Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.
П.Дирак
Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.
Евклид
1.1 Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.
Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.
Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.
Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.
Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.
К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.
Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .
Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.
Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .
Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.
Пример 2.
Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».
Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».
Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:
перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);
формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;
предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;
предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.
Муниципальное образовательное учреждение.
Вознесенская средне образовательная школа.
Реферат по математике
на тему «Аксиоматика и аксиоматический метод»
ученика 7 класса Каера Евгения Викторовича.
Руководитель Пузикова Н. В.
с. Вознесенка, 2007 г.
изучение аксиоматического метода и его применений в различных областях знаний.
· Выяснить, что такое аксиоматика.
· Рассмотреть применения аксиоматического метода в геометрии
· Научиться применять аксиоматический метод.
1. Введение. Что такое аксиоматика.
2. Аксиоматический метод - важнейший научный метод.
3. Аксиоматический метод в геометрии.
4. Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.
6. Литература.
1. Введение. Что такое аксиоматика.
Аксиома-это некоторые утверждения о свойствах вещей, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых далее доказываются теоремы и, вообще, строится вся теория.
Аксиоматика – система аксиом той или иной науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. аксиоматика числового поля-9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др.
Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом.
2. Аксиоматический метод – важнейший научный метод
Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство правлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строится на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения и в естествознании.
Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области знаний заключается в следующем:
1. Перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;
2. Указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;
3. С помощью определений вводятся дальнейшие понятия;
4. Исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы.
Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.
Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.
Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.
3. Аксиоматический метод в геометрии
При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первые основные понятия, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.
Для примера рассмотрим аксиому параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
4.Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.
Чтобы объяснить подробнее, как применяется аксиоматический метод, приведем пример. Допустим, несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно четыре партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами –по жребию).Чтобы составить расписание турнира, нужно сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:
Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях .
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока .
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.
Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.
Теорема 1.Число игроков не меньше пяти .
Доказательство. Так как нуль- четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в четырех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В,С,Д,Е - игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В,С,Д,Е различны (если бы, например, было В=С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С).Итак, мы нашли уже пятерых игроков: А,В,С,Д,Е. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.
Теорема.2. Число всех выступлений игроков четно .
q- некоторая партия, введем новое понятие - (q,А)- выступление игрока.
Доказательство. Каждая партия дает два выступления игроков (q,А),(q,В),(по аксиоме 3), число всех выступлений 2n, где n число игроков (А 4). Следовательно, число всех выступлений игроков кратно 2, т.е. четно.
Теорема3.Число выигрышей в турнире не превышает число игроков.
Доказательство. Пусть п - число игроков, тогда 2п - число выступлений игроков (А), п - число сыгранных партий(А3). Рассмотрим два случая:
1. Во всех партиях были победитель и проигравший. Тогда число выигрышей будет равно числу партий, т.е. п.
2. Некоторые партии закончились вничью, пусть таких партий будет к. Тогда в оставшихся п - к партиях был выявлен победитель, т.е. число выигрышей не превышает число партий. Теорема доказана.
Прочитав литературу, я узнал, что такое аксиома, что такое аксиоматический метод и, как он применяется в геометрии. Изучив аксиоматический метод я применил его к исследованию шахматного турнира.
Литература.
Энциклопедический словарь юного математика
/Сост. Э- 68 А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.
Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учереждений /Л.С. Атанасян и др. Просвещение, 2004.
Введение
Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения. Оно содержит в полном объеме предназначенный для изучения теоретический материал в соответствии с Государственным образовательным стандартом и рабочей программой, задачи для самостоятельного решения, вопросы к экзамену (зачету), темы рефератов, памятку для студентов, задания контрольной работы для студентов заочного отделения, примерный вариант решения этой контрольной работы и список дополнительной литературы.
Теоретический материал был отобран из учебников по математике для гуманитарных специальностей, научно-популярной литературы, методически обработан для самостоятельного изучения и содержит большое количество примеров, поясняющих теорию и помогающих в дальнейшем в решении задач.
Задачи для самостоятельного решения разбиты на два уровня сложности: основной и повышенный. Задачи основного уровня сложности составлены по аналогии с примерами, имеющимися в теоретическом материале соответствующей темы. В задачах повышенного уровня сложности требуется предварительный анализ по распознаванию задачи и приведению ее к стандартному виду. Задачи сгруппированы по темам и по типам. Это позволяет преподавателю составлять не менее 10 вариантов карточек для самостоятельной работы основного уровня и не менее 5 вариантов повышенного уровня по каждой теме.
Перед началом работы с пособием студенту необходимо внимательно ознакомиться с памяткой. В ней указан алгоритм изучения каждой темы. Темы можно изучать в произвольном порядке, кроме тем «Элементы комбинаторики» и «Элементы теории вероятностей». Вторая тема изучается после первой, так как использует формулы и определения, сформулированные в теме «Элементы комбинаторики».
ПАМЯТКА СТУДЕНТУ
Я слышу – и забываю,
Я вижу – и запоминаю,
Я делаю – и понимаю.
Конфуций
Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим образом. Студент читает материал, берет карточку с заданием. Выполнив задание, дает решение на проверку преподавателю. Если задание выполнено верно, то он берет новое задание и так далее до тех пор, пока не выполнит все задания, относящиеся к изученной порции материала. Если студент затрудняется в выполнении задания, он должен еще раз обратиться к учебным материалам, можно также обратиться за консультацией к преподавателю.
