Ketergantungan dimana setiap nilai variabel bebasnya. Sifat dasar fungsi. Perlindungan informasi pribadi

Definisi fungsi, ruang lingkup dan kumpulan nilai. Definisi yang berkaitan dengan notasi fungsi. Definisi fungsi kompleks, numerik, nyata, monotonik, dan multinilai. Definisi batas maksimum, minimum, atas dan bawah untuk fungsi yang dibatasi.

Definisi
Fungsi kamu = f (X) disebut hukum (aturan, pemetaan), yang menyatakan, setiap elemen x dari himpunan X dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.

Himpunan X disebut domain fungsi.
Kumpulan elemen y ∈ kamu, yang memiliki gambar awal di himpunan X, disebut kumpulan nilai fungsi(atau jarak nilai).

Domain fungsi terkadang dipanggil kumpulan definisi atau banyak tugas fungsi.

Elemen x ∈ X ditelepon argumen fungsi atau variabel bebas.
Elemen y ∈ kamu ditelepon nilai fungsi atau variabel tak bebas.

Pemetaan f itu sendiri disebut karakteristik fungsinya.

Karakteristik f mempunyai sifat yang jika dimiliki oleh dua elemen dan dari himpunan definisi nilai-nilai yang setara: , Itu .

Simbol yang menunjukkan suatu sifat dapat sama dengan simbol elemen nilai fungsi. Artinya, Anda bisa menulisnya seperti ini: . Perlu diingat bahwa y adalah elemen dari himpunan nilai fungsi, dan merupakan aturan yang menghubungkan elemen x dengan elemen y.

Proses penghitungan suatu fungsi sendiri terdiri dari tiga langkah. Pada langkah pertama, kita memilih elemen x dari himpunan X. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan, elemen x dikaitkan dengan elemen himpunan Y. Pada langkah ketiga, elemen ini ditugaskan ke variabel y.

Nilai pribadi dari fungsi tersebut memanggil nilai suatu fungsi berdasarkan nilai (tertentu) yang dipilih dari argumennya.

Grafik fungsi f disebut himpunan berpasangan.

Fungsi kompleks

Definisi
Biarkan fungsinya dan diberikan. Selain itu, domain definisi fungsi f berisi himpunan nilai fungsi g. Kemudian setiap elemen t dari domain definisi fungsi g berkorespondensi dengan elemen x, dan x ini berkorespondensi dengan y. Korespondensi ini disebut fungsi yang kompleks: .

Fungsi kompleks disebut juga komposisi atau superposisi fungsi dan terkadang dilambangkan sebagai berikut: .

Dalam analisis matematis, secara umum diterima bahwa jika suatu ciri suatu fungsi dilambangkan dengan satu huruf atau simbol, maka ia menentukan korespondensi yang sama. Namun dalam disiplin ilmu lain, terdapat cara notasi lain, yaitu pemetaan dengan ciri yang sama, tetapi argumentasinya berbeda, dianggap berbeda. Artinya, pemetaannya dianggap berbeda. Mari kita beri contoh dari fisika. Katakanlah kita mempertimbangkan ketergantungan momentum pada koordinat. Dan marilah kita memiliki ketergantungan koordinat pada waktu. Maka ketergantungan impuls terhadap waktu merupakan fungsi yang kompleks. Namun untuk singkatnya, ditetapkan sebagai berikut: . Dengan pendekatan ini, dan fungsinya berbeda. Pada nilai-nilai yang identik argumen yang bisa mereka berikan arti yang berbeda. Notasi ini tidak diterima dalam matematika. Jika pengurangan diperlukan, Anda harus masuk karakteristik baru. Misalnya . Maka terlihat jelas apa adanya fungsi yang berbeda.

