Kalkulator volume trapesium dalam m3. Piramida. Piramida terpotong. Piramida sebagai sosok tiga dimensi

Kemampuan menghitung volume bangun ruang penting dalam menyelesaikan deret masalah praktis dalam geometri. Salah satu figur yang paling umum adalah piramida. Pada artikel ini kita akan membahas piramida penuh dan terpotong.

Piramida sebagai sosok tiga dimensi

Semua orang tahu tentang Piramida Mesir, jadi dia punya gambaran bagus tentang sosok apa kita akan bicara. Namun, struktur batu Mesir hanyalah kasus khusus dari sekelompok besar piramida.

Objek geometris yang dipertimbangkan secara umum adalah dasar poligonal, yang setiap titik sudutnya terhubung ke suatu titik tertentu dalam ruang yang bukan termasuk dalam bidang alasnya. Definisi ini menghasilkan bangun datar yang terdiri dari satu n-gon dan n segitiga.

Setiap piramida terdiri dari n+1 sisi, 2*n sisi, dan n+1 simpul. Karena bangun tersebut adalah polihedron sempurna, jumlah elemen yang ditandai mematuhi persamaan Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon yang terletak di alasnya memberi nama pada piramida, misalnya segitiga, pentagonal, dan sebagainya. Set piramida dengan karena alasan yang berbeda ditunjukkan pada foto di bawah ini.

Titik di mana n segitiga suatu bangun terhubung disebut titik puncak limas. Jika sebuah garis tegak lurus diturunkan darinya ke alas dan memotongnya di pusat geometri, maka bangun tersebut disebut garis lurus. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka terjadilah piramida miring.

Bangun datar yang alasnya dibentuk oleh n-gon sama sisi (segitiga) disebut beraturan.

Rumus volume piramida

Untuk menghitung volume limas, kita akan menggunakan kalkulus integral. Untuk melakukan ini, kita membagi gambar dengan memotong bidang yang sejajar dengan alasnya menjadi jumlah yang tak terbatas lapisan tipis. Gambar di bawah menunjukkan limas segi empat dengan tinggi h dan panjang sisi L, yang segi empatnya menandai lapisan tipis bagian tersebut.

Luas setiap lapisan tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Disini A 0 adalah luas alasnya, z adalah nilai koordinat vertikal. Terlihat jika z = 0, maka rumusnya memberikan nilai A 0.

Untuk mendapatkan rumus volume limas, Anda harus menghitung integral seluruh tinggi bangun, yaitu:

V = ∫ jam 0 (A(z)*dz).

Mengganti ketergantungan A(z) dan menghitung antiturunan, kita sampai pada ekspresi:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| jam 0 = 1/3*A 0 *jam.

Kita telah memperoleh rumus volume limas. Untuk mencari nilai V, cukup kalikan tinggi bangun dengan luas alasnya, lalu bagi hasilnya dengan tiga.

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan valid untuk menghitung volume piramida jenis apa pun. Artinya, ia dapat dimiringkan, dan basisnya dapat berupa n-gon yang berubah-ubah.

dan volumenya

Diterima pada paragraf di atas rumus umum untuk volume dapat ditentukan dalam kasus piramida dengan alasan yang tepat. Luas alas tersebut dihitung dengan rumus berikut:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Di sini L adalah panjang sisi poligon beraturan dengan n titik sudut. Simbol pi adalah angka pi.

Mengganti ekspresi A 0 ke dalam rumus umum, kita memperoleh volume piramida biasa:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Misalnya, untuk limas segitiga, rumus ini menghasilkan ekspresi berikut:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Untuk limas segi empat beraturan, rumus volumenya berbentuk:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Menentukan volume piramida beraturan memerlukan pengetahuan tentang sisi alasnya dan tinggi bangunnya.

Piramida terpotong

Misalkan kita mengambil sebuah piramida sembarang dan memotong bagian permukaan lateralnya yang berisi titik puncak. Sosok yang tersisa disebut piramida terpotong. Sudah terdiri dari dua n alas gonal dan n trapesium yang menghubungkannya. Jika bidang potong sejajar dengan alas gambar, maka terbentuklah limas terpotong dengan alas sejajar yang serupa. Artinya, panjang salah satu sisi dapat diperoleh dengan mengalikan panjang sisi lainnya dengan koefisien k tertentu.

