Tidak buruk sama sekali, bukan? Sementara para ahli matematika mencari kata-kata untuk memberi Anda definisi yang panjang dan membingungkan, mari kita lihat lebih dekat definisi yang sederhana dan jelas ini.
Angka e berarti pertumbuhan
Angka e berarti pertumbuhan berkelanjutan. Seperti yang kita lihat pada contoh sebelumnya, ex memungkinkan kita menghubungkan bunga dan waktu: 3 tahun dengan pertumbuhan 100% sama dengan 1 tahun dengan pertumbuhan 300%, dengan asumsi "bunga majemuk".
Anda dapat mengganti persentase dan nilai waktu apa pun (50% selama 4 tahun), tetapi lebih baik menetapkan persentase sebagai 100% untuk kenyamanan (ternyata 100% selama 2 tahun). Dengan beralih ke 100%, kita hanya bisa fokus pada komponen waktu:
e x = e persen * waktu = e 1,0 * waktu = e waktu
Jelasnya e x berarti:
- berapa besar kontribusi saya akan bertambah setelah x unit waktu (dengan asumsi pertumbuhan berkelanjutan 100%).
- misalnya, setelah 3 interval waktu saya akan menerima e 3 = 20,08 kali lebih banyak “barang”.
e x adalah faktor penskalaan yang menunjukkan level apa yang akan kita capai dalam jangka waktu x.
Logaritma natural berarti waktu
Logaritma natural adalah kebalikan dari e, istilah bagus untuk kebalikannya. Berbicara tentang kebiasaan; dalam bahasa latin disebut logarithmus naturali, maka disingkat ln.
Dan apa arti inversi atau kebalikannya?
- e x memungkinkan kita mengganti waktu dan mendapatkan pertumbuhan.
- ln(x) memungkinkan kita mengambil pertumbuhan atau pendapatan dan mengetahui waktu yang diperlukan untuk menghasilkannya.
Misalnya:
- e 3 sama dengan 20,08. Setelah tiga periode waktu kita akan mendapatkan 20,08 kali Lebih-lebih lagi tempat kami memulai.
- ln(20/08) akan menjadi sekitar 3. Jika Anda tertarik pada pertumbuhan sebesar 20,08 kali, Anda memerlukan 3 periode waktu (sekali lagi, dengan asumsi pertumbuhan berkelanjutan 100%).
Masih membaca? Logaritma natural menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai level yang diinginkan.
Hitungan logaritmik non-standar ini
Pernahkah Anda mempelajari logaritma - mereka adalah makhluk aneh. Bagaimana mereka bisa mengubah perkalian menjadi penjumlahan? Bagaimana dengan pembagian menjadi pengurangan? Mari kita lihat.
ln(1) sama dengan apa? Secara intuitif, pertanyaannya adalah: berapa lama saya harus menunggu untuk mendapatkan 1x lebih banyak dari yang saya miliki?
Nol. Nol. Sama sekali tidak. Anda sudah memilikinya sekali. Tidak perlu banyak waktu untuk berpindah dari level 1 ke level 1.
- ln(1) = 0
Oke, bagaimana dengan nilai pecahannya? Berapa lama waktu yang diperlukan agar kita mempunyai 1/2 dari jumlah yang tersedia? Kita tahu bahwa dengan pertumbuhan berkelanjutan 100%, ln(2) berarti waktu yang diperlukan untuk menggandakannya. jika kita mari kita memutar kembali waktu(yaitu, menunggu waktu negatif), maka kita akan mendapatkan setengah dari apa yang kita miliki.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Logis, bukan? Jika kita kembali (waktu mundur) ke 0,693 detik, kita akan menemukan setengah dari jumlah yang tersedia. Secara umum, Anda dapat membalik pecahan dan mengambil arti negatif: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Artinya jika kita kembali ke masa 1,09 kali, kita hanya akan menemukan sepertiga dari angka saat ini.
Oke, bagaimana dengan logaritma bilangan negatif? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk “menumbuhkan” koloni bakteri dari 1 menjadi -3?
Ini tidak mungkin! Anda tidak bisa mendapatkan jumlah bakteri negatif, bukan? Anda bisa mendapatkan maksimum (er...minimum) nol, tapi tidak mungkin Anda bisa mendapatkan angka negatif dari makhluk kecil ini. DI DALAM angka negatif bakteri tidak masuk akal.
