Artikel ini mengungkap pengertian tegak lurus dua vektor pada suatu bidang dalam ruang tiga dimensi dan mencari koordinat suatu vektor yang tegak lurus terhadap satu atau seluruh pasangan vektor. Topik ini dapat diterapkan pada permasalahan yang melibatkan persamaan garis dan bidang.
Kami akan mempertimbangkan apa yang perlu dan kondisi cukup tegak lurus dua vektor, kita akan menyelesaikannya dengan metode mencari vektor yang tegak lurus terhadap vektor tertentu, kita akan membahas situasi mencari vektor yang tegak lurus dua vektor.
Yandex.RTB RA-339285-1
Syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus dua buah vektor
Mari kita terapkan aturan tentang vektor tegak lurus pada bidang dan ruang tiga dimensi.
Definisi 1
Asalkan sudut antara dua vektor bukan nol sama dengan 90° (π 2 radian) disebut tegak lurus.
Apa artinya ini, dan dalam situasi apa perlu diketahui tegak lurusnya?
Menetapkan tegak lurus dimungkinkan melalui gambar. Saat memplot vektor pada bidang dari poin yang diberikan Anda dapat mengukur sudut di antara keduanya secara geometris. Sekalipun tegak lurus vektor dapat ditentukan, hal ini tidak sepenuhnya akurat. Seringkali, tugas-tugas ini tidak memungkinkan Anda melakukan ini menggunakan busur derajat metode ini hanya berlaku jika tidak ada hal lain yang diketahui tentang vektor.
Kebanyakan kasus pembuktian tegak lurus dua vektor bukan nol pada suatu bidang atau ruang dilakukan dengan menggunakan syarat perlu dan syarat cukup untuk tegak lurus dua buah vektor.
Teorema 1
Hasil kali skalar dua vektor bukan nol a → dan b → sama dengan nol untuk memenuhi persamaan a → , b → = 0 cukup untuk tegak lurusnya.
Bukti 1
Misalkan vektor-vektor tertentu a → dan b → tegak lurus, maka kita akan membuktikan persamaan a ⇀ , b → = 0 .
Dari definisi produk skalar vektor kita tahu bahwa itu sama hasil kali panjang vektor-vektor tertentu dan kosinus sudut di antara vektor-vektor tersebut. Syaratnya a → dan b → tegak lurus, artinya berdasarkan definisi sudut antara keduanya adalah 90°. Maka kita mempunyai a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Bagian kedua dari bukti
Asalkan a ⇀, b → = 0, buktikan tegak lurus a → dan b →.
Faktanya, buktinya bertolak belakang dengan bukti sebelumnya. Diketahui a → dan b → bukan nol, artinya dari persamaan a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ kita mencari kosinusnya. Lalu kita mendapatkan cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Karena cosinusnya nol, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut a →, b → ^ dari vektor a → dan b → sama dengan 90°. Menurut definisi, ini adalah properti yang perlu dan cukup.
Kondisi tegak lurus pada bidang koordinat
Bab produk skalar dalam koordinat menunjukkan pertidaksamaan (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , berlaku untuk vektor-vektor dengan koordinat a → = (ax , a y) dan b → = (b x , b y), pada bidang dan (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y untuk vektor a → = (ax , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) dalam ruang. Syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus dua vektor di bidang koordinat mempunyai bentuk a x b x + a y b y = 0, untuk ruang tiga dimensi a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .
Mari kita praktikkan dan lihat contohnya.
Contoh 1
Periksa sifat tegak lurus dua vektor a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Larutan
Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu mencari produk skalar. Jika menurut syarat sama dengan nol, maka tegak lurus.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Syaratnya terpenuhi, artinya vektor-vektor yang diberikan tegak lurus terhadap bidang.
Menjawab: ya, vektor a → dan b → tegak lurus.
Contoh 2
Diberikan koordinat vektor saya → , j → , k → . Periksa apakah vektor i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → dapat tegak lurus.
Larutan
Untuk mengingat bagaimana koordinat vektor ditentukan, Anda perlu membaca artikel tentang koordinat vektor di sistem persegi panjang koordinat Jadi, kita mengetahui bahwa vektor-vektor tertentu i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → mempunyai koordinat yang bersesuaian (1, - 1, 0) dan (1, 2, 2). Mari kita gantikan nilai numerik dan kita mendapatkan: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Ekspresinya tidak sama dengan nol, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, artinya vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak tegak lurus karena syaratnya tidak terpenuhi.