Fungsi yang valid

Domain suatu fungsi dan himpunan nilainya dapat berupa himpunan apa pun.
Misalnya, barisan bilangan adalah fungsi yang domain definisinya adalah himpunan bilangan asli, dan berdasarkan sekumpulan nilai - nyata atau bilangan kompleks.
Karya seni vektor juga merupakan fungsi, karena untuk dua vektor dan hanya terdapat satu nilai vektor. Di sini domain definisinya adalah himpunan semua pasangan vektor yang mungkin. Himpunan nilai adalah himpunan semua vektor.
Ekspresi Boolean adalah sebuah fungsi. Domain definisinya adalah himpunan bilangan real(atau himpunan apa pun yang mendefinisikan operasi perbandingan dengan elemen “0”). Himpunan nilai terdiri dari dua elemen - "benar" dan "salah".

Dalam analisis matematis peran besar memainkan fungsi numerik.

Fungsi numerik adalah fungsi yang nilainya berupa bilangan real atau kompleks.

Fungsi nyata atau nyata adalah fungsi yang nilainya berupa bilangan real.

Maksimum dan minimum

Bilangan real mempunyai operasi perbandingan. Oleh karena itu, himpunan nilai suatu fungsi nyata dapat dibatasi dan mempunyai nilai terbesar dan nilai terkecil.

Fungsi sebenarnya dipanggil dibatasi dari atas (dari bawah), jika terdapat bilangan M sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua:
.

Fungsi bilangan disebut terbatas, jika ada bilangan M sehingga untuk semua:
.

M Maksimum (minimal m) fungsi f, pada himpunan X, nilai fungsi tersebut dipanggil untuk nilai tertentu dari argumennya, yang untuk semua,
.

Tepi atas atau tepat batas atas Fungsi real yang dibatasi di atas adalah bilangan terkecil yang membatasi rentang nilainya dari atas. Artinya, ini adalah bilangan s yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya melebihi s′: .
Batas atas suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Batas atas dari fungsi batas atas

Tepi bawah atau tepat batasan yang lebih rendah Fungsi real yang dibatasi dari bawah adalah bilangan terbesar yang membatasi rentang nilainya dari bawah. Artinya, ini adalah bilangan i yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya lebih kecil dari i′: .
Nilai terkecil suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Nilai terkecil dari fungsi berbatas bawah tidak terbatas titik terpencil.

Jadi, apapun fungsi nyata, pada himpunan tak kosong X, mempunyai batas atas dan batas bawah. Namun tidak semua fungsi mempunyai nilai maksimum dan minimum.

Sebagai contoh, perhatikan suatu fungsi yang didefinisikan pada interval terbuka.
Dibatasi, pada interval ini, dari atas oleh nilainya 1 dan di bawah - nilainya 0 :
untuk semua .
Fungsi ini memiliki batas atas dan bawah:
.
Namun tidak ada maksimum dan minimumnya.

Jika kita perhatikan fungsi yang sama pada ruas tersebut, maka pada himpunan ini dibatasi atas dan bawah, mempunyai batas atas dan bawah serta mempunyai maksimum dan minimum:
untuk semua ;
;
.

Fungsi monoton

Pengertian fungsi naik dan turun
Misalkan fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan bilangan real X. Fungsinya disebut meningkat secara ketat (sangat menurun)
.
Fungsinya disebut tidak berkurang (tidak bertambah), jika untuk semua pertidaksamaan berikut berlaku:
.

Definisi fungsi monoton
Fungsinya disebut membosankan, apakah tidak berkurang atau tidak bertambah.

Fungsi multinilai

Contoh fungsi multinilai. Cabang-cabangnya ditandai dengan warna berbeda. Setiap cabang adalah sebuah fungsi.

Sebagai berikut dari definisi fungsi, setiap elemen x dari domain definisi dikaitkan hanya dengan satu elemen dari himpunan nilai. Namun ada pemetaan yang elemen x memiliki beberapa atau jumlah yang tak terbatas gambar-gambar

Sebagai contoh, perhatikan fungsinya arcsinus: . Ini adalah kebalikan dari fungsinya sinus dan ditentukan dari persamaan:
(1) .
Untuk nilai tertentu dari variabel bebas x, yang termasuk dalam interval, persamaan ini dipenuhi oleh banyak nilai y yang tak terhingga (lihat gambar).