Каждый студент имеет возможность работать в индивидуальном режиме и изучать темы в произвольном порядке. Уровень трудности студент выбирает сам (первый либо второй), причем он в любое время может перейти от одного уровня сложности к другому. При выборе первого уровня сложности должны быть пройдены следующие этапы:
2 Решить задачи для самостоятельной работы (по выбору преподавателя).
3 Сдать зачет по теории (ответить на три вопроса из списка по выбору преподавателя).
4 Выполнить контрольную работу.
Выбрав второй уровень сложности, студент освобождается от теоретических вопросов по данной теме (3 этап).
Если тема содержит только теоретический материал, то сдается только зачет по теории (3 этап). Зачет по теории в этом случае также можно получить, выполнив и защитив реферат по данной теме (темы рефератов указаны в приложении).
На экзамен (зачет) выносятся те темы, по которым студент не успел отчитаться в установленные сроки.
Студент, отчитавшийся в установленные сроки по всем темам, освобождается от сдачи экзамена (зачета). В этом случае оценка за экзамен выставляется по результатам балльно-рейтингового контроля.
В таблице 2 представлены показатели балльно-рейтинговой системы для выставления итоговой оценки по дисциплине.
| № | Раздел (тема) | Кол-во недель (часов) | форма контроля |
| Аксиоматический метод | 1 (4) | зачет по теории | |
| Элементы теории множеств | 2 (8) | ||
| Элементы математической логики | 2 (8) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы комбинаторики | 2 (8) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы теории вероятности | 3 (12) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы математической статистики | 3 (12) | зачет по теории + контрольная работа | |
| Элементы математического моделирования | 3 (12) | зачет по теории | |
| История математики | 1 (4) | зачет по теории | |
| Резерв: | 1 (4) |
| Номер и название темы | Название показателя | Количество баллов |
| 1 Аксиоматический метод 7 Элементы математического моделирования 8 История математики | 1 чтение ответов на вопросы 2 самостоятельное воспроизведение ответов | 7-8 9-10 |
| 2 Элементы теории множеств 3 Элементы математической логики 4 Элементы комбинаторики 5 Элементы теории вероятности 6 Элементы математической статистики | 1 решены все задачи базового уровня + прочитаны ответы на 3 вопроса по теории + контрольная работа решена на «2+» 2 решены все задачи базового уровня + прочитаны ответы на 3 вопроса по теории + контрольная работа решена на «3» 3 решены все задачи базового уровня + ответы на вопросы по теории даны самостоятельно + контрольная работа решена на «2+» 4 решены все задачи базового уровня + ответы на вопросы по теории даны самостоятельно + контрольная работа решена на «3» 5 решены все задачи базового уровня + решены все задачи повышенного уровня (самостоятельно даны ответы на вопросы по теории) + контрольная работа решена на «3+» 6 контрольная работа решена на «4-5» | |
| Минимальная сумма баллов | ||
| Максимальная сумма баллов | ||
| Дополнительные бонусные баллы | 1 контрольная работа решена на «4-5» 2 выполнено задание исследовательского характера 3 досрочная сдача всех тем | 3-5 3-20 |
Для получения зачета нужно набрать не менее 61 балла.
Для получения допуска на экзамен нужно набрать не менее 51 балла
Оценка «3 (посредственно)» выставляется, если набрано 61-67 баллов.
Оценка «3 (удовлетворительно)» выставляется, если набрано 68-73 балла.
Оценка «4 (хорошо)» выставляется, если набрано 74-83 балла.
Оценка «4 (очень хорошо)» выставляется, если набрано 84-90 баллов.
Оценка «5 (отлично)» выставляется, если набрано 91-100 баллов.
Тема 1: Аксиоматический метод
Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.
П.Дирак
Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.
Евклид
Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.
Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.
Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.
Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.
Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.
К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.
Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .
Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.
Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .
Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.
Пример 2.
Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».
Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».
Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:
1) перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);
2) формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;
3) предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;
4) предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.
1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
Исторический обзор обоснования геометрии. Геометрия, прежде чем стать аксиоматической теорией, прошла долгий путь эмпирического развития.
Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока (Египет, Китай, Индия) в связи с развитием земледелия, ограниченностью плодородных земель и др. В этих странах геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор отдельных «рецептов-правил» для решения конкретных задач. Уже во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, объем усеченной пирамиды, площадь круга, а вавилоняне знали теорему Пифагора. Заметим, что доказательств не было, а указывались правила для вычислений.
Греческий период развития геометрии начался в VII-VI вв. до н.э. под влиянием египтян. Отцом греческой математики считается знаменитый философ Фалес (640-548 гг. до н.э.). Фалесу, точнее, его математической школе принадлежат доказательства свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. В дальнейшем геометром Древней Греции были получены результаты, охватывающие почти все содержание современного школьного курса геометрии.
Философская школа Пифагора (570-471 гг. до н.э.) открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование пяти типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит (470-370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (410-356 гг. до н.э.) создал геометрическую теорию пропорций (т.е. теорию пропорциональных чисел).
Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед (289-212 гг. до н.э.) открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и других фигур. Он же нашел приближенное значение числа π.
Особая заслуга древнегреческих ученых состоит в том, что они первыми поставили задачу строгого построения геометрических знаний и решили ее в первом приближении. Проблему поставил Платон (428-348 гг. до н.э.). Аристотелю (384-322 гг. до н.э.) – крупнейшему философу, основателю формальной логики – принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе лишь правил логики. Эту задачу пытались решить многие греческие ученые (Гиппократ, Федий).
