Mari kita berikan contoh teori aksiomatik yang muncul dengan berbagai cara.
Contoh 1. Teori grup merupakan salah satu teori yang muncul pada jalur kedua. Cukup banyak objek yang diketahui memiliki banyak ciri umum. Diantaranya, khususnya, himpunan F1-1(M) dari semua pemetaan satu-ke-satu dari himpunan M ke dirinya sendiri, dianggap bersama dengan operasi superposisi pemetaan, himpunan Z dari semua bilangan bulat, dianggap bersama-sama dengan operasi penjumlahan bilangan bulat, himpunan V2 dari semua vektor pada bidang, dihitung bersama-sama dengan operasi penjumlahan vektor menurut aturan segitiga atau jajar genjang. Dengan menyatakan masing-masing himpunan ini dengan G, dan masing-masing operasi dengan * (dan menyebutnya komposisi elemen dari G), kita menemukan bahwa ketiga objek tertentu memiliki properti berikut:
G0. Untuk setiap a dan b dari G, komposisi a? in adalah elemen G yang terdefinisi secara unik.
G1. Untuk setiap a dan b dan c dari G (a?c) ? c = a? (v?s).
G2. Ada elemen e di G sehingga untuk setiap a dari G a? e = e? sebuah = sebuah.
G3. Untuk setiap a dari G terdapat a" dari G sehingga a? a" = a"? a = e.
Misalnya, elemen e, keberadaannya dinyatakan dalam properti G2, dalam kasus F1-1(M) adalah pemetaan identitas M ke M, dalam kasus Z - bilangan bulat 0, dalam kasus V2 - vektor nol. Pada sifat G3, elemen a" adalah invers transformasi f-1, kebalikan dari bilangan -m, kebalikan dari vektor BA untuk transformasi f, bilangan bulat m dan vektor AB. Pernyataan G0 - G3 merupakan sistem aksioma teori grup. Dari aksioma-aksioma ini kita dapat memperoleh berbagai teorema dan dengan demikian membangun teori aksiomatik grup.
Teorema 1. Terdapat tepat satu unsur identitas dalam suatu golongan.
Bukti: Dalam pandangan G2, kita hanya perlu membuktikan keunikannya saja. Mari kita asumsikan bahwa G memiliki dua elemen satuan -e1 dan e2, yaitu. berdasarkan G2, untuk setiap ae1?=a dan a?e2=a. Kemudian, khususnya, e1* e2= e2 dan e1* e2= e1. Oleh karena itu, berdasarkan G0 dan sifat persamaan e1= e2.
Teorema 2. Untuk setiap elemen grup terdapat tepat satu invers.
Bukti: Mengingat G3, yang perlu dibuktikan hanyalah keunikannya. Mari kita asumsikan bahwa dalam G untuk suatu elemen a terdapat dua invers a" dan a"", yaitu elemen sedemikian sehingga a"" ? a = e dan a? a" = e. " ? A) ? a" = a"" dan karena itu e? a" = a"" ? e. Oleh karena itu, menurut G2, bahwa a" = a"".
Dalam terminologi perkalian, invers dari a dilambangkan dengan a-1, lalu apa yang dimaksud dengan a-1? sebuah = sebuah? a-1= e, dimana merupakan satu-satunya elemen identitas dari G.
Teorema 3. Untuk sembarang unsur a, b, c, golongan G, dari a*b = a*c mengikuti =c, dan dari c*a = c*a mengikuti =c.
Bukti: Misalkan a*b = a*c. Maka a-1*(a*b) = (a-1*a)*b = e*b = c. Sebaliknya, a-1 * (a * b)= a-1 * (a * c) = (a-1 * a) * c = e * c = c. oleh karena itu, b = c. Misalkan b*a = c*a. Maka (a*a)*a-1= dalam* (a*a-1) = dalam *e = dalam. Sebaliknya (c*a)*a-1= c*(a*a-1) = c*e = c. Jadi di = c.
Contoh 2. Teori kongruensi (kesetaraan) segmen. S adalah himpunan semua segmen dan? suatu relasi yang disebut relasi kongruensi, sehingga ekspresi x? y berbunyi seperti ini: ruas x kongruen dengan ruas y. Mari kita pilih pernyataan berikut sebagai aksioma: K1. Untuk setiap x dari S x? X.
K2. Untuk sembarang elemen x, y, z dari S, jika x? z dan kamu? z, lalu x? kamu.
Mari kita buktikan teoremanya.
Teorema 1. Untuk sembarang elemen y dan z dari S, jika y? z, lalu z? kamu.
Bukti: Berdasarkan aksioma K2, dengan mensubstitusikan z sebagai ganti x, kita peroleh bahwa jika z? z dan kamu? z, lalu z? kamu. Sejak suku konjungsi z ? z benar berdasarkan aksioma K1, maka dapat dikeluarkan dari konjungsinya. Kami mengerti bagaimana jika kamu? z, lalu z? kamu.
Contoh 3. Teori aksiomatik bilangan asli dibangun oleh ahli matematika Italia G. Peano pada pergantian abad ke-19 dan ke-20. Konsep awalnya adalah: himpunan tak kosong N, relasi biner " dan elemen terbedakan 1. Aksioma yang dipilih adalah sebagai berikut:
(P1) (? x) (x" ? 1).
(P2) (?x, y) (x = y?x" = y")
(P3) (? x, y) (x" = y" ? x = y)
(P4) (Aksioma Induksi) (1?M ^ (? x)(x?M? x"?M)) ?M=N.
Aturan inferensi adalah aturan logika biasa Modus Ponens dan aturan substitusi.
Mari kita berikan bukti dari dua teorema yang langsung mengikuti aksioma ini.
Teorema 1. (? x) (x" ? x)
Bukti: Misalkan suatu himpunan. M = (x? N: x" ? x). Mari kita tunjukkan, dengan menggunakan aksioma induksi (P4), bahwa M = N.
A) 1?M, karena 1"? 1 menurut aksioma P1.
B) Misalkan x?M, yaitu. x" ? x. Kemudian, menurut aksioma P3, (x") " ? x". Oleh karena itu, menurut definisi, x" ?M.
Kondisi aksioma P4 terpenuhi. Maka menurut aksioma P4, M = N. Artinya (?x)(x" ?x).
Contoh 4. Konstruksi aksiomatik teori himpunan Cantor (“naif”) berdasarkan beberapa sistem aksioma. Secara total, kita akan mempertimbangkan tiga sistem aksioma.
Konsep awal teori T adalah operasi biner ?, ? (persimpangan dan penyatuan), operasi unary "(komplemen), operasi nullary 0 dan 1, menetapkan dua elemen berbeda - nol dan satuan. Sistem aksioma?1 teori ini simetris terhadap operasinya?, ?, 0, 1.
(A1)x? kamu = kamu? X.
(A2)x? kamu = kamu? X.
(A3)x? (kamu?z) = (x?kamu) ? (x?z).
(A4)x? (kamu?z) = (x?kamu) ? (x?z).
(A5)x? 1 = x.
(A6)x? 0 = x.
(A7)x? x" = 0.
(A8)x? x" = 1.
Konsep awal teori kedua T2 adalah operasi biner? dan operasi unary." Sistem aksioma? 2 teori ini, sebaliknya, bersifat asimetris, “bias” terhadap operasi?.
(B1)x? kamu = kamu? X.
(B2) (x?y) ? z = x? (kamu?z).
(Q3)x? kamu" = z ? z" ? X? kamu = x.
(Q4)x? kamu = x? X? kamu" = z? z".
Terakhir, pada teori ketiga T3, yang konsep awalnya adalah relasi biner C, operasi biner? dan?, operasi unary " dan operasi nullary 0 dan 1, sistem aksioma?3 adalah sebagai berikut:
(C2)x? kamu^y? z = x? z.
(C3)x? kamu? z? X? z^y? z.
(C4) z ? X? kamu? z? x^z? kamu.
(C5)x? (kamu? z) ? (x? kamu) ? (x?z).
(C8) 1 ? X? X".
Aksioma adalah titik awal, asli kedudukan suatu teori yang menjadi dasar pembuktian ketentuan-ketentuan lain (misalnya teorema) teori tersebut, yang di dalamnya diterima tanpa bukti. Dalam kesadaran dan bahasa sehari-hari, aksioma adalah kebenaran tertentu yang tidak dapat disangkal tidak diperlukan bukti.
Jadi, metode aksiomatik- ini adalah salah satu metode konstruksi deduktif dari suatu teori ilmiah, di mana seperangkat ketentuan tertentu yang diterima tanpa bukti, yang disebut "prinsip", "postulat" atau "aksioma", dipilih, dan semua usulan teori lainnya adalah diperoleh sebagai konsekuensi logis aksioma-aksioma ini.
Metode aksiomatik dalam matematika setidaknya berasal dari Euclid, meskipun istilah “aksioma” sering ditemukan dalam Aristoteles: “... Karena pembuktian tidak mungkin untuk segala sesuatu: bagaimanapun juga, pembuktian harus diberikan atas dasar sesuatu mengenai sesuatu dan untuk membenarkan sesuatu. Jadi, ternyata segala sesuatu yang dibuktikan pasti berasal dari genus yang sama, karena semua ilmu pembuktian menggunakan aksioma dengan cara yang sama.<…>Sebuah aksioma memiliki tingkat keumuman tertinggi dan merupakan inti dari permulaan segalanya.<…>Saya menyebut asas-asas pembuktian sebagai ketentuan-ketentuan yang berlaku umum yang menjadi dasar setiap orang membangun pembuktiannya.<…>Tidak perlu bertanya “mengapa” tentang prinsip-prinsip pengetahuan, dan masing-masing prinsip ini sendiri harus dapat diandalkan. Apa yang masuk akal adalah apa yang tampak benar bagi semua atau sebagian besar orang, atau bagi orang bijak – bagi semua atau sebagian besar dari mereka, atau bagi orang yang paling terkenal dan mulia.” (Lihat, misalnya, Aristoteles. Karya dalam empat jilid. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. P. 349).