Mari kita berikan batasan pada solusi persamaan (1). Membiarkan
(2) .
Dalam kondisi ini, menetapkan nilai, hanya ada satu solusi untuk persamaan (1). Artinya, korespondensi yang didefinisikan oleh persamaan (1) pada kondisi (2) adalah suatu fungsi.

Selain ketentuan (2), Anda dapat menerapkan ketentuan lain dalam bentuk:
(2.n) ,
dimana n adalah bilangan bulat. Hasilnya, untuk setiap nilai n, kita akan mendapatkan fungsinya sendiri-sendiri, berbeda dengan yang lain. Banyak fungsi serupa fungsi multinilai. Dan fungsi yang ditentukan dari (1) pada kondisi (2.n) adalah cabang dari fungsi multinilai.

Ini adalah sekumpulan fungsi yang ditentukan pada himpunan tertentu.

Cabang fungsi multinilai merupakan salah satu fungsi yang termasuk dalam fungsi multinilai.

Fungsi bernilai tunggal adalah sebuah fungsi.

Referensi:
O.I. Besov. Kuliah tentang analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Dengan baik analisis matematis. Jilid 1. Moskow, 2003.
CM. Nikolsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi kapan saja Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Apa itu fungsi? Ketergantungan fungsional, atau fungsi, adalah ketergantungan antara dua variabel yang masing-masing nilai variabel bebasnya bersesuaian makna tunggal variabel tak bebas. Variabel bebas disebut argumen, dan variabel terikat disebut fungsi dari argumen ini. Semua nilai yang diambil variabel bebas membentuk domain fungsi.

Ada beberapa cara untuk menentukan suatu fungsi: 1. Menggunakan tabel. 2.Grafik. 3.Menggunakan rumus. Grafik suatu fungsi adalah himpunan semua titik bidang koordinat, yang absisnya sama dengan nilai argumennya, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsinya.

Fungsi linier adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus berbentuk y=kx+b, dengan x adalah variabel bebas, k dan b adalah nomor yang diberikan. Untuk memplot grafik fungsi linear Cukup mencari koordinat dua titik pada grafik, tandai titik-titik tersebut pada bidang koordinat dan tarik garis lurus melalui titik-titik tersebut. Proporsionalitas langsung merupakan fungsi yang berbentuk y=kx, dimana x merupakan variabel bebas, k bukan sama dengan nol nomor. Grafik proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang melalui titik asal.

Membuat grafik fungsi linier Untuk membuat grafik fungsi linier, Anda harus: - memilih dua nilai variabel x (argumen), misalnya 0 dan 1; - menghitung nilai yang sesuai variabel y (fungsi). Lebih mudah untuk menuliskan hasil yang diperoleh dalam tabel x01 y - titik A dan B yang diperoleh digambarkan dalam sistem koordinat; - Hubungkan titik A dan B menggunakan penggaris. Mari kita gambarkan fungsi linier y = -3 x+6. x01 y63

Proporsionalitas terbalik adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus berbentuk y=k/x, dengan x adalah variabel bebas dan k adalah bilangan bukan nol. Daerah definisi fungsi tersebut adalah himpunan semua bilangan selain nol. Jika besaran x dan y berbanding terbalik, maka hubungan fungsional keduanya dinyatakan dengan persamaan y = k / x, dimana k adalah suatu konstan. Jadwal proporsionalitas terbalik terdapat garis lengkung yang terdiri dari dua cabang. Grafik ini disebut hiperbola. Bergantung pada tanda k, cabang-cabang hiperbola terletak pada kuarter koordinat 1 dan 3 (k positif), atau pada kuarter koordinat 2 dan 4 (k negatif). Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = k/x, dimana k adalah bilangan negatif.

