Арифметический способ решения. Видеоурок «Арифметический способ решения текстовых задач. Текстовые задачи и их типология

Обобщение опыта.

Текстовые задачи в школьном курсе математики.

Арифметические способы решения задач.

Солдатова Светлана Анатольевна

учитель математики первой категории

МОУ Угличский физико-математический лицей

2017 г.

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

С термином «задача» мы постоянно сталкиваются в повседневной жизни. Каждый из нас решает те или иные проблемы, которые мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком .

Задачи, в которых объекты - математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, свойства и признаки изучаемого математического понятия, геометрической фигуры), часто называют математическими задачами . Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.

Решая текстовые задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен.

Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ проверкой полученного результата.

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу, на растворы и сплавы, на прямую и обратную пропорциональность и т. д.

К этому времени была хорошо разработана методика их применения в учебном процессе, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.

А ведь именно текстовые задачи и арифметические способы их решения готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра научит более простым, чем арифметические, способам решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

Хочу отметить, что я являюсь представителем именно того поколения школьников, которые были участниками вышеуказанной реформы. Я пошла в школу в 1968 году, и мой учебник в первом классе назывался «Арифметика». Оказывается, мы были последние, кто по нему учился. Во втором классе для меня было удивительным и необычным то, что предмет, а соответственно и учебник, моих подружек-первоклассниц назывался «математика». В третьем классе и мы уже учились по «математике». В среднем звене, а соответственно в старших классах, основным способом решения текстовых задач являлся алгебраический. Влияние реформы конца 60-х я ощущаю по сей день, т.к. у родителей, принимающих участие в учебном процессе детей, в силу того, что у них выработался определённый стереотип, сформировалось мнение, что задачи нужно решать именно с помощью уравнений. Мамы и папы, не зная других приёмов, настойчиво пытаются дома объяснить по-своему, что не всегда приносит пользу, даже порой только усложняет работу учителя.

Ни в коем случае нельзя умалять ценность алгебраического способа решения задач, который является универсальным и порой единственным при решении более сложных задач. К тому же, довольно часто именно уравнение даёт подсказку для нахождения способа решения по действиям. Но практика показала, что раннее применение этого перспективного, с точки зрения дальнейшего использования в обучении, способа решения задач без достаточной подготовки малоэффективно.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять максимальное внимания и не торопиться переходить к решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, что находится в результате каждого действия. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе.

Очень часто можно видеть, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводится абстрактная переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что у детей такого возраста развито наглядно-образное мышление. А уравнение - абстрактная модель. Да и инструменты для решения уравнений у детей пятого, начала шестого класса отсутствуют. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать такими понятиями как «часть», «куча» и т.п. Ребенок должен пройти тот же путь!

Для успешной работы важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Много лет назад у меня в руках оказалось уже давно выпущенное пособие для учителей 5-8 классов (в современной школе – 5-9 классов) «Сборник московских математических олимпиад (с решениями)» 1967 г.в., автор которого - Галина Ивановна Зубелевич. Подавляющее большинство задач в нем решено арифметически, что меня очень заинтересовало. Позднее моё внимание привлекли два учебных пособия «Арифметика,6» , и «Арифметика,6» автор А.В. Шевкин, и пособие для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» того же автора. Эти источники стали для меня началом работы над данной темой. Предложенные идеи мне показались очень актуальными и созвучными с моим пониманием заявленной темы, а именно:

1) отказ от использования уравнений на ранней стадии обучения и возвращение к более широкому применению арифметических способов решения задач;

2) более широкое использование «исторических» задач и Старинных способов их решения;

3) отказ от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы и рассмотрение цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.

Типы текстовых задач по способу решения.

Текстовые задачи можно условно разделить на арифметические и алгебраические. Данное разделение обусловлено выбором способа решения, более характерного (рационального) для той или иной задачи.

Арифметические задачи таят в себе огромные возможности для того, чтобы научить школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации. Арифметика - самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с самыми простыми, самыми фундаментальными, экспериментальными фактами (например, что пересчёт

камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному

результату):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

Рассмотрим некоторые виды задач.

«Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси по цене высшего, остальное - по цене низшего сорта. Сколько процентов прибыли или убытка получено при продаже?»

Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произвольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчётливо выраженный алгебраический характер. Наряду с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот, арифметический путь решения значительно проще алгебраического. Это может зависеть от двух причин. В одних случаях переход от известного к неизвестному настолько прост, что составление уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова, например, следующая задача:

«Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. - Как только ты перейдёшь через этот мост, - сказал он – деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?»

Вторая - классическая задача, интересная парадоксальностью формулировки условия. Этапы «синтетического» решения развёртываются в ней, как и в предыдущей задаче, в порядке, противоположном ходу описанных событий.

«Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму покупателю - половину остатка и ещё пол-яйца, третьему - половину остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось. Сколько яиц было в корзине в начале?»

