Dalam postingan ini dan beberapa postingan berikutnya kita akan melihat model matematika dari kejadian acak. Model matematika- Ini ekspresi matematika, mewakili variabel acak. Untuk variabel acak diskrit, ekspresi matematika ini dikenal sebagai fungsi distribusi.
Jika soal memungkinkan Anda untuk secara eksplisit menulis ekspresi matematika yang mewakili variabel acak, Anda dapat menghitung probabilitas pasti dari setiap nilainya. Dalam hal ini, Anda dapat menghitung dan membuat daftar semua nilai fungsi distribusi. Berbagai distribusi variabel acak ditemui dalam aplikasi bisnis, sosiologis, dan medis. Salah satu distribusi yang paling berguna adalah binomial.
Distribusi binomial digunakan untuk mensimulasikan situasi yang dicirikan oleh fitur-fitur berikut.
- Sampel terdiri dari sejumlah elemen yang tetap N, mewakili hasil tes tertentu.
- Setiap elemen sampel termasuk dalam salah satu dari dua kategori yang saling eksklusif yang menghabiskan seluruh ruang sampel. Biasanya kedua kategori ini disebut sukses dan gagal.
- Kemungkinan sukses R adalah konstan. Oleh karena itu, kemungkinan kegagalannya adalah 1 – hal.
- Hasil (yaitu keberhasilan atau kegagalan) dari suatu percobaan tidak bergantung pada hasil dari percobaan lainnya. Untuk memastikan independensi hasil, elemen sampel biasanya diperoleh dengan menggunakan dua metode yang berbeda. Setiap elemen sampel secara acak diekstraksi dari yang tak terbatas populasi tanpa pengembalian atau dari populasi terbatas dengan pengembalian.
Unduh catatan dalam atau format, contoh dalam format
Distribusi binomial digunakan untuk memperkirakan jumlah keberhasilan dalam suatu sampel yang terdiri dari N pengamatan. Mari kita ambil pemesanan sebagai contoh. Untuk melakukan pemesanan, pelanggan Saxon Company dapat menggunakan formulir elektronik interaktif dan mengirimkannya ke perusahaan. Sistem informasi kemudian memeriksa kesalahan, informasi yang tidak lengkap atau salah dalam pesanan. Ada pesanan dipertanyakan, ditandai dan disertakan dalam laporan pengecualian harian. Data yang dikumpulkan oleh perusahaan menunjukkan bahwa kemungkinan kesalahan pesanan adalah 0,1. Sebuah perusahaan ingin mengetahui seberapa besar kemungkinan ditemukannya sejumlah pesanan yang salah dalam sampel tertentu. Misalnya, pelanggan mengisi empat formulir elektronik. Berapa probabilitas bahwa semua pesanan akan bebas dari kesalahan? Bagaimana cara menghitung probabilitas ini? Dengan sukses kita akan memahami kesalahan saat mengisi formulir, dan semua hasil lainnya akan dianggap kegagalan. Ingatlah bahwa kami tertarik pada jumlah pesanan yang salah dalam sampel tertentu.
Hasil apa yang bisa kita lihat? Jika sampel terdiri dari empat ordo, satu, dua, tiga, atau keempatnya mungkin salah, dan semuanya mungkin benar. Dapatkah variabel acak yang menjelaskan jumlah formulir yang diisi secara salah dapat mempunyai nilai lain? Hal ini tidak mungkin dilakukan karena jumlah formulir yang salah tidak boleh melebihi ukuran sampel N atau menjadi negatif. Jadi, variabel acak yang mematuhi hukum distribusi binomial mengambil nilai dari 0 hingga N.
Mari kita asumsikan bahwa dalam sampel yang terdiri dari empat ordo, hasil berikut diamati:
Berapa peluang ditemukannya tiga pesanan yang salah dalam sampel yang terdiri dari empat pesanan, dalam urutan yang ditentukan? Karena penelitian pendahuluan menunjukkan bahwa probabilitas kesalahan pengisian formulir adalah 0,10, maka probabilitas hasil di atas dihitung sebagai berikut:
Karena hasilnya tidak bergantung satu sama lain, peluang dari barisan hasil yang ditentukan sama dengan: p*p*(1–p)*p = 0.1*0.1*0.9*0.1 = 0.0009. Jika Anda perlu menghitung jumlah pilihan X N elemen, Anda harus menggunakan rumus kombinasi (1):
dimana n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - faktorial suatu bilangan N, dan 0! = 1 dan 1! = 1 menurut definisi.
Ungkapan ini sering disebut dengan . Jadi, jika n = 4 dan X = 3, banyaknya barisan yang terdiri dari tiga elemen yang diekstraksi dari ukuran sampel 4 ditentukan dengan rumus berikut:
Oleh karena itu, probabilitas mendeteksi tiga pesanan yang salah dihitung sebagai berikut:
(Jumlah kemungkinan urutan) *
(probabilitas barisan tertentu) = 4 * 0,0009 = 0,0036
Demikian pula, Anda dapat menghitung probabilitas bahwa di antara empat pesanan akan ada satu atau dua pesanan yang salah, serta probabilitas bahwa semua pesanan salah atau semuanya benar. Namun seiring bertambahnya ukuran sampel N menentukan probabilitas rangkaian hasil tertentu menjadi lebih sulit. Dalam hal ini, sesuai model matematika, menjelaskan distribusi binomial sejumlah pilihan X objek dari pilihan yang berisi N elemen.
Distribusi binomial
Di mana hal(x)- kemungkinan X keberhasilan untuk ukuran sampel tertentu N dan kemungkinan keberhasilan R, X = 0, 1, … N.