Menjawab: tidak, vektor i → - j → dan i → + 2 · j → + 2 · k → tidak tegak lurus.
Contoh 3
Diberikan vektor a → = (1, 0, - 2) dan b → = (λ, 5, 1). Temukan nilai λ di mana vektor-vektor ini tegak lurus.
Larutan
Kita gunakan syarat tegak lurus dua vektor dalam ruang dalam bentuk persegi, maka kita peroleh
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Menjawab: vektor-vektornya tegak lurus pada nilai λ = 2.
Ada kalanya pertanyaan tentang tegak lurus tidak mungkin dilakukan bahkan dalam kondisi perlu dan cukup. Mengingat data yang diketahui tentang tiga sisi segitiga pada dua vektor, adalah mungkin untuk menemukannya sudut antar vektor dan memeriksanya.
Contoh 4
Diketahui sebuah segitiga A B C dengan sisi A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Periksa tegak lurus vektor A B → dan A C →.
Larutan
Jika vektor A B → dan A C → tegak lurus, maka segitiga A B C dianggap persegi panjang. Kemudian kita terapkan teorema Pythagoras, dimana B C adalah sisi miring segitiga. Persamaan B C 2 = A B 2 + A C 2 harus benar. Maka 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Artinya A B dan A C adalah kaki-kaki segitiga A B C, maka A B → dan A C → tegak lurus.
Penting untuk mempelajari cara mencari koordinat vektor yang tegak lurus terhadap vektor tertentu. Hal ini dimungkinkan baik di bidang maupun di ruang angkasa, asalkan vektor-vektornya tegak lurus.
Menemukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor tertentu pada suatu bidang.
Sebuah vektor bukan nol a → mungkin dimiliki jumlah yang tak terbatas vektor tegak lurus pada bidang. Mari kita gambarkan ini pada garis koordinat.
Diberikan vektor bukan nol a → terletak pada garis lurus a. Kemudian suatu b → , yang terletak pada sembarang garis yang tegak lurus garis a, menjadi tegak lurus terhadap a → . Jika vektor i → tegak lurus terhadap vektor j → atau salah satu vektor λ j → dengan λ sama dengan sembarang vektor bilangan real kecuali nol, maka mencari koordinat vektor b → tegak lurus a → = (ax , a y) direduksi menjadi himpunan solusi tak hingga. Tetapi perlu dicari koordinat vektor yang tegak lurus a → = (ax , a y) . Untuk melakukannya, perlu dituliskan kondisi tegak lurus vektor-vektor dalam bentuk berikut: a x · b x + a y · b y = 0. Kita mempunyai b x dan b y, yang merupakan koordinat vektor tegak lurus yang diinginkan. Jika a x ≠ 0, nilai b y bukan nol, dan b x dapat dihitung dari pertidaksamaan a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Untuk a x = 0 dan a y ≠ 0, kita menetapkan b x nilai apa pun selain nol, dan mencari b y dari ekspresi b y = - a x · b x a y .
Contoh 5
Diberikan sebuah vektor dengan koordinat a → = (- 2 , 2) . Temukan vektor yang tegak lurus terhadap ini.
Larutan
Mari kita nyatakan vektor yang diinginkan sebagai b → (b x , b y) . Koordinatnya dapat dicari dengan syarat vektor a → dan b → tegak lurus. Maka kita mendapatkan: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Mari kita tugaskan b y = 1 dan substitusikan: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Jadi, dari rumus tersebut kita peroleh b x = - 2 - 2 = 1 2. Artinya vektor b → = (1 2 , 1) adalah vektor yang tegak lurus a → .
Menjawab: b → = (1 2 , 1) .
Jika pertanyaan yang diajukan tentang ruang tiga dimensi, maka masalahnya diselesaikan berdasarkan prinsip yang sama. Untuk vektor tertentu a → = (ax , a y , a z) ada himpunan tak terbatas vektor tegak lurus. Akan memperbaikinya pada bidang koordinat tiga dimensi. Diberikan a → terletak pada garis a. Bidang yang tegak lurus lurus a dilambangkan dengan α. Dalam hal ini, setiap vektor bukan nol b → dari bidang α tegak lurus terhadap a →.
