Математическое моделирование – процесс установления соответствия реальной системе S мат модели M и исследование этой модели, позволяющее получить хар-ки реальной системы. Применение мат модел-ния позволяет иссл-ть объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны.

Аналит-е моделирование - процессы функц-ия элем-в записываются в виде мат-х соотношений (алгебр-х, интегральных, диффер-х, логич-х и т.д.). Мат. модель может вообще не содержать в явном виде искомых величин. Ее необходимо преобразовать в систему соотношений относ-но искомых величин, допускающую получение нужного результата чисто анал-ми методами. Под этим понимается получения явных формул вида

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, либо получение урав-й известного вида, решение которых также известно. В некоторых случаях возможно качественное исследование модели, при котором в явном виде можно найти лишь некоторые свойства решения.

Численное мод-е использует методы вычис-й матем-ки и позволяет получить лишь приближенные решения. Решение задачи бывает менее полным, чем в анал-м мод-и. Принципиальный недостаток численного мод-я закл-ся в автом-й реализации выбранного численного метода. Моделирующий алгоритм в большей степени отражает именно численный метод, чем особенности модели. Поэтому при смене численного метода приходится заново перерабатывать алгоритм моделирования.

Имит-е мод-ие - воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функц-я исследуемой системы с соблюдением логической и временной послед-ти реальных событий. Для имит- мод-я характерно воспроизведение событий , происходящих в системе (описываемых моделью) с сохр их логической структуры и временной последовательности . Оно позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в опред-е моменты времени. Имитационное моделирование аналогично экспериментальному исследованию процессов на реальном объекте, т.е. на натуре.

12.Получение случайных чисел с произвольным законом распределения методом обратных функций. М-д обр ф-ий наиболее общий и универсальный способ получения чисел, подчиненных заданному закону. Стандартный метод моделирования основан на том, что интегральная функция распределения
любой непрерывной случайной величины равномерно распределена в интервале (0;1), т.е. для любой случайной величины X с плотностью распределения f (x ) случайная величина равномерно распределена на интервале (0;1).

Тогда случайную величину X с произвольной плотностью распределения f (x ) можно рассчитать по следующему алгоритму:1. Необходимо сгенерировать случайную величину r (значение случайной величины R), равномерно распределенную в интервале (0;1). 2. Приравнять сгенерированное случайное число известной функции распределения F( X) и получить уравнение
. 3. Решая уравнение X=F -1 (r), находим искомое значение X

Графическое решение

.

Дополнительно к вопросу 11.

Рассмотрим пример, характеризующий различие рассмотренных видов моделирования.

Имеется система, состоящая из трех блоков.

Система функционирует нормально, если исправен хотя бы один из блоков 1 и 2, а также исправен блок 3. Известны функции распределения времени безотказной работы блоков f1(t),f2(t),f3(t). Требуется найти вероятность безотказной работы системы в момент времени t.

Эквивалентная логическая схема

означает, что отказ системы наступает при обрыве цепи. Это имеет место в следующих случаях:

отказали блоки 1 и 2, исправен блок 3;

отказал блок 3, исправен хотя бы один из блоков 1 и 2.

Вероятность безотказной работы системы P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Эта формула и есть основа математической модели системы.

Аналитическое моделирование. Оно возможно лишь при условии, что все интегралы выражаются через элементарные функции. Допустим, что

Тогда
=
=
.

С учетом этого модель (1) принимает вид

Это и есть явное аналитическое выражение относительно искомой вероятности; оно справедливо лишь при сделанных допущениях.

Численное моделирование . Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что интегралы не определяются (т.е. выражены не ч/з элементарные функции). Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что распределения f1(t),f2(t),f3(t) подчиняются закону Гаусса (нормальному):
.Для вычислений по формуле P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = при каждом значении t они должны определяться численно, например, по методу трапеций, Симпсона, Гаусса или другими методами. Для каждого значения t вычисления проводятся заново.

метод прямоугольников, метод трапеций, метод параболы. При методе прямоуг возникает ошибка – неточность вычислений. Но можно разделить на 2 и более интервалов. Появляется множество интегралов, но здесь уже возникает ошибка округления.