Perlu diketahui bahwa rumus (2) merupakan formalisasi kesimpulan intuitif. Nilai acak X, yang mematuhi distribusi binomial, dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun dalam rentang dari 0 hingga N. Bekerja RX(1 – hal)N – X mewakili probabilitas suatu barisan tertentu yang terdiri dari X keberhasilan dalam ukuran sampel sama dengan N. Nilai menentukan jumlah kemungkinan kombinasi yang terdiri dari X sukses di N tes. Oleh karena itu, untuk sejumlah tes tertentu N dan kemungkinan keberhasilan R probabilitas suatu barisan yang terdiri dari X sukses, setara
P(X) = (banyaknya barisan yang mungkin) * (peluang suatu barisan tertentu) = 
Mari kita perhatikan contoh yang menggambarkan penerapan rumus (2).
1. Misalkan peluang salah mengisi formulir adalah 0,1. Berapa peluang di antara empat formulir yang telah diisi, tiga diantaranya salah? Dengan menggunakan rumus (2), kami menemukan bahwa probabilitas mendeteksi tiga pesanan yang salah dalam sampel yang terdiri dari empat pesanan adalah sama dengan
2. Misalkan peluang salah mengisi formulir adalah 0,1. Berapa peluang bahwa di antara empat formulir yang telah diisi, paling sedikit tiga formulir salah? Seperti ditunjukkan pada contoh sebelumnya, peluang bahwa di antara empat formulir yang telah diisi, tiga diantaranya salah adalah 0,0036. Untuk menghitung peluang bahwa di antara empat formulir yang telah diisi, paling sedikit tiga formulir salah, Anda perlu menjumlahkan peluang bahwa di antara empat formulir yang telah diisi, tiga formulir akan salah dan peluang bahwa di antara empat formulir yang telah diisi semuanya salah. Peluang kejadian kedua adalah
Jadi, peluang bahwa di antara empat formulir yang diisi paling sedikit tiga formulir salah adalah sama dengan
P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037
3. Misalkan peluang salah mengisi formulir adalah 0,1. Berapa peluang bahwa dari empat formulir yang telah diisi, kurang dari tiga formulir yang salah? Kemungkinan kejadian ini
P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Dengan menggunakan rumus (2), kami menghitung setiap probabilitas berikut:
Oleh karena itu, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.
Probabilitas P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Kemudian P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.
Seiring bertambahnya ukuran sampel N perhitungan serupa dengan yang dilakukan pada contoh 3 menjadi sulit. Untuk menghindari komplikasi ini, banyak probabilitas binomial yang ditabulasikan terlebih dahulu. Beberapa dari probabilitas ini ditunjukkan pada Gambar. 1. Misalnya untuk mendapatkan probabilitas bahwa X= 2 jam N= 4 dan P= 0,1, Anda harus mengekstrak dari tabel angka yang terletak di perpotongan garis X= 2 dan kolom R = 0,1.
Beras. 1. Probabilitas binomial di N = 4, X= 2 dan R = 0,1
Distribusi binomial dapat dihitung menggunakan fungsi excel=BINOM.DIST() (Gbr. 2), yang memiliki 4 parameter: jumlah keberhasilan – X, jumlah tes (atau ukuran sampel) – N, kemungkinan sukses – R, parameter integral, yang mengambil nilai TRUE (dalam hal ini, probabilitas dihitung tidak kurang X peristiwa) atau FALSE (dalam hal ini probabilitas dihitung tepat X acara).
Beras. 2. Parameter fungsi =BINOM.DIST()
Untuk ketiga contoh di atas, perhitungannya ditunjukkan pada Gambar. 3 (lihat juga file Excel). Setiap kolom berisi satu rumus. Angka-angka tersebut menunjukkan jawaban pada contoh angka yang bersangkutan).
Beras. 3. Perhitungan distribusi binomial di excel untuk N= 4 dan P = 0,1
Sifat-sifat distribusi binomial
Distribusi binomial bergantung pada parameter N Dan R. Distribusi binomial dapat berupa simetris atau asimetris. Jika p = 0,05, distribusi binomial simetris terlepas dari nilai parameternya N. Namun jika p ≠ 0,05 maka distribusinya menjadi miring. Bagaimana nilai lebih dekat parameter R menjadi 0,05 dan semakin besar ukuran sampelnya N, semakin sedikit asimetri distribusinya. Dengan demikian, distribusi jumlah formulir yang diisi salah menjadi miring ke kanan karena P= 0,1 (Gbr. 4).
Beras. 4. Histogram distribusi binomial pada N= 4 dan P = 0,1
Nilai yang diharapkan distribusi binomial sama dengan produk ukuran sampel N pada kemungkinan keberhasilan R:
(3) M = E(X) =n.p.
Rata-rata, dengan serangkaian pengujian yang cukup panjang dalam sampel yang terdiri dari empat pesanan, mungkin terdapat p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 formulir yang diisi salah.
Deviasi standar distribusi binomial
Misalnya, deviasi standar jumlah formulir yang diisi secara tidak benar dalam akuntansi sistem Informasi sama dengan:
Bahan yang digunakan adalah dari buku Levin et al.Statistik untuk Manajer. – M.: Williams, 2004. – hal. 307–313
Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probabilitas terpenting dari variabel yang bervariasi secara diskrit variabel acak. Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas suatu bilangan M terjadinya suatu peristiwa A V N pengamatan yang saling independen. Seringkali suatu peristiwa A disebut “keberhasilan” suatu pengamatan, dan peristiwa sebaliknya disebut “kegagalan”, tetapi sebutan ini sangat bersyarat.