Евклид (330-275 гг. до н. э.) – крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (в Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное на таком научном уровне, что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «Начала» состоят из 13 книг (глав):
I-VI – планиметрия;
VII-IХ – арифметика в геометрическом изложении;
X – несоизмеримые отрезки;
ХI-ХII – стереометрия.
В «Начала» были включены не все сведения, известные в геометрии. Например, в эти книги не вошли: теория конических сечений, кривые высших порядков.
Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Например, в книге I даны 23 определения. Приведем определения первых четырех понятий:
1 Точка есть то, что не имеет частей.
2 Линия есть длина без ширины.
3 Границы линии суть точки.
Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты и аксиомы. Постулатов у него пять, а аксиом – семь. Вот некоторые из них:
IV И чтобы все прямые углы были равны.
V И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
I Равные порознь третьему равны между собой.
II И если к равным прибавить равные, то получим равные.
VII И совмещающиеся равны.
Евклид не указал, в чем заключается различие между постулатами и аксиомами. До сих пор нет окончательного решения этого вопроса.
Евклид излагает теорию геометрии так, как требовали греческие ученые, особенно Аристотель, т.е. теоремы расположены так, что каждая следующая доказывается только на основе предыдущих. Иначе говоря, Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. В этом и заключается историческая заслуга Евклида перед наукой.
«Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. Эти книги переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий.
Недостатки системы Евклида. С точки зрения современной математики изложение «Начал» следует признать несовершенным. Назовем основные недостатки этой системы:
1) многие понятия включают такие, которые в свою очередь должны быть определены (например, в определениях 1-4 главы 1 используются понятия ширины, длины, границы, которые также должны быть определены);
2) список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. Например, в этом списке нет аксиом порядка, без которых нельзя доказать многие теоремы геометрии; заметим, что на это обстоятельство обратил внимание Гаусс. В указанном списке отсутствуют также определения понятия движения (совмещения) и свойств движения, т.е. аксиом движения. В списке не хватает также аксиомы Архимеда (одной из двух аксиом непрерывности), которая играет важную роль в теории измерений длин отрезков, площадей фигур и объектов тел. Заметим, что на это обратил внимание современник Евклида Архимед;
3) постулат IV явно лишний, его можно доказать как теорему. Особо отметим пятый постулат. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказаны без ссылок на пятый постулат. Попытка минимизировать список аксиом и постулатов, в частности доказать постулат V как теорему, проводилась со времен самого Евклида. Прокл (V в. н. э.), Омар Хайям (1048-1123 гг.), Валлис (XVII в.), Саккери и Ламберт (XVIII в.), Лежандр (1752-1833 гг.) также пытались доказать постулат V как теорему. Их доказательства были ошибочными, но они привели к положительным результатам – к рождению еще двух геометрий (Римана и Лобачевского).
Неевклидовы геометрические системы. Н.Лобачевский (1792-1856 гг.), который открыл новую геометрию – геометрию Лобачевского, также начал с попытки доказательства постулата V.
Николай Иванович развил свою систему до объема «Начал» в надежде получить противоречие. Не получил, но сделал в 1826 г. правильный вывод: существует геометрия, отличная от геометрии Евклида.
На первый взгляд этот вывод кажется недостаточно обоснованным: может быть, развивая его дальше, можно прийти к противоречию. Но этот же вопрос относится и к геометрии Евклида. Иначе говоря, обе геометрии равноправны перед вопросом о логической непротиворечивости. Дальнейшие исследования показали, что из непротиворечивости одной следует непротиворечивость другой геометрии, т.е. имеет место равноправие логических систем.
Лобачевский был первым, но не единственным, кто сделал вывод о существовании другой геометрии. Гаусс (1777-1855 гг.) высказал эту идею еще в 1816 г. в частных письмах, но в официальных публикациях заявление не сделал.
Три года спустя после публикации результатов Лобачевского (в 1829 г.), т.е. в 1832 г., вышла работа венгра Я. Бойяи (1802-1860 гг.), который в 1823 г. пришел к выводу о существовании другой геометрии, но опубликовал позже и в менее развитом, чем у Лобачевского, виде. Поэтому справедливо, что эта геометрия носит имя Лобачевского.
Общему признанию геометрии Лобачевского в значительной степени способствовали работы геометров после Лобачевского. В 1868 г. итальянский математик Э.Бельтрами (1825-1900 гг.) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны (так называемая псевдосфера) имеет место геометрия Лобачевского. Уязвимым местом доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, основанного на интерпретации Бельтрами, было то, что, как показал Д.Гильберт (1862-1943 гг.), в евклидовом пространстве не существует полной поверхности постоянной отрицательной кривизны без особенностей. Поэтому на поверхности постоянной отрицательной кривизны можно интерпретировать только часть плоской геометрии Лобачевского. Этот недостаток был устранен А.Пуанкаре (1854-1912 гг.) и Ф.Клейном (1849-1925 гг.).
Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было вместе с тем и доказательством независимости пятого постулата от остальных. Действительно, в случае зависимости геометрия Лобачевского была бы противоречивой, так как она содержала бы два взаимно исключающих утверждения.
Дальнейшие исследования евклидовой геометрии показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899 г. Гильберт.
Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп:
Аксиомы связи (принадлежности);
Аксиомы порядка;
Аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения);
Аксиомы непрерывности;
Аксиома параллельности.