Seperti dapat dilihat dari penggalan terakhir Topik Aristoteles, dasar untuk menerima aksioma adalah “keandalan” tertentu dan bahkan otoritas orang-orang yang "terkenal dan terkenal". Namun saat ini hal tersebut belum dianggap sebagai alasan yang cukup. Ilmu eksakta modern, termasuk matematika itu sendiri, tidak menggunakan ilmu eksakta modern kenyataan sebagai argumen kebenaran: aksioma diperkenalkan dan diterima begitu saja tanpa bukti.
David Hilbert (1862-1943), matematikawan dan fisikawan Jerman, menunjukkan bahwa istilah aksiomatis terkadang digunakan dalam arti yang lebih luas dan terkadang dalam arti kata yang lebih sempit. Dengan pengertian yang seluas-luasnya mengenai istilah ini, kami menyebut konstruksi suatu teori “aksiomatik”. Dalam hal ini, D. Gilbert membedakannya aksiomatik isi dan aksiomatik formal.
Yang pertama “... memperkenalkan konsep dasarnya dengan mengacu pada pengalaman kami saat ini, dan menganggap ketentuan utamanya sebagai fakta nyata yang dapat diverifikasi secara langsung, atau merumuskannya sebagai hasil dari pengalaman tertentu dan dengan demikian mengungkapkan keyakinan kami bahwa kami berhasil menyerang jejak hukum alam, dan sekaligus niat kami untuk mendukung keyakinan tersebut dengan keberhasilan teori yang dikembangkan. Aksiomatik formal juga perlu mengenali bukti-bukti dari suatu jenis tertentu - hal ini diperlukan baik untuk implementasi deduksi maupun untuk membangun konsistensi aksiomatik itu sendiri - namun, dengan perbedaan yang signifikan bahwa jenis bukti ini tidak didasarkan pada apapun. hubungan epistemologis khusus dengan bidang ilmu tertentu yang sedang dipertimbangkan, tetapi tetap sama dalam kasus aksioma apa pun: yang kami maksud di sini adalah cara kognisi yang begitu mendasar sehingga umumnya merupakan prasyarat untuk setiap penelitian teoretis yang akurat.<…>Aksiomatisasi formal memerlukan teori substantif sebagai pelengkapnya, karena teori substantif inilah yang pertama-tama memandu kita dalam proses memilih formalisme yang sesuai, dan kemudian, ketika teori formal sudah tersedia, teori tersebut memberi tahu kita bagaimana teori ini harus diterapkan. ke bidang yang sedang dipertimbangkan realitas. Di sisi lain, kita tidak dapat membatasi diri pada aksioma yang bermakna karena alasan sederhana bahwa dalam sains - jika tidak selalu, maka sebagian besar - kita berhadapan dengan teori-teori yang tidak sepenuhnya mereproduksi keadaan sebenarnya, tetapi hanya sekedar menyederhanakan idealisasi posisi ini, itulah arti penting mereka. Teori semacam ini tentu saja tidak bisa dibenarkan dengan mengacu pada bukti-bukti aksioma atau pengalamannya. Apalagi pembenarannya hanya dapat dilakukan dalam arti akan terjalin konsistensi idealisasi yang dihasilkan di dalamnya, yaitu. ekstrapolasi itu, sebagai akibat dari konsep-konsep yang diperkenalkan dalam teori ini dan ketentuan-ketentuan pokoknya melampaui batas-batas yang jelas secara visual atau data pengalaman"(cetak miring milik saya – Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Landasan Matematika. M.: Nauka, 1979. P. 23.)
Dengan demikian, metode aksiomatik yang dipahami secara modern adalah sebagai berikut: a) pilih suatu himpunan diterima tanpa bukti aksioma; b) konsep-konsep yang terkandung di dalamnya tidak didefinisikan secara jelas dalam kerangka teori ini; c) aturan definisi dan aturan inferensi teori tertentu bersifat tetap, memungkinkan seseorang untuk secara logis menyimpulkan beberapa asumsi dari teori lain; d) semua teorema lainnya disimpulkan dari "a" berdasarkan "c". Berbagai bagian saat ini dibangun menggunakan metode ini. matematikawan(geometri, teori probabilitas, aljabar, dll.), fisikawan(mekanika, termodinamika); upaya sedang dilakukan untuk melakukan aksioma kimia Dan biologi. Gödel membuktikan ketidakmungkinan aksiomatisasi lengkap dari teori-teori ilmiah yang cukup berkembang (misalnya, aritmatika bilangan asli), yang menyiratkan ketidakmungkinan formalisasi pengetahuan ilmiah secara lengkap. Dalam mempelajari ilmu pengetahuan alam, metode aksiomatik muncul dalam bentuk metode hipotetis-deduktif. Penggunaan konsep “aksioma” dalam percakapan sehari-hari sebagai semacam secara apriori kejelasan tidak lagi mencerminkan esensi konsep ini. Pemahaman Aristotelian tentang istilah ini dalam matematika dan ilmu pengetahuan alam kini telah diatasi. Pembahasan aksiomatik pantas diiringi dengan penggalan karya klasik Karl Raymund Popper:
“Suatu sistem teoretis dapat disebut aksioma jika seperangkat pernyataan aksioma dirumuskan yang memenuhi empat persyaratan mendasar berikut: (a) sistem aksioma harus memenuhi syarat-syarat berikut: konsisten(artinya, tidak boleh mengandung aksioma yang saling bertentangan atau kontradiksi antar aksioma). Hal ini setara dengan persyaratan bahwa tidak setiap pernyataan sewenang-wenang dapat dideduksi dalam sistem seperti itu. (b) Aksioma suatu sistem tertentu harus independen, yaitu sistem tersebut tidak boleh mengandung aksioma yang dapat diturunkan dari aksioma lain. (Dengan kata lain, suatu pernyataan tertentu dapat disebut aksioma hanya jika pernyataan tersebut tidak dapat dikurangkan ke bagian sistem yang tersisa setelah penghapusannya). Kedua kondisi ini berhubungan dengan sistem aksioma itu sendiri. Adapun hubungan sistem aksioma dengan bagian pokok teori, maka aksioma tersebut harus: (c) memadai untuk pengurangan semua pernyataan yang termasuk dalam teori aksioma, dan d) diperlukan dalam artian sistem tidak boleh memuat asumsi-asumsi yang tidak diperlukan.<…>Saya menganggap dua penafsiran berbeda terhadap sistem aksioma apa pun dapat diterima. Aksioma dapat dianggap sebagai (1) sebagai Konvensi, baik (2) sebagai empiris, atau ilmiah hipotesis“(Popper K.R. Logika penelitian ilmiah. M.: Respublika, 2005. P. 65).
Dalam sejarah sains, kita dapat menemukan sejumlah contoh transisi ke cara penyajian teori yang aksiomatik. Selain itu, penerapan metode ini secara konsisten pada logika pembuktian teorema dalam geometri memungkinkan untuk memikirkan kembali ilmu pengetahuan kuno ini, membuka dunia “geometri non-Euclidean” (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, dll. ). Metode ini ternyata nyaman dan produktif, memungkinkan seseorang untuk membangun teori ilmiah secara harfiah sebagai kristal tunggal (begitulah, khususnya, mekanika teoretis dan termodinamika klasik sekarang disajikan). Beberapa saat kemudian, pada tahun 30-an abad ke-20, ahli matematika dalam negeri Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) memberikan pembenaran aksiomatik untuk teori probabilitas, yang, sebagaimana diyakini oleh para sejarawan sains, sebelumnya didasarkan pada gambaran empiris perjudian. (“melempar”, dadu, kartu). Dalam hal ini, masuk akal untuk menawarkan kepada pembaca dua penggalan teks klasik sains dan pedagogi, yang mampu menulis, seperti yang dikatakan Berdyaev, tidak hanya “tentang sesuatu”, tetapi juga “sesuatu”.
R. Courant dan G. Robbins: “Ada satu aksioma dalam sistem Euclidian, yang mengenainya - berdasarkan perbandingan dengan data empiris, menggunakan benang kencang atau sinar cahaya - tidak mungkin untuk mengatakan apakah itu "benar". Ini terkenal postulat tentang paralel, yang menyatakan bahwa melalui suatu titik tertentu yang terletak di luar garis tertentu seseorang dapat menggambar satu dan hanya satu garis sejajar dengan yang ini. Ciri khas aksioma ini adalah pernyataan yang terkandung di dalamnya menyangkut sifat-sifat garis lurus sepanjang keseluruhannya, dan garis tersebut diasumsikan memanjang tanpa batas pada kedua arah: mengatakan bahwa dua garis sejajar berarti mengatakan bahwa kedua garis tersebut tidak dapat menemukan titik yang sama, tidak peduli seberapa jauh garis tersebut diperpanjang terbatas bagian dari bidang, betapapun luasnya bagian tersebut, sebaliknya, melalui suatu titik tertentu dapat ditarik banyak garis lurus yang tidak berpotongan dengan garis lurus tertentu. Karena panjang maksimum yang mungkin dari sebuah penggaris, benang, bahkan berkas cahaya yang ditelusuri dengan teleskop pasti berhingga, dan karena di dalam lingkaran yang berjari-jari berhingga terdapat banyak garis lurus yang melalui suatu titik tertentu dan di dalam lingkaran tersebut tidak bertemu dengan suatu titik tertentu. garis lurus, maka postulat Euclid tidak pernah dapat diverifikasi secara eksperimental.<…>Matematikawan Hungaria Bolyai dan ahli matematika Rusia Lobachevsky mengakhiri keraguan dengan membangun sistem geometri secara detail di mana aksioma paralelisme ditolak. Ketika Bolyai mengirimkan karyanya ke "raja matematika" Gauss, yang darinya dia sangat menantikan dukungan, dia menerima pemberitahuan sebagai tanggapan bahwa Gauss sendiri telah membuat penemuan sebelumnya, tetapi dia menahan diri untuk tidak mempublikasikan hasilnya pada saat itu, karena takut. diskusi yang terlalu berisik.
Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan aksioma independensi paralelisme. Independensi ini harus dipahami dalam arti bahwa kalimat “geometris” tentang titik, garis, dan sebagainya dapat dibangun, bebas dari kontradiksi internal, berdasarkan sistem aksioma di mana aksioma paralelisme digantikan oleh kebalikannya. Konstruksi ini disebut geometri non-Euclidean(cetak miring milik saya – Yu.E.). Dibutuhkan keberanian intelektual dari Gauss, Bolyai dan Lobachevsky untuk menyadari bahwa geometri, tidak didasarkan pada sistem aksioma Euclidean, mungkin sepenuhnya konsisten(cetak miring milik saya – Yu.E.).<…>Kita sekarang dapat membangun “model” sederhana dari geometri yang memenuhi semua aksioma Euclid, kecuali aksioma paralelisme” (R. Kurant, G. Robbins. Apa itu matematika? M.: Prosveshchenie, 1967. P. 250).
Berbagai versi geometri non-Euclidean (misalnya, geometri Riemann, serta geometri dalam ruang lebih dari tiga dimensi) kemudian diterapkan dalam konstruksi teori yang berkaitan dengan dunia mikro (mekanika kuantum relativistik, fisika partikel) dan, sebaliknya, ke megaworld (relativitas umum).
Terakhir, pendapat ahli matematika Rusia Andrei Nikolaevich Kolmogorov: “Teori probabilitas atau disiplin matematika dapat dan harus diaksiomakan dalam arti yang persis sama dengan geometri atau aljabar. Artinya, setelah nama-nama objek yang diteliti dan hubungan-hubungan dasarnya diberikan, serta aksioma-aksioma yang harus dipatuhi oleh hubungan-hubungan itu, maka semua pemaparan lebih lanjut harus didasarkan secara eksklusif pada aksioma-aksioma tersebut, tanpa bergantung pada makna konkrit yang biasa dari objek-objek tersebut dan hubungannya(cetak miring milik saya – Yu.E.).<…>Teori aksiomatik (abstrak) apa pun memungkinkan, seperti diketahui, interpretasi spesifik dalam jumlah tak terbatas. Dengan demikian, teori matematika tentang probabilitas memungkinkan, bersama dengan interpretasi-interpretasi yang menjadi asal muasalnya, juga banyak interpretasi lainnya.<…>Aksiomatisasi teori probabilitas dapat dilakukan dengan berbagai cara, baik dalam kaitannya dengan pilihan aksioma maupun pilihan konsep dasar dan hubungan dasar. Jika kita mengejar tujuan kesederhanaan yang mungkin dari sistem aksioma itu sendiri dan konstruksi teori lebih lanjut darinya, maka tampaknya paling tepat untuk melakukan aksioma konsep peristiwa acak dan probabilitasnya. Ada juga sistem lain untuk konstruksi aksiomatik teori probabilitas, yaitu sistem yang konsep probabilitasnya bukan merupakan salah satu konsep dasar, namun diungkapkan melalui konsep lain [catatan kaki: Bdk., misalnya, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig kamu. Wien, Prancis Deutike, 1931; Bernstein S.N. Teori Probabilitas, edisi ke-2, Moskow, GTTI, 1934]. Namun pada saat yang sama, mereka berusaha mencapai tujuan lain, yaitu sedekat mungkin dengan hubungan terdekat antara teori matematika dan kemunculan empiris konsep probabilitas” (Kolmogorov A.N. Konsep dasar teori probabilitas. M.: Nauka , 1974.Hal.9).
Dalam matematika, METODE AXIOMATIC berasal dari karya ahli geometri Yunani kuno. Contoh cemerlang penerapan METODE AXIOMATIC, yang tetap menjadi satu-satunya contoh hingga abad ke-19, adalah sistem geometri yang dikenal sebagai “AWAL” EUCLID (sekitar 300 tahun SM)
Di antara aksioma Euclid ada yang disebut “aksioma garis sejajar” (juga dikenal sebagai postulat kelima Euclid). Saat ini dirumuskan sebagai berikut: “Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, tepat satu garis lurus dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut” (Euclid memiliki rumusan yang sedikit berbeda, tetapi setara dengan ini, seperti yang ditunjukkan oleh para ilmuwan kemudian).
Berdasarkan sifatnya, aksioma ini sangat berbeda dengan aksioma-aksioma lainnya dan lebih kompleks dari aksioma-aksioma tersebut. Selama hampir dua ribu tahun, banyak ahli matematika telah berusaha membuktikan postulat ini berdasarkan aksioma yang tersisa. Baru pada abad ke-19 akhirnya diklarifikasi (dan apa kontribusi luar biasa dari ahli matematika Rusia Nikolai Lobachevsky) bahwa aksioma ini tidak dapat diturunkan dari aksioma geometri lainnya.
Akhirnya, pada pergantian abad ke-19 hingga ke-20, matematikawan Jerman David Hilbert, pertama, menuliskan geometri Euclidean dalam bentuk teori aksiomatik formal (termasuk menambahkan beberapa aksioma yang hilang), dan kedua, menunjukkan bahwa teori ini lengkap, maka ada pernyataan apa pun yang dapat dibuktikan atau disangkal dalam suatu teori tertentu (yaitu membuktikannya
penyangkalan). Ini adalah salah satu kontribusi terbesar bagi pengembangan metode aksiomatik dan mendorong formalisasi seluruh matematika.
Metode aksiomatik adalah suatu cara mengkonstruksi dan mensistematisasikan pengetahuan ilmiah dalam bentuk apa yang disebut teori aksiomatik, di mana beberapa pernyataan dipilih sebagai ketentuan awal (aksioma), dan semua pernyataan (teorema) lain dari teori tersebut dibuktikan (atau disimpulkan). ) hanya berdasarkan aksioma dengan menggunakan penalaran logis murni.
Baik aksioma maupun teorema merupakan pernyataan (pernyataan) dalam suatu bahasa tentang suatu konsep (atau istilah). Oleh karena itu, sebelum merumuskan aksioma dan membuktikan teorema, kita harus menyepakati konsep mana yang akan dibahas. Konsep dibagi menjadi dua jenis: beberapa menunjuk pada objek yang dibahas oleh teori, yang lain
menunjukkan hubungan di antara mereka.
Beberapa konsep dapat didefinisikan melalui konsep lain. Pada titik tertentu, perlu untuk berhenti dan menyatakan beberapa konsep yang tidak dapat didefinisikan (atau awal), dan melalui konsep tersebut untuk mendefinisikan semua konsep lain (yang dapat ditentukan atau turunan) yang dibahas dalam teori ini.
Jadi, untuk menggunakan metode konstruksi teori aksiomatik, Anda memerlukan:
(1) memilih konsep awal;
(2) merumuskan aksioma (“pernyataan awal”) tentang konsep-konsep tersebut;
(3) memperoleh pernyataan (teorema) baru tentangnya dengan menggunakan logika dan aksioma.
Pada ayat (2) dan (3), konsep-konsep baru (yang telah didefinisikan) dapat diperkenalkan melalui konsep-konsep yang asli dan yang telah didefinisikan sebelumnya. Memperkenalkan konsep-konsep baru tidak menambah informasi baru, karena Anda selalu dapat mengganti penggunaan konsep-konsep tersebut dengan definisinya melalui konsep aslinya. Namun, penggunaannya memungkinkan pernyataan dan bukti menjadi lebih singkat dan jelas. Pada saat yang sama, perlu untuk memastikan bahwa konsep-konsep diperkenalkan "secara berurutan" - setiap konsep baru "berikutnya" didefinisikan melalui konsep-konsep yang "sebelumnya" didefinisikan, yaitu, sehingga "lingkaran setan" tidak muncul (satu konsep adalah ditentukan melalui yang kedua, yang kedua melalui yang ketiga, dst., yang terakhir - melalui yang pertama).
Demikian pula, pada poin (3) Anda tidak hanya dapat mengandalkan aksioma yang dipilih, tetapi juga pada teorema yang telah dibuktikan sebelumnya. Hal ini memungkinkan Anda membuat pembuktian lebih ringkas tanpa harus membuktikan pernyataan yang sama berulang kali.
