Pada artikel ini kita akan membahasnya secara detail penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar. Mari kita mulai dengan menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya sama. Setelah itu, kita tuliskan aturan yang sesuai untuk pecahan yang penyebutnya berbeda. Sebagai kesimpulan, kami akan menunjukkan cara menjumlahkan pecahan aljabar dengan polinomial dan cara mengurangkannya. Sesuai tradisi, kami akan memberikan semua informasi dengan contoh-contoh umum yang menjelaskan setiap langkah proses solusi.
Navigasi halaman.
Bila penyebutnya sama
Prinsip-prinsip tersebut terbawa ke pecahan aljabar. Kita tahu bahwa pada penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa yang penyebutnya sama, pembilangnya ditambah atau dikurangi, tetapi penyebutnya tetap sama. Misalnya, dan 
.
Diformulasikan serupa aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya sama: Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan atau mengurangkan pembilang pecahan tersebut sesuai dengan itu, membiarkan penyebutnya tidak berubah.
Berdasarkan aturan ini, sebagai hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar, diperoleh pecahan aljabar baru (dalam kasus tertentu, polinomial, monomial, atau bilangan).
Mari kita beri contoh penerapan aturan yang disebutkan.
Contoh.
Temukan jumlah pecahan aljabar 
Dan .
Larutan.
Kita perlu menjumlahkan pecahan aljabar yang penyebutnya sama. Aturannya memberitahu kita bahwa kita perlu menjumlahkan pembilang pecahan ini, tetapi membiarkan penyebutnya tetap sama. Jadi, kita jumlahkan polinomial yang terdapat pada pembilangnya: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Oleh karena itu, jumlah pecahan aslinya sama dengan 
.
Dalam praktiknya, penyelesaiannya biasanya ditulis secara singkat dalam bentuk rantai persamaan yang mencerminkan seluruh tindakan yang dilakukan. Dalam kasus kami, versi singkat dari solusinya adalah:
Menjawab:
.
Perhatikan bahwa jika, sebagai hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar, diperoleh pecahan yang dapat direduksi, maka disarankan untuk menguranginya.
Contoh.
Kurangi pecahan dari pecahan aljabar.
Larutan.
Karena penyebut pecahan aljabar sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama: 
.
Sangat mudah untuk melihat bahwa pecahan aljabar dapat direduksi. Untuk melakukan ini, kami mengubah penyebutnya dengan menerapkan rumus selisih kuadrat. Kita punya.
Menjawab:
.
Tiga atau lebih pecahan aljabar yang penyebutnya sama dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara yang persis sama. Misalnya, .
Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda
Mari kita ingat bagaimana kita melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda: pertama kita bawa ke penyebut yang sama, lalu kita jumlahkan pecahan tersebut dengan penyebut yang sama. Misalnya, 
atau 
.
Ada yang serupa aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda:
- pertama, semua pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama;
- setelah itu pecahan yang dihasilkan dengan penyebut yang sama dijumlahkan dan dikurangkan.
Agar berhasil menerapkan aturan yang disebutkan, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang cara mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama. Inilah yang akan kami lakukan.
Mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama.
Mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama adalah transformasi identik dari pecahan asli, setelah itu penyebut semua pecahan menjadi sama. Akan lebih mudah untuk menggunakan yang berikut ini algoritma untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama:
- Pertama, temukan penyebut pecahan aljabar yang sama;
- Selanjutnya, faktor tambahan ditentukan untuk setiap pecahan, yang penyebutnya dibagi dengan penyebut pecahan aslinya;
- terakhir, pembilang dan penyebut pecahan aljabar asal dikalikan dengan faktor tambahan yang sesuai.
Contoh.
Berikan pecahan aljabar 
Dan 
ke penyebut yang sama.
Larutan.
Pertama, mari kita tentukan penyebut pecahan aljabar. Untuk melakukan ini, faktorkan penyebut semua pecahan: 2 a 3 −4 a 2 =2 a 2 (a−2), 3 a 2 −6 a=3 a (a−2) dan 4 a 5 −16 a 3 =4 a 3 (a−2) (a+2). Dari sini kita menemukan penyebut yang sama 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .
Sekarang mari kita mulai mencari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, kita membagi penyebut yang sama dengan penyebut pecahan pertama (lebih mudah untuk mengambil perluasannya), kita punya 12 a 3 (a−2) (a+2):(2 a 2 (a−2))=6 a (a+2). Jadi, faktor tambahan pecahan pertama adalah 6·a·(a+2) . Demikian pula, kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan kedua dan ketiga: 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(3·a·(a−2))=4·a 2 ·(a+2) Dan 12 a 3 (a−2) (a+2):(4 a 3 (a−2) (a+2))=3.
Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan asli dengan faktor tambahan yang sesuai: 
Ini menyelesaikan pengurangan pecahan aljabar asli menjadi penyebut yang sama. Jika perlu, pecahan yang dihasilkan dapat diubah menjadi bentuk pecahan aljabar dengan mengalikan polinomial dan monomial pada pembilang dan penyebutnya.
Jadi, kami telah memilah pengurangan pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama. Sekarang kita siap melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda. Ya, kami hampir lupa memperingatkan Anda: akan lebih mudah untuk membiarkan penyebut umum yang disajikan dalam bentuk produk sampai saat-saat terakhir - Anda mungkin harus mengurangi pecahan yang dihasilkan setelah penjumlahan atau pengurangan.