Эти аксиомы (всего их 20) относятся к объектам трех родов: точек, прямых, плоскостей, а также к трем отношениям между ними: «принадлежит», «лежит между», «конгруэнтен». Конкретный смысл точек, прямых, плоскостей и отношений не указан. Они косвенно определены через аксиомы. Благодаря этому построенная на основе аксиом Гильберта геометрия допускает различные конкретные реализации.
Геометрическая система, построенная на перечисленных аксиомах, называется евклидовой геометрией, так как совпадает с геометрией, изложенной Евклидом в «Началах».
Геометрические системы, отличные от евклидовой, называются неевклидовыми геометриями. Согласно общей теории относительности, в пространстве ни та, ни другая не являются абсолютно точными, однако в малых масштабах (земные масштабы являются также достаточно «малыми») они вполне пригодны для описания пространства. Причиной того, что на практике применяются евклидовы формулы, является их простота.
Гильберт всесторонне исследовал свою систему аксиом, показал, что она непротиворечива, если не противоречива арифметика (т.е. на самом деле доказана содержательная или так называемая внешняя непротиворечивость). Он завершил многовековые исследования геометров по обоснованию геометрии. Эта работа была высоко оценена и в 1903 г. отмечена премией имени Лобачевского.
В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиомами Гильберта: учебники по геометрии построены на различных модификациях этой системы аксиом.
В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая А.Эйнштейном и другими учеными в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
Предмет математики
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов естествознания и техники. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к совсем иным областям знания.
Известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение дано Ф.Энгельсом, другое – коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н.Бурбаки.
Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение нельзя считать полным определением математики, поскольку оно не указывает метод, цели изучения математики, но отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.
Второй подход отражает методологические установки Н. Бурбаки, которые также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной.
В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается, во-первых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т. е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения различных по своему конкретному содержанию объектов.
Эта фундаментальная идея лежит в основе понятия абстрактной структуры. Н.Бурбаки выделяют три основных типа структур, которые играют важную роль при построении ими современной математики.
Алгебраические структуры. Примерами таких структур являются группы, кольца и поля. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве А конечного числа операций с соответствующими свойствами, описываемых системой аксиом. В качестве элементов множества А могут выступать как математические объекты (числа, матрицы, перемещения, векторы), так и нематематические.
Структуры порядка характеризуются тем, что на рассматриваемом множестве задается отношение порядка (сравнение на числовых множествах), для которого выполняются следующие свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность.
Топологические структуры. Множество М обладает топологической структурой, если каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из М, называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологических структур). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как «окрестность», «предел», «непрерывность».
Кроме основных трех типов структур (порождающих), в математике приходится рассматривать сложные структуры, где порождающие структуры органически связываются с помощью объединяющей системы аксиом. Например, множество действительных чисел является сложной структурой, в которую одновременно входят три основные порождающие структуры.
Общей чертой различных понятий, объединенных родовым названием «математическая структура», является то, что они применимы ко множеству элементов, природа которых не определена. Построить аксиоматическую теорию структуры – значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов, от всяких гипотез относительно их «природы».
На основе сказанного Н.Бурбаки делают вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».
Итак, по Н.Бурбаки, математика – это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса устарело.
Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием приобретает все более сложные формы. Новые теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неевклидовых геометрий.
Вторая особенность этого периода развития математики связана со значительным расширением области ее приложений. Если до этого математика применялась в таких разделах физики, как механика и оптика, то теперь ее результаты находят приложение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли потребности техники в математике: баллистика, машиностроение и др.
Третья особенность математики XIX в. обусловлена усиленным вниманием к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также к критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Г. Рузавин так пишет о математике этого периода: «Если раньше основным предметом ее изучения были метрические количественные отношения между величинами и пространственными формами, то, начиная с середины XIX в. она все больше и больше обращается к анализу взаимосвязей неметрической природы». Такое расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности ее понятий и теорий.
Революционный переворот во взглядах на математику был связан как раз с ее обоснованием, новым пониманием аксиоматического метода. Открытие в 1826 г. Н.Лобачевским того, что замена пятого постулата Евклида о параллельных его отрицанием («Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную»), и выводы из системы аксиом абсолютной геометрии (где выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности) и аксиомы параллельности Лобачевского не привели к логическим погрешностям.
Это развило столь же стройную и богатую содержанием геометрию, как и геометрия Евклида, послужило толчком в изменении взглядов на математику. Сразу встал вопрос о необходимости обоснования новой геометрии, исследовании ее непротиворечивости (из данной системы аксиом нельзя получить двух взаимоисключающих выводов). В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1) решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2) появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формально-логическую систему. Решение этих проблем было предложено Д. Гильбертом.
Новый взгляд на аксиоматический метод в корне изменил прежние представления о геометрии как полуэмпирической науке. Из открытий неевклидовых геометрий и построения их интерпретаций следовало, что евклидова и неевклидовы геометрии не представляют непосредственное описание эмпирических свойств реального физического пространства, а являются абстрактными системами утверждений, истинность которых может быть проверена после соответствующей конкретной интерпретации.
Таким образом, подход Н.Бурбаки к определению математики как «скоплению абстрактных, бессодержательных, математических структур» был предопределен новым пониманием аксиоматического метода.
