Решение уравнений 3 степени с одним неизвестным. Различные методы решения уравнений третьей степени. Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

0 468994

Фотогалерея: Оригинальные поздравления на Благовещение. Трогательные стихи, чтобы поздравить с праздником Благовещения. Короткие смс поздравления с Благовещением

Благовещение Пресвятой Богородицы – знаменательный православный праздник. По церковному преданию, именно в этот день Архангел Гавриил явился Марии и сообщил о Божьей благодати, снизошедшей на нее и о скором рождении Спасителя рода человеческого. Это была действительно «благая весть», от которой произошло название праздника. На Благовещение поздравления звучат повсюду – верующие делятся радостной вестью друг с другом, посещают праздничное богослужение. В 2016 году Благовещение приходится на 7 апреля. К этому знаменательному событию можно подготовить трогательные короткие поздравления - смс, стихи, картинки и открытки, вместе с которыми близкие и родные получат частицу вашего душевного тепла и доброты.

Трогательные смс поздравления на Благовещение

С наступлением весны пробуждается природа, солнце ласково греет, а сердце наполняется радостным ожиданием. Действительно, вместе с весенним теплом наступает пора великих православных праздников, одним из которых считается Благовещение. В такой важный день принято отдыхать от работы, а также проводить время в кругу близких. Если у вас нет возможности лично поздравить дорогих вам людей с Благовещением, отправьте смс с трогательными и теплыми словами. Мы предлагаем небольшую подборку лучших смс-поздравлений с Благовещением – подарите лучик добра своим близким!

Поздравляю с Благовещением вас,

И желаю вам всего немного.

Жизни без тревог и без прикрас,

Счастья и хорошую дорогу.

Нынче Благовещение

Радостное, вещее!

Мы вас призываем –

Богу поклонитесь,

Жарко помолитесь.

За Благое Слово

За Добро Христово!

Электронное письмо пошлю своим родным,

С Благовещением их поздравлю.

С днем святым, веселым, озорным,

Теплых дней от сердца им желаю.

Красивые поздравления с Благовещением - картинки, фото, открытки

Благовещение Пресвятой Богородицы – прекрасный повод проявить внимание к своим близким и отправить им в качестве поздравления трогательную картинку, открытку или фото. Такие милые подарки-поздравления обязательно оставят след в сердце адресата и напомнят об истинных ценностях жизни. Подарите своим близким и дорогим вашу заботу в этот светлый праздник – с помощью нашей подборки красивых картинок, фото и открыток к этому великому религиозному празднику. А несколько поздравительных слов с пожеланиями радости и счастья затронут самые тонкие струны души. Радуйте друг друга – благая весть пришла!

Оригинальные короткие поздравления в стихах на Благовещение

Благовещение приходится на период Великого поста, однако отмечается праздник с большой торжественностью. Считается, что много веков назад в этот день было положено начало освобождению рода человеческого от греха – ведь Иисус Христос, рожденный земной женщиной, стал прочным мостом между Богом и людьми. Таким образом, люди получили чудесную возможность общаться с Господом, быть ближе к Нему. Поздравьте своих близких, родных и друзей с праздником Благой вести – для этого мы подобрали для вас оригинальные короткие стихи с милыми пожеланиями. Поздравляем с Благовещением!

Любви, удачи, настроения,

Желаю вам в Благовещение,

Всех благ еще желаю вам,

Каждый год 7 апреля весь православный мир отмечает Благовещение Пресвятой Богородицы. Большое церковное торжество входит в число двунадесятых и празднуется ровно за 9 месяцев до Рождества Христова. Благовещение состоит из двух дней — предпразднества и попразднества (Собора Святого Архистратига Гавриила). Предыстория даты, описанная апостолом Лукой в строках Евангелии, знакома практически каждому. Как и традиция поздравлять друг друга в этот знаковый день. Но в преддверии праздника рекомендуем вам еще раз вспомнить предшествующие ему важные библейские события, чтобы наиболее удачно подобрать на Благовещение Пресвятой Богородицы 2018 картинки и открытки с поздравлениями, пожеланиями и стихами для самых родных людей. Не стоит ждать 7 апреля 2018 года, чтобы скачать подходящий поздравительный контент для Одноклассников. Займитесь подготовкой уже сегодня.