Contoh.
Melakukan penjumlahan pecahan aljabar dan 
.
Larutan.
Jelas sekali, pecahan asli memiliki penyebut yang berbeda, jadi untuk menjumlahkannya, Anda harus terlebih dahulu mereduksinya menjadi penyebut yang sama. Caranya, faktorkan penyebutnya: x 2 +x=x·(x+1) , dan x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , karena akar-akar trinomial kuadrat x 2 + 3 x+2 adalah bilangan −1 dan −2. Dari sini kita mencari penyebut yang sama, berbentuk x·(x+1)·(x+2) . Maka faktor penjumlahan pecahan pertama adalah x+2, dan pecahan kedua adalah x.
Jadi, dan.
Yang tersisa hanyalah menjumlahkan pecahan yang direduksi menjadi penyebut yang sama: 
Pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi. Memang benar, jika Anda mengeluarkan keduanya dari tanda kurung pada pembilangnya, Anda akan melihat faktor persekutuan x+1, yang dengannya pecahan tersebut dikurangi: .
Terakhir, kami menyatakan pecahan yang dihasilkan sebagai pecahan aljabar, yang kemudian kami ganti hasil kali penyebutnya dengan polinomial: 
.
Mari kita rumuskan solusi singkat yang mempertimbangkan semua alasan kita: 
Menjawab:
.
Dan satu hal lagi: sebelum menjumlahkan atau mengurangkan pecahan aljabar, disarankan untuk mengubahnya terlebih dahulu untuk menyederhanakan (jika, tentu saja, ada kemungkinan seperti itu).
Contoh.
Lakukan pengurangan pecahan aljabar dan .
Larutan.
Mari kita lakukan beberapa transformasi pecahan aljabar, mungkin ini akan menyederhanakan proses penyelesaiannya. Untuk memulainya, mari kita keluarkan koefisien numerik dari variabel-variabel dalam penyebutnya: 
Dan 
. Ini sudah menarik - faktor persekutuan penyebut pecahan sudah terlihat.
Topik pelajaran: Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar.
Tujuan pelajaran:
Pendidikan:
- ulangi aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama
- memperkenalkan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya sama;
- mengembangkan kemampuan melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dengan pecahan aljabar.
Pendidikan:
- mengembangkan pemikiran, perhatian, ingatan, kemampuan menganalisis, membandingkan, membandingkan;
- memperluas wawasan siswa;
- penambahan kosa kata;
Pendidikan:
- menumbuhkan minat kognitif pada subjek.
- Menumbuhkan budaya kerja mental
Peralatan:
- kartu - tugas tes;
- komputer;
- proyektor;
- layar;
- presentasi pelajaran
Motto:
Anda tidak dapat belajar matematika dengan melihat tetangga Anda melakukannya!
Geser 2.
Rencana belajar.
- Pernyataan tujuan dan topik pelajaran (2 menit);
- Pemutakhiran pengetahuan dan keterampilan dasar siswa (4 menit);
- Pekerjaan lisan (5 menit);
- Mempelajari materi baru (8 menit);
- Sesi pendidikan jasmani (2 menit);
- Konsolidasi materi baru (10 menit);
- Tes pilihan ganda (10 menit);
- Ringkasan pelajaran, kesimpulan (2 menit);
- Pekerjaan rumah. (2 menit).
Geser 3.
Selama kelas.
I. Momen organisasi:
1) pesan topik pelajaran;
2) mengkomunikasikan maksud dan tujuan pembelajaran.
II. Memperbarui pengetahuan:
Pecahan apa yang disebut aljabar? Berikan contoh.
Apa yang dimaksud dengan mereduksi pecahan aljabar?
Bagaimana cara mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama?
Geser 4.
AKU AKU AKU. Pekerjaan lisan:
- Baca pecahan:
- Temukan ekspresi yang berlebihan a) (a+c) 2 ; B) ; V) ; G) .
- Pulihkan catatan yang terhapus sebagian: pengurangan ke penyebut yang sama
Geser 5.
- Temukan kesalahannya
Geser 6.
- Untuk setiap pecahan, carilah pecahan yang sama dengan menggunakan korespondensi angka-huruf:
1) ; 2) 3) .
SEBUAH) b) ; DI DALAM) .
Geser 7.8
IV. Mempelajari materi baru.
1) Tinjau kembali aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang berpenyebut sama. Kemudian selesaikan contoh berikut secara lisan:
2) Ingat aturan penjumlahan dan pengurangan polinomial dan kerjakan latihan berikut secara tertulis di papan tulis:
3) Siswa harus mengusulkan aturan untuk melakukan contoh berikut yang tertulis di papan tulis:
Solusi dari contoh-contoh tersebut dibahas. Jika siswa tidak dapat mengatasinya sendiri, guru menjelaskan.
Geser 9.
Aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya sama dicatat dalam buku catatan.
, .
Geser 10.
V. Pendidikan jasmani untuk mata
Latihan 1. Lakukan 15 gerakan osilasi mata secara horizontal dari kanan ke kiri, lalu dari kiri ke kanan.
Latihan 2. Lakukan 15 gerakan osilasi dengan mata vertikal ke atas - bawah dan bawah - atas.
Latihan 3. Juga 15, tetapi gerakan memutar mata melingkar dari kiri ke kanan.
