anda harus menghilangkan semacam minus) di situlah letak kesulitan bagi siswa pemula. Ada juga definisi geometris. Hal ini juga berguna untuk diketahui, tetapi kita akan membahasnya hanya dalam kasus yang kompleks dan beberapa kasus khusus, di mana pendekatan geometris lebih mudah dilakukan daripada pendekatan aljabar (spoiler: tidak hari ini). Definisi. Misalkan titik $a$ ditandai pada garis bilangan. Kemudian modul $\left| xa \right|$ adalah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada garis ini. Jika Anda menggambar, Anda akan mendapatkan sesuatu seperti ini: Dengan satu atau lain cara, dari definisi modul, properti utamanya adalah sebagai berikut: modulus suatu bilangan selalu merupakan besaran non-negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah dalam keseluruhan narasi kita hari ini. Sekarang mari kita lihat kesenjangannya. Ada banyak sekali masalah tersebut, namun tugas kita sekarang adalah mampu menyelesaikan setidaknya masalah yang paling sederhana. Yang direduksi menjadi pertidaksamaan linier, serta metode interval. Saya memiliki dua pelajaran besar tentang topik ini (omong-omong, sangat, SANGAT berguna - saya sarankan mempelajarinya): Jika Anda mengetahui semua ini, jika ungkapan “mari kita beralih dari ketimpangan ke persamaan” tidak membuat Anda memiliki keinginan yang samar-samar untuk membenturkan diri, maka Anda siap: selamat datang di topik utama pelajaran :). Ini adalah salah satu masalah paling umum pada modul. Diperlukan penyelesaian pertidaksamaan yang berbentuk: \[\kiri| benar| \ltg\] Fungsi $f$ dan $g$ bisa berupa apa saja, tetapi biasanya berupa polinomial. Contoh ketidaksetaraan tersebut: \[\mulai(sejajarkan) & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\kiri| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\end(sejajarkan)\] Semuanya dapat diselesaikan secara harfiah dalam satu baris sesuai dengan skema berikut: \[\kiri| benar| \lt g\Panah Kanan -g \lt f \lt g\quad \kiri(\Panah Kanan \kiri\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \benar, benar)\] Sangat mudah untuk melihat bahwa kita menghilangkan modul tersebut, tetapi sebagai imbalannya kita mendapatkan pertidaksamaan ganda (atau, yang sama saja, sistem dua pertidaksamaan). Tetapi transisi ini benar-benar memperhitungkan semua kemungkinan masalah: jika angka di bawah modulus positif, metode ini berfungsi; jika negatif, masih berfungsi; dan bahkan dengan fungsi yang paling tidak memadai sebagai pengganti $f$ atau $g$, metode ini akan tetap berfungsi. Tentu saja timbul pertanyaan: bukankah bisa lebih sederhana? Sayangnya, hal itu tidak mungkin. Inilah inti dari modul ini. Namun, cukup dengan berfilsafat. Mari selesaikan beberapa masalah: Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\] Larutan. Jadi, di hadapan kita ada pertidaksamaan klasik dalam bentuk "modulusnya lebih kecil" - bahkan tidak ada yang perlu diubah. Kami bekerja sesuai dengan algoritma: \[\mulai(sejajarkan) & \kiri| benar| \lt g\Panah Kanan -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Panah Kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(sejajarkan)\] Jangan terburu-buru membuka tanda kurung yang diawali dengan “minus”: mungkin saja karena tergesa-gesa Anda akan membuat kesalahan yang menyinggung. \[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\] \[\kiri\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\] \[\kiri\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\] \[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\] Masalahnya direduksi menjadi dua kesenjangan mendasar. Mari kita perhatikan penyelesaiannya pada garis bilangan paralel: Perpotongan himpunan ini akan menjadi jawabannya. Jawaban: $x\in \kiri(-\frac(10)(3);4 \kanan)$ Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\] Larutan. Tugas ini sedikit lebih sulit. Pertama, mari kita isolasi modulnya dengan memindahkan