Kondisi distribusi binomial:
- V total dilakukan N uji coba di mana acara tersebut A mungkin terjadi atau tidak;
- peristiwa A pada setiap percobaan dapat terjadi dengan probabilitas yang sama P;
- tes saling independen.
Kemungkinan bahwa di N acara pengujian A itu akan datang dengan tepat M kali, dapat dihitung dengan menggunakan rumus Bernoulli:
,
Di mana P- kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A;
Q = 1 - P- kemungkinan terjadinya kejadian sebaliknya.
Mari kita cari tahu mengapa distribusi binomial berhubungan dengan rumus Bernoulli seperti yang dijelaskan di atas? . Acara - jumlah keberhasilan di N tes dibagi menjadi beberapa pilihan, yang masing-masing pilihan berhasil dicapai M tes, dan kegagalan - masuk N - M tes. Mari pertimbangkan salah satu opsi ini - B1 . Dengan menggunakan aturan penjumlahan probabilitas, kita mengalikan probabilitas kejadian yang berlawanan:
,
dan jika kita menunjukkan Q = 1 - P, Itu
.
Pilihan lain apa pun yang ada M kesuksesan dan N - M kegagalan. Jumlah pilihan tersebut sama dengan jumlah cara yang dapat dilakukan seseorang N tes dapatkan M kesuksesan.
Jumlah semua probabilitas M nomor kejadian peristiwa A(angka dari 0 sampai N) sama dengan satu:
di mana setiap suku mewakili suku dalam binomial Newton. Oleh karena itu distribusi yang dimaksud disebut distribusi binomial.
Dalam praktiknya, sering kali kita perlu menghitung probabilitas "tidak lebih dari M sukses di N tes" atau "setidaknya M sukses di N tes". Rumus berikut digunakan untuk ini.
Fungsi integral, yaitu kemungkinan F(M) apa yang ada didalam N peristiwa pengamatan A tidak ada lagi yang akan datang M sekali, dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
Pada gilirannya kemungkinan F(≥M) apa yang ada didalam N peristiwa pengamatan A akan datang tidak kurang M sekali, dihitung dengan rumus:
Terkadang lebih mudah untuk menghitung probabilitas itu N peristiwa pengamatan A tidak ada lagi yang akan datang M kali, melalui peluang kejadian sebaliknya:
.
Rumus mana yang digunakan bergantung pada rumus mana yang jumlah sukunya lebih sedikit.
Ciri-ciri distribusi binomial dihitung dengan menggunakan rumus berikut .
Nilai yang diharapkan: .
Dispersi: .
Deviasi standar: .
Distribusi dan perhitungan binomial di MS Excel
Probabilitas binomial P N ( M) dan nilai-nilai fungsi integral F(M) dapat dihitung menggunakan fungsi MS Excel BINOM.DIST. Jendela untuk penghitungan terkait ditunjukkan di bawah (klik kiri untuk memperbesar).
MS Excel mengharuskan Anda memasukkan data berikut:
- jumlah keberhasilan;
- jumlah tes;
- kemungkinan sukses;
- integral - nilai logika: 0 - jika Anda perlu menghitung probabilitas P N ( M) dan 1 - jika kemungkinannya F(M).
Contoh 1. Manajer perusahaan merangkum informasi jumlah kamera yang terjual selama 100 hari terakhir. Tabel tersebut merangkum informasi dan menghitung probabilitas apa yang akan terjual per hari sejumlah tertentu kamera
Hari berakhir dengan keuntungan jika 13 kamera atau lebih terjual. Kemungkinan hari itu akan berjalan dengan baik:
Probabilitas suatu hari akan bekerja tanpa keuntungan:
Misalkan probabilitas suatu hari bekerja dengan keuntungan adalah konstan dan sama dengan 0,61, dan jumlah kamera yang terjual per hari tidak bergantung pada hari tersebut. Kemudian kita bisa menggunakan distribusi binomial, dimana kejadiannya A- hari akan dikerjakan dengan untung, - tanpa untung.
Probabilitas bahwa seluruh 6 hari akan diselesaikan dengan untung:
.
Kami mendapatkan hasil yang sama menggunakan fungsi MS Excel BINOM.DIST (nilai integralnya adalah 0):
P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.
Peluang bahwa dari 6 hari 4 hari atau lebih akan dikerjakan dengan untung:
Di mana 
,
,
Dengan menggunakan fungsi MS Excel BINOM.DIST, kami menghitung probabilitas bahwa dari 6 hari tidak lebih dari 3 hari akan diselesaikan dengan keuntungan (nilai integralnya adalah 1):
P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.
Probabilitas bahwa semua 6 hari akan diselesaikan dengan kerugian:
,
Kita dapat menghitung indikator yang sama menggunakan fungsi MS Excel BINOM.DIST:
P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.
Selesaikan masalahnya sendiri dan lihat solusinya
Contoh 2. Ada 2 bola putih dan 3 bola hitam di dalam guci. Sebuah bola dikeluarkan dari guci, warnanya diatur dan dimasukkan kembali. Upaya ini diulangi sebanyak 5 kali. Banyaknya kemunculan bola putih merupakan peubah acak diskrit X, didistribusikan menurut hukum binomial. Buatlah hukum distribusi variabel acak. Tentukan mode, ekspektasi matematis, dan dispersi.