KASUS KHUSUS FUNGSI LINEAR. y=kx, k0, b=0 - proporsionalitas langsung. Grafiknya adalah garis lurus yang melalui titik asal; y=b, k=0, b0. (b>0, di atas sumbu OX; b 0, di atas sumbu OX; b"> 0, di atas sumbu OX; b"> 0, di atas sumbu OX; b" title=" KASUS KHUSUS FUNGSI LINEAR. y=kx, k0, b=0 - proporsionalitas langsung,. Grafik - garis lurus yang melalui titik asal koordinat; y=b, k=0, b0. (b> 0, di atas sumbu OX;"> title="KASUS KHUSUS FUNGSI LINEAR. y=kx, k0, b=0 - proporsionalitas langsung. Grafiknya adalah garis lurus yang melalui titik asal; y=b, k=0, b0. (b>0, di atas sumbu OX; b"> !}

Definisi: Fungsi numerik adalah korespondensi yang menghubungkan setiap bilangan x dari suatu himpunan tertentu tunggal kamu.

Penamaan:

dimana x adalah variabel bebas (argumen), y adalah variabel terikat (fungsi). Himpunan nilai x disebut domain fungsi (dilambangkan D(f)). Himpunan nilai y disebut rentang nilai fungsi (dilambangkan E(f)). Grafik suatu fungsi adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat (x, f(x))

Metode untuk menentukan suatu fungsi.

1. metode analisis (menggunakan rumus matematika);
2. metode tabel (menggunakan tabel);
3. metode deskriptif (menggunakan deskripsi verbal);
4. metode grafis (menggunakan grafik).

Properti dasar fungsi.

1. Genap dan ganjil

Suatu fungsi dipanggil meskipun
– daerah definisi fungsi simetris terhadap nol
f(-x) = f(x)

Jadwal bahkan berfungsi simetris terhadap sumbunya 0 tahun

Suatu fungsi disebut ganjil jika
– daerah definisi fungsi simetris terhadap nol
– untuk setiap x dari domain definisi f(-x) = –f(x)

Jadwal fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

2. Frekuensi

Suatu fungsi f(x) disebut periodik dengan periode jika untuk sembarang x dari domain definisi f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Jadwal fungsi periodik terdiri dari fragmen identik yang berulang tanpa batas.

3. Monoton (bertambah, berkurang)

Fungsi f(x) meningkat pada himpunan P jika untuk sembarang x 1 dan x 2 dari himpunan ini sedemikian sehingga x 1

Fungsi f(x) berkurang pada himpunan P jika untuk sembarang x 1 dan x 2 dari himpunan ini, sehingga x 1 f(x 2) .

4. Ekstrem

Titik X max disebut titik maksimum fungsi f(x) jika untuk semua x dari suatu lingkungan X max pertidaksamaan f(x) f(X max) terpenuhi.

Nilai Y max =f(X max) disebut maksimum dari fungsi ini.

X max – titik maksimum
Maks – maksimal

Suatu titik X min disebut titik minimum fungsi f(x) jika untuk semua x dari suatu lingkungan X min, pertidaksamaan f(x) f(X min) terpenuhi.

Nilai Y min =f(X min) disebut nilai minimum dari fungsi ini.

X mnt – poin minimum
Y mnt – minimal

X min , X max – titik ekstrem
Y min , Y max – ekstrim.

5. Nol dari fungsi tersebut

Nol suatu fungsi y = f(x) adalah nilai argumen x yang membuat fungsi tersebut menjadi nol: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – nol dari fungsi y = f(x).