suku kedua ke kanan: \[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\] Jelasnya, kita kembali memiliki pertidaksamaan dalam bentuk “modul lebih kecil”, jadi kita menghilangkan modul tersebut menggunakan algoritma yang sudah diketahui: \[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\] Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahwa saya sedikit mesum dengan semua tanda kurung ini. Namun izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa tujuan utama kami adalah selesaikan pertidaksamaan dengan benar dan dapatkan jawabannya. Nanti, ketika Anda sudah menguasai dengan sempurna semua yang dijelaskan dalam pelajaran ini, Anda dapat memutarbalikkannya sendiri sesuai keinginan: buka tanda kurung, tambahkan minus, dll. Untuk memulainya, kita cukup menghilangkan tanda minus ganda di sebelah kiri: \[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(x+1 \kanan) =3\kiri(x+1 \kanan)\] Sekarang mari kita buka semua tanda kurung pada pertidaksamaan ganda: Mari kita beralih ke pertidaksamaan ganda. Kali ini perhitungannya akan lebih serius: \[\kiri\( \begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(sejajarkan) \kanan.\] \[\kiri\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rata kanan.\] Kedua pertidaksamaan tersebut bersifat kuadrat dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interval (itulah sebabnya saya katakan: jika Anda tidak tahu apa itu, lebih baik jangan menggunakan modul dulu). Mari kita beralih ke persamaan pada pertidaksamaan pertama: \[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\kiri(x+5 \kanan)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(sejajarkan)\] Seperti yang Anda lihat, keluarannya adalah persamaan kuadrat tidak lengkap, yang dapat diselesaikan dengan cara dasar. Sekarang mari kita lihat pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut. Di sana Anda harus menerapkan teorema Vieta: \[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(sejajarkan)\] Kami menandai angka-angka yang dihasilkan pada dua garis sejajar (pisahkan untuk pertidaksamaan pertama dan pisahkan untuk pertidaksamaan kedua): Jawaban: $x\di \kiri(-5;-2 \kanan)$ Saya pikir setelah contoh-contoh ini skema solusinya sangat jelas: Algoritme serupa ada untuk pertidaksamaan tipe berikut, ketika modulus lebih besar dari fungsinya. Namun, ada beberapa “tetapi” yang serius. Kita akan membicarakan “tetapi” ini sekarang. Mereka terlihat seperti ini: \[\kiri| benar| \gtg\] Mirip dengan yang sebelumnya? Kelihatannya. Namun masalah seperti itu diselesaikan dengan cara yang sangat berbeda. Secara formal, skemanya adalah sebagai berikut: \[\kiri| benar| \gt g\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\] Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kasus: Dalam hal ini, opsi digabungkan dengan tanda kurung siku, mis. Di hadapan kita terdapat kombinasi dua persyaratan. Perlu dicatat lagi: ini bukan suatu sistem, melainkan suatu totalitas dalam jawabannya, himpunan tersebut digabungkan, bukan berpotongan. Ini perbedaan mendasar dari poin sebelumnya! Secara umum, banyak siswa yang benar-benar bingung dengan serikat pekerja dan persimpangan, jadi mari kita selesaikan masalah ini untuk selamanya: Agar lebih mudah mengingatnya, cukup gerakkan kaki ke tanda-tanda ini untuk membuat kacamata (tapi jangan sekarang menuduh saya mempromosikan kecanduan narkoba dan alkoholisme: jika Anda serius mempelajari pelajaran ini, maka Anda sudah menjadi pecandu narkoba): Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, artinya sebagai berikut: kesatuan (totalitas) mencakup unsur-unsur dari kedua himpunan, oleh karena itu ia tidak kurang dari masing-masing himpunan; tetapi perpotongan (sistem) hanya mencakup elemen-elemen yang secara simultan berada pada himpunan pertama dan himpunan kedua. Oleh karena itu, perpotongan himpunan tidak pernah lebih besar dari himpunan sumber. Jadi menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita lanjutkan ke latihan. Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\] Larutan. Kami melanjutkan sesuai dengan skema: \[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \kanan) \\\end(sejajarkan) \ Kanan.\] Kami menyelesaikan setiap ketimpangan dalam populasi: \[\kiri[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\] \[\kiri[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\] \[\kiri[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\] Kami menandai setiap himpunan yang dihasilkan pada garis bilangan, lalu menggabungkannya: Sangat jelas bahwa jawabannya adalah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ Jawaban: $x\in \kiri(\frac(4)(7);+\infty \kanan)$ Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\] Larutan. Dengan baik? Tidak ada - semuanya sama. Kita beralih dari pertidaksamaan dengan modulus ke himpunan dua pertidaksamaan: \[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(sejajarkan) \kanan.\] Kami menyelesaikan setiap kesenjangan. Sayangnya, akarnya tidak terlalu bagus: \[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(sejajarkan)\] Ketimpangan kedua juga agak liar: \[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(sejajarkan)\] Sekarang Anda perlu menandai angka-angka ini pada dua sumbu - satu sumbu untuk setiap pertidaksamaan. Namun, Anda perlu menandai titik-titik tersebut dalam urutan yang benar: semakin besar angkanya, semakin jauh titik tersebut bergerak ke kanan. Dan di sini sebuah pengaturan menanti kita. Jika semuanya jelas dengan angka $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (suku pada pembilang pertama pecahan lebih kecil dari suku pada pembilang kedua, sehingga jumlahnya juga lebih kecil), dengan bilangan $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesulitan (angka positif jelas lebih besar dari angka negatif), maka dengan pasangan terakhir semuanya tidak begitu jelas. Mana yang lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Penempatan titik-titik pada garis bilangan dan sebenarnya jawabannya akan bergantung pada jawaban pertanyaan tersebut. Jadi mari kita bandingkan: \[\begin(matriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriks)\] Kami mengisolasi akarnya, mendapatkan bilangan non-negatif di kedua sisi pertidaksamaan, jadi kami berhak mengkuadratkan kedua sisi: \[\begin(matriks) ((\left(2+\sqrt(13) \kanan))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \kanan))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriks)\] Saya pikir tidak perlu khawatir bahwa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, titik akhir pada sumbu akan ditempatkan seperti ini: Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita sedang menyelesaikan suatu himpunan, jadi jawabannya adalah gabungan, bukan perpotongan himpunan yang diarsir. Jawaban: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \kanan)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \kanan)$ Seperti yang Anda lihat, skema kami berfungsi baik untuk masalah sederhana dan sangat sulit. Satu-satunya “titik lemah” dalam pendekatan ini adalah Anda harus membandingkan bilangan irasional dengan benar (dan percayalah: ini bukan hanya akar). Namun pelajaran terpisah (dan sangat serius) akan dikhususkan untuk masalah perbandingan. Dan kami melanjutkan. Sekarang kita sampai pada bagian yang paling menarik. Ini adalah ketidaksetaraan bentuk: \[\kiri| benar| \gt\kiri| benar|\] Secara umum, algoritma yang akan kita bicarakan sekarang hanya benar untuk modulnya. Ia bekerja dalam semua ketidaksetaraan di mana terdapat jaminan ekspresi non-negatif di kiri dan kanan: Apa yang harus dilakukan dengan tugas-tugas ini? Ingatlah: Dalam ketidaksetaraan dengan “ekor” non-negatif, kedua belah pihak dapat diangkat ke kekuatan alam apa pun. Tidak akan ada batasan tambahan. Pertama-tama, kita