Kursus video “Dapatkan nilai A” mencakup semua topik yang Anda perlukan berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Terpadu, dan baik siswa dengan nilai 100 maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.
Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Terpadu 2018.
Kursus berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Trik Rumit solusi, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Memahami bukan menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar penyelesaian tugas yang kompleks 2 bagian dari Ujian Negara Bersatu.
Definisi 1. Segi empat adalah suatu bangun datar yang terdiri dari empat titik (simpul), tidak ada tiga titik yang terletak pada satu garis lurus, dan empat ruas (sisi) berurutan yang tidak berpotongan dan menghubungkan titik-titik tersebut.Definisi 2. Simpul bertetangga adalah simpul yang merupakan ujung salah satu sisinya.
Definisi 3. Simpul-simpul yang tidak bertetangga disebut berhadapan.
Definisi 4. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut yang berhadapan pada suatu segi empat disebut diagonal-diagonalnya.
Teorema 1. Jumlah sudut suatu segi empat adalah 360 derajat.
Memang, dengan membagi segiempat dengan diagonal menjadi dua segitiga, kita menemukan bahwa jumlah sudutnya sama dengan jumlah sudut kedua segitiga tersebut. Mengetahui bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 o, kita mendapatkan yang diinginkan: 2 * 180 o = 360 o
Definisi d1. Segi empat berbatas adalah segi empat yang semua sisinya menyentuh lingkaran tertentu. Ingatlah konsep sisi yang bersinggungan dengan lingkaran: sebuah lingkaran dianggap bersinggungan dengan suatu sisi jika menyentuh garis yang memuat sisi tersebut dan titik singgungnya terletak pada sisi tersebut.
Definisi d2. Segiempat bertulis adalah segiempat yang semua titik sudutnya termasuk dalam lingkaran tertentu.
Teorema 2. Untuk setiap segiempat yang berada dalam lingkaran, jumlah pasangan sudut yang berhadapan sama dengan 180 derajat.
Sudut A dan C keduanya bertumpu pada busur BD saja dengan sisi yang berbeda, yaitu menutupi seluruh lingkaran, dan lingkaran itu sendiri adalah busur berukuran 360 o, tetapi kita mengetahui teorema yang menyatakan bahwa besar sudut yang tertulis sama dengan setengah besar sudut busur tempat ia berada. , jadi kita dapat menyatakan bahwa jumlah sudut-sudut ini (khususnya A dan C) adalah 180 o. Dengan cara yang sama, Anda dapat membuktikan teorema ini untuk pasangan sudut lainnya.
Teorema 3.
Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segi empat, maka jumlah panjangnya adalah sisi yang berlawanan adalah sama. Untuk membuktikan teorema tersebut, kita akan menggunakan teorema dari topik lingkaran dan lingkaran, yang berbunyi: Ruas garis singgung yang ditarik dari satu titik ke lingkaran adalah sama besar, yaitu. VC=BP, CP=CH, DH=DT dan AT=AK. Mari kita jumlahkan sisi AB dan CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, yaitu. D.
Terdapat kebalikan dari Teorema 2 dan 3. Mari kita tuliskan sesuai dengan itu:
Teorema 4.
Suatu lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segiempat jika dan hanya jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama dengan 180 derajat
Teorema 5.
Suatu lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segiempat jika dan hanya jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama. 
Bukti: Misalkan ABCD adalah segi empat dan misalkan AB + CD = AD + BC. Mari kita gambarkan garis bagi sudut A dan D. Garis bagi ini tidak sejajar, artinya berpotongan di suatu titik O. Mari kita jatuhkan garis tegak lurus OK, OL dan OM dari titik O ke sisi AB, AD dan CD. Maka OK=OL, dan OL=OM, artinya sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari OK menyentuh sisi AB, AD, dan CD segi empat tersebut. Mari kita menggambar garis singgung lingkaran ini dari titik B. Misalkan garis singgung ini memotong garis CD di titik P. Maka ABPD adalah segi empat berbatas. Oleh karena itu, berdasarkan sifat segi empat berbatas, AB + DP = AD + BP. Dengan syarat AB+ CD = AD + BC. Jadi BP + PC = BC, artinya pada pertidaksamaan segitiga, titik P terletak pada ruas BC. Oleh karena itu, garis BP dan BC berhimpitan, artinya garis BC menyentuh lingkaran yang berpusat di titik O, sehingga ABCD menurut definisi adalah segi empat yang dibatasi. Teorema tersebut telah terbukti. 
Teorema 6.
Luas suatu segi empat sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya.