Latihan 4. Hal yang sama, tapi dari kanan ke kiri.
Latihan 5. Lakukan 15 gerakan memutar melingkar dengan mata Anda, pertama ke kanan, lalu ke kiri, seolah-olah menggambar angka delapan yang diletakkan miring dengan mata Anda.
VI. Konsolidasi materi baru.
1) Pekerjaan depan.
1) Memecahkan masalah
№ 462 (1,3)
2) Tambahkan pecahan:
3) Kurangi pecahan:
4) Lakukan tindakan.
Geser 11.
2) Pekerjaan individu.
Empat siswa mengerjakan pekerjaan mandiri di papan tulis, disarankan pada kartu.
Kartu 1.
Kartu 2.
Kartu 3.
Kartu 4.
Sisanya di buku catatan: Lakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan:
A) B)
V)
VII. Melaksanakan kerja kelompok dan menganalisis hasilnya.
Setiap kelompok diberikan tugas tes, setelah selesai mereka menerima sebuah kata - nama seorang ahli matematika terkenal.
Latihan | Jawaban yang mungkin | Surat |
|
x + 10 | |||
Latihan | Jawaban yang mungkin | Surat |
|
Latihan | Jawaban yang mungkin | Surat |
|
Latihan | Jawaban yang mungkin | Surat |
|
Tabel jawaban:
Pekerjaan No. | ||||||
Surat |
Periksa kualitas tugas.
Apakah Anda mendapatkan nama seorang ahli matematika terkenal dari surat yang Anda terima?
Jika Anda menjawab semua pertanyaan dengan benar, Anda menerima nilai “SANGAT BAIK”!!!
Jika Anda membuat kesalahan dalam satu langkah, itu tidak buruk, tapi seorang ilmuwan mungkin akan tersinggung. Anda telah menerima peringkat “BAIK”!
Jika Anda salah dalam dua langkah, maka Anda tidak mendengarkan guru di kelas dengan baik dan Anda harus membaca topik di buku teks aljabar. Anda menerima peringkat “PUAS”.
Jika Anda melakukan kesalahan lebih dari dua langkah, maka Anda tidak mendengarkan guru sama sekali selama pelajaran dan Anda harus membaca buku teks aljabar dengan sangat hati-hati. Anda menerima peringkat “TIDAK MEMUASKAN”.
Geser 13-17.
Jika ada waktu, tugas-tugas berikut diselesaikan:
1. Buktikan bahwa ekspresi
untuk semua nilai a2 mengambil nilai positif.
2. Sajikan pecahan sebagai jumlah atau selisih ekspresi bilangan bulat dan pecahan:
A); b) c)
3. Mengetahui hal tersebut, tentukan nilai pecahannya:
A); b) c)
VIII. Meringkas.
SAYA X.Pekerjaan Rumah:Bacalah materi buku teks paragraf 26, pelajari kaidah paragraf ini. Menyelesaikan Soal No.462(2,4); buatlah 5 contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar; temukan informasi tentang matematikawan yang namanya kita dengar saat ini.
mengembangkan kemampuan melakukan operasi (penjumlahan dan pengurangan) pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda, berdasarkan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda;
Peralatan: Materi demonstrasi.
Tugas memperbarui pengetahuan:
1) +; 2) -;
3) + ; 4) +; 5) -.
1) Algoritma penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda.
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan biasa yang penyebutnya berbeda, Anda perlu:
- Kurangi pecahan-pecahan ini ke penyebut terkecilnya.
- Menambah atau mengurangi pecahan yang dihasilkan.
2) Algoritma untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama.
- Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan: ini akan menjadi produk dari faktor-faktor yang ada pada penyebut yang sama (baru), tetapi tidak ada pada penyebut yang lama.
3) Standar kerja mandiri dengan tes mandiri:
3) Kartu untuk tahap refleksi.
- Topik ini jelas bagi saya.
- Saya tahu cara mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan.
- Saya dapat menemukan pembilang baru untuk setiap pecahan.
- Semuanya berhasil bagi saya ketika bekerja secara mandiri.
- Saya dapat memahami alasan kesalahan yang saya buat dalam pekerjaan mandiri.
- Saya puas dengan pekerjaan saya di kelas.
SELAMA KELAS
1. Penentuan nasib sendiri untuk melakukan aktivitas.
Tujuan panggung:
- Melibatkan siswa dalam kegiatan pendidikan: melanjutkan perjalanan keliling negeri “Ekspresi Aljabar”.
- Menentukan isi pelajaran: terus mengerjakan pecahan aljabar.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 1:
Selamat pagi kawan! Kami melanjutkan perjalanan menarik kami melalui negara “Ekspresi Aljabar”.
“Penduduk” negara apa yang kita temui di pelajaran sebelumnya? (Dengan ekspresi aljabar.)
Apa yang dapat kita lakukan dengan ekspresi aljabar yang familiar? (Penambahan dan pengurangan.)
Apa ciri-ciri pecahan aljabar yang sudah kita ketahui cara penjumlahan dan pengurangannya? (Kita menjumlahkan dan mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama.)
Benar. Namun kita semua paham betul bahwa kemampuan melakukan operasi pecahan aljabar yang penyebutnya sama saja tidak cukup. Menurut Anda apa lagi yang perlu kita pelajari? (Lakukan operasi dengan pecahan yang penyebutnya berbeda.)
