Pada artikel ini kita akan membahas secara rinci salah satu konsep utama geometri - konsep garis lurus pada bidang. Pertama, mari kita definisikan istilah dan sebutan dasar. Selanjutnya kita akan membahas kedudukan relatif suatu garis dan suatu titik, serta dua garis pada suatu bidang, dan menyajikan aksioma-aksioma yang diperlukan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan cara menentukan garis lurus pada bidang dan memberikan ilustrasi grafis.
Navigasi halaman.
Garis lurus pada bidang adalah sebuah konsep.
Sebelum memberikan konsep garis lurus pada bidang, ada baiknya Anda memahami terlebih dahulu apa itu bidang. Konsep pesawat memungkinkan Anda memperoleh, misalnya, permukaan datar di atas meja atau di dinding rumah. Namun, harus diingat bahwa dimensi meja itu terbatas, dan bidangnya melampaui batas-batas ini hingga tak terhingga (seolah-olah kita memiliki meja yang besarnya sewenang-wenang).
Jika kita mengambil pensil yang diasah dengan baik dan menyentuhkan ujungnya ke permukaan “meja”, kita akan mendapatkan gambar sebuah titik. Inilah yang kami dapatkan representasi suatu titik pada bidang.
Sekarang Anda dapat melanjutkan ke konsep garis lurus pada bidang.
Letakkan lembaran di atas permukaan meja (di pesawat) kertas kosong. Untuk menggambar garis lurus, kita perlu mengambil penggaris dan menggambar garis dengan pensil sejauh ukuran penggaris dan lembaran kertas yang kita gunakan memungkinkan kita melakukannya. Perlu dicatat bahwa dengan cara ini kita hanya akan mendapatkan sebagian dari garis. Kita hanya bisa membayangkan seluruh garis lurus yang memanjang hingga tak terhingga.
Posisi relatif suatu garis dan suatu titik.
Kita harus mulai dengan aksioma: ada titik-titik pada setiap garis lurus dan pada setiap bidang.
Poin biasanya ditandai dengan besar dalam huruf latin, misalnya titik A dan F. Selanjutnya garis lurus dilambangkan dengan huruf latin kecil, misalnya garis lurus a dan d.
Mungkin dua pilihan posisi relatif garis lurus dan titik pada bidang: titik tersebut terletak pada garis (dalam hal ini dikatakan juga garis melalui titik tersebut), atau titik tersebut tidak terletak pada garis (dikatakan juga bahwa titik tersebut bukan termasuk garis atau garis tersebut) garis tidak melalui titik).
Untuk menunjukkan bahwa suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, digunakan simbol “”. Misalnya, jika titik A terletak pada garis a, maka kita dapat menulis . Jika titik A bukan termasuk garis a, tulislah .
Pernyataan berikut ini benar: hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik mana pun.
Pernyataan ini hanyalah sebuah aksioma dan harus diterima sebagai fakta. Selain itu, ini cukup jelas: kita menandai dua titik di atas kertas, menerapkan penggaris pada titik tersebut dan menggambar garis lurus. Garis lurus yang melalui dua titik tertentu (misalnya melalui titik A dan B) dapat dilambangkan dengan dua huruf ini (dalam kasus kita, garis lurus AB atau BA).
Perlu dipahami bahwa pada garis lurus yang dibatasi pada suatu bidang terdapat banyak sekali titik-titik yang berbeda, dan semua titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Pernyataan ini didasarkan pada aksioma: jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang tertentu, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut.
Himpunan semua titik yang terletak di antara dua titik yang diberikan pada suatu garis, bersama dengan titik-titik tersebut, disebut segmen garis lurus atau hanya segmen. Titik-titik yang membatasi suatu ruas disebut ujung-ujung ruas tersebut. Suatu segmen dilambangkan dengan dua huruf yang bersesuaian dengan titik-titik ujung segmen tersebut. Misal titik A dan B menjadi ujung suatu ruas, maka ruas tersebut dapat diberi nama AB atau BA. Perlu diketahui bahwa sebutan untuk suatu segmen ini sama dengan sebutan untuk garis lurus. Untuk menghindari kebingungan, sebaiknya tambahkan kata “segmen” atau “lurus” pada sebutannya.
Untuk mencatat secara singkat apakah suatu titik tertentu termasuk atau tidak termasuk dalam suatu segmen tertentu, digunakan simbol yang sama. Untuk menunjukkan bahwa suatu segmen tertentu terletak atau tidak terletak pada suatu garis, gunakan simbol dan masing-masing. Misalnya, jika segmen AB termasuk dalam garis a, Anda dapat menulis secara singkat .