- ln(angka negatif) = tidak terdefinisi
"Tidak terdefinisi" berarti tidak ada waktu yang harus menunggu untuk mendapatkan nilai negatif.
Perkalian logaritma sungguh lucu
Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh empat kali lipat? Tentu saja, Anda bisa mengambil ln(4). Tapi ini terlalu sederhana, kita akan memilih cara lain.
Anda dapat membayangkan pertumbuhan empat kali lipat sebagai penggandaan (memerlukan ln(2) satuan waktu) dan kemudian berlipat ganda lagi (membutuhkan ln(2) satuan waktu lagi):
- Waktunya bertambah 4 kali = ln(4) = Waktunya berlipat ganda lalu berlipat ganda lagi = ln(2) + ln(2)
Menarik. Tingkat pertumbuhan apa pun, katakanlah 20, dapat dianggap dua kali lipat setelah peningkatan 10x. Atau tumbuh 4 kali lipat, lalu 5 kali lipat. Atau tiga kali lipat lalu meningkat 6,666 kali lipat. Lihat polanya?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Logaritma A dikali B adalah log(A) + log(B). Hubungan ini langsung masuk akal jika dilihat dari segi pertumbuhan.
Jika Anda tertarik dengan pertumbuhan 30x, Anda dapat menunggu ln(30) sekaligus, atau menunggu ln(3) untuk tiga kali lipat, dan kemudian ln(10) lagi untuk 10x. Hasil akhir sama, jadi tentu saja waktu harus tetap (dan tetap).
Bagaimana dengan pembagian? Secara spesifik, ln(5/3) artinya: berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh 5 kali lipat dan mendapatkan 1/3 darinya?
Hebat, pertumbuhan 5 kali lipat adalah ln(5). Peningkatan 1/3 kali akan memakan waktu -ln(3) satuan waktu. Jadi,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Artinya: biarkan tumbuh 5 kali lipat, lalu “kembali ke masa lalu” ke titik di mana hanya tersisa sepertiga dari jumlah tersebut, sehingga Anda mendapatkan pertumbuhan 5/3. Secara umum ternyata
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Saya harap aritmatika logaritma yang aneh mulai masuk akal bagi Anda: mengalikan tingkat pertumbuhan menjadi penambahan satuan waktu pertumbuhan, dan pembagian menjadi pengurangan satuan waktu. Tidak perlu menghafal aturannya, cobalah memahaminya.
Menggunakan logaritma natural untuk pertumbuhan sewenang-wenang
Tentu saja,” Anda berkata, “semuanya baik jika pertumbuhannya 100%, tapi bagaimana dengan 5% yang saya terima?”
Tidak masalah. "Waktu" yang kita hitung dengan ln() sebenarnya adalah kombinasi suku bunga dan waktu, X yang sama dari persamaan e x. Kami baru saja memutuskan untuk menetapkan persentase menjadi 100% untuk kesederhanaan, namun kami bebas menggunakan angka apa pun.
Katakanlah kita ingin mencapai pertumbuhan 30x: ambil ln(30) dan dapatkan 3,4 Artinya:
- ex = tinggi badan
- e 3,4 = 30
Jelas sekali, persamaan ini berarti "pengembalian 100% selama 3,4 tahun menghasilkan pertumbuhan 30x lipat." Kita dapat menulis persamaan ini sebagai berikut:
- e x = e laju*waktu
- e 100% * 3,4 tahun = 30
Kita dapat mengubah nilai “taruhan” dan “waktu”, selama rate * waktu tetap 3,4. Misalnya, jika kita tertarik pada pertumbuhan 30x, berapa lama kita harus menunggu pada tingkat bunga 5%?
- ln(30) = 3,4
- tarif * waktu = 3,4
- 0,05 * waktu = 3,4
- waktu = 3,4 / 0,05 = 68 tahun
Saya beralasan seperti ini: "ln(30) = 3,4, jadi pada pertumbuhan 100% dibutuhkan waktu 3,4 tahun. Jika saya menggandakan laju pertumbuhannya, waktu yang dibutuhkan akan dibelah dua."
- 100% selama 3,4 tahun = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% dalam 1,7 tahun = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50% selama 6,8 tahun = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% di atas 68 tahun = 0,05 * 68 = 3,4.
Hebat, bukan? Logaritma natural dapat digunakan pada tingkat bunga dan waktu berapa pun karena hasil kali mereka tetap konstan. Anda dapat memindahkan nilai variabel sebanyak yang Anda suka.