Однако подход Н.Бурбаки встретил и негативное отношение, поскольку они не считали нужным выяснять отношение рассматриваемых структур к действительному миру. Не имея возможности описать различные оценки философов и математиков и позиции Н.Бурбаки, остановимся на точке зрения ведущих отечественных математиков – А.Колмогорова, А.Александрова, В.Гнеденко. Они считают, что во времена Энгельса математика изучала количественные отношения между величинами и пространственными формами. Теперь она поднялась до изучения абстрактных структур и категорий. Но на этом основании нельзя считать, что объект изучения математики стал иным, что вместо количественного аспекта действительного мира математика стала исследовать нечто принципиально иное, что современный этап ее развития не связан с предшествующими этапами.
В действительности дело заключается в том, что качественные изменения, происшедшие в математике, дают ей возможность исследовать количественные отношения глубже и шире. А.Колмогоров приходит к выводу, что круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира применимо и на современном этапе ее развития.
Эту позицию разделяет и А.Александров: в математике рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений. Б. Гнеденко обращает внимание на то, что, хотя любая ветвь современной математики действительно изучает математические структуры, данное Н.Бурбаки определение отнюдь не находится в антагонистических отношениях с определением Ф.Энгельса, а лишь с определенных позиций его дополняет.
Подводя итог сказанному, можно заключить, что подход к определению математики через математические структуры представляет собой выражение определенного этапа математического познания. Математика была и остается определенным «инструментом» познания мира, его пространственных форм и количественных отношений. В настоящее время, как уже отмечалось, этот «инструмент» проникает в изучение все более сложных процессов и явлений, в том числе и неметрической природы. Без осознания этого фундаментального философского, методологического положения не может быть сформировано целостное представление об общей картине мира.
Математика претендует на статус «особой» науки, изначально превышающей все прочие по уровню точности, истинности и непротиворечивости своих фундаментальных положений. В сфере конечных величин математика действительно относительно точна и непротиворечива; этого достаточно для более или менее адекватного количественного моделирования самых различных конечных по размерности предметных областей. Что же касается сферы бесконечного, то здесь у современной математики есть свои противоречия, которые могут быть преодолены лишь совместными усилиями математиков, философов и логиков.
Аксиомой называют отправное, исходное положение какой-либо теории, находящееся в основе доказательств других положений (например, теорем) этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств. В обыденном сознании и языке аксиомой называют некую истину, настолько бесспорную, что она не требует доказательств.
Итак, аксиоматический метод – это один из способов дедуктивного построения научной теории, при котором выбирается некоторое множество принимаемых без доказательства положений, называемых «началами», «постулатами» или «аксиомами», а все остальные предложения теории получается как логическое следствие этих аксиом.
Аксиоматический метод в математике берет начало по меньшей мере от Евклида, хотя термин «аксиома» часто встречается и у Аристотеля: «… Ибо невозможны доказательства для всего: ведь доказательство должно даваться исходя из чего-то относительно чего-то и для обоснования чего-то. Таким образом, выходит, что все, что доказывается, должно принадлежать к одному роду, ибо все доказывающие науки одинаково пользуются аксиомами. <…> Аксиома обладает наивысшей степенью общности и суть начала всего. <…> Началами доказательства я называю общепринятые положения, на основании которых все строят свои доказательства. <…> О началах знания не нужно спрашивать «почему», а каждое из этих начал само по себе должно быть достоверным. Правдоподобно то, что кажется правильным всем или большинству людей или мудрым – всем или большинству из них или самым известным и славным». (См., например, Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т. 2. Топика. М.: Мысль, 1978. С. 349).
Как видно из последнего фрагмента «Топики» Аристотеля, основанием принятия аксиомы служит некая «достоверность» и даже авторитет «известных и славных» людей. Но в настоящее время это не считается достаточным основанием. Современные точные науки, в том числе сама математика, не прибегают к очевидности как к аргументу истинности: аксиома просто вводится, принимается без доказательств.
Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик и физик, указывал, что термин аксиоматический употребляется иногда в более широком, а иногда и в более узком смысле слова. При самом широком понимании этого термина построение какой-либо теории мы называем «аксиоматическим». В этом отношении Д. Гильберт различает содержательную аксиоматику и формальную аксиоматику .
Первая «…вводит свои основные понятия со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует их как итог определенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что нам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить эту уверенность успехом развиваемой теории. Формальная аксиоматика тоже нуждается в признании очевидности за вещами определенного рода – это необходимо как для осуществления дедукции, так и для установления непротиворечивости самой аксиоматики – однако с тем существенным различием, что этот род очевидности не основывается на каком-либо особом гносеологическом отношении к рассматриваемой конкретной области науки, а остается одним и тем же в случае любой аксиоматики: мы имеем здесь в виду столь элементарный способ познания, что он вообще является предварительным условием любого точного теоретического исследования. <…> Формальная аксиоматизация по необходимости нуждается в содержательной как в своем дополнении, поскольку именно эта последняя поначалу руководит нами в процессе выбора соответствующих формализмов, а затем, когда формальная теория уже имеется в нашем распоряжении, она подсказывает нам, как эта теория должна быть применена к рассматриваемой области действительности. С другой стороны, мы не можем ограничиться содержательной аксиоматикой по той простой причине, что в науке – если не всегда, то все же по преимуществу – мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не может быть обоснована путем ссылки на очевидность ее аксиом или опыт. Более того, ее обоснование и может быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, т.е. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опыта» (курсив мой, – Ю.Е.). (Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. С. 23.)