Bagus sekali! Bagaimana kalau kita melanjutkan perjalanan kita? (Ya!)
2. Memperbarui pengetahuan dan mencatat kesulitan dalam beraktivitas.
Tujuan panggung:
- Memperbarui pengetahuan tentang melakukan operasi pecahan dengan penyebut yang sama, metode perhitungan mental.
- Catat kesulitannya.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 2:
Ada beberapa contoh di papan untuk melakukan operasi dengan pecahan:
5) -=-=
=.
Siswa diminta untuk menyuarakan solusinya dengan lantang.
Pada contoh pertama, anak-anak dengan mudah memberikan jawaban yang benar, mengingat algoritma untuk melakukan tindakan dengan pecahan aljabar yang memiliki penyebut yang sama.
Ketika komentar sudah diberikan pada contoh no.2, guru fokus pada contoh no.2:
Guys, lihat apa yang menarik pada contoh no.2? (Kami tidak hanya melakukan operasi dengan pecahan aljabar yang memiliki penyebut yang sama, tetapi juga mengurangi pecahan aljabar yang dihasilkan: kami mengeluarkan tanda minus dari tanda kurung, di pembilang dan penyebut kami mendapatkan faktor yang sama, yang kemudian kami kurangi hasilnya. )
Ada baiknya Anda tidak lupa bahwa sifat dasar pecahan tidak hanya berlaku pada pecahan biasa, tetapi juga pada pecahan aljabar!
Siapa yang akan mengomentari solusi dari tiga contoh berikut untuk semua orang?
Kemungkinan besar akan ada siswa yang dapat dengan mudah menyelesaikan contoh no.3.
Apa yang Anda gunakan untuk menyelesaikan contoh No.3? (Algoritme untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan biasa dengan penyebut berbeda membantu saya.)
Bagaimana sebenarnya tindakan Anda? (Saya mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut terkecil yaitu 15 dan kemudian menjumlahkannya.)
Luar biasa! Bagaimana kinerja kita dengan dua contoh terakhir?
Mengenai dua contoh berikutnya, orang-orang (masing-masing untuk dirinya sendiri) memperbaiki kesulitan yang muncul.
Kata-kata siswa kira-kira seperti ini:
Saya merasa sulit untuk menyelesaikan contoh 4–5, karena di depan saya ada pecahan aljabar, tidak dengan penyebut yang “identik”, dan penyebut yang berbeda ini menyertakan variabel (No. 4), dan di No. 5 terdapat ekspresi literal di dalamnya. penyebutnya!..”
Jawaban tugas 4–5 belum diterima.
3. Mengidentifikasi lokasi dan penyebab kesulitan serta menetapkan tujuan kegiatan.
Tujuan panggung:
- Catatlah ciri khas tugas yang menyebabkan kesulitan dalam kegiatan belajar.
- Merumuskan tujuan dan topik pelajaran.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 3:
Teman-teman? Di manakah kesulitan itu muncul? (Dalam contoh 4–5.)
Mengapa, ketika menyelesaikannya, Anda belum siap mendiskusikan keputusan dan memberikan jawaban? (Karena pecahan aljabar yang diusulkan dalam tugas ini memiliki penyebut yang berbeda, dan kita sudah familiar dengan algoritma untuk melakukan operasi dengan pecahan aljabar yang memiliki penyebut yang sama.
Apa lagi yang perlu kita lakukan? (Anda perlu mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut berbeda.)
Saya setuju dengan kamu. Bagaimana kita bisa merumuskan topik pelajaran kita hari ini? (Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda.)
Topik pelajaran dicatat dalam buku catatan.
4. Pembangunan proyek untuk keluar dari kesulitan.
Tujuan panggung:
- Konstruksi anak-anak tentang cara bertindak yang baru.
- Memperbaiki algoritma untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 4:
Tujuan apa yang akan kita tetapkan untuk diri kita sendiri di kelas hari ini? (Belajar menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda.)
Bagaimana menjadi? (Untuk melakukan ini, kita harus membangun sebuah algoritma untuk pekerjaan lebih lanjut dengan pecahan aljabar.)
Apa yang perlu kita pikirkan untuk mencapai tujuan pelajaran? (Algoritme untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama, sehingga kita kemudian dapat bekerja sesuai dengan aturan biasa untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama.)
Pekerjaan dapat disusun secara berkelompok; setiap kelompok diberi selembar kertas dan spidol. Siswa dapat mengusulkan algoritma versi mereka sendiri dalam bentuk daftar langkah. 5 menit diberikan untuk bekerja. Grup memposting pilihan mereka untuk suatu algoritma atau aturan, dan kemudian setiap pilihan dianalisis.
Kemungkinan besar, salah satu siswa pasti akan menggambar analogi algoritme mereka dengan algoritme penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa dengan penyebut berbeda: pertama, mereka membawa pecahan ke penyebut yang sama menggunakan faktor tambahan yang sesuai, lalu menjumlahkan dan mengurangi pecahan tersebut. pecahan yang dihasilkan berpenyebut sama.
Selanjutnya, satu opsi ditampilkan. Bisa jadi seperti ini:
- Kami memfaktorkan semua penyebutnya.
- Dari penyebut pertama kita tuliskan hasil kali semua faktornya, dari penyebut yang tersisa kita masukkan faktor-faktor yang hilang ke hasil kali ini. Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut yang sama (baru).
- Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan: ini akan menjadi hasil kali faktor-faktor yang ada pada penyebut baru, tetapi tidak ada pada penyebut lama.
- Mari kita cari pembilang baru untuk setiap pecahan: ini akan menjadi hasil kali pembilang lama dan faktor tambahannya.
- Mari kita tulis setiap pecahan dengan pembilang baru dan penyebut yang sama (baru).
Baiklah, mari kita terapkan aturan kita untuk menyelesaikan usulan tugas yang belum terselesaikan. Setiap tugas (4, 5) diucapkan satu per satu oleh beberapa siswa di kelas, dan guru mencatat penyelesaiannya di papan tulis.
Anda dan saya sungguh jenius! Kami telah membangun algoritma untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda. Melalui upaya bersama, kami telah menghilangkan kesulitan tersebut, karena sekarang kami memiliki “panduan” (algoritma) nyata ke negara “Pecahan Aljabar” yang tidak diketahui!
5. Konsolidasi primer dalam pidato eksternal.
Tujuan panggung:
- Melatih kemampuan mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama.
- Atur pengucapan konten algoritma aturan yang dipelajari dalam pidato eksternal.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 5:
Teman-teman, kita semua tahu betul bahwa sekadar melihat dan mengetahui “peta suatu wilayah” bukanlah sebuah perjalanan. Apa yang harus kita lakukan untuk mendalami dunia pecahan aljabar lebih dalam? (Kita harus memecahkan contoh, dan secara umum berlatih memecahkan contoh, untuk mengkonsolidasikan algoritma baru kita.)
Benar-benar tepat. Oleh karena itu, saya mengusulkan untuk memulai penelitian kami.
Siswa secara lisan menyatakan rencana penyelesaiannya, guru mengoreksi jika ada ketidakakuratan yang dibuat.
Kira-kira bunyinya seperti ini:
Kita harus memilih bilangan yang habis dibagi 2 dan 5. Ini adalah bilangan 10. Kemudian kita pilih variabel-variabelnya sesuai derajat yang kita butuhkan. Jadi penyebut baru kita adalah 10xy. Kami memilih pengganda tambahan. Ke pecahan pertama: 5y, ke pecahan kedua: 2x. Kami mengalikan faktor tambahan yang dipilih dengan setiap pembilang lama. Kita memperoleh pecahan aljabar dengan penyebut yang sama dan melakukan pengurangan sesuai dengan aturan yang sudah kita kenal.
Saya merasa senang. Dan sekarang tim besar kami akan berpasangan, dan kami akan melanjutkan jalur menarik kami.
Nomor 133 (a, d). Siswa bekerja berpasangan, membicarakan solusi satu sama lain:
a) +=+= 
=;
d) +=+= 
=.
6. Kerja mandiri dengan self-test.
Tujuan panggung:
- Melaksanakan pekerjaan mandiri.
- Melaksanakan tes mandiri dengan menggunakan standar tes mandiri yang sudah jadi.
- Siswa akan mencatat kesulitan, mengidentifikasi penyebab kesalahan, dan memperbaiki kesalahan.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 6:
Saya mengamati dengan cermat pekerjaan Anda dan sampai pada kesimpulan bahwa Anda masing-masing siap untuk secara mandiri memikirkan cara dan menemukan solusi berdasarkan contoh pada topik kita hari ini. Oleh karena itu, saya menawarkan Anda sedikit pekerjaan mandiri, setelah selesai Anda akan ditawari standar dengan solusi dan jawaban yang benar.
No.134 (a, b): melakukan pekerjaan sesuai pilihan.
Setelah pekerjaan selesai, dilakukan pemeriksaan standar. Saat memeriksa solusi, siswa menandai “+” untuk solusi yang benar, “?” bukan keputusan yang tepat. Disarankan bagi siswa yang melakukan kesalahan untuk menjelaskan alasan mengapa mereka salah menyelesaikan tugas.
Kesalahan dianalisis dan diperbaiki.
Jadi, kesulitan apa yang Anda temui selama ini? (Saya melakukan kesalahan saat memperluas tanda kurung, yang diawali dengan tanda minus.)
Apa alasannya? (Hanya karena kecerobohan, tapi saya akan lebih berhati-hati di masa depan!)
Apa lagi yang tampaknya sulit? (Apakah sulit bagi saya untuk mencari faktor tambahan pada pecahan?)
Anda pasti perlu mempelajari algoritma poin 3 lebih detail agar masalah seperti itu tidak muncul di kemudian hari!
Apakah ada kesulitan lain? (Dan saya tidak membawa persyaratan seperti itu).
Dan ini bisa diperbaiki. Ketika Anda telah melakukan segala kemungkinan menggunakan algoritma baru, Anda perlu mengingat materi yang telah Anda pelajari sejak lama. Khususnya, membawa suku-suku serupa, atau mengurangi pecahan, dll.
7. Penggabungan pengetahuan baru ke dalam sistem pengetahuan.
Tujuan tahapan: mengulang dan mengkonsolidasikan algoritma penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda yang dipelajari dalam pembelajaran.
8. Refleksi pelajaran.
Tujuan panggung: untuk merekam konten baru, mengevaluasi aktivitas seseorang.
Organisasi proses pendidikan pada tahap 8:
Tujuan apa yang kita tetapkan di awal pelajaran? (Belajar menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut berbeda.)