метод Гаусса

метод Монте-Карло

Имитационное моделирование. Имитация есть воспроизведение событий, происходящих в системе, т.е. исправной работы либо отказа rаждого элемента. Если время работы системы t, а ti - время безотказной работы элемента с номером i, то: событие ti>t означает исправную работу элемента за время (0; t];

событие ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Заметим, что ti - случайная величина, распределенная по закону fi(t), который известен по условию.

Моделирование случайного события «исправная работа k –го элемента за время (0; t]» заключается:

1)в получении случайного числа ti, распределенного по закону fi(t);

2)в проверке истинности логического выражения ti>t. Если оно истинно, то i-й элемент исправен, если ложно – он отказал.

Алгоритм моделирования таков:

1.Положить n=0, k=0. Здесь n – счетчик числа реализаций (повторений) случайного процесса; k – счетчик числа «успехов».

2.Получить три случайных числа t1,t2,t3, распределенных соответственно по законам f1(t),f2(t),f3(t).

3.Проверить истинность логического выражения L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Если L=true, то положить k=k+1 и перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 4.

4.Положить n=n+1.

5.Если n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Еще раз подчеркнем: Значение N задают заранее по соображениям обеспечения заданной точности о достоверности статистической оценки искомой величины P(t).

Мастер – класс

« Использование моделирования в обучении математике»

Цель:

Содействовать систематизации знаний учителей о моделировании и подготовке педагогов к использованию учебных моделей в образовательном процессе по математике.

Задачи:

Создать условия для организации работы по освоению педагогами учебных моделей и определению возможностей и эффективности их применения в процессе обучении математике.

Организационный этап.

Создание психологической готовности участников мастер-класса к совместной работе.

– Уважаемые коллеги, здравствуйте! Я рада приветствовать вас на своём мастер-классе.

Тема моего мастер-класса «Использование моделирования в обучении математике ».

Перед вами лежит таблица-фиксация знаний, заполните, пожалуйста, вторую графу «Знаю» по данной теме и отложите.

			Хочу узнать
Моделирование

Моя цель: Способствовать систематизации знаний учителей о моделировании и подготовке педагогов к использованию учебных моделей в образовательном процессе по математике.

А Ваша цель? (ответы)

2. Актуальность.

- Как вы думаете, почему именно математика так широко представлена в программе начального образования?

Математика как учебный предмет в начальной школе призвана максимально развивать личность младшего школьника, способствовать становлению его самостоятельности в учебно-познавательной деятельности, поэтому она широко представлена в программе начального образования: 4 часа в неделю или 536 часов за курс начальной школы. Задача учителя начальной школы – сформировать у всех детей базовый уровень математических представлений и способов деятельности, необходимых для социальной адаптации в обществе. Решение этой задачи часто вызывает большие трудности, так как ни один из математических объектов в реальной действительности не существует, а мышление детей младшего школьного возраста по преимуществу наглядно-образное, способности даже к простейшему осмыслению математического материала весьма различны.

Поэтому современные требования к формированию умственных действий на уроках математики требуют применения наиболее эффективных методов и приёмов обучения. Одним из них является метод моделирования.

Метод моделирования стал одним из основных методов научного исследования. Этот метод в отличие от других является всеобщим, используется во всех науках, на всех этапах научного исследования. Он обладает огромной эвристической силой, позволяет свести изучение сложного к простому, невидимого и неощутимого – к видимому и ощутимому, незнакомого – к знакомому, т.е. сделать сложное явление реальной действительности доступным для тщательного и всестороннего изучения. В связи с этим применение моделей и моделирования в обучении, по мнению большинства ученых теоретиков, приобретает особое значение для повышения теоретического уровня педагогической науки и практики.

Необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования как методом познания в процессе обучения можно обосновать с разных позиций.

- Как вы думаете с каких?

Во-первых, как показывают эксперименты, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.

Во-вторых, целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие.

- В определении моделирования вставьте пропущенные слова.

«Моделирование – это метод опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель (модель ), находящийся в некотором объективном соответствии с познавательным объектом, способный замещать его в определённых отношениях и дающий при этом новую информацию об объекте» (Л. М. Фридман) Слайд 2

При введение моделирования в содержание обучения математике важно, чтобы учащиеся сами овладели методом моделирования, научились строить и преобразовывать модели, отражая различные отношения и закономерности, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования.

Когда учащиеся, решая практическую математическую задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.

Знакомство с видами моделей.

