В первых числах марта свою работу начнёт Международный Женевский автосалон 2018 года - одно из самых крупных и значимых событий в календаре автомобилестроительной индустрии.
Чего нам стоит ожидать, на что стоит обратить внимание? Уже сейчас известно, что в рамках автосалона в состоится официальная премьера множества ярких новинок, часть из которых уже рассекречена, а часть по-прежнему находится под завесой секретности.
сайт, по традиции, предлагаем вашему вниманию список новинок Женевского мотор-шоу, в который вошли как серийные модели, так и концептуальные прототипы, по мотивам которых в ближайшем будущем будут построены новые автомобили.
Тенденции в отрасли свидетельствуют о том, что основное внимание на автошоу, скорее всего, будет уделяться электромобилям и автономным технологиям, хотя репутация Женевы говорит о том, что здесь состоится дебют новинок более экзотических брендов, которые готовы показать миру свои новейшие скоростные машины.
Audi
Прототип электрического внедорожника Audi E-tron
Фото: AutocarНемецкий премиальный бренд планирует представить в Женеве новое поколение модели Audi A6. Причём, на выставке также должен дебютировать универсал . Конкуренты BMW 5-Series и Mercedes-Benz E-Class. Очевидно, что 4- и 5-дверная модель будут следовать по стопам «старшего брата» A8. Это касается как дизайна экстерьера, так и интерьера. Кроме этого, автосалон в Женеве-2018 станет местом мировой премьера электрического внедорожника . Ожидается, что серийная машина не будет сильно отличаться от одноимённого концепта.
Bentley
Bentley Bentayga V8
Фото: BentleyЛюксовый британский бренд Bentley планирует показать широкой общественности новые модификации роскошного внедорожника Bentayga. Если автомобиль уже официально рассекречен, то вот электрифицированный вариант модели Bentley Bentayga PHEV пока держится в секрете. Скорее всего, «зелёная» машина получит такую же силовую установку, что и модель Porsche Cayenne S E-Hybrid.
BMW
Кросс-купе BMW X4 нового поколения
Фото: BMWКончено, главная новинка Женевского автосалона от баварской компании – это кросс-купе . Автомобиль уже официально рассекречен. Но, не стоит забывать о том, что в Женеве немецкая марка планирует показать концепт BMW M8 Concept (название официально не подтверждено), серийная версия которого поборется за покупателя с такими машинами, как Aston Martin DB11 и Mercedes-AMG S63. Ожидается, что производственная версия модели получит не менее 600 сил и дебютирует в 2019 году. Также в Женеве должен дебютировать серийный родстер BMW Z4.
Citroen
Citroen Berlingo нового поколения
Фото: CitroenНа стендах французской компании Citroen в рамках Женевского автосалона 2018 года будет красоваться фургон . Автомобиль сегмента MPV получил новую платформу, новые двигатели и пересмотренный дизайн. Ранее мы подробно рассказывали о новом Citroen Berlingo, осталось лишь дождаться публичной премьеры.
David Brown Automotive
Логотип David Brown Automotive
Фото: David Brown AutomotiveБританская компания планирует представить в Женеве специальную, высокопроизводительную версию модели Speedster GT , под ориентировочным названием Speedback Silverstone Edition . Известно, что машина будет выпущена ограниченным тиражом в 10 экземпляров. В движение машина будет приводиться силовой установкой, отдача которой превысит 600 сил.
Ferrari
Фото: Autocar
Итальянская марка по-прежнему держит в секрете какие-либо данные о «заряженном» купе Ferrari 488 GTO . Хотя, ранее в сети появились хардкорной версии модели 488 GTB. Несколько дней назад производитель официально подтвердил, что машина будет показана в рамках автосалона в . Ждём!
Hyundai
Hyundai Santa Fe нового поколения
Фото: HyundaiКонечно же, главная новинка Женевского автосалона 2018 года от корейской компании – это внедорожник нового, четвёртого по счёту поколения. Автомобиль уже официально рассекречен, осталось лишь дождаться публичной премьеры и всех подробностей. Кроме этого, автосалон в Женеве-2018 станет местом премьеры электрического кросса .
Honda
Гибридный Honda CR-V
Фото: HondaПо предварительным данным, автосалон в станет местом европейской премьеры гибридного внедорожника , который должен выйти на рынок Старого Света в течение нынешнего года. Помимо этого, японская марка покажет широкой общественности концепты и .