Apa yang kami lakukan untuk mencapai tujuan ini? (Algoritma penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda.)
Apa lagi yang kami gunakan untuk ini? (Kami memfaktorkan penyebutnya, memilih KPK untuk koefisiennya, dan faktor tambahan untuk pembilangnya.)
Sekarang ambillah pulpen berwarna atau spidol dan tandai dengan tanda “+” pernyataan-pernyataan yang kebenarannya Anda setujui:
Setiap siswa memiliki kartu dengan frase. Anak-anak menandai dan menunjukkan kepada guru.
Bagus sekali!
Pekerjaan rumah: paragraf 4 (buku teks); No.126, 127 (buku soal).
Algoritma penjumlahan (pengurangan) pecahan aljabar
1. Kurangi semua pecahan menjadi penyebut yang sama; jika mereka memiliki penyebut yang sama sejak awal, maka langkah algoritma ini dihilangkan.
2. Menjumlahkan (mengurangi) pecahan yang dihasilkan yang penyebutnya sama.
Contoh 1. Ikuti langkah ini:
A) ; B) ; 
.
Larutan. V)
Untuk setiap pasangan pecahan aljabar yang diberikan di sini, penyebut yang sama ditemukan di atas, dalam pelajaran “Sifat-sifat dasar pecahan aljabar.” Berdasarkan contoh di atas, kita mendapatkan:
Hal tersulit dalam algoritma di atas tentu saja adalah langkah pertama: mencari penyebut yang sama dan mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Dalam Contoh 1, Anda mungkin tidak merasakan kesulitan ini, karena kami menggunakan hasil yang sudah jadi dari § 2.
Untuk mengembangkan aturan mencari penyebut yang sama, mari kita analisis contoh 1.
Untuk pecahan, penyebutnya adalah monomial. Dibagi dengan keduanya dan dengan, yaitu dengan kedua monomial, yang berfungsi sebagai penyebut pecahan. Perlu diketahui: bilangan 12 merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 4 dan 6. Variabel tersebut muncul pada penyebut pecahan pertama yang berpangkat 2, pada penyebut pecahan kedua yang berpangkat 3. Nilai terbesar ini dari eksponen 3 muncul dalam penyebut yang sama.
Untuk pecahan dan penyebutnya adalah hasil kali 
- habis dibagi penyebut dan penyebutnya.
Saat mencari penyebut yang sama, tentu saja perlu memfaktorkan semua penyebut yang diberikan (jika ini tidak disiapkan dalam kondisi). Dan kemudian Anda harus bekerja secara bertahap: temukan kelipatan persekutuan terkecil untuk koefisien numerik (kita berbicara tentang koefisien bilangan bulat), tentukan eksponen terbesar untuk setiap faktor huruf yang muncul beberapa kali, kumpulkan semua ini menjadi satu produk.
Sekarang Anda dapat merancang algoritma yang sesuai.
Algoritma untuk mencari penyebut yang sama untuk beberapa pecahan aljabar
Faktorkan semua penyebut (koefisien numerik, pangkat variabel, binomial, trinomial).
Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien numerik yang ada dalam faktorisasi yang dikumpulkan pada langkah pertama.
Susun suatu produk dengan memasukkan sebagai faktor semua faktor huruf dari perluasan yang diperoleh pada langkah pertama algoritme. Jika suatu faktor tertentu (pangkat variabel, binomial, trinomial) terdapat dalam beberapa perluasan, maka faktor tersebut harus diambil dengan eksponen yang sama dengan eksponen terbesar yang tersedia.
Tambahkan ke produk yang diperoleh pada langkah ketiga koefisien numerik yang ditemukan pada langkah kedua; hasil akhirnya adalah penyebut yang sama.
Komentar. Faktanya, Anda dapat menemukan penyebut yang sama untuk dua pecahan aljabar sebanyak yang Anda suka. Misalnya untuk pecahan Dan penyebutnya bisa berupa angka 30, angka 60, dan bahkan monomial . Faktanya adalah 30, dan 60, dan dapat dibagi 3 atau 5. Untuk pecahan Dan penyebut yang sama, kecuali monomial yang ditemukan di atas , Mungkin Dan . Apa itu monomial lebih baik daripada , Bagaimana ? Lebih sederhana (dalam tampilannya). Kadang-kadang bahkan disebut bukan penyebut yang sama, tetapi penyebut yang paling rendah. Jadi, algoritma yang diberikan adalah algoritma untuk mencari penyebut persekutuan paling sederhana dari beberapa pecahan aljabar, suatu algoritma untuk mencari penyebut persekutuan terkecil.
Mari kita kembali ke contoh 1, a. Untuk menjumlahkan pecahan aljabar dan , perlu tidak hanya mencari penyebut yang sama (angka 15), tetapi juga mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan yang memungkinkan pecahan tersebut direduksi menjadi penyebut yang sama. Untuk pecahan, faktor tambahannya adalah angka 5 (pembilang dan penyebut pecahan ini juga dikalikan 5), untuk pecahan - angka 3 (pembilang dan penyebut pecahan ini juga dikalikan 3). Faktor tambahannya adalah hasil bagi pembagian penyebut yang sama dengan penyebut suatu pecahan tertentu.