Contoh keren: Aturan tujuh puluh dua
Aturan Tujuh Puluh Dua adalah teknik matematika yang memungkinkan Anda memperkirakan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar uang Anda berlipat ganda. Sekarang kita akan menyimpulkannya (ya!), dan terlebih lagi, kita akan mencoba memahami esensinya.
Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk melipatgandakan uang Anda dengan bunga majemuk 100% setiap tahunnya?
Ups. Kami menggunakan logaritma natural untuk kasus dengan pertumbuhan berkelanjutan, dan sekarang Anda berbicara tentang akrual tahunan? Bukankah rumus ini tidak cocok untuk kasus seperti itu? Ya, itu akan terjadi, tetapi untuk suku bunga riil seperti 5%, 6% atau bahkan 15%, perbedaan antara bunga majemuk tahunan dan pertumbuhan berkelanjutan akan menjadi kecil. Jadi perkiraan kasarnya berhasil, um, secara kasar, jadi kita anggap saja kita mempunyai akrual yang sepenuhnya berkelanjutan.
Sekarang pertanyaannya sederhana: Seberapa cepat Anda bisa menggandakannya dengan pertumbuhan 100%? ln(2) = 0,693. Dibutuhkan 0,693 unit waktu (dalam kasus kami tahun) untuk menggandakan jumlah kami dengan peningkatan berkelanjutan sebesar 100%.
Lalu bagaimana jika suku bunganya bukan 100%, tapi katakanlah 5% atau 10%?
Mudah! Karena taruhan * waktu = 0,693, kami akan menggandakan jumlahnya:
- tarif * waktu = 0,693
- waktu = 0,693 / taruhan
Ternyata jika pertumbuhannya 10%, dibutuhkan 0,693 / 0,10 = 6,93 tahun untuk menjadi dua kali lipat.
Untuk menyederhanakan penghitungan, mari kalikan kedua ruas dengan 100, lalu kita dapat mengatakan "10" dan bukan "0,10":
- waktu menggandakan = 69,3 / taruhan, dimana taruhan dinyatakan dalam persentase.
Sekarang saatnya berlipat ganda pada tingkat 5%, 69,3 / 5 = 13,86 tahun. Namun, 69,3 bukanlah dividen yang paling sesuai. Ayo pilih nomor dekat, 72, yang mudah untuk dibagi dengan 2, 3, 4, 6, 8 dan angka lainnya.
- waktu untuk menggandakan = 72 / taruhan
yang merupakan aturan tujuh puluh dua. Semuanya tertutup.
Jika Anda perlu mencari waktu untuk melipatgandakan, Anda dapat menggunakan ln(3) ~ 109.8 dan dapatkan
- waktu untuk melipatgandakan = 110 / taruhan
Apa yang lain aturan yang berguna. "Aturan 72" berlaku untuk pertumbuhan suku bunga, pertumbuhan populasi, kultur bakteri, dan segala sesuatu yang tumbuh secara eksponensial.
Apa berikutnya?
Saya harap logaritma natural sekarang masuk akal bagi Anda - logaritma ini menunjukkan waktu yang diperlukan suatu bilangan untuk bertambah secara eksponensial. Menurut saya disebut natural karena e adalah ukuran pertumbuhan yang universal, jadi ln bisa dipertimbangkan secara universal menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk tumbuh.
Setiap kali Anda melihat ln(x), ingatlah "waktu yang diperlukan untuk tumbuh X kali lipat". Dalam artikel mendatang saya akan menjelaskan e dan ln secara bersamaan sehingga aroma segar matematika memenuhi udara.
Tambahan: Logaritma natural dari e
Kuis singkat: apa itu ln(e)?
- robot matematika akan berkata: karena keduanya didefinisikan sebagai invers satu sama lain, jelas bahwa ln(e) = 1.
- orang yang pengertian: ln(e) adalah berapa kali yang diperlukan untuk menumbuhkan "e" kali (sekitar 2,718). Namun bilangan e sendiri merupakan ukuran pertumbuhan dengan faktor 1, jadi ln(e) = 1.
Berpikir jernih.
9 September 2013Logaritma natural
Grafik fungsi logaritma natural. Fungsi tersebut perlahan-lahan mendekati tak terhingga positif seiring bertambahnya X dan dengan cepat mendekat tak terhingga negatif, Kapan X cenderung 0 (“lambat” dan “cepat” dibandingkan dengan fungsi daya apa pun X).