Таким образом, современно понимаемый аксиоматический метод сводится к следующему: а) выбирается множество принимаемых без доказательств аксиом; б) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; в) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие логически выводить одни предположения из других; г) все остальные теоремы выводятся из «а» на основе «в». Таким методом в настоящее время построены различные разделы математики (геометрия, теория вероятностей, алгебра и др.), физики (механика, термодинамика); делаются попытки аксиоматизации химии и биологии . Гёделем доказана невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (например, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания. При исследовании естественнонаучного знания аксиоматический метод выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода . Употребление в обыденной речи понятия «аксиома» как некоей априорной очевидности уже не отражает сути этого понятия. Такое аристотелевское понимание данного термина в математике и естествознании в настоящее время преодолено. Обсуждение аксиоматики уместно сопроводить фрагментом классического сочинения Карла Раймунда Поппера:
«Теоретическую систему можно назвать аксиоматизированной, если сформулировано множество высказываний-аксиом, удовлетворяющее следующим четырем фундаментальным требованиям: (а) система аксиом должна быть непротиворечивой (то есть в ней не должно быть ни самопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами). Это эквивалентно требованию, что не всякое произвольное высказывание выводимо в такой системе. (b) Аксиомы данной системы должны быть независимыми, то есть система не должна содержать аксиом, выводимых из остальных аксиом. (Иными словами, некоторое высказывание можно назвать аксиомой только в том случае, если оно не выводимо в оставшейся после его удаления части системы). Эти два условия относятся к самой системе аксиом. Что же касается отношения системы аксиом к основной части теории, то аксиомы должны быть: (c) достаточными для дедукции всех высказываний, принадлежащих к аксиоматизируемой теории, и d) необходимыми в том смысле, что система не должна содержать излишних предположений. <…> Я считаю допустимыми две различные интепретации любой системы аксиом. Аксиомы можно рассматривать либо (1) как конвенции , либо (2) как эмпирические, или научные гипотезы » (Поппер К. Р. Логика научного исследования. М.: Республика, 2005. С. 65).
В истории науки можно найти ряд примеров перехода на аксиоматический способ изложения теории. Более того, последовательное применение этого метода к логике доказательства теорем в геометрии позволило переосмыслить эту древнюю науку, открыв мир «неевклидовых геометрий» (А. И. Лобачевский, Я. Бойаи, К.Гаусс, Г. Ф. Б. Риман и др.). Этот метод оказался удобным и продуктивным, позволяющим выстраивать научную теорию буквально как монокристалл (так, в частности, излагается сейчас теоретическая механика и классическая термодинамика). Несколько позже, уже в 30-х годах XX столетия отечественный математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей, которая, как уверенно полагают историки науки, до этого опиралась на эмпирические образы азартных игр («орлянка», кости, карты). В связи с этим есть смысл предложить вниманию читателя два фрагмента из текстов классиков науки и педагогики, которые умели писать, как говорил Бердяев, не только «о чем-то», но и «что-то».
Р. Курант и Г. Роббинс: «В системе Евклида имеется одна аксиома, относительно которой – на основе сопоставления с эмпирическими данными, с привлечением туго натянутых нитей или световых лучей – никак нельзя сказать, является ли она «истинной». Это знаменитый постулат о параллельных , утверждающий, что через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Своеобразной особенностью этой аксиомы является то, что содержащееся в ней утверждение касается свойств прямой на всем ее протяжении , причем прямая предполагается неограниченно продолженной в обе стороны: сказать, что две прямые параллельны, – значит утверждать, что у них нельзя обнаружить общей точки, как бы далеко их ни продолжать, Вполне очевидно, что в пределах некоторой ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была обширна, напротив, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. Так как максимально возможная длина линейки, нити, даже светового луча, прослеживаемого с помощью телескопа, непременно конечна и так как внутри круга конечного радиуса существует много прямых, проходящих через данную точку и в пределах круга не встречающихся с данной прямой, то отсюда следует, что постулат Евклида никогда не может быть проверен экспериментально. <…> Венгерский математик Бойаи и русский математик Лобачевский положили конец сомнениям, построивши во всех деталях геометрическую систему, в которой аксиома параллельности была отвергнута. Когда Бойаи послал свою работу «королю математики» Гауссу, от которого с нетерпением ждал поддержки, то получил в ответ уведомление, что самим Гауссом открытие было сделано раньше, но он воздержался в свое время от публикации результатов, опасаясь слишком шумных обсуждений.
Посмотрим, что же означает независимость аксиомы параллельности. Эту независимость следует понимать в том смысле, что возможно свободное от внутренних противоречий построение «геометрических» предложений о точках, прямых и т.д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена противоположной. Такое построение называется неевклидовой геометрией (курсив мой, – Ю.Е.). Нужно было интеллектуальное бесстрашие Гаусса, Бойаи и Лобачевского, чтобы осознать, что геометрия, основанная не на евклидовой системе аксиом, может быть абсолютно непротиворечивой (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Мы умеем теперь строить простые «модели» такой геометрии, удовлетворяющие всем аксиомам Евклида, кроме аксиомы параллельности» (Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 250).
Различные варианты неевклидовых геометрий (например, геометрия Римана, а также геометрия в пространстве более чем трех измерений) позже нашли применение в построении теорий, относящихся к микромиру (релятивистская квантовая механика, физика элементарных частиц) и, напротив, к мегамиру (общая теория относительности).