Tugas dan tes pada topik "Sifat dasar suatu fungsi"

• Properti Fungsi - Fungsi numerik kelas 9

  Pelajaran: 2 Tugas: 11 Tes: 1

• Sifat-sifat logaritma - Demonstratif dan fungsi logaritma Kelas 11

  Pelajaran: 2 Tugas: 14 Tes: 1

• Fungsi akar kuadrat, sifat-sifatnya dan grafiknya - Fungsi akar pangkat dua. Sifat-sifat akar kuadrat kelas 8

  Pelajaran: 1 Tugas: 9 Tes: 1

• Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya - Derajat dan akar. Fungsi daya Kelas 11

  Pelajaran: 4 Tugas: 14 Tes: 1

• Fungsi - Topik Penting untuk mengulang Ujian Negara Bersatu dalam matematika

  Tugas: 24

Setelah mempelajari topik ini, Anda seharusnya dapat menemukan domain definisinya berbagai fungsi, menentukan interval monotonisitas suatu fungsi dengan menggunakan grafik, memeriksa fungsi kegenapan dan keanehan. Mari pertimbangkan solusinya tugas serupa menggunakan contoh berikut.

Contoh.

1. Temukan domain definisi fungsi.

Larutan: domain definisi fungsi ditemukan dari kondisi

KULIAH 1. KETERGANTUNGAN FUNGSIONAL.

1. Konsep fungsi

Konsep fungsi beserta konsep bilangan dan ukuran variabel, adalah salah satu konsep terpenting matematika modern. Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi alam, kita sering menjumpai ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lain yang disebut ketergantungan fungsional.

Ketergantungan fungsional suatu besaran (y) pada besaran lain (x) berarti bahwa setiap nilai x berhubungan dengan satu nilai y. Nilai x disebut variabel bebas, dan y disebut variabel terikat, atau fungsi dari variabel tersebut. Dikatakan juga bahwa x adalah argumen dari fungsi y.

Istilah “fungsi” pertama kali diperkenalkan pada tahun 1692 oleh Gottfried Wilhelm Leibniz.

1. Luas S suatu persegi merupakan fungsi dari panjang a sisinya: S = a2. 2. Volume V bola dapat dinyatakan dalam jari-jari R bola:

V = 4 3 πR3 .

3. Volume kerucut V dengan tinggi tertentu h bergantung pada jari-jari r alasnya:

V = 1 3 πr2 jam.

4. Misalkan lintasan z yang dilalui benda yang jatuh bebas bergantung pada waktu t,

berlalu sejak musim gugur dimulai. Ketergantungan ini dinyatakan dengan rumus z = gt 2 2 (g percepatan jatuh bebas).

Definisi 1. Jika setiap nilai yang dapat diambil oleh suatu variabel x, menurut suatu aturan atau hukum, diasosiasikan dengan satu nilai nilai tertentu variabel y, maka dikatakan bahwa y adalah fungsi bernilai tunggal dari x, dan menyatakan y = f (x).

Himpunan semua nilai argumen x yang fungsi y = f(x) terdefinisi disebut domain definisi fungsi ini (O.O.F.).

Himpunan semua nilai yang diambil oleh variabel y disebut domain nilai fungsi (O.Z.F.) dari fungsi y = f(x).

Suatu fungsi disebut meskipun untuk sembarang x dari domain definisi persamaan f (−x) = f (x) berlaku.

Suatu fungsi disebut ganjil jika untuk sembarang x dari domain definisi persamaan f (−x) = −f (x) berlaku.

Suatu fungsi disebut periodik dengan periode T > 0 jika, untuk sembarang x dari daerah tersebut

Larutan. Domain definisi arcsinus adalah himpunan titik dari segmen [−1, 1]. Akibatnya, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian ketimpangan

Jadi, f (−x) = −f (x), yaitu fungsinya ganjil.

f (x + 2π) = tan(x + 2π) sin(3x + 2π) + cot(2x + 2π) =

Tg x sin 3x + cot 2x = f (x).

Jadi, f (x + 2π) = f (x), yaitu fungsi periodik dengan periode 2π.

2. Metode untuk menentukan suatu fungsi

Metode analisisnya adalah dengan menentukan suatu fungsi menggunakan rumus atau persamaan.

Contoh: y = sin x, y = x2, y2 + x2 = 1, dst.