Mari kita terus menyelesaikan masalah bersama-sama
Contoh 3. Dari layanan kurir kami pergi ke lokasi N= 5 kurir. Setiap kurir mungkin P= 0,3, terlepas dari yang lain, terlambat untuk objek. Variabel acak diskrit X- jumlah kurir yang terlambat. Buatlah deret distribusi untuk variabel acak ini. Temukan ekspektasi matematisnya, variansnya, meannya deviasi standar. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua kurir akan terlambat untuk mendapatkan barang tersebut.
Salam untuk semua pembaca!
Analisis statistik, seperti yang kita ketahui, berkaitan dengan pengumpulan dan pemrosesan data nyata. Bisnis ini bermanfaat, dan seringkali menguntungkan, karena... kesimpulan yang benar memungkinkan Anda menghindari kesalahan dan kerugian di masa depan, dan terkadang menebak dengan benar masa depan ini. Data yang dikumpulkan mencerminkan keadaan beberapa fenomena yang diamati. Data seringkali (tetapi tidak selalu) berupa angka dan dapat dimanipulasi secara matematis untuk mengekstrak informasi tambahan.
Namun tidak semua fenomena diukur dalam skala kuantitatif seperti 1, 2, 3...100500... Suatu fenomena tidak selalu bisa berukuran tak terhingga atau besar. berbagai kondisi. Misalnya, jenis kelamin seseorang bisa M atau F. Penembaknya bisa mengenai sasaran atau meleset. Anda dapat memilih “Mendukung” atau “Menentang”, dan seterusnya. dan seterusnya. Dengan kata lain, data tersebut mencerminkan keadaan atribut alternatif - baik “ya” (peristiwa terjadi) atau “tidak” (peristiwa tidak terjadi). Peristiwa yang terjadi (hasil positif) disebut juga “sukses”. Fenomena seperti ini juga dapat terjadi secara luas dan acak. Oleh karena itu, hal tersebut dapat diukur dan kesimpulan yang valid secara statistik dapat diambil.
Eksperimen dengan data seperti itu disebut Skema Bernoulli, untuk menghormati ahli matematika Swiss terkenal yang menetapkan kapan jumlah besar tes, rasio hasil positif dan jumlah tes cenderung terhadap kemungkinan terjadinya peristiwa ini.
Variabel karakteristik alternatif
Untuk digunakan dalam analisis peralatan matematika, hasil observasi tersebut harus dicatat dalam bentuk numerik. Untuk melakukan ini, hasil positif diberi nomor 1, hasil negatif - 0. Dengan kata lain, kita berhadapan dengan variabel yang hanya dapat mengambil dua nilai: 0 atau 1.
Manfaat apa yang dapat diperoleh dari hal ini? Sebenarnya tidak kalah dari data biasa. Jadi, mudah untuk menghitung jumlah hasil positif - cukup jumlahkan semua nilainya, mis. semua 1 (sukses). Anda dapat melangkah lebih jauh, tetapi ini mengharuskan Anda memasukkan beberapa notasi.
Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah hasil positif (yang sama dengan 1) mempunyai kemungkinan terjadinya. Misalnya, perolehan kepala saat melempar koin adalah ½ atau 0,5. Probabilitas ini secara tradisional dilambangkan huruf latin P. Oleh karena itu, peluang terjadinya peristiwa alternatif sama dengan 1 - hal, yang juga dilambangkan dengan Q, itu adalah q = 1 – hal. Notasi-notasi ini dapat disistematisasikan dengan jelas dalam bentuk tabel distribusi variabel X.
Sekarang kita memiliki daftar nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Kita dapat mulai menghitung karakteristik luar biasa dari variabel acak seperti nilai yang diharapkan Dan penyebaran. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa ekspektasi matematis dihitung sebagai jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya yang sesuai:
Mari kita hitung ekspektasinya menggunakan notasi pada tabel di atas.
Ternyata ekspektasi matematis dari tanda alternatif sama dengan probabilitas kejadian ini - P.
Sekarang mari kita tentukan varians dari atribut alternatif. Izinkan saya juga mengingatkan Anda bahwa dispersi adalah kuadrat rata-rata penyimpangan dari ekspektasi matematis. Rumus umum(untuk data diskrit) berbentuk:
Oleh karena itu varians dari atribut alternatif:
Sangat mudah untuk melihat bahwa dispersi ini memiliki maksimum 0,25 (dengan hal=0,5).
Deviasi standar adalah akar dari varians:
Nilai maksimum tidak melebihi 0,5.
Seperti yang Anda lihat, ekspektasi matematis dan varians dari atribut alternatif memiliki bentuk yang sangat kompak.
Distribusi binomial dari variabel acak
Sekarang mari kita lihat situasinya dari sudut yang berbeda. Memangnya, siapa yang peduli bahwa rata-rata kehilangan kepala per lemparan adalah 0,5? Bahkan mustahil untuk dibayangkan. Lebih menarik untuk menanyakan pertanyaan tentang jumlah kepala yang muncul untuk sejumlah pelemparan tertentu.
Dengan kata lain, peneliti sering kali tertarik pada kemungkinan terjadinya sejumlah peristiwa sukses. Ini mungkin berupa jumlah produk cacat dalam batch yang diuji (1 - cacat, 0 - baik) atau jumlah pemulihan (1 - sehat, 0 - sakit), dll. Jumlah “keberhasilan” tersebut akan sama dengan jumlah semua nilai variabel X, yaitu. jumlah hasil tunggal.
Nilai acak B disebut binomial dan mengambil nilai dari 0 sampai N(pada B= 0 - semua bagian cocok, dengan B = N– semua bagian rusak). Diasumsikan bahwa semua nilai X independen satu sama lain. Mari kita perhatikan ciri-ciri utama variabel binomial, yaitu kita akan menetapkan ekspektasi matematis, varians, dan distribusinya.
