Menggunakan ini program matematika Anda dapat menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua metode variabel metode substitusi dan penjumlahan.

Program tersebut tidak hanya memberikan jawaban terhadap permasalahan, tetapi juga memberi solusi terperinci dengan penjelasan langkah penyelesaiannya dengan dua cara yaitu metode substitusi dan metode penjumlahan.

Program ini semoga bermanfaat bagi siswa SMA sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah meningkat.

Aturan untuk memasukkan persamaan

Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.

Saat memasukkan persamaan Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, persamaannya disederhanakan terlebih dahulu. Persamaan setelah penyederhanaan harus linier, yaitu. dari bentuk ax+by+c=0 dengan keakuratan urutan elemen.
Contoh: 6x+1 = 5(x+y)+2

Dalam persamaan, Anda tidak hanya dapat menggunakan bilangan bulat, tetapi juga bilangan bulat bilangan pecahan dalam bentuk desimal dan pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan di desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Contoh: 2,1n + 3,5m = 55

Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Seluruh bagian dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &

Contoh.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Memecahkan sistem persamaan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

JavaScript dinonaktifkan di browser Anda.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulis tentang ini di Formulir umpan balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Memecahkan sistem persamaan linear. Metode substitusi

Urutan tindakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode substitusi:
1) menyatakan satu variabel dari suatu persamaan sistem ke dalam persamaan lain;
2) substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan sistem lain sebagai ganti variabel ini;

$$ \kiri\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \kanan. $$

Mari kita nyatakan y dalam bentuk x dari persamaan pertama: y = 7-3x. Mengganti ekspresi 7-3x ke dalam persamaan kedua alih-alih y, kita memperoleh sistem:
$$ \kiri\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \kanan. $$

Mudah untuk menunjukkan bahwa sistem pertama dan kedua mempunyai solusi yang sama. Pada sistem kedua, persamaan kedua hanya memuat satu variabel. Mari selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Panah Kanan -5x+14-6x=3 \Panah Kanan -11x=-11 \Panah Kanan x=1 $$

Menggantikan angka 1 ke dalam persamaan y=7-3x sebagai ganti x, kita temukan nilai yang sesuai kamu:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Panah Kanan y=4 $$

Pasangan (1;4) - solusi sistem

Sistem persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut setara. Sistem yang tidak memiliki solusi juga dianggap setara.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan penjumlahan

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear - metode penjumlahan. Saat menyelesaikan sistem dengan metode ini, serta saat menyelesaikan dengan metode substitusi, kita berpindah dari sistem tertentu ke sistem ekuivalen lainnya, yang salah satu persamaannya hanya berisi satu variabel.

Urutan tindakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan:
1) mengalikan persamaan suku sistem dengan suku, memilih faktor sehingga koefisien salah satu variabel menjadi angka yang berlawanan;
2) menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan sistem suku demi suku;
3) selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel;
4) temukan nilai yang sesuai dari variabel kedua.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \kiri\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dalam persamaan sistem ini, koefisien y adalah bilangan yang berlawanan. Menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan suku demi suku, kita memperoleh persamaan dengan satu variabel 3x=33. Mari kita ganti salah satu persamaan sistem, misalnya persamaan pertama, dengan persamaan 3x=33. Mari kita ambil sistemnya
$$ \kiri\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dari persamaan 3x=33 kita menemukan bahwa x=11. Substitusikan nilai x ini ke persamaan \(x-3y=38\) kita peroleh persamaan dengan variabel y: \(11-3y=38\). Mari selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Panah Kanan y=-9 \)

Jadi, kami menemukan solusi sistem persamaan dengan penjumlahan: \(x=11; y=-9\) atau \((11;-9)\)

Memanfaatkan fakta bahwa dalam persamaan sistem koefisien y adalah bilangan yang berlawanan, kami mereduksi solusinya menjadi solusi sistem ekuivalen (dengan menjumlahkan kedua ruas setiap persamaan sistem asal), di mana satu persamaan hanya berisi satu variabel.

Buku (buku teks) Abstrak Ujian Unified State Examination dan ujian Unified State Examination online Permainan, teka-teki Fungsi grafik Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus bahasa gaul remaja Direktori sekolah Rusia Katalog lembaga pendidikan menengah Rusia Katalog Universitas Rusia Daftar tugas

Pada pelajaran matematika kelas 7 kita pertama kali bertemu persamaan dengan dua variabel, tetapi mereka dipelajari hanya dalam konteks sistem persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Itulah sebabnya serangkaian masalah di mana kondisi tertentu diperkenalkan pada koefisien persamaan yang membatasinya tidak lagi terlihat. Selain itu, metode penyelesaian masalah seperti “Memecahkan persamaan bilangan asli atau bilangan bulat” juga diabaikan, meskipun dalam Materi Ujian Negara Bersatu dan seterusnya tes masuk Permasalahan seperti ini semakin sering terjadi.

Persamaan manakah yang disebut persamaan dengan dua variabel?

Jadi misalnya persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 adalah persamaan dua variabel.

Perhatikan persamaan 2x – y = 1. Menjadi benar jika x = 2 dan y = 3, sehingga pasangan nilai variabel ini merupakan penyelesaian dari persamaan yang dimaksud.

Jadi, penyelesaian persamaan apa pun dengan dua variabel adalah himpunan pasangan terurut (x; y), nilai variabel yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.

Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat:

A) punya satu solusi. Misalnya persamaan x 2 + 5y 2 = 0 memiliki satu-satunya keputusan (0; 0);

B) memiliki banyak solusi. Misalnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 penyelesaian: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) tidak punya solusi. Misalnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai solusi;

G) mempunyai banyak solusi yang tak terhingga. Misalnya, x + y = 3. Solusi persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang jumlahnya sama dengan 3. Himpunan solusi persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dimana k adalah sembarang bilangan real.

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel adalah metode yang didasarkan pada memfaktorkan ekspresi, mengisolasi kuadrat lengkap, dan menggunakan properti persamaan kuadrat, ekspresi terbatas, metode penilaian. Persamaan tersebut biasanya diubah menjadi bentuk yang dapat diperoleh sistem untuk menemukan hal-hal yang tidak diketahui.

Faktorisasi

Contoh 1.

Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.

Larutan.

Kami mengelompokkan suku-suku untuk tujuan faktorisasi:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Dari setiap tanda kurung kita ambil faktor persekutuannya:

kamu(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Kita mempunyai:

y = 2, x – bilangan real apa pun atau x = -1, y – bilangan real apa pun.

Dengan demikian, jawabannya semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.

Sama dengan nol tidak angka negatif

Contoh 2.

Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Larutan.

Pengelompokan:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sekarang tiap tanda kurung bisa dijumlahkan menggunakan rumus selisih kuadrat.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Jumlah dua ekspresi non-negatif adalah nol hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.

Artinya x = 2/3 dan y = 3/2.

Jawaban: (2/3; 3/2).

Metode estimasi

Contoh 3.

Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Larutan.

Di setiap tanda kurung kami memilih kotak lengkap:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita perkirakan arti ungkapan dalam tanda kurung.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka ruas kiri persamaan selalu minimal 2. Kesetaraan dapat terjadi jika:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, artinya x = -1, y = 2.

Jawaban: (-1; 2).

Mari berkenalan dengan metode lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel derajat kedua. Metode ini terdiri dari memperlakukan persamaan sebagai persegi terhadap beberapa variabel.

Contoh 4.

Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Larutan.

Mari selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat untuk x. Mari kita cari diskriminannya:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan tersebut akan mempunyai solusi hanya jika D = 0, yaitu jika y = 4. Kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan awal dan temukan bahwa x = 3.

Jawaban: (3; 4).

Seringkali dalam persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, mereka menunjukkannya pembatasan variabel.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Larutan.

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut menjadi x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Bagian kanan persamaan yang dihasilkan bila dibagi 5 menghasilkan sisa 2. Oleh karena itu, x 2 tidak habis dibagi 5. Tetapi kuadrat suatu bilangan yang tidak habis dibagi 5 menghasilkan sisa 1 atau 4. Jadi, persamaan tidak mungkin dan tidak ada solusi.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 6.

Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Larutan.

Mari kita soroti kuadrat sempurna di setiap braket:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ruas kiri persamaan selalu lebih besar atau sama dengan 3. Persamaan dimungkinkan asalkan |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Jadi, x = ± 2, y = -3.

Jawaban: (2; -3) dan (-2; -3).

Contoh 7.

Untuk setiap pasangan bilangan bulat negatif (x;y) memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung jumlah (x + y). Harap sebutkan jumlah terkecil dalam jawaban Anda.

Larutan.

Mari kita pilih kotak lengkap:

(x 2 – 2xy + kamu 2) + (kamu 2 + 4kamu + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Karena x dan y bilangan bulat, maka kuadratnya juga bilangan bulat. Kita mendapatkan jumlah kuadrat dua bilangan bulat sama dengan 37 jika kita menjumlahkan 1 + 36. Oleh karena itu:

(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.

Menyelesaikan sistem ini dan memperhitungkan bahwa x dan y negatif, kita menemukan solusi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Jawaban: -17.

Jangan putus asa jika Anda kesulitan menyelesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, Anda dapat menangani persamaan apa pun.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumber aslinya.

Mari kita menganalisis dua jenis solusi sistem persamaan:

1. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode substitusi.
2. Menyelesaikan sistem dengan penjumlahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Ekspres. Dari persamaan apa pun kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan lain, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku perlu:
1. Pilih variabel yang akan kita buat koefisiennya yang identik.
2. Kita menambah atau mengurangi persamaan, sehingga menghasilkan persamaan dengan satu variabel.
3. Selesaikan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Terlihat pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1 yang berarti paling mudah untuk menyatakan variabel x dari persamaan kedua.
x=3+10y

2.Setelah kita menyatakannya, kita substitusikan 3+10y ke persamaan pertama sebagai pengganti variabel x.
2(3+10 tahun)+5 tahun=1

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (buka tanda kurung)
6+20 tahun+5 tahun=1
25 tahun= 1-6
25 tahun=-5 |: (25)
kamu=-5:25
kamu=-0,2

Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafiknya, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potongnya terdiri dari x dan y, carilah x, pada titik pertama yang kita nyatakan, kita substitusikan y ke sana .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Biasanya untuk menulis poin, pertama kita tulis variabel x, dan kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan menggunakan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku.

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Kita memilih suatu variabel, misalkan kita memilih x. Pada persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, pada persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita berhak mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan persamaan kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan variabel x.
__6x-4y=2

5 tahun=32 | :5
kamu=6.4

3. Temukan x. Kita substitusikan y yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan, misalkan ke dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Titik potongnya adalah x=4.6; kamu=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru daring gratis. Tidak bercanda.