Jika persamaan yang digunakan untuk menentukan fungsi tersebut tidak terselesaikan terhadap y, maka fungsi tersebut disebut implisit. Ketika solusi seperti itu memungkinkan, fungsi implisit dapat digunakan bentuk eksplisit, yaitu ke bentuk y = f (x) .

Misalnya, persamaan 2x + 3y − 5 = 0 dapat dipandang sebagai fungsi implisit. Setelah menyelesaikannya untuk y, kita mendapatkan fungsi yang sama, tetapi dalam bentuk eksplisit:

kamu = 5 − 2x.

Perhatikan kapan cara analitis saat menentukan suatu fungsi, ada kalanya fungsi tersebut ditentukan bukan oleh satu, tetapi oleh beberapa rumus, misalnya:

Metode tabular adalah cara menentukan suatu fungsi menggunakan tabel. Contoh tugas tersebut adalah tabel fungsi trigonometri, logaritma, dll. Metode tabel untuk menentukan suatu fungsi banyak digunakan di berbagai macam eksperimen dan observasi. Tabel mudah digunakan, namun kelemahan metode ini adalah fungsinya tidak ditentukan untuk semua nilai argumen.

Metode grafis. Grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan titik (x, y) pada bidang XOY yang koordinatnya dihubungkan oleh relasi y = f (x).

Keuntungan metode grafis dalam menentukan suatu fungsi adalah kejelasannya. Metode grafis untuk menentukan suatu fungsi digunakan saat mengoperasikan berbagai perangkat perekam. Dalam dunia kedokteran, misalnya, kerja jantung dianalisis menggunakan kardiograf.

Fungsi pangkat, eksponensial, logaritma, trigonometri, invers trigonometri, konstanta (konstanta) disebut fungsi dasar dasar.

Grafik fungsi dasar dasar

3. Fungsi multinilai

Terkadang Anda harus mempertimbangkan situasi di mana setiap nilai variabel independen x dikaitkan dengan beberapa nilai y. Dalam hal ini mereka mengatakan demikian

untuk √ x > 0: untuk setiap bilangan positif terdapat dua bilangan real,

berbeda tandanya, yang kuadratnya sama dengan x. Adapun fungsi Arcsinx cocok dengan setiap nilai x dari segmen [−1, 1] himpunan tak terbatas nilai y yang dapat ditulis dengan rumus

y = (−1)k busursin x + πk, (k = 0, 2, ...).

Jika Anda harus menganggap suatu fungsi sebagai multinilai, maka hal ini harus dinyatakan secara spesifik.

4. Fungsi terbalik

Jika persamaan y = f (x) dapat diselesaikan secara unik terhadap x, maka fungsi x = g(y) dikatakan invers dari y = f (x). Dilambangkan dengan x = f −1 (y) . Selain itu, y ≡ f (f−1 (y)).

Terkadang notasi standar digunakan: x dipahami sebagai variabel bebas, dan y dipahami sebagai fungsi, yaitu variabel terikat. Pada kasus ini fungsi terbalik harus ditulis dalam bentuk y = g(x) .

Misalnya, kita dapat mengatakan bahwa fungsi y = 2x dan y = log2 x saling invers. Untuk memperoleh grafik fungsi invers y = g(x) dari grafik fungsi tertentu y = f (x), cukup dengan menampilkan grafik pertama secara simetris terhadap garis bagi koordinat ke-1 dan ke-3 sudut.

Contoh 5. Diberikan fungsi y = 1 − 2−x . Temukan fungsi inversnya.

2−x = 1 − y, x =− log(1 − y) .lg 2

Domain definisi fungsi (O.O.F.) −∞< y < 1 .

5. Fungsi kompleks

Misalkan variabel y bergantung pada variabel u, yang selanjutnya bergantung pada variabel x: y = f (u), u = ϕ(x) . Kemudian, ketika x berubah, u juga akan berubah, dan oleh karena itu y juga akan berubah. Artinya y adalah fungsi dari x: y = f (ϕ(x)). Fungsi ini disebut fungsi kompleks (atau fungsi dari suatu fungsi), variabel u adalah perantara. Yang ditentukan fungsi yang kompleks disebut juga superposisi fungsi f dan ϕ.