В других случаях составление уравнения требует проведения такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достижения цели. Это-арифметические задачи в полном смысле этого слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом приходится исключать, и т.п.

Так, если, например, в задаче «Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?» обозначить число братьев через x, число сестёр через y, то уравнение будет x − (y − 1) = 3, но если мы уже догадались, что надо написать y−1 (сестра сама себя не считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше, чем сестёр.

Приведём ещё несколько примеров.

«Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения реки?»

Решение: 1 (60:(10+10))=3(км/ч)

«К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину. Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив посланную за мной машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?»

Рассмотрим решение данной задачи по действиям:

1) 10:2=5 (мин) – время, которое оставалось машине для приезда на станцию в срок от места встречи.

2) 60-5=55 (мин) - время, которое затратил пешеход на то же расстояние.

3) 55:5=11(раз) машина едет быстрее.

«Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке, требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?»

В этой задаче надо догадаться перейти от времени к расстояниям.

Это очень хорошие арифметические задачи: они требуют ясного представления о соответствующей конкретной ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.

Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой не надо производить никаких «действий»:

« Какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем. Затем он проделал это ещё раз. Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом? »

Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девался из бутылки дёготь, который был вытеснен мёдом?

Это не алгебра, не приведение подобных членов и не «перенесение из одной части в другую с обратным знаком». Это как раз та логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изучаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.

Разграничения между арифметическими и алгебраическими по своему характеру задачами являются как бы несколько размытыми, так как они зависят от количественных признаков, в оценке которых можно расходиться, подобно тому как нельзя провести грань между «несколькими зёрнами» и «кучей зёрен».

Остановимся подробнее на видах текстовых задач и способах их решения. Рассмотрим те задачи, которые многие склонны решать с помощью уравнений, а они при этом имеют простые и порой очень красивые решения по действиям.

1. Нахождение задач по их кратному отношению и сумме или разности (на «части»).

Знакомство с такими задачами надо начинать с тех, где речь идёт о частях в чистом виде. При их решении создаётся основа для решения задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на другую величину, на их сумму (разность).

а) Для варенья на 2 части клубники берут 3 части сахара. Сколько сахара нужно взять на 3 кг клубники?

б) Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части, сливы – 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности?

в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось. Сколько страниц в книге, если она прочитала на 42 страницы меньше?

Решение данной задачи желательно начинать с чертежа:

1) – приходиться на 42 страницы.

2) – 1 часть, или столько страниц прочитала девочка.

3) – в книге.

В дальнейшем ученики смогут решать и более сложные задачи.

в) Задача С.А. Рачинского. Я провел год в Москве, в деревне и в дороге - и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?

г) При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?

д) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».

е) Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое – в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.

Задачи на делении числа в данном отношении относятся к данному типу.

2. Нахождение двух чисел по их сумме и разности.

а) В двух пачках 50 тетрадей, причём в первой пачке на 8 тетрадей больше. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Решение задач такого вида я обязательно начинаю с чертежа. Затем предлагаю уравнять величины. Ребята предлагают два способа: убрать из первой пачки или добавить во вторую. Так определяются основные два способа: через удвоенное меньшее число или удвоенное большее число.

Когда эти способы будут отработаны, уместно показать «старинный» способ решения задач такого вида. После вопроса «Каким образом можно уравнять стопки тетрадей, и при этом общее количество тетрадей не изменилось?» учащиеся догадываются, как это сделать, и делают вывод: чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы вычесть полуразность, а, чтобы найти большее число, надо к полусумме прибавить полуразность. Сильные учащиеся могут обосновать этот способ с помощью преобразования буквенных выражений:

С применением данного способа следующая задача решается в одно действие:

б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3, а их полуразность равна 1. Какова величина меньшего числа?

– меньшее число.

Приём уравнивания применим и в задаче:

в) 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За это время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок и каждая овца?

3. Задачи на «предположение».

Задачи такого типа связаны с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. В традиционной методике задачи такого типа имели и другие названия по наиболее известным задачам: на «синее и красное сукно», на «смешение ΙΙ рода». Думаю, что самой известной среди задач на «предположение» является старинная китайская задача.

а) В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Представьте, что в клетке сидят только фазаны. Сколько у них ног?

Почему ног меньше? (Не все фазаны, среди них есть кролики). На сколько ног больше?

Если одного фазана заменить на кролика, то на сколько увеличится число ног? (На 2)

Можно выбрать другой способ, представив, что все кролики.

Очень интересно другое рассуждение, данное старыми мастерами методики математики и вызывающее у детей большой интерес.

- Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
2·35= 70(н.)
- Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

- Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.

- Сколько их?
94 – 70 = 24(н.)
- Сколько же кроликов?
24:2 = 12
А фазанов?
35 – 12 = 23

Усвоив алгоритм рассуждения, ребята легко решают и следующие задачи:

б) Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?

