1. Frase partisipatif, pada umumnya, terisolasi, terlepas dari lokasinya dalam kaitannya dengan kata kerja predikat.

Misalnya: Meraih balok, menggelengkan kepala, gerombolan kuda(Ser.); Tanpa memakai topi, pergi ke teras(Shol.); Setelah mabuk semalaman, hutan tenggelam dan sunyi, dahan-dahan pinus yang basah terkulai(Burung gereja); Bersandar di kursi empuk yang nyaman di dalam bus listrik, Margarita Nikolaevna sedang mengemudi di sepanjang Arbat(Bulg.); Lisa, melihat Nikolai Vsevolodovich, dengan cepat mengangkat tangannya(Adv.); Setelah[Anna] didorong dengan tongkat dan berlari melewati semak-semak, meninggalkan pusaran salju (Jeda.).

Keadaan yang diungkapkan oleh gerund dan perbuatan frase partisipatif, memiliki arti tambahan sifat predikatif yang melekat pada gerund sebagai bentuk kata kerja. Oleh karena itu, gerund dan frase partisipatif sering dianggap sebagai predikat tambahan.

Misalnya: Saya dan teman saya kembali ke kompartemen kami. wanita tua, meletakkan buku itu dan mencoba menanyakan sesuatu, tidak bertanya dan mulai melihat ke luar jendela(Sebaran) (bandingkan: Wanita tua itu meletakkan bukunya dan mencoba menanyakan sesuatu, tapi dia tidak pernah melakukannya..).

Namun, gerund dan frase partisipatif tidak selalu dapat digantikan dengan bentuk kata kerja terkonjugasi. Maksud mereka tanda-tanda yang berbeda tindakan dan dapat diganti dengan frase partisipatif terisolasi dengan makna adverbial tambahan.

Misalnya: Dokter, tidak bisa diajak bicara wanita menangis , menghela nafas dan berjalan dengan tenang di sekitar ruang tamu. tidak bisa berbicara dengan wanita yang menangis, menghela nafas dan diam-diam berjalan mengitari ruang tamu(Bab).

Kehadiran makna konotasi adverbial itulah yang secara fungsional menyatukan frasa adverbial dan partisipatif.

Banyak participle adverbial dan frase adverbial yang memiliki arti adverbial dapat dibandingkan klausa bawahan kalimat kompleks.

Misalnya: Dilihat dari gerakannya yang ragu-ragu, dari ekspresi wajahnya yang muram, yang gelap sejak senja, dia ingin mengatakan sesuatu(Bab) (bandingkan: Dilihat dari gerakannya yang ragu-ragu...)

2. Frase partisipatif setelahnya konjungsi koordinatif, konjungsi bawahan atau kata kesatuan, dipisahkan dengan koma, meskipun tidak ada intonasi yang tegas(secara intonasi, konjungsi termasuk dalam pergantian).

Misalnya: Dan Korney menoleh sedikit ke arah balok dan, mengamati dengan tatapan penuh perhatian sepatu kuda yang berkedip-kedip di tali kekang, mulai berbicara(Anugerah.); Pangeran mengatakan kepada saya bahwa dia juga akan bekerja dan, setelah mendapatkan uang, kami akan pergi melalui laut ke Batum(MG); Di saku celana berkudanya, Sergei merasakan remah-remah bercinta dan, dengan lembut mengocok isinya ke tangan Anda, melinting sebatang rokok tebal yang kikuk(Burung gereja).

Tergantung pada konteksnya, konjungsi a dapat dimasukkan dalam konstruksi partisipatif atau menghubungkan anggota kalimat utama.

Misalnya: Kita harus memahami hakikat kesadaran perestroika, dan setelah memahami hal ini, kita harus ikut serta perjuangan aktif untuknya. – Kita harus memahami esensi dari restrukturisasi kesadaran, dan, setelah memahami hal ini, kita tidak boleh puas hanya dengan seruan verbal saja.

3. Saat menggabungkan konstruksi adverbial, tanda baca ditempatkan dengan cara yang sama seperti pada anggota kalimat yang homogen.

Misalnya: Dia pergi dengan terhuyung-huyung masih menopang kepalanya dengan telapak tangan kirinya, dan dengan tangan kanannya diam-diam menarik-narik kumis coklatnya (MG).

Jika frasa partisipatif yang berdekatan merujuk pada kata kerja dan konjungsi predikat yang berbeda dan tidak termasuk dalam komposisinya, maka frasa tersebut menonjol sebagai konstruksi independen.

Misalnya: Dia berdiri bersandar pada tumpukan cangkir teh, Dan, melihat sekeliling tanpa tujuan, mengetukkan jari-jarinya pada tongkatnya seperti seruling(MG) ( dia berdiri dan bermain drum).

Frase partisipatif terletak di bagian yang berbeda proposal disiapkan secara mandiri.

Misalnya: Sergei, setelah berdiri selama satu menit lagi, perlahan berjalan menuju tumpukan batu bara dan, dengan hati-hati meletakkan mantel di lantai, duduk di atas sepotong besar antrasit(Burung gereja) ( Sergei menuju... dan duduk); Mendorong pintu dengan dadamu, Sergei melompat dari rumah dan, Tak menghiraukan semak-semak kering yang mengoyak tubuh dan ranting-ranting pinus yang mencambuk wajah, berlari, terengah-engah, maju ke dalam semak-semak hutan(Burung gereja) ( Sergei melompat dan berlari);Mobil, mengetuk sambungan rel, dengan malas bergerak ke belakang lokomotif dan, membunyikan buffer mereka, menjadi diam lagi(Burung gereja) ( Kereta bergerak dan menjadi sunyi);Berhamburan, seperti penyihir terbang, kepang berasap, merah menyala dari bawah, kereta ekspres tenggara melaju di kejauhan, melintasi jalan raya(Anugerah.) ( Kereta South-Eastern Express melaju kencang).