Kita perlu mencari koordinat b → tegak lurus terhadap vektor bukan nol a → = (ax , a y , a z) .
Misalkan b → diberikan dengan koordinat b x , b y dan b z . Untuk menemukannya, perlu menerapkan definisi kondisi tegak lurus dua vektor. Persamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 harus dipenuhi. Dari kondisi a → bukan nol yang artinya salah satu koordinatnya tidak bernilai sama dengan nol. Misalkan a x ≠ 0, (ay ≠ 0 atau a z ≠ 0). Oleh karena itu, kita berhak membagi seluruh pertidaksamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 dengan koordinat ini, kita memperoleh ekspresi b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Kita tetapkan nilai berapapun pada koordinat b y dan b x, hitung nilai b x berdasarkan rumus, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vektor tegak lurus yang diinginkan bernilai a → = (ax, a y, a z).
Mari kita lihat buktinya menggunakan sebuah contoh.
Contoh 6
Diberikan sebuah vektor dengan koordinat a → = (1, 2, 3) . Temukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor yang diberikan.
Larutan
Mari kita nyatakan vektor yang diinginkan dengan b → = (b x , b y , b z) . Berdasarkan syarat vektor-vektornya tegak lurus, hasil kali skalar harus sama dengan nol.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Jika nilainya b y = 1, b z = 1, maka b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Oleh karena itu koordinat vektor b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → adalah salah satu vektor yang tegak lurus terhadap vektor tertentu.
Menjawab: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Menemukan koordinat suatu vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor tertentu
Kita perlu mencari koordinat vektor dalam ruang tiga dimensi. Garis tersebut tegak lurus terhadap vektor-vektor yang tidak segaris a → (ax , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Asalkan vektor a → dan b → segaris, cukup mencari vektor yang tegak lurus a → atau b → dalam soal.
Saat menyelesaikannya, konsep perkalian vektor dari vektor digunakan.
Produk vektor dari vektor a → dan b → adalah vektor yang tegak lurus terhadap a → dan b →. Untuk mengatasi masalah ini, gunakan produk vektor a → × b → . Untuk ruang tiga dimensi berbentuk a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Mari kita lihat perkalian vektor lebih detail menggunakan contoh soal.
Contoh 7
Vektor b → = (0, 2, 3) dan a → = (2, 1, 0) diberikan. Temukan koordinat vektor apa pun yang tegak lurus terhadap data secara bersamaan.
Larutan
Untuk menyelesaikannya, Anda perlu mencari hasil kali vektor dari vektor-vektor. (Silakan lihat paragraf menghitung determinan suatu matriks untuk mencari vektor). Kita mendapatkan:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 saya → + (- 6) j → + 4 k →
Menjawab: (3 , - 6 , 4) - koordinat vektor yang sekaligus tegak lurus terhadap a → dan b → .
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Vektor satuannya adalah: , dimana 
– modul vektor.
Menjawab: 
.
Catatan. Koordinat vektor satuan tidak boleh lebih dari satu.
6.3. Tentukan panjang dan arah kosinus suatu vektor 
. Bandingkan dengan jawaban di paragraf sebelumnya. Menarik kesimpulan.
Panjang suatu vektor adalah modulusnya:
Dan kita dapat mencari arah cosinus menggunakan rumus salah satu cara untuk menentukan vektor:
Dari sini kita melihat bahwa cosinus arah adalah koordinat vektor satuan.
Menjawab: 
,
,
,
.
6.4. Menemukan 
.
Penting untuk melakukan tindakan mengalikan vektor dengan angka, penjumlahan, dan modulus.
Kita mengalikan koordinat vektor dengan bilangan suku demi suku.
Kita menjumlahkan koordinat vektor suku demi suku.
Menemukan modulus vektor.
Menjawab: 
6.5. Tentukan koordinat vektor 
, segaris terhadap vektor 
, mengetahui bahwa 
dan arahnya berlawanan dengan vektor 
.