Ekspektasi variabel binomial sangat mudah diperoleh. Mari kita ingat bahwa ada jumlah ekspektasi matematis untuk setiap nilai tambah, dan itu sama untuk semua orang, oleh karena itu:
Misalnya, ekspektasi matematis jumlah kepala yang dijatuhkan dalam 100 kali pelemparan adalah 100 × 0,5 = 50.
Sekarang kita menurunkan rumus dispersi variabel binomial. adalah jumlah varians. Dari sini
Standar deviasi, masing-masing
Untuk 100 kali pelemparan uang logam, simpangan bakunya adalah
Terakhir, pertimbangkan distribusinya nilai binomial, yaitu. probabilitas bahwa variabel acak B akan menerima arti yang berbeda k, Di mana 0≤k≤n. Untuk sebuah koin, permasalahannya mungkin terlihat seperti ini: Berapa probabilitas mendapatkan 40 gambar dalam 100 kali pelemparan?
Untuk memahami cara perhitungannya, bayangkan sebuah koin dilempar hanya 4 kali. Kedua belah pihak bisa saja terjatuh setiap saat. Kita bertanya pada diri sendiri: berapa peluang terambilnya 2 gambar dari 4 kali pelemparan. Setiap lemparan tidak tergantung satu sama lain. Artinya, peluang terambilnya kombinasi apa pun akan sama dengan hasil kali peluang hasil tertentu untuk setiap lemparan. Misalkan O sebagai kepala, P sebagai ekor. Maka misalnya salah satu kombinasi yang cocok untuk kita mungkin terlihat seperti OOPP, yaitu:
Peluang kombinasi tersebut sama dengan hasil kali dua peluang mendapatkan gambar dan dua peluang lagi untuk tidak mendapatkan gambar (kejadian sebaliknya, dihitung sebagai 1 - hal), yaitu 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Ini adalah probabilitas salah satu kombinasi yang cocok untuk kita. Namun pertanyaannya adalah tentang jumlah total elang, dan bukan tentang urutan tertentu. Kemudian Anda perlu menjumlahkan probabilitas semua kombinasi yang memiliki tepat 2 gambar. Jelasnya, semuanya sama (produk tidak berubah ketika faktornya diubah). Oleh karena itu, Anda perlu menghitung jumlahnya dan kemudian mengalikannya dengan probabilitas kombinasi tersebut. Mari kita hitung semua kombinasi 4 lemparan 2 kepala: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Total ada 6 opsi.
Oleh karena itu, peluang yang diinginkan untuk mendapatkan 2 kepala setelah 4 kali pelemparan adalah 6×0,0625=0,375.
Namun, menghitung dengan cara ini membosankan. Sudah untuk 10 koin, dapatkan dengan metode brute force total pilihan akan sangat sulit. Itu sebabnya orang pintar dahulu kala menemukan rumus yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kombinasi yang berbeda N elemen oleh k, Di mana N– jumlah total elemen, k– jumlah elemen, opsi pengaturannya dihitung. Kombinasi formula dari N elemen oleh k Apakah ini:
Hal serupa terjadi pada bagian kombinatorik. Siapapun yang ingin menambah ilmunya saya kirimkan ke sana. Oleh karena itu, nama distribusi binomial (rumus di atas adalah koefisien ekspansi binomial Newton).
Rumus untuk menentukan probabilitas dapat dengan mudah digeneralisasikan ke besaran apa pun N Dan k. Hasilnya, rumus distribusi binomial berbentuk sebagai berikut.
Dengan kata lain: banyaknya kombinasi yang memenuhi syarat dikalikan dengan probabilitas salah satunya.
Untuk penggunaan praktis Cukup mengetahui rumus distribusi binomial saja. Atau Anda mungkin tidak mengetahuinya - di bawah ini kami tunjukkan cara menentukan probabilitas dengan menggunakan Excel. Tapi lebih baik mengetahuinya.
Dengan menggunakan rumus ini, kami menghitung peluang terambilnya 40 kepala dalam 100 lemparan:
Atau hanya 1,08%. Sebagai perbandingan, probabilitas ekspektasi matematis percobaan ini, yaitu 50 ekor, adalah sebesar 7,96%. Probabilitas maksimum suatu nilai binomial adalah milik nilai yang sesuai dengan ekspektasi matematis.
Menghitung probabilitas distribusi binomial di Excel
Jika hanya menggunakan kertas dan kalkulator, maka perhitungan menggunakan rumus distribusi binomial, meskipun tidak ada integral, cukup sulit. Misalnya nilainya 100! – memiliki lebih dari 150 karakter. Tidak mungkin menghitungnya secara manual. Sebelumnya, dan bahkan sekarang, rumus perkiraan digunakan untuk menghitung besaran tersebut. DI DALAM saat ini Disarankan menggunakan software khusus, misalnya MS Excel. Dengan demikian, setiap pengguna (bahkan seorang humanis yang terlatih) dapat dengan mudah menghitung probabilitas nilai variabel acak yang terdistribusi secara binomial.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kita akan menggunakan Excel untuk saat ini sebagai kalkulator biasa, yaitu. Mari kita lakukan perhitungan langkah demi langkah menggunakan rumus distribusi binomial. Mari kita hitung, misalnya, peluang terambilnya 50 kepala. Di bawah ini adalah gambar langkah perhitungan dan hasil akhirnya.