4. Hanya partikel pembatas, hanya partikel yang berdiri sebelum konstruksi adverbial, yang termasuk dalam komposisinya.

Misalnya: Jadi dia hidup tanpa cinta, hanya berharap padanya.

Hal yang sama jika tersedia serikat komparatif, memulai konstruksi adverbial. Misalnya: Di sepanjang tangga yang gelap... dua orang berjalan, lalu tiga... ragu-ragu dan berlama-lama di mana-mana, seolah takut untuk turun ke bisnis (Fed.).

5. Gerund tunggal diisolasi dengan tetap mempertahankan makna verbal. Kondisi isolasinya sama dengan frase partisipatif.

Misalnya: Ombak bermain, dan Shakro, yang duduk di buritan, menghilang dari pandanganku, tenggelam bersama buritan, lalu naik tinggi di atasku dan, sambil berteriak, hampir menimpaku(MG); Sungguh menyenangkan berbaring menghadap ke atas, menyaksikan bintang-bintang bersinar(MG); Berbisik, seolah menari, kakek muncul(MG); Pada awalnya, bahkan di dalam mobil, kami bergerak dengan kecepatan berjalan kaki, sesekali kami mengikis diferensial dan, mundur, mengitari batu.(Aula.); Pintunya berderit dan tertutup. Kegelapan memenuhi gerbong. Hanya bulan, penasaran, yang memandang ke luar jendela(Burung gereja); Karena sudah terbiasa, mataku melihat tumpukan mayat di lantai semen(Burung gereja).

6. Gerund tunggal dan frase partisipatif tidak terisolasi:

1) jika gerund telah kehilangan makna verbalnya.

Misalnya: Kuda berlari perlahan di antara hamparan perbukitan hijau(Anugerah.); Sergei terbaring tak bergerak untuk waktu yang lama(Burung gereja);

2) jika d partisipnya termasuk dalam sirkulasi stabil: bekerja tanpa lelah; lari dengan lidah terjulur; berlari cepat; dengarkan dengan napas tertahan; dengarkan dengan telinga terbuka.

Misalnya: DI DALAM hari-hari yang sulit dia bekerja tanpa lelah bersama kami(Nik.);

3) jika partisip atau frase partisipatif menemukan dirinya di antara anggota yang homogen kalimat bersama dengan bagian pidato lainnya.

Misalnya: Dia berbicara berbisik dan tanpa melihat siapa pun; Klim Samgin berjalan di jalan dengan riang dan tanpa memberi jalan kepada orang yang datang (MG);

4) jika konstruksi adverbial bertindak sebagai modalitas tindakan adverbial dan berdekatan dengan predikat verba(fungsinya mirip dengan kata keterangan).

Misalnya: Ini adalah latihan lakukan sambil duduk di kursi; Latihan ini dilakukan sambil berdiri. Namun, bandingkan dengan peningkatan verbositas: Insinyur, sambil berbaring, membaca karya seni pertambangannya(Fad.) ( insinyur itu berbaring dan membaca).

7. Gerund tunggal mungkin diisolasi atau tidak, dengan mempertimbangkan konteksnya.

Misalnya, ketika memperoleh arti klarifikasi, gerund diisolasi: Anak-anak terus menerus membuat keributan, tidak pernah berhenti(membandingkan: anak-anak membuat keributan tanpa henti).

Terisolasi atau tidaknya suatu gerund mungkin bergantung pada makna predikat verbanya (gerund yang tidak terisolasi dapat diganti dengan kata keterangan).

Misalnya: Shel tanpa henti (berjalan tanpa henti); saya bertanya tanpa henti (gerund menunjukkan tindakan kedua - bertanya, tetapi tidak berhenti melakukannya).

Terisolasi atau tidaknya suatu gerund juga dipengaruhi oleh lokasinya; membandingkan: Dia berjalan di sepanjang jalan taman tanpa menoleh ke belakang. - Tanpa menoleh ke belakang, dia berjalan di sepanjang jalan taman.

8. Isolasi atau non-isolasi suatu gerund mungkin bergantung pada jenisnya. Jadi, participle yang diakhiri dengan -а, -я, lebih sering mengungkapkan arti dari keadaan cara bertindak dan oleh karena itu tidak terisolasi.

Misalnya: Dia masuk sambil tersenyum(membandingkan: Sambil tersenyum, dia memasuki ruangan; Dia masuk tersenyum pada pikiran rahasiamu ).

Participle yang diakhiri dengan -в, -вшы, menyampaikan nuansa makna adverbial lain (alasan, waktu, konsesi), yang berkontribusi pada isolasi.

Misalnya: Dia menjerit ketakutan; Karena ketakutan, dia berteriak.

9. Pergantian frase meskipun, meskipun, meskipun, berdasarkan, dimulai dari, berkat, setelah, melakukan fungsi preposisi turunan dan kombinasi preposisi, terisolasi atau tidak terisolasi sesuai dengan kondisi konteksnya.

Frasa dengan kata meskipun, meskipun, diisolasi.

Misalnya: Meskipun cuaca buruk, kami berangkat; Dalam pertemuan itu mereka mengkritik terlepas dari wajah; Mengantuk, seperti dahan yang tenggelam di kolam tidur, Ney menggendong seorang putra yang tertidur lelap, berserakan meskipun ukurannya kecil, kaki dan lengan yang heroik(Warna); Meski dilarang oleh dokter, saya menulis cerita “Colchis” di Maleevka(Jeda.); Sains harus dilakukan dengan tangan yang bersih.

Ungkapan dengan kata meskipun tidak diisolasi hanya dalam kasus hubungan semantik yang erat dengan kata kerja, dan dalam postposisi.

Misalnya: Dia adalah melakukannya meskipun ada larangan dokter (membandingkan: Meski dilarang oleh dokter, dia melakukannya).

Frasa dengan kata-kata yang dimulai dari, bergantung pada, setelah, bertindak dalam arti preposisi, tidak diisolasi.