Vektor 
segaris terhadap vektor 
, yang berarti vektor satuannya sama dengan vektor satuannya 
hanya dengan tanda minus, karena diarahkan ke arah yang berlawanan.
Vektor satuan mempunyai panjang sama dengan 1, artinya jika dikalikan dengan 5 maka panjangnya akan sama dengan lima.
Kami menemukan 
Menjawab: 
6.6. Hitung Produk Titik 
Dan 
. Apakah vektor-vektornya tegak lurus? 
Dan 
,
Dan 
antara mereka sendiri?
Mari kita kerjakan perkalian skalar vektor.
Jika vektor-vektornya tegak lurus, hasil kali skalarnya adalah nol.
Kita melihat bahwa dalam kasus kita adalah vektor 
Dan 
tegak lurus.
Menjawab: 
,
, vektor-vektornya tidak tegak lurus.
Catatan. Arti geometris dari perkalian skalar tidak banyak berguna dalam praktiknya, tetapi masih ada. Hasil dari tindakan tersebut dapat digambarkan dan dihitung secara geometris.
6.7. Temukan pekerjaan selesai poin materi ke mana gaya diterapkan 
, saat memindahkannya dari titik B ke titik C.
Arti fisik dari produk skalar adalah kerja. Vektor gaya ada di sini 
, vektor perpindahannya adalah 
. Dan produk dari vektor-vektor ini akan menjadi usaha yang diperlukan.
Mencari pekerjaan
6.8. Temukan sudut dalam pada sebuah titik A Dan sudut luar di atas C segi tiga ABC .
Dari definisi perkalian skalar vektor, kita memperoleh rumus mencari sudut: .
DI DALAM 
Kita akan mencari sudut dalam sebagai sudut antara vektor-vektor yang berasal dari satu titik.
Untuk mencari sudut luar, Anda perlu menggabungkan vektor-vektor tersebut sehingga keluar dari satu titik. Gambar menjelaskan hal ini.
Perlu dicatat bahwa 
, hanya memiliki koordinat awal yang berbeda.
Menemukan vektor dan sudut yang diperlukan
Jawaban: sudut dalam di titik sudut A = 
, sudut luar di titik sudut B = 
.
6.9. Temukan proyeksi vektor: dan
Mari kita ingat vektor vektor: 
,
,
.
Proyeksinya juga didapat dari perkalian skalar
-proyeksi B pada A.
Vektor yang diperoleh sebelumnya
,
,
Menemukan proyeksi
Menemukan proyeksi kedua
Menjawab: 
,
Catatan. Tanda minus pada saat mencari proyeksi berarti proyeksi tersebut tidak turun ke vektor itu sendiri, melainkan berlawanan arah, ke garis di mana vektor tersebut berada.
6.10. Menghitung 
.
Mari kita kerjakan perkalian vektor dari vektor
Mari kita temukan modulnya
Kita mencari sinus sudut antar vektor dari definisi perkalian vektor dari vektor
Menjawab: 
,
,
.
6.11. Temukan luas segitiga ABC dan panjang ketinggian diturunkan dari titik C.
Arti geometri dari modulus suatu perkalian vektor adalah luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Dan luas suatu segitiga sama dengan setengah luas jajar genjang.
Luas segitiga juga dapat ditemukan sebagai hasil kali tinggi dan alas dibagi dua, dari situlah rumus mencari tinggi dapat diturunkan.
Jadi, kita menemukan tingginya
Menjawab: 
,
.
6.12. Temukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap vektor-vektor tersebut 
Dan 
.
Hasil perkalian titik adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor aslinya. Dan vektor satuan adalah vektor dibagi panjangnya.
Sebelumnya kami menemukan:
,
Menjawab: 
.
6.13. Tentukan besar dan arah kosinus momen gaya 
, diterapkan ke A relatif terhadap titik C.
Arti fisis dari hasil kali vektor adalah momen gaya. Mari kita beri ilustrasi untuk tugas ini.
Menemukan momen kekuatan
Menjawab: 
.
6.14. Apakah vektor-vektor itu berbohong? 
,
Dan 
di pesawat yang sama? Bisakah vektor-vektor ini menjadi basis ruang? Mengapa? Jika bisa, perluas vektornya ke basis ini 
.
