Alam dalam sastra Pada pelajaran matematika kelas 7 kita pertama kali bertemu persamaan dengan dua variabel , tetapi mereka dipelajari hanya dalam konteks sistem persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Itulah sebabnya serangkaian masalah di mana kondisi tertentu diperkenalkan pada koefisien persamaan yang membatasinya tidak lagi terlihat. Selain itu, metode penyelesaian masalah seperti “Memecahkan persamaan bilangan asli atau bilangan bulat” juga diabaikan, meskipun dalam Materi Ujian Negara Bersatu dan seterusnya ujian masuk
Permasalahan seperti ini semakin sering terjadi.
Persamaan manakah yang disebut persamaan dengan dua variabel?
Jadi misalnya persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 adalah persamaan dua variabel.
Perhatikan persamaan 2x – y = 1. Menjadi benar jika x = 2 dan y = 3, sehingga pasangan nilai variabel ini merupakan penyelesaian dari persamaan yang dimaksud.
Jadi, penyelesaian persamaan apa pun dengan dua variabel adalah himpunan pasangan terurut (x; y), nilai variabel yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat: A) punya satu solusi. Misalnya persamaan x 2 + 5y 2 = 0 memiliki (0; 0);
satu-satunya solusi B) memiliki banyak solusi.
Misalnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 solusi: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); V) tidak punya solusi.
Misalnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai solusi; G) mempunyai banyak solusi yang tak terhingga. Misalnya, x + y = 3. Solusi persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang jumlahnya sama dengan 3. Himpunan solusi persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dimana k adalah sembarang.
bilangan real Metode utama untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel adalah metode yang didasarkan pada memfaktorkan ekspresi, mengisolasi kuadrat lengkap, dan menggunakan properti persamaan kuadrat , ekspresi terbatas, metode penilaian
. Persamaan tersebut biasanya diubah menjadi bentuk yang dapat diperoleh sistem untuk menemukan hal-hal yang tidak diketahui.
Faktorisasi
Contoh 1.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Larutan.
Kami mengelompokkan suku-suku untuk tujuan faktorisasi:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Dari setiap tanda kurung kita ambil faktor persekutuannya:
kamu(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Kita mempunyai:
Dengan demikian, jawabannya semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.
Sama dengan nol tidak angka negatif
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Pengelompokan:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sekarang tiap tanda kurung bisa dijumlahkan menggunakan rumus selisih kuadrat.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Jumlah dua ekspresi non-negatif adalah nol hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.
Artinya x = 2/3 dan y = 3/2.
Jawaban: (2/3; 3/2).
Metode estimasi
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Di setiap tanda kurung kami memilih kotak lengkap:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita perkirakan 
arti ungkapan dalam tanda kurung.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka ruas kiri persamaan selalu minimal 2. Kesetaraan dapat terjadi jika:
(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, artinya x = -1, y = 2.
Jawaban: (-1; 2).
Mari berkenalan dengan metode lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel derajat kedua. Metode ini terdiri dari memperlakukan persamaan sebagai persegi terhadap beberapa variabel.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat untuk x. Mari kita cari diskriminannya:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan tersebut akan mempunyai solusi hanya jika D = 0, yaitu jika y = 4. Kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan awal dan temukan bahwa x = 3.
Jawaban: (3; 4).
Seringkali dalam persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, mereka menunjukkannya pembatasan variabel.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut menjadi x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Sisi kanan persamaan yang dihasilkan bila dibagi 5 menghasilkan sisa 2. Oleh karena itu, x 2 tidak habis dibagi 5. Tetapi kuadrat suatu bilangan yang tidak habis dibagi 5 menghasilkan sisa 1 atau 4. Jadi, persamaan tidak mungkin dan tidak ada solusi.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 6.
Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari kita soroti kuadrat sempurna di setiap braket:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ruas kiri persamaan selalu lebih besar atau sama dengan 3. Persamaan dimungkinkan asalkan |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Jadi, x = ± 2, y = -3.
