Tujuan Pelajaran
- Pembentukan keterampilan siswa dalam memecahkan masalah yang melibatkan konstruksi bagian.
- Pembentukan dan pengembangan imajinasi spasial pada siswa.
- Pengembangan budaya grafis dan pidato matematika.
- Mengembangkan kemampuan bekerja secara individu dan tim.
Jenis pelajaran: pelajaran dalam pembentukan dan peningkatan pengetahuan.
Bentuk penyelenggaraan kegiatan pendidikan: kelompok, individu, kolektif.
Dukungan teknis pelajaran: komputer, proyektor multimedia, layar, kumpulan benda geometris (kubus, paralelepiped, tetrahedron).
KEMAJUAN PELAJARAN
1. Momen organisasi
Kelas dibagi menjadi 3 kelompok yang terdiri dari 5-6 orang. Pada setiap meja terdapat tugas individu dan kelompok untuk membangun suatu bagian, sekumpulan badan. Memperkenalkan siswa pada topik dan tujuan pelajaran.
2. Memperbarui pengetahuan dasar
Teori jajak pendapat:
– Aksioma stereometri.
– Konsep garis sejajar dalam ruang.
– Teorema garis sejajar.
– Paralelisme tiga garis lurus.
– Posisi bersama garis lurus dan bidang dalam ruang.
– Tanda kesejajaran antara garis dan bidang.
– Penentuan paralelisme bidang.
– Tanda paralelisme dua bidang.
– Sifat-sifat bidang sejajar.
– Tetrahedron. Paralelipiped. Sifat-sifat paralelepiped.
3. Mempelajari materi baru
Kata-kata guru: Saat memecahkan banyak masalah stereometrik, bagian polihedron pada bidang digunakan. Mari kita sebut bidang potong polihedron sebagai bidang apa pun yang di kedua sisinya terdapat titik-titik polihedron tertentu.
Bidang pemotongan memotong permukaan sepanjang segmen. Poligon yang sisi-sisinya merupakan segmen-segmen ini disebut bagian dari polihedron.
Dengan menggunakan Gambar 38-39, mari kita cari tahu: Berapa banyak sisi yang dimiliki suatu penampang tetrahedron dan paralelepiped?
Siswa menganalisis gambar dan menarik kesimpulan. Guru mengoreksi jawaban siswa, menunjukkan fakta bahwa jika sebuah bidang potong memotong dua sisi berlawanan dari sebuah paralelepiped sepanjang beberapa segmen, maka segmen tersebut sejajar.
Analisa menyelesaikan masalah 1, 2, 3 yang diberikan dalam buku teks (kerja kelompok lisan).
4. Konsolidasi materi yang dipelajari(menurut kelompok)
1 kelompok: jelaskan cara membuat bagian tetrahedron dengan bidang yang melalui titik tertentu M, N, K dan pada soal 1-3 tentukan keliling bagian tersebut jika M, N, K adalah titik tengah sisi-sisinya dan masing-masing sisi sisinya tetrahedron adalah sama A.
Grup 2: jelaskan cara membuat bagian kubus dengan bidang yang melalui tiga titik tertentu, yang merupakan titik sudut kubus atau titik tengah sisi-sisinya (tiga titik tersebut disorot dalam gambar dalam soal 1-4 dan 6, tentukan keliling penampang jika rusuk kubus sama dengan A. pada soal 5 buktikan bahwa AE = A/3
Kelompok 3: buatlah penampang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bidang yang melalui titik-titik:
Kelompok mempertahankan semua tugas yang telah diselesaikan di papan menggunakan slide.
5. Pekerjaan mandiri № 85, № 105.
6. Menyimpulkan pelajaran
Menilai pekerjaan siswa di kelas.
7. Pekerjaan rumah: kartu individu.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Mari kita menganalisis dua jenis solusi sistem persamaan:
1. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode substitusi.
2. Menyelesaikan sistem dengan penjumlahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Ekspres. Dari persamaan apa pun kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan lain, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.
