Cara mengubah fungsi sudut menjadi trigonometri. Rumus pengurangan fungsi trigonometri. Aturan mnemonik untuk rumus reduksi atau cara mengingatnya

Teman-teman, kita terus mempelajari fungsi daya. Topik pelajaran hari ini adalah fungsi - akar pangkat tiga dari x. Apa itu akar pangkat tiga? Bilangan y disebut akar pangkat tiga dari x (akar derajat ketiga) jika persamaannya dipenuhi:, dengan x adalah bilangan akar, 3 adalah eksponennya.

Seperti yang bisa kita lihat, akar pangkat tiga juga dapat diekstraksi dari bilangan negatif. Ternyata akar kita ada untuk semua bilangan. Akar ketiga suatu bilangan negatif sama dengan bilangan negatif. Jika dipangkatkan ganjil, tandanya dipertahankan, pangkat ketiga ganjil. Mari kita periksa persamaannya: Let. Mari kita naikkan kedua ekspresi ke pangkat tiga. Kemudian atau Dalam notasi akar kita memperoleh identitas yang diinginkan.

Teman-teman, sekarang mari kita buat grafik fungsi kita. 1) Domain definisi adalah himpunan bilangan real. 2) Fungsinya ganjil, karena Selanjutnya kita perhatikan fungsi kita di x 0, maka kita akan menampilkan grafik relatif terhadap titik asal. 3) Fungsinya bertambah seiring x 0. Untuk fungsi kita, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar, yang berarti bertambah. 4) Fungsinya tidak dibatasi dari atas. Faktanya, dari mana saja jumlah besar kita bisa menghitung akar ketiga, dan kita bisa mencapai tak terhingga, menemukan segalanya nilai-nilai besar argumen. 5) Ketika x 0 nilai terkecilnya adalah 0. Sifat ini jelas.

Mari kita buat grafik fungsi kita di seluruh domain definisi. Ingatlah bahwa fungsi kita ganjil. Sifat-sifat fungsi: 1) D(y)=(-;+) 2) Fungsi aneh. 3) Meningkat sebesar (-;+) 4) Tidak terbatas. 5) Tidak ada nilai minimum dan maksimum. 6) Fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan. 7) E(kamu)= (-;+). 8) Cembung ke bawah sebesar (-;0), cembung ke atas sebesar (0;+).

Contoh. Gambarlah grafik fungsi tersebut dan bacalah. Larutan. Mari kita buat dua grafik fungsi menjadi satu bidang koordinat tergantung pada kondisi kita. Untuk x-1 kita membuat grafik akar pangkat tiga, untuk x-1 kita membuat grafik fungsi linier. 1) D(y)=(-;+) 2) Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil. 3) Berkurang sebesar (-;-1), bertambah (-1;+) 4) Tidak terbatas dari atas, dibatasi dari bawah. 5) Nilai terbesar TIDAK. Nilai terendah sama dengan minus satu. 6) Fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan. 7) E(kamu)= (-1;+)

Diberikan sifat dasar fungsi daya, termasuk rumus dan sifat-sifat akar. Derivatif, integral, ekspansi di seri kekuatan dan representasi melalui bilangan kompleks dari fungsi pangkat.

Definisi

Definisi
Fungsi pangkat dengan eksponen p adalah fungsi f (x) = xp, yang nilainya di titik x sama dengan nilainya fungsi eksponensial dengan basis x di titik p.
Selain itu, f (0) = 0 hal = 0 untuk p > 0 .

Untuk nilai-nilai alam eksponen, fungsi pangkat adalah hasil kali n bilangan sama dengan x:
.
Ini didefinisikan untuk semua valid .

Untuk nilai eksponen rasional positif, fungsi pangkat adalah hasil kali n akar derajat m dari bilangan x:
.
Untuk m ganjil, didefinisikan untuk semua x nyata.

Bahkan untuk m, fungsi pangkat didefinisikan untuk fungsi non-negatif.
.
Untuk negatif , fungsi pangkat ditentukan dengan rumus:

Oleh karena itu, hal ini tidak didefinisikan pada intinya.
,
Untuk nilai eksponen p yang irasional, fungsi pangkat ditentukan dengan rumus:
dimana a adalah bilangan positif sembarang yang tidak sama dengan satu: .
Kapan , itu didefinisikan untuk .