Kita juga harus memikirkan kasus ketika tiga titik berbeda berada pada garis yang sama. Dalam hal ini, satu, dan hanya satu titik, terletak di antara dua titik lainnya. Pernyataan ini adalah aksioma lain. Misalkan titik A, B, dan C terletak pada satu garis, dan titik B terletak di antara titik A dan C. Maka kita dapat mengatakan bahwa titik A dan C terletak sejajar sisi yang berbeda dari titik B. Dapat juga dikatakan bahwa titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari titik A, dan titik A dan B terletak pada sisi yang sama dari titik C.
Untuk melengkapi gambarannya, kita perhatikan bahwa setiap titik pada sebuah garis membagi garis ini menjadi dua bagian - dua balok. Untuk kasus ini, sebuah aksioma diberikan: sebuah titik sembarang O, yang termasuk dalam sebuah garis, membagi garis ini menjadi dua sinar, dan dua titik dari satu sinar terletak pada sisi yang sama dari titik O, dan dua titik dari sinar yang berbeda. terletak pada sisi berlawanan dari titik O.
Posisi relatif garis pada suatu bidang.
Sekarang mari kita jawab pertanyaan: “Bagaimana dua garis lurus dapat terletak pada suatu bidang relatif satu sama lain?”
Pertama, dua garis lurus pada sebuah bidang bisa bertepatan.
Hal ini dimungkinkan jika garis-garis tersebut memiliki setidaknya dua titik yang sama. Memang berdasarkan aksioma yang disebutkan pada paragraf sebelumnya, hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik. Dengan kata lain, jika dua garis lurus melalui dua titik tertentu, maka kedua titik tersebut berimpit.
Kedua, dua garis lurus pada sebuah bidang bisa menyeberang.
Dalam hal ini, garis lurus mempunyai satu poin umum, yang disebut titik potong garis. Perpotongan garis dilambangkan dengan simbol “”, misalnya masuk berarti garis a dan b berpotongan di titik M. Garis-garis yang berpotongan membawa kita pada konsep tersebut sudut antar garis yang berpotongan. Secara terpisah, ada baiknya mempertimbangkan lokasi garis lurus pada bidang ketika sudut di antara keduanya adalah sembilan puluh derajat. Dalam hal ini disebut garis lurus tegak lurus(kami merekomendasikan artikel ini garis tegak lurus, tegak lurus garis). Jika garis a tegak lurus dengan garis b, maka dapat digunakan catatan singkat.
Ketiga, dua garis lurus pada suatu bidang bisa sejajar.
Garis lurus pada bidang dengan poin praktis akan lebih mudah untuk mempertimbangkannya bersama dengan vektor. Signifikansi khusus memiliki vektor bukan nol terletak pada suatu garis tertentu atau pada salah satu garis sejajar disebut mengarahkan vektor garis lurus. Dalam artikel tersebut vektor arah suatu garis lurus pada suatu bidang Contoh vektor arah diberikan dan pilihan penggunaannya dalam memecahkan masalah ditunjukkan.
Anda juga harus memperhatikan vektor bukan nol yang terletak pada salah satu garis yang tegak lurus terhadap vektor tersebut. Vektor yang demikian disebut vektor garis normal. Penggunaan vektor garis normal dijelaskan dalam artikel vektor normal suatu garis pada bidang.
Bila tiga atau lebih garis lurus diberikan pada suatu bidang, maka timbullah himpunan berbagai pilihan posisi relatif mereka. Semua garis bisa sejajar, jika tidak, sebagian atau seluruhnya berpotongan. Dalam hal ini, semua garis dapat berpotongan di satu titik (lihat artikel sekumpulan garis lurus), dan mungkin punya berbagai titik persimpangan.
Kami tidak akan membahas hal ini secara rinci, tetapi kami akan menyajikan tanpa bukti beberapa fakta yang luar biasa dan sangat sering digunakan:
- jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain;
- jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain;
- Jika suatu garis pada suatu bidang memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis kedua.
Metode untuk menentukan garis lurus pada bidang.
Sekarang kami akan membuat daftar cara utama untuk menentukan garis lurus tertentu pada bidang. Pengetahuan ini sangat berguna dari sudut pandang praktis, karena pemecahan banyak contoh dan masalah didasarkan pada pengetahuan ini.
Pertama, garis lurus dapat didefinisikan dengan menentukan dua titik pada suatu bidang.