Jawaban: (2; -3) dan (-2; -3).
Contoh 7.
Untuk setiap pasangan bilangan bulat negatif (x;y) memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung jumlah (x + y). Harap sebutkan jumlah terkecil dalam jawaban Anda.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari kita pilih kotak lengkap:
(x 2 – 2xy + kamu 2) + (kamu 2 + 4kamu + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Karena x dan y bilangan bulat, maka kuadratnya juga bilangan bulat. Kita mendapatkan jumlah kuadrat dua bilangan bulat sama dengan 37 jika kita menjumlahkan 1 + 36. Oleh karena itu:
(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.
Menyelesaikan sistem ini dan memperhitungkan bahwa x dan y negatif, kita menemukan solusi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Jawaban: -17.
Jangan putus asa jika Anda kesulitan menyelesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, Anda dapat menangani persamaan apa pun.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Subjek:Fungsi linier
Pelajaran:Persamaan linier dua variabel dan grafiknya
Kami berkenalan dengan konsepnya sumbu koordinat Dan bidang koordinat. Kita tahu bahwa setiap titik pada bidang secara unik mendefinisikan sepasang bilangan (x; y), dengan bilangan pertama adalah absis titik tersebut, dan bilangan kedua adalah ordinatnya.
Kita akan sering menjumpai persamaan linier dua variabel yang penyelesaiannya berupa pasangan bilangan yang dapat direpresentasikan pada bidang koordinat.
Persamaan bentuk:
Dimana a, b, c adalah bilangan, dan 
Disebut persamaan linier dengan dua variabel x dan y. Solusi untuk persamaan tersebut adalah pasangan angka x dan y, dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan tersebut kita akan memperoleh persamaan numerik yang benar.
Sepasang bilangan akan digambarkan pada bidang koordinat sebagai sebuah titik.
Untuk persamaan seperti itu kita akan melihat banyak penyelesaian, yaitu banyak pasangan bilangan, dan semua titik yang bersesuaian akan terletak pada garis lurus yang sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Untuk menemukan solusi persamaan ini, Anda perlu memilih pasangan bilangan x dan y yang sesuai:
Misalkan , maka persamaan awal berubah menjadi persamaan yang tidak diketahui:
,
Artinya, pasangan bilangan pertama yang merupakan solusi persamaan tertentu (0; 3). Kami mendapat poin A(0; 3)
Membiarkan . Kami mendapatkan persamaan asli dengan satu variabel: 
, dari sini kita mendapat poin B(3; 0)
Mari kita masukkan pasangan angka ke dalam tabel:
Mari kita gambarkan titik-titik pada grafik dan menggambar garis lurus: 
Perhatikan bahwa setiap titik pada garis tertentu akan menjadi solusi persamaan yang diberikan. Mari kita periksa - ambil suatu titik dengan koordinat dan gunakan grafik untuk menemukan koordinat keduanya. Jelas sekali pada saat ini. Mari kita gantikan pasangan ini angka ke dalam persamaan. Kita mendapatkan 0=0 - persamaan numerik yang benar, yang berarti sebuah titik yang terletak pada sebuah garis adalah solusinya.
Untuk saat ini, kami tidak dapat membuktikan bahwa titik mana pun yang terletak pada garis yang dibangun merupakan solusi persamaan tersebut, jadi kami menerima kebenarannya dan akan membuktikannya nanti.
Contoh 2 - buat grafik persamaannya:
Mari kita buat tabel; kita hanya memerlukan dua titik untuk membuat garis lurus, tetapi kita akan mengambil titik ketiga sebagai kendali:
Di kolom pertama kami mengambil yang nyaman, kami akan menemukannya dari:
, ,
Di kolom kedua kami mengambil yang nyaman, cari x:
, , ,
Mari kita periksa dan temukan:
, ,
Mari kita buat grafiknya:
Mari kita perbanyak persamaan yang diberikan oleh dua:
Dari transformasi tersebut himpunan solusi tidak akan berubah dan grafiknya akan tetap sama.