Bukti: Misalkan ABCD adalah segi empat yang diberikan. Misalkan O juga merupakan titik potong diagonal-diagonalnya. Kemudian
S ABCD = S ABO + S BCO +S CDO + S DAO =
= 1/2(AO·BO·sin∠ AOB + BO·CO·sin∠ Dewan Komisaris +
+ CO·DO·sin∠ COD + DO·AO·sin∠ AOD) =
= 1/2 sin∠ Dewan Komisaris (AO + CO) (BO + DO) =
= 1/2·sin∠ Dewan Komisaris·AC·BD.
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema d1.
(Varignon) Segi empat dengan simpul di titik tengah sisi-sisi segiempat mana pun adalah jajar genjang, dan luas jajar genjang ini sama dengan setengah luas segi empat aslinya. 
Bukti: Misalkan ABCD adalah suatu segiempat tertentu dan K, L, M dan N adalah titik tengah sisi-sisinya. Lalu KL- garis tengah
segitiga ABC, artinya KL sejajar dengan AC. LM sejajar BD, MN sejajar AC, dan NK sejajar BD. Oleh karena itu, KL sejajar dengan MN, LM sejajar dengan KN. Jadi KLMN adalah jajar genjang. Luas jajar genjang ini adalah KL·KN·sin∠ NKL =
1/2 AC BD dosa DOC = 1/2S ABCD .
Teorema tersebut telah terbukti.
Segi empat cembung A B C D (\displaystyle \displaystyle ABCD) tertulis jika dan hanya jika sudut yang berlawanan secara total mereka memberikan 180°, yaitu.
A + C = B + D = π = 180 ∘ . (\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^(\circ ).)Teoremanya adalah Proposisi 22 dalam buku 3 Euclid Awal. Demikian pula, suatu segi empat cembung ditulis jika dan hanya jika sudut yang berdekatan sama dengan sudut dalam dihadapannya.
p q = a c + b d . (\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.)Jika dua garis lurus, salah satunya mengandung ruas AC, dan yang lainnya adalah segmen BD, berpotongan di suatu titik P, lalu empat poin A, B, C, D berbaring di lingkaran jika dan hanya jika
AP ⋅ PC = BP ⋅ PD . (\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.)Titik persimpangan P bisa berbohong baik di dalam maupun di luar lingkaran. Dalam kasus pertama itu akan menjadi segi empat tertulis ABCD, dan yang kedua - segi empat bertuliskan ABDC. Jika perpotongannya terletak di dalam, maka persamaan berarti hasil kali segmen-segmen yang menjadi titiknya P membagi salah satu diagonalnya dan sama dengan hasil kali segmen-segmen diagonal lainnya. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema akord berpotongan, karena diagonal-diagonal segiempat bertulisan adalah tali busur lingkaran luar.
Segi empat cembung ABCD tertulis jika dan hanya jika
tan A 2 tan C 2 = tan B 2 tan D 2 = 1. (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))\tan (\frac (C)(2))=\tan (\frac (B)(2))\tan (\frac (D)(2))=1.)Persegi
S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) (\displaystyle S=(\sqrt ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))))Segi empat siklik mempunyai luas maksimum di antara semua segi empat yang mempunyai barisan panjang sisi yang sama. Ini merupakan konsekuensi lain dari hubungan Brettschneider. Pernyataan tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan analisis matematis.
Empat buah panjang tak sama, yang masing-masing lebih kecil dari jumlah tiga buah lainnya adalah sisi tiga segi empat bertulisan tidak kongruen, dan menurut rumus Brahmagupta, semua segitiga ini mempunyainya daerah yang sama. Khususnya bagi para partai A, B, C Dan D samping A bisa menjadi kebalikan dari kedua belah pihak B, C atau D. Dua dari tiga segiempat bertulisan ini mempunyai panjang diagonal yang sama.
Luas segi empat siklik yang sisi-sisinya berurutan A, B, C, D dan sudut B antara para pihak A Dan B dapat dinyatakan dengan rumus
S = 1 2 (a b + c d) sin B (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ab+cd)\sin (B)) S = 1 2 (ac + b d) sin θ (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ac+bd)\sin (\theta ))Di mana θ - sudut mana pun di antara diagonalnya. Jika sudutnya A tidak lurus, luasnya dapat dinyatakan dengan rumus
S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan A . (\displaystyle S=(\tfrac (1)(4))(a^(2)-b^(2)-c^(2)+d^(2))\tan (A).) S = 2 R 2 sin A sin B sin θ (\displaystyle S=2R^(2)\sin (A)\sin (B)\sin (\theta )) S ≤ 2 R 2 (\displaystyle S\leq 2R^(2)),dan pertidaksamaan berubah menjadi persamaan jika dan hanya jika segiempat tersebut berbentuk persegi.