- Какие виды моделей вы знаете и применяете на практике? (при затруднении предлагается выбрать из предложенных вариантов: вербальные, словесные, иллюстрационные, предметные, эвристические, схематические, математические, геометрические)

Виды моделей: вербальные, предметные, схематические, математические.

Можно выделить четыре модели, которые используются при работе над задачей на уроках математики: предметные, вербальные, схематические, математические.

Составляется кластер. (Сначала самостоятельно, а в процессе работы изменяется, пополняется, исправляются недочёты.)

Примерами предметных моделей могут быть сюжетные иллюстрации, отдельные предметы или их изображения. Слайд 3

К группе вербальных моделей мы относим в первую очередь сам текст задачи, кроме того, различные виды кратких записей текста задачи. Для некоторых текстовых задач более удобной формой вербальной модели является таблица. Слайд 4

Коля – 3

Таня - ?, на 2больше

Всего - ?

Схематические модели служат для визуального представления задачной ситуации, но здесь используются не конкретные предметы и их изображения, а различного рода условные обозначения, которые заменяют реальные предметы(например, круги, квадраты, отрезки, точки и т.п.).

Наиболее распространённые в начальной школе модели этого вида – схематические иллюстрации и схематические чертежи. Слайд 6

Под математическими моделями надо понимать математические выражения или равенства (3+4, 3+5=8). Слайд 7

Математическое выражение (например, запись вида 5+3);

Математическое равенство (например, запись вида 5+3=8).

(Раздаточный материал для групп «Виды моделей»)

4.Действия которые можно проводить с моделями.

Чтобы процесс переходов от одной модели к другой при решении текстовой задачи был продуманным, хорошо организованным и эффективным, важно разработать комплекс дидактических заданий по работе с учебными моделями.

- Давайте уточним, какие действия можно проводить с моделями?

1)Задания на соотнесение моделей: Слайд 8

при выполнении заданий на соотнесение моделей ребёнок должен определить, соответствуют ли друг другу предложенные для сравнения модели, и объяснить, почему соответствие есть или отсутствует. Например, дан рисунок, схема и равенство. Ученик рассказывает, почему схема подходит к рисунку и к равенству. Слайд 9

2) Задания на построение модели:

самостоятельно построить на парте из геометрических фигур схему, соответствующую рисунку, тексту задачи или математической записи, составить математическое выражение, соответствующее предложенному рисунку, схеме или тексту задачи. Слайд 10

3) Задания на выбор модели:

при выполнении заданий этой группы дети из нескольких предложенных вариантов выбирают тот, который соответствует другой модели. Слайд 11

4) Примеры заданий на изменение модели:

изменить предложенную схему так, чтобы новая схема соответствовала сюжетной иллюстрации, тексту задачи, числовому выражению или равенству;

изменить предложенный текст задачи так, чтобы новый текст соответствовал сюжетной иллюстрации, схеме, числовому выражению. Слайд 12

Многие задания в учебнике можно дифференцировать.

Использование учебных моделей позволяет сделать более доступным для ребёнка восприятие и понимание текста задачи, поскольку модели помогают визуализировать скрытые при непосредственном наблюдении связи и отношения, представленные в тексте задачи.

Благодаря возможности наглядно представлять наиболее существенные характеристики изучаемого объекта, модель служит весьма продуктивным видом визуализации.

Поскольку мышление детей младшего школьного возраста по преимуществу наглядно-образное, опора на модели делает возможным приобщение учеников к некоторым (пусть самым простым) теоретическим обобщениям. Это весьма значимо на первых шагах обучения решению задачи. Однако для того, чтобы работа с моделями приводила к максимальной «отдаче», их применение должно быть последовательным и систематическим.

Слайд 13 (пустой)

(Раздаточный материал « Группы заданий, ориентированных на выполнение одного из следующих действий:….»

5. Группы заданий, ориентированных на выполнение одного из следующих действий:

- задания на соотнесение моделей:

1. Соотнесение предметной и вербальной моделей.

2. Соотнесение предметной и схематической моделей. Подходит ли схема к рисунку?

3.Соотнесение предметной и математической моделей.

Верно ли составлен пример к рисунку?

4.Соотнесениевербальной и математической моделей.

Верно ли Ваня решил задачу?

5.Соотнесение вербальной и схематической моделей.

Проверь, верно ли Петя составил схему к задаче.

6.Соотнесение схематической и математической моделей.