в) На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?

г) Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено? Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.

Интересной мне показалась задача из статьи И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946г.) про вагоны:

д) «Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком. Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить“. Второй заметил, что в составе много четырёхосных вагонов-втрое больше, чем двухосных, остальные трёхосные. На следующем перегоне я захотел, от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом составе. Как это сделать?»

Арифметическое решение - проще алгебраического и требует отчётливого представления о том, что двухосные и четырёхосные входят в состав (в количественном отношении) определенными группами (по 4 вагона). Воображаемая «замена» всех вагонов трёхосными- обычный и уже хорошо знакомый учащимся приём.

Вспомогательным средством может служить графическое линейное отображение условий задачи.

4. Задачи на движение.

Данные задачи являются традиционно трудными. У учащихся должны быть хорошо сформированы такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Когда ученики научатся решать такие задачи с помощью уравнения, им будет гораздо проще добраться до ответа. Но легче - не значит полезнее. Много лет назад один мой ученик, довольно-таки сильный в математике, на уроке увлечённо искал арифметический способ решения задачи, в то время, когда весь класс её решил с помощью уравнения. Я хорошо запомнила его слова, очень мне понятные: «А мне не интересно уравнением».

Приведу условия и решение нескольких задач.

а) Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

Решение:

1) на столько отстал второй поезд.

2) – скорость удаления.

3) был в пути первый поезд.

4) расстояние от Москвы до Твери .

б) Два самолёта вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один – со скоростью 350 км/ч, другой – со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый?

Решение:

1) скорость удаления.

2) – на столько отстал второй самолёт.

3) скорость сближения.

4) столько времени потребуется, чтобы второй самолёт догнал первый.

5) (км) – на таком расстоянии до Москвы второй самолёт догонит первый.

в) Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдёт тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.

Решение:

Примем за 100% или за 1 скорость первого автомобиля.

1) скорость сближения.

2) – составляет скорость второго от скорости первого.

3) приходится на скорость сближения.

4) скорость первого автомобиля.

5) скорость второго автомобиля .

г) Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 с – мост длиною 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину.

Решение: При решении данной задачи учащиеся должны понять, что, пройти мост – пройти путь, равный длине моста и длине состава, пройти мимо телеграфного столба – пройти путь, равный длине состава.

1) поезд проходит путь, равный длине моста.

2) – скорость поезда.

3) длина поезда.

д) На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км/ч, а парохода – 30 км/ч. Найти расстояние между пристанями.

Решение: 40 мин ч

1) отставание парохода.

2) – скорость удаления

2) – был в пути катер.

3) расстояние между пристанями.

Это лишь несколько задач на движения из их огромного многообразия. На их примере я хотела показать, как можно обойтись без уравнений, пока умения их решать у учащихся не сформированы. Естественно, такие задачи под силу сильным ученикам, но это большая возможность для их математического развития.

5. Задачи на «бассейны».

Это ещё один тип задач, вызывающий и интерес, и трудности у детей. Его можно назвать и задачами на совместную работу, к ним относится и часть задач на движение.

Название данного типа даёт не без известная старинная задача:

а) В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить бассейн в 1ч, другая, более тонкая, в 2 ч, третья, ещё более тонкая, в 3ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн?

Решение:

1) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙ трубу трубу.

2) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙΙ трубу.

3) (в./ч) – общая скорость.

4) (ч) – заполнят водоём 3 трубы.

Можно предложить детям ещё одно интересное решение:

За 6 часов через Ι трубу заполняется 6 водоёмов, через ΙΙ трубу – 3 водоёма, через ΙΙΙ трубу – 2 водоёма. Все трубы за 6 ч заполнят 11 водоёмов, соответственно на заполнение одного водоёма потребуется ч.

Аналогичное решение имеет следующая задача:

б) Лев съел овцу одни часом, а волк съел овцу за два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три – лев, волк и пёс – ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи 17 века).

в) Один человек выпьет кадь пития за 14 дней, а со женою выпьет туже кадь за 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (из «Арифметики» Магницкого)

Решение:

1) (ч) – выпивают в день вместе.

) (ч) – выпивает в день муж.

3) (ч) – выпивает в день жена.

4) (д.) – потребуется жене, чтобы выпить кадь пития.

г) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (решение аналогичное)

д) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришёл в А? (ч) - будут работать вместе.

7) – потребуется для разгрузки баржи.

6. Задача Ньютона.

Особый интерес у ребят вызывает задача о коровах, поедающих траву. Задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности и является одной из красивых арифметических задач, которую хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений. Мне приходилось наблюдать, как над ней ломают голову старшеклассники, вводя несколько переменных, и в то же время легко разбираются в решении пятиклассники, если им подсказать идею решения.

7) (п.) – буде съедено в день, а это и есть количество коров.