Italdesign
Тизер Italdesign Zerouno Convertible
Фото: ItaldesignВсемирно известное ателье Italdesign публично представит в Женеве высокопроизводительный кабриолет Italdesign Zerouno Convertible . Этот автомобиль является открытой версией штучного суперкара Italdesign Zerouno с карбоновым кузовом. При этом, в основе машины лежит шасси Lamborghini Huracan с мотором V10. Новым родстером известное ателье Italdesign отметит свой 50-летний юбилей.
Ford
Обновлённый Ford Ka+ и Ford Ka+ Active
Фото: FordНе скучными должны быть стенды американской компании Ford, поскольку в Женеву производитель везёт обновлённый внедорожник , а также обновлённый городской компакт , у которого теперь имеется «проходимая» версия Ka+ Active. Европейские продажи новинок должны стартовать в текущем году.
KIA
KIA Ceed нового поколения
Фото: KIAКорейская компания KIA Motors везёт на автосалон в , как минимум, две новинки. Это: компактный 5-дверный хэтчбек и модель . Как отмечают инсайдеры, европейские продажи обеих автомобилей непременно стартуют в течение нынешнего года.
Land Rover
Тизер внедорожника Range Rover SV Coupe
Фото: Land RoverБританская компания уже официально анонсировала премьеру 3-дверного внедорожника . Роскошный автомобиль, созданный специалистами подразделения Special Vehicle Operations (SVO), окажется одним из самых дорогих творений британской марки, и будет конкурировать с грядущим Rolls-Royce Cullinan. Ориентировочная цена лимитированного Range Rover SV Coupe – 250 000 фунтов стерлингов.
Jaguar
Прототип серийного электрического кросса Jaguar I-Pace
Фото: AutocarМеждународный автосалон в Женеве 2018 года станет местом мировой премьеры серийного электрического кросса . Автомобиль, построенный по мотивам одноимённого концепта, будет конкурировать с Tesla Model X и Audi E-tron, который также дебютирует в Женеве. Известно, что машина прошла все необходимые испытания, и уже начала выпускаться на австрийском заводе британского бренда.
Lexus
Lexus UX Concept
Фото: LexusСерийная версия концептуального кросса , наконец-то, должна дебютировать на Женевском авто-шоу 2018 года. В настоящий момент никаких подробностей о конкуренте Jaguar E-Pace нет. Очевидно, что японская новинка сегмента SUV должна в очередной раз поразить своим дизайном.
Mazda
Ообновлённый универсал Mazda6
Фото: MazdaЯпонская марка представит на Женевском автосалоне 2018 года обновлённый универсал . Практичный автомобиль получил скромные изменения дизайна экстерьера, полностью пересмотренное оформление интерьера, а также расширенный список доступного оснащения.
McLaren
Фото: McLaren
Уникальная машина уже официально представлена, но её первый публичный показ состоится на Женевском автосалоне 2018 года. автомобиль, названный в честь трёхкратного чемпиона «Формулы-1» оснащён 4,0-литровым двигателем V8, благодаря чему способен ускоряться с 0 до 100 км/ч за 2,8 секунды. Всего будет построено 500 экземпляров купе McLaren Senna, каждый из которых уже продан по цене 750 000 фунтов стерлингов.
Считается, что автомобиль будет построен по мотивам концептов Instinct и Exalt, а в его основе будет лежать совершенно платформа EMP2. На мировой рынок 4-дверная модель должна выйти в конце 2018 – начале 2019 года.
Автосалон в Детройте 2018 года – все новинки серийных автомобилей 2018-2019 года и концептов (прототипов) машин будущего в одном обзоре с фото. Detroit Auto Show или же North American International Auto Show традиционного открывает череду автомобильных выставок в новом 2018 году и готов познакомить автомобильных журналистов, специалистов и рядовых автолюбителей со всеми своими экспонатами, разместившимися на огромных площадях выставочного комплекса Cobo Centrer в американском Детройте. Детройтское автошоу открывается 14 января 2018 года и в течении двух недель по 28 января включительно позволит лицезреть серийные новинки и концепты современного мира автомобилей.
В рамках Detroit Auto Show 2018 года лидеры автомобильной индустрии представят не только ряд абсолютно новых моделей, но и новинок, успевших засветиться на Los Angeles Auto Show 2017 года. При этом Детройтский автосалон 2018 года стал местом для презентации настоящих шедевров, одним из которых смело можно считать новую генерацию внедорожника Гелендваген от Мерседес. Однако не стоит забывать и об остальных новинках. Так что по доброй традиции нашего журнального блога начнем с концептов и прототипов, а затем расскажем о серийных новинках, представленных в Детройте.