Наконец, мнение отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова: «Теория вероятностей или математическая дисциплина может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Всякая аксиоматическая (абстрактная) теория допускает, как известно, бесконечное число конкретных интерпретаций. Таким образом, и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. <…> Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения из нее дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятий случайного события и его вероятности. Существуют также другие системы аксиоматического построения теории вероятностей, а именно такие, в которых понятие вероятностей не относится к числу основных понятий, а само выражается через другие понятия [сноска: Ср., например, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Wien, Fr. Deuticke, 1931; Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 2-е изд., Москва, ГТТИ, 1934.]. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятности» (Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. С. 9).
Аксиоматический метод
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Аксиоматический метод |
| Рубрика (тематическая категория) | История |
Аксиомой называют отправное, исходное положение какой-либо теории, находящееся в базе доказательств других положений (к примеру, теорем) этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств. В обыденном сознании и языке аксиомой называют некую истину, настолько бесспорную, что она не требует доказательств.
Итак, аксиоматический метод - ϶ᴛᴏ один из способов дедуктивного построения научной теории, при котором выбирается неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ множество принимаемых без доказательства положений, называемых ʼʼначаламиʼʼ, ʼʼпостулатамиʼʼ или ʼʼаксиомамиʼʼ, а все остальные предложения теории получается как логическое следствие этих аксиом.
Аксиоматический метод в математике берет начало по меньшей мере от Евклида, хотя термин ʼʼаксиомаʼʼ часто встречается и у Аристотеля: ʼʼ… Ибо невозможны доказательства для всего: ведь доказательство должно даваться исходя из чего-то относительно чего-то и для обоснования чего-то. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выходит, что все, что доказывается, должно принадлежать к одному роду, ибо все доказывающие науки одинаково пользуются аксиомами. <…> Аксиома обладает наивысшей степенью общности и суть начала всего. <…> Началами доказательства я называю общепринятые положения, на основании которых все строят свои доказательства. <…> О началах знания не нужно спрашивать ʼʼпочемуʼʼ, а каждое из этих начал само по себе должно быть достоверным. Правдоподобно то, что кажется правильным всем или большинству людей или мудрым – всем или большинству из них или самым известным и славнымʼʼ. (См., к примеру, Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т. 2. Топика. М.: Мысль, 1978. С. 349).
Как видно из последнего фрагмента ʼʼТопикиʼʼ Аристотеля, основанием принятия аксиомы служит некая ʼʼдостоверностьʼʼ и даже авторитет ʼʼизвестных и славныхʼʼ людей. Но в настоящее время это не считается достаточным основанием. Современные точные науки, в т.ч. сама математика, не прибегают к очевидности как к аргументу истинности: аксиома просто вводится, принимается без доказательств.
Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик и физик, указывал, что термин аксиоматический употребляется иногда в более широком, а иногда и в более узком смысле слова. При самом широком понимании этого термина построение какой-либо теории мы называем ʼʼаксиоматическимʼʼ. В этом отношении Д. Гильберт различает содержательную аксиоматику и формальную аксиоматику .
Первая ʼʼ…вводит свои основные понятия со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует их как итог определенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что нам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить эту уверенность успехом развиваемой теории. Формальная аксиоматика тоже нуждается в признании очевидности за вещами определенного рода - ϶ᴛᴏ крайне важно как для осуществления дедукции, так и для установления непротиворечивости самой аксиоматики – однако с тем существенным различием, что данный род очевидности не основывается на каком-либо особом гносеологическом отношении к рассматриваемой конкретной области науки, а остается одним и тем же в случае любой аксиоматики: мы имеем здесь в виду столь элементарный способ познания, что он вообще является предварительным условием любого точного теоретического исследования. <…> Формальная аксиоматизация по крайне важно сти нуждается в содержательной как в своем дополнении, поскольку именно эта последняя поначалу руководит нами в процессе выбора соответствующих формализмов, а затем, когда формальная теория уже имеется в нашем распоряжении, она подсказывает нам, как эта теория должна быть применена к рассматриваемой области действительности. С другой стороны, мы не можем ограничиться содержательной аксиоматикой по той простой причине, что в науке – если не всегда, то все же по преимуществу – мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не должна быть обоснована путем ссылки на очевидность ее аксиом или опыт. Более того, ее обоснование и должна быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, ᴛ.ᴇ. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опытаʼʼ (курсив мой, – Ю.Е.). (Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. С. 23.)
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, современно понимаемый аксиоматический метод сводится к следующему: а) выбирается множество принимаемых без доказательств аксиом; б) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; в) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие логически выводить одни предположения из других; г) все остальные теоремы выводятся из ʼʼаʼʼ на базе ʼʼвʼʼ. Таким методом в настоящее время построены различные разделы математики (геометрия, теория вероятностей, алгебра и др.), физики (механика, термодинамика); делаются попытки аксиоматизации химии и биологии . Гёделем доказана невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (к примеру, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания. При исследовании естественнонаучного знания аксиоматический метод выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода . Употребление в обыденной речи понятия ʼʼаксиомаʼʼ как некоей априорной очевидности уже не отражает сути этого понятия. Такое аристотелевское понимание данного термина в математике и естествознании в настоящее время преодолено. Обсуждение аксиоматики уместно сопроводить фрагментом классического сочинения Карла Раймунда Поппера:
ʼʼТеоретическую систему можно назвать аксиоматизированной, в случае если сформулировано множество высказываний-аксиом, удовлетворяющее следующим четырем фундаментальным требованиям: (а) система аксиом должна быть непротиворечивой (то есть в ней не должно быть ни самопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами). Это эквивалентно требованию, что не всякое произвольное высказывание выводимо в такой системе. (b) Аксиомы данной системы должны быть независимыми, то есть система не должна содержать аксиом, выводимых из остальных аксиом. (Иными словами, неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ высказывание можно назвать аксиомой только в том случае, в случае если оно не выводимо в оставшейся после его удаления части системы). Эти два условия относятся к самой системе аксиом. Что же касается отношения системы аксиом к основной части теории, то аксиомы должны быть: (c) достаточными для дедукции всех высказываний, принадлежащих к аксиоматизируемой теории, и d) необходимыми в том смысле, что система не должна содержать излишних предположений. <…> Я считаю допустимыми две различные интепретации любой системы аксиом. Аксиомы можно рассматривать либо (1) как конвенции , либо (2) как эмпирические, или научные гипотезы ʼʼ (Поппер К. Р. Логика научного исследования. М.: Республика, 2005. С. 65).