Untuk memutuskan sistem dengan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku perlu:
1. Pilih variabel yang akan kita buat koefisiennya yang identik.
2. Kita menambah atau mengurangi persamaan, sehingga menghasilkan persamaan dengan satu variabel.
3. Selesaikan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.
Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.
Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.
Contoh #1:
Mari kita selesaikan dengan metode substitusi
Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode substitusi2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)
1. Ekspres
Terlihat pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1 yang berarti paling mudah untuk menyatakan variabel x dari persamaan kedua.
x=3+10y
2.Setelah kita menyatakannya, kita substitusikan 3+10y ke persamaan pertama sebagai pengganti variabel x.
2(3+10 tahun)+5 tahun=1
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (buka tanda kurung)
6+20 tahun+5 tahun=1
25 tahun= 1-6
25 tahun=-5 |: (25)
kamu=-5:25
kamu=-0,2
Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafiknya, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong tersebut terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, pada titik pertama yang kita nyatakan, kita substitusikan y ke sana .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Biasanya kita menuliskan titik, pertama kita tulis variabel x, dan kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)
Contoh #2:
Mari kita selesaikan dengan menggunakan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku.
Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode penjumlahan3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)
1. Kita memilih suatu variabel, misalkan kita memilih x. Pada persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, pada persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita berhak mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan persamaan kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan variabel x.
__6x-4y=2
5 tahun=32 | :5
kamu=6.4
3. Temukan x. Kita substitusikan y yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan, misalkan ke dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Titik potongnya adalah x=4.6; kamu=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)
Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru daring gratis. Tidak ada lelucon.
Sistem persamaan telah banyak digunakan dalam industri ekonomi dengan pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya dalam memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, jalur logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.
Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah untuk menemukan ukuran populasi.
Sistem persamaan linier sebutkan dua atau lebih persamaan yang mempunyai beberapa variabel yang memerlukan penyelesaian bersama. Suatu barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan yang benar atau membuktikan bahwa barisan tersebut tidak ada.
Persamaan linier
Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang belum diketahui yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan tersebut.
Menyelesaikan persamaan dengan memplotnya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya merupakan solusi polinomial.
Jenis sistem persamaan linear
Contoh paling sederhana adalah sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.
F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dimana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.
Selesaikan sistem persamaan - ini berarti menemukan nilai (x, y) di mana sistem berubah menjadi persamaan yang sebenarnya atau menetapkannya nilai-nilai yang sesuai x dan y tidak ada.
Sepasang nilai (x, y) yang ditulis sebagai koordinat suatu titik disebut penyelesaian sistem persamaan linier.
Jika sistem mempunyai satu solusi yang sama atau tidak ada solusi, maka sistem tersebut disebut ekuivalen.
Sistem persamaan linear homogen adalah sistem sisi kanan yang sama dengan nol. Jika ruas kanan setelah tanda sama dengan mempunyai nilai atau dinyatakan dengan suatu fungsi, maka sistem tersebut heterogen.
Jumlah variabelnya bisa lebih dari dua, maka kita harus membahas contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.
Ketika dihadapkan pada sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, namun kenyataannya tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel;
Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan
Tidak ada kesamaan metode analitis solusi sistem serupa, semua metode didasarkan pada solusi numerik. DI DALAM kursus sekolah Matematika menjelaskan secara rinci metode-metode seperti permutasi, penjumlahan aljabar, substitusi, serta metode grafik dan matriks, penyelesaian dengan metode Gaussian.
Tugas utama ketika mengajarkan metode solusi adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi memahami prinsip-prinsip penggunaan metode tertentu
Contoh penyelesaian sistem persamaan linear program kelas 7 sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat detail. Dalam buku teks matematika mana pun, bagian ini mendapat perhatian yang cukup. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari lebih detail pada tahun-tahun pertama pendidikan tinggi.