Kesimpulan: kita belajar menyelesaikan persamaan dengan dua variabel dan membuat grafiknya, kita belajar bahwa grafik persamaan tersebut adalah garis lurus dan setiap titik pada garis ini adalah solusi persamaan tersebut
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. M.: Pencerahan. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7.M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain. Aljabar 7.M.: Pencerahan. 2006
2. Portal untuk melihat keluarga ().
Tugas 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No. 960, Pasal 210;
Tugas 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No. 961, Pasal 210;
Tugas 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7, No. 962, Pasal 210;
Menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat adalah salah satu yang tertua masalah matematika. Sudah di awal milenium ke-2 SM. e. Orang Babilonia tahu bagaimana menyelesaikan sistem persamaan tersebut dengan dua variabel. Perkembangan terbesar bidang matematika ini telah tercapai Yunani Kuno. Sumber utama bagi kami adalah Aritmatika Diophantus yang berisi berbagai jenis persamaan. Di dalamnya, Diophantus (menurut namanya nama persamaannya adalah persamaan Diophantine) mengantisipasi sejumlah metode untuk mempelajari persamaan derajat 2 dan 3, yang baru berkembang pada abad ke-19.
Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah ax + y = 1 (persamaan dua variabel, derajat pertama) x2 + y2 = z2 (persamaan tiga variabel, derajat kedua)
Paling dipelajari sepenuhnya persamaan aljabar, keputusan mereka adalah salah satunya tugas yang paling penting aljabar pada abad 16-17.
Pada awal abad ke-19, karya P. Fermat, L. Euler, K. Gauss menyelidiki persamaan Diophantine yang berbentuk: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, di mana a, b, c , d, e, f adalah angka; x, y variabel yang tidak diketahui.
Ini adalah persamaan derajat 2 dengan dua hal yang tidak diketahui.
K. Gauss dibangun teori umum bentuk kuadrat, yang menjadi dasar penyelesaian jenis persamaan tertentu dengan dua variabel (persamaan Diophantine). Ada jumlah besar persamaan Diophantine tertentu diselesaikan dengan metode dasar. /p>
Materi teori.
Bagian dari pekerjaan ini akan menjelaskan bagian utama konsep matematika, definisi istilah diberikan, teorema dekomposisi dirumuskan menggunakan metode koefisien yang tidak pasti, yang dipelajari dan dipertimbangkan ketika menyelesaikan persamaan dengan dua variabel.
Definisi 1: Persamaan bentuk ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, dimana a, b, c, d, e, f adalah bilangan; x,y variabel yang tidak diketahui disebut persamaan derajat kedua dengan dua variabel.
DI DALAM kursus sekolah matematika, persamaan kuadrat ax2+inx+c=0 dipelajari, dimana angka a,b,c variabel x, dengan satu variabel. Ada banyak cara untuk menyelesaikan persamaan ini:
1. Mencari akar dengan menggunakan diskriminan;
2. Mencari akar-akar koefisien genap dalam (menurut D1=);
3. Mencari akar menggunakan teorema Vieta;
4. Menemukan akar dengan mengisolasi kuadrat sempurna dari binomial.
Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya atau membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak ada.
Definisi 2: Akar suatu persamaan adalah suatu bilangan yang jika disubstitusikan ke dalam suatu persamaan akan membentuk persamaan yang benar.
Definisi 3: Penyelesaian persamaan dua variabel disebut pasangan bilangan (x, y) jika disubstitusikan ke persamaan tersebut menjadi persamaan sejati.
Proses mencari solusi suatu persamaan seringkali terdiri dari penggantian persamaan tersebut persamaan setara, tetapi lebih mudah diselesaikan. Persamaan seperti ini disebut ekuivalen.