Biasanya notasi berikut digunakan:
Mari kita kembali ke contoh 1.6. Penyebut pecahan yang umum adalah monomial. Faktor tambahan pecahan pertama sama dengan (sejak ), untuk pecahan kedua sama dengan 2 (sejak ). Artinya penyelesaian Contoh 1.6 dapat dituliskan sebagai berikut:
.
Di atas, sebuah algoritma dirumuskan untuk menemukan penyebut yang sama untuk beberapa pecahan aljabar. Namun pengalaman menunjukkan bahwa algoritma ini tidak selalu jelas bagi siswa, jadi kami akan memberikan rumusan yang sedikit dimodifikasi.
Aturan untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama
Faktorkan semua penyebutnya.
Dari penyebut pertama tuliskan hasil kali semua faktornya, dari penyebut sisanya tambahkan faktor-faktor yang hilang pada hasil kali tersebut. Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut yang sama (baru).
Temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan: ini akan menjadi produk dari faktor-faktor yang ada pada penyebut baru, tetapi tidak ada pada penyebut lama.
Temukan pembilang baru untuk setiap pecahan: ini akan menjadi hasil kali pembilang lama dan faktor tambahan.
Tulis setiap pecahan dengan pembilang baru dan penyebut (yang sama) yang baru.
Contoh 2. Sederhanakan sebuah ekspresi 
.
Larutan.
Tahap pertama. Mari kita cari penyebutnya dan faktor tambahannya.
Kita punya
Kita ambil penyebut pertama seluruhnya, dan dari penyebut kedua kita tambahkan faktor yang bukan penyebut pertama. Mari kita mendapatkan penyebut yang sama.
Lebih mudah untuk mengatur catatan dalam bentuk tabel:
|
Penyebut |
Faktor persekutuan |
Pengganda tambahan |
Fase kedua.
Mari kita lakukan transformasi:
Jika Anda memiliki pengalaman, Anda dapat melewati tahap pertama dan melakukannya bersamaan dengan tahap kedua.
Sebagai kesimpulan, mari kita lihat contoh yang lebih kompleks (bagi yang berminat).
Contoh 3. Sederhanakan sebuah ekspresi
Larutan.
Tahap pertama.
Mari kita faktorkan semua penyebutnya:
Kita ambil penyebut pertama seluruhnya, dari penyebut kedua kita ambil faktor-faktor yang hilang dan (atau), dari penyebut ketiga kita ambil faktor yang hilang (karena penyebut ketiga mengandung faktor ).
|
Penyebut |
Faktor persekutuan |
Pengganda tambahan |
Video pembelajaran “Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar Berpenyebut Berbeda” merupakan alat bantu visual yang memberikan materi teori, menjelaskan secara detail algoritma dan fitur melakukan operasi pengurangan dan penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda. Dengan bantuan buku pedoman, guru lebih mudah mengembangkan kemampuan siswa dalam melakukan operasi pecahan aljabar. Selama pelajaran video, sejumlah contoh dipertimbangkan, solusinya dijelaskan secara rinci, dengan memperhatikan detail penting.
Penggunaan video pembelajaran dalam pembelajaran matematika memungkinkan guru dengan cepat mencapai tujuan pendidikan dan meningkatkan efektivitas pengajaran. Kejelasan demonstrasi membantu siswa mengingat materi dan menguasainya lebih dalam, sehingga video dapat digunakan untuk menemani penjelasan guru. Jika video ini digunakan sebagai bagian dari pembelajaran, maka waktu guru dibebastugaskan untuk meningkatkan pekerjaan individu dan menggunakan alat pengajaran lainnya untuk meningkatkan efisiensi pengajaran.
Demonstrasi diawali dengan pengenalan topik video pembelajaran. Perlu diketahui bahwa melakukan operasi pengurangan dan penjumlahan pecahan aljabar sama dengan melakukan operasi pecahan biasa. Mekanisme pengurangan dan penjumlahan untuk pecahan biasa serupa - pecahan dibawa ke penyebut yang sama, dan kemudian operasi itu sendiri dilakukan secara langsung.
Algoritme untuk mengurangi dan menjumlahkan pecahan aljabar disuarakan dan dijelaskan di layar. Ini terdiri dari dua langkah - mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama dan kemudian menambahkan (atau mengurangkan) pecahan dengan penyebut yang sama. Penerapan algoritma dipertimbangkan menggunakan contoh mencari nilai ekspresi a/4b 2 -a 2 /6b 3, serta x/(x+y)-x/(x-y). Perlu dicatat bahwa untuk menyelesaikan contoh pertama, kedua pecahan perlu direduksi menjadi penyebut yang sama. Penyebutnya adalah 12b 3. Pengurangan pecahan tersebut menjadi penyebut 12b 3 telah dibahas secara detail pada video pelajaran sebelumnya. Dari hasil transformasi tersebut diperoleh dua pecahan yang penyebutnya sama 3ab/12b 3 dan 2a 2 /12b 3. Pecahan-pecahan ini dijumlahkan menurut aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama. Setelah dijumlahkan pembilang pecahannya, hasilnya adalah pecahan (3ab+2a 2)/12b 3. Berikut ini penjelasan penyelesaian dari contoh x/(x+y)-x/(x-y). Setelah pecahan tersebut direduksi menjadi penyebut yang sama, maka pecahan yang dihasilkan adalah (x 2 -xy)/(x 2 -y 2) dan (x 2 +xy)/(x 2 -y 2). Menurut aturan mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, kita melakukan operasi dengan pembilangnya, setelah itu kita memperoleh pecahan -2xy/(x 2 -y 2).