Gambar di atas menunjukkan yang benar terpotong pangkalan atas itu, seperti yang lebih rendah, dibentuk oleh segi enam beraturan.

Rumus yang dapat diturunkan menggunakan sesuatu seperti ini: kalkulus integral, memiliki bentuk:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Dimana A 0 dan A 1 masing-masing adalah luas alas bawah (besar) dan atas (kecil). Variabel h menunjukkan tinggi piramida terpotong.

Volume piramida Cheops

Menarik untuk memecahkan masalah menentukan volume yang terdapat di dalam piramida Mesir terbesar.

Pada tahun 1984, ahli Mesir Kuno asal Inggris Mark Lehner dan Jon Goodman mendirikan dimensi yang tepat Piramida Cheops. Ketinggian aslinya adalah 146,50 meter (saat ini sekitar 137 meter). Panjang rata-rata masing-masing keempat sisi bangunan berukuran 230.363 meter. Dasar piramida berbentuk persegi dengan presisi tinggi.

Mari kita gunakan angka-angka di bawah ini untuk menentukan volume batu raksasa ini. Karena piramida berbentuk segi empat beraturan, maka rumusnya berlaku:

Mengganti angka-angka tersebut, kita mendapatkan:

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.

Volume piramida Cheops hampir 2,6 juta m3. Sebagai perbandingan, kami mencatat bahwa kolam renang Olimpiade memiliki volume 2,5 ribu m 3. Artinya, untuk mengisi seluruh piramida Cheops, Anda memerlukan lebih dari 1000 kumpulan seperti itu!

Piramida. Piramida terpotong

Piramida adalah polihedron yang salah satu wajahnya berbentuk poligon ( basis ), dan semua sisi lainnya berbentuk segitiga dengan atasan umum (wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida itu disebut benar , jika dasarnya adalah poligon beraturan dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat .



Tulang rusuk samping piramida adalah sisi sisi muka yang tidak termasuk alasnya Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi lateral limas beraturan sama besar satu sama lain, semua sisi sisinya sama segitiga sama kaki. Tinggi sisi sisi limas beraturan yang ditarik dari puncaknya disebut apotema . Bagian diagonal disebut bagian piramida oleh sebuah bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Luas permukaan lateral piramida adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Daerah permukaan penuh disebut jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah limas semua sisi lateralnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.

2. Jika dalam sebuah limas semua rusuk lateralnya mempunyai panjang yang sama, kemudian bagian atas limas diproyeksikan ke tengah lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.

3. Jika semua muka dalam sebuah limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat pada alasnya.

Untuk menghitung volume limas sembarang, rumus yang benar adalah:

Di mana V- volume;

basis S– daerah pangkalan;

H– tinggi piramida.

Untuk piramida beraturan, rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

ha– apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

basis S– daerah pangkalan;

V– volume piramida biasa.

Piramida terpotong disebut bagian piramida yang tertutup antara alas dan bidang potong, sejajar dengan alasnya piramida (Gbr. 17). Piramida terpotong biasa adalah bagian dari limas beraturan yang diapit di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas.

Alasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping – trapesium. Tinggi piramida terpotong adalah jarak antara alasnya. Diagonal piramida terpotong adalah ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang tidak terletak pada satu sisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida yang terpotong oleh sebuah bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.


Untuk piramida terpotong rumus berikut ini valid:

(4)

Di mana S 1 , S 2 – area pangkalan atas dan bawah;

S penuh– total luas permukaan;

sisi S– luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V– volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong beraturan, rumusnya benar:

Di mana P 1 , P 2 – keliling alasnya;

ha- apotema dari piramida terpotong biasa.

Contoh 1. Di kanan piramida segitiga sudut dihedral pada alasnya adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tulang rusuk lateral ke bidang dasar.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).


Piramidanya benar, artinya di bagian dasarnya segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar. Sudut dihedral di alasnya - ini adalah sudut kemiringan sisi sisi piramida terhadap bidang alasnya. Sudut linier akan ada sudut A antara dua garis tegak lurus: dll. Bagian atas piramida diproyeksikan di pusat segitiga (pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis segitiga ABC). Sudut kemiringan tepi samping (misalnya S.B.) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya pada bidang alasnya. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmennya BD sama dengan 3 A. Dot TENTANG segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita temukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2. Hitunglah volume limas segi empat beraturan terpotong jika diagonal-diagonal alasnya sama dengan cm dan cm, dan tingginya 4 cm.

Larutan. Untuk mencari volume limas terpotong, kita menggunakan rumus (4). Untuk mencari luas alasnya, Anda perlu mencari sisi-sisi persegi alasnya, dengan mengetahui diagonalnya. Panjang sisi alasnya masing-masing sama dengan 2 cm dan 8 cm. Artinya luas alasnya dan dengan memasukkan semua data ke dalam rumus, kita menghitung volume limas yang terpotong:

Menjawab: 112cm3.

Contoh 3. Hitunglah luas sisi sisi piramida terpotong berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tinggi limasnya 2 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).


Sisi sisi piramida ini adalah trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Alasnya diberikan sesuai syarat, hanya saja tingginya masih belum diketahui. Kami akan menemukannya dari mana A 1 E tegak lurus dari suatu titik A 1 pada bidang alas bawah, A 1 D– tegak lurus dari A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, karena ini adalah tinggi limas. Mencari DE Mari kita buat gambar tambahan yang memperlihatkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG– proyeksi pusat alas atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain OKE– jari-jari tertulis dalam lingkaran dan OM– jari-jari tertulis dalam lingkaran:

MK = DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:


Menjawab:

Contoh 4. Di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki, yang alasnya A Dan B (A> B). Setiap tepi samping membentuk sudut yang sama dengan bidang alas limas J. Temukan total luas permukaan piramida.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Total luas permukaan piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua permukaan limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka titik sudutnya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya. Dot TENTANG– proyeksi titik S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang pangkalan. Dengan teorema luas proyeksi ortogonal sosok datar kita mendapatkan:


Demikian juga maksudnya Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari luas trapesium ABCD. Mari menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG– pusat lingkaran pada trapesium.


Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium, maka atau Dari teorema Pythagoras kita punya

  • 09.10.2014

    Preamplifier yang ditunjukkan pada gambar dirancang untuk digunakan dengan 4 jenis sumber suara, misalnya mikrofon, pemutar CD, radio, dll. Dalam hal ini, preamplifier memiliki satu input, yang dapat mengubah sensitivitas dari 50 mV menjadi 500 mV. tegangan keluaran penguat 1000mV. Menghubungkan sumber yang berbeda sinyal saat berpindah saklar SA1, kita selalu mendapatkan ...

  • 20.09.2014

    Catu daya dirancang untuk beban 15…20 W. Sumbernya dibuat sesuai dengan rangkaian konverter frekuensi tinggi pulsa satu siklus. Transistor digunakan untuk merakit osilator mandiri yang beroperasi pada frekuensi 20…40 kHz. Frekuensi disesuaikan dengan kapasitansi C5. Elemen VD5, VD6 dan C6 membentuk rangkaian awal osilator. Di sirkuit sekunder setelah penyearah jembatan terdapat stabilizer linier konvensional pada sirkuit mikro, yang memungkinkan Anda memiliki ...

  • 28.09.2014

    Gambar tersebut menunjukkan generator berdasarkan sirkuit mikro K174XA11, yang frekuensinya dikontrol oleh tegangan. Dengan mengubah kapasitansi C1 dari 560 menjadi 4700 pF, Anda bisa mendapatkan jangkauan luas frekuensi, sedangkan frekuensinya diatur dengan mengubah resistansi R4. Jadi, misalnya penulis menemukan bahwa, dengan C1 = 560pF, frekuensi generator dapat diubah menggunakan R4 dari 600Hz menjadi 200kHz, ...

  • 03.10.2014

    Unit ini dirancang untuk memberi daya pada ULF yang kuat, dirancang untuk tegangan keluaran ±27V dan beban hingga 3A di setiap lengan. Catu dayanya bipolar, dibuat dari transistor komposit lengkap KT825-KT827. Kedua lengan stabilizer dibuat menurut rangkaian yang sama, tetapi di lengan lainnya (tidak diperlihatkan) polaritas kapasitor diubah dan transistor dari jenis yang berbeda digunakan...