Ответ: 20 коров.

В данной работе приведены примеры и разобраны лишь некоторые из огромного количества текстовых задач.

В завершении хотелось бы отметить, что необходимо приветствовать различные способы решения задач. Именно решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны деятельности. Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Литература.

1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Известия АПН РСФСР. 1946. - Вып. 6 - С. 8-28.

2. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1971.

3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Галс плюс,1998.

4 . Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары , курсы повышения квалификации , профессиональная переподготовка и профессиональное обучение . Низкие цены. Более 7900 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.

Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.

2600:2=1300 (г) - приходится на одну часть варенья;
1300*3= 3900 (г) - сахара нужно взять.

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

1) 1+3=4 (части) - приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) - приходится на одну часть (книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:

27*2=54 (ноги) - будут стоять на полу;
74-54=20 (ног) - будут наверху;
20:2=10 (кроликов);
27-10=17 (фазанов).

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.

30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
21-2=19 (человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.

Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?

2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
2500-2100=400 (г) – вес гусенка.

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:

1) 20*5=100 (колец) – осталось;

2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;

3) 28:2=14 (больших пирамид).

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.

Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.

99% вода	1% сухое вещество
98% вода	2% сухое вещество

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;

3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.

Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

38-28=10 (лет) – Любе;
23-10=13 (лет) – Наде;
28-13=15 (лет) – Вере.

Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.

Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.

Арифметический способ решения текстовых задач

А.В.Шевкин

Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.

Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.

В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.

Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.

К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.

В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.

Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу

Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.

Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.

Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач

Задачи на движение

Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).

Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1 способ:

Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.

2) 26 3 = 78 (км)

Составим выражение:

3(12 + 14) = 78(км)

Ответ : 78 км.

Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.

2 способ:

1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи

2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи

3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками

Составим выражение:

12 3 + 14 3 = 78 (км)

Ответ : 78 км.

Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?

Как можно отобразить условие?

1.Составить таблицу:

Было

Убрали

Стало

1 пачка - ? 54 тет.

2 пачка – ?

10 тет.

14 тет.

поровну

2. Сделать рисунок

Забрали 14 шт.

Забрали 10 шт.

Поровну

Всего 54 шт.

Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:

1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?

10 + 14 = 24 (шт.);

2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?

– 24 = 30 (шт.);

3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?

30: 2 = 15 (шт.);

4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?

10 = 25 (шт.);

5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?

54 – 25 = 29 (шт.).

В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.

Как же тогда будет выглядеть решение?

Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,

тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а

(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.

Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:

х + 10 + х + 14 = 54

В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.

х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)

2х = 54 – 24; (2 действие)

х = 30:2; (3 действие)

15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)

15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)

Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.

Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.

Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.

Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.

За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1.1 Понятие текстовой задачи

1.2 Виды арифметических задач

1.3 Роль задачи в математике

1.4 Этапы решения текстовых задач и приемы их выполнения

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач

2.4 Задачи на проценты

2.5 Задачи на совместную работу

Заключение

Литература

Введение

Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума. У.У. Сойер

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, т. е. развивает естественный язык. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, т.е, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Текстовые задачи -- традиционно трудный, для значительной части школьников, материал. В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения, выполнить проверку полученного результата.

Цель моей выпускной работы -- исследование методики обучения решению текстовых задач арифметическим способом, рассмотреть структуру текстовой задачи, этапы решения задач арифметическим методом, показать трудности при решении задач, умение преодолевать эти трудности, применение арифметического способа решения текстовых задач из личной практики.

Объектом изучения является учебно-воспитательный процесс на уроках математики.

Задачи работы:

– проанализировать психолого-педагогическую литературу по данной теме; изучить научно-методическую литературу, направленную на обучение решению текстовых задач;

– рассмотреть характеристику текстовой задачи и методику работы с ней;

– показать применение арифметического способа при решении текстовых задач.

Структура работы. Моя работа состоит из введения, глав “Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней“ и “Обучение школьников приемам решения текстовых задач арифметическим способом“, заключения. В первой главе я рассмотрела понятие текстовой задачи, типы задач, что значит решить задачу, этапы процесса решения задачи арифметическими методами.Во второй главе я рассмотрела решение арифметическим способом текстовых задач на примере задач на движение, на нахождение дроби от числа и числа по величине его дроби, задач на процентные расчеты, на совместную работу; задачи, решаемые с помощью таблиц, среднее арифметическое в задачах. Старалась показать методику обучения учащихся решению текстовых задач, их место в учебно-воспитательном процессе на уроке. В своей работе я хочу показать конкретное применение арифметических способов решения текстовых задач, используя свой личный опыт.