Logaritma natural adalah logaritma ke basis , Di mana e- konstanta irasional sama dengan kira-kira 2,718281 828. Logaritma natural biasanya ditulis dengan ln( X), catatan e (X) atau terkadang hanya mencatat( X), jika basis e tersirat.
Logaritma natural suatu bilangan X(ditulis sebagai dalam(x)) adalah eksponen yang bilangannya harus dipangkatkan e, Untuk memperoleh X. Misalnya, dalam(7.389...) sama dengan 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e (di(e)) sama dengan 1 karena e 1 = e, dan logaritma naturalnya adalah 1 ( dalam(1)) sama dengan 0 karena e 0 = 1.
Logaritma natural dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real positif A sebagai luas di bawah kurva kamu = 1/X dari 1 sampai A. Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak rumus lain yang menggunakan logaritma natural, menyebabkan munculnya nama "natural". Definisi ini dapat diperluas ke bilangan kompleks, seperti dibahas di bawah.
Jika kita menganggap logaritma natural sebagai fungsi riil dari variabel riil, maka itu adalah fungsi invers dari Fungsi eksponensial, yang mengarah ke identitas:
Seperti semua logaritma, logaritma natural memetakan perkalian ke penjumlahan:
Jadi, fungsi logaritma merupakan isomorfisme dari kelompok positif bilangan real mengenai perkalian sekelompok bilangan real dengan penjumlahan, yang dapat direpresentasikan sebagai suatu fungsi:
Logaritma dapat didefinisikan untuk basis positif apa pun selain 1, tidak hanya e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya ditentukan dalam logaritma natural. Logaritma berguna untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan bilangan yang tidak diketahui sebagai eksponen. Misalnya, logaritma digunakan untuk mencari konstanta peluruhan Untuk periode yang diketahui waktu paruh, atau untuk menemukan waktu peluruhan dalam memecahkan masalah radioaktivitas. Mereka sedang bermain peran penting di banyak bidang matematika dan ilmu terapan, digunakan di bidang keuangan untuk menyelesaikan banyak masalah, termasuk mencari bunga majemuk.
Cerita
Penyebutan logaritma natural pertama kali dilakukan oleh Nicholas Mercator dalam karyanya Logaritmoteknik, diterbitkan pada tahun 1668, meskipun guru matematika John Spidell menyusun tabel logaritma natural pada tahun 1619. Sebelumnya disebut logaritma hiperbolik karena sesuai dengan luas di bawah hiperbola. Kadang-kadang disebut logaritma Napier, meskipun arti asli istilah ini agak berbeda.
Konvensi penunjukan
Logaritma natural biasanya dilambangkan dengan “ln( X)", logaritma ke basis 10 - melalui "lg( X)", dan alasan lainnya biasanya ditunjukkan secara eksplisit dengan simbol "log".
Dalam banyak karya matematika diskrit, sibernetika, dan ilmu komputer, penulis menggunakan notasi “log( X)" untuk logaritma ke basis 2, tetapi konvensi ini tidak diterima secara umum dan memerlukan klarifikasi baik dalam daftar notasi yang digunakan atau (jika tidak ada daftar tersebut) dengan catatan kaki atau komentar saat pertama kali digunakan.
Tanda kurung di sekitar argumen logaritma (jika hal ini tidak menyebabkan kesalahan pembacaan rumus) biasanya dihilangkan, dan saat menaikkan logaritma ke pangkat, eksponen diberikan langsung ke tanda logaritma: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ dalam ( 3 )] 2 .
sistem Anglo-Amerika
Matematikawan, ahli statistik, dan beberapa insinyur biasanya menggunakan istilah “logaritma natural” atau “log( X)" atau "dalam( X)", dan untuk menunjukkan logaritma basis 10 - "log 10 ( X)».
Beberapa insinyur, ahli biologi dan spesialis lainnya selalu menulis “ln( X)" (atau kadang-kadang "log e ( X)") yang dimaksud adalah logaritma natural, dan notasi "log( X)" maksudnya log 10 ( X).
catatan e adalah logaritma "alami" karena muncul secara otomatis dan sangat sering muncul dalam matematika. Misalnya, perhatikan masalah turunan fungsi logaritma:
Jika pangkalan B sama e, maka turunannya adalah 1/ X, dan kapan X= 1 turunan ini sama dengan 1. Alasan lain mengapa basa e Hal yang paling wajar tentang logaritma adalah bahwa logaritma dapat didefinisikan secara sederhana dalam integral sederhana atau deret Taylor, yang tidak dapat dikatakan tentang logaritma lainnya.