Misalnya: Ayo bertindak tergantung pada keadaan (membandingkan: bertindak sesuai keadaan);Mulai Selasa cuaca berubah drastis(membandingkan: Cuaca telah berubah secara dramatis sejak Selasa); Setelah beberapa waktu Vesovshchikov datang(MG).

Jika frasa-frasa tersebut mempunyai arti klarifikasi atau aksesi, maka dipisahkan.

Misalnya: Kami akan bertindak dengan terampil dan cepat, tergantung pada keadaan; Pada minggu lalu, mulai hari Selasa, cuaca berubah drastis.

Pergantian frasa dengan kata-kata berdasarkan dapat memiliki dua arti: dengan peningkatan verbalitas, ketika tindakan yang dilambangkannya berkorelasi dengan subjek, itu terisolasi; jika tidak ada hubungan seperti itu, ia tidak terisolasi.

Misalnya: Ternyata bukan hanya kita saja yang tiba-tiba menyadari perlunya hal tersebut ilmu baru– bionik, kami berusaha untuk mempelajari, memahami, dan memanfaatkan sifat-sifat alam yang hidup semaksimal mungkin; nenek moyang kita melakukan ini jauh sebelum kita, berdasarkan pengetahuan dan kebutuhan Anda (Chiv.). Membandingkan: Dia mengembangkan proyek rumah. – Proyek telah dikembangkan berdasarkan biaya yang direncanakan.

Ungkapan dengan kata terima kasih terisolasi atau tidak tergantung pada tingkat prevalensi dan lokasinya.

Misalnya: Berkat hujan tanahnya jenuh dengan kelembapan. - Bumi, berkat hujan, direndam dalam kelembapan.

Keadaan yang diungkapkan oleh kata benda dan kata keterangan

1. Keadaan yang diungkapkan oleh kata benda dalam bentuk kasus tidak langsung, dapat diisolasi untuk penjelasan insidental atau penekanan semantik.

Misalnya: Dan Natasha, dengan kejutan yang menyakitkan, memandangi orang-orang yang berpakaian rapi(Anugerah.); Aku berjalan dan berjalan di atas pasir yang dingin dan lembap, menggetarkan gigiku untuk menghormati rasa lapar dan kedinginan, dan tiba-tiba, dalam pencarian makanan yang sia-sia, Saat pergi ke belakang salah satu kios, saya melihat di belakangnya sesosok tubuh tergeletak di tanah dengan gaun yang menyedihkan(MG); Salah satu titik di tengah polanya sangat mirip dengan kepala pemilik kursi(MG); Kota kecil yang ditumbuhi tanaman hijau, jika dilihat dari atas, memberikan kesan yang aneh...(MG); Rakit terus berlayar di antara kegelapan dan keheningan (MG); Saat malam tiba, aku karena marah atas kegagalan Anda dan seluruh dunia, memutuskan hal yang agak berisiko...(MG); Pada malam hari melawan angin yang lebih kencang, detasemen sedang menuju ke pelabuhan untuk mendarat(Plat.); Dalam sebelas tahun, selama berkendara sehari-hari pasti telah melalui banyak hal petualangan yang menarik (Bab).

Keadaan seperti itu biasanya membawa muatan semantik tambahan dan identik dengan konstruksi verbal (bandingkan contoh: ...karena dia marah atas kegagalannya dan seluruh dunia; ...saat saya berkendara setiap hari).

2. Paling sering, anggota kalimat keterangan penjelas mengandung preposisi turunan dan kombinasi preposisi (meskipun, mengingat, untuk menghindari, sebagai akibat dari, kadang-kadang, karena, di hadapan, di sesuai dengan, berbeda dengan, berbeda dengan, karena, karena ketidakhadiran, tanpa menghiraukan, dsb.), mewujudkan makna keadaan spesifiknya dan memberinya bentuk belokan.

Misalnya: Balkon busuk berwarna abu-abu kebiruan, karena kurangnya langkah, perlu untuk melompat, tenggelam dalam jelatang, elderberry, euonymus (Bun.); Kesepian dan tidak perlu karena kedamaian ini, suara kuda yang mengunyah dengan damai, karena gurun, tercetak dalam kegelapan dan ada keheningan lagi(Ser.); Metelitsa diam-diam, menatapnya dengan mengejek, menahan pandangannya, sedikit menggerakkan alis hitam satinnya dan dengan seluruh penampilannya menunjukkan bahwa, apa pun, pertanyaan apa yang akan mereka ajukan kepadanya dan bagaimana mereka akan memaksanya untuk menjawabnya, dia tidak akan mengatakan apa pun yang dapat memuaskan mereka yang bertanya(Mode.); Tetapi, bertentangan dengan kemungkinan, matahari terbit dengan warna merah cerah, dan segala sesuatu di dunia berubah menjadi merah jambu, menjadi merah(Sol.).

Mengingat rendahnya prevalensi anggota kalimat tersebut, variasi tanda baca mungkin terjadi, ditentukan oleh urutan kata yang berbeda.

Revolusi dengan preposisi turunan dan kombinasi preposisi tentu terpisahjika terletak di antara subjek dan predikat : memutus hubungan langsung mereka dan berkontribusi pada keluarnya revolusi. Hal yang sama terjadi ketika hubungan alami antara kata-kata yang mengontrol dan mengontrol terputus. Pada posisi lain, terutama pada kalimat yang kurang umum, frasa tersebut tidak memperumit kalimat dengan intonasi tegas khusus dan tidak boleh diisolasi (tanpa penugasan khusus).

Misalnya: Untuk menghindari kebocoran gas Keran dimatikan. - Dengan disabilitas, untuk menghindari kebocoran gas, mengetuk; Dia melakukannya karena kebiasaan. - Dia, karena kebiasaan, melakukannya; Sesuai pesanan kelompok itu dibubarkan. - Grup, sesuai pesanan, dibubarkan; Dengan tidak adanya corpus delicti kasus tersebut dibatalkan. - Kasus, karena kurangnya corpus delicti, dihentikan.