По данной проблеме достаточно литературы. Проанализируя некоторые из них, хотелось бы отметить книгу С. Лукьяновой «Розв"язування текстових задач арифметичними способами». В книге рассматриваются разные арифметические способы решения текстовых задач и предлагаются оригинальные методики обучения этому учащихся 5-6-х классов. Автор рассматривает около 200 задач разных уровней сложности, к большинству которых предложено решение (к некоторым - несколько способов), каждое из которых реализуется только с помощью арифметических действий. В книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя», автор Шевкин А.В., подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям математического образования, о необходимости отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения. В учебном пособии Фридмана Л.М. «Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика» говорится, что при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач и есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики.

В работе использовала материалы учебно-методической газеты «Математика» №23 - 2005 (Издательский дом «Первое сентября»), «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» (М.Е.Козина, М.Е.Фадеева - Волгоград, 2008г.), Методические рекомендации для 5-6 классов, Дидактические материалы для 5-6 классов (М.К.Потапов, А.В. Шевкин) и другие.

Глава I. Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней

решение текстовый задача арифметический

Математика - это орудие для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений.

Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

1.1 Понятие текстовой задачи

Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Эти задачи сформулированы на естественном языке, поэтому их называют текстовыми. В них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий, поэтому их часто называют сюжетными. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче и учитывая их» - отметил Л.М. Фридман в своей работе «Сюжетные задачи по математике».

Текстовая задача -- есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. Текстовые задачи могут быть абстрактного содержания, когда в тексте зависимости между числами описаны словесно (Найти два числа, если одно из них на 18 больше другого, а их сумма равна 80) или с определенным сюжетом (Билет для входа на стадион стоил 160 руб. После того, как плату за вход снизили, количество зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоит билет после снижения платы за вход?).

Каждая задача -- это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача -- это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ним определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса), причем условия и требования взаимосвязаны.

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи -- это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найдите скорость велосипедистов или « Сколько километров проходил турист в каждый из трех дней?»). Требований в задаче может быть несколько.

Рассмотрим задачу: Свитер,шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Объекты задачи: шарф, шапка, свитер. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения: Свитер, шапка, шарф связаны из 1200 г шерсти.

На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования: Сколько шерсти израсходовали на свитер?

Сколько шерсти израсходовали на шапку?

Сколько шерсти израсходовали на шарф?

В задаче три неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины называется искомым.

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Сколько литров воды в каждой бочке, если в первой на 48 л больше, чем в другой?» - недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы решить эту задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

1.2 Виды арифметических задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики -- понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения ее в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи.

1.3 Роль задачи в математике

Значительное место в математике занимают текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, используются в целях уяснения доли, помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т. п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Содержание многих задач отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Решение задач -- упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но ипрокладывает пути к глубокому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира. Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей положительные качества характера и развивает их эстетически.

1.4 Этапы решения тестовых задач и приемы их выполнения

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи, процесс нахождения результата. Причем этот процесс рассматривается двояко: метод нахождения результата и последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод. То есть в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу. Основными методами решения текстовых задач является арифметический и алгебраический. Решить задачу арифметическим способом -- это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Решение задач -- это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Рассмотрим пример: «Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот отработав 7 месяцев, захотел уйти и попросил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?».

Решение задачи: работник не получил 12 -- 5 = 7 (руб) за 12 - 7 = 5(месяцев),

поэтому за один месяц ему платили 7: 5 = 1,4 (руб),

а за 7 месяцев он получил 7 * 1,4 = 9,8 (руб),

тогда кафтан стоил 9,8 -- 5 = 4,8 (руб).

Ответ: стоимость кафтана 4,8 рублей.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

В расширенном виде решение текстовой задачи можно представить как последовательность таких этапов:

1) анализ задачи;

2) построение модели;

3) поиск способа решения (составление плана решения);

4) запись решения;

5) проверка решения;

6) исследование задачи и ее решения;

7) формулирование ответа;

8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Чаще всего реализуется только четыре этапа: анализ задачи, составление плана решения, запись решения, формулирование ответа, а на всех этапах останавливаются только при решении сложных, проблемных задач или задач, которые имеют определенные обобщающе -- теоретическое значение.

Анализ задачи всегда направлен на ее требование.

Цели этапа: - понять ситуацию, описанную в задаче;

Выделить условия и требования;

Назвать известные и искомые объекты;

Выделить все отношения (зависимости) между ними.

Чтобы разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования, нужно задать специальные вопросы:

1. О чем задача?

2. Что требуется найти в задаче?

3. Что означают те или иные слова в тексте задачи?

4. Что в задаче неизвестно?

5. Что является искомым?

Рассмотрим пример: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4км/ч, а скорость второго 5км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Анализ задачи: 1) О чем эта задача?

Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2) Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т. е. второй не догонит первого.

3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

В задаче известно: а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км;

в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4км/ч;

г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч;

е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2км до момента встречи.

4) Что в задаче неизвестно?

