Perkenalan
Logaritma diciptakan untuk mempercepat dan menyederhanakan perhitungan. Gagasan tentang logaritma, yaitu gagasan untuk menyatakan bilangan sebagai pangkat dari basis yang sama, adalah milik Mikhail Stiefel. Namun pada masa Stiefel, matematika belum begitu berkembang dan gagasan tentang logaritma belum berkembang. Logaritma kemudian ditemukan secara bersamaan dan independen satu sama lain oleh ilmuwan Skotlandia John Napier (1550-1617) dan Jobst Burgi dari Swiss (1552-1632) adalah orang pertama yang menerbitkan karyanya pada tahun 1614. berjudul "Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan", teori logaritma Napier diberikan dengan cukup rinci sepenuhnya, metode penghitungan logaritma diberikan yang paling sederhana, oleh karena itu manfaat Napier dalam penemuan logaritma lebih besar daripada manfaat Bürgi. Bürgi bekerja di meja pada waktu yang sama dengan Napier, tapi untuk waktu yang lama merahasiakannya dan baru menerbitkannya pada tahun 1620. Napier menguasai gagasan logaritma sekitar tahun 1594. meskipun tabel tersebut diterbitkan 20 tahun kemudian. Mula-mula ia menyebut logaritmanya sebagai “bilangan buatan” dan baru kemudian mengusulkan untuk menyebut “bilangan buatan” tersebut dalam satu kata “logaritma”, yang diterjemahkan dari bahasa Yunani berarti “bilangan berkorelasi”, diambil satu dari perkembangan aritmatika, dan yang lainnya dari a kemajuan geometris yang dipilih khusus untuk itu. Tabel pertama dalam bahasa Rusia diterbitkan pada tahun 1703. dengan partisipasi seorang guru luar biasa abad ke-18. L.F.Magnitsky. Dalam perkembangan teori logaritma sangat penting memiliki karya akademisi St. Petersburg Leonhard Euler. Dia adalah orang pertama yang menganggap logaritma sebagai kebalikan dari pangkat; dia memperkenalkan istilah "basis logaritma" dan "mantissa". Briggs menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel desimal lebih nyaman untuk penggunaan praktis, begitulah teorinya lebih sederhana dari logaritma Napier. Itu sebabnya logaritma desimal kadang-kadang disebut brig. Istilah "karakterisasi" diperkenalkan oleh Briggs.
Di masa lalu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin tidak ada koin atau dompet. Tapi ada tumpukan, serta pot dan keranjang, yang sempurna untuk peran tempat penyimpanan yang dapat menampung barang dalam jumlah yang tidak diketahui. Di zaman dahulu masalah matematika Mesopotamia, India, Cina, Yunani, jumlah yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, totalitas hal-hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Para juru tulis, pejabat, dan pendeta yang diinisiasi ke dalam pengetahuan rahasia, terlatih dengan baik dalam ilmu akuntansi, berhasil mengatasi tugas-tugas tersebut.
Sumber-sumber yang sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan kuno memiliki beberapa teknik umum memecahkan masalah dengan besaran yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun papirus atau tablet tanah liat yang memuat penjelasan tentang teknik ini. Para penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar yang minim seperti: “Lihat!”, “Lakukan ini!”, “Anda menemukan yang tepat.” Dalam pengertian ini, pengecualiannya adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusinya.
Namun, panduan pemecahan masalah pertama yang dikenal luas adalah karya ilmuwan Bagdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari nama Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitab restorasi dan oposisi") - seiring berjalannya waktu berubah menjadi kata terkenal "aljabar", dan komposisi oleh al-Khawarizmi menjadi titik tolak perkembangan ilmu pemecahan persamaan.
Persamaan dan pertidaksamaan logaritma
1. Persamaan logaritma
Persamaan yang memuat suatu hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma atau pada basisnya disebut persamaan logaritmik.