Картинки-поздравления с православным церковным праздником — Благовещением Пресвятой Богородицы 2018

История праздника Благовещения начинается с послания Гавриила Марии. Явившись невинной Деве, архангел лично сообщил о великой благодати, посланной Господом. Спустя девять месяцев женщине предстояло стать матерью Божьего Сына, а значит, завершить важную роботу Всевышнего по спасению человеческого мира. Мария с благодарностью и смирением приняла уготованную ей участь и доверилась намерениям Господа. В этот самый день Иисус воплотился в человеческом образе на нашей земле. Церковный праздник Благовещения Пресвятой Богородицы не сразу утвердили православной церковью: лишь с Vвека стали отмечать торжество, поздравлять друг друга теплыми словами, а со временем — стихами, картинками и открытками. Не забудьте и вы напомнить друзьям и родным о великом религиозном событии — скачайте и отправьте картинки-поздравления с православным церковным праздником — Благовещением Пресвятой Богородицы 2018.

Сборник поздравительных картинок на православное Благовещенье 2018





Красивые открытки на Благовещение со стихами

На территории Руси язычество и христианство тесно переплелись между собой. В результате празднованию Благовещения Пресвятой Богородицы также характерна необычная смесь древних обычаев и церковных догматов. Миряне и сегодня верят, что в Благовещение все молитвы направляются напрямую к Господу, все просьбы услышаны небесами, все пожелания непременно сбудутся, и даже простые разосланные открытки со стихами способны принести счастье, здоровье и радость на целый год. Особенно открыта душа Всевышнего к тем, кто не нарушает строгие условия Великого поста, несмотря на славный праздник. Но и те, кто сознательно отказался от постования, могу рассчитывать на благосклонность Господа. Достаточно искренне и от души помолиться, поздравить родных красивыми открытками на Благовещение со стихами, попросить прощение за свои грехи и надеяться на осуществление самых светлых желаний.

Подборка самых красивых открыток со стихами на Благовещение Пресвятой Богородицы





Оригинальные картинки с Благовещением Пресвятой Богородицы 2018 с поздравлениями и пожеланиями

У наших предков имелось множество своеобразных ритуалов на исполнение желаний, приуроченных ко дню Благовещения. К их числу относится символическое выпускание птиц, избавляющее от неудач и болезней, прочтение молитв-заговоров к архангелу Гавриилу, заготовка благовещенской соли и прочее. Сегодня многие из этих обрядов считаются устаревшими и постепенно стираются из традиций православного общества. Вместо этого молодежь и старшее поколение массово рассылают знакомым, коллегам, друзьям и кумовьям оригинальные картинки с Благовещением Пресвятой Богородицы 2018 с поздравлениями и пожеланиями. Такой жест — своеобразный признак небезразличного отношения к близким людям. Самые оригинальные картинки с пожеланиями и поздравлениями на Благовещение Пресвятой Богородицы можно просмотреть в следующей подборке.

Коллекция оригинальных картинок с поздравлениями и пожеланиями на Благовещение 2018





Лучшие поздравительные картинки с Благовещением 2018 для Одноклассников

В православный церковный праздник Благовещение Пресвятой Богородицы, как и в прочие двунадесятые торжества, не стоит делать определенных вещей. К примеру, нельзя шить и вязать, одалживать свои деньги или просить взаймы чужие, надевать обновки и начинать новое дело. Но при этом в Благовещенье можно совершать другие, более приятные дела: ходить в гости к родным, весело проводить время в кругу друзей, рассылать всем знакомым лучшие поздравительные картинки с Благовещением 2018 для Одноклассников.

Подборка лучших поздравительных картинок для Одноклассников к церковному празднику — Благовещению 2018





Подыскивая на Благовещение Пресвятой Богородицы 2018 картинки и открытки для Одноклассников, непременно просмотрите наши подборки. Здесь вы быстро и совершенно бесплатно скачаете самые красивые электронные поздравления со стихами и пожеланиями к одному из главных православных церковных праздников.

Симонян Альбина

В работе рассмотрены приёмы и методы решения кубических уравнений. Применение формулы Кардано для решения задач при подготовке к ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи

Донская Академия Наук Юных Исследователей

Секция: математики - алгебра и теория чисел

Исследовательская работа

«Заглянем в мир формул»

по теме «Решение уравнений 3 степени»

Руководитель: учитель математики Бабина Наталья Алексеевна

Г.Сальск 2010

  1. Введение …………………………………………………………………………….3
  2. Основная часть…………………………………………………………………….4
  3. Практическая часть……………………………………………………………10-13
  4. Заключение………………………………………………………………………….14
  5. Литература…………………………………………………………………………..15
  6. Приложения

1.Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении. Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известные математики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