Pembenaran lebih lanjut atas kealamian tidak berkaitan dengan notasi. Jadi misalnya ada beberapa baris sederhana dengan logaritma natural. Pietro Mengoli dan Nicholas Mercator memanggil mereka logaritmus naturalis beberapa dekade hingga Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus diferensial dan integral.
Definisi
Secara formal ln( A) dapat didefinisikan sebagai luas daerah di bawah kurva grafik 1/ X dari 1 sampai A, yaitu sebagai suatu integral:
Ini memang logaritma karena memenuhi properti mendasar logaritma:
Hal ini dapat dibuktikan dengan asumsi sebagai berikut:
Nilai numerik
Untuk perhitungan nilai numerik logaritma natural suatu bilangan, Anda dapat menggunakan perluasan deret Taylor dalam bentuk:
Untuk mendapatkan tingkat konvergensi yang lebih baik, Anda dapat menggunakan identitas berikut:
Untuk ln( X), Di mana X> 1 dari nilai lebih dekat X menjadi 1, lalu kecepatan lebih cepat konvergensi. Identitas yang terkait dengan logaritma dapat digunakan untuk mencapai tujuan:
Metode-metode ini digunakan bahkan sebelum munculnya kalkulator yang digunakannya tabel numerik dan manipulasi serupa dengan yang dijelaskan di atas dilakukan.
Akurasi tinggi
Untuk menghitung logaritma natural dengan jumlah besar angka akurasinya, deret Taylor tidak efisien karena konvergensinya lambat. Alternatifnya adalah dengan menggunakan metode Newton untuk melakukan inversi fungsi eksponensial yang deretnya konvergen lebih cepat.
Alternatif untuk akurasi perhitungan yang sangat tinggi adalah rumus:
Di mana M menunjukkan rata-rata aritmatika-geometris 1 dan 4/s, dan
M dipilih agar P tanda akurasi tercapai. (Dalam kebanyakan kasus, nilai 8 untuk m sudah cukup.) Faktanya, jika metode ini digunakan, invers logaritma natural Newton dapat diterapkan untuk menghitung fungsi eksponensial secara efisien. (Konstanta ln 2 dan pi dapat dihitung terlebih dahulu hingga akurasi yang diinginkan menggunakan salah satu deret konvergen cepat yang diketahui.)
Kompleksitas komputasi
Kompleksitas komputasi logaritma natural (menggunakan mean aritmatika-geometris) adalah O( M(N)ln N). Di Sini N adalah jumlah digit presisi yang logaritma naturalnya harus dievaluasi, dan M(N) adalah kompleksitas komputasi dari perkalian dua N-angka angka.
Pecahan lanjutan
Meskipun tidak ada pecahan lanjutan sederhana yang mewakili logaritma, beberapa pecahan lanjutan umum dapat digunakan, antara lain:
Logaritma kompleks
Fungsi eksponensial dapat diperluas ke fungsi yang memberikan bentuk bilangan kompleks e X untuk sewenang-wenang bilangan kompleks X, dalam hal ini deret tak hingga dengan kompleks X. Ini Fungsi eksponensial dapat dibalik untuk membentuk logaritma kompleks, yang akan memiliki sebagian besar sifat-sifat logaritma biasa. Namun ada dua kesulitan: tidak ada X, untuk itu e X= 0, dan ternyata e 2πi = 1 = e 0 . Karena sifat perkalian berlaku untuk fungsi eksponensial kompleks, maka e z = e z+2tidak untuk semua kompleks z dan utuh N.
Logaritma tidak dapat didefinisikan di seluruh bidang kompleks, dan meskipun demikian, logaritma tersebut bernilai banyak - logaritma kompleks apa pun dapat diganti dengan logaritma "ekuivalen" dengan menambahkan kelipatan bilangan bulat apa pun dari 2 πi. Logaritma kompleks dapat menjadi jelas hanya pada sepotong bidang kompleks. Misalnya, ln Saya = 1/2 πi atau 5/2 πi atau −3/2 πi, dll., dan meskipun Saya 4 = 1,4 catatan Saya dapat didefinisikan sebagai 2 πi, atau 10 πi atau −6 πi, dan seterusnya.