Концептуальные модели и прототипы, показанные в рамках Detroit Auto Show 2018 года.
Acura RDX Prototype – концепт 3 поколения компактного кроссовера премиум-класа Acura RDX, полностью разработанного в Америке. В основе третьей генерации паркетника Acura RDX новая тележка бренда Акура, а также шикарный дизайн экстерьера кузова Acura Precision и супер современный салон Precision Cockpit.
Acura RDX Prototype 2018-2019 видео
Немецкая компания BMW AG показала в Детройте прототип большого 7-местного гибридного кроссовера BMW X7 iPerformance Concept с силовой установкой в составе четырех цилиндрового бензинового 286-сильного 2,0-литрового турбированного двигателя и 113-сильного электромотора (суммарная мощность 326 лс).
Китайская компания GAC Motor в очередной раз пытается заинтересовать американских автолюбителей. В 2018 года представители Поднебесной показали в Детройте GAC Electric Concept – прототип электрического компактного кроссовера.
Японские компании Хонда, Инфинити и Лексус отметились на первом в 2018 году автошоу отменными концептами: Honda Insight Prototype – концепт 3 поколения гибридной модели Honda Insight, Infiniti Sedan Concept – предвестник флагманского седана Хонда, Infiniti electric concept – прототип электрического двух дверного спорт-купе и Lexus LF-1 SUV Concept – прототип нового флагмана кроссоверной линейки Лексус.
Новинки серийных автомобилей представленных на Detroit Auto Show 2018 года.
Немецкий автомобильный гигант Audi AG показал в Детройте новые поколения представительского седана Audi A8 и новую генерацию премиального хэтчбека Audi A7 Sportback.
Баварская компания BMW AG отметилась на North American International Auto Show 2018 показом нового компактного кроссовера BMW X2, обновленного спортивного электрокара BMW i8 Coupe и его открытой версии BMW i8 Roadster.
Американская компания Шевроле подготовила для домашнего автошоу спорт-купе Chevrolet Corvette C8 и пикап Chevrolet Silverado очередного поколения.
Ford Motor Company выставила в Детройте для знакомства новые версии Ford Mustang Shelby GT500 и Ford Mustang Bullitt, а также новое поколение пикапа Ford Ranger.
Китайская компания GAC Motor помимо концепта электрического кроссовера привезла в Детройт пару серийных кроссоверов GAC GS7 и GAC GS8, седан GAC GA8 и даже минивэн GAC GM8.
Южно-корейская Hyundai Motor Company отметилась скромной презентацией нового поколения Hyundai Veloster.
Итало-американская компания Fiat Chrysler Automobiles подготовила для показа Detroit Auto Show 2018 года кроссовер Jeep Cherokee с новым «лицом» и новый пикап Ram 1500, известный ранее под именем Dodge Ram.
Одним из самых ярких экспонатов автошоу в Детройте стал первый кроссовер итальянской компании Automobili Lamborghini S.p.A., шикарный, мощный и быстрый Lamborghini Urus.
Mercedes-Benz представлен на Детройтском автосалон 2018 года весьма широко. Самая главная премьера немецкого авто производителя, разумеется, новая генерация внедорожника Mercedes-Benz G-Class. Интерес вызывают гибридные Mercedes-AMG CLS53 и Mercedes-AMG Four Door GT соответственно с 450-сильной и 800-сильной!!! силовой установкой.
Британский бренд Rolls-Royce представил американским покупателям новый Phantom.
Японская компания Toyota Motor Corporation подготовила для показа на авто шоу в Детройте седан Toyota Avalon нового поколения.
Немецкий автомобильный гигант Volkswagen в рамках Detroit Auto Show (North American International Auto Show) 2018 года представлен скромно. Американцам показали лишь компактный седан Volkswagen Jetta нового поколения, отсрочив главную премьеру текущего года в лице Volkswagen Touareg 3 поколения на весну 2018 года в рамках Женевского автосалона.
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :
Две прямые параллельны
тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l
1 параллельна l
2 тогда и только тогда, когда параллелен 
.
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .
Угол между прямой и плоскостью
Пусть прямая d
- не перпендикулярна плоскости θ;
d
′− проекция прямой d
на плоскость θ;
Наименьший из углов между прямыми d
и d
′ мы назовем углом между прямой и плоскостью
.
Обозначим его как φ=(d
,θ)
Если d
⊥θ , то (d
,θ)=π/2
Oi
→j
→k
→− прямоугольная система координат.