Definisi 4: Dua persamaan dikatakan ekuivalen jika setiap penyelesaian suatu persamaan merupakan penyelesaian persamaan yang lain, begitu pula sebaliknya, dan kedua persamaan tersebut dianggap berada dalam domain yang sama.
Untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel, gunakan teorema penguraian persamaan menjadi jumlah kuadrat sempurna (dengan metode koefisien tak tentu).
Untuk persamaan orde kedua ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), terjadi pemuaian a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Mari kita rumuskan kondisi terjadinya pemuaian (2) untuk persamaan (1) dua variabel.
Teorema: Jika koefisien a, b, c persamaan (1) memenuhi syarat a0 dan 4ab – c20, maka pemuaian (2) ditentukan secara unik.
Dengan kata lain persamaan (1) dengan dua variabel dapat direduksi menjadi bentuk (2) dengan menggunakan metode koefisien tak tentu jika syarat teorema terpenuhi.
Mari kita lihat contoh penerapan metode koefisien tak tentu.
METODE No.1. Selesaikan persamaan tersebut menggunakan metode koefisien tak tentu
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Mari kita periksa pemenuhan syarat teorema a=2, b=1, c=2, artinya a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Syarat teorema terpenuhi; dapat diperluas menurut rumus (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, berdasarkan kondisi teorema, kedua bagian identitas tersebut ekuivalen. Mari kita sederhanakan sisi kanan identitas.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Kita menyamakan koefisien variabel identik dengan pangkatnya.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Mari kita ambil sistem persamaan, selesaikan dan cari nilai koefisiennya.
7. Substitusikan koefisien-koefisien tersebut ke dalam (2), maka persamaannya akan berbentuk
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Jadi, persamaan aslinya ekuivalen dengan persamaan tersebut
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), persamaan ini setara dengan sistem dua persamaan linier.
Jawaban: (-1; 1).
Jika Anda memperhatikan jenis pemuaian (3), Anda akan melihat bahwa bentuknya identik dengan mengisolasi persegi lengkap dari persamaan kuadrat dengan satu variabel: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Mari kita terapkan teknik ini saat menyelesaikan persamaan dengan dua variabel. Mari kita selesaikan, dengan menggunakan pemilihan kuadrat lengkap, persamaan kuadrat dengan dua variabel yang telah diselesaikan menggunakan teorema.
METODE No.2: Selesaikan persamaan 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Penyelesaian: 1. Bayangkan 2x2 sebagai jumlah dua suku x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Mari kita kelompokkan suku-suku tersebut sedemikian rupa sehingga kita dapat menjumlahkannya menggunakan rumus persegi lengkap.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Pilih kotak lengkap dari ekspresi dalam tanda kurung.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Persamaan ini setara dengan sistem persamaan linier.
Jawaban: (-1;1).
Jika kita membandingkan hasilnya, kita dapat melihat bahwa persamaan yang diselesaikan dengan metode No. 1 menggunakan teorema dan metode koefisien tak tentu dan persamaan yang diselesaikan dengan metode No. 2 menggunakan ekstraksi kuadrat lengkap memiliki akar-akar yang sama.
Kesimpulan: Persamaan kuadrat dengan dua variabel dapat diperluas menjadi jumlah kuadrat dengan dua cara:
➢ Metode pertama adalah metode koefisien tak tentu yang didasarkan pada teorema dan ekspansi (2).
➢ Cara kedua adalah dengan menggunakan transformasi identitas, memungkinkan Anda memilih kotak lengkap secara berurutan.
Tentu saja, ketika menyelesaikan masalah, metode kedua lebih disukai, karena tidak memerlukan menghafal perluasan (2) dan kondisi.
Metode ini juga dapat digunakan untuk persamaan kuadrat dengan tiga variabel. Mengisolasi kuadrat lengkap dalam persamaan tersebut lebih memakan waktu. Saya akan melakukan transformasi seperti ini tahun depan.