akan tertarik pada kuadrat - ini membakar modul dan akar: \[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\kiri(\sqrt(f) \kanan))^(2))=f. \\\end(sejajarkan)\] Hanya saja, jangan bingung membedakannya dengan mengambil akar kuadrat: \[\sqrt(((f)^(2)))=\kiri| f \kanan|\ne f\] Kesalahan yang tak terhitung jumlahnya terjadi ketika seorang siswa lupa memasang modul! Tapi ini adalah cerita yang sama sekali berbeda (ini seolah-olah merupakan persamaan irasional), jadi kita tidak akan membahasnya sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik: Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\] Larutan. Mari kita segera perhatikan dua hal: Oleh karena itu, kita dapat mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan untuk menghilangkan modulus dan menyelesaikan soal menggunakan metode interval biasa: \[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\] Pada langkah terakhir, saya sedikit curang: Saya mengubah urutan suku, memanfaatkan kemerataan modul (sebenarnya, saya mengalikan ekspresi $1-2x$ dengan −1). \[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\cdot \kiri(3x+1 \kanan)\le 0. \\\end(sejajarkan)\] Kami menyelesaikannya menggunakan metode interval. Mari beralih dari pertidaksamaan ke persamaan: \[\begin(sejajarkan) & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(3x+1 \kanan)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(sejajarkan)\] Kami menandai akar yang ditemukan pada garis bilangan. Sekali lagi: semua titik diarsir karena pertidaksamaan aslinya tidak tegas! Izinkan saya mengingatkan Anda bagi mereka yang sangat keras kepala: kita mengambil tanda dari pertidaksamaan terakhir, yang telah ditulis sebelum melanjutkan ke persamaan. Dan kami mengecat area yang dibutuhkan dalam ketimpangan yang sama. Dalam kasus kita adalah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$. Oke, semuanya sudah berakhir. Sekarang. Masalah terpecahkan. Jawaban: $x\in \kiri[ -\frac(1)(3);3 \kanan]$. Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\] Larutan. Kami melakukan semuanya dengan cara yang sama. Saya tidak akan berkomentar - lihat saja urutan tindakannya. Kuadratkan: \[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan| \kanan))^(2))\le ((\kiri(\kiri |.((x)^(2))+3x+4 \kanan|. \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))\le ((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \kiri(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\kali \\ & \kali \kiri(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)\le 0. \\\end(sejajarkan)\] Metode interval: \[\begin(sejajarkan) & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)=0 \\ & -2x-3=0\ Panah kanan x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Panah Kanan D=16-40 \lt 0\Panah Kanan \varnothing . \\\end(sejajarkan)\] Hanya ada satu akar pada garis bilangan: Jawaban: $x\in \kiri[ -1,5;+\infty \kanan)$. Catatan kecil tentang tugas terakhir. Seperti yang dicatat secara akurat oleh salah satu siswa saya, kedua ekspresi submodular dalam pertidaksamaan ini jelas positif, sehingga tanda modulus dapat dihilangkan tanpa membahayakan kesehatan. Tapi ini adalah tingkat pemikiran yang sama sekali berbeda dan pendekatan yang berbeda - ini secara kondisional dapat disebut metode konsekuensi. Tentang itu - dalam pelajaran terpisah. Sekarang mari kita beralih ke bagian akhir pelajaran hari ini dan melihat algoritma universal yang selalu berhasil. Bahkan ketika semua pendekatan sebelumnya tidak berdaya :) Bagaimana jika semua teknik ini tidak membantu? Jika ketimpangan tidak bisa direduksi menjadi ekor non-negatif, apakah modulnya tidak mungkin diisolasi, apakah secara umum ada rasa sakit, kesedihan, melankolis? Kemudian “artileri berat” dari semua matematika muncul—metode kekerasan. Sehubungan dengan pertidaksamaan dengan modulus terlihat seperti ini: Jadi bagaimana? Lemah? Mudah! Hanya untuk