Так у меня возникла идея создания проекта «Заглянем в мир формул…», основополагающими вопросами данного проекта стали:

  1. установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
  2. в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль. В поисках формулы решения кубических уравнений я решила действовать по знакомым алгоритмам решения квадратных уравнений. Например, решая уравнение х 3 + 2х 2 - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 а +3а 2 х+а 3 . Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения, превратила в нем 2х 2 в 3х 2 а, т.е. искала такое а, чтобы было справедливо равенство 2х 2 = 3х 2 а . Нетрудно было вычислить, что а = . Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом: х 3 + 2х 2 -5х-6=0

(х 3 +3х 2 а+ 3х . +) - 3х . - - 5х - 6= (х+) 3 - 6х - 6 Сделала подстановку у = х + , т.е. х = у - у 3 - 6(у -) - 6=0; у 3 - 6у + 4- 6=0; Исходное уравнение приняло вид: у 3 - 6у - 2=0; Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя и исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного! Приблизилась ли я к цели? Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить полный куб так, чтобы исчез член – 5х? (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+ 3а 2 х + а 3 . Отыскала такое а, чтобы 3а 2 х = -5х ; т.е. чтобы а 2 = - Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства быть не может. Уравнение пока мне не удалось решить, я смогла его привести лишь к виду у 3 - 6у - 2=0.

Итак, итог проделанной мной работы на начальном этапе: смогла из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е. если дается каноническое уравнение ах 3 +вх 2 +сх+d, то его можно привести к неполному кубическому уравнению х 3 +рх+q=0. Далее, работая с разной справочной литературой, я смогла узнать, что уравнение вида х 3 +рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526). Почему для такого вида, а не для вида х 3 +рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже. Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения. Рассуждал он так: корень квадратного уравнения есть - ± т.е. имеет вид: х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени. Каких - же именно? Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности - Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать так, чтобы =. Подставив вместо х разность - , а вместо р произведение получили: (-) 3 +3 (-)=q. Раскрыли скобки: t - 3 +3- u+3- 3=q. После приведения подобных членов получили: t-u=q.

Получилась система уравнений:

t u = () 3 t-u=q. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и сложим первое и второе уравнения. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Из новой системы t+u=2 ; t -u=q имеем: t= + ; u= - . Подставив вместо х выражение - получили В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1). Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано. Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и переоткрыл Тарталья называют формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют карда новым движением. Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида х 3 +рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется, проблема решена. Есть формула для решения кубических уравнений.

Вот она!

Выражение, стоящее под корнем - дискриминант. D = () 2 + () 3 Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано: Моё уравнение имеет вид: у 3 - 6у - 2=0, где р= - 6=-; q = - 2 = - . Легко подсчитать, что () 3 = =- и () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа! В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь при D Итак, в ходе работы над проектом встретилась с очередной проблемой. В чем же дело? Я стала составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие члена квадрата неизвестного:

  1. составила уравнение, имеющее корень х= - 4.

х 3 +15х+124=0 И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила, можно ли получить этот корень по формуле Кардано х=+=+= =1- 5 =- 4

Получила, х = -4.

  1. составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1: х 3 + 3х – 4 =0 и проверила формулу.

И в этом случае формула действовала безотказно.

  1. подобрала уравнение х 3 +6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.

Решив данное уравнение, я получила этот корень х = - И тут- то у меня появилось предположение: формула срабатывала, если уравнение имело всего один корень. А моё уравнение, решение которого загнало меня в тупик, имело три корня! Вот где нужно искать причину! Теперь я взяла уравнение, имеющее три корня: 1; 2; -3. х 3 – 7х +6=0 p= -7; q = 6. Проверила дискриминант: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Я пришла к выводу: путь к трем корням уравнения х 3 +рх+q=0 ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

  1. Теперь мне осталось узнать, с чем же я столкнусь в случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня: х 3 – 12 х + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Теперь можно было сделать вывод, что число корней кубического уравнения вида х 3 +рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=() 2 +() 3 следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

Подтверждение моего вывода я нашла в справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн. Итак, мой вывод : формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный. Мне удалось установить, что существует формула для поиска корней кубического уравнения, но для вида х 3 +рх+q=0.

3. Практическая часть .

Работа над проектом «… очень помогла мне при решении некоторых задач с параметрами. Например: 1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х 3 -3х+4=а имеет 1 решение? Уравнение переписали в виде х 3 -3х+4-а=0; р= -3; q=4-а. По условию оно должно иметь 1 решение т.е. D>0 Найдем D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == а 2 -8а+12>0

А (-∞;2) (6; ∞)

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х 3 +х 2 -8х+2-а=0 имеет три корня?