Metode aksiomatik digunakan bukan pada tahap perolehan pengetahuan baru, melainkan pada tahap sistematisasi pengetahuan yang sudah diperoleh. Metode aksiomatik secara kiasan dapat direpresentasikan sebagai metode “memoles” pengetahuan yang telah diperoleh, namun belum cukup diformalkan atau disistematisasikan. Namun, ini hanya satu sisi saja. Sebagai hasil dari “penggilingan”, mis. Dengan menerapkan metode aksiomatik, teori memperoleh kelengkapan logis dan bentuk yang tentu mengarah pada pencarian pengetahuan baru dan mengarah pada konstruksi teori matematika baru. Fungsi aksiomatisasi yang sesuai tidak segera muncul, karena aksioma itu sendiri, sebagai metode formalisasi, juga berkembang, yaitu. aksiomatisasi muncul dalam dua aspek: baik sebagai hasil formalisasi maupun sebagai sarana kognisi
Baik aksiomatisasi semiformal maupun formal menggunakan interpretasi sebagai subjek kajiannya. Metode interpretasi memungkinkan kita mengembangkan cara untuk menafsirkan dan mendefinisikan konsep awal suatu sistem melalui sistem lain yang sudah dikenal. Interpretasi sebagai metode memahami realitas telah digunakan oleh matematika sejak lama. Ketika menafsirkan objek asli matematika, objek tersebut dikorelasikan dengan objek nyata, sehingga pengetahuan tentang objek tersebut menjadi lebih bermakna. Namun korelasi tersebut bersifat tidak langsung dan memiliki interpretasi yang terbatas, hingga satu interpretasi, yaitu dikaitkan dengan kekhususan objek dalam suatu wilayah tertentu. Ketika menafsirkan objek abstrak tingkat tinggi yang sudah membentuk sistem formal, keseluruhan rangkaian, banyak interpretasi yang mungkin, di antaranya matematika dan ilmu alam yang menonjol. Beberapa struktur matematika diinterpretasikan oleh struktur matematika lainnya.
Untuk teori formal, kebenaran suatu teorema berarti, pertama-tama, pembuktiannya. Untuk teori substantif, suatu pernyataan dikatakan benar jika pernyataan tersebut benar dalam model teori apa pun. Jadi, untuk teori formal apa pun, muncullah a'priori dua pemahaman tentang "kebenaran" suatu rumus: pembuktian dan kebenaran yang identik(kebenaran untuk setiap interpretasi teori yang sedang dipertimbangkan).
Interpretasi teori formal(atau teori model)ditentukan oleh konsep penafsiran sekumpulan rumus kalkulus predikat. Tanpa membahas formalitas, kami akan membatasi diri pada petunjuk saja: model teori (atau interpretasi) – ini adalah himpunan tertentu bersama dengan konstanta, predikat, dan fungsi tertentu yang ditetapkan padanya untuk semua simbol konstan, predikat, dan fungsi yang dipilih yang berpartisipasi dalam aksioma teori. Di mana semua aksioma suatu teori dalam setiap penafsiran teori ini harus mewakili pernyataan yang benar dalam model ini.
17. Metode penafsiran. Teori aksiomatik formal.
Interpretasi dalam matematika dan logika adalah seperangkat makna (indera) yang melekat pada elemen (ekspresi, rumus, simbol, dll.) dari ilmu alam atau teori deduktif abstrak dengan satu atau lain cara. Dalam kasus di mana unsur-unsur teori ini sendiri tunduk pada “interpretasi” tersebut, mereka juga berbicara tentang interpretasi simbol, rumus, dll.
Akhir XIX – awal abad XX.
Keinginan untuk konstruksi formal teori aksiomatik;
Mencari cara dan metode baru untuk membuktikan matematika sehubungan dengan paradoks teori himpunan;
Memahami bahwa metode pembuktian dengan menggunakan model dan interpretasi hanya bersifat relatif (aksiomatik Peano, konsistensi aritmatika bilangan bulat)
Varian aksiomatik yang diformalkan dilakukan dengan mengganti posisi awal (aksioma) yang bermakna dan objek awal dengan rumus dan simbol.
Tanda dan rumusan bahasa ini tidak mempunyai arti apa pun.
Kesimpulan: Sebuah teori matematika yang konsistensinya perlu dibuktikan menjadi pokok bahasan teori matematika lain, yang oleh Hilbert disebut matematika atau teori pembuktian.
K. Gödel – ahli matematika dan logika.
Kesimpulan dari teori Gödel:
Rumus apa pun yang hubungannya tidak dapat dideduksi dapat dipenuhi;
Konsistensi sistem yang diformalkan menyebabkan ketidaklengkapannya.
Prosedur apa pun untuk membuktikan pernyataan teori bilangan dasar yang benar jelas tidak lengkap. Untuk sistem pembuktian apa pun, terdapat pernyataan benar yang, bahkan dalam bidang matematika tertentu, tetap tidak dapat dibuktikan.
Gödel menyimpulkan bahwa metode aksiomatik terbatas.
18. Sejarah munculnya geometri fraktal. Arti geometri fraktal.
Konsep fraktal muncul pada akhir tahun 70-an abad ke-20. Konsep ini diperkenalkan pada tahun 1975 oleh ahli matematika Perancis asal Polandia Benoit Mandelbrot untuk menunjuk pada struktur yang tidak beraturan namun serupa, yang ia pelajari.
Peran penting dalam penyebaran luas ide-ide geometri fraktal dimainkan oleh buku B. Mandelbrot “Fractal Geometry of Nature”. Karya-karya B. Mandelbrot menggunakan hasil-hasil ilmiah yang diperoleh banyak ilmuwan. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa fakta kemunculan fraktal berusia lebih dari seratus tahun. Namun, kemunculan mereka dalam literatur matematika disambut dengan permusuhan. Konsensus umum mengakui mereka sebagai patologi, hanya menarik bagi siswa yang mempelajari keanehan matematika, dan bukan bagi ilmuwan sejati. Kelebihan B. Mandelbrot adalah ia berhasil mengumpulkan informasi yang tersebar, menggabungkannya menjadi satu sistem, melihat kesamaan dalam keanekaragaman, dan menunjukkan pentingnya penemuannya.
Sejarah perkembangan gagasan geometri fraktal erat kaitannya dengan nama-nama matematikawan terkenal seperti K. Weierstrass, G. Cantor, J. Peano, F. Hausdorff, A.S. Besikovich, H. Koch, W. Sierpinski dan lain-lain. Jadi, K. Weierstrass adalah orang pertama yang memperkenalkan fungsi kontinu, tetapi tidak terdiferensiasi. F. Hausdorff pada tahun 1919 memperkenalkan konsep dimensi pecahan himpunan dan memberikan contoh himpunan tersebut. Diantaranya adalah himpunan Cantor, kurva Koch dan objek matematika lainnya. Ide-ide F. Hausdorff kemudian dikembangkan secara signifikan oleh A.S. Besikovich.
Kontribusi besar terhadap geometri fraktal masa depan dibuat oleh karya matematikawan Prancis G. Julia dan P. Fatou, yang pada awal abad ke-20 mempelajari teori pemetaan rasional pada bidang kompleks. Hampir sepenuhnya terlupakan, karya mereka mengalami perkembangan yang tidak terduga di awal tahun delapan puluhan, ketika, dengan bantuan komputer, ahli matematika dapat memperoleh gambar-gambar indah yang menunjukkan contoh pemetaan tersebut.
Saat ini bahasa geometri fraktal banyak digunakan
dalam fisika:
– saat mempelajari penyerapan atau hamburan radiasi pada media berpori;
– untuk mengkarakterisasi turbulensi yang sangat berkembang;
– saat memodelkan sifat permukaan benda padat;
– untuk menjelaskan kerusakan dielektrik dan petir;
– saat menganalisis proses patah lelah material;
– ketika mempelajari berbagai tahap pertumbuhan suatu zat akibat difusi;
dalam astronomi:
– saat menjelaskan proses pengelompokan galaksi di Alam Semesta;
dalam kartografi:
– ketika mempelajari bentuk garis pantai dan jaringan saluran sungai yang luas;
dalam biologi:
– saat menganalisis struktur sistem peredaran darah atau memeriksa permukaan kompleks membran sel.
Pertanyaan 19 Fraktal geometris: kurva Koch triadik.
Fraktal geometris adalah yang paling visual. Dalam kasus dua dimensi, mereka diperoleh dengan menggunakan beberapa garis putus-putus (atau permukaan dalam kasus tiga dimensi), yang disebut generator . Dalam satu langkah algoritma, masing-masing segmen yang membentuk polyline diganti dengan generator polyline, pada skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan prosedur ini tanpa henti, diperoleh fraktal geometris.
Mari kita pertimbangkan salah satu objek fraktal ini - kurva Koch triadik . Konstruksi kurva dimulai dengan segmen satuan panjang (Gbr. 1.6) - ini adalah kurva Koch generasi ke-0. Selanjutnya, setiap link (satu segmen pada generasi nol) digantikan oleh elemen formatif, ditunjuk pada Gambar. 1 oleh n=1. Penggantian ini menghasilkan kurva Koch generasi berikutnya. Pada generasi pertama, ini adalah kurva dengan empat tautan lurus, masing-masing panjangnya 1/3 . Untuk mendapatkan generasi ke-3, tindakan yang sama dilakukan - setiap tautan diganti dengan elemen pembentuk yang diperkecil. Jadi, untuk memperoleh setiap generasi berikutnya, semua mata rantai generasi sebelumnya harus diganti dengan elemen pembentuk yang direduksi. Melengkung N-generasi ke-th untuk segala hal yang terbatas N ditelepon prafraktal . Pada Gambar. Gambar 1.6 menunjukkan lima generasi kurva. Pada N Ketika kurva Koch mendekati tak terhingga, ia menjadi objek fraktal.
20. Fraktal geometris: serbet Sierpinski.
Mari kita perhatikan sosok serupa yang ditemukan oleh ahli matematika Polandia W. Sierpinski (1882–1969).