3. Keadaan yang dinyatakan dengan kata benda dapat diberi tanda hubung jika diperlukan penekanan khusus pada keadaan tersebut.

Misalnya: Di bawah kami pertemuan terakhir Oleg meminta untuk membawa buku catatan umum dengan "kerak" yang keras - untuk mencatat sambil berbaring (gas.); Dia[imajinasi kreatif] menciptakan ilmu pengetahuan dan sastra. DAN - pada kedalaman yang sangat dalam– imajinasi kreatif setidaknya Herschel, yang menemukan hukum agung langit berbintang, dan imajinasi kreatif Goethe, yang menciptakan “Faust”, sebagian besar bertepatan satu sama lain(Jeda.); Penyair yang malang - dalam kilat, dalam badai dan guntur– menyanyikan lagu-lagu inspiratif tentang indahnya persahabatan, dorongan yang mulia, kebebasan dan keberanian(Jeda.); Segera setelah anak laki-laki itu lahir, Dyakonov memerintahkan Schwalbe untuk mengadopsi dia dan memberinya nama keluarga Koporsky saat pembaptisan - di tempat kelahiran anak laki-laki di kota Koporye, dekat Oranienbaum (Jeda.).

4.B kasus-kasus khusus untuk penekanan semantik, beberapa keadaan yang diungkapkan oleh kata keterangan dapat diisolasi (dengan atau tanpa kata-kata dependen) . Kondisi isolasinya sama dengan kondisi yang diungkapkan oleh kata benda dalam kasus tidak langsung.

Misalnya: Dia berdiri di depanku, mendengarkan dan tiba-tiba, diam-diam, memperlihatkan giginya dan menyipitkan matanya, berlari ke arahku seperti kucing(MG); Misha mengesampingkan buku itu dan, tidak langsung, menjawab dengan tenang(MG); Jadi, tak terduga untuk semua orang, saya lulus ujian dengan cemerlang(Cupr.).

Biasanya, ketika situasinya berbeda, diungkapkan oleh kata keterangan, koma digunakan, namun, seperti dalam kasus lain, untuk lebih menekankan keadaan, tanda hubung dimungkinkan.

Misalnya: Anak laki-laki itu mendengus karena malu dan tidak percaya, tetapi, menyadari bahwa tidak ada yang buruk, dan sebaliknya, semuanya menjadi sangat menyenangkan, dia mengerutkan hidungnya sehingga hidungnya terangkat, dan juga - cukup kekanak-kanakan- meledak nakal dan tipis(Mode.).

Nilai praktis persamaan diferensial ditentukan oleh fakta bahwa, dengan menggunakannya, dimungkinkan untuk membuat hubungan dengan fisika dasar atau hukum kimia dan seringkali seluruh kelompok variabel yang memilikinya nilai yang besar ketika meneliti masalah teknis.

Penerapan yang paling sederhana sekalipun hukum fisika dengan proses yang terjadi selama kondisi variabel, dapat menyebabkan hubungan yang sangat kompleks antar variabel.

Saat memecahkan masalah fisika dan kimia yang mengarah ke persamaan diferensial, penting untuk menemukannya integral umum persamaan, dan juga menentukan nilai konstanta yang termasuk dalam integral ini, sehingga penyelesaiannya sesuai dengan permasalahan yang diberikan.

Studi tentang proses di mana semua besaran yang diinginkan merupakan fungsi dari hanya satu variabel bebas mengarah pada persamaan diferensial biasa.

Proses keadaan tunak dapat menghasilkan persamaan diferensial parsial.

Dalam kebanyakan kasus, penyelesaian persamaan diferensial tidak mengarah pada pencarian integral; metode perkiraan harus digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Sistem persamaan diferensial digunakan untuk menyelesaikan masalah kinetika.

Yang paling umum dan universal metode numerik menyelesaikan persamaan diferensial biasa adalah metode beda hingga.

Persamaan diferensial biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah yang memerlukan hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas dalam kondisi ketika variabel bebas berubah terus menerus. Pemecahan masalah ini menghasilkan apa yang disebut persamaan beda hingga.

Wilayah perubahan terus-menerus dalam argumen x digantikan oleh sekumpulan titik yang disebut node. Node-node ini membentuk grid perbedaan. Fungsi yang diperlukan dari argumen kontinu kira-kira digantikan oleh fungsi argumen pada grid tertentu. Fungsi ini disebut fungsi grid. Mengganti persamaan diferensial dengan persamaan selisih disebut pendekatannya pada grid. Satu set persamaan perbedaan yang mendekati persamaan aslinya persamaan diferensial dan kondisi awal tambahan disebut skema perbedaan. Skema perbedaan disebut stabil jika perubahan kecil pada data masukan menyebabkan perubahan kecil pada solusi. Skema perbedaan disebut benar jika solusinya ada dan unik untuk setiap data masukan, dan juga jika skema ini stabil.

Saat menyelesaikan soal Cauchy, Anda perlu mencari fungsi y=y(x) yang memenuhi persamaan:

Dan kondisi awal: y = y 0 pada x = x 0.

Mari kita perkenalkan barisan titik x 0, x 1, ... x n dan langkah h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...). Pada setiap titik x i, bilangan y i dimasukkan yang mendekati solusi eksak y. Setelah mengganti turunan pada persamaan awal dengan relasi beda hingga, terjadi transisi dari masalah diferensial untuk perbedaannya:

y i+1 = F(xi , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

dimana saya = 0, 1, 2…

Hal ini menghasilkan metode beda hingga k-langkah. Dalam metode satu langkah, untuk menghitung y i +1, hanya satu nilai yang ditemukan sebelumnya y i yang digunakan pada langkah sebelumnya, dalam metode multi-langkah, beberapa digunakan.

Metode numerik satu langkah yang paling sederhana untuk menyelesaikan masalah Cauchy adalah metode Euler.

y i+1 = y i + h f(xi, y i).

Skema ini merupakan skema selisih akurasi orde pertama.