Kapan , fungsi pangkat didefinisikan untuk . Kontinuitas

. Suatu fungsi pangkat kontinu dalam domain definisinya.

Sifat dan rumus fungsi pangkat untuk x ≥ 0 Di sini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat untuk tidak nilai-nilai negatif

argumen x.
(1.1) Sebagaimana dinyatakan di atas, untuk nilai eksponen p tertentu, fungsi pangkat juga didefinisikan untuk nilai x negatif.
Dalam hal ini sifat-sifatnya dapat diperoleh dari sifat-sifat , menggunakan genap atau ganjil. Kasus-kasus ini dibahas dan diilustrasikan secara rinci di halaman "".
Fungsi pangkat, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat sebagai berikut:
(1.2) didefinisikan dan kontinu pada himpunan
Dalam hal ini sifat-sifatnya dapat diperoleh dari sifat-sifat , menggunakan genap atau ganjil. Kasus-kasus ini dibahas dan diilustrasikan secara rinci di halaman "".
Fungsi pangkat, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat sebagai berikut:
(1.3) pada ,
pada ;
(1.4) Fungsi pangkat, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat sebagai berikut:
Fungsi pangkat, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat sebagai berikut:
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

mempunyai banyak arti meningkat secara ketat dengan , »

sangat menurun pada ;

Definisi
Bukti properti diberikan pada halaman " Fungsi daya (bukti kontinuitas dan sifat)
.
Akar - definisi, rumus, properti 2, 3, 4, ... - Akar suatu bilangan x derajat n, adalah bilangan yang jika dipangkatkan n menghasilkan x:.

Di sini n =
.
bilangan asli

lebih besar dari satu Anda juga dapat mengatakan bahwa akar suatu bilangan x berderajat n adalah akar (yaitu solusi) persamaan tersebut

Perhatikan bahwa fungsi tersebut merupakan kebalikan dari fungsi tersebut. Akar kuadrat dari x adalah akar derajat 2: .

Akar pangkat tiga

dari nomor x adalah akar derajat 3: . Gelar genap 0 .
.
Rumus yang sering digunakan berlaku untuk x positif dan negatif:
.

Untuk akar kuadrat: Urutan operasi yang dilakukan penting di sini - yaitu, pengkuadratan pertama dilakukan, menghasilkan bilangan non-negatif, dan kemudian akarnya diekstraksi (Anda dapat mengekstrak dari bilangan non-negatif akar kuadrat

). Jika kita mengubah urutannya: , maka untuk x negatif akarnya tidak akan terdefinisi, dan dengan itu seluruh ekspresi akan menjadi tidak terdefinisi.

Gelar yang aneh
;
.

Untuk pangkat ganjil, akar ditentukan untuk semua x:

Sifat dan rumus akar
.
Akar dari x adalah fungsi pangkat: 0 Ketika x ≥
;
;
, ;
.

rumus berikut berlaku: Rumus ini juga dapat diterapkan untuk nilai variabel negatif. Anda hanya perlu memastikannya

ekspresi radikal

Bahkan tidak ada kekuatan yang bersifat negatif.
Nilai-nilai pribadi
Akar dari 0 adalah 0: .
Akar 1 sama dengan 1: .

Akar kuadrat dari 0 adalah 0: .

Akar kuadrat dari 1 adalah 1: .
.
Contoh. Akar dari akar
.
Mari kita lihat contoh akar kuadrat dari akar:
.
Mari kita ubah akar kuadrat dalam menggunakan rumus di atas:
.

Sekarang mari kita ubah root aslinya:

Jadi, y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda. »

Berikut adalah grafik fungsi nilai non-negatif dari argumen x.

Grafik fungsi pangkat yang ditentukan untuk nilai negatif x diberikan pada halaman "

Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya

Fungsi terbalik

Kebalikan dari fungsi pangkat dengan eksponen p adalah fungsi pangkat dengan eksponen 1/p.
;

Jika, maka.

Turunan dari fungsi pangkat

Turunan dari orde ke-n: 1 ;
.