Menarik untuk diperhatikan bahwa suatu fungsi yang berbentuk: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f disebut fungsi kuadrat dua variabel. Fungsi kuadrat termasuk peran penting dalam berbagai cabang matematika:
Dalam pemrograman matematika (pemrograman kuadrat)
DI DALAM aljabar linier dan geometri (bentuk kuadrat)
Secara teori persamaan diferensial(mengurangi persamaan linier orde kedua ke bentuk kanonik).
Saat menyelesaikan ini berbagai tugas, sebenarnya Anda harus menerapkan prosedur untuk mengisolasi kuadrat lengkap dari persamaan kuadrat (satu, dua atau lebih variabel).
Garis yang persamaannya digambarkan oleh persamaan kuadrat dua variabel disebut kurva orde kedua.
Ini adalah lingkaran, elips, hiperbola.
Saat membuat grafik kurva ini, metode isolasi persegi lengkap secara berurutan juga digunakan.
Mari kita lihat cara kerja metode pemilihan persegi lengkap secara berurutan menggunakan contoh spesifik.
Bagian praktis.
Selesaikan persamaan menggunakan metode mengisolasi kuadrat lengkap secara berurutan.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Jawaban:(-1;1).
2.x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Menjawab:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Jawaban:(-1;1).
Selesaikan persamaan:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(direduksi menjadi bentuk: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Jawaban: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(direduksi menjadi bentuk: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Jawaban: (-1; 1)
3.x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(direduksi menjadi bentuk: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Jawaban: (7; -7)
Kesimpulan.
Dalam hal ini karya ilmiah persamaan dengan dua variabel tingkat kedua dipelajari, dan metode penyelesaiannya dipertimbangkan. Tugas telah diselesaikan, dirumuskan dan dijelaskan lebih rinci. cara singkat solusi berdasarkan pada mengisolasi kuadrat lengkap dan mengganti persamaan dengan sistem persamaan yang setara, sehingga menghasilkan prosedur yang disederhanakan untuk menemukan akar persamaan dengan dua variabel.
Poin penting dari pekerjaan ini adalah bahwa teknik yang sedang dipertimbangkan digunakan ketika memecahkan berbagai masalah matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, membangun kurva orde kedua, dan menemukan nilai ekspresi terbesar (terkecil).
Oleh karena itu, teknik menguraikan persamaan orde kedua dengan dua variabel menjadi jumlah kuadrat memiliki penerapan paling banyak dalam matematika.
Pendekatan penulis terhadap topik ini bukanlah suatu kebetulan. Persamaan dengan dua variabel pertama kali ditemui pada mata pelajaran kelas 7. Satu persamaan dengan dua variabel mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga. Hal ini ditunjukkan dengan jelas oleh grafik fungsi linier, yang diberikan sebagai ax + by=c. Dalam kursus sekolah, siswa mempelajari sistem dua persamaan dengan dua variabel. Akibatnya, serangkaian masalah dengan kondisi terbatas pada koefisien persamaan, serta metode penyelesaiannya, tidak terlihat oleh guru dan, oleh karena itu, siswa.
Kita berbicara tentang menyelesaikan persamaan dengan dua bilangan bulat atau bilangan asli yang tidak diketahui.
Di sekolah, bilangan asli dan bilangan bulat dipelajari di kelas 4-6. Pada saat mereka lulus sekolah, tidak semua siswa mengingat perbedaan himpunan angka-angka tersebut.
Namun, permasalahan seperti “menyelesaikan persamaan bentuk ax + by=c dalam bilangan bulat” semakin banyak ditemukan pada ujian masuk universitas dan materi Unified State Examination.
Memecahkan persamaan yang tidak pasti mengembangkan pemikiran logis, kecerdasan, dan perhatian terhadap analisis.