Уравнение х 3 +3х 2 -24х+6-3а=0 приводим к виду у 3 +ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а где q = - + и 3 p = q=32-3а; р=-27. Для данного вида уравнения D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 а 1 = ==28, а 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

А (-7; 28)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала: 28.

Ответ.28

3. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х 3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

При а (-∞;-2) (2;∞) уравнение имеет 1 решение;

При а (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

Тесты:

1.Сколько корней имеют уравнения:

1) х 3 -12х+8=0?

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2) х 3 -9х+14=0

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2.При каких значениях р уравнение х 3 +рх+8=0 имеет два корня?

а)3; б) 5; в) -3; г)5

Ответ: 1.г) 4

2.в) 3.

3.в)-3

Французский математик Франсуа Виет (1540-1603) за 400 лет до нас (Приложение 4) смог установить связь корней уравнения второй степени с их коэффициентами.

Х 1 +х 2 =-р;

Х 1 ∙х 2 =q.

Мне стало интересно узнать: а можно ли установить связь корней уравнения третьей степени с их коэффициентами? Если да, то какова эта связь? Так возник мой мини – проект. Я решила использовать имеющиеся навыки работы в области квадратных уравнений при решении моей проблемы. Действовала по аналогии. Взяла уравнение х 3 +рх 2 +qх+r =0. Если обозначим корни уравнения х 1 , х 2 , х 3 , то уравнение можно записать в виде (х-х 1 ) (х-х 2 ) (х-х 3 )=0 Раскрыв скобки, получим: х 3 -( х 1 +х 2 +х 3 )х 2 +(х 1 х 2 + х 1 х 3 +х 2 х 3 )х - х 1 х 2 х 3 =0. Получили следующую систему:

Х 1 +х 2 +х 3 = - р;

Х 1 х 2 х 3 = - r.

Таким образом, можно связать корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами. Что же в интересующем меня вопросе можно извлечь из теоремы Виета?

1. Произведение всех корней уравнения равно модулю свободного члена. Если корни уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Опять вернемся к уравнению х 3 + 2х 2 -5х-6=0. Целые числа должны принадлежать множеству: ±1; ±2; ±3; ±6. Последовательно подставляя числа в уравнение, получим корни: -3; -1; 2.

2.Если решить это уравнение разложением на множители, теорема Виета дает «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения появились числа – делители свободного члена. Ясно, что сразу может и не поучиться, ведь не все делители являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще – ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

Решим уравнение х 3 +2х 2 -5х-6=0 разложением на множители. х 3 +2х 2 -5х-6=х 3 +(3х 2 - х 2 )-3х-2х-6=х 2 (х+3)– х(х+3) – 2(х+3)=(х+3)(х 2 –х-2)= =(х+3)(х 2 +х -2х -2)=(х+3)(х(х+1)-2(х+1))=(х+2)(х+1)(х-2) Исходное уравнение равносильно такому: (х+2)(х+1)(х-2)=0. А у этого уравнения три корня: -3;-1;2. Пользуясь «подсказкой» теоремы Виета я решила такое уравнение: х 3 -12х+16=0 х 1 х 2 х 3 = -16. Делители свободного члена: ±1;±2;±4;±8;±16. х 3 -12х+16= х 3 -4х-8х+16= (х 3 -4х)-(8х-16)=х(х 2 -4)-8(х-2)=х(х-2)(х+2)-8(х-2)=

=(х-2)(х(х+2)-8)=(х-2)(х 2 +2х-8) (х-2)(х 2 +2х-8)=0 х-2=0 или х 2 +2х-8=0 х=2 х 1 =-4; х 2 =2. Ответ. -4; 2.

3.Зная полученную систему равенств, можно найти по корням уравнения неизвестные коэффициенты уравнения .

Тесты:

1. Уравнение х 3 +рх 2 + 19х - 12=0 имеет корни 1, 3, 4. Найти коэффициент р; Ответ. а) 12; б) 19; в) -12; г) -8 2. Уравнение х 3 – 10 х 2 + 41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r; Ответ. а) 19; б)-10; в) 30; г) -30.

Задания на применение результатов данного проекта в достаточном количестве можно найти в пособии для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Знание теоремы Виета может оказать неоценимую помощь при решении таких задач.