Persamaan logaritma yang paling sederhana adalah persamaan bentuk
catatan A X = B . (1)
Pernyataan 1. Jika A > 0, A≠ 1, persamaan (1) untuk sembarang real B Memiliki satu-satunya keputusan X = sebuah b .
Contoh 1. Selesaikan persamaan:
a)catatan 2 X= 3, b) catatan 3 X= -1,c)
Larutan. Dengan menggunakan Pernyataan 1, kita memperoleh a) X= 2 3 atau X= 8; B) X= 3 -1 atau X= 1/3 ; C)
atau X = 1.Mari kita memberi sifat dasar logaritma
P1. Identitas logaritma dasar:
Di mana A > 0, A≠ 1 dan B > 0.
hal2. Logaritma produk faktor positif sama dengan jumlahnya logaritma faktor-faktor ini:
catatan A N 1 · N 2 = catatan A N 1 + catatan A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Komentar. Jika N 1 · N 2 > 0, maka properti P2 berbentuk
catatan A N 1 · N 2 = catatan A |N 1 | + catatan A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
hal3. Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan perbedaannya logaritma dividen dan pembagi
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Komentar. Jika
, (yang setara N 1 N 2 > 0) maka properti P3 berbentuk
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
hal4. Logaritma derajat nomor positif sama dengan produknya eksponen per logaritma angka ini:
catatan A N k = k catatan A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).
Komentar. Jika k - bilangan genap (k = 2S), Itu
catatan A N 2S = 2S catatan A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).
hal5. Rumus pindah ke base lain:
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, B
≠ 1, N
> 0),
khususnya jika N = B, kita mendapatkan
(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)Dengan menggunakan properti P4 dan P5, mudah untuk mendapatkan properti berikut
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (3)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (4)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (5)
dan, jika dalam (5) C- bilangan genap ( C = 2N), terjadi
(B
> 0, A
≠ 0, |A
| ≠ 1). (6)
Mari kita daftar properti utama dari fungsi logaritma F (X) = catatan A X :
1. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan bilangan positif.
2. Rentang nilai fungsi logaritma adalah himpunan bilangan real.
3. Kapan A> 1 fungsi logaritma meningkat secara ketat (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2), dan pada 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > catatan A X 2).
4. catatan A 1 = 0 dan catat A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).
5. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya negatif ketika X(0;1) dan positif pada X(1;+∞), dan jika 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) dan negatif pada X (1;+∞).
6. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya cembung ke atas, dan jika A(0;1) - cembung ke bawah.
Pernyataan berikut (lihat, misalnya,) digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk tujuan keamanan, penegakan hukum, atau kesehatan masyarakat lainnya. kasus-kasus penting.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Suatu pertidaksamaan disebut logaritma jika mengandung fungsi logaritma.
Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak ada bedanya, kecuali dua hal.
Pertama, saat berpindah dari pertidaksamaan logaritmik terhadap ketimpangan di bawah fungsi logaritma sebaiknya ikuti tanda pertidaksamaan yang dihasilkan. Itu mematuhi aturan berikut.
Jika basis fungsi logaritma lebih besar dari $1$, maka ketika berpindah dari pertidaksamaan logaritma ke pertidaksamaan fungsi sublogaritma, tanda pertidaksamaannya tetap, tetapi jika kurang dari $1$, maka berubah menjadi sebaliknya .
Kedua, penyelesaian setiap pertidaksamaan adalah sebuah interval, dan oleh karena itu, pada akhir penyelesaian pertidaksamaan fungsi sublogaritma, perlu dibuat sistem dua pertidaksamaan: pertidaksamaan pertama dari sistem ini adalah pertidaksamaan fungsi sublogaritma, dan yang kedua adalah interval domain definisi fungsi logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan logaritma.
Praktik.
Mari kita selesaikan kesenjangan:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \dalam (-3;+\infty)$
Basis logaritmanya adalah $2>1$, jadi tandanya tidak berubah. Dengan menggunakan definisi logaritma, kita memperoleh:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \dalam )