Perlu dicatat bahwa langkah tersulit dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda adalah membawanya ke penyebut yang sama. Diberikan tips bagaimana agar lebih mudah mengembangkan keterampilan dalam menyelesaikan permasalahan tersebut. Penyebut umum suatu pecahan dianalisis. Ini terdiri dari koefisien numerik dengan variabel yang dipangkatkan. Terlihat bahwa ekspresi tersebut dapat dibagi menjadi penyebut pecahan pertama dan kedua. Dalam hal ini, koefisien numerik 12 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien numerik pecahan 4 dan 6. Dan variabel b memuat penyebut 4b 2 dan 6b 3. Dalam hal ini, penyebut yang sama memuat variabel yang paling banyak di antara penyebut pecahan aslinya. Menemukan penyebut yang sama untuk x/(x+y) dan x/(x-y) juga dipertimbangkan. Diketahui penyebutnya (x+y)(x-y) dibagi dengan masing-masing penyebutnya. Jadi, penyelesaian masalahnya adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien numerik yang tersedia, serta mencari eksponen tertinggi untuk variabel huruf yang muncul beberapa kali. Kemudian, setelah mengumpulkan bagian-bagian ini menjadi produk total, diperoleh penyebut yang sama.
Algoritme untuk mencari penyebut yang sama untuk beberapa pecahan diumumkan dan dirumuskan di layar. Algoritma ini terdiri dari empat tahap, tahap pertama penyebutnya difaktorkan. Pada algoritma tahap kedua, kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien-koefisien yang tersedia yang termasuk dalam penyebut pecahan ditemukan. Pada tahap ketiga, suatu produk dikompilasi, yang mencakup faktor huruf dari penguraian penyebut, sedangkan eksponen huruf yang ada dalam beberapa penyebut dipilih semaksimal mungkin. Pada tahap keempat, faktor angka dan huruf yang terdapat pada tahap sebelumnya dikumpulkan menjadi satu produk. Ini akan menjadi penyebut yang sama. Sebuah catatan dibuat tentang algoritma yang dipertimbangkan. Pada contoh mencari penyebut pecahan a/4b 2 dan a 2 /6b 3 diketahui bahwa selain 12b 3 terdapat penyebut lain 24b 3 dan 48a 2 b 3. Dan untuk setiap kumpulan pecahan, Anda dapat menemukan banyak penyebut yang sama. Namun, penyebut 12b 3 adalah yang paling sederhana dan mudah digunakan, sehingga disebut juga penyebut persekutuan terkecil dari pecahan asal. Faktor tambahannya adalah hasil penyebut persekutuan parsial dan penyebut awal pecahan. Ditunjukkan secara rinci dengan menggunakan animasi bagaimana pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan faktor tambahan.
Selanjutnya diusulkan untuk mempertimbangkan algoritma pengurangan pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama dalam bentuk yang lebih sederhana, sehingga lebih mudah dipahami oleh siswa. Ini juga terdiri dari empat langkah, yang pertama adalah faktorisasi penyebut. Kemudian diusulkan untuk menuliskan semua faktor dari penyebut pertama, dan melengkapi hasil kali dengan faktor-faktor yang hilang dari penyebut yang tersisa. Dengan cara ini penyebut yang sama ditemukan. Faktor tambahan ditemukan untuk setiap pecahan dari faktor penyebut yang tidak termasuk dalam penyebut yang sama. Langkah keempat adalah menentukan pembilang baru untuk setiap pecahan, yang merupakan hasil kali pembilang lama dan faktor tambahannya. Kemudian setiap pecahan ditulis dengan pembilang dan penyebut yang baru.
Contoh berikut menjelaskan penyederhanaan ekspresi 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). Pada penyelesaian tahap pertama, penyebut setiap pecahan difaktorkan. Untuk produk, faktor persekutuannya adalah (2a+1). Dengan menambahkan hasil kali dengan faktor-faktor yang tersisa (2a-1) dan a, kita memperoleh penyebut yang sama dalam bentuk a(2a-1)(2a+1). Tabel bantu dibuat yang menunjukkan penyebut yang sama, penyebut, dan faktor tambahan. Pada penyelesaian tahap kedua, setiap pembilang dikalikan dengan faktor tambahan, dan dilakukan pengurangan. Hasilnya adalah pecahan (a 2 -a+1)/a(2a-1)(2a+1).
Contoh 3 mempertimbangkan penyederhanaan ekspresi b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Solusinya juga dianalisis langkah demi langkah, perhatian diberikan pada fitur-fitur penting dalam melakukan operasi, pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama, dan kinerja operasi dengan pembilang dijelaskan secara rinci. Dari hasil perhitungan dan setelah transformasi, diperoleh pecahan (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2.
Video pembelajaran “Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar yang Penyebutnya Berbeda” dapat menjadi sarana untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran matematika pada topik tersebut. Manual ini akan berguna bagi guru yang menyediakan pembelajaran jarak jauh untuk presentasi visual materi pendidikan. Bagi siswa, video pelajaran dapat direkomendasikan untuk belajar mandiri, karena menjelaskan secara rinci dan jelas fitur-fitur melakukan operasi yang sedang dipelajari.