Diagonal
Dengan atasan A, B, C, D(dalam urutan itu) dan para pihak A = AB, B = SM, C = CD Dan D = D.A. panjang diagonal P = AC Dan Q = BD dapat dinyatakan dalam bentuk sisi
p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d (\displaystyle p=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)))) q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c (\displaystyle q=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc)))) p q = a c + b d . (\gaya tampilan pq=ac+bd.)Berdasarkan Teorema kedua Ptolemy ,
p q = a d + b c a b + c d (\displaystyle (\frac (p)(q))=(\frac (iklan+bc)(ab+cd)))dengan notasi yang sama seperti sebelumnya.
Untuk jumlah diagonalnya kita mempunyai pertidaksamaan
p + q ≥ 2 a c + b d . (\displaystyle p+q\geq 2(\sqrt (ac+bd)).)Suatu pertidaksamaan menjadi persamaan jika dan hanya jika diagonal-diagonalnya sama panjang, yang dapat ditunjukkan dengan menggunakan pertidaksamaan antara rata-rata aritmatika dan rata-rata geometri.
(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . (\displaystyle (p+q)^(2)\leq (a+c)^(2)+(b+d)^(2).)Pada setiap segi empat cembung, dua diagonal membagi segi empat menjadi empat segitiga. Pada segi empat siklik, pasangan-pasangan yang berhadapan dari keempat segitiga tersebut sebangun.
Jika M Dan N adalah titik tengah diagonalnya AC Dan BD, Itu
M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | (\displaystyle (\frac (MN)(EF))=(\frac (1)(2))\kiri|(\frac (AC)(BD))-(\frac (BD)(AC))\kanan |)Di mana E Dan F- titik potong sisi-sisi yang berhadapan.
Jika ABCD- bertulis segi empat dan AC salib BD pada intinya P, Itu
A P C P = A B C B ⋅ A D C D . (\displaystyle (\frac (AP)(CP))=(\frac (AB)(CB))\cdot (\frac (AD)(CD)).)Rumus sudut
A, B, C, D, setengah keliling S dan sudut A antara para pihak A Dan D fungsi sudut trigonometri A setara
cos A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , (\displaystyle \cos A=(\frac (a^(2)+d^(2)-b^(2) -c^(2))(2(iklan+bc))),) sin A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , (\displaystyle \sin A=(\frac (2(\sqrt ((s-a) (s-b)(s-c)(s-d))))((iklan+bc))),) tan A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac ((s-a)(s-d))((s-b)(s-c)))).)Untuk sudut θ antar diagonal dilakukan
tan θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (\theta )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d))((s-a)(s-c)))).)Jika kelanjutan sisi yang berhadapan A Dan C berpotongan pada suatu sudut ϕ (\gaya tampilan \phi ) , Itu
cos ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) (\displaystyle \cos (\frac (\phi )(2))=(\ persegi (\frac ((s-b)(s-d)(b+d)^(2))((ab+cd)(iklan+bc)))))rumus Parameshwar
Untuk segi empat siklik dengan sisi A, B, C, D(dalam urutan yang ditentukan) dan setengah keliling S radius lingkaran yang dibatasi) diberikan oleh rumus
R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . (\displaystyle R=(\frac (1)(4))(\sqrt (\frac ((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))((s-a)(s-b)(s-c)(s-d )))).)Rumusnya diturunkan oleh seorang ahli matematika India Vathassery Parameshwara pada abad ke-15.
Jika diagonal-diagonal suatu segiempat siklik berpotongan di suatu titik P, dan titik tengah diagonal - V Dan W, maka antisenter segi empat adalah ortosenter segitiga VWP, dan titik pusat massa berada di tengah ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonalnya.
Dalam segiempat tertulis, "pusat massa" G a, "puncak pusat massa" Gubernur dan persimpangan P diagonal-diagonalnya terletak pada satu garis lurus. Untuk jarak antara titik-titik tersebut persamaannya
P G a = 4 3 P G v . (\displaystyle PG_(a)=(\tfrac (4)(3))PG_(v).)Properti lainnya
- Dalam segi empat siklik ABCD dengan pusat lingkaran yang dibatasi HAI membiarkan P- titik potong diagonal AC Dan BD. Lalu sudutnya APB adalah rata-rata aritmatika sudut AOB Dan IKAN KOD.. Ini adalah konsekuensi langsung dari teorema sudut tertulis dan teorema tentang sudut luar segi tiga.