Sistem penyelesaiannya menggunakan metode substitusi
Tindakan metode substitusi bertujuan untuk menyatakan nilai suatu variabel dalam variabel kedua. Ekspresi tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk dengan satu variabel. Tindakan ini diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem
Mari kita berikan penyelesaian contoh sistem persamaan linear kelas 7 dengan menggunakan metode substitusi:
Seperti dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu memperoleh satu variabel Y di persamaan ke-2 . Larutan contoh ini tidak menimbulkan kesulitan dan memungkinkan Anda memperoleh nilai Y. Langkah terakhir Ini adalah pemeriksaan nilai yang diterima.
Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaannya bisa jadi rumit dan menyatakan variabel dalam bentuk variabel kedua yang tidak diketahui akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Jika terdapat lebih dari 3 hal yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian dengan substitusi juga tidak praktis.
Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:
Penyelesaiannya menggunakan penjumlahan aljabar
Saat mencari solusi sistem menggunakan metode penjumlahan, persamaan dijumlahkan suku demi suku dan dikalikan dengan berbagai bilangan. Tujuan akhir operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.
Untuk Aplikasi metode ini diperlukan latihan dan observasi. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan jika terdapat 3 variabel atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar mudah digunakan jika persamaan mengandung pecahan dan desimal.
Algoritma solusi:
- Kalikan kedua ruas persamaan dengan angka tertentu. Sebagai akibat tindakan aritmatika salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
- Tambahkan ekspresi yang dihasilkan suku demi suku dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
- Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari variabel yang tersisa.
Metode penyelesaian dengan memperkenalkan variabel baru
Variabel baru dapat dimasukkan jika sistem memerlukan penyelesaian tidak lebih dari dua persamaan;
Metode tersebut digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan untuk variabel yang tidak diketahui, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.
Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi persamaan standar trinomial kuadrat. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.
Kita perlu mencari nilai diskriminan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah faktor polinomial. DI DALAM contoh yang diberikan a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka ada satu solusi: x = -b / 2*a.
Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penjumlahan.
Metode visual untuk memecahkan sistem
Cocok untuk 3 sistem persamaan. Metodenya adalah dengan membangun sumbu koordinat grafik setiap persamaan yang termasuk dalam sistem. Koordinat titik potong kurva dan adalah keputusan umum sistem.
Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.
Terlihat dari contoh, untuk setiap garis dibangun dua titik, nilai variabel x dipilih secara sembarang: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, ditemukan nilai y: 3 dan 0. Titik-titik yang koordinatnya (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan sebuah garis.
Langkah-langkah tersebut harus diulangi untuk persamaan kedua. Titik potong garis tersebut merupakan penyelesaian sistem.
DI DALAM contoh berikut perlu menemukan solusi grafis sistem persamaan linear: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.
Seperti dapat dilihat dari contoh, sistem tidak mempunyai solusi karena grafik-grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang keseluruhannya.
Sistem dari contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun menjadi jelas bahwa solusinya berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah suatu sistem mempunyai solusi atau tidak; selalu perlu untuk membuat grafik.
Matriks dan ragamnya
Matriks digunakan untuk catatan singkat sistem persamaan linear. Matriks adalah tabel tipe khusus diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.
Suatu matriks berbentuk persegi jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks yang mempunyai satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Matriks yang mempunyai elemen nol pada salah satu diagonalnya dan elemen nol lainnya disebut identitas.
Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan matriks aslinya berubah menjadi matriks satuan; matriks seperti itu hanya ada untuk matriks persegi aslinya.
Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks
Sehubungan dengan sistem persamaan, koefisien dan suku bebas persamaan ditulis sebagai bilangan matriks; satu persamaan adalah satu baris matriks.
Suatu baris suatu matriks dikatakan bukan nol jika paling sedikit salah satu elemen baris tersebut tidak bernilai nol sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabelnya berbeda, maka nol harus dimasukkan sebagai pengganti variabel yang tidak diketahui.
Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Artinya koefisien variabel x hanya dapat ditulis pada satu kolom, misalnya kolom pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya pada kolom kedua.
Saat mengalikan suatu matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan suatu bilangan.
Pilihan untuk mencari matriks invers
Rumus mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, dimana K -1 - matriks terbalik, dan |K| adalah determinan matriks. |K| tidak boleh sama dengan nol, maka sistem mempunyai solusi.