Уравнение плоскости:
θ:Ax +By +Cz +D =0
Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d
[M
0,p
→]
Вектор n
→(A
,B
,C
)⊥θ
Тогда остается выяснить угол между векторами n
→ и p
→, обозначим его как γ=(n
→,p
→).
Если угол γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Если угол γ>π/2 , то искомый угол φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Вопрос29. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм.
Квадратичной формой j (х 1 , х 2 , …, x n) n действительных переменных х 1 , х 2 , …, x n
называется сумма вида 
, (1)
где a ij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a ij = a ji .
Квадратичная форма называется действительной,
если a ij
Î ГR. Матрицей квадратичной формы
называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица 
Т. е. А Т = А
. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j (х
) = х Т Ах
, где х Т
= (х
1 х
2 … x n
). (2)
И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А . (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.
положительно определенной (или строго положительной), если
j (х ) > 0 , для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n ), кроме х = (0, 0, …, 0).
Матрица А положительно определенной квадратичной формы j (х ) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.
Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если
j (х ) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n ), кроме х = (0, 0, …, 0).
Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квад-ратичной формы также называется отрицательно определенной.
Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадра-тичная форма j (х ) достигает минимального (максимального) значения j (х* ) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).
Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.
Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.
Главными минорами квадратичной формы называются миноры:
то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А , расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А .
Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)
х ) = х Т Ах была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть: М 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Критерий отрицательной определенности Для того чтобы квадратичная форма j (х ) = х Т Ах была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, т. е.: М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1) n
Инструкция
Обратите внимание
Период тригонометрической функции тангенс равен 180 градусам, а значит углы наклоны прямых не могут, по модулю, превышать этого значения.
Если угловые коэффициенты равны между собой, то угол между такими прямыми равен 0, так как такие прямые или совпадают или параллельны.
Чтобы определить величину угла между скрещивающимися прямыми, необходимо обе прямые (или одну из них) перенести в новое положение методом параллельного переноса до пересечения. После этого следует найти величину угла между полученными пересекающимися прямыми.
Вам понадобится
- Линейка, прямоугольный треугольник, карандаш, транспортир.
Инструкция
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А x + В y + C z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:сos α = (а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²)).
Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²))).
Пример: найдите угол между вектором (5, -3, 8) и плоскостью , заданной общим уравнением 2 x – 5 y + 3 z = 0.Решение: выпишите координаты нормального вектора плоскости N = (2, -5, 3). Подставьте все известные значения в приведенную формулу:сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Видео по теме
Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол . Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.
Инструкция
Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности - О. Итак, углы АВО и АСО равны , радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.
Определение 1
Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.
Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.
Допустим, нам известно, что один из углов равен α . В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α . Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180 ° - α . Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).
Взгляните на рисунок:
Перейдем к формулированию основного определения.
Определение 2
Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4 -х углов, которые образуют две эти прямые.
Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0 , 90 ] . Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.
Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.
Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.
Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.
У нас есть прямоугольная (декартова) система координат O x y , в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b . Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M . Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?
Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.
Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.
Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:
- угла между направляющими векторами;
- угла между нормальными векторами;
- угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.
Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.
1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a → = (a x , a y) и прямая b с направляющим вектором b → (b x , b y) . Теперь отложим два вектора a → и b → от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:
Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b . Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a → , b → ^ . Таким образом, α = a → , b → ^ в том случае, если a → , b → ^ ≤ 90 ° , и α = 180 ° - a → , b → ^ , если a → , b → ^ > 90 ° .
Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α = cos a → , b → ^ , если a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , если a → , b → ^ > 90 ° .
Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ < 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Запишем последнюю формулу словами:
Определение 3
Косинус угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, будет равен модулю косинуса угла между его направляющими векторами.
Общий вид формулы косинуса угла между двумя векторами a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:
cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:
α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Здесь a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) – это направляющие векторы заданных прямых.
Приведем пример решения задачи.
Пример 1
В прямоугольной системе координат на плоскости заданы две пересекающиеся прямые a и b . Их можно описать параметрическими уравнениями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y - 6 - 3 . Вычислите угол между этими прямыми.
Решение
У нас в условии есть параметрическое уравнение, значит, для этой прямой мы сразу можем записать координаты ее направляющего вектора. Для этого нам нужно взять значения коэффициентов при параметре, т.е. прямая x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R будет иметь направляющий вектор a → = (4 , 1) .