- Jika suatu segi empat siklik mempunyai panjang sisi yang membentuk barisan aritmatika, maka segi empat tersebut juga demikian dijelaskan secara eksternal.
segi empat Brahmagupta
Segi Empat Brahmagupta adalah segi empat siklik dengan panjang sisi bilangan bulat, panjang diagonal bilangan bulat, dan luas bilangan bulat. Semua segi empat Brahmagupta memiliki sisi a, b, c, d, diagonal e, f, luas S, dan jari-jari lingkaran yang dibatasi R dapat diperoleh dengan menghilangkan penyebut pada ekspresi berikut (dengan parameter rasional T, kamu Dan ay):
a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] (\displaystyle a=) b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) (\displaystyle b=(1+u^(2))(v-t)(1+tv)) c = t (1 + u 2) (1 + v 2) (\displaystyle c=t(1+u^(2))(1+v^(2))) d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) (\displaystyle d=(1+v^(2))(u-t)(1+tu)) e = u (1 + t 2) (1 + v 2) (\displaystyle e=u(1+t^(2))(1+v^(2))) f = v (1 + t 2) (1 + u 2) (\displaystyle f=v(1+t^(2))(1+u^(2))) S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] (\displaystyle S= sinar UV) 4 R = (1 + kamu 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . (\displaystyle 4R=(1+u^(2))(1+v^(2))(1+t^(2)).)Sifat-sifat segiempat siklik ordiagonal
Luas dan jari-jari lingkaran yang dibatasi
Misalkan segiempat siklik yang juga ortodiagonal (yaitu, memiliki diagonal tegak lurus), perpotongan diagonal membagi satu diagonal menjadi segmen-segmen yang panjangnya P 1 dan P 2, dan membagi yang lain menjadi segmen-segmen panjangnya Q 1 dan Q 2. Maka (persamaan pertama adalah Proposisi 11 dalam buku Archimedes "Lemmas")
D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\displaystyle D^(2)=p_(1)^(2)+p_( 2)^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2)=a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2)),Di mana D -
atau, melalui sisi segi empat
R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^( 2)+d^(2))).)Hal ini juga mengikuti hal tersebut
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2. (\gaya tampilan a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2.)Jadi, menurut rumus Euler, jari-jari dapat dinyatakan dalam diagonal P Dan Q dan jarak X antara titik tengah diagonalnya
R = hal 2 + q 2 + 4 x 2 8 . (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)Rumus luas K tertulis segiempat ortodiagonal dapat diperoleh langsung melalui sisi-sisinya dengan menggabungkan teorema Ptolemy (lihat di atas) dan rumus luas segi empat ortodiagonal. Hasilnya kita dapatkan
literatur
- Claudi Alsina, Roger Nelsen. Ketika Lebih Sedikit Lebih Banyak: Memvisualisasikan Pertidaksamaan Dasar, Bab 4.3 Segi empat siklik, tangensial, dan bisentris. - Asosiasi Matematika Amerika, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Pada diagonal segi empat siklik // Forum Geometricorum. - 2007. - T.7.
- Pengadilan Nathan Altshiller. Geometri Perguruan Tinggi: Pengantar Geometri Segitiga Modern dan itu Lingkaran. - ke-2. - Kurir Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2.(org. 1952)
- =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
- Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometri Ditinjau Kembali. 3.2 Segi Empat Siklik; Rumus Brahmagupta. - Asosiasi Matematika Amerika, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Terjemahan GSM Coxeter, SL Greitzer. Pertemuan baru dengan geometri. 3.2 Segi empat bertulisan; Teorema Brahmagupta. - Moskow: "Sains", 1978. - (Perpustakaan lingkaran matematika).
- Inti Matematika. Ketimpangan diusulkan di Inti Matematika. - 2007.
- D. Penipu. Teori segiempat yang tidak dapat ditulisi dan lingkaran yang membentuk titik Pascal // Jurnal Ilmu Matematika: Kemajuan dan Penerapan. - 2016. - T.42. - Hal.81–107. - DOI:10.18642/jmsaa_7100121742.
- CV Durell, A. Robson. Trigonometri Tingkat Lanjut. - Kurir Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8.(asal 1930)
- Mowaffaq Hajja. Syarat agar segiempat berbatas menjadi siklik // Forum Geometricorum. - 2008. - T.8.
- Larry Hoehn. Keliling segiempat siklik // Lembaran Matematika. - 2000. - T. 84, terbitan. 499 Maret.
- Ross Honsberger. Episode dalam Geometri Euclidean Abad Kesembilan Belas dan Kedua Puluh. - Cambridge University Press, 1995. - T. 37. - (Perpustakaan Matematika Baru). - ISBN 978-0-88385-639-0.
- Roger A.Johnson. Geometri Euclidean Tingkat Lanjut. - Penerbitan Dover, 2007.(asal 1929)
- Thomas Petrus. Memaksimalkan luas segi empat // Jurnal Matematika Perguruan Tinggi. - 2003. - T. 34, terbitan. 4 September.
- Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Masalah Menantang dalam Geometri. - ke-2. - Kurir Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Bab: Penyelesaian: 4-23 Buktikan bahwa jumlah kuadrat panjang segmen yang dibuat oleh dua tali busur yang tegak lurus sama dengan kuadrat diameter lingkaran tertentu.
- ,