Untuk memeriksa apakah vektor-vektor terletak pada bidang yang sama, perlu dilakukan perkalian campuran dari vektor-vektor tersebut.
Hasil kali campuran tidak sama dengan nol, sehingga vektor-vektornya tidak terletak pada bidang yang sama (tidak sebidang) dan dapat membentuk basis. Mari kita terurai 
atas dasar ini.
Mari kita kembangkan berdasarkan basis dengan menyelesaikan persamaan
Jawaban: Vektor 
,
Dan 
jangan berbaring di pesawat yang sama. 
.
6.15. Menemukan 
. Mengapa sama dengan volume limas dengan simpul A, B, C, D dan tingginya diturunkan dari titik A ke alas BCD.
G 
Arti geometris dari hasil kali campuran adalah volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor-vektor ini.
Volume piramida enam kali lebih kecil dari volume paralelepiped.
Volume piramida juga dapat dicari seperti ini:
Kami mendapatkan rumus untuk mencari ketinggian
Menemukan ketinggian
Jawaban: volume = 2,5, tinggi = 
.
6.16. Menghitung 
Dan 
.
– Kami mengundang Anda untuk memikirkan sendiri tugas ini.
- Ayo lakukan pekerjaannya.
Sebelumnya diterima
Menjawab: 
.
6.17. Menghitung
Mari kita lakukan langkah-langkahnya dalam beberapa bagian
3)
Mari kita jumlahkan nilai yang diperoleh
Menjawab: 
.
6.18. Temukan vektor 
, mengetahui bahwa itu tegak lurus terhadap vektor 
Dan 
, dan proyeksinya ke vektor 
sama dengan 5.
Mari kita bagi tugas ini menjadi dua subtugas
1) Temukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor tersebut 
Dan 
panjang sewenang-wenang.
Kita mendapatkan vektor tegak lurus sebagai hasil perkalian vektor
Sebelumnya kami menemukan:
Vektor yang dibutuhkan hanya berbeda panjangnya dari vektor yang diterima
2) Ayo temukan 
melalui persamaan
6.19. Temukan vektor 
, memenuhi persyaratan 
,
,
.
Mari kita pertimbangkan kondisi ini secara lebih rinci.
Ini adalah sistem persamaan linear. Mari kita menyusun dan menyelesaikan sistem ini.
Menjawab: 
6.20. Tentukan koordinat suatu vektor 
, sebidang dengan vektor 
Dan 
, dan tegak lurus terhadap vektor 
.
Dalam tugas ini ada dua syarat: koplanaritas vektor dan tegak lurus, pertama-tama penuhi syarat pertama, lalu syarat kedua.
1) Jika vektor-vektornya koplanar, maka hasil kali campurannya sama dengan nol.
Dari sini kita memperoleh beberapa ketergantungan koordinat vektor
Mari kita cari vektornya 
.
2) Jika vektor-vektornya tegak lurus, maka hasil kali skalarnya adalah nol
Kami telah memperoleh ketergantungan kedua dari koordinat vektor yang diinginkan
Untuk nilai berapa pun 
vektor akan memenuhi kondisi. Mari kita gantikan 
.
Menjawab: 
.
Geometri analitik
Pada bagian pertanyaan, temukan sebuah vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor tertentu yang diberikan oleh penulis Anna Afanasyeva jawaban terbaiknya adalah: Sebuah vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang tidak sejajar ditemukan sebagai hasil kali vektornya xx, untuk menemukannya Anda perlu membuat determinan yang baris pertamanya terdiri dari satuan vektor I,j,k, yang kedua dari koordinat vektor a, yang ketiga dari koordinat vektor b. Penentunya dianggap sebagai perluasan sepanjang baris pertama, dalam kasus Anda, Anda mendapatkan akhv=20i-10k, atau ahv=(20,0,-10).
Jawaban dari 22 jawaban[guru]
Halo! Berikut adalah pilihan topik dengan jawaban atas pertanyaan Anda: temukan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor tertentu
Jawaban dari berbaring[anak baru]
Sebuah vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang tidak sejajar ditemukan sebagai hasil kali vektornya xb, untuk menemukannya perlu dibuat determinannya, yang baris pertamanya terdiri dari vektor satuan I, j, k, yang kedua - dari koordinat dari vektor a, yang ketiga - dari koordinat vektor b. Penentunya dianggap sebagai perluasan sepanjang baris pertama, dalam kasus Anda, Anda mendapatkan akhv=20i-10k, atau ahv=(20,0,-10).