№6.354

4. Заключение

1. Существует формула, выражающая корни алгебраического уравнения через коэффициенты уравнения: где D==() 2 + () 3 D>0, 1 решение. Формула Кардано.

2. Свойство корней кубического уравнения

Х 1 +х 2 +х 3 = - р;

Х 1 . х 2 + х 1 х 3 +х 2 х 3 = q;

Х 1 х 2 х 3 = - r.

В итоге я пришла к выводу, что существует формула, выражающая корни кубических уравнений через его коэффициенты, а также существует связь между корнями и коэффициентами уравнения.

5. Литература:

1.Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. –М.: Педагогика, 1989.

2.Единый государственный экзамен по математике – 2004. Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.

3.Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. пособие. –Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5.Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И.Сканави. Издательство «Украинская энциклопедия» имени М.П.Бажова, 1993.

6.За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.-М.: Просвещение,1990.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Заглянем в мир формул

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного. Введение:

уравнение имеет вид (1) преобразуем уравнение так, чтобы выделить точный куб: умножим (1) уравнения на 3 (2) преобразуем (2) уравнения получим следующее уравнение возведем в третью степень правую и левую часть (3) уравнения найдем корни уравнения Примеры решения уравнения кубического вида

Квадратные уравнения уравнения вида где дискриминант Среди действительных чисел корней нет

Уравнение третей степени

Историческая справка: В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

уравнение имеет вид (1) применим формулу 1) путем подбора найти а так чтобы выполнялось следующее равенство преобразуем левую часть (1) уравнение следующим образом: выделение полного куба взять в качестве у сумму получим уравнение относительно у (2) упростим (2) уравнение (3) В (3) уравнении исчез член содержавший квадрат неизвестного, но член содержавший первую степень неизвестного остался 2) путем подбора найти а так чтобы выполнялось следующее равенство Такое равенство невозможно так как слева стоит положительное число а слева отрицательное Если мы пойдем по этому пути то застрянем….На избранном пути нас постигнет неудача. Уравнение мы пока не можем решить.

Кубические уравнения уравнения вида где (1) 1. Упростим уравнения разделить на а, то коэффициент при "x" станет равен 1, следовательно решение любого кубического уравнения опирается на формулу куба суммы: (2) если взять то уравнения (1) отличается от уравнения (2) только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнения (1) и (2) и приведем подобные: если здесь сделать замену получим кубическое уравнение относительно у без члена:

Кардано Джироламо

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени;указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют кардановым движением. Биография Кардано Джироламо

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро. Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись 30 задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но так как Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за два часа. Фиор же не смог решить ни одну задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен.Тот простой прием, с помощью которого мы смогли справиться с членом уравнения, содержащим квадрат неизвестной величины (выделения полного куба), тогда еще не был открыт и решение уравнений разных видов не было приведено в систему. Поединок Фиора с Тартальей

уравнение вида из данного уравнения а посчитаем дискриминант уравнения Мало того, что корень данного уравнение не извлекается нацело, так ведь еще надо его извлекать из отрицательного числа. В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь D

Корни кубического уравнения зависят от дискриминанта уравнение имеет 1 решение уравнение имеет 3 решения уравнение имеет 2 решения Вывод

уравнение имеет вид найдем корни уравнения по формуле Кардано Примеры решения кубических уравнений по формуле Кардано

уравнение вида (1) из данного уравнения а так как по условию данное уравнение должно иметь 1 решение значит Посчитаем дискриминант (1) уравнения + - + 2 6 Ответ: наименьше натуральное значение а из этого промежутка - это 1 При каком наименьшем натуральном значении а уравнение имеет 1 решение?

Решение кубических уравнений по методу Виета Уравнения имеет вид

Решить уравнение, если известно, что произведение двух его корней равно 1 по теореме Виета и условию имеем или значение подставим в первое уравнение или подставим значение из третьего уравнения в первое получим найдем корни уравнения или Ответ:

Используемая литература: « Математика. Учебно-методическое пособие » Ю.А.Гусман, А.О.Смирнов. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва, АСТ, 1996 год. « Математика. Учебно-методическое пособие » В.Т. Лисичкин. Пособие для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Единый Государственный экзамен по математике – 2004г.

Спасибо за внимание

Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что - это действительные числа.


(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и - это двукратные корни (или корни кратности 2), а - простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком ”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения ”.

Если один из корней - целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , - целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Примеры определения целых корней даны на странице
Примеры разложения многочленов на множители > > > .

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , - целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и - целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.