Jika dalam persamaan y " =f(x,y) sisi kanan ganti dengan nilai rata-rata aritmatika antara f(x i ,y i) dan f(x i+1 ,y i+1), mis. , maka kita mendapatkan skema perbedaan implisit dari metode Euler:

memiliki akurasi urutan kedua.

Dengan mengganti di persamaan yang diberikan y i+1 by y i +h f(x i , y i) skema masuk ke metode Euler dengan perhitungan ulang, yang juga memiliki orde kedua:

Di antara skema perbedaan, ada lebih banyak lagi pesanan tinggi Akurasi yang umum adalah skema metode Runge-Kutta orde keempat:

kamu saya +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), saya = 0, 1, ...

ke 1 = f(xi , y i)

ke 2 = f(xi + , y i + )

ke 3 = f(xi + , y i + )

k 4 = f(x saya +h, y saya +k 3).

Untuk meningkatkan akurasi solusi numerik tanpa menambah waktu komputer secara signifikan, digunakan metode Runge. Esensinya adalah melakukan perhitungan berulang-ulang dengan menggunakan skema selisih yang sama dengan langkah yang berbeda.

Solusi yang disempurnakan dibangun menggunakan serangkaian perhitungan. Jika dua rangkaian perhitungan dilakukan sesuai skema pesanan Ke masing-masing dengan langkah h dan h/2 dan diperoleh nilai fungsi grid y h dan y h /2, maka nilai halus fungsi grid pada node grid dengan langkah h dihitung dengan rumus:

Perkiraan perhitungan

Dalam perhitungan fisika dan kimia jarang diperlukan penggunaan teknik dan rumus yang memberikan solusi eksak. Dalam kebanyakan kasus, metode untuk menyelesaikan persamaan yang memberikan hasil akurat sangatlah rumit atau bahkan tidak ada sama sekali. Biasanya, metode perkiraan pemecahan masalah digunakan.

Saat memecahkan masalah fisika dan kimia yang berkaitan dengan kinetika kimia, dengan pemrosesan data eksperimen sering kali ada kebutuhan untuk menyelesaikannya persamaan yang berbeda. Solusi yang tepat beberapa persamaan menghadirkan kesulitan besar dalam beberapa kasus. Dalam kasus ini, Anda dapat menggunakan metode solusi perkiraan, memperoleh hasil dengan akurasi yang memenuhi tugas. Ada beberapa metode: metode tangen (metode Newton), metode interpolasi linier, metode pengulangan (iterasi), dll.

Misalkan ada persamaan f(x)=0, dan f(x) – fungsi berkelanjutan. Mari kita asumsikan bahwa adalah mungkin untuk memilih nilai a dan b sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) miliki tanda-tanda yang berbeda, misalnya f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Menemukan akar persamaan secara grafis. Untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi, akan lebih mudah jika menggunakan metode grafis. Biarkan persamaannya diberikan:

x n +kapak n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

dimana a, b, …, p, q diberi bilangan.

Dari sudut pandang geometris, persamaannya

Y=x n +kapak n -1 +bx n -2 +…+px+q

mewakili semacam kurva. Anda dapat menemukan sejumlah titiknya dengan menghitung nilai y yang sesuai dengan nilai x sembarang. Setiap titik perpotongan kurva dengan sumbu OX memberikan nilai salah satu akar persamaan ini. Oleh karena itu, mencari akar-akar persamaan dilakukan dengan menentukan titik potong kurva yang bersesuaian dengan sumbu OX.

Metode iterasi. Metode ini terdiri dari mengubah persamaan f(x)=0 untuk diselesaikan menjadi persamaan baru x=j(x) dan, dengan memberikan perkiraan pertama x 1, secara berturut-turut menemukan perkiraan yang lebih akurat x 2 =j(x 1), x 3 =j(x 2) dst. Solusinya dapat diperoleh dengan tingkat akurasi apa pun, asalkan dalam interval antara perkiraan pertama dan akar persamaan |j"(x)|<1.

Metode berikut digunakan untuk menyelesaikan satu persamaan nonlinier:

a) metode setengah pembagian:

Interval isolasi suatu akar real selalu dapat dikurangi dengan membaginya, misalnya menjadi dua, dengan menentukan pada batas bagian mana dari interval awal fungsi f(x) berubah tanda. Kemudian interval yang dihasilkan dibagi lagi menjadi dua bagian, dan seterusnya. Proses ini berlanjut hingga tempat desimal yang disimpan dalam respons tidak lagi berubah.

Kami memilih interval di mana solusinya terkandung. Kita menghitung f(a) dan f(b) jika f(a) > 0 dan f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 dan f(c) > 0, maka a = c dan b = b. Sebaliknya jika f(a)< 0 и f(c) >0 atau f(a) > 0 dan f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) metode tangen (metode Newton):

Biarkan akar real persamaan f(x) = 0 diisolasi pada interval . Mari kita ambil bilangan x 0 pada ruas yang f (x 0) bertanda sama dengan f ’ (x 0). Mari kita tarik garis singgung kurva y = f(x) di titik M0. Sebagai perkiraan nilai akar, kita ambil absis titik potong garis singgung ini dengan sumbu Sapi. Nilai perkiraan akar ini dapat ditemukan dengan menggunakan rumus

Menerapkan teknik ini untuk kedua kalinya pada titik M 1, kita peroleh

dll. Barisan x 0, x 1, x 2, ... yang diperoleh dengan cara ini mempunyai akar yang diinginkan sebagai limitnya. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, digunakan metode Gauss-Seidel iteratif. Masalah-masalah teknologi kimia seperti perhitungan keseimbangan bahan dan panas direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear.