waktu yang lama. Mari kita lihat dalam praktiknya: Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: \[\kiri| x+2 \kanan| \lt \kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\] Larutan. Omong kosong ini tidak berujung pada kesenjangan seperti $\left| benar| \lt g$, $\kiri| benar| \gt g$ atau $\kiri| benar| \lt \kiri| g \kanan|$, jadi kita bertindak duluan. Kami menulis ekspresi submodular, menyamakannya dengan nol dan menemukan akarnya: \[\begin(sejajarkan) & x+2=0\Panah Kanan x=-2; \\ & x-1=0\Panah Kanan x=1. \\\end(sejajarkan)\] Secara total, kami memiliki dua akar yang membagi garis bilangan menjadi tiga bagian, di mana setiap modul terungkap secara unik: Mari kita lihat setiap bagian secara terpisah. 1. Misalkan $x \lt -2$. Maka kedua ekspresi submodularnya negatif, dan pertidaksamaan aslinya akan ditulis ulang sebagai berikut: \[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(sejajarkan)\] Kami mendapat batasan yang cukup sederhana. Mari kita potong dengan asumsi awal bahwa $x \lt -2$: \[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \] Jelasnya, variabel $x$ tidak boleh kurang dari −2 dan lebih besar dari 1,5 secara bersamaan. Tidak ada solusi di bidang ini. 1.1. Mari kita pertimbangkan secara terpisah kasus garis batas: $x=-2$. Mari kita substitusikan angka ini ke dalam pertidaksamaan awal dan periksa: apakah benar? \[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kiri| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Panah Kanan \vartidak ada . \\\end(sejajarkan)\] Jelas sekali bahwa rangkaian perhitungan tersebut telah membawa kita pada ketimpangan yang tidak tepat. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal juga salah, dan $x=-2$ tidak disertakan dalam jawabannya. 2. Misalkan sekarang $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah terbuka dengan "plus", tetapi modul kanan masih terbuka dengan "minus". Kita punya: \[\begin(sejajarkan) & x+2 \lt -\left(x-1 \kanan)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(sejajarkan)\] Sekali lagi kita bersinggungan dengan persyaratan awal: \[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \] Dan sekali lagi, himpunan solusinya kosong, karena tidak ada bilangan yang kurang dari −2,5 dan lebih besar dari −2. 2.1. Dan lagi kasus khusus: $x=1$. Kami mengganti ke dalam pertidaksamaan asli: \[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt \kiri| 0 \kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Panah Kanan \vartidak ada . \\\end(sejajarkan)\] Mirip dengan “kasus khusus” sebelumnya, angka $x=1$ jelas tidak disertakan dalam jawaban. 3. Bagian terakhir dari baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul dibuka dengan tanda plus: \[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ] Dan sekali lagi kita memotong himpunan yang ditemukan dengan batasan asli: \[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ] Akhirnya! Kami telah menemukan interval yang akan menjadi jawabannya. Jawaban: $x\in \kiri(4,5;+\infty \kanan)$ Terakhir, satu komentar yang mungkin menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh saat memecahkan masalah nyata: Penyelesaian pertidaksamaan dengan modulus biasanya merepresentasikan himpunan kontinu pada garis bilangan - interval dan segmen. Titik-titik terisolasi jauh lebih jarang terjadi. Dan bahkan lebih jarang lagi, batas solusi (ujung segmen) bertepatan dengan batas rentang yang dipertimbangkan. Konsekuensinya, jika batas (“kasus khusus”) yang sama tidak dicantumkan dalam jawaban, maka area di kiri dan kanan batas tersebut hampir pasti tidak akan dicantumkan dalam jawaban. Begitu pula sebaliknya: perbatasan masuk ke dalam jawaban, artinya beberapa daerah disekitarnya juga akan menjadi jawaban. Ingatlah hal ini saat meninjau solusi Anda.
a) Mari kita terapkan ilmu yang diperoleh di atas. $\sqrt(x^2+x-30)
Mari kita gunakan metode interval. 