Itu diperoleh dari sebuah persegi dengan memotong kotak tengah secara berturut-turut. Mari kita telusuri pembangunan kuartal baru lebih detail. Bagilah persegi ini menjadi sembilan persegi yang sama besar dan potong persegi yang terletak di tengah. Kami mendapatkan kotak dengan kekosongan ( beras. 10a). Untuk delapan kotak tersisa, kami ulangi prosedur ini lagi. Bagilah masing-masing menjadi sembilan kotak yang sama besar dan hilangkan kotak tengahnya ( beras. 10b). Dengan mengulangi konstruksi serupa, kita akan mendapatkan angka yang semakin “bocor” ( beras. 10c). Yang tersisa setelah semua pemotongan adalah karpet Sierpinski.
Beras. 10
Karena kotak-kotak yang dipotong semakin sering disusun, maka pada karpet Sierpinski (serbet) tidak akan ada satu pun, bahkan kotak terkecil sekalipun, tanpa “lubang”.
Dimulai bukan dengan persegi, tetapi dengan segitiga sama sisi, dan memotong segitiga pusatnya, kita mendapatkan sosok serupa lainnya, mirip dengan karpet Sierpinski. Ini disebut “serbet Sierpinski” ( beras. 11).
Beras. 11
21. Fraktal Penyanyi.
Georg Cantor (1845-1918) adalah salah satu pendiri teori himpunan. Dia juga menemukan salah satu fraktal tertua - himpunan Cantor (dijelaskan olehnya pada tahun 1883) (kadang-kadang disebut debu). Sifat fraktal debu Cantor sangat penting, terutama karena banyak fraktal yang diketahui merupakan kerabat dekat fraktal ini.
Cantor, dengan menggunakan prosedur rekursif (berulang) sederhana, mengubah garis menjadi kumpulan titik-titik yang tidak terhubung (yang disebut Cantor Dust). Dia akan mengambil garis dan menghapus sepertiga bagian tengah dan kemudian mengulangi hal yang sama dengan bagian yang tersisa.
Cara pembuatan himpunan ini adalah sebagai berikut. Ambil segmen lurus dengan satuan panjang. Kemudian dibagi menjadi tiga bagian yang sama, dan bagian tengahnya dikeluarkan. Ini adalah langkah pertama dari prosedur berulang. Pada langkah kedua, masing-masing dari dua segmen yang tersisa menjalani prosedur serupa yaitu membagi menjadi tiga bagian yang sama dan kemudian membuang bagian tengahnya. Melanjutkan cara ini hingga tak terhingga, kita mendapatkan himpunan Cantor. Sangat mudah untuk melihat bahwa panjang total segmen yang dihasilkan dalam batas adalah nol, jadi kami menghilangkan panjang yang sama dengan 1 sebagai hasilnya:
Mari kita lakukan konstruksi secara lebih formal di lokasi syuting. Ambil segmen dengan satuan panjang. Kami menghapus interval terbuka darinya, mendapatkan 
. Pada langkah selanjutnya dan semua langkah lainnya, Anda membuang sepertiga tengah (tidak termasuk ujung) dari semua segmen level saat ini. Itu. pada langkah kedua yang kita miliki. Himpunan batas yang merupakan perpotongan himpunan , , dan debu Cantor.
Himpunan Cantor mempunyai kardinalitas suatu kontinum. Untuk melakukan ini, perlu dibuat korespondensi satu-satu antara titik-titik dari himpunan Cantor dan titik-titik pada segmen tersebut. Kami akan mewakili semua titik segmen sebagai pecahan biner, dan titik debu Cantor sebagai pecahan terner. Dalam kasus di mana sebuah titik mempunyai dua representasi, kita akan selalu memilih salah satu yang diakhiri dengan semua angka dalam biner dan semua angka berpasangan dalam ternary. Perhatikan bahwa suatu titik termasuk dalam himpunan Cantor jika dan hanya jika representasi ternernya hanya berisi nol dan dua, sehingga korespondensi yang diinginkan dicapai dengan mengganti semua dua dalam representasi terner dengan satu. Prosedur yang dijelaskan menentukan korespondensi satu-satu antara himpunan Cantor dan segmen.
Berhubungan langsung dengan himpunan Cantor tangga sialan.
22. Dimensi fraktal. Contoh penghitungan dimensi fraktal.
Fraktal– himpunan dengan dimensi pecahan.
Fraktal– himpunan yang dimensi Heisdorff-Besikovichnya lebih besar daripada dimensi topologinya.
Jenis dimensi:
1) Euclidean: jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menentukan secara unik posisi suatu titik;
2) Topologi: dimensi suatu himpunan adalah 1 lebih besar dari dimensi potongan yang membaginya menjadi dua bagian yang tidak terhubung (dimensi topologi segmen-1, dimensi topologi persegi-2, bidang-2);
3) Dimensi kesamaan diri 
. Dimensi kesamaan diri merupakan salah satu kasus khusus dari dimensi fraktal.
Dimensi Hausdorff adalah cara alami untuk menentukan dimensi subset dalam ruang metrik.
Dimensi Hausdorff konsisten dengan gagasan biasa kita tentang dimensi dalam kasus di mana gagasan biasa ini ada. Misalnya, dalam ruang Euclidean tiga dimensi, dimensi Hausdorff suatu himpunan berhingga adalah nol, dimensi kurva halus adalah satu, dimensi permukaan halus adalah dua, dan dimensi himpunan volume bukan nol adalah tiga. Untuk himpunan (fraktal) yang lebih kompleks, dimensi Hausdorff tidak boleh berupa bilangan bulat.
23. Fraktal aljabar: metode untuk membuat fraktal aljabar.
Fraktal ini mendapatkan namanya karena dibuat berdasarkan rumus aljabar.
Contoh: Himpunan Mandelbrot, Himpunan Julia, Fraktal Newton.
Metode:
1. Pilih rumus (fungsi), gantikan angka ke dalamnya dan dapatkan hasilnya.
2. Hasil yang diperoleh disubstitusikan ke dalam rumus yang sama dan diperoleh bilangan berikut.
3. Ulangi prosedur ini.
4. Hasilnya adalah sekumpulan angka yang merupakan titik fraktal.
Suatu fungsi untuk titik yang berbeda mungkin memiliki perilaku yang berbeda:
1. Cenderung tak terhingga.
2. Cenderung 0.
3. Menerima beberapa nilai tetap.
4. Perilaku kacau.
Pertanyaan 24. Himpunan Mandelbrot (salah satu objek fraktal paling terkenal) pertama kali dibuat (secara visual menggunakan komputer) oleh Benoit Mandelbrot pada musim semi tahun 1980 di pusat penelitian IBM. Thomas J.Watson. Dan meskipun penelitian terhadap objek-objek tersebut dimulai pada abad terakhir, penemuan himpunan ini dan peningkatan perangkat keras grafis komputerlah yang sangat mempengaruhi perkembangan geometri fraktal dan teori chaos. Jadi, apa himpunan Mandelbrot itu?
Mari kita pertimbangkan fungsi variabel kompleks. Mari kita letakkan dan perhatikan urutannya 
, di mana untuk siapa pun. Urutan seperti itu dapat dibatasi (yaitu, dapat terdapat r sedemikian rupa sehingga untuk sembarang ) atau “melarikan diri hingga tak terhingga” (yaitu, untuk sembarang r > 0 terdapat ). Himpunan Mandelbrot dapat didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks c yang barisan tertentunya dibatasi. Sayangnya, tidak ada ekspresi analitik yang diketahui yang memungkinkan c tertentu menentukan apakah c tersebut termasuk dalam himpunan Mandelbrot atau tidak. Oleh karena itu, untuk membangun suatu himpunan, digunakan eksperimen komputer: mereka melihat himpunan titik-titik pada bidang kompleks dengan langkah tertentu, untuk setiap titik mereka melakukan sejumlah iterasi tertentu (temukan sejumlah suku tertentu dari barisan tersebut. ) dan perhatikan “perilakunya”. (Gbr. 4).
Himpunan Mandelbrot terbukti terletak pada lingkaran dengan jari-jari r=2 dengan pusat di titik asal. Jadi, jika pada suatu langkah modulus suku berikutnya dari barisan tersebut melebihi 2, kita dapat segera menyimpulkan bahwa titik yang bersesuaian dengan c, yang mendefinisikan barisan ini, tidak termasuk dalam himpunan Mandelbrot.
Dengan mengurangi langkah pemindaian bilangan kompleks dan meningkatkan jumlah iterasi, kita dapat memperoleh gambar sedetail yang kita suka, namun selalu hanya perkiraan gambar dari himpunan tersebut.
Mari kita punya N warna, diberi nomor untuk kepastian dari 0 hingga N-1. Kita asumsikan, sekali lagi untuk kepastian, bahwa warna hitam mempunyai angka 0. Jika untuk suatu c tertentu setelah iterasi N-1 titiknya tidak melampaui lingkaran berjari-jari 2, kita asumsikan bahwa c termasuk dalam himpunan Mandelbrot dan catlah ini poin c berwarna hitam. Sebaliknya, jika pada langkah tertentu k (k Є ) titik berikutnya berada di luar lingkaran berjari-jari 2 (yaitu pada langkah ke-k kita menyadari bahwa titik tersebut “melarikan diri”), catlah titik tersebut dengan warna k.
Gambar yang indah diperoleh dengan pemilihan palet dan lingkungan himpunan yang berhasil (yaitu, di luar himpunan kita akan mendapatkan “titik berwarna”) (Gbr. 5, 6).
Beras. 5 Gambar. 6
25. Konsep dasar teori simpul
Model simpul - kurva tertutup dan tidak berpotongan sendiri dalam ruang.