Menurunkan rumus > > >

Integral dari fungsi pangkat 1 < x < 1 P ≠ -

Ekspansi seri daya

Pada -
dekomposisi berikut terjadi: Ekspresi menggunakan bilangan kompleks.
Perhatikan fungsi variabel kompleks z:
F
(z) = zt Mari kita nyatakan variabel kompleks z dalam modulus r dan argumen φ (r = |z|):
z = r e saya φ .
Bilangan kompleks

t akan direpresentasikan dalam bentuk bagian nyata dan imajiner:
,

t = p + saya q . 0 Kami memiliki: Selanjutnya, kami memperhitungkan bahwa argumen φ tidak didefinisikan secara unik: Mari kita perhatikan kasus ketika q =
.

, yaitu eksponen -
.
bilangan real , t = hal. Kemudian

Jika p irasional, maka hasil kali kp untuk sembarang k tidak menghasilkan bilangan bulat. Karena k melewati serangkaian nilai yang tak terhingga k = 0, 1, 2, 3, ..., maka fungsi z p memiliki nilai yang tak terhingga banyaknya. Setiap kali argumen z bertambah 2π(satu putaran), kita pindah ke cabang fungsi baru.

Jika p rasional, maka dapat direpresentasikan sebagai:
, Di mana M N- utuh, tidak mengandung pembagi persekutuan. Kemudian
.
N nilai pertama, dengan k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, diberikan arti yang berbeda kp:
.
Namun, nilai selanjutnya memberikan nilai yang berbeda dari nilai sebelumnya sebesar bilangan bulat. Misalnya ketika k = k 0+n kami memiliki:
.
Fungsi trigonometri yang argumennya berbeda kelipatan 2π, memiliki nilai-nilai yang setara. Oleh karena itu, dengan peningkatan k lebih lanjut, kita memperoleh nilai z p yang sama seperti untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Jadi, fungsi eksponensial dengan indikator rasional derajat bernilai banyak dan memiliki n nilai (cabang). Setiap kali argumen z bertambah 2π(satu putaran), kita pindah ke cabang fungsi baru. Setelah n putaran seperti itu, kita kembali ke cabang pertama tempat hitungan mundur dimulai.

Secara khusus, akar derajat n memiliki n nilai. Sebagai contoh, perhatikan akar ke-n dari bilangan real angka positif z = x. Dalam hal ini φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
Jadi, untuk akar kuadrat, n = Bahkan untuk k,(- 1 ) k = 1 ..
Untuk k ganjil,

(- 1 ) k = - 1
Artinya, akar kuadrat memiliki dua arti: + dan -.

Sastra bekas:

DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009. Rumus reduksi adalah hubungan yang memungkinkan Anda beralih dari sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dengan sudut `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` dengan fungsi yang sama dari sudut `\alpha`, yang terletak di seperempat pertama lingkaran satuan. Jadi, rumus reduksi “mengarahkan” kita untuk bekerja dengan sudut dalam kisaran 0 hingga 90 derajat, yang sangat memudahkan. Secara keseluruhan ada 32 rumus reduksi. Mereka pasti akan berguna selama Ujian Negara Bersatu, ujian, dan ulangan. Namun izinkan kami segera memperingatkan Anda bahwa tidak perlu menghafalnya! Anda perlu meluangkan sedikit waktu dan memahami algoritma penerapannya, maka itu tidak akan sulit bagi Anda

saat yang tepat

mendapatkan kesetaraan yang diperlukan.

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Untuk sudut (`\pi \pm \alpha`) atau (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Untuk sudut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) atau (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Untuk sudut (`2\pi \pm \alpha`) atau (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Anda sering dapat menemukan rumus reduksi dalam bentuk tabel yang sudutnya ditulis dalam radian:

Untuk menggunakannya, kita perlu memilih baris dengan fungsi yang kita perlukan dan kolom dengan argumen yang diinginkan. Misalnya, untuk mengetahui dengan menggunakan tabel berapa nilai ` sin(\pi + \alpha)`, cukup mencari jawabannya di perpotongan baris ` sin \beta` dan kolom ` \pi + \alfa`. Kita mendapatkan ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Dan tabel kedua yang serupa, di mana sudut ditulis dalam derajat:

Aturan mnemonik untuk rumus reduksi atau cara mengingatnya

Seperti yang telah kami sebutkan, tidak perlu menghafal semua hubungan di atas. Jika Anda memperhatikannya dengan cermat, Anda mungkin memperhatikan beberapa pola. Mereka memungkinkan kita merumuskan aturan mnemonik (mnemonik - ingat), yang dengannya kita dapat dengan mudah mendapatkan rumus reduksi apa pun.