Верно ли составлен пример к схеме

- выбор модели:

1. Задания на выбор модели при сравнении предметных и вербальных моделей.

Какая краткая запись подходит к рисунку?

2. Задания на выбор модели при сравнении предметных и схематических моделей.

Выбери схему к рисунку.

3. Задания на выбор модели при сравнении предметных и математических моделей.

Какой пример подходит к рисунку?

4.Задания на выбор модели при сравнении вербальных и математических моделей.

Выбери верное решение задачи .

5. Задания на выбор модели при сравнении вербальных и схематических моделей.

Выбери схему

6. Задания на выбор модели при сравнении схематических и математических моделей.

Какой пример подходит к схеме?

- изменение модели:

1. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – вербальная модель»

Измени рисунок так, чтобы он соответствовал тексту задачи. Или наоборот.

Измени краткую запись, чтобы она подходила к рисунку

2. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – схематическая модель»

Дополни схему

3. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – математическая модель»

Петя записал пример к рисунку. Часть примера не видна. Дополни запись.

4. Задание на изменение модели в паре « Вербальная модель – математическая модель»

Измените текст задачи, чтобы она решалась так:

5. Задание на изменение модели в паре « Вербальная модель – схематическая модель »

Исправь схему

6. . Задание на изменение модели в паре « Схематическая модель – математическая модель»

Катя сделала схему, исправь её ошибку.

- Дополни условие и вопрос, чтобы задача решалась сложением.

- Измени схему так, чтобы показать её с помощью действия вычитания

- построение модели:

1.Задание на построение модели в паре « Предметная модель – вербальная модель»

Составь задачу по рисунку или сделай рисунок к тексту задачи (краткой записи)

2. Задание на построение модели в паре « Предметная модель – схематическая модель»

Составь схему к предложенному рисунку или, наоборот, сделай рисунок к предложенной схеме

3.Задание на построение модели в паре « Предметная модель – математическая модель»

Составь пример к рисунку

4.Задание на построение модели в паре «Вербальная модель – математическая модель»

Составь задачу, которая решается так 5. Задание на построение модели в паре « Вербальная модель – схематическая модель»

Составь задачу по схеме

Составь пример по схеме или схему к выражению

6. Работа в группах:

Задания для работы в группах

1) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и вербальной моделей при работе над задачей.

2) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и вербальной моделей при работе над задачей.

а) Подходит ли схема к рисунку?

б)Проверь, верно ли Катя составила схему к задаче?

в) Проверь, верно ли Сергей решил задачу.

г) Подходит ли краткая запись к рисунку?

д) Верно ли составлен пример к рисунку?

е) Верно ли составлен пример к схеме?

3) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и схематической моделей при работе над задачей.

а) Верно ли составлен пример к схеме?

б) Подходит ли рисунок к задаче?

в) Проверь, верно ли Сергей решил задачу.

г) Подходит ли схема к рисунку?

д) Верно ли составлен пример к рисунку?

е) Проверь, верно ли Катя составила схему к задаче?

1) Определите задание на выбор модели . Слайд 14

Определите задание на соотнесение моделей . Слайд 15

3) Определите задание на построение моделей. Слайд 16

7.Методические варианты использования моделей. Слайд 17

Методические варианты использования моделей: репродуктивно-наглядный, продуктивно-наглядный, репродуктивно-практический, продуктивно-практический. Рассмотрим примеры использование моделей для поиска решения текстовой задачи: « У Коли 3 яблока, а у Лены 2 яблока. Сколько яблок у детей вместе?»

Вариант 1. Репродуктивно-наглядный

Учитель демонстрирует модель (на доске, наборном полотне) и на её основе даёт словесное объяснение о способе решения задачи. При этом объяснение выступает репродуктивной передачей информации от учителя к детям.

Ребята, я располагаю на наборном полотне 3 кружка слева, потому что у нас в задаче сказано, что у Коли было 3 яблока, и 2 кружка справа - столько яблок, по условию задачи у Лены. В задаче нужно узнать, сколько всего яблок у детей, поэтому я придвину кружки друг к другу. Значит, эта задача решается с помощью действия сложения. Давайте запишем вместе решение задачи: 3+2=5.

Вариант 2. Продуктивно-наглядный

Учитель демонстрирует модель (на доске, на наборном полотне) и в процессе её построения проводит с детьми беседу эвристического характера с тем, чтобы дети сами «открыли» способ решения задачи. Здесь используется продуктивная форма получения знания.