Simpul adalah garis tertutup dalam ruang, mulus atau putus-putus, yang dapat dipelintir dan terjalin dengan cara apa pun.
Di bawah melepaskan ikatannya Kita akan memahami pelurusan segmen ini dengan mendeformasikannya dalam ruang tiga dimensi.
simpul sepele(lingkaran)
Gambar simpul disebut diagram simpul.
Pertunangan adalah himpunan terbatas dari garis putus-putus berorientasi terputus-putus tertutup dalam ruang.
Dua node disebut isotop (ekuivalen) jika salah satu dapat berpindah dari satu node ke node lainnya secara berurutan dengan melakukan transformasi, yang disebut isotop elementer.
Dua simpul bersifat isotop jika satu simpul dapat diikat ke simpul lainnya tanpa memotongnya atau membiarkan perpotongannya sendiri.
Metode aksiomatik adalah suatu metode membangun suatu teori ilmiah yang mana teori tersebut didasarkan pada ketentuan-ketentuan awal tertentu, yang disebut aksioma-aksioma teori, dan semua ketentuan-ketentuan teori lainnya mengikuti sebagai konsekuensi logis dari aksioma-aksioma tersebut.
Sebagian besar bidang matematika modern, mekanika teoretis, dan sejumlah cabang fisika dibangun berdasarkan metode aksiomatik. Dalam matematika, metode aksiomatik memungkinkan terciptanya teori ilmiah yang lengkap dan logis. Yang tidak kalah pentingnya adalah bahwa teori matematika yang dibangun secara aksiomatis sering kali diterapkan dalam ilmu-ilmu lain.
Dalam matematika, metode aksiomatik berasal dari karya ahli geometri Yunani kuno. Contoh cemerlang penggunaannya hingga abad ke-19. ada sistem geometris yang dikenal sebagai Elemen Euclid (c. 300 SM). Meskipun pada saat itu belum ada pertanyaan untuk mendeskripsikan cara logis yang digunakan untuk memperoleh konsekuensi bermakna dari aksioma, dalam sistem Euclid gagasan untuk memperoleh seluruh isi utama teori geometri dengan cara deduktif murni, dari sejumlah tertentu yang relatif kecil. pernyataan - aksioma, sudah terlihat cukup jelas kebenarannya.
Dibuka pada awal abad ke-19. geometri non-Euclidean oleh N.I. Lobachevsky dan J. Bolyai menjadi pendorong pengembangan lebih lanjut metode aksiomatik. Mereka menetapkan bahwa dengan mengganti postulat V Euclid yang biasa dan tampaknya hanya “benar secara obyektif” pada garis paralel dengan negasinya, adalah mungkin untuk mengembangkan teori geometri dengan cara yang murni logis, selaras dan kaya konten seperti geometri Euclid. Fakta ini memaksa para ahli matematika abad ke-19. memberikan perhatian khusus pada metode deduktif dalam membangun teori matematika, yang menyebabkan munculnya masalah-masalah baru yang berkaitan dengan konsep metode aksiomatik dan teori matematika formal (aksiomatik), yang menjadi dasar tumbuhnya apa yang disebut teori pembuktian. sebagai bagian utama logika matematika modern.
Pemahaman tentang perlunya pembenaran matematika dan tugas-tugas khusus di bidang ini muncul dalam bentuk yang kurang lebih jelas pada abad ke-19. Klarifikasi konsep-konsep dasar analisis dan reduksi konsep-konsep kompleks menjadi yang paling sederhana atas dasar yang tepat dan logis semakin kokoh, serta ditemukannya geometri non-Euclidean, mendorong berkembangnya metode aksiomatik dan munculnya permasalahan-permasalahan umum. sifat matematika, seperti konsistensi, kelengkapan dan independensi sistem aksioma tertentu.
Hasil pertama dalam bidang ini diperoleh dari metode penafsiran, yang dapat diuraikan sebagai berikut. Biarkan setiap konsep keluaran dan relasi dari teori aksiomatik T tertentu dikaitkan dengan objek matematika tertentu. Kumpulan objek-objek tersebut disebut bidang interpretasi. Setiap pernyataan U dalam teori T secara alami diasosiasikan dengan pernyataan U* tertentu tentang unsur-unsur bidang tafsir, yang bisa benar atau salah. Kemudian kita katakan bahwa pernyataan U pada teori T benar atau salah dalam interpretasi tertentu. Bidang interpretasi dan sifat-sifatnya biasanya menjadi objek pertimbangan teori matematika tertentu T 1, yang khususnya juga dapat bersifat aksiomatik.
Metode interpretasi memungkinkan untuk menetapkan fakta konsistensi relatif, yaitu membuktikan pernyataan seperti: “jika teori T 1 konsisten, maka teori T juga konsisten.” Biarkan teori T ditafsirkan dalam teori T 1 sedemikian rupa sehingga semua aksioma A dan teori T ditafsirkan oleh pernyataan yang benar dari A dan * teori T 1. Kemudian setiap teorema teori T, yaitu setiap pernyataan A, disimpulkan secara logis dari aksioma A dan in T, ditafsirkan dalam T 1 dengan pernyataan tertentu A*, yang dapat disimpulkan dalam T dari interpretasi A* dan aksioma A dan, dan oleh karena itu benar. Pernyataan terakhir didasarkan pada asumsi lain, yang kami buat secara implisit, tentang kesamaan cara logis tertentu yang digunakan dalam teori T dan T 1. Dalam praktiknya, kondisi ini biasanya terpenuhi. Biarkan sekarang teori T menjadi kontradiktif, yaitu, pernyataan tertentu A dari teori ini disimpulkan di dalamnya bersama dengan negasinya. Maka dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan A* dan “bukan A*” sekaligus merupakan pernyataan yang benar dari teori T 1, yaitu. Teori T 1 kontradiktif. Metode ini, misalnya, membuktikan (F. Klein, A. Poincaré) konsistensi geometri non-Euclidean Lobachevsky dengan asumsi bahwa geometri Euclidean konsisten, dan pertanyaan tentang konsistensi aksiomatisasi Hilbert terhadap geometri Euclidean pun diangkat (D .Hilbert) untuk masalah konsistensi aritmatika.
Metode interpretasi juga memungkinkan kita untuk memecahkan pertanyaan tentang independensi sistem aksioma: untuk membuktikan bahwa aksioma A dari teori T tidak dapat dideduksi dari aksioma lain dalam teori ini dan, oleh karena itu, penting untuk memperoleh keseluruhan cakupan teori ini, cukup membangun interpretasi teori T yang di dalamnya aksioma Tapi itu salah, dan semua aksioma lain dari teori ini benar. Pengangkatan masalah konsistensi geometri Lobachevsky ke masalah konsistensi geometri Euclidean, dan yang terakhir ini - ke pertanyaan tentang konsistensi aritmatika, menghasilkan pernyataan bahwa postulat V Euclid tidak dapat diturunkan dari yang lain. aksioma geometri, kecuali aritmatika bilangan asli konsisten.
Kelemahan metode interpretasi adalah dalam hal konsistensi dan independensi sistem aksioma, hanya memungkinkan diperoleh hasil yang bersifat relatif. Pencapaian penting dari metode ini adalah kenyataan bahwa dengan bantuannya ditemukan peran khusus aritmatika sebagai teori matematika, pertanyaan tentang konsistensi yang bermuara pada pertanyaan serupa untuk sejumlah teori lainnya.
Metode aksiomatik mendapat pengembangan lebih lanjut - dalam arti tertentu, ini adalah puncaknya - dalam karya D. Hilbert dan sekolahnya. Dalam kerangka arah ini, dilakukan klarifikasi lebih lanjut tentang konsep teori aksiomatik, dan konsep sistem formal itu sendiri. Sebagai hasil dari klarifikasi ini, teori matematika itu sendiri dapat direpresentasikan sebagai objek matematika eksak dan untuk membangun teori umum, atau teori meta, dari teori tersebut. Pada saat yang sama, prospek tampak menarik (dan D. Hilbert pernah terpesona olehnya) untuk menyelesaikan semua pertanyaan utama dasar matematika melalui jalur ini. Setiap sistem formal dibangun sebagai kelas ekspresi rumus yang didefinisikan secara tepat, di mana subkelas rumus dibedakan dengan cara tertentu yang disebut teorema sistem formal tertentu. Pada saat yang sama, rumusan sistem formal itu sendiri tidak memiliki makna semantik apa pun; rumus tersebut dapat dikonstruksikan dengan menggunakan tanda-tanda arbitrer atau simbol-simbol dasar, hanya berpedoman pada pertimbangan kenyamanan teknis. Faktanya, metode penyusunan rumus dan konsep teorema sistem formal tertentu dipilih sedemikian rupa sehingga seluruh peralatan formal ini dapat digunakan untuk mengekspresikan matematika tertentu (atau non-matematis) secara memadai dan selengkap mungkin. teori, atau lebih tepatnya, sebagai isi aktual dan struktur deduktifnya. Setiap teori matematika konkrit T dapat diterjemahkan ke dalam bahasa sistem formal S yang sesuai sedemikian rupa sehingga setiap ekspresi teori T yang bermakna (salah atau benar) diungkapkan dengan rumus sistem S yang diketahui.
Wajar jika diharapkan bahwa metode formalisasi akan memungkinkan untuk membangun seluruh makna positif teori matematika atas dasar yang tepat dan tampaknya dapat diandalkan seperti konsep rumus turunan (teorema sistem formal), dan untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan mendasar. seperti masalah konsistensi teori-teori matematika dalam bentuk pembuktian pernyataan-pernyataan yang sesuai dari sistem formal, yang memformalkan teori-teori tersebut. Untuk memperoleh bukti pernyataan tentang konsistensi yang tidak bergantung pada cara-cara kuat yang dalam teori matematika klasik menjadi alasan rumitnya pembenarannya, D. Hilbert mengusulkan untuk mempelajari sistem formal yang disebut. metode terbatas (lihat metamathematics).