Seperti yang terlihat, hasil antara memiliki skala sedemikian rupa sehingga tidak dapat dimasukkan ke dalam sel, meskipun digunakan di mana-mana fungsi sederhana jenis: FAKTOR (perhitungan faktorial), POWER (menaikkan suatu bilangan), serta operator perkalian dan pembagian. Terlebih lagi, perhitungan ini cukup rumit; bagaimanapun juga, ini tidak kompak, karena banyak sel yang terlibat. Ya, dan agak sulit untuk langsung mengetahuinya.
Secara umum, Excel menyediakan fungsi siap pakai untuk menghitung probabilitas distribusi binomial. Fungsinya disebut BINOM.DIST.
Jumlah keberhasilan– jumlah tes yang berhasil. Kami memiliki 50 di antaranya.
Jumlah tes– jumlah pelemparan : 100 kali.
Kemungkinan sukses– peluang munculnya kepala dalam satu kali pelemparan adalah 0,5.
Integral– baik 1 atau 0 ditunjukkan. Jika 0, maka probabilitas dihitung P(B=k); jika 1, maka fungsi distribusi binomial akan dihitung, yaitu. jumlah semua probabilitas dari B=0 sebelum B=k inklusif.
Klik OK dan dapatkan hasil yang sama seperti di atas, hanya semuanya dihitung oleh satu fungsi.
Sangat nyaman. Demi eksperimen, alih-alih parameter terakhir 0, kami menempatkan 1. Kami mendapatkan 0,5398. Ini berarti bahwa dengan 100 kali pelemparan koin, kemungkinan munculnya gambar antara 0 dan 50 hampir 54%. Tapi pada awalnya sepertinya seharusnya 50%. Secara umum perhitungan dilakukan dengan cepat dan mudah.
Seorang analis sejati harus memahami bagaimana suatu fungsi berperilaku (berapa distribusinya), jadi kita akan menghitung probabilitas untuk semua nilai dari 0 hingga 100. Artinya, kita akan mengajukan pertanyaan: berapa probabilitas bahwa tidak ada satu pun kepala akan muncul, maka akan muncul 1 ekor elang, 2, 3, 50, 90 atau 100. Perhitungannya terlihat pada gambar bergerak sendiri berikut ini. Garis biru adalah distribusi binomial itu sendiri, titik merah adalah peluang sejumlah keberhasilan tertentu k.
Seseorang mungkin bertanya apakah distribusi binomial mirip dengan... Ya, sangat mirip. Bahkan Moivre (pada tahun 1733) mengatakan bahwa distribusi binomial dengan sampel besar semakin dekat (saya tidak tahu apa namanya saat itu), tetapi tidak ada yang mendengarkannya. Hanya Gauss, dan kemudian Laplace 60-70 tahun kemudian, yang menemukan kembali dan mempelajari dengan cermat hukum distribusi normal. Grafik di atas dengan jelas menunjukkan bahwa probabilitas maksimum berada pada ekspektasi matematis, dan jika menyimpang dari ekspektasi tersebut, probabilitas tersebut menurun tajam. Sama seperti hukum pada umumnya.
Distribusi binomialnya besar signifikansi praktis, cukup sering terjadi. Dengan menggunakan perhitungan excel dilakukan dengan mudah dan cepat. Jadi Anda bisa menggunakannya dengan aman.
Dengan ini, saya mengusulkan untuk mengucapkan selamat tinggal sampai pertemuan berikutnya. Semua yang terbaik, tetap sehat!
Distribusi binomial distribusi probabilitas banyaknya kejadian suatu kejadian yang berulang tes independen. Jika dalam setiap percobaan peluang terjadinya suatu peristiwa adalah sama dengan R, dan 0 ≤ P≤ 1, maka banyaknya μ kemunculan kejadian tersebut di N uji coba independen ada variabel acak yang mengambil nilai M = 1, 2,.., N dengan probabilitas Di mana Q= 1 - P, A menyala.: Bolshev L.N., Smirnov N.V., Tabel statistik matematika, M., 1965.
-
koefisien binomial (maka dinamakan B.R.). Rumus di atas kadang disebut rumus Bernoulli. Ekspektasi matematis dan varians nilai μ, yang memiliki B. r., adalah sama M(μ) = n.p. Dan D(μ) = npq, masing-masing. Pada umumnya N, berdasarkan teorema Laplace (Lihat teorema Laplace), B. r. mendekati distribusi normal (Lihat Distribusi normal), yang digunakan dalam praktik. Untuk kecil N Anda harus menggunakan tabel B. r.
Besar Ensiklopedia Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .
Lihat apa itu “Distribusi binomial” di kamus lain:
Fungsi probabilitas... Wikipedia
- (distribusi binomial) Distribusi yang memungkinkan Anda menghitung kemungkinan terjadinya sesuatu peristiwa acak, diperoleh sebagai hasil pengamatan suatu rangkaian acara independen, jika probabilitas terjadinya, komponen dasarnya... ... Kamus ekonomi
- (Distribusi Bernoulli) distribusi peluang banyaknya terjadinya suatu peristiwa tertentu selama percobaan independen berulang, jika peluang terjadinya peristiwa tersebut dalam setiap percobaan sama dengan p(0 p 1). Tepatnya nomornya? kejadian pada peristiwa tersebut adalah ... ... Kamus Ensiklopedis Besar
distribusi binomial- - Topik telekomunikasi, konsep dasar distribusi binomial EN...