Saya mengusulkan untuk mengembangkan beberapa pelajaran tentang topik ini. Saya tidak memiliki rekomendasi yang jelas mengenai waktu pelaksanaan pelajaran ini. Beberapa elemen juga dapat digunakan di kelas 7 (untuk kelas kuat). Pelajaran ini dapat dijadikan dasar dan dikembangkan mata kuliah pilihan kecil tentang pelatihan pra-kejuruan di kelas 9. Dan tentunya materi ini dapat digunakan di kelas 10-11 untuk persiapan ujian.
Tujuan pelajaran:
- pengulangan dan generalisasi pengetahuan pada topik “Persamaan orde pertama dan kedua”
- asuhan minat kognitif ke mata pelajaran akademis
- mengembangkan kemampuan menganalisis, membuat generalisasi, mentransfer pengetahuan ke situasi baru
Pelajaran 1.
Kemajuan pelajaran.
1) Organisasi. momen.
2) Memperbarui pengetahuan dasar.
Definisi. Persamaan linier dengan dua variabel disebut persamaan bentuk
mx + ny = k, dimana m, n, k adalah bilangan, x, y adalah variabel.
Contoh: 5x+2y=10
Definisi. Penyelesaian persamaan dua variabel adalah sepasang nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang sebenarnya.
Persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut ekuivalen.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Persamaan ini dapat memiliki sejumlah solusi. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil nilai x apa pun dan menemukan nilai y yang sesuai.
Misalkan x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Pasangan angka (2;1); (4;-4) – solusi persamaan (1).
Persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.
3) Latar belakang sejarah
Persamaan tak tentu (Diophantine) adalah persamaan yang mengandung lebih dari satu variabel.
Pada abad ke-3. IKLAN – Diophantus dari Alexandria menulis “Aritmatika”, di mana ia memperluas himpunan bilangan menjadi bilangan rasional dan memperkenalkan simbolisme aljabar.
Diophantus juga mempertimbangkan masalah penyelesaian persamaan tak tentu dan dia memberikan metode untuk menyelesaikan persamaan tak tentu derajat kedua dan ketiga.
4) Mempelajari materi baru.
Definisi: Persamaan Diophantine tak homogen orde satu dengan dua bilangan tak diketahui x, y adalah persamaan berbentuk mx + ny = k, dimana m, n, k, x, y Z k0
Pernyataan 1.
Jika suku bebas k pada persamaan (1) tidak habis dibagi bilangan terbesar pembagi persekutuan(GCD) bilangan m dan n, maka persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat.
Contoh: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 tidak habis dibagi 17, tidak ada penyelesaian bilangan bulat.
Misalkan k habis dibagi gcd (m, n). Dengan membagi seluruh koefisien, kita dapat memastikan bahwa m dan n menjadi relatif prima.
Pernyataan 2.
Jika m dan n persamaan (1) saling menguntungkan bilangan prima, maka persamaan ini mempunyai paling sedikit satu solusi.
Pernyataan 3.
Jika koefisien m dan n persamaan (1) adalah bilangan koprima, maka persamaan ini mempunyai banyak solusi yang tak terhingga:
Dimana (; ) adalah solusi persamaan (1), t Z
Definisi. Persamaan Diophantine homogen orde pertama dengan dua x, y yang tidak diketahui adalah persamaan berbentuk mx + ny = 0, dimana (2)
Pernyataan 4.
Jika m dan n adalah bilangan koprima, maka penyelesaian persamaan (2) mempunyai bentuk 
5) Pekerjaan rumah. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
- 9x – 18 tahun = 5
- x + kamu= xy
- Beberapa anak sedang memetik apel. Setiap anak laki-laki mengumpulkan 21 kg, dan anak perempuan mengumpulkan 15 kg. Total mereka mengumpulkan 174 kg. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan yang memetik apel?
Komentar. Pada pelajaran ini Tidak ada contoh penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat. Itu sebabnya pekerjaan rumah anak-anak memutuskan berdasarkan pernyataan 1 dan seleksi.
Pelajaran 2.