Jawaban dari HAYKA[guru]
Kira-kira selesaikan seperti ini; Tapi pertama-tama, baca semuanya sendiri!! !
Hitung hasil kali skalar vektor d dan r jika d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modulus vektor a adalah 4, modulus vektor b adalah 6. Sudut antara vektor a dan b adalah 60 derajat, vektor c tegak lurus terhadap vektor a dan b.
Titik E dan F masing-masing terletak pada sisi AD dan BC jajaran genjang ABCD, dan AE=ED, BF: FC = 4: 3. a) Nyatakan vektor EF dalam vektor m = vektor AB dan vektor n = vektor AD. b) Dapatkah vektor persamaan EF = x dikalikan dengan vektor CD dapat menampung nilai x berapapun? .
ohm Untuk melakukan hal ini, pertama-tama kami memperkenalkan konsep segmen.
Definisi 1
Ruas kita sebut sebagai bagian dari suatu garis yang dibatasi oleh titik-titik di kedua sisinya.
Definisi 2
Ujung-ujung suatu ruas adalah titik-titik yang membatasinya.
Untuk memperkenalkan definisi vektor, kita menyebut salah satu ujung segmen sebagai permulaannya.
Definisi 3
Kita akan menyebut vektor (segmen berarah) sebagai segmen yang titik batasnya adalah permulaan dan akhir.
Notasi: \overline(AB) adalah vektor AB yang bermula di titik A dan berakhir di titik B.
Jika tidak, dalam satu huruf kecil: \overline(a) (Gbr. 1).
Definisi 4
vektor nol kami akan menyebutkan titik mana pun yang termasuk dalam bidang tersebut.
Simbol: \overline(0) .
Sekarang mari kita perkenalkan secara langsung definisi vektor-vektor collinear.
Kami juga akan memperkenalkan definisi produk skalar, yang akan kami perlukan nanti.
Definisi 6
Hasil kali skalar dari dua vektor tertentu adalah skalar (atau bilangan) yang sama dengan hasil kali panjang kedua vektor tersebut dengan kosinus sudut antara vektor-vektor tersebut.
Secara matematis mungkin terlihat seperti ini:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Perkalian titik juga dapat dicari dengan menggunakan koordinat vektor-vektor sebagai berikut
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Tanda tegak lurus melalui proporsionalitas
Teorema 1
Ke vektor bukan nol tegak lurus satu sama lain, maka produk skalar vektor-vektor tersebut harus sama dengan nol.
Bukti.
Kebutuhan: Mari kita diberikan vektor \overline(α) dan \overline(β) yang masing-masing mempunyai koordinat (α_1,α_2,α_3) dan (β_1,β_2,β_3), dan keduanya saling tegak lurus. Maka kita perlu membuktikan persamaan berikut
Karena vektor \overline(α) dan \overline(β) tegak lurus, maka sudut antara keduanya adalah 90^0. Mari kita cari hasil kali skalar dari vektor-vektor ini menggunakan rumus dari Definisi 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Kecukupan: Biarkan kesetaraan menjadi kenyataan \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Mari kita buktikan bahwa vektor \overline(α) dan \overline(β) akan saling tegak lurus.
Menurut definisi 6, persamaan tersebut akan benar
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Oleh karena itu, vektor \overline(α) dan \overline(β) akan saling tegak lurus.
Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh 1
Buktikan bahwa vektor-vektor yang koordinatnya (1,-5,2) dan (2,1,3/2) tegak lurus.
Bukti.
Mari kita cari hasil kali skalar untuk vektor-vektor ini menggunakan rumus yang diberikan di atas
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Artinya, menurut Teorema 1, vektor-vektor tersebut tegak lurus.
Menemukan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor tertentu menggunakan perkalian silang
Mari kita perkenalkan dulu konsep perkalian vektor.
Definisi 7
Hasil kali vektor dua buah vektor adalah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut, dan panjangnya akan sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dengan sinus sudut antara vektor-vektor tersebut, dan juga vektor ini dengan dua vektor. yang awal memiliki orientasi yang sama dengan sistem kartesius koordinat
Penamaan: \overline(α)х\overline(β) x.