- (Distribusi Bernoulli), distribusi peluang banyaknya terjadinya suatu peristiwa tertentu selama percobaan independen berulang, jika peluang terjadinya peristiwa tersebut dalam setiap percobaan sama dengan p (0≤p≤1). Yaitu banyaknya μ kemunculan peristiwa ini... ... kamus ensiklopedis
distribusi binomial- 1.49. distribusi binomial Distribusi probabilitas variabel acak diskrit X, mengambil nilai integer dari 0 sampai n, sehingga untuk x = 0, 1, 2, ..., n dan parameter n = 1, 2, ... dan 0< p < 1, где Источник … Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis
Distribusi Bernoulli, distribusi probabilitas suatu variabel acak X, mengambil nilai bilangan bulat dengan probabilitas masing-masing (koefisien binomial; parameter p dari B. r., disebut probabilitas hasil positif, mengambil nilai ... Ensiklopedia Matematika
- (Distribusi Bernoulli), distribusi peluang banyaknya terjadinya suatu peristiwa tertentu selama percobaan bebas yang berulang, jika peluang terjadinya peristiwa tersebut dalam setiap percobaan sama dengan p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
Distribusi probabilitas binomial- (distribusi binomial) Distribusi yang diamati jika hasil setiap eksperimen independen (pengamatan statistik) mengambil salah satu dari dua nilai yang mungkin: menang atau kalah, inklusi atau eksklusi, plus atau ... Kamus ekonomi dan matematika
distribusi probabilitas binomial- Distribusi yang diamati dalam kasus di mana hasil setiap percobaan independen (pengamatan statistik) mengambil salah satu dari dua kemungkinan nilai: menang atau kalah, penyertaan atau pengecualian, plus atau minus, 0 atau 1. Yaitu... ... Panduan Penerjemah Teknis
Buku
- Teori probabilitas dan statistik matematika dalam masalah. Lebih dari 360 soal dan latihan, D. A. Borzykh. Manual yang diusulkan berisi tugas-tugas dengan tingkat kompleksitas yang berbeda-beda. Namun, penekanan utamanya adalah pada tugas-tugas dengan kompleksitas sedang. Hal ini sengaja dilakukan untuk mendorong siswa...
- Teori probabilitas dan statistik matematika dalam soal: Lebih dari 360 soal dan latihan, D. Borzykh. Manual yang diusulkan berisi soal-soal dengan tingkat kompleksitas yang berbeda-beda. Namun, penekanan utamanya adalah pada tugas-tugas dengan kompleksitas sedang. Hal ini sengaja dilakukan untuk mendorong siswa...
Kita dapat menyoroti hukum distribusi variabel acak diskrit yang paling umum:
- Hukum distribusi binomial
- hukum distribusi Poisson
- Hukum distribusi geometris
- Hukum distribusi hipergeometri
Untuk distribusi variabel acak diskrit tertentu, perhitungan probabilitas nilainya, serta karakteristik numerik (ekspektasi matematis, varians, dll.) dilakukan dengan menggunakan “rumus” tertentu. Oleh karena itu, sangat penting untuk mengetahui jenis-jenis distribusi dan sifat dasarnya.
1. Hukum distribusi binomial.
Variabel acak diskrit $X$ tunduk pada hukum distribusi probabilitas binomial jika mengambil nilai $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kiri(1-p\kanan))^(n-k)$. Faktanya, variabel acak $X$ adalah jumlah kemunculan peristiwa $A$ dalam uji coba independen $n$. Hukum distribusi probabilitas variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \titik & n \\
\hline
p_i & P_n\kiri(0\kanan) & P_n\kiri(1\kanan) & \titik & P_n\kiri(n\kanan) \\
\hline
\end(array)$
Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi matematisnya adalah $M\left(X\right)=np$, variansnya adalah $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Contoh . Keluarga itu memiliki dua anak. Dengan asumsi peluang mempunyai anak laki-laki dan perempuan sama dengan $0,5$, carilah hukum distribusi variabel acak $\xi$ - jumlah anak laki-laki dalam keluarga.
Misalkan variabel acak $\xi $ adalah jumlah anak laki-laki dalam keluarga. Nilai yang dapat diambil $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Probabilitas nilai-nilai ini dapat ditemukan menggunakan rumus $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, dimana $n =2$ adalah jumlah percobaan independen, $p=0.5$ adalah probabilitas suatu kejadian terjadi dalam serangkaian $n$ percobaan. Kita mendapatkan:
$P\kiri(\xi =0\kanan)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\kiri(\xi =1\kanan)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$
$P\kiri(\xi =2\kanan)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$
Maka hukum distribusi variabel acak $\xi $ adalah korespondensi antara nilai $0,\ 1,\ 2$ dan probabilitasnya, yaitu:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
Jumlah probabilitas dalam hukum distribusi harus sama dengan $1$, yaitu $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
Harapan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varians $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0,5=0,5$, deviasi standar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\kira-kira $0,707.
2. Hukum distribusi Poisson.
Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat non-negatif $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentar. Keunikan distribusi ini adalah, berdasarkan data eksperimen, kita menemukan perkiraan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$, jika perkiraan yang diperoleh berdekatan, maka kita punya alasan untuk menyatakan bahwa variabel acak tunduk pada hukum distribusi Poisson.
Contoh . Contoh variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi Poisson dapat berupa: jumlah mobil yang akan dilayani oleh sebuah SPBU besok; jumlah item cacat dalam produk yang diproduksi.
Contoh . Pabrik mengirimkan produk senilai $500 ke pangkalan. Kemungkinan kerusakan pada produk dalam perjalanan adalah $0,002$. Temukan hukum distribusi variabel acak $X$ yang sama dengan jumlah produk rusak; apa itu $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$.