Namun, hasil K. Gödel di awal tahun 30-an abad XX. menyebabkan runtuhnya harapan utama yang terkait dengan program ini. K. Gödel menunjukkan hal berikut.
1) Setiap formalisasi S aritmatika yang alami dan konsisten atau teori matematika lainnya yang mengandung aritmatika (misalnya, teori himpunan) tidak lengkap dan tidak lengkap dalam arti bahwa: a) S berisi (rumus-rumus yang secara substantif benar tidak dapat diputuskan, ada rumus-rumus tersebut A, tidak ada A maupun negasi dari A tidak dapat dideduksi dalam S (ketidaklengkapan aritmatika yang diformalkan), b) tidak peduli seberapa banyak aksioma tambahan (misalnya, rumus yang tidak dapat diputuskan dalam S) yang memperluas sistem S, sistem formal yang baru dan diperkuat pasti akan memiliki rumusnya sendiri yang tidak dapat ditentukan (inkonsistensi; lihat juga teorema ketidaklengkapan Gödel).
2) Jika aritmatika realitas yang diformalkan itu konsisten, maka meskipun pernyataan tentang konsistensinya dapat dinyatakan dalam bahasanya sendiri, namun penyelesaian pernyataan itu tidak dapat dilakukan dengan cara yang diformalkan di dalamnya sendiri.
Ini berarti bahwa untuk aritmatika pada dasarnya tidak mungkin untuk menghabiskan seluruh cakupan penilaian yang benar-benar sesuai dengan kelas rumus yang dapat diinduksi oleh sistem formal mana pun dan bahwa tidak ada harapan untuk memperoleh bukti terbatas apa pun tentang konsistensi aritmatika, karena, jelas , klarifikasi apa pun yang masuk akal tentang konsep pembuktian terbatas ternyata dapat diformalkan dalam aritmatika formal.
Semua ini memberikan batasan tertentu pada kemungkinan AM dalam bentuk yang diperolehnya dalam kerangka formalisme Hilbertian. Namun, bahkan dalam batas-batas ini ia memainkan dan terus memainkan peran penting dalam landasan matematika. Jadi, misalnya, setelah dijelaskan hasil K. Gödel, dia sendiri pada tahun 1938-40, dan kemudian P. Cohen pada tahun 1963, berdasarkan pendekatan aksiomatik dengan menggunakan metode interpretasi, diperoleh hasil mendasar pada kompatibilitas (yaitu konsistensi relatif ) dan independensi aksioma pilihan dan hipotesis kontinum dalam teori himpunan. Adapun pertanyaan mendasar tentang dasar-dasar matematika seperti masalah konsistensi, dan setelah hasil K. Gödel, menjadi jelas bahwa untuk menyelesaikannya, jelas, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa cara dan gagasan lain, selain yang finitistik. Di sini, berbagai pendekatan ternyata dimungkinkan, mengingat adanya perbedaan pandangan tentang diterimanya cara-cara logis tertentu.
Dari hasil konsistensi sistem formal, kita harus menunjukkan konsistensi aritmatika formal, berdasarkan induksi tak hingga ke bilangan transfinit tertentu yang dapat dihitung.
Menurut P.S.Novikov.
Metode aksiomatik
| Nama parameter | Arti |
| Topik artikel: | Metode aksiomatik |
| Rubrik (kategori tematik) | Cerita |
Aksioma adalah titik awal, asli posisi suatu teori yang menjadi dasar bukti ketentuan lain (misalnya teorema) teori ini, di dalamnya diterima tanpa bukti. Dalam kesadaran dan bahasa sehari-hari, aksioma adalah kebenaran tertentu yang tidak dapat disangkal tidak diperlukan bukti.
Jadi, metode aksiomatik- ϶ᴛᴏ salah satu metode konstruksi deduktif teori ilmiah, di mana sekumpulan ketentuan yang diterima tanpa bukti, yang disebut "permulaan", "postulat" atau "aksioma", dipilih, dan semua proposisi teori lainnya diperoleh sebagai konsekuensi logis aksioma-aksioma ini.
Metode aksiomatik dalam matematika setidaknya berasal dari Euclid, meskipun istilah “aksioma” sering ditemukan dalam Aristoteles: “... Karena pembuktian tidak mungkin untuk segala hal: bagaimanapun juga, pembuktian harus diberikan atas dasar sesuatu mengenai sesuatu dan untuk membenarkan sesuatu. Namun ternyata segala sesuatu yang dibuktikan pasti berasal dari jenis yang sama, karena semua ilmu pembuktian menggunakan aksioma dengan cara yang sama.<…>Sebuah aksioma memiliki tingkat keumuman tertinggi dan merupakan inti dari permulaan segalanya.<…>Saya menyebut asas-asas pembuktian sebagai ketentuan-ketentuan yang berlaku umum yang menjadi dasar setiap orang membangun pembuktiannya.<…>Tidak perlu bertanya “mengapa” tentang prinsip-prinsip pengetahuan, dan masing-masing prinsip ini sendiri harus dapat diandalkan. Apa yang masuk akal adalah apa yang tampaknya benar bagi semua atau sebagian besar orang, atau bagi orang bijak – bagi semua atau sebagian besar dari mereka, atau bagi yang paling terkenal dan mulia. (Lihat, misalnya, Aristoteles. Karya dalam empat jilid. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. P. 349).
Seperti dapat dilihat dari penggalan terakhir Topik Aristoteles, dasar untuk menerima aksioma adalah “keandalan” tertentu dan bahkan otoritas orang-orang yang “terkenal dan terkenal”. Namun saat ini hal tersebut belum dianggap sebagai alasan yang cukup. Ilmu eksakta modern, termasuk. matematika itu sendiri, jangan terpaksa kenyataan sebagai argumen kebenaran: aksioma diperkenalkan dan diterima begitu saja tanpa bukti.
David Hilbert (1862-1943), matematikawan dan fisikawan Jerman, menunjukkan bahwa istilah aksiomatis terkadang digunakan dalam arti yang lebih luas dan terkadang dalam arti kata yang lebih sempit. Dalam pengertian yang seluas-luasnya istilah ini, kami menyebut konstruksi suatu teori “aksiomatik”. Dalam hal ini, D. Gilbert membedakannya aksiomatik isi dan aksiomatik formal.
Yang pertama “... memperkenalkan konsep dasarnya dengan mengacu pada pengalaman kami saat ini, dan menganggap ketentuan utamanya sebagai fakta nyata yang dapat diverifikasi secara langsung, atau merumuskannya sebagai hasil dari pengalaman tertentu dan dengan demikian mengungkapkan keyakinan kami bahwa kami berhasil menemukan jejak hukum alam, dan sekaligus niat kami untuk mendukung keyakinan tersebut dengan keberhasilan teori yang dikembangkan. Aksiomatik formal juga perlu mengenali bukti dari suatu jenis hal tertentu - hal ini sangat penting baik untuk implementasi deduksi maupun untuk membangun konsistensi aksiomatik itu sendiri - namun, dengan perbedaan yang signifikan bahwa jenis bukti ini tidak didasarkan pada setiap pengetahuan khusus. hubungan geologis dengan bidang ilmu tertentu yang sedang dipertimbangkan, tetapi tetap sama dalam kasus aksiomatik apa pun: yang kami maksud di sini adalah cara kognisi yang mendasar sehingga umumnya merupakan prasyarat untuk setiap penelitian teoretis yang akurat.<…>Aksiomatisasi formal, yang paling penting, membutuhkan teori substantif sebagai pelengkapnya, karena teori substantif inilah yang pertama-tama memandu kita dalam proses memilih formalisme yang tepat, dan kemudian, ketika teori formal sudah tersedia, teori tersebut memberi tahu kita bagaimana hal ini dapat dilakukan. teori harus diterapkan pada bidang realitas yang sedang dipertimbangkan. Di sisi lain, kita tidak dapat membatasi diri pada aksioma yang bermakna karena alasan sederhana bahwa dalam sains - jika tidak selalu, maka sebagian besar - kita berhadapan dengan teori-teori yang tidak sepenuhnya mereproduksi keadaan sebenarnya, tetapi hanya sekedar menyederhanakan idealisasi posisi ini, itulah arti penting mereka. Teori semacam ini tentu saja tidak dapat dibenarkan dengan mengacu pada bukti-bukti aksioma atau pengalamannya. Apalagi pembenarannya harus dilakukan hanya dalam arti akan terjalin konsistensi idealisasi yang dihasilkan di dalamnya, ᴛ.ᴇ. ekstrapolasi itu, sebagai akibat dari konsep-konsep yang diperkenalkan dalam teori ini dan ketentuan-ketentuan pokoknya melampaui batas-batas yang jelas secara visual atau data pengalamanʼʼ(cetak miring milik saya – Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Landasan Matematika. M.: Nauka, 1979. P. 23.)