Inti dari metode ini adalah melalui transformasi sederhana, x 1, x 2, ..., x n yang tidak diketahui masing-masing dinyatakan dari persamaan 1.2, ..., n. Tetapkan perkiraan awal dari yang tidak diketahui x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0), substitusikan nilai-nilai ini ke sisi kanan ekspresi x 1 dan hitung x 1 (1). Kemudian substitusikan x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) ke ruas kanan ekspresi x 2 dan carilah x 2 (1), dst. Setelah menghitung x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1), dilakukan iterasi kedua. Proses iterasi dilanjutkan hingga nilai x 1 (k), x 2 (k), ... mendekati, dengan error tertentu, dengan nilai x 1 (k-1), x 2 (k -2), ....

Masalah teknologi kimia seperti perhitungan kesetimbangan kimia, dll direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan nonlinier. Metode iteratif juga digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier. Perhitungan keseimbangan kompleks direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan aljabar nonlinier.

Algoritme penyelesaian sistem menggunakan metode iterasi sederhana mengingatkan pada metode Gauss – Seidel yang digunakan untuk menyelesaikan sistem linier.

Metode Newton mempunyai konvergensi yang lebih cepat dibandingkan metode iterasi sederhana. Hal ini didasarkan pada penggunaan perluasan fungsi F 1 (x 1 , x 2 , … x n) menjadi deret Taylor. Dalam hal ini, suku-suku yang mengandung turunan kedua dibuang.

Misalkan nilai perkiraan dari hal-hal yang tidak diketahui dari sistem yang diperoleh pada iterasi sebelumnya sama dengan a 1, a 2, ...an. Tugasnya adalah menemukan kenaikan nilai-nilai ini Δx 1, Δx 2, ... Δx n, sehingga diperoleh nilai-nilai baru yang tidak diketahui:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = an + Δx n.

Mari kita kembangkan ruas kiri persamaan menjadi deret Taylor, batasi diri kita pada suku-suku linier:

Karena ruas kiri persamaan harus sama dengan nol, maka ruas kanan sama dengan nol. Kami memperoleh sistem persamaan aljabar linier untuk kenaikan Δx.

Nilai F 1, F 2, … F n dan turunan parsialnya dihitung pada x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = an.

Mari kita tulis sistem ini dalam bentuk matriks:

Penentu matriks G bentuk ini disebut Jacobian. Penentu matriks seperti itu disebut Jacobian. Agar solusi unik pada sistem ada, solusi tersebut harus bernilai bukan nol pada setiap iterasi.

Jadi, penyelesaian sistem persamaan dengan metode Newton terdiri dari menentukan matriks Jacobian (turunan parsial) pada setiap iterasi dan menentukan kenaikan Δх 1, Δх 2, ... Δх n terhadap nilai-nilai yang tidak diketahui pada setiap iterasi sebesar menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier.

Untuk menghilangkan kebutuhan untuk menemukan matriks Jacobi pada setiap iterasi, metode Newton yang ditingkatkan diusulkan. Metode ini memungkinkan Anda untuk mengoreksi matriks Jacobian menggunakan nilai F 1 , F 2 , ... , F n yang diperoleh pada iterasi sebelumnya.

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial?

Diasumsikan bahwa pembaca pada khususnya sudah cukup baik dalam menyelesaikan persamaan diferensial persamaan orde kedua yang homogen Dan persamaan orde kedua yang tidak homogen dengan koefisien konstan. Tidak ada yang rumit dalam sistem persamaan diferensial, dan jika Anda merasa nyaman dengan jenis persamaan di atas, maka menguasai sistem tersebut tidak akan sulit.

Ada dua jenis utama sistem persamaan diferensial:

– Sistem persamaan diferensial homogen linier
– Sistem persamaan diferensial linier tidak homogen

Dan dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial:

– Metode eliminasi. Inti dari metode ini adalah ketika menyelesaikan sistem persamaan diferensial direduksi menjadi satu persamaan diferensial.

– Menggunakan persamaan karakteristik(yang disebut metode Euler).

Dalam sebagian besar kasus, sistem persamaan diferensial perlu diselesaikan dengan menggunakan metode pertama. Metode kedua lebih jarang digunakan dalam situasi masalah; sepanjang latihan saya, saya telah menyelesaikan paling banyak 10-20 sistem dengannya. Namun kami juga akan membahasnya secara singkat di paragraf terakhir artikel ini.

Saya segera meminta maaf atas ketidaklengkapan teori materi, namun saya hanya memasukkan ke dalam pelajaran tugas-tugas yang benar-benar dapat ditemui dalam praktek. Anda tidak mungkin menemukan sesuatu yang jatuh dalam hujan meteorit setiap lima tahun sekali, dan dengan kejutan seperti itu Anda harus beralih ke batu bata penyebar khusus.

Sistem persamaan diferensial homogen linier

Sistem persamaan diferensial homogen yang paling sederhana mempunyai bentuk sebagai berikut:

Sebenarnya hampir semua contoh praktis terbatas pada sistem seperti itu =)

Apa yang ada disana?

– ini adalah angka (koefisien numerik). Angka yang paling umum. Khususnya, satu, beberapa, atau bahkan semua koefisien mungkin bernilai nol. Namun hadiah seperti itu jarang diberikan, sehingga jumlahnya seringkali tidak sama dengan nol.

Dan ini adalah fungsi yang tidak diketahui. Variabel yang berperan sebagai variabel bebas adalah “seperti X dalam persamaan diferensial biasa”.

Dan merupakan turunan pertama dari fungsi yang belum diketahui dan masing-masing.

Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan sistem persamaan diferensial?

Ini berarti menemukan seperti fungsi dan yang memuaskan baik yang pertama maupun yang kedua persamaan sistem. Seperti yang Anda lihat, prinsipnya sangat mirip dengan konvensional sistem persamaan linear. Hanya di sana akarnya adalah bilangan, dan di sini adalah fungsinya.

Jawaban yang ditemukan ditulis dalam formulir solusi umum sistem persamaan diferensial:

Dalam tanda kurung kurawal! Fungsi-fungsi ini “dalam satu rangkaian.”

Untuk sistem kendali jarak jauh, Anda dapat memecahkan masalah Cauchy, yaitu menemukan solusi tertentu dari sistem, memenuhi kondisi awal yang diberikan. Solusi tertentu dari sistem juga ditulis dengan kurung kurawal.