Misalkan variabel acak diskrit $X$ adalah jumlah produk yang rusak. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum distribusi Poisson dengan parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitas nilainya sama dengan $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\kiri(X=0\kanan)=((1^0)\lebih (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\kiri(X=1\kanan)=((1^1)\lebih (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\kiri(X=2\kanan)=((1^2)\lebih (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\kiri(X=3\kanan)=((1^3)\lebih (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\kiri(X=4\kanan)=((1^4)\lebih (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\kiri(X=5\kanan)=((1^5)\lebih (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\kiri(X=6\kanan)=((1^6)\lebih (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\kiri(X=k\kanan)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Hukum distribusi variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi dan varians matematisnya sama satu sama lain dan sama dengan parameter $\lambda $, yaitu $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda =1$.
3. Hukum distribusi geometri.
Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai natural $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, maka mereka mengatakan bahwa variabel acak $X$ tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Faktanya, distribusi geometri merupakan uji Bernoulli hingga keberhasilan pertama.
Contoh . Contoh variabel acak yang mempunyai sebaran geometri dapat berupa: jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran; jumlah pengujian perangkat hingga kegagalan pertama; jumlah pelemparan koin sampai muncul kepala pertama, dan seterusnya.
Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang tunduk pada distribusi geometri masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.
Contoh . Dalam perjalanan ikan menuju tempat pemijahan terdapat gembok $4$. Peluang ikan melewati setiap kunci adalah $p=3/5$. Buatlah rangkaian distribusi variabel acak $X$ - jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum penahanan pertama pada gembok tersebut. Temukan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan),\ \sigma \kiri(X\kanan)$.
Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum gembok pertama kali ditangkap. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Nilai yang dapat diambil oleh variabel acak $X:$1, 2, 3, 4. Probabilitas nilai-nilai ini dihitung menggunakan rumus: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, dimana: $ p=2/5$ - peluang ikan tertahan melalui gembok, $q=1-p=3/5$ - peluang ikan melewati gembok, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\kiri(X=1\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^0=((2)\ lebih (5))=0,4;$
$P\kiri(X=2\kanan)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24;
$P\kiri(X=3\kanan)=((2)\lebih (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^2=((2)\ lebih (5))\cdot ((9)\lebih (25))=((18)\lebih (125))=0,144;$
$P\kiri(X=4\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^3+(\kiri(( (3)\over (5))\kanan))^4=((27)\over (125))=0,216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\kiri(X_i\kanan) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Nilai yang diharapkan:
$M\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Penyebaran:
$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2=)0,4\cdot (\ kiri( 1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kiri(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kiri(3-2,176\kanan))^2+$
$+\0,216\cdot (\kiri(4-2,176\kanan))^2\kira-kira 1,377.$
Deviasi standar:
$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(1,377)\kira-kira 1,173.$
4. Hukum distribusi hipergeometri.
Jika objek $N$, di antaranya objek $m$ memiliki properti tertentu. Objek $n$ diambil secara acak tanpa dikembalikan, di antaranya terdapat objek $k$ yang memiliki properti tertentu. Distribusi hipergeometri memungkinkan untuk memperkirakan probabilitas bahwa objek $k$ dalam sampel memiliki properti tertentu. Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah objek dalam sampel yang mempunyai properti tertentu. Maka peluang nilai variabel acak $X$:
$P\kiri(X=k\kanan)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Komentar. Fungsi statistik HYPERGEOMET dari wizard fungsi $f_x$ Excel memungkinkan Anda menentukan probabilitas bahwa sejumlah pengujian tertentu akan berhasil.
$f_x\ke$ statistik$\ke$ HIPERGEOMET$\ke$ OKE. Sebuah kotak dialog akan muncul yang perlu Anda isi. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_sampel menunjukkan nilai $k$. ukuran sampel sama dengan $n$. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_bersama menunjukkan nilai $m$. ukuran populasi sama dengan $N$.
Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak diskrit $X$, sesuai dengan hukum distribusi geometri, masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Contoh . Departemen kredit bank mempekerjakan 5 spesialis dengan pendidikan keuangan tinggi dan 3 spesialis dengan pendidikan hukum tinggi. Manajemen bank memutuskan untuk mengirimkan 3 orang spesialis untuk meningkatkan kualifikasinya, memilih mereka secara acak.
a) Membuat rangkaian distribusi jumlah dokter spesialis dengan pendidikan keuangan tinggi yang dapat dikirim untuk meningkatkan keterampilannya;
b) Temukan karakteristik numerik dari distribusi ini.
Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah spesialis dengan pendidikan keuangan yang lebih tinggi di antara tiga spesialis yang dipilih. Nilai yang dapat diambil $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Variabel acak $X$ ini didistribusikan menurut distribusi hipergeometri dengan parameter berikut: $N=8$ - ukuran populasi, $m=5$ - jumlah keberhasilan dalam populasi, $n=3$ - ukuran sampel, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka probabilitas $P\left(X=k\right)$ dapat dihitung dengan rumus: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ lebih dari C_( N)^(n) ) $. Kita punya:
$P\kiri(X=0\kanan)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\kira-kira 0,018;$
$P\kiri(X=1\kanan)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\kira-kira 0,268;$
$P\kiri(X=2\kanan)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\kira-kira 0,536;$
$P\kiri(X=3\kanan)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\kira-kira 0,179.$
Kemudian deret distribusi variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Mari kita menghitung karakteristik numerik dari variabel acak $X$ menggunakan rumus umum distribusi hipergeometri.
$M\kiri(X\kanan)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\kiri(X\kanan)=((nm\kiri(1-((m)\over (N))\kanan)\kiri(1-((n)\over (N))\kanan)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\kanan))\lebih dari (8-1))=((225)\lebih (448))\kira-kira 0,502.$
$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(0,502)\kira-kira 0,7085.$