Namun, metode aksiomatik yang dipahami secara modern bermuara pada hal berikut: a) memilih suatu himpunan diterima tanpa bukti aksioma; b) konsep-konsep yang terkandung di dalamnya tidak didefinisikan secara jelas dalam kerangka teori ini; c) aturan definisi dan aturan inferensi teori tertentu bersifat tetap, memungkinkan seseorang untuk secara logis menyimpulkan beberapa asumsi dari teori lain; d) semua teorema lainnya diturunkan dari ʼʼaʼʼ berdasarkan ʼʼвʼʼ. Berbagai bagian saat ini dibangun menggunakan metode ini. matematikawan(geometri, teori probabilitas, aljabar, dll.), fisikawan(mekanika, termodinamika); upaya sedang dilakukan untuk melakukan aksioma kimia Dan biologi. Gödel membuktikan ketidakmungkinan aksiomatisasi lengkap dari teori-teori ilmiah yang cukup berkembang (misalnya, aritmatika bilangan asli), yang menyiratkan ketidakmungkinan formalisasi pengetahuan ilmiah secara lengkap. Dalam mempelajari ilmu pengetahuan alam, metode aksiomatik muncul dalam bentuk metode hipotetis-deduktif. Penggunaan konsep “aksioma” dalam percakapan sehari-hari sebagai semacam secara apriori kejelasan tidak lagi mencerminkan esensi konsep ini. Pemahaman Aristotelian tentang istilah ini dalam matematika dan ilmu pengetahuan alam kini telah diatasi. Pembahasan aksiomatik pantas diiringi dengan penggalan karya klasik Karl Raimund Popper:
ʼʼSuatu sistem teoritis dapat disebut aksioma jika seperangkat pernyataan aksioma dirumuskan yang memenuhi empat persyaratan mendasar berikut: (a) sistem aksioma harus konsisten(artinya, tidak boleh mengandung aksioma yang saling bertentangan atau kontradiksi antar aksioma). Hal ini setara dengan persyaratan bahwa tidak setiap pernyataan sewenang-wenang dapat dideduksi dalam sistem seperti itu. (b) Aksioma suatu sistem tertentu harus independen, yaitu sistem tersebut tidak boleh mengandung aksioma yang dapat diturunkan dari aksioma lain. (Dengan kata lain, pernyataan unĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ dapat disebut aksioma hanya jika pernyataan tersebut tidak dapat dikurangkan pada bagian sistem yang tersisa setelah penghapusannya). Kedua kondisi ini berhubungan dengan sistem aksioma itu sendiri. Adapun hubungan sistem aksioma dengan bagian pokok teori, maka aksioma tersebut harus: (c) memadai untuk pengurangan semua pernyataan yang termasuk dalam teori aksioma, dan d) diperlukan dalam artian sistem tidak boleh memuat asumsi-asumsi yang tidak diperlukan.<…>Saya menganggap dua penafsiran berbeda terhadap sistem aksioma apa pun dapat diterima. Aksioma dapat dianggap sebagai (1) sebagai Konvensi, baik (2) sebagai empiris, atau ilmiah hipotesisʼʼ (Popper K.R. Logika penelitian ilmiah. M.: Respublika, 2005. P. 65).
Dalam sejarah sains, kita dapat menemukan sejumlah contoh transisi ke cara penyajian teori yang aksiomatik. Selain itu, penerapan metode ini secara konsisten pada logika pembuktian teorema dalam geometri memungkinkan untuk memikirkan kembali ilmu pengetahuan kuno ini, membuka dunia “geometri non-Euclidean” (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, dll.). Metode ini ternyata nyaman dan produktif, memungkinkan seseorang untuk membangun teori ilmiah secara harfiah sebagai kristal tunggal (begitulah, khususnya, mekanika teoretis dan termodinamika klasik sekarang disajikan). Beberapa saat kemudian, pada tahun 30-an abad ke-20, ahli matematika dalam negeri Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) memberikan pembenaran aksiomatik untuk teori probabilitas, yang, sebagaimana diyakini oleh para sejarawan sains, sebelumnya didasarkan pada gambaran empiris perjudian. (melempar, dadu, kartu) . Dalam hal ini, masuk akal untuk menawarkan kepada pembaca dua penggalan teks klasik sains dan pedagogi, yang mampu menulis, seperti yang dikatakan Berdyaev, tidak hanya “tentang sesuatu”, tetapi juga “sesuatu”.
R. Courant dan G. Robbins: “Ada satu aksioma dalam sistem Euclidian, yang mengenainya - berdasarkan perbandingan dengan data empiris, menggunakan benang atau sinar cahaya yang diregangkan rapat - tidak mungkin untuk mengatakan apakah itu "benar". Ini terkenal postulat tentang paralel, yang menyatakan bahwa melalui suatu titik tertentu yang terletak di luar garis tertentu seseorang dapat menggambar satu dan hanya satu garis sejajar dengan yang ini. Ciri khas aksioma ini adalah pernyataan yang terkandung di dalamnya menyangkut sifat-sifat garis lurus sepanjang keseluruhannya, dan garis tersebut diasumsikan memanjang tanpa batas pada kedua arah: mengatakan bahwa dua garis sejajar berarti mengatakan bahwa kedua garis tersebut tidak dapat menemukan titik yang sama, tidak peduli seberapa jauh garis tersebut diperpanjang terbatas bagian dari bidang, betapapun luasnya bagian tersebut, sebaliknya, melalui suatu titik tertentu dapat ditarik banyak garis lurus yang tidak berpotongan dengan garis lurus tertentu. Karena panjang maksimum yang mungkin dari sebuah penggaris, benang, bahkan berkas cahaya yang ditelusuri dengan teleskop pasti berhingga, dan karena di dalam lingkaran yang berjari-jari berhingga terdapat banyak garis lurus yang melalui suatu titik tertentu dan tidak bertemu dengan garis lurus tertentu di dalamnya. lingkaran, maka postulat Euclid tidak boleh diuji secara eksperimental.<…>Matematikawan Hungaria Bolyai dan ahli matematika Rusia Lobachevsky mengakhiri keraguan dengan membangun sistem geometri secara detail di mana aksioma paralelisme ditolak. Ketika Bolyai mengirimkan karyanya ke "raja matematika" Gauss, yang darinya dia sangat menantikan dukungan, dia menerima pemberitahuan sebagai tanggapan bahwa Gauss sendiri telah membuat penemuan sebelumnya, tetapi dia menahan diri untuk tidak mempublikasikan hasilnya pada saat itu, karena takut. diskusi yang terlalu berisik.
Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan aksioma independensi paralelisme. Independensi ini harus dipahami dalam arti bahwa kalimat “geometris” tentang titik, garis, dan sebagainya dapat dibangun, bebas dari kontradiksi internal, berdasarkan sistem aksioma di mana aksioma paralelisme digantikan oleh kebalikannya. Konstruksi ini biasa disebut geometri non-Euclidean(cetak miring milik saya – Yu.E.). Dibutuhkan keberanian intelektual dari Gauss, Bolyai dan Lobachevsky untuk menyadari bahwa geometri, tidak didasarkan pada sistem aksioma Euclidean, harus benar-benar konsisten(cetak miring milik saya – Yu.E.).<…>Kita sekarang dapat membangun “model” sederhana dari geometri yang memenuhi semua aksioma Euclid, kecuali aksioma paralelisme (R. Kurant, G. Robbins. Apa itu matematika? M.: Prosveshcheniye, 1967. P. 250) .
Berbagai versi geometri non-Euclidean (misalnya, geometri Riemann, serta geometri dalam ruang lebih dari tiga dimensi) kemudian diterapkan dalam konstruksi teori yang berkaitan dengan dunia mikro (mekanika kuantum relativistik, fisika partikel) dan, sebaliknya, ke megaworld (relativitas umum).
Terakhir, pendapat ahli matematika Rusia Andrei Nikolaevich Kolmogorov: “Teori probabilitas atau disiplin matematika dapat dan harus diaksiomakan dalam pengertian yang persis sama dengan geometri atau aljabar.” Artinya, setelah nama-nama objek yang diteliti dan hubungan-hubungan dasarnya diberikan, serta aksioma-aksioma yang harus dipatuhi oleh hubungan-hubungan itu, maka semua pemaparan lebih lanjut harus didasarkan secara eksklusif pada aksioma-aksioma tersebut, tanpa bergantung pada makna konkrit yang biasa dari objek-objek tersebut dan hubungannya(cetak miring milik saya – Yu.E.).<…>Teori aksiomatik (abstrak) apa pun memungkinkan, seperti diketahui, interpretasi konkrit dalam jumlah tak terbatas. Namun, teori matematika tentang probabilitas memungkinkan, bersama dengan interpretasi yang menjadi asal muasalnya, banyak teori lain.<…>Aksiomatisasi teori probabilitas harus dilakukan dengan berbagai cara, baik dalam kaitannya dengan pilihan aksioma maupun pilihan konsep dasar dan hubungan dasar. Jika kita mengejar tujuan kesederhanaan yang mungkin dari sistem aksioma itu sendiri dan konstruksi teori lebih lanjut darinya, maka tampaknya paling tepat untuk melakukan aksioma konsep peristiwa acak dan probabilitasnya. Ada juga sistem lain untuk konstruksi aksiomatik teori probabilitas, yaitu sistem yang konsep probabilitasnya bukan merupakan salah satu konsep dasar, tetapi diungkapkan melalui konsep lain [catatan kaki: Bdk., misalnya, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig kamu. Wien, Prancis Deutike, 1931; Bernstein S.N. Teori Probabilitas, edisi ke-2, Moskow, GTTI, 1934]. Namun pada saat yang sama, mereka berjuang untuk tujuan lain, yaitu sedekat mungkin dengan teori matematika dengan munculnya konsep probabilitas secara empiris (Kolmogorov A.N. Konsep dasar teori probabilitas. M.: Nauka, 1974.Hal.9).
Metode aksiomatik - konsep dan tipe. Klasifikasi dan ciri-ciri kategori “Metode aksiomatik” 2017, 2018.