Sistem dapat ditulis ulang dengan lebih ringkas sebagai berikut:

Namun secara tradisional, penyelesaian dengan turunan yang ditulis dalam diferensial lebih umum dilakukan, jadi harap segera membiasakan diri dengan notasi berikut:
dan – turunan orde pertama;
dan merupakan turunan orde kedua.

Contoh 1

Memecahkan masalah Cauchy untuk sistem persamaan diferensial dengan kondisi awal, .

Larutan: Dalam permasalahan, sistem paling sering menemui kondisi awal, sehingga hampir semua contoh dalam pelajaran ini akan berkaitan dengan masalah Cauchy. Namun hal ini tidak penting, karena solusi umum masih harus ditemukan seiring berjalannya waktu.

Mari kita selesaikan sistemnya dengan eliminasi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa inti dari metode ini adalah mereduksi sistem menjadi satu persamaan diferensial. Dan saya harap Anda menyelesaikan persamaan diferensial dengan baik.

Algoritma solusinya standar:

1) Ambil persamaan kedua sistem dan kami mengungkapkan darinya:

Kita akan membutuhkan persamaan ini menjelang akhir penyelesaian, dan saya akan menandainya dengan tanda bintang. Di buku teks, kebetulan mereka menemukan 500 notasi, dan kemudian mereka merujuk: "menurut rumus (253) ...", dan mencari rumus ini sekitar 50 halaman ke belakang. Saya akan membatasi diri saya pada satu tanda (*).

2) Bedakan kedua ruas persamaan yang dihasilkan:

Dengan “guratan” prosesnya terlihat seperti ini:

Poin sederhana ini harus jelas; saya tidak akan membahasnya lebih jauh.

3) Mari kita substitusikan dan ke dalam persamaan pertama sistem:

Dan mari kita buat penyederhanaan maksimal:

Hasilnya adalah hal yang paling biasa persamaan orde kedua yang homogen dengan koefisien konstan. Dengan “guratan” tertulis seperti ini: .

– diperoleh akar real yang berbeda, oleh karena itu:
.

Salah satu fungsinya telah ditemukan, setengah jalan tertinggal.

Ya, harap dicatat bahwa kami mendapatkan persamaan karakteristik dengan diskriminan yang “baik”, yang berarti kami tidak mengacaukan apa pun dalam substitusi dan penyederhanaan.

4) Mari kita mulai fungsinya. Untuk melakukan ini, kita mengambil fungsi yang sudah ditemukan dan temukan turunannya. Kami membedakannya berdasarkan:

Mari kita gantikan dan menjadi persamaan (*):

Atau singkatnya:

5) Kedua fungsi sudah ditemukan, mari kita tuliskan solusi umum sistemnya:

Menjawab: solusi pribadi:

Jawaban yang diterima cukup mudah untuk diperiksa; verifikasi dilakukan dalam tiga langkah:

1) Periksa apakah kondisi awal benar-benar terpenuhi:

Kedua kondisi awal terpenuhi.

2) Mari kita periksa apakah jawaban yang ditemukan memenuhi persamaan pertama sistem.

Kami mengambil fungsi dari jawabannya dan temukan turunannya:

Mari kita gantikan , Dan ke dalam persamaan pertama sistem:

Persamaan yang benar diperoleh, artinya jawaban yang ditemukan memenuhi persamaan pertama sistem.

3) Mari kita periksa apakah jawabannya memenuhi persamaan kedua sistem

Kami mengambil fungsi dari jawabannya dan mencari turunannya:

Mari kita gantikan , Dan ke persamaan kedua sistem:

Persamaan yang benar diperoleh, artinya jawaban yang ditemukan memenuhi persamaan kedua sistem.

Pemeriksaan selesai. Apa yang diperiksa? Pemenuhan kondisi awal telah diverifikasi. Dan, yang paling penting, fakta menunjukkan bahwa ditemukan solusi tertentu memuaskan untuk semua orang persamaan sistem aslinya .

Demikian pula, Anda dapat memeriksa solusi umum , pemeriksaannya akan lebih singkat lagi, karena tidak perlu memeriksa apakah kondisi awal terpenuhi.

Sekarang mari kita kembali ke sistem yang diselesaikan dan mengajukan beberapa pertanyaan. Solusinya dimulai seperti ini: kami mengambil persamaan kedua dari sistem dan menyatakannya. Apakah mungkin untuk menyatakan bukan “X”, tetapi “Y”? Jika kita menyatakan , maka ini tidak akan memberi kita apa pun - dalam ekspresi di sebelah kanan ini terdapat "y" dan "x", jadi kita tidak akan bisa menghilangkan variabel dan mengurangi solusi sistem untuk penyelesaian satu persamaan diferensial.

Pertanyaan kedua. Apakah mungkin untuk memulai penyelesaian bukan dari persamaan kedua, tetapi dari persamaan pertama sistem? Bisa. Mari kita lihat persamaan pertama sistem: . Di dalamnya kita memiliki dua "X" dan satu "Y", jadi "Y" perlu diungkapkan secara ketat melalui "X": . Berikutnya adalah turunan pertama: . Maka Anda harus menggantinya Dan ke persamaan kedua sistem. Penyelesaiannya akan ekuivalen sepenuhnya, bedanya kita cari dulu fungsinya lalu .

Dan untuk metode kedua saja akan ada contoh solusi independen:

Contoh 2

Temukan solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal yang diberikan.

Dalam contoh solusi yang diberikan di akhir pelajaran, persamaan pertama diungkapkan dan keseluruhan tarian dimulai dari ungkapan ini. Cobalah membuat solusi cermin sendiri, poin demi poin, tanpa melihat sampelnya.

Anda juga dapat mengikuti rute Contoh No. 1 - dari persamaan kedua, nyatakan (perhatikan bahwa yang harus dinyatakan adalah “x”). Namun cara ini kurang rasional, karena kita mendapatkan pecahan, yang sangat tidak nyaman.