Memang dari aksioma yang dibahas di paragraf pertama artikel ini, kita mengetahui bahwa sebuah garis lurus melalui dua titik, dan hanya satu titik.
Jika di sistem persegi panjang koordinat pada bidang, koordinat dua titik yang tidak berhimpitan ditunjukkan, yaitu dapat dituliskan persamaan garis yang melalui dua titik tertentu.
Kedua, suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan garis yang sejajar dengannya. Cara ini adil, karena sudah selesai titik ini bidang hanya ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis lurus tertentu. Pembuktian fakta tersebut dilakukan pada pelajaran geometri di SMA.
Jika garis lurus pada suatu bidang ditentukan dengan cara ini relatif terhadap persegi panjang yang dimasukkan sistem kartesius koordinat, yaitu kemampuan membuat persamaannya. Ini tertulis di artikel persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu sejajar dengan garis tertentu.
Ketiga, garis lurus dapat didefinisikan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor arahnya.
Jika suatu garis lurus diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dengan cara ini, maka mudah untuk membangunnya persamaan kanonik suatu garis pada bidang Dan persamaan parametrik garis lurus pada bidang.
Cara keempat untuk menentukan suatu garis adalah dengan menunjukkan titik yang dilaluinya dan garis yang tegak lurus. Memang melalui titik tertentu bidang hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut. Mari kita tinggalkan fakta ini tanpa bukti.
Terakhir, sebuah garis pada suatu bidang dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor normal garis tersebut.
Jika koordinat suatu titik yang terletak pada suatu garis tertentu dan koordinat vektor normal garis tersebut diketahui, maka dapat dituliskan persamaan umum suatu garis.
Referensi.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 – 9: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika yang lebih tinggi. Jilid Satu: Elemen aljabar linier dan geometri analitik.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.
Hak Cipta oleh siswa yang pandai
Semua hak dilindungi undang-undang.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.situs, termasuk materi internal dan tampilannya, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.
Titik adalah suatu benda abstrak yang tidak mempunyai ciri-ciri pengukuran: tidak tinggi, tidak panjang, tidak ada jari-jari. Dalam lingkup tugas, hanya lokasinya yang penting
Intinya ditunjukkan dengan angka atau huruf latin kapital (kapital). Beberapa poin - nomor yang berbeda atau dalam huruf yang berbeda agar dapat dibedakan
titik A, titik B, titik C
A B Cpoin 1, poin 2, poin 3
1 2 3Anda dapat menggambar tiga titik “A” pada selembar kertas dan mengajak anak menggambar garis melalui dua titik “A”. Tapi bagaimana memahaminya melalui yang mana?
A A A
Garis adalah sekumpulan titik. Hanya panjangnya yang diukur. Tidak memiliki lebar atau ketebalan
Ditunjukkan dengan huruf latin kecil (kecil).
baris a, baris b, baris ca b c
- Garisnya mungkin
- ditutup jika awal dan akhirnya berada pada titik yang sama,
terbuka jika awal dan akhir tidak terhubung
jalur tertutup
garis terbuka- Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko dan kembali ke apartemen. Jalur apa yang kamu dapat? Itu benar, tertutup. Anda kembali ke titik awal Anda. Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko, pergi ke pintu masuk dan mulai berbicara dengan tetangga Anda. Jalur apa yang kamu dapat? Membuka. Anda belum kembali ke titik awal Anda. Anda meninggalkan apartemen dan membeli roti di toko. Jalur apa yang kamu dapat? Membuka. Anda belum kembali ke titik awal Anda.
- berpotongan sendiri
tanpa persimpangan diri
garis yang berpotongan sendiri
- garis tanpa perpotongan sendiri
- langsung
- rusak
bengkok
garis lurus
garis putus-putus
garis melengkung
Garis lurus adalah garis yang tidak melengkung, tidak mempunyai awal dan akhir, dapat dilanjutkan tanpa henti pada kedua arah
Sekalipun sebagian kecil dari sebuah garis lurus terlihat, diasumsikan bahwa garis tersebut berlanjut tanpa batas di kedua arah
Ditunjukkan dengan huruf latin kecil (kecil). Atau dua huruf latin kapital (kapital) – titik-titik yang terletak pada satu garis lurus
garis lurus aA
garis lurus ABB A
- Langsung mungkin
- berpotongan jika keduanya mempunyai titik yang sama. Dua garis hanya dapat berpotongan di satu titik.
- tegak lurus jika berpotongan tegak lurus (90°).