Пример объяснения решения задачи:

Дети, сейчас я покажу слева яблоки Коли, а справа яблоки Лены. Сколько кружков я должна поставить слева? Почему? (После ответов детей учитель располагает на наборном полотне 3 кружка слева.) Сколько кружков нужно расположить на наборном полотне справа? Почему? (После ответов детей учитель располагает на наборном полотне 2 кружка справа.) Что нужно сделать, чтобы показать, что мы собираем вместе яблоки Коли и Лены? (После ответов детей учитель придвигает одни кружки к другим). Каким действием решается задача? Почему? Как запишем решение задачи?

Вариант 3. Репродуктивно-практический

Учитель строит модель (на доске, на наборном полотне) и одновременно просит детей построить такую же модель на парте или в тетради. В ходе построения модели учитель даёт словесное объяснение репродуктивного характера о способе решения задачи.

Пример объяснения решения задачи:

Дети, сейчас я на наборном полотне поставлю 3 кружка слева, потому что, по условию задачи, у Коли было 3 яблока, а 2 кружка справа – столько яблок у Лены. Положите вместе со мной 3 кружка на парте слева, а 2 кружка на парте справа. В задаче нужно узнать, сколько всего яблок у детей. Поэтому я придвину кружки друг к другу и вы тоже на партах придвиньте свои кружки друг к другу. Так как мы с вами придвигаем кружки, задача решается сложением. Давайте запишем вместе решение задачи: 3+2=5.

Вариант 4. Продуктивно - практический

Учитель строит модель (на доске, наборном полотне) и одновременно просит детей построить такую же модель на парте или в тетради. В процессе построения модели учитель проводит с детьми беседу эвристического характера с тем, чтобы дети сами «открыли» способ решения задачи.

Пример объяснения решения задачи

Дети, давайте покажем слева яблоки Коли, а справа яблоки Лены. Сколько кружков мы должны показать слева? Почему? Давайте вместе сделаем это: я поставлю кружки слева на наборном полотне, а вы положите их слева у себя на парте.

Сколько кружков мы должны показать справа? Почему? Давайте вместе сделаем это: я поставлю кружки справа на наборном полотне, а вы положите их справа у себя на парте. Что нужно сделать, чтобы показать, что мы собираем вместе яблоки Коли и Лены? Правильно, нужно придвинуть кружки друг к другу. Давайте вместе сделаем это: я на наборном полотне, а вы у себя на партах. Что мы сделали, чтобы найти ответ к задаче? Значит, каким действием решается задача? Как запишем решение задачи?

При объяснении трудного для детей материала рекомендуется чаще использовать продуктивно – практический вариант моделирования, поскольку при этом обеспечивается эвристическая форма передачи информации («субъективное открытие знания») и практическая деятельность ребёнка по построению и преобразованию моделей, что особенно важно для ребёнка со средними или слабыми математическими способностями.

8. Конструкции текста задачи: Слайд 18

(Раздаточный материал для учителей)

Условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный вопросительным предложением; наиболее часто встречающаяся конструкция текста.

Условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный повествовательным предложением.

Часть условия выражена в повествовательной форме в начале текста, затем вопросительное предложение, включающее вопрос и часть условия.

Часть условия выражена в повествовательной форме, затем следует также повествовательное предложение, включающее вопрос и часть условия.

Текст задачи представляет одно сложное вопросительное предложение, в котором сначала стоит вопрос задачи, затем условие.

9. Задания для работы в группах:

1 . Каждой группе подобрать из учебника или составить задачу 2,3,4,5 конструкций.

2. Практикум « Виды работ над задачей»

1) на нахождение остатка (опорное слово: осталось)

составить задачу

4 вида моделей

из групп заданий выбрать 1(блок « Задания на изменение модели»)

изменить конструкцию задачи

2)на нахождение суммы (опорное слово: стало)

составить задачу

4 вида моделей

из групп заданий выбрать 2 (блок « Задания на соотнесение модели»)

изменить конструкцию задачи

3)на нахождение разности (опорное слово: на сколько)

составить задачу

4 вида моделей

из групп заданий выбрать 1 (блок « Задания на построение модели»)

изменить конструкцию задачи

10. Практикум «Разработка вспомогательных моделей, которые используются при решении задач в начальной школе» Объединение моделей в систему.