1) Momen organisasi
2) Memeriksa pekerjaan rumah
1) 9x – 18 tahun = 5
5 tidak habis dibagi 9; tidak ada penyelesaian dalam bilangan bulat.
Dengan menggunakan metode seleksi Anda dapat menemukan solusinya
Jawaban: (0;0), (2;2)
3) Mari kita buat persamaan:
Misalkan anak laki-laki adalah x, x Z, dan anak perempuan adalah y, y Z, maka kita dapat membuat persamaan 21x + 15y = 174
Banyak siswa, setelah menulis persamaan, tidak dapat menyelesaikannya.
Jawaban: 4 laki-laki, 6 perempuan.
3) Mempelajari materi baru
Ketika dihadapkan pada kesulitan dalam menyelesaikan pekerjaan rumah, siswa menjadi yakin akan perlunya mempelajari metode mereka untuk menyelesaikan persamaan tak tentu. Mari kita lihat beberapa di antaranya.
I. Metode menghitung sisa pembagian.
Contoh. Selesaikan persamaan bilangan bulat 3x – 4y = 1.
Ruas kiri persamaan habis dibagi 3, oleh karena itu ruas kanan harus habis dibagi. Mari kita pertimbangkan tiga kasus.
Jawaban: dimana m Z.
Metode yang dijelaskan mudah digunakan jika bilangan m dan n tidak kecil, tetapi dapat didekomposisi menjadi faktor sederhana.
Contoh: Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat.
Misalkan y = 4n, maka 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dibagi 4.
y = 4n+1, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n tidak habis dibagi 4.
y = 4n+2, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n tidak habis dibagi 4.
y = 4n+3, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n tidak habis dibagi 4.
Oleh karena itu y = 4n, maka
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Menjawab: , dimana n Z.
II. Persamaan tak tentu derajat 2
Hari ini dalam pelajaran kita hanya akan membahas solusi persamaan Diophantine orde kedua.
Dan dari semua jenis persamaan, kita akan mempertimbangkan kasus ketika kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat atau metode faktorisasi lainnya.
Contoh: Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.
13 adalah bilangan prima, sehingga hanya dapat difaktorkan dengan empat cara: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Mari kita pertimbangkan kasus-kasus ini
Jawaban: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Pekerjaan rumah.
Contoh. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
(x - kamu)(x + kamu)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| kamu = 0 | tidak cocok | tidak cocok |
| 2x = -4 | tidak cocok | tidak cocok |
| x = -2 | ||
| kamu = 0 |
Jawaban: (-2;0), (2;0).
Jawaban: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Jawaban: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Hasil. Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan bilangan bulat?
Metode penyelesaian persamaan tak tentu apa yang Anda ketahui?
Aplikasi:
Latihan untuk pelatihan.
1) Selesaikan dalam bilangan bulat.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11 tahun = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40 tahun = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Temukan solusi bilangan bulat non-negatif dari persamaan tersebut.
Alam dalam sastra Pada pelajaran matematika kelas 7 kita pertama kali bertemu, tetapi mereka dipelajari hanya dalam konteks sistem persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Itulah sebabnya serangkaian masalah di mana kondisi tertentu diperkenalkan pada koefisien persamaan yang membatasinya tidak lagi terlihat. Selain itu, metode penyelesaian soal seperti “Menyelesaikan persamaan bilangan asli atau bilangan bulat” juga diabaikan, meskipun soal semacam ini semakin sering ditemukan pada materi Ujian Negara Bersatu dan ujian masuk.
Permasalahan seperti ini semakin sering terjadi.
Persamaan manakah yang disebut persamaan dengan dua variabel?
Jadi misalnya persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 adalah persamaan dua variabel.
Perhatikan persamaan 2x – y = 1. Menjadi benar jika x = 2 dan y = 3, sehingga pasangan nilai variabel ini merupakan penyelesaian dari persamaan yang dimaksud.