Untuk mencari hasil kali vektor kita akan menggunakan rumus
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Karena vektor hasil perkalian dua vektor tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut, maka vektor tersebut adalah vektor. Artinya, untuk mencari vektor yang tegak lurus dua vektor, Anda hanya perlu mencari hasil kali vektornya.
Contoh 2
Carilah vektor yang tegak lurus terhadap vektor dengan koordinat \overline(α)=(1,2,3) dan \overline(β)=(-1,0,3)
Mari kita cari hasil kali vektor dari vektor-vektor tersebut.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2)x
instruksi
Jika vektor asli digambarkan dalam gambar dalam sistem koordinat dua dimensi persegi panjang dan perlu dibangun garis tegak lurus di sana, lanjutkan dari definisi tegak lurus vektor pada bidang. Dinyatakan bahwa sudut antara sepasang segmen berarah tersebut harus sama dengan 90°. Vektor-vektor semacam itu dapat dibuat dalam jumlah tak terhingga. Oleh karena itu, tariklah apa saja lokasi yang nyaman bidang yang tegak lurus terhadap vektor asal, letakkan sebuah segmen di atasnya, sama dengan panjangnya diberikan sepasang titik terurut dan tetapkan salah satu ujungnya sebagai titik asal vektor tegak lurus. Lakukan ini dengan menggunakan busur derajat dan penggaris.
Jika vektor asli diberikan koordinat dua dimensiā = (X₁;Y₁), asumsikan hasil kali skalar sepasang vektor yang tegak lurus harus sama dengan nol. Artinya, Anda perlu memilih koordinat vektor ō = (X₂,Y₂) yang diinginkan sehingga persamaan (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 akan berlaku nilai bukan nol untuk koordinat X₂, dan hitung koordinat Y₂ menggunakan rumus Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Misalnya, untuk vektor ā = (15;5) akan terdapat vektor ō, dengan absis sama dengan satu dan ordinat sama dengan -(15*1)/5 = -3, yaitu. ō = (1;-3).
Untuk sistem koordinat tiga dimensi dan sistem koordinat ortogonal lainnya, kondisi perlu dan cukup yang sama untuk tegak lurus vektor juga berlaku - produk skalarnya harus sama dengan nol. Oleh karena itu, jika ruas berarah awal diberikan oleh koordinat ā = (X₁,Y₁,Z₁), pilihlah pasangan titik terurut ō = (X₂,Y₂,Z₂) yang tegak lurus terhadap koordinat tersebut yang memenuhi syarat (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cara termudah adalah dengan menetapkan nilai tunggal ke X₂ dan Y₂, dan menghitung Z₂ dari persamaan yang disederhanakan Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Misalnya, untuk vektor ā = (3,5,4) maka akan berbentuk sebagai berikut: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kemudian ambil absis dan ordinat dari vektor tersebut vektor tegak lurus menjadi satu, dan dalam hal ini akan sama dengan -(3+5)/4 = -2.
Sumber:
- tentukan vektornya jika tegak lurus
Mereka disebut tegak lurus vektor, sudut antara 90º. Vektor tegak lurus dibuat menggunakan alat gambar. Jika koordinatnya diketahui, maka Anda dapat memeriksa atau mencari tegak lurus vektornya metode analitis.
Anda akan perlu
- - busur derajat;
- - kompas;
- - penggaris.
instruksi
Buatlah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap vektor yang diberikan. Untuk melakukan ini, pada titik yang merupakan awal vektor, kembalikan tegak lurus terhadap vektor tersebut. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan busur derajat, dengan mengatur sudut 90º. Jika Anda tidak memiliki busur derajat, gunakan kompas untuk melakukannya.
Atur ke titik awal vektor. Gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sembarang. Kemudian buatlah dua lingkaran yang berpusat pada titik-titik di mana lingkaran pertama memotong garis tempat vektor berada. Jari-jari lingkaran ini harus sama satu sama lain dan lebih besar dari lingkaran pertama yang dibuat. Pada titik potong lingkaran, buatlah sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap vektor asal di titik asal, dan gambarkan vektor yang tegak lurus terhadap vektor tersebut.