1 тип схем

a b

2 тип схем

?, на б/м

a b

3 тип схем

Было –

Стало --

a b

4 тип схем

Было –

Осталось --

a

b c

5 тип схем

a c

Рефлексия мастер-класса

Возьмите карточку с таблицей-фиксацией, если есть, чем дополнить, впишите в третий столбик. Кто может зачитать данные своей таблицы? (Ответы участников)

Метод « Чемодан, Корзина, Мясорубка»

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x 1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r 0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 . Подставляя в выражение для r 0 и h 0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.

Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x 4 .

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) - исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) - количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N"(t) пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l N(t), l >0 - константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e –l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:

1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » a n + b,

где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.

Виды математических моделей

В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях и по отношению к каким объектам познания реализуется способность моде­лей отображать действительность, возникает их большое разнообразие, а вместе с ним - классификации. Путем обобщения существующих клас­сификаций выделим базовые модели по применяемому математическому аппарату, на основе которых получают раз­витие специальные модели (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 - Формальная классификация моделей

Математические модели отображают изучаемые объекты (процессы, системы) в виде явных функциональных соотношений: алгебраических равенств и неравенств, интегральных и дифферен­циальных, конечно-разностных и других математических выражений (закон распределения случайной величины, регрессионные модели и т.д.), а также отношений математической логики.

В зависимости от двух фундаментальных признаков построения математической модели - вида описания причинно-следственных связей и изменений их во вре­мени - различают детерминистические и стохастические, статические и динамические модели (рисунок 8.2).

Цель схемы, представленной на рисунке, - отобразить следующие особенности:

1) математические модели могут быть и детерминистическими, и стохастическими;

2) детерминистические и стохастические модели могут быть и статическими, и динамическими.

Математическая модель называется детерминистической (детерминированной) , если все ее параметры и переменные являются однозначно определяемыми ве­личинами, а также выполняется условие полной определенности ин формации. В противном случае, в условиях неопределенности инфор­мации, когда параметры и переменные модели - случайные величи­ны, модель называется стохастической (вероятностной) .

Рисунок 8.2 – Классы математических моделей

Модель называется динами­ческой , если как минимум одна переменная изменяется по периодам времени, и статической , если принимается гипотеза, что переменные не изменяются по периодам времени.

В простейшем случае балансовые модели выступают в виде уравнения баланса, где в левой части располагается сумма каких-либо поступлений, а в правой - расходная часть также в виде суммы. Например, в таком виде представляется годовой бюджет организации.

На основе статистических данных могут строиться не только балан­совые, но и корреляционно-регрессионные модели.

Если функция Y зависит не только от переменных х 1 , х 2 , … х n , но и от других факторов, связь между Y и х 1 , х 2 , … х n является неточной или корреляционной в отличие от точной или функциональной связи. Корреляционными, например, в большинстве случаев являются связи, наблюда­ющиеся между выходными параметрами ОПС и факторами ее внутренней и внешней среды (см. тему 5).

Корреляционно-регрессионные модели получают при исследовании влияния целого комплекса факторов на величину того или иного признака путем примене­ния статистического аппарата. При этом ставится задача не только установить корреляционную связь, но и выразить эту связь аналитически, то есть подобрать уравнения, описываю­щие данную корреляционную зависимость (уравнение регрессии).

Для нахождения численного значения параметров уравне­ния регрессии пользуются методом наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, чтобы выбрать такую линию, при которой сумма квадратов отклонений от нее ординат Y отдель­ных точек была бы наименьшей.

Корреляционно-регрессионные модели часто используются при исследовании явлений, когда возникает необходимость установить зависимость между соответствующими характеристиками в двух и более рядах. При этом преимущественно используется парная и множественная линейная регрессия вида

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b .

В результате применения метода наименьших квадратов ус­танавливаются значения параметров a или a 1 , a 2 , …, a n и b, а затем выполняются оценки точности аппроксимации и значимости полученного уравнения регрессии.

В особую группу выделяют графоаналитиче­ские модели . Они используют различные графические изображения и поэтому обладают хорошей наглядностью.

Теория графов - одна из теорий дискретной математики, изучает графы, под которыми понимается совокупность точек и линий их соединяющих. Граф - это самостоятельный математи­ческий объект (впервые ввел Кёниг Д.). На основе теории гра­фов наиболее часто строят древовидные и сетевые модели.