Вторая прямая описана с помощью канонического уравнения x 5 = y - 6 - 3 . Здесь координаты мы можем взять из знаменателей. Таким образом, у этой прямой есть направляющий вектор b → = (5 , - 3) .
Далее переходим непосредственно к нахождению угла. Для этого просто подставляем имеющиеся координаты двух векторов в приведенную выше формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Получаем следующее:
α = a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 · 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Ответ : данные прямые образуют угол в 45 градусов.
Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая a с нормальным вектором n a → = (n a x , n a y) и прямая b с нормальным вектором n b → = (n b x , n b y) , то угол между ними будет равен углу между n a → и n b → либо углу, который будет смежным с n a → , n b → ^ . Этот способ показан на картинке:
Формулы для вычисления косинуса угла между пересекающимися прямыми и самого этого угла с помощью координат нормальных векторов выглядят так:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Здесь n a → и n b → обозначают нормальные векторы двух заданных прямых.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы две прямые с помощью уравнений 3 x + 5 y - 30 = 0 и x + 4 y - 17 = 0 . Найдите синус, косинус угла между ними и величину самого этого угла.
Решение
Исходные прямые заданы с помощью нормальных уравнений прямой вида A x + B y + C = 0 . Нормальный вектор обозначим n → = (A , B) . Найдем координаты первого нормального вектора для одной прямой и запишем их: n a → = (3 , 5) . Для второй прямой x + 4 y - 17 = 0 нормальный вектор будет иметь координаты n b → = (1 , 4) . Теперь добавим полученные значения в формулу и подсчитаем итог:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34
Если нам известен косинус угла, то мы можем вычислить его синус, используя основное тригонометрическое тождество. Поскольку угол α , образованный прямыми, не является тупым, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .
В таком случае α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Ответ: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.
Допустим, что прямая a имеет направляющий вектор a → = (a x , a y) , а прямая b – нормальный вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:
Если величина угла между заданными векторами не более 90 градусов, получается, что он будет дополнять угол между a и b до прямого угла.
a → , n b → ^ = 90 ° - α в том случае, если a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Если он менее 90 градусов, то мы получим следующее:
a → , n b → ^ > 90 ° , тогда a → , n b → ^ = 90 ° + α
Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .
Таким образом,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ < 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Сформулируем вывод.
Определение 4
Чтобы найти синус угла между двумя прямыми, пересекающимися на плоскости, нужно вычислить модуль косинуса угла между направляющим вектором первой прямой и нормальным вектором второй.
Запишем необходимые формулы. Нахождение синуса угла:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Нахождение самого угла:
α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Здесь a → является направляющим вектором первой прямой, а n b → – нормальным вектором второй.
Пример 3
Две пересекающиеся прямые заданы уравнениями x - 5 = y - 6 3 и x + 4 y - 17 = 0 . Найдите угол пересечения.
Решение
Берем координаты направляющего и нормального вектора из заданных уравнений. Получается a → = (- 5 , 3) и n → b = (1 , 4) . Берем формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 и считаем:
α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Обратите внимание, что мы взяли уравнения из предыдущей задачи и получили точно такой же результат, но другим способом.
Ответ: α = a r c sin 7 2 34
Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.
У нас есть прямая a , которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения y = k 1 · x + b 1 , и прямая b , заданная как y = k 2 · x + b 2 . Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 , где k 1 и k 2 являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.
Пример 4
Есть две пересекающиеся на плоскости прямые, заданные уравнениями y = - 3 5 x + 6 и y = - 1 4 x + 17 4 . Вычислите величину угла пересечения.
Решение
Угловые коэффициенты наших прямых равны k 1 = - 3 5 и k 2 = - 1 4 . Добавим их в формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 и подсчитаем:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Ответ: α = a r c cos 23 2 34
В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. Для этого достаточно знать координаты направляющих и/или нормальных векторов заданных прямых и уметь определять их по разным типам уравнений. А вот формулы для вычисления косинуса угла лучше запомнить или записать.
Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве
Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.
Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые a и b с точкой пересечения M . Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:
α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Пример 5
У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Известно, что она пересекается с осью O z . Вычислите угол пересечения и косинус этого угла.
Решение
Обозначим угол, который надо вычислить, буквой α . Запишем координаты направляющего вектора для первой прямой – a → = (1 , - 3 , - 2) . Для оси аппликат мы можем взять координатный вектор k → = (0 , 0 , 1) в качестве направляющего. Мы получили необходимые данные и можем добавить их в нужную формулу:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → · k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен a r c cos 1 2 = 45 ° .
Ответ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