Mari kita segera perhatikan bahwa untuk menerapkan aturan ini Anda harus pandai mengidentifikasi (atau mengingat) tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai bagian lingkaran satuan.
Vaksinnya sendiri terdiri dari 3 tahap:

1. Argumen fungsi harus direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, dan `\alpha` wajib diisi sudut lancip(dari 0 hingga 90 derajat).
2. Untuk argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fungsi trigonometri ekspresi yang diubah berubah menjadi kofungsi, yaitu kebalikannya (sinus ke kosinus, tangen ke kotangen, dan sebaliknya). Untuk argumen `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` fungsinya tidak berubah.
3. Tanda fungsi aslinya ditentukan. Fungsi yang dihasilkan di ruas kanan akan mempunyai tanda yang sama.

Untuk melihat bagaimana aturan ini dapat diterapkan dalam praktiknya, mari kita ubah beberapa ekspresi:

1. `cos(\pi + \alfa)`.

Fungsinya tidak terbalik. Sudut `\pi + \alpha` berada pada kuarter ketiga, kosinus pada kuarter ini bertanda “-”, sehingga fungsi yang ditransformasi juga akan bertanda “-”.

Jawaban: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `dosa(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.

Menurut aturan mnemonik, fungsinya akan dibalik. Sudut `\frac (3\pi)2 - \alpha` berada pada kuarter ketiga, sinus disini bertanda “-”, jadi hasilnya juga bertanda “-”.

Jawaban: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Mari kita nyatakan `3\pi` sebagai `2\pi+\pi`. `2\pi` adalah periode fungsi.

Penting: Fungsi `cos \alpha` dan `sin \alpha` memiliki periode `2\pi` atau `360^\circ`, nilainya tidak akan berubah jika argumen ditambah atau dikurangi sebesar nilai tersebut.

Berdasarkan hal ini, ekspresi kita dapat ditulis sebagai berikut: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Menerapkan aturan mnemonik dua kali, kita mendapatkan: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Jawaban: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Aturan kuda

Poin kedua dari aturan mnemonik yang dijelaskan di atas disebut juga aturan rumus reduksi kuda. Saya bertanya-tanya mengapa kuda?

Jadi, kita mempunyai fungsi dengan argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, titik `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` adalah kuncinya, terletak pada sumbu koordinat. `\pi` dan `2\pi` berada pada sumbu x horizontal, dan `\frac (\pi)2` dan `\frac (3\pi)2` berada pada sumbu vertikal ordinat

Kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan: “Apakah suatu fungsi berubah menjadi kofungsi?” Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu menggerakkan kepala Anda sepanjang sumbu tempat titik kunci berada.

Artinya, untuk argumen yang poin-poin kuncinya terletak pada sumbu horizontal, kita menjawab “tidak” dengan menggelengkan kepala ke samping. Dan untuk sudut yang titik-titik kuncinya terletak pada sumbu vertikal, kita menjawab “ya” dengan menganggukkan kepala dari atas ke bawah seperti kuda :)

Kami menyarankan Anda menonton video tutorial yang penulis menjelaskan secara detail cara mengingat rumus reduksi tanpa menghafalnya.

Contoh praktis penggunaan rumus reduksi

Penggunaan rumus reduksi dimulai pada kelas 9 dan 10. Banyak soal yang menggunakannya diserahkan ke Ujian Negara Bersatu. Berikut beberapa soal yang mengharuskan Anda menerapkan rumus ini:

masalah untuk menyelesaikan segitiga siku-siku;
konversi numerik dan alfabet ekspresi trigonometri, perhitungan nilainya;
tugas stereometrik.

Contoh 1. Hitung menggunakan rumus reduksi a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Penyelesaian: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Contoh 2. Setelah menyatakan kosinus melalui sinus menggunakan rumus reduksi, bandingkan bilangan: 1) `sin \frac (9\pi)8` dan `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dan `cos \frac (3\pi)10`.

Penyelesaian: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`dosa \frac (\pi)8

Mari kita buktikan dulu dua rumus sinus dan cosinus dari argumen `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dan ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Sisanya berasal dari mereka.