Jadi, penyelesaian persamaan apa pun dengan dua variabel adalah himpunan pasangan terurut (x; y), nilai variabel yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat: A) Misalnya persamaan x 2 + 5y 2 = 0 mempunyai solusi unik (0; 0);
satu-satunya solusi B) memiliki banyak solusi.
Misalnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 solusi: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); V) tidak punya solusi.
Misalnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai solusi; G) Misalnya, x + y = 3. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang jumlahnya sama dengan 3. Himpunan penyelesaian persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dengan k adalah sembarang real nomor.
Metode utama penyelesaian persamaan dua variabel adalah metode yang didasarkan pada pemfaktoran ekspresi, isolasi kuadrat lengkap, penggunaan sifat-sifat persamaan kuadrat, ekspresi terbatas, dan metode estimasi. Persamaan tersebut biasanya diubah menjadi bentuk yang dapat diperoleh sistem untuk menemukan hal-hal yang tidak diketahui.
. Persamaan tersebut biasanya diubah menjadi bentuk yang dapat diperoleh sistem untuk menemukan hal-hal yang tidak diketahui.
Faktorisasi
Contoh 1.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Larutan.
Kami mengelompokkan suku-suku untuk tujuan faktorisasi:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Dari setiap tanda kurung kita ambil faktor persekutuannya:
kamu(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Kita mempunyai:
Dengan demikian, jawabannya semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.
Persamaan bilangan non-negatif dengan nol
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Pengelompokan:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sekarang tiap tanda kurung bisa dijumlahkan menggunakan rumus selisih kuadrat.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Jumlah dua ekspresi non-negatif adalah nol hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.
Artinya x = 2/3 dan y = 3/2.
Jawaban: (2/3; 3/2).
Metode estimasi
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Di setiap tanda kurung kami memilih kotak lengkap:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita perkirakan arti ungkapan dalam tanda kurung.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka ruas kiri persamaan selalu minimal 2. Kesetaraan dapat terjadi jika:
(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, artinya x = -1, y = 2.
Jawaban: (-1; 2).
Mari berkenalan dengan metode lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel derajat kedua. Metode ini terdiri dari memperlakukan persamaan sebagai persegi terhadap beberapa variabel.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat untuk x. Mari kita cari diskriminannya:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan tersebut akan mempunyai solusi hanya jika D = 0, yaitu jika y = 4. Kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan awal dan temukan bahwa x = 3.
Jawaban: (3; 4).
Seringkali dalam persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, mereka menunjukkannya pembatasan variabel.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ruas kanan persamaan yang dihasilkan jika dibagi 5 memberikan sisa 2. Oleh karena itu, x 2 tidak habis dibagi 5. Tetapi kuadrat dari a bilangan yang tidak habis dibagi 5 menghasilkan sisa 1 atau 4. Jadi persamaan tidak mungkin dan tidak ada penyelesaian.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 6.
Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari kita soroti kotak lengkap di setiap tanda kurung:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ruas kiri persamaan selalu lebih besar atau sama dengan 3. Persamaan dimungkinkan asalkan |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Jadi, x = ± 2, y = -3.
Jawaban: (2; -3) dan (-2; -3).
Contoh 7.
Untuk setiap pasangan bilangan bulat negatif (x;y) memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung jumlah (x + y). Harap sebutkan jumlah terkecil dalam jawaban Anda.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Mari kita pilih kotak lengkap:
(x 2 – 2xy + kamu 2) + (kamu 2 + 4kamu + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Karena x dan y bilangan bulat, maka kuadratnya juga bilangan bulat. Kita mendapatkan jumlah kuadrat dua bilangan bulat sama dengan 37 jika kita menjumlahkan 1 + 36. Oleh karena itu:
(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.
Menyelesaikan sistem ini dan memperhitungkan bahwa x dan y negatif, kita menemukan solusi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Jawaban: -17.
Jangan putus asa jika Anda kesulitan menyelesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, Anda dapat menangani persamaan apa pun.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