Penentunya mudah dihitung untuk matriks dua-dua; Anda hanya perlu mengalikan elemen diagonalnya dengan satu sama lain. Untuk pilihan “tiga per tiga” terdapat rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom agar jumlah kolom dan baris elemen tidak terulang dalam pekerjaan.
Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks
Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan Anda mengurangi entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.
Pada contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriksnya adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.
Penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian
DI DALAM matematika yang lebih tinggi Metode Gaussian dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses pencarian solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari sistem variabel dengan sejumlah besar persamaan linear.
Metode Gauss sangat mirip dengan penyelesaian yang menggunakan substitusi dan penjumlahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam pembelajaran sekolah, penyelesaian dengan metode Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk mereduksi sistem menjadi bentuk trapesium terbalik. Oleh transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan di salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 variabel yang tidak diketahui, sedangkan 3 dan 4 masing-masing memiliki 3 dan 4 variabel.
Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, keputusan lebih lanjut turun ke substitusi berurutan variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.
Dalam buku pelajaran sekolah kelas 7, contoh penyelesaian dengan metode Gauss dijelaskan sebagai berikut:
Terlihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan: 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Menyelesaikan salah satu persamaan akan memungkinkan Anda menemukan salah satu variabel x n.
Teorema 5 yang disebutkan dalam teks menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan persamaan ekuivalen, maka sistem yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya.
Metode Gauss sulit dipahami siswa sekolah menengah atas, tapi merupakan salah satu yang paling banyak cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak yang mengikuti program studi lanjutan pada kelas matematika dan fisika.
Untuk memudahkan pencatatan, perhitungan biasanya dilakukan sebagai berikut:
Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, dimana setiap baris matriks tersebut sesuai dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka romawi menunjukkan banyaknya persamaan dalam sistem.
Pertama, tuliskan matriks yang akan dikerjakan, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan apa yang diperlukan operasi aljabar sampai hasilnya tercapai.
Hasilnya harus berupa matriks yang salah satu diagonalnya sama dengan 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi bentuk satuan. Kita tidak boleh lupa melakukan perhitungan dengan angka di kedua sisi persamaan.
Metode pencatatan ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan membuat daftar banyak hal yang tidak diketahui.
Penggunaan metode solusi apa pun secara gratis akan memerlukan kehati-hatian dan pengalaman. Tidak semua metode bersifat terapan. Beberapa metode untuk menemukan solusi lebih disukai dalam bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pendidikan.
Pembelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem persamaan. Metode substitusi, metode penjumlahan, metode memasukkan variabel baru"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Simulator untuk buku teks oleh Atanasyan L.S. Simulator untuk buku teks Pogorelova A.V.
Metode untuk memecahkan sistem pertidaksamaan
Teman-teman, kita telah mempelajari sistem persamaan dan mempelajari cara menyelesaikannya menggunakan grafik. Sekarang mari kita lihat apa saja cara lain untuk menyelesaikan sistem?Hampir semua metode penyelesaiannya tidak berbeda dengan yang kita pelajari di kelas 7. Sekarang kita perlu melakukan beberapa penyesuaian sesuai dengan persamaan yang telah kita pelajari untuk menyelesaikannya.
Inti dari semua metode yang dijelaskan dalam pelajaran ini, ini adalah penggantian suatu sistem dengan sistem yang setara dengan yang lebih banyak tampilan sederhana dan metode penyelesaiannya. Teman-teman, ingat apa itu sistem ekuivalen.
Metode substitusi
Cara pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel sudah kita ketahui - ini adalah metode substitusi. Kami menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan linear. Sekarang mari kita lihat bagaimana menyelesaikan persamaan dalam kasus umum?Bagaimana sebaiknya Anda melanjutkan ketika mengambil keputusan?
1. Nyatakan salah satu variabel dalam variabel lain. Variabel yang paling sering digunakan dalam persamaan adalah x dan y. Dalam salah satu persamaan kita menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Tip: Perhatikan kedua persamaan dengan cermat sebelum Anda mulai menyelesaikannya, dan pilih persamaan yang lebih mudah untuk menyatakan variabelnya.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang kita peroleh.