Древовидная модель (дерево) - это неориентированный связ­ный граф, не содержащий петель и циклов. Примером такой модели является дерево целей.

Сетевые модели нашли широкое применение в управлении производством работ. Сетевые модели (графики) отражают последовательность выполнения работ и продолжи­тельность каждой работы (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 - Сетевая модель производства работ

Каждая линия сетевого графика - это некоторая работа. Цифра рядом с ней означает продолжительность ее выполнения.

Сетевые модели позволяют найти так называемый критический путь и оптимизировать график производства работ по времени при ограничениях на другие ресурсы.

Сетевые модели могут быть детерминированными и стоха­стическими. В последнем случае продолжительности выполнения работ задаются законами распределения случайных величин.

Оптимизационные модели служат для определения оптимальной траектории достижения системой поставленной цели при наложении некоторых ограничений на управление ее поведениям и движением. В этом случае оптимизационные модели описывают различного рода задачи нахождения экстремума некоторой целевой функции (критерия оптимизации).

Для выявления оптимального способа достижения цели управления в условиях ограниченных ресурсов – технических, материальных, трудовых и финансовых – применяют методы исследования операций. К ним относятся методы математическо­го программирования (линейное и нелинейное, целочисленное, ди­намическое и стохастическое программирование), аналитические и вероятностно-статистические методы, сетевые методы, методы тео­рии массового обслуживания, теории игр (теории конфликтных си­туаций) и др.

Оптимизационные модели применяются для объемного и календар­ного планирования, управления запасами, распределения ресурсов и работ, замены, параметризации и стандартизации оборудования, рас­пределения потоков товарных поставок на транспортной сети и дру­гих задач управления.

Одним из основных достижений теории исследования операций считается типизация моделей управления и методов решения задач. Например, для решения транспортной задачи, в зависимости от ее раз­мерности, разработаны типовые методы - метод Фогеля, метод по­тенциалов, симплекс-метод. Также при решении задачи управления запасами, в зависимости от ее постановки, могут использоваться ана­литические и вероятностно-статистические методы, методы динами­ческого и стохастического программирования.

В управлении особое значение придается сетевым методам плани­рования. Эти методы позволили найти новый и весьма удобный язык для описания, моделирования и анализа сложных многоэтапных работ и проектов. В исследовании операций значительное место отво­дится совершенствованию управления сложными системами с при­менением методов теории массового обслуживания (см. раздел8.3) и аппарата марков­ских процессов.

Модели марковских случайных процессов - система дифференци­альных уравнений, описывающих функционирование системы или ее процессов в виде множества упорядоченных состояний на некоторой траектории поведения системы. Этот класс моделей широко исполь­зуется при математическом моделировании функционирования слож­ных систем.

Модели теории игр служат для выбора оптимальной стратегии в ус­ловиях ограниченной случайной информации или полной неопреде­ленности.

Игра - математическая модель реальной конфликтной си­туации, разрешение которой ведется по определенным правилам, алгоритмам, описывающим некоторую стратегию поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности.

Различают «игры с природой» и «игры с противником». Исходя из ситуации опре­деляются методы и критерии оценки принятия решений. Так, при «играх с природой» применяют критерии: Лапласа, максиминный (кри­терий Вальда) и минимаксный, Гурвица и Сэвиджа и ряд других алго­ритмических правил. При «играх с противником» для принятия реше­ний используются платежные матрицы, максиминный и минимаксный критерии, а также специальные математические преобразования в свя­зи с тем, что лицу, принимающему решение, противостоит недобро­желательный противник.

Рассмотренные типы математических моделей не охватыва­ют всего их возможного многообразия, а лишь характеризуют отдельные виды в зависимости от принятого аспекта классифи­кации. В.А.Кардашем была предпринята попытка создания сис­темы классификации моделей по четырем аспектам детализации (рисунок 8.4).

А - модели без пространственной дифференциации параметров;

В - модели с пространственной дифференци­ацией параметров

Рисунок 8.4 - Классификация моделей по четырем аспектам детализации

С развитием вычислительных средств одним из распространенных методов принятия решений выступает деловая игра, представляющая собой численный эксперимент с активным участием человека. Существуют сотни деловых игр. Они применяются для изу­чения целого ряда проблем управления, экономики, теории организа­ции, психологии, финансов и торговли.