В задаче неизвестно: а) время, за которое второй мальчик догонит первого (время движения всех его участников);

б) с какой скоростью происходит сближение мальчиков;

в) расстояние, которое пробежала собака (это требуется узнать в задаче).

5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины -- расстояние, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает прием -- перефразировка текста задачи. То есть из текста задачи отбрасывается все лишнее (не существенное), а описания некоторых понятий заменяют соответствующими терминами и наоборот заменяют некоторые термины описанием содержания соответствующих понятий.

Перефразировка текста задачи -- преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Для удобства понимания задачи можно ее записать в виде таблицы или схематического чертежа. И таблица и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения. После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое.

Поиск плана решения задачи

Цели этапа: установить связь между данными и исходными объектами;

наметить последовательность действий.

План решения задачи -- это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов. При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т. д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке. Разбор по тексту задачи: « На поезде, который шел со скоростью 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения от данных к вопросу: известно: 6ч турист ехал на поезде;

скорость поезда 56км/ч.

По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6ч (скорость умножить на время). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза)). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можно найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути.

Итак действия: 1) расстояние,которое турист проехал на поезде;

2) расстояние, которое ему осталось проехать; . 3) весь путь.

Рассуждение от вопроса к данным: В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь.

Осуществление плана решения задачи:

Цель этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решающих арифметическим способом, используются следующие приемы:

Запись по действиям(с пояснением, без пояснения, с вопросами);

Запись в виде выражения.

а) Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию: 1) 56*6 = 336(км) -- турист проехал за 6ч.

2) 336*4 = 1344(км) -- осталось проехать туристу;

3) 336 + 1344 = 1680(км) -- должен был проехать турист.

Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются), то запись будет следующей: 1) 56 * 6 = 336(км);

2) 336 * 4 = 1344(км);

3) 336 + 1344 = 1680(км)

б) Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров турист проехал на поезде?

56 * 6 = 336(км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу?

336 * 4 = 1344(км)

3) Сколько километров турист должен был проехать?

336 + 1344 = 1680(км)

Проверка решения задачи:

Цель этапа: установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи. Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то задача решена верно.

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач.

На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;

2) способ решения задач с «конца»;

3) способ исключения неизвестных (замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно); способ предположения;

4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;

5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

(замена большего неизвестного меньшим)

1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112: 2 = 56 (марок).

3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

(замена меньшего неизвестного большим)

1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140: 2 = 70 (марок).

3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт:если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);

б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг)

2) Сколько книг было на второй полке?

168: 4 = 42 (книг)

3) Сколько книг было на первой полке?

42 + 16 = 58 (книг)

4) Сколько книг было на третьей полке?

42 + 8 = 50 (книг)

5) Сколько книг было на четвертой полке?

50 -- 12 = 38 (книг)

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).

2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).

3) Найдем цену 1кг бананов: 120: 2 = 60 (руб.).

4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

1) с помощью умножения (сравнивая их с наименьшим общим кратным);

2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:

12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,

12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.

2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).

3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 540: 9 = 60(руб).

5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).

6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).

7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480: 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия

2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,

2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.

2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).

3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 90: 1,5 = 60 (руб).

5) Найдем цену 1кг апельсинов: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и, двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

В задаче два неизвестных: скорость, с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110: 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор, пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. (способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Количество монет	Количество монет	Сумма денег	Сумма денег	Общая сумма	Меньше или больше, чем в условии

					Меньше на 6руб.
					Меньше на 5руб60к

					Как в условии

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется
25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50: 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Глава II. Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

Обучение методам решения текстовых задач провожу системно, при изучении каждой темы школьного курса.

2.1 Решение задач на совместное движение

Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости».В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет).Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться и в одном направлении.и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:

Таблица 1.

Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления

При разборе задачи даются следующие вопросы

1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).

2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием).

3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления).

Записываем решение задачи.

Пример № 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 600км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой -- 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:

а. машины движутся в разных направлениях;

б. скорость будет находиться сложением;

в. так как они движутся навстречу друг другу, то это скорость сближения.

1. 100 + 50 = 150 (км/ч) - скорость сближения.

2. 600: 150 = 4 (ч) - время движения до встречи.

Ответ: через 4 часа.

Пример №2. Мужчина и мальчик вышли из дома на дачу одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5км/ч, а скорость мальчика 3км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

С помощью движения рук, выясняем:

а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;

б. скорость находится разностью;

в. мужчина идет быстрее, т. е., удаляется от мальчика (скорость удаления).

1. 5 -- 3 = 2 (км/ч) - скорость удаления.

2. 2*2 = 4 (км/ч) - расстояние между мужчиной и мальчиком через 2 часа

Ответ: 4 км.

2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы.

Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к работе весь класс.

Пример№1. У первого мальчика на 5 марок больше, чем у второго. Как найти сколько марок у второго?