Lihat juga
- John Napier - penemu logaritma
Catatan
- Matematika untuk kimia fisik. - ke-3. - Academic Press, 2005. - Hal.9. - ISBN 0-125-08347-5,Ekstrak halaman 9
- J J O "Connor dan EF Robertson Nomor e. Arsip Sejarah Matematika MacTutor (September 2001). Diarsipkan
- Cajori Florian Sejarah Matematika, edisi ke-5. - Toko Buku AMS, 1991. - Hal.152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Memperkirakan Integral menggunakan Polinomial. Diarsipkan dari versi asli tanggal 12 Februari 2012.
sering mengambil nomor e = 2,718281828 . Logaritma oleh dasar ini disebut alami. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma natural, biasanya menggunakan tanda akuN, tapi tidak catatan; sedangkan nomornya 2,718281828 , yang menjelaskan dasarnya, tidak disebutkan.
Dengan kata lain, rumusannya akan terlihat seperti: logaritma natural angka X- ini adalah eksponen yang angkanya harus dipangkatkan e, Untuk memperoleh X.
Jadi, dalam(7.389...)= 2, karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e= 1 karena e 1 =e, dan logaritma natural kesatuan sama dengan nol, Karena e 0 = 1.
Nomor itu sendiri e mendefinisikan limit barisan berbatas monotonik
menghitung itu e = 2,7182818284... .
Seringkali, untuk mencatat suatu nomor dalam memori, digit-digit dari nomor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tanggal yang belum dibayar. Kecepatan menghafal sembilan digit pertama suatu angka e setelah koma desimal akan bertambah jika Anda memperhatikan bahwa tahun 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!
Hari ini jumlahnya cukup banyak tabel penuh logaritma natural.
Grafik logaritma natural(fungsi kamu =di x) merupakan konsekuensi dari grafik eksponensial bayangan cermin relatif lurus kamu = x dan memiliki bentuk:
Logaritma natural dapat ditemukan untuk setiap positif bilangan real A sebagai luas di bawah kurva kamu = 1/X dari 1 sebelum A.
Sifat dasar rumusan ini, yang konsisten dengan banyak rumus lain yang melibatkan logaritma natural, menjadi alasan terbentuknya nama “alami”.
Jika Anda menganalisis logaritma natural, sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka ia bertindak fungsi terbalik menjadi fungsi eksponensial, yang direduksi menjadi identitas:
e ln(a) =a (a>0)
ln(ea) =a
Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma natural mengubah perkalian menjadi penjumlahan, pembagian menjadi pengurangan:
dalam(xy) = dalam(X) + dalam(kamu)
dalam(x/y)= lnx - lny
Logaritma dapat ditemukan untuk setiap basis positif yang tidak sama dengan satu, tidak hanya untuk e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya ditentukan dalam logaritma natural.
Setelah dianalisis grafik logaritma natural, kami menemukan bahwa itu ada untuk nilai-nilai positif variabel X. Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya.
Pada X → 0 limit logaritma natural adalah minus tak terhingga ( -∞ ).Pada x → +∞ limit logaritma naturalnya ditambah tak terhingga ( + ∞ ). Pada umumnya X Logaritma meningkat cukup lambat. Fungsi daya apa pun xa dengan eksponen positif A meningkat lebih cepat dari logaritma. Logaritma natural merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem.
Penggunaan logaritma natural sangat rasional saat melintas matematika yang lebih tinggi. Oleh karena itu, menggunakan logaritma akan lebih mudah untuk menemukan jawaban persamaan yang bilangan tak diketahuinya muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma natural dalam perhitungan membuatnya sangat disederhanakan sejumlah besar rumus matematika. Logaritma ke basis e hadir ketika memecahkan sejumlah besar masalah fisik Dan tentu saja termasuk dalam deskripsi matematika proses kimia, biologi, dan proses lainnya secara individual. Jadi, logaritma digunakan untuk menghitung konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk menghitung waktu peluruhan dalam menyelesaikan masalah radioaktivitas. Mereka tampil di peran utama di banyak cabang matematika dan ilmu-ilmu praktis, mereka terpaksa di bidang keuangan untuk menyelesaikannya jumlah besar tugas, termasuk perhitungan bunga majemuk.