4. Substitusikan solusi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua. Jika terdapat beberapa solusi, maka Anda perlu menggantinya secara berurutan agar tidak kehilangan beberapa solusi.
5. Hasilnya, Anda akan mendapatkan sepasang angka $(x;y)$ yang harus dituliskan sebagai jawabannya.
Contoh.
Selesaikan sistem dengan dua metode variabel substitusi: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Larutan.
Mari kita lihat lebih dekat persamaan kita. Jelasnya, menyatakan y dalam bentuk x pada persamaan pertama jauh lebih sederhana.
$\begin(kasus)y=5-x, \\xy=6\end(kasus)$.
Mari kita substitusikan ekspresi pertama ke dalam persamaan kedua $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Mari selesaikan persamaan kedua secara terpisah:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Kami memperoleh dua solusi untuk persamaan kedua $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Substitusikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua.
Jika $x=2$, maka $y=3$. Jika $x=3$, maka $y=2$.
Jawabannya adalah dua pasang angka.
Jawaban: $(2;3)$ dan $(3;2)$.
Metode penjumlahan aljabar
Kami juga mempelajari metode ini di kelas 7.Diketahui bahwa persamaan rasional dari dua variabel kita bisa mengalikannya dengan angka berapa saja, jangan lupa mengalikan kedua ruas persamaannya. Kami mengalikan salah satu persamaan dengan angka tertentu sehingga ketika menambahkan persamaan yang dihasilkan ke persamaan kedua sistem, salah satu variabelnya dimusnahkan. Kemudian persamaan diselesaikan untuk variabel yang tersisa.
Cara ini masih berhasil, meskipun tidak selalu mungkin untuk menghancurkan salah satu variabel. Tapi ini memungkinkan Anda menyederhanakan bentuk salah satu persamaan secara signifikan.
Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Larutan.
Mari kalikan persamaan pertama dengan 2.
$\begin(kasus)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Seperti yang Anda lihat, bentuk persamaan yang dihasilkan jauh lebih sederhana daripada persamaan aslinya. Sekarang kita bisa menggunakan metode substitusi.
$\begin(kasus)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita nyatakan x dalam bentuk y dalam persamaan yang dihasilkan.
$\begin(kasus)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kasus)$.
Kita mendapat $y=-1$ dan $y=-3$.
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini secara berurutan ke dalam persamaan pertama. Kami mendapatkan dua pasang angka: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Jawaban: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Metode untuk memperkenalkan variabel baru
Kami juga mempelajari metode ini, tapi mari kita lihat lagi.Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya $t=\frac(x)(y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan pertama dengan variabel baru: $t+\frac(2)(t)=3$.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Kita mendapat $t=2$ atau $t=1$. Mari kita perkenalkan perubahan kebalikannya $t=\frac(x)(y)$.
Kita mendapatkan: $x=2y$ dan $x=y$.
Untuk setiap ekspresi, sistem asli harus diselesaikan secara terpisah:
$\begin(kasus)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\7y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.
Contoh.
$\begin(kasus)x=y, \\y=±1\end(kasus)$.
Larutan.
$\begin(kasus)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=±1, \\y=±1\end(kasus)$.
Kami menerima empat pasang solusi.
Jawaban: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $z=\frac(2)(x-3y)$ dan $t=\frac(3)(2x+y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan awal dengan variabel baru:
$\begin(kasus)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode penjumlahan aljabar:
$\begin(kasus)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)7z=7, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\-3t=1-4\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\t=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$\begin(kasus)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x-3y=2, \\2x+y=3\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode substitusi:
$\begin(kasus)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2+3y, \\7y=-1\end(kasus)$.1. $\begin(kasus)2x-2y=6,\\xy =-2\end(kasus)$.
2. $\begin(kasus)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(kasus)$.
3. $\begin(kasus)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(kasus)$.
4. $\begin(kasus)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ akhir(kasus)$.
5. $\begin(kasus)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(kasus)$.