Contoh 6. Diberikan suatu fungsi f (x) = arccos(log(x)) . Temukan a) f (10 1 ); b)f(1); c) f (10).

a) f (10 1 ) = arccos(log(10 1 )) = arccos(−1) = π.

b), c) hitung sendiri.

Fungsi apa pun yang diperoleh dari fungsi dasar dasar dengan cara nomor terbatas superposisi dan empat operasi aritmatika, ditelepon fungsi dasar. Misalnya, polinomial berderajat n adalah fungsi dasar.

6. Metode parametrik untuk menentukan suatu fungsi

Suatu fungsi dikatakan ditentukan secara parametrik jika ketergantungan y pada x ditentukan menggunakan parameter t: dimana t berjalan pada beberapa nilai numerik.

Jika kita memplot titik-titik ini pada bidang XOY, kita dapat melihat bahwa dengan perubahan terus menerus pada t kita mendapatkan lingkaran dengan jari-jari satu dan berpusat di titik asal. Atau bisa juga dengan cara lain, kecualikan parameter t, lalu x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1.

7. Fungsi grafik

Mari kita pertimbangkan transformasi grafik fungsi yang paling sederhana.

1. Grafik fungsi y = f (x + a) diperoleh dari grafik fungsi y = f (x) dengan cara menggesernya secara paralel sepanjang sumbu Ox sebesar |a| satuan skala dalam arah, tanda yang berlawanan A.

2. Grafik fungsi y = f (kx) (k >

dengan “menekan”nya ke arah sumbu Oy dengan faktor k untuk k > 1 dan dengan “meregangkannya” dari sumbu Oy dengan faktor 1/k di

k< 1.

3. Grafik fungsi y = kf (x) (k > 0) diperoleh dari grafik fungsi y = f (x)

dengan “meregangkan” dari sumbu Ox dengan faktor k untuk k > 1 dan dengan “menekan” ke arah sumbu Ox dengan faktor 1/k pada

k< 1.

4. Grafik fungsi y = f (x) + b diperoleh dari grafik fungsi y = f (x) dengan cara menggesernya secara paralel sepanjang sumbu Oy sebesar |b| satuan skala yang arahnya berimpit dengan tanda b.

5. Grafik fungsi y = −f (x) simetris dengan grafik fungsi y = f (x) terhadap sumbu Ox.

Pertimbangkan untuk membuat grafik fungsi y = kf (mx + b) + a dengan mentransformasikan grafik fungsi y = f (x). Mari kita lakukan transformasi identitas terlebih dahulu

Sekarang, dengan menerapkan transformasi 1 – 5 secara berurutan, kita membuat grafik fungsi yang diperlukan.

Contoh 8. Buatlah grafik fungsi y = 3 sin(2x + 4) dengan mentransformasikan grafik fungsi y = sin x.

Larutan. Mari kita lakukan transformasi identitas

y = 3 dosa(2x + 4) = 3 dosa 2(x + 2).

Kami akan membuat grafik fungsi dengan urutan sebagai berikut. 1. Buatlah grafik fungsi y = sin x pada ruas tersebut.

2. Grafik fungsi y = 2 sin x diperoleh dengan mengompresi grafik fungsi y = sin x sebanyak setengah sumbu absis.

3. Untuk membuat grafik fungsi y = sin 2(x + 2), Anda perlu memindahkan grafik fungsi y = sin 2x ke kiri sepanjang sumbu absis sebanyak dua satuan.

4. Kita peroleh grafik fungsi y = 3 sin 2(x + 2) dari grafik fungsi y = sin 2(x + 2) dengan merentangkannya sepanjang ordinat sebanyak tiga kali.

I.y = dosa x. II. y = dosa 2x.

AKU AKU AKU. kamu = dosa 2(x + 2). IV. kamu = 3 dosa 2(x + 2).