Paralel, jika tidak berpotongan, tidak mempunyai titik temu.
garis paralel
garis tegak lurus
Sinar adalah bagian dari garis lurus yang mempunyai awal tetapi tidak berakhir; sinar dapat dilanjutkan tanpa batas waktu hanya dalam satu arah
Sinar cahaya pada gambar mempunyai titik awal sebagai matahari.
Matahari
Sebuah titik membagi garis lurus menjadi dua bagian - dua sinar A A
Balok ditandai dengan huruf latin kecil (kecil). Atau dua huruf latin kapital (kapital), dimana yang pertama adalah titik asal sinar, dan yang kedua adalah titik yang terletak pada sinar tersebut.
sinar a
garis lurus abalok AB
garis lurus ABSinarnya bertepatan jika
- terletak pada satu garis lurus yang sama
- mulai dari satu titik
- diarahkan ke satu arah
sinar AB dan AC berimpit
sinar CB dan CA berimpit
C B ARuas adalah bagian suatu garis yang dibatasi oleh dua titik, yaitu mempunyai awal dan akhir, yang berarti panjangnya dapat diukur. Panjang suatu segmen adalah jarak antara titik awal dan titik akhir
Melalui satu titik Anda dapat menggambar sejumlah garis, termasuk garis lurus
Setelah dua poin - tidak jumlah terbatas melengkung, tetapi hanya satu garis lurus
garis lengkung yang melalui dua titik
B AA
garis lurus ABSepotong “terpotong” dari garis lurus dan ada satu segmen yang tersisa. Dari contoh di atas jelas panjangnya adalah jarak terpendek antara dua titik.
✂ B A ✂
Suatu ruas dilambangkan dengan dua huruf latin kapital (kapital), dimana yang pertama adalah titik permulaan ruas, dan yang kedua adalah titik berakhirnya ruas tersebut.
garis lurus ABsegmen AB
Soal: dimana letak garis, sinar, ruas, kurva?
Garis putus-putus adalah garis yang terdiri atas ruas-ruas yang dihubungkan berurutan dan tidak membentuk sudut 180°
Segmen panjang “dipecah” menjadi beberapa segmen pendek
Mata rantai garis putus-putus (mirip dengan mata rantai) adalah ruas-ruas yang membentuk garis putus-putus. Tautan yang berdekatan adalah tautan yang ujung dari satu tautan merupakan awal dari tautan lainnya. Tautan yang berdekatan tidak boleh terletak pada garis lurus yang sama.
Titik sudut suatu garis putus-putus (mirip dengan puncak gunung) adalah titik awal garis putus-putus, titik-titik penghubung ruas-ruas pembentuk garis putus-putus, dan titik ujung garis putus-putus.
Garis putus-putus ditandai dengan mencantumkan semua simpulnya.
garis putus-putus ABCDE
simpul dari polyline A, simpul dari polyline B, simpul dari polyline C, simpul dari polyline D, simpul dari polyline E
link rusak AB, link rusak BC, link rusak CD, link rusak DE
link AB dan link BC berdekatan
link BC dan link CD berdekatan
link CD dan link DE berdekatanA B C D E 64 62 127 52
Panjang garis putus-putus sama dengan jumlah panjang ruas-ruasnya: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Tugas: garis putus mana yang lebih panjang , A? Baris pertama mempunyai semua mata rantai yang panjangnya sama yaitu 13 cm. Baris kedua mempunyai panjang semua mata rantai yang sama yaitu 49 cm. Baris ketiga mempunyai panjang semua mata rantai yang sama yaitu 41 cm.
Poligon adalah polyline tertutup
Sisi-sisi poligon (ekspresinya akan membantu Anda mengingat: “pergi ke empat arah”, “lari menuju rumah”, “di sisi meja manakah Anda akan duduk?”) adalah sambungan dari garis putus-putus. Sisi yang berdekatan poligon adalah tautan yang berdekatan rusak.
Simpul suatu poligon adalah simpul dari garis putus-putus. Puncak Tetangga- ini adalah titik ujung salah satu sisi poligon.
Sebuah poligon dilambangkan dengan mendaftar semua simpulnya.
polyline tertutup tanpa perpotongan sendiri, ABCDEF
poligon ABCDEF
simpul poligon A, simpul poligon B, simpul poligon C, simpul poligon D, simpul poligon E, simpul poligon F
simpul A dan simpul B bertetangga
simpul B dan simpul C bertetangga
simpul C dan simpul D bertetangga
simpul D dan simpul E bertetangga
simpul E dan simpul F bertetangga
simpul F dan simpul A bertetangga
sisi poligon AB, sisi poligon BC, sisi poligon CD, sisi poligon DE, sisi poligon EF
sisi AB dan sisi BC berdekatan
sisi BC dan sisi CD berdekatan
Sisi CD dan sisi DE berdekatan
sisi DE dan sisi EF berdekatan
sisi EF dan sisi FA berdekatan
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Keliling suatu poligon adalah panjang garis putus-putus: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Poligon dengan tiga simpul disebut segitiga, dengan empat simpul disebut segi empat, dengan lima simpul disebut segi lima, dan seterusnya.
Garis lurus - salah satu konsep mendasar geometri.
Jelas sekali garis lurus dapat mendemonstrasikan tali yang kencang, tepi meja, tepi selembar kertas, tempat, pertemuan dua dinding ruangan, seberkas cahaya. Saat menggambar garis lurus, dalam praktiknya penggaris digunakan.
Garis lurus mempunyai ciri-ciri seperti itu kekhasan:
1.U garis lurus tidak ada awal atau akhir, artinya tidak ada habisnya . Hanya sebagian saja yang bisa digambar.
2.Dalam dua poin sewenang-wenang dapat dilaksanakan garis lurus, dan hanya satu saja.
3. Melalui n titik sewenang-wenang Anda dapat menggambar garis lurus dalam jumlah tak terbatas pada bidang.
4. Dua tidak cocok garis lurus pada suatu bidang atau berpotongan pada satu titik, atau mereka paralel.
Untuk menunjukkan garis lurus gunakan salah satu huruf kecil Alfabet Latin, atau dua huruf kapital, ditulis di dua tempat berbeda pada baris ini.
Jika Anda menunjuk pada garis lurus titik, maka sebagai hasilnya kita mendapatkan dua balok:
Balok bagian panggilan garis lurus, terbatas di satu sisi. Untuk menunjuk sebuah balok, digunakan satu huruf kecil alfabet Latin atau dua huruf besar, salah satunya ditandai di awal balok.
Bagian garis lurus yang dibatasi pada kedua sisinya disebut segmen. Sebuah segmen, seperti garis lurus, ditunjuk dengan satu atau dua huruf. Dalam kasus terakhir, huruf-huruf ini menunjukkan ujung segmen.
Garis yang dibentuk oleh beberapa ruas yang tidak terletak pada satu garis lurus biasa disebut garis putus-putus. Ketika ujung-ujung garis putus-putus itu bertepatan, maka garis putus-putus disebut tertutup.
Kami akan melihat masing-masing topik, dan pada akhirnya akan ada tes pada topik tersebut.
Poin dalam matematika
Apa gunanya matematika? Poin matematika tidak memiliki dimensi dan ditandai dengan huruf latin kapital: A, B, C, D, F, dst.
Pada gambar terlihat gambar titik A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Segmen dalam matematika
Apa yang dimaksud dengan segmen dalam matematika? Dalam pelajaran matematika kita dapat mendengar penjelasan berikut ini: suatu ruas matematika mempunyai panjang dan ujung. Segmen dalam matematika adalah himpunan semua titik yang terletak pada garis lurus di antara ujung-ujung segmen tersebut. Ujung-ujung ruas tersebut merupakan dua titik batas.
Pada gambar kita melihat yang berikut: segmen ,,, dan , serta dua titik B dan S.
Langsung dalam matematika
Apa yang dimaksud dengan garis lurus dalam matematika? Pengertian garis lurus dalam matematika adalah garis lurus tidak mempunyai ujung dan dapat berlanjut ke dua arah tanpa batas waktu. Garis dalam matematika dilambangkan dengan dua titik pada suatu garis. Untuk menjelaskan konsep garis lurus kepada siswa, dapat dikatakan bahwa garis lurus adalah suatu ruas yang tidak mempunyai dua ujung.
Gambar tersebut menunjukkan dua garis lurus: CD dan EF.
Balok dalam matematika
Apa itu sinar? Pengertian sinar dalam matematika: sinar adalah bagian suatu garis yang mempunyai awal dan akhir. Nama balok mengandung dua huruf, misalnya DC. Selain itu, huruf pertama selalu menunjukkan titik awal pancaran sinar, sehingga huruf tidak dapat ditukar.
Gambar menunjukkan sinar: DC, KC, EF, MT, MS. Balok KC dan KD merupakan satu balok, karena mereka memiliki asal usul yang sama.
Garis bilangan dalam matematika
Pengertian garis bilangan dalam matematika: garis yang titik-titiknya menandai bilangan disebut garis bilangan.
Gambar tersebut menunjukkan garis bilangan, serta sinar OD dan ED