Penyelesaian ketiga pertidaksamaan sistem berpotongan pada interval $U(30;+∞)$.Ketimpangan dengan moduli
Pertidaksamaan yang memuat variabel di bawah tanda modulus dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang berbeda. Kami akan melihat tiga solusi. Saya menyarankan Anda untuk menggunakan cara ketiga. Hal ini mungkin memakan waktu lebih lama, namun peluangnya jauh lebih besar untuk menyelesaikan ketimpangan secara tepat.
Selesaikan pertidaksamaan: $|3x-6|>6$.
Cara pertama.
$|3(x-2)|>6$; $|(x-2)|>2$.
Seingat kita, secara geometri, arti modul tidak lebih dari jarak antara titik x dan 2. Menurut pertidaksamaan kita, harus melebihi 2. Maka solusinya adalah $(-∞;0)U(4;+ ∞)$.
Jawaban: $хϵ(-∞;0)U(4;+∞)$.
Kedua ruas pertidaksamaan kita adalah non-negatif, lalu dengan menggunakan Teorema 5 tentang persamaan pertidaksamaan, kita dapat mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan tersebut:
$(|3x-6|)^2>36$.
$9x^2-36x+36>36$.
$9x(x-4)>0$. 
Jawaban: $хϵ(-∞;0)U(4;+∞)$.
Cara ketiga.
Bergantung pada tanda ekspresi $3x-6$, kita dapat memperluas modul dengan dua cara berbeda (dengan tanda berbeda). Kemudian pertidaksamaan awal direduksi menjadi himpunan dua sistem pertidaksamaan: 
Jawaban: $хϵ(-∞;0)U(4;+∞)$.
Kami menerima jawaban yang sama menggunakan setiap metode, yang berarti solusinya benar. Terserah Anda sendiri cara mana yang akan digunakan, namun tetap disarankan menggunakan cara ketiga. Mari kita lihat contoh lain penyelesaian kesenjangan dengan cara ketiga.
Selesaikan pertidaksamaan: $|x^2+x-12|>-x^2-4x$.
Modul ini dapat diperluas dengan dua cara:
1. Jika $x^2+x-12≥0$, maka $|x^2+x-12|=x^2+x-12$.
2. Jika $x^2+x-12≤0$, maka $|x^2+x-12|=-(x^2+x-12)$.
Untuk setiap sistem kami membangun interval solusi:
$\begin (kasus) (x+4)(x-3)≥0, \\ (2x-3)(x+4)>0 \end (kasus)$. 
$хϵ(-∞;-4)U$.
Yang tersisa hanyalah menggabungkan dua spasi dan menuliskan jawabannya.
Jawaban: $хϵ(-∞;-4)U(-4; +∞]$.Masalah untuk diselesaikan secara mandiri
1. Mengatasi kesenjangan:
a) $\sqrt(x^2-3x-28)
2. Selesaikan pertidaksamaan dengan tiga cara: $|5x+9| 3. Selesaikan pertidaksamaan: $|x^2+3x-10|>2x-x^2$. Apa yang sudah perlu Anda ketahui
Definisi Modul
Definisi modul grafis Memecahkan kesenjangan. Metode interval
1. Pertidaksamaan bentuk “Modulus lebih kecil dari fungsi”
Persimpangan banyak 
Sekali lagi, karena kita sedang menyelesaikan sistem pertidaksamaan, kita tertarik pada perpotongan himpunan yang diarsir: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Inilah jawabannya. 2. Pertidaksamaan bentuk “Modulus lebih besar dari fungsi”
Perbedaan antara perpotongan dan gabungan himpunan
Persatuan himpunan 
Kasus akar yang jelek 3. Ketimpangan dengan “ekor” non-negatif
Menghilangkan tanda modulus 
Jawabannya adalah seluruh interval 4. Metode pencacahan pilihan
Mempartisi garis bilangan dengan nol fungsi submodular