В истории науки можно найти ряд примеров перехода на аксиоматический способ изложения теории. Более того, последовательное применение этого метода к логике доказательства теорем в геометрии позволило переосмыслить эту древнюю науку, открыв мир ʼʼнеевклидовых геометрийʼʼ (А. И. Лобачевский, Я. Бойаи, К.Гаусс, Г. Ф. Б. Риман и др.). Этот метод оказался удобным и продуктивным, позволяющим выстраивать научную теорию буквально как монокристалл (так, в частности, излагается сейчас теоретическая механика и классическая термодинамика). Несколько позже, уже в 30-х годах XX столетия отечественный математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей, которая, как уверенно полагают историки науки, до этого опиралась на эмпирические образы азартных игр (ʼʼорлянкаʼʼ, кости, карты). В связи с этим есть смысл предложить вниманию читателя два фрагмента из текстов классиков науки и педагогики, которые умели писать, как говорил Бердяев, не только ʼʼо чем-тоʼʼ, но и ʼʼчто-тоʼʼ.
Р. Курант и Г. Роббинс: ʼʼВ системе Евклида имеется одна аксиома, относительно которой – на базе сопоставления с эмпирическими данными, с привлечением туго натянутых нитей или световых лучей – никак нельзя сказать, является ли она ʼʼистиннойʼʼ. Это знаменитый постулат о параллельных , утверждающий, что через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Своеобразной особенностью этой аксиомы является то, что содержащееся в ней утверждение касается свойств прямой на всем ее протяжении , причем прямая предполагается неограниченно продолженной в обе стороны: сказать, что две прямые параллельны, – значит утверждать, что у них нельзя обнаружить общей точки, как бы далеко их ни продолжать, Вполне очевидно, что в пределах некоторой ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была обширна, напротив, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. Так как максимально возможная длина линейки, нити, даже светового луча, прослеживаемого с помощью телескопа, непременно конечна и так как внутри круга конечного радиуса существует много прямых, проходящих через данную точку и в пределах круга не встречающихся с данной прямой, то отсюда следует, что постулат Евклида никогда не должна быть проверен экспериментально. <…> Венгерский математик Бойаи и русский математик Лобачевский положили конец сомнениям, построивши во всех деталях геометрическую систему, в которой аксиома параллельности была отвергнута. Когда Бойаи послал свою работу ʼʼкоролю математикиʼʼ Гауссу, от которого с нетерпением ждал поддержки, то получил в ответ уведомление, что самим Гауссом открытие было сделано раньше, но он воздержался в свое время от публикации результатов, опасаясь чересчур шумных обсуждений.
Посмотрим, что же означает независимость аксиомы параллельности. Эту независимость следует понимать в том смысле, что возможно свободное от внутренних противоречий построение ʼʼгеометрическихʼʼ предложений о точках, прямых и т.д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена противоположной. Такое построение принято называть неевклидовой геометрией (курсив мой, – Ю.Е.). Нужно было интеллектуальное бесстрашие Гаусса, Бойаи и Лобачевского, чтобы осознать, что геометрия, основанная не на евклидовой системе аксиом, должна быть абсолютно непротиворечивой (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Мы умеем теперь строить простые ʼʼмоделиʼʼ такой геометрии, удовлетворяющие всем аксиомам Евклида, кроме аксиомы параллельностиʼʼ (Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 250).
Различные варианты неевклидовых геометрий (к примеру, геометрия Римана, а также геометрия в пространстве более чем трех измерений) позже нашли применение в построении теорий, относящихся к микромиру (релятивистская квантовая механика, физика элементарных частиц) и, напротив, к мегамиру (общая теория относительности).
Наконец, мнение отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова: ʼʼТеория вероятностей или математическая дисциплина может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Всякая аксиоматическая (абстрактная) теория допускает, как известно, бесконечное число конкретных интерпретаций. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. <…> Аксиоматизация теории вероятностей должна быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора базовых понятий и базовых соотношений. В случае если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения из нее дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятий случайного события и его вероятности. Существуют также другие системы аксиоматического построения теории вероятностей, а именно такие, в которых понятие вероятностей не относится к числу базовых понятий, а само выражается через другие понятия [сноска: Ср., к примеру, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Wien, Fr. Deuticke, 1931; Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 2-е изд., Москва, ГТТИ, 1934.]. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятностиʼʼ (Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. С. 9).
Аксиоматический метод - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Аксиоматический метод" 2017, 2018.