Sistem persamaan diferensial linier tidak homogen

Hampir sama, hanya saja penyelesaiannya akan sedikit lebih lama.

Sistem persamaan diferensial tak homogen, yang dalam banyak kasus mungkin Anda temui dalam soal, memiliki bentuk berikut:

Dibandingkan dengan sistem homogen, fungsi tertentu yang bergantung pada “te” juga ditambahkan ke setiap persamaan. Fungsi dapat berupa konstanta (dan setidaknya salah satunya tidak sama dengan nol), eksponensial, sinus, cosinus, dll.

Contoh 3

Temukan solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial linier yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan

Larutan: Sistem persamaan diferensial linier yang tidak homogen diberikan; Kami menggunakan metode eliminasi, sedangkan algoritme solusinya sendiri dipertahankan sepenuhnya. Sebagai gantinya, saya akan mulai dengan persamaan pertama.

1) Dari persamaan pertama sistem kita nyatakan:

Ini hal yang penting, jadi saya akan membintanginya lagi. Sebaiknya jangan membuka tanda kurung; mengapa ada pecahan tambahan?

Dan perhatikan lagi bahwa “y”-lah yang dinyatakan dari persamaan pertama – melalui dua “X” dan sebuah konstanta.

2) Bedakan pada kedua sisi:

Konstanta (tiga) telah hilang karena turunan dari konstanta tersebut sama dengan nol.

3) Mari kita gantikan Dan ke persamaan kedua sistem :

Segera setelah substitusi, disarankan untuk menghilangkan pecahan; untuk melakukan ini, kita mengalikan setiap bagian persamaan dengan 5:

Sekarang kita buat penyederhanaannya:

Hasilnya adalah persamaan orde dua linier tak homogen dengan koefisien konstan. Pada hakikatnya, inilah perbedaan keseluruhan dari penyelesaian sistem persamaan homogen yang dibahas pada paragraf sebelumnya.

Catatan: Namun, dalam sistem tak homogen terkadang persamaan homogen dapat diperoleh.

Mari kita cari solusi umum dari persamaan homogen yang bersesuaian:

Mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristik:

– akar kompleks konjugat diperoleh, oleh karena itu:
.

Akar persamaan karakteristik kembali “baik” yang berarti kita berada pada jalur yang benar.

Kami mencari solusi khusus untuk persamaan tak homogen dalam bentuk .
Mari kita cari turunan pertama dan kedua:

Mari kita substitusikan ke ruas kiri persamaan tak homogen:

Dengan demikian:

Perlu dicatat bahwa solusi tertentu mudah dipilih secara lisan, dan cukup dapat diterima, daripada perhitungan yang panjang, untuk menulis: “Jelas bahwa solusi tertentu dari persamaan tak homogen: .”

Sebagai akibat:

4) Kami mencari fungsi. Pertama kita cari turunan dari fungsi yang sudah ditemukan:

Ini tidak terlalu menyenangkan, tetapi turunan seperti itu sering ditemukan di diffuser.

Badai sedang berlangsung, dan sekarang akan ada gelombang kesembilan. Ikat diri Anda dengan tali ke dek.

Mari kita gantikan
dan menjadi persamaan (*):

5) Solusi umum sistem:

6) Temukan solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal :

Terakhir, solusi pribadi:

Soalnya, kisah yang berakhir bahagia, kini Anda bisa berlayar tanpa rasa takut dengan perahu di laut yang tenang di bawah sinar matahari yang lembut.

Menjawab: solusi pribadi:

Omong-omong, jika Anda mulai menyelesaikan sistem ini dari persamaan kedua, perhitungannya akan jauh lebih sederhana (Anda dapat mencobanya), tetapi banyak pengunjung situs yang meminta untuk menganalisis hal-hal yang lebih sulit. Bagaimana Anda bisa menolak? =) Biar ada contoh yang lebih serius.

Contoh yang lebih mudah untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 4

Temukan solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial linier tidak homogen yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan

Saya menyelesaikan soal ini dengan menggunakan contoh Contoh No. 1, yaitu “x” dinyatakan dari persamaan kedua. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, bukan kebetulan saya menggunakan notasi yang berbeda dan menerapkan solusi yang berbeda. Jadi, misalnya, turunan dalam soal yang sama ditulis dalam tiga cara: . Dalam matematika tingkat tinggi Anda tidak perlu takut dengan segala macam coretan, yang utama adalah memahami algoritma solusinya.

Metode persamaan karakteristik(Metode Euler)

Seperti disebutkan di awal artikel, dengan menggunakan persamaan karakteristik, sistem persamaan diferensial jarang perlu diselesaikan, jadi di paragraf terakhir saya akan membahas satu contoh saja.

Contoh 5

Diberikan sistem persamaan diferensial homogen linier

Temukan solusi umum sistem persamaan menggunakan persamaan karakteristik

Larutan: Kami melihat sistem persamaan dan menyusun determinan orde kedua:

Saya rasa semua orang bisa melihat berdasarkan prinsip apa determinan itu disusun.

Mari kita buat persamaan karakteristik, untuk ini, dari setiap bilangan yang ada diagonal utama, kurangi beberapa parameter:

Pada clean copy tentunya harus segera dituliskan persamaan ciri-cirinya, saya jelaskan secara detail step by step agar jelas dari mana asalnya.

Kami memperluas determinannya:

Dan kami menemukan akar persamaan kuadrat:

Jika persamaan karakteristik memiliki dua akar real yang berbeda, maka solusi umum sistem persamaan diferensial berbentuk:

Koefisien dalam eksponen sudah kita ketahui, tinggal mencari koefisiennya saja

1) Pertimbangkan akarnya dan substitusikan ke dalam persamaan karakteristik:

(Anda juga tidak perlu menuliskan kedua determinan ini di kertas kosong, namun segera buat sistem di bawah ini secara lisan)