Mari kita ambil lingkaran satuan dan titik A di atasnya dengan koordinat (1,0). Biarkan setelah beralih ke sudut `\alpha` akan menuju ke titik `A_1(x, y)`, dan setelah memutar sudut `\frac (\pi)2 + \alpha` ke titik `A_2(-y, x)`. Dengan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik-titik ini ke garis OX, kita melihat bahwa segitiga `OA_1H_1` dan `OA_2H_2` adalah sama besar, karena sisi miring dan sudut-sudut yang berdekatan sama besar. Kemudian, berdasarkan definisi sinus dan cosinus, kita dapat menulis `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Dimana kita dapat menulis bahwa ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dan ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, yang membuktikan reduksi rumus sudut sinus dan kosinus `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Berdasarkan definisi tangen dan kotangen, diperoleh ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dan ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, yang membuktikan rumus reduksi tangen dan kotangen sudut `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Untuk membuktikan rumus dengan argumen `\frac (\pi)2 - \alpha`, cukup dengan menyatakannya sebagai `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dan ikuti jalur yang sama seperti di atas. Misalnya, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Sudut `\pi + \alpha` dan `\pi - \alpha` dapat direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` masing-masing.

Dan `\frac (3\pi)2 + \alpha` dan `\frac (3\pi)2 - \alpha` sebagai `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

1. Fungsi trigonometri adalah fungsi dasar yang argumennya adalah sudut. Fungsi trigonometri menggambarkan hubungan antara sisi dan sudut lancip pada segitiga siku-siku. Area penerapan fungsi trigonometri sangat beragam. Misalnya, setiap proses periodik dapat direpresentasikan sebagai jumlah fungsi trigonometri (deret Fourier). Fungsi-fungsi ini sering muncul ketika menyelesaikan persamaan diferensial dan fungsional.

2. Fungsi trigonometri meliputi 6 fungsi sebagai berikut: sinus, kosinus, garis singgung,kotangens, garis potong Dan kosekans. Untuk masing-masing fungsi ini terdapat fungsi trigonometri terbalik.

3. Lebih mudah untuk memperkenalkan definisi geometri fungsi trigonometri menggunakan lingkaran satuan. Gambar di bawah menunjukkan sebuah lingkaran dengan jari-jari r=1. Titik M(x,y) ditandai pada lingkaran. Sudut antara vektor jari-jari OM dan arah positif sumbu Ox sama dengan α.

4. Sinus sudut α adalah perbandingan ordinat y titik M(x,y) dengan jari-jari r:
dosaα=y/r.
Karena r=1, maka sinusnya sama dengan ordinat titik M(x,y).

5. Kosinus sudut α adalah perbandingan absis x titik M(x,y) dengan jari-jari r:
cosα=x/r

6. Garis singgung sudut α adalah perbandingan ordinat y suatu titik M(x,y) dengan absisnya x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens sudut α adalah perbandingan absis x suatu titik M(x,y) dengan ordinatnya y:
cotα=x/y,y≠0

8. Garis potong sudut α adalah perbandingan jari-jari r terhadap absis x titik M(x,y):
detikα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekans sudut α adalah perbandingan jari-jari r dengan ordinat y dari titik M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Pada lingkaran satuan, proyeksi x, y, titik M(x,y) dan jari-jari r membentuk segitiga siku-siku, dengan x,y adalah kaki-kakinya, dan r adalah sisi miringnya. Oleh karena itu, definisi fungsi trigonometri yang diterapkan pada segitiga siku-siku di atas dirumuskan sebagai berikut:
Sinus sudut α adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.
Kosinus sudut α adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung sudut α disebut kaki yang berhadapan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangens sudut α disebut sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.
Garis potong sudut α adalah perbandingan sisi miring dengan kaki yang berdekatan.
Kosekans sudut α adalah perbandingan sisi miring dengan kaki yang berhadapan.

11. Grafik fungsi sinus
y=sinx, domain definisi: x∈R, rentang nilai: −1≤sinx≤1

12. Grafik fungsi kosinus
y=cosx, domain: x∈R, rentang: −1≤cosx≤1

13. Grafik fungsi tangen
y=tanx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rentang: −∞