Учащиеся поднимают карту №1 и объясняют, что к числу первого нужно прибавить 5, так как у него на 5 больше, выделяя интонацией «на … больше»

Пример №2. У второго мальчика 30 марок, а у первого в 3 раза меньше. Сколько марок у первого мальчика?

Учащиеся должны поднять карту №4 и ответить: 10 марок, так как 30:3 =10. Опорные слова - «в...меньше».

Подбор задач на устный счет должен быть разнообразным, но каждый раз ученик должен давать объяснение, называя опорные слова. В таблице опорные слова лучше подчеркивать.

Пример №3. Всадник проехал 80км за 5 часов. Сколько времени потратит на этот путь велосипедист, если его скорость на 24 км/ч больше скорости всадника?

При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что скорость велосипедиста находится путем сложения 16 км/ч и 24 км/ч. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, учащиеся заполняют все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос, или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал: а. какое действие обозначает дробная черта;

б. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь 3/4 обозначает, что данное разделили на 4 равные части и взяли 3 части. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь 5/6. Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание. Из 1 вычтем 1/4. Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью 4/4. После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь 1/3 они накладывают 2/6 и т. д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют 2/3 всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Вопрос: Что означает дробь 2/3?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

40*2 = 80 (дер.) - было берез.

120 -- 80 = 40 (дер.) - было сосен.

II способ:

120: 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.

3 -- 2 = 1 (часть) - составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) - составляют сосны.

...

Подобные документы

Обучение детей нахождению способа решения текстовой задачи на уроках математики. Роль арифметических задач в начальном курсе математики. Решение задач на совместное движение, на нахождение части числа и числа по части, на проценты, на совместную работу.

дипломная работа , добавлен 28.05.2008

Характеристика форм работы младших школьников на уроках математики. Использование различных форм работы в процессе решения текстовой задачи. Решение текстовых задач в начальной школе. Диагностика уровня сформированности умений школьников решать задачи.

дипломная работа , добавлен 04.09.2010

Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.

курсовая работа , добавлен 20.08.2010

Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.

дипломная работа , добавлен 24.02.2010

Сущность алгебраического метода решения текстовых задач. Типичные методические ошибки учителя при работе с ними. Решение текстовых задач алгебраическим методом по Г.Г. Левитасу и В. Лебедеву. Анализ практического применения методики обучения их решению.

курсовая работа , добавлен 30.09.2010

Понятие задачи и ее решения. Решение задач выделением этапов математического моделирования. Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать алгебраическим способом. Задания по формированию умений составления математических моделей.

дипломная работа , добавлен 23.04.2011

Понятия компетенции и компетентности. Взгляды на реализацию компетентностного подхода в школе. Классификация и содержание ключевых образовательных компетенций. Ключевые компетенций на уроках математики в 5-6 классах. Примеры формирования компетенций.

дипломная работа , добавлен 24.06.2009

Понятие "текстовая задача" и ее структура. Процесс решения текстовых задач. Методические приемы, используемые в обучении решению. Формирование у учащихся обобщенных умений. Работа над текстовой задачей с использованием тетрадей с печатной основой.

курсовая работа , добавлен 16.03.2012

Значение арифметических задач для умственного развития детей. Виды математических задач и их классификация. Особенности усвоения детьми сущности задач. Методика и этапы обучения дошкольников решению задач. Арифметические задачи, составленные детьми.

контрольная работа , добавлен 18.12.2010

Подбор комплекса олимпиадных задач по математике для детей младшего школьного возраста. Структура и виды олимпиадных задач, способы их решения. Обучение детей умению и навыкам выполнять семантический, логический и математический анализ текстовых задач.

Решение задач арифметическим способом

Урок по математике в 5 классе.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их» .
Д. Пойа

Цели и задачи урока:

формирование умения решать задачи арифметическим способом;

развитие творческих способностей, познавательного интереса;

развитие логического мышления;

воспитание любви к предмету;

воспитание культуры математического мышления.

Оборудование: сигнальные карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.)

Урок посвящен решению задач арифметическим способом. Сегодня мы будем решать задачи разных видов, но все они будут решены без помощи уравнений.

II. Историческая справка (1 мин.)

Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениям. В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречающихся на практике.

III. Разминка (решение задач устно - 6 мин.)
а) Задачи на карточках.
Каждому ученику дается карточка с задачей, которую он решает устно и дает ответ. Все задачи на действие 3 - 1 = 2.

(Ученики решают задачи верно, а кто нет. На всех устно. Поднимают карточки и учитель видит, кто решил задачу карточках должно быть число 2.)

б) Задачи в стихах и логические задачи. (Учитель читает вслух задачу, ученики поднимают карточку с правильным ответом.

Подарил утятам ежик
Кто ответит из ребят,
Восемь кожаных сапожек
Сколько было всех утят?
(Четыре. )

Двое шустрых поросят
Так замерзли, аж дрожат.
Посчитайте и скажите:
Сколько валенок купить им?
(Восемь. )

Я вошел в сосновый бор
И увидел мухомор,
Два опенка,
Два сморчка.
Три масленка,
Два строчка...
У кого ответ готов:
Сколько я нашел грибов?
(Десять. )

4. Во дворе гуляли куры и собаки. Мальчик посчитал их лапы. Получилось десять. Сколько могло быть кур и сколько собак. (Две собаки и одна курица, одна собака и три курицы .)

5. По рецепту врача купили в аптеке 10 таблеток. Врач прописал принимать лекарство по 3 таблетки в день. На сколько дней хватит этого лекарства? (Полных дней.)

6. Брату 7 лет, а сестре 5. сколько лет будет сестре, когда брату будет 10 лет?

7. Даны числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. что больше: их произведение или сумма?

8. При постройке забора плотники поставили по прямой 5 столбов. Расстояние между столбами по 2 м. Какова длина забора?

IV. Решение задач

(Задачи детям даны на карточках - 15 мин. Дети решают задачи у доски)
Задачи а) и б) нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?

б) Первая бригада собрала за смену 52 прибора, втор?"; - на 9 приборов меньше, чем первая, а третья - на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?

С помощью задачи в) учащимся можно показать решение задачи «обратным ходом».

в) В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

В задаче г) учащиеся могут предложить несколько способов решения.

г) У трех сестер спросили: «Сколько лет каждой из сестер?». Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

Задача д) предназначена для повторения связи отношении «больше в...» и «меньше в...».

д) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась его коллекция?

V. Физкультминутка (2 мин.)

На одной ноге постой-ка,
Будто ты солдатик стойкий.
Ногу левую - подними.
Да смотри - не упади.
А теперь постой на левой,
Если ты солдатик смелый.

VI. Старинные, исторические задачи. Задачи со сказочным содержанием (10 мин.)

Задача е) на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

е) (из «Арифметики» Л.Н. Толстого)

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?

Задача на движение.

ж) (Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил 26 верст в час. Сколько верст от Москвы до Твери?

(С помощью уравнения легче добраться до ответа. Но учащимся предлагается поискать арифметическое решение задачи.)

1) 26 * 2 = 52 (версты) - на столько верст второй поезд отстал от первого;

2) 39 - 26 = 13 (верст) - на столько верст второй поезд отставал за 1 час от первого;

3) 52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 * 4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Можно заглянуть в справочники найти расстояние в километрах.

1 верста = 1 км 69 м.

Задача на части.

з) Задача Кикиморы. Водяной решил жениться на кикиморе Ха-Ха. На фату кикиморе он посадил несколько пиявок, а себе на накидку в два раза больше. Во время праздника 15 пиявок отвалились, и осталось всего 435. Сколько пиявок было на фате у кикиморы?

(Задача дана для решения с помощью уравнения, но мы решаем арифметическим способом)

VII. Живые цифры (разгрузочная пауза - 4 мин.)

Учитель вызывает к доске 10 учеников, дает им цифры от 1 до 10. Ученики получают разные задания;

а) учитель называет числа; названные делают шаг вперед (н-р: 5, 8, 1, 7);

б) выходят только соседи названного числа (н-р: число 6, выходят 5 и 7);

в) учитель придумывает примеры, и выходит только тот, у кого ответ на этот пример или задачу (н-р: 2 ´ 4; 160: 80; и т.д.);

г) учитель делает несколько хлопков и еще показывает цифру (одну или две); должен выйти ученик, число которого есть сумма всех услышанных и увиденных чисел (например: 3 хлопка, цифра 5 и цифра 1.);

какое число на 4 больше четырех?

я задумала число, отняла от него 3, у меня получилось 7. Какое число я задумала?

если к задуманному числу прибавить 2, то получится 8. Чему равно задуманное число?

Надо стараться подбирать такие задания, чтобы в ответах не повторялись одни и те же числа, чтобы каждый мог активно участвовать в игре.

VIII. Подведение итогов урока (2 мин.)

- Чем мы сегодня занимались на уроке?

- Что значит решить задачу арифметическим способом?

- Надо помнить, что найденное решение задачи должно удовлетворять условиям задачи.

IХ. Задание на дом. Выставление оценок (2 мин.)

№ 387 (решить задачи арифметическим способом), для слабых учащихся. Для средних и сильных учащихся задание на дом дается на карточках.

1. В булочной было 645 кг черного и белого хлеба. После того как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталась поровну. Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?

Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слов. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.

Литература

Виленкин Н., Жохов В., Чесноков А. Математика. 5 класс. - М., «Мнемозина», 2002.

Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. - М.: Педуниверситет «Первое сентября», 2006.

Волина В. Праздник числа. - М.: Знание, 1994.

Кгб и нло - рассекреченная информация Кгб и нло секретные документы

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей