Garis lurus - salah satu konsep mendasar geometri.
Jelas sekali garis lurus dapat mendemonstrasikan tali yang kencang, tepi meja, tepi selembar kertas, tempat, pertemuan dua dinding ruangan, seberkas cahaya. Saat menggambar garis lurus, dalam praktiknya penggaris digunakan.
Garis lurus mempunyai ciri-ciri seperti itu kekhasan:
1.U garis lurus tidak ada awal atau akhir, artinya tidak ada habisnya . Hanya sebagian saja yang bisa digambar.
2.Dalam dua poin sewenang-wenang dapat dilaksanakan garis lurus, dan hanya satu saja.
3. Melalui n titik sewenang-wenang tidak dapat dilaksanakan jumlah terbatas garis lurus pada bidang tersebut.
4. Dua tidak cocok garis lurus pada suatu bidang atau berpotongan pada satu titik, atau mereka paralel.
Untuk menunjukkan garis lurus gunakan salah satu huruf kecil Alfabet Latin, atau dua huruf kapital, ditulis di dua tempat berbeda pada baris ini.
Jika Anda menunjuk pada garis lurus titik, maka sebagai hasilnya kita mendapatkan dua balok:
Balok bagian panggilan garis lurus, terbatas di satu sisi. Untuk menunjuk sebuah balok, digunakan satu huruf kecil alfabet Latin atau dua huruf besar, salah satunya ditandai di awal balok.
Bagian garis lurus yang dibatasi pada kedua sisinya disebut segmen. Sebuah segmen, seperti garis lurus, ditunjuk dengan satu atau dua huruf. Dalam kasus terakhir, huruf-huruf ini menunjukkan ujung segmen.
Garis yang dibentuk oleh beberapa ruas yang tidak terletak pada satu garis lurus biasa disebut garis putus-putus. Ketika ujung-ujung garis putus-putus itu bertepatan, maka garis putus-putus disebut tertutup.
Titik adalah suatu benda abstrak yang tidak mempunyai ciri-ciri pengukuran: tidak tinggi, tidak panjang, tidak ada jari-jari. Dalam lingkup tugas, hanya lokasinya yang penting
Intinya ditunjukkan dengan angka atau huruf latin kapital (kapital). Beberapa poin - nomor yang berbeda atau dalam huruf yang berbeda agar dapat dibedakan
titik A, titik B, titik C
A B Cpoin 1, poin 2, poin 3
1 2 3Anda dapat menggambar tiga titik “A” pada selembar kertas dan mengajak anak menggambar garis melalui dua titik “A”. Tapi bagaimana memahaminya melalui yang mana?
A A A
Garis adalah sekumpulan titik. Hanya panjangnya yang diukur. Tidak memiliki lebar atau ketebalan Ditunjukkan dengan huruf kecil (kecil)
dalam huruf latin
baris a, baris b, baris ca b c
- Garisnya mungkin
- terbuka jika awal dan akhir tidak terhubung
jalur tertutup
garis terbuka
Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko dan kembali ke apartemen. Jalur apa yang kamu dapat? Itu benar, tertutup. Anda kembali ke titik awal Anda. Anda meninggalkan apartemen, membeli roti di toko, pergi ke pintu masuk dan mulai berbicara dengan tetangga Anda. Jalur apa yang kamu dapat? Membuka. Anda belum kembali ke titik awal Anda. Anda meninggalkan apartemen dan membeli roti di toko. Jalur apa yang kamu dapat? Membuka. Anda belum kembali ke titik awal Anda.- berpotongan sendiri
- tanpa persimpangan diri
garis yang berpotongan sendiri
garis tanpa perpotongan sendiri
- langsung
- rusak
- bengkok
garis lurus
garis putus-putus
garis melengkung
Garis lurus adalah garis yang tidak melengkung, tidak mempunyai awal dan akhir, dapat dilanjutkan tanpa henti pada kedua arah
Sekalipun sebagian kecil dari sebuah garis lurus terlihat, diasumsikan bahwa garis tersebut berlanjut tanpa batas di kedua arah
Ditunjukkan dengan huruf latin kecil (kecil). Atau dua huruf latin kapital (kapital) – titik-titik yang terletak pada satu garis lurus
garis lurus a
Agaris lurus AB
B ALangsung mungkin
- berpotongan jika ada poin umum. Dua garis hanya dapat berpotongan di satu titik.
- tegak lurus jika berpotongan tegak lurus (90°).
- Paralel, jika tidak berpotongan, tidak mempunyai titik temu.
garis sejajar
garis-garis yang berpotongan
garis tegak lurus
Sinar adalah bagian dari garis lurus yang mempunyai awal tetapi tidak berakhir; sinar dapat dilanjutkan tanpa batas waktu hanya dalam satu arah
Sinar cahaya pada gambar mempunyai titik awal sebagai matahari.
Matahari
Sebuah titik membagi garis lurus menjadi dua bagian - dua sinar A A
Balok ditandai dengan huruf latin kecil (kecil). Atau dua huruf latin kapital (kapital), dimana yang pertama adalah titik asal sinar, dan yang kedua adalah titik yang terletak pada sinar tersebut.
sinar a
Abalok AB
B ASinarnya bertepatan jika
- terletak pada satu garis lurus yang sama
- mulai dari satu titik
- diarahkan ke satu arah
sinar AB dan AC berimpit
sinar CB dan CA berimpit
C B ARuas adalah bagian suatu garis yang dibatasi oleh dua titik, yaitu mempunyai awal dan akhir, yang berarti panjangnya dapat diukur. Panjang suatu segmen adalah jarak antara titik awal dan titik akhir
Melalui satu titik Anda dapat menggambar sejumlah garis, termasuk garis lurus
Melalui dua titik - jumlah kurva yang tidak terbatas, tetapi hanya satu garis lurus
garis lengkung yang melalui dua titik
B Agaris lurus AB
B ASepotong “terpotong” dari garis lurus dan ada satu segmen yang tersisa. Dari contoh di atas jelas panjangnya adalah jarak terpendek antara dua titik.
Suatu ruas dilambangkan dengan dua huruf latin kapital (kapital), dimana yang pertama adalah titik permulaan ruas, dan yang kedua adalah titik berakhirnya ruas tersebut.
segmen AB
B ASoal: dimana letak garis, sinar, ruas, kurva?
Garis putus-putus adalah garis yang terdiri atas ruas-ruas yang dihubungkan berurutan dan tidak membentuk sudut 180°
Segmen yang panjang “dipecah” menjadi beberapa segmen pendek
Mata rantai garis putus-putus (mirip dengan mata rantai) adalah ruas-ruas yang membentuk garis putus-putus. Tautan yang berdekatan adalah tautan yang ujung dari satu tautan merupakan awal dari tautan lainnya. Tautan yang berdekatan tidak boleh terletak pada garis lurus yang sama.
Titik sudut suatu garis putus-putus (mirip dengan puncak gunung) adalah titik awal garis putus-putus, titik-titik penghubung ruas-ruas pembentuk garis putus-putus, dan titik ujung garis putus-putus.
Garis putus-putus ditandai dengan mencantumkan semua simpulnya.
garis putus-putus ABCDE
simpul dari polyline A, simpul dari polyline B, simpul dari polyline C, simpul dari polyline D, simpul dari polyline E
link rusak AB, link rusak BC, link rusak CD, link rusak DE
link AB dan link BC berdekatan
link BC dan link CD berdekatan
link CD dan link DE berdekatan
A B C D E 64 62 127 52Panjang garis putus-putus sama dengan jumlah panjang ruas-ruasnya: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Tugas: garis putus mana yang lebih panjang, A yang memiliki lebih banyak simpul? Baris pertama mempunyai semua mata rantai yang panjangnya sama yaitu 13 cm. Baris kedua mempunyai panjang semua mata rantai yang sama yaitu 49 cm. Baris ketiga mempunyai panjang semua mata rantai yang sama yaitu 41 cm.
Poligon adalah polyline tertutup
Sisi-sisi poligon (ekspresinya akan membantu Anda mengingat: “pergi ke empat arah”, “lari menuju rumah”, “di sisi meja mana Anda akan duduk?”) adalah sambungan dari garis putus-putus. Sisi yang berdekatan poligon adalah tautan yang berdekatan rusak.
Simpul suatu poligon adalah simpul dari garis putus-putus. Simpul yang berdekatan adalah titik akhir dari salah satu sisi poligon.
Sebuah poligon dilambangkan dengan mendaftar semua simpulnya.
polyline tertutup tanpa perpotongan sendiri, ABCDEF
poligon ABCDEF
simpul poligon A, simpul poligon B, simpul poligon C, simpul poligon D, simpul poligon E, simpul poligon F
simpul A dan simpul B bertetangga
simpul B dan simpul C bertetangga
simpul C dan simpul D bertetangga
simpul D dan simpul E bertetangga
simpul E dan simpul F bertetangga
simpul F dan simpul A bertetangga
sisi poligon AB, sisi poligon BC, sisi poligon CD, sisi poligon DE, sisi poligon EF
sisi AB dan sisi BC berdekatan
sisi BC dan sisi CD berdekatan
Sisi CD dan sisi DE berdekatan
sisi DE dan sisi EF berdekatan
sisi EF dan sisi FA berdekatan
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Keliling suatu poligon adalah panjang garis putus-putus: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Poligon dengan tiga simpul disebut segitiga, dengan empat simpul disebut segi empat, dengan lima simpul disebut segi lima, dan seterusnya.
Mengunjungi kelas tambahan kami menyadari bahwa kami tidak tahu bagaimana mengoperasikan konsep titik, garis, sudut, sinar, ruas, garis lurus, kurva, jalur tertutup dan kita bisa menggambarnya, atau lebih tepatnya menggambarnya, tapi kita tidak bisa mengidentifikasinya.
Anak harus mengenal garis, kurva, dan lingkaran. Hal ini mengembangkan grafis dan rasa kebenaran mereka saat berlatih menggambar dan appliqué. Penting untuk mengetahui apa yang utama bentuk geometris Saya ada, apa adanya. Letakkan kartu-kartu tersebut di depan anak dan mintalah mereka menggambar persis seperti pada gambar. Ulangi beberapa kali.
Selama kelas kami diberikan materi sebagai berikut:
Sebuah dongeng kecil.
Di negeri Geometri hiduplah sebuah titik. Dia masih kecil. Ia tertinggal oleh pensil ketika menginjak selembar kertas buku catatan, dan tidak ada yang menyadarinya. Jadi dia hidup sampai dia datang mengunjungi antrean. (Ada gambar di papan tulis.)
Lihat apa garis-garis itu. (Lurus dan melengkung.)
Garis lurus itu seperti tali yang diregangkan, dan tali yang tidak diregangkan adalah garis yang bengkok.
Berapa banyak garis lurus? (2.)
Berapa banyak kurva? (3.)
Garis lurus mulai menyombongkan diri: “Saya yang terpanjang! Saya tidak memiliki awal dan akhir! Saya tidak ada habisnya!
Menjadi sangat menarik untuk melihatnya. Intinya sendiri kecil. Dia keluar dan begitu terbawa suasana sehingga dia tidak menyadari bagaimana dia menginjak garis lurus. Dan tiba-tiba garis lurus itu menghilang. Sebuah sinar muncul di tempatnya.
Itu juga sangat panjang, tapi masih belum sepanjang garis lurus. Dia memulai.
Titik itu menjadi takut: “Apa yang telah kulakukan!” Dia ingin melarikan diri, tetapi sialnya dia menginjak balok itu lagi.
Dan sebagai ganti sinar itu, sebuah segmen muncul. Dia tidak membual tentang betapa besarnya dia, dia sudah memiliki awal dan akhir.
Inilah bagaimana sebuah titik kecil mampu mengubah kehidupan garis-garis besar.
Jadi siapa yang menebak siapa yang datang mengunjungi kita dengan kucing itu? (garis lurus, sinar, ruas dan titik)
Itu benar, bersama dengan kucing, garis lurus, sinar, segmen, dan titik datang ke pelajaran kita.
Siapa yang menebak apa yang akan kita lakukan dalam pelajaran ini? (Belajar mengenal dan menggambar garis lurus, sinar, ruas.)
Baris apa yang kamu pelajari? (Tentang garis, sinar, segmen.)
Apa yang kamu pelajari tentang garis lurus? (Ia tidak memiliki awal dan akhir. Ia tidak ada habisnya.)
(Kami mengambil dua gulungan benang, menariknya, menggambarkan garis lurus, dan melepaskan gulungan pertama, lalu gulungan lainnya, menunjukkan bahwa garis lurus dapat dilanjutkan di kedua arah tanpa batas.)
Apa yang kamu pelajari tentang balok? (Ada awalnya, tapi tidak ada akhir.) (Guru mengambil gunting, memotong benang. Menunjukkan bahwa sekarang garis hanya bisa dilanjutkan ke satu arah.)
Apa yang Anda pelajari tentang segmen tersebut? (Ia memiliki awal dan akhir.) (Guru memotong ujung benang yang lain dan menunjukkan bahwa benang tersebut tidak meregang. Benang tersebut memiliki awal dan akhir.)
Bagaimana cara menggambar garis lurus? (Buat garis di sepanjang penggaris.)
Bagaimana cara menggambar ruas garis? (Letakkan dua titik dan hubungkan.)
Dan tentu saja copybooknya:
Pada artikel ini kita akan membahas secara rinci salah satu konsep utama geometri - konsep garis lurus pada bidang. Pertama, mari kita definisikan istilah dan sebutan dasar. Selanjutnya kita akan membahas kedudukan relatif suatu garis dan suatu titik, serta dua garis pada suatu bidang, dan menyajikan aksioma-aksioma yang diperlukan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan cara menentukan garis lurus pada bidang dan memberikan ilustrasi grafis.
Navigasi halaman.
Garis lurus pada bidang adalah sebuah konsep.
Sebelum memberikan konsep garis lurus pada bidang, ada baiknya Anda memahami terlebih dahulu apa itu bidang. Konsep pesawat memungkinkan Anda mendapatkan, misalnya, permukaan datar di atas meja atau dinding di rumah. Namun, harus diingat bahwa dimensi meja itu terbatas, dan bidangnya melampaui batas-batas ini hingga tak terhingga (seolah-olah kita memiliki meja yang besarnya sewenang-wenang).
Jika kita mengambil pensil yang diasah dengan baik dan menyentuhkan ujungnya ke permukaan “meja”, kita akan mendapatkan gambar sebuah titik. Inilah yang kami dapatkan representasi suatu titik pada bidang.
Sekarang Anda dapat melanjutkan ke konsep garis lurus pada bidang.
Letakkan lembaran di atas permukaan meja (di pesawat) kertas kosong. Untuk menggambar garis lurus, kita perlu mengambil penggaris dan menggambar garis dengan pensil sejauh ukuran penggaris dan lembaran kertas yang kita gunakan memungkinkan kita melakukannya. Perlu dicatat bahwa dengan cara ini kita hanya akan mendapatkan sebagian dari garis. Kita hanya bisa membayangkan seluruh garis lurus yang memanjang hingga tak terhingga.
Posisi relatif suatu garis dan suatu titik.
Kita harus mulai dengan aksioma: ada titik-titik pada setiap garis lurus dan pada setiap bidang.
Titik biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital, misalnya titik A dan F. Selanjutnya garis lurus dilambangkan dengan huruf latin kecil, misalnya garis lurus a dan d.
Mungkin dua pilihan posisi relatif garis lurus dan titik pada bidang: titik tersebut terletak pada garis (dalam hal ini dikatakan juga garis melalui titik tersebut), atau titik tersebut tidak terletak pada garis (dikatakan juga bahwa titik tersebut bukan termasuk garis atau garis tersebut) garis tidak melalui titik).
Untuk menunjukkan bahwa suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, digunakan simbol “”. Misalnya, jika titik A terletak pada garis a, maka kita dapat menulis . Jika titik A bukan termasuk garis a, tulislah .
Pernyataan berikut ini benar: hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik mana pun.
Pernyataan ini hanyalah sebuah aksioma dan harus diterima sebagai fakta. Selain itu, ini cukup jelas: kita menandai dua titik di atas kertas, menerapkan penggaris pada titik tersebut dan menggambar garis lurus. Garis lurus yang melalui dua titik tertentu (misalnya melalui titik A dan B) dapat dilambangkan dengan dua huruf ini (dalam kasus kita, garis lurus AB atau BA).
Perlu dipahami bahwa pada garis lurus yang dibatasi pada suatu bidang terdapat banyak sekali titik-titik yang berbeda, dan semua titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Pernyataan ini didasarkan pada aksioma: jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang tertentu, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut.
Himpunan semua titik yang terletak di antara dua titik yang diberikan pada suatu garis, bersama dengan titik-titik tersebut, disebut segmen garis lurus atau hanya segmen. Titik-titik yang membatasi suatu ruas disebut ujung-ujung ruas tersebut. Suatu segmen dilambangkan dengan dua huruf yang bersesuaian dengan titik-titik ujung segmen tersebut. Misal titik A dan B menjadi ujung suatu ruas, maka ruas tersebut dapat diberi nama AB atau BA. Perlu diketahui bahwa sebutan untuk suatu segmen ini sama dengan sebutan untuk garis lurus. Untuk menghindari kebingungan, sebaiknya tambahkan kata “segmen” atau “lurus” pada sebutannya.
Untuk mencatat secara singkat apakah suatu titik tertentu termasuk atau tidak termasuk dalam suatu segmen tertentu, digunakan simbol yang sama. Untuk menunjukkan bahwa suatu segmen tertentu terletak atau tidak terletak pada suatu garis, gunakan simbol dan masing-masing. Misalnya, jika segmen AB termasuk dalam garis a, Anda dapat menulis secara singkat .
Kita juga harus memikirkan kasus ketika tiga titik berbeda berada pada garis yang sama. Dalam hal ini, satu, dan hanya satu titik, terletak di antara dua titik lainnya. Pernyataan ini adalah aksioma lain. Misalkan titik A, B, dan C terletak pada satu garis, dan titik B terletak di antara titik A dan C. Maka kita dapat mengatakan bahwa titik A dan C terletak sejajar sisi yang berbeda dari titik B. Dapat juga dikatakan bahwa titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari titik A, dan titik A dan B terletak pada sisi yang sama dari titik C.
Untuk melengkapi gambarannya, kita perhatikan bahwa setiap titik pada sebuah garis membagi garis ini menjadi dua bagian - dua balok. Untuk kasus ini aksioma diberikan: titik sewenang-wenang O, yang termasuk dalam sebuah garis, membagi garis ini menjadi dua sinar, dan dua titik pada satu sinar terletak pada sisi yang sama dari titik O, dan dua titik dari sinar yang berbeda terletak pada sisi yang berlawanan dari titik O.
Posisi relatif garis pada suatu bidang.
Sekarang mari kita jawab pertanyaan: “Bagaimana dua garis lurus dapat terletak pada suatu bidang relatif satu sama lain?”
Pertama, dua garis lurus pada sebuah bidang bisa bertepatan.
Hal ini dimungkinkan jika garis-garis tersebut mempunyai setidaknya dua titik yang sama. Memang berdasarkan aksioma yang disebutkan pada paragraf sebelumnya, hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik. Dengan kata lain, jika dua garis lurus melalui dua titik tertentu, maka kedua titik tersebut berimpit.
Kedua, dua garis lurus pada sebuah bidang bisa menyeberang.
Dalam hal ini garis-garis tersebut mempunyai satu titik persekutuan, yang disebut titik potong garis-garis tersebut. Perpotongan garis dilambangkan dengan simbol “”, misalnya masuk berarti garis a dan b berpotongan di titik M. Perpotongan garis membawa kita pada konsep sudut antar garis yang berpotongan. Secara terpisah, ada baiknya mempertimbangkan lokasi garis lurus pada bidang ketika sudut di antara keduanya adalah sembilan puluh derajat. Dalam hal ini, garis tersebut disebut tegak lurus(sebaiknya artikel tegak lurus garis, tegak lurus garis). Jika garis a tegak lurus dengan garis b, maka dapat digunakan catatan singkat.
Ketiga, dua garis lurus pada suatu bidang bisa sejajar.
Garis lurus pada bidang dengan poin praktis akan lebih mudah untuk mempertimbangkannya bersama dengan vektor. Signifikansi khusus memiliki vektor bukan nol terletak pada suatu garis tertentu atau pada salah satu garis sejajar disebut mengarahkan vektor garis lurus. Artikel Mengarahkan vektor garis lurus pada suatu bidang memberikan contoh vektor pengarah dan menunjukkan pilihan penggunaannya dalam menyelesaikan masalah.
Anda juga harus memperhatikan vektor bukan nol yang terletak pada salah satu garis yang tegak lurus terhadap vektor tersebut. Vektor yang demikian disebut vektor garis normal. Penggunaan vektor garis normal dijelaskan pada artikel vektor garis normal pada bidang.
Bila tiga atau lebih garis lurus diberikan pada suatu bidang, maka timbullah himpunan berbagai pilihan posisi relatif mereka. Semua garis bisa sejajar, jika tidak, sebagian atau seluruhnya berpotongan. Dalam hal ini, semua garis dapat berpotongan pada satu titik (lihat artikel tentang sekumpulan garis), atau dapat juga memiliki berbagai titik persimpangan.
Kami tidak akan membahas hal ini secara rinci, tetapi kami akan menyajikan tanpa bukti beberapa fakta yang luar biasa dan sangat sering digunakan:
- jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain;
- jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain;
- Jika suatu garis pada suatu bidang memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis kedua.
Metode untuk menentukan garis lurus pada bidang.
Sekarang kami akan membuat daftar cara utama untuk menentukan garis lurus tertentu pada bidang. Pengetahuan ini sangat berguna dari sudut pandang praktis, karena pemecahan banyak contoh dan masalah didasarkan pada pengetahuan ini.
Pertama, garis lurus dapat didefinisikan dengan menentukan dua titik pada suatu bidang.
Memang dari aksioma yang dibahas di paragraf pertama artikel ini, kita mengetahui bahwa sebuah garis lurus melalui dua titik, dan hanya satu titik.
Jika di sistem persegi panjang koordinat pada bidang menunjukkan koordinat dua titik yang berbeda, yaitu kemampuan menulis persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.
Kedua, suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan garis yang sejajar dengannya. Cara ini adil, karena sudah selesai titik ini bidang hanya ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis lurus tertentu. Pembuktian fakta tersebut dilakukan pada pelajaran geometri di SMA.
Jika garis lurus pada suatu bidang ditentukan dengan cara ini relatif terhadap persegi panjang yang dimasukkan sistem kartesius koordinat, yaitu kemampuan membuat persamaannya. Hal ini tertulis di artikel persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang sejajar dengan garis tertentu.
Ketiga, suatu garis lurus dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor arahnya.
Jika suatu garis lurus diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dengan cara ini, maka persamaan kanonik garis lurus pada bidang dan persamaan parametrik garis lurus pada bidang dapat dengan mudah dibuat.
Cara keempat untuk menentukan suatu garis adalah dengan menunjukkan titik yang dilaluinya dan garis yang tegak lurus. Memang melalui titik tertentu bidang hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut. Mari kita tinggalkan fakta ini tanpa bukti.
Terakhir, sebuah garis pada suatu bidang dapat ditentukan dengan menentukan titik yang dilaluinya dan vektor normal garis tersebut.
Jika koordinat suatu titik yang terletak pada suatu garis tertentu dan koordinat vektor normal garis tersebut diketahui, maka persamaan umum garis tersebut dapat dituliskan.
Referensi.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 – 9: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika yang lebih tinggi. Jilid Satu: Elemen aljabar linier dan geometri analitik.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.
Hak Cipta oleh siswa yang pandai
Semua hak dilindungi undang-undang.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.situs, termasuk materi internal dan